理论力学摩擦

F1 N = fs sin θ +cosθ F2 N
FN
1
所以
sin θ − fs cosθ = fs sin θ +cosθ fs
将 fs = tanφf 代入上式得
Ⅰ
θ
Ⅱ
Ⅲ Ⅳ
sin θ − tanϕf cosθ tanϕf = tanϕf sin θ +cosθ = tanθ − tanϕf tanϕf tanθ +1
（2）当Q足够大时，使重物出现向上滑动的趋势，摩擦力方向 与 X 方向相反。 平衡方程
∑ FX = 0 − F + Q cos α − P sin α = 0
P Q
F N X
∑ FY = 0 N − Q sin α − P cos α = 0
物理条件 F ≤ f ⋅ N 于是有
− P sin α + Q cos α ≤ f (Q sin α  f ⋅ cosα) Q≤ cosα + f ⋅sinα
综合得重物保持平衡的条件
P(sinα + f ⋅ cosα) P(sinα − f ⋅ cosα) ≥ Q≥ cosα + f ⋅sinα cosα + f ⋅sinα
即
P(sinα + f ⋅ cosα) ≥ Q ≥ P(sinα − f ⋅ cosα)
a
F
C h
G
b
取矩形柜为研究对象,受力分析如图。 解: 取矩形柜为研究对象,受力分析如图。 1 .假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。
列平衡方程
y
∑F = 0,
x
F − FA − F = 0 B
(a)
F G
∑F = 0,
y
F A + F B −G = 0 (b) N N
F = fs ×F B B N
f ——静滑动摩擦因数。 ——库仑静滑动摩擦定律 库仑静滑动摩擦定律
静滑动摩擦因数与材料、接触面的粗糙度、温度等 因素有关；在一般情况下，与接触面的面积无关。可以 认为是常数。
使物体保持平衡状态 保持平衡状态时的摩擦力F， 保持平衡状态
F ≤ F AX M
静滑动摩擦力F 的方向，总是与滑动的趋势方向相 反。即F 总是阻止滑动 发生。
f′< f
当滑动速度不大时，f ´等于常数。
摩擦角与“自锁”
作用于物体上的力P 作用于物体上的力 分解 为两个分量
Py
P
α
F Px
Py = P cos α Px = P sin α
——与约束力 N 平衡 ——与摩擦力 F平衡
θ N
角逐渐增加时， 增加,F增加 增加； 当 α 角逐渐增加时，Px 增加 增加； Py 减小， 随之减小， 减小， N 随之减小，直至临界状态
F G
D
α
受力分析如图，其中 受力分析如图，其中D 处摩擦力未达到 最大值，假设其方向向左。 最大值，假设其方向向左。
B
F′C N
FB α
C O
FNC FAy
C
FC
F′ C
FD
F G
A
FAx
D
FND
1.以杆AB为研究对象，受力分析如图。 .以杆 为研究对象 受力分析如图。 为研究对象，
列平衡方程
F ≤ f ⋅ NA
a P ⋅ tan α ≤ f ⋅ P l
当a=l 时最危险 梯子不滑的条件
a ⇒ tanα ≤ f l
tan α ≤ f = tan θ
θ
α ≤θ
的矩形柜放置在水平面上， 宽 a，高b的矩形柜放置在水平面上， 柜重 ， 重心 在其几 高 的矩形柜放置在水平面上 柜重G， 重心C在其几 何中心， 何中心，柜与地面间的静摩擦因数是 fs，在柜的侧面施加水平向 在柜的侧面施加水平向 右的力F，求能使柜不翻倒而滑动所需推力F 的值。 右的力 ，求能使柜不翻倒而滑动所需推力 的值。
∑ FX = 0
F + Q cos α − P sin α = 0
P Q
F N X
∑ FY = 0 N − Q sin α − P cos α = 0
物理条件 F ≤ f ⋅ N 于是有
P sin α − Q cos α ≤ f (Q sin α + P cos α )
α
解出
P(sinα − f ⋅ cosα) Q≥ cosα + f ⋅sinα
∑Fx = 0, ∑F = 0,
y O
F′C sin 60o − F′ cos 60o − F − F = 0 N C D
(c)
α
C O
F′C cos 60o −G− F′ sin 60o + F D = 0 (d) N C N F′r − F r = 0 C D (e)
F′ C
FD
F G
∑M (F) = 0,
柜不绕 B 翻倒条件： FNA≥0 解得
