北京市重点中学2013-2014学年高二春季自主会考数学含答案

学年度第一学期期中考试高 二 数 学 试 卷2014．11(考试时间：100分钟 总分：100分)一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填在答题卡中相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．） 1．下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 2．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积是（ ）A ．16πB ．16C ．163πD ．1633．圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：224840x y x y +-++=的位置关系是（ ）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离4．已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面， 则下列命题正确的是（ ）A ．若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥C ．若l ∥α，m α⊂，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m5．过点(3,1)P -的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．π(0,]6 B ．π(0,]3 C ．π[0,]6 D ．π[0,]36．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为12,F F 3，过2F 的直线l交椭圆C 于,A B 两点．若△1AF B 的周长为3C 的方程为( )主(正)视图44左（侧）视图4俯视图4•A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y += D ．221124x y += 7．设,,,A B C D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是（ ） A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC = D ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC ⊥8．如图，定点A ，B 都在平面α内，定点α∉P ，α⊥PB ，C 是α内异于A 和B 的动点，且AC PC ⊥．那么，动点C在平面α内的轨迹是（ ）A ． 一条线段，但要去掉两个点B ． 一个圆，但要去掉两个点C ． 一个椭圆，但要去掉两个点D ． 半圆，但要去掉两个点二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相．．．．．．．．．．．应的位置上．．．．．） 9．毛泽东主席在