F≤ Ga 2h
FA
B
FNA
a
FNB
F
C h
当h=b时,使柜翻倒的最小推力为 h=b时 G
b
Ga F = F in2 = m 2b
柜体保持滑动而不翻到时,应满足 柜体保持滑动而不翻到时 应满足
Fmin 2 > F > Fmin1
即
Ga > F > Gf s 2b
B
α
P l a
A
解：受力如图，设P至A 端的距离为a 平衡方程
NB B
∑ FX = 0
∑ FY = 0 ∑ mA = 0
NB − F = 0
NA − P = 0 P ⋅ a sin α − N B ⋅ l cos α = 0
a NB = P⋅ tanα l
α
P l a F A NA α FMAX
物理条件
P T F
N
FMAX = TK
可见F的大小有一个确定的范围，在此范围内可以保持物体的平衡 可见 的大小有一个确定的范围， 的大小有一个确定的范围
0 ≤ F ≤ FMAX
实验证明：
静滑动摩擦力的最大值F 与接触面间的正压力 正压力N成正比 静滑动摩擦力的最大值 MAX与接触面间的正压力 成正比
F AX = f ⋅ N M
考虑到 tan θ = f
P ⋅ tan(α + θ ) ≥ Q ≥ P ⋅ tan(α − θ )
可以看出， 可以看出，Q 在一定取值范围内都可使重物保持 平衡。 平衡。
长l 的梯子AB 一端靠垂直墙壁，一端搁在水平地板上。 设梯子与墙壁的接触完全光滑，梯子与地板之间存在摩擦， 静摩擦系数f ，梯子重量不计。有一重量为P 的人沿梯子向上 爬，如要保证梯子不滑倒，求梯子与墙壁之间的夹角α 。
Py
P
α
Px FMAX
θ N
R
考虑滑动摩擦的平衡问题
斜面上放一重物，重量为P 。已知斜面的倾斜角为α，重物与 斜面之间的摩擦系数为f ，摩擦角为 θ 。当 α>θ 时，试求使重物在 斜面上保持静止时水平力Q 的大小。
P Q
α
解：（1）当Q足够小时，因α>θ ，重物在P 作用下有向下滑动的 趋势，摩擦力方向与X方向相同。 平衡方程
C
补充方程 FB
x
A
FA = fs ×F A , N
FA
B
FNA
FNB
代入（a），（a）-（b） 联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力
F = F in1 = Gfs m
2.假设矩形柜不滑动但将绕 B 翻倒。 . 翻倒。 列平衡方程 F G FB
A x C
a ∑MB = 0, G× 2 −F×h−FNA ×a = 0
R
Px = Fmax
tan θ =
时物体保持平衡。这时， 保持平衡。 时物体保持平衡。这时，FMAX与 N 构成全反力 R 与 P 保持平衡。显然
Fmax f ⋅N = = f N N
——称为摩擦角 摩擦角
由于 tan θ = f 是常数，α 可以改变，于是有下列状态： （1） P x = F MAX 即 α = θ 时
a
F
C h
G
b
在坑道施工中， 广泛采用各种利用摩擦锁紧装置—楔联结 楔联结。 在坑道施工中 ， 广泛采用各种利用摩擦锁紧装置 楔联结 。 坑道支柱中的联结结构装置如图所示。它包括顶梁I，楔块 楔块II，用 坑道支柱中的联结结构装置如图所示 。它包括顶梁 楔块 用 于调节高度的螺旋III及底座 。螺旋杆给楔块以向上的推力F 于调节高度的螺旋 及底座IV。螺旋杆给楔块以向上的推力 N1。 及底座 已知楔块与上下支柱间的静摩擦因数均为 或摩擦角φ 已知楔块与上下支柱间的静摩擦因数均为fs（或摩擦角 f ）。求楔 求楔 块不致滑出所需顶角的大小。 块不致滑出所需顶角的大小。
Ⅰ
θ
Ⅱ
Ⅲ Ⅳ
解： 1. 取楔块为研究对象，受力分析如图。 取楔块为研究对象，受力分析如图。
列平衡方程
Ⅰ
∑F = 0,
x
F + F cosθ − F 2 sin θ = 0 1 2 N
θ
Ⅱ
∑F = 0,
y
F 1 − F sin θ − F 2 cosθ = 0 N 2 N
F = fs F 2 2 N
考虑摩擦时力系的平衡
在外力作用下，两个相互接触的物体有相对滑动趋势时， 彼此总存在阻碍滑动发生的机械作用。称为滑动摩擦力。 滑动摩擦力。 滑动摩擦力 滑动摩擦力分为两种：静滑动摩擦力 动滑动摩擦力 静滑动摩擦力和动滑动摩擦力 静滑动摩擦力 1、静滑动摩擦力 静滑动摩擦力
当T很小时，重物不会滑动， 表明摩擦力可以和T平衡，当T逐渐 增加，至某临界值TK ，物体由静止 进入运动，考虑和F的平衡关系， 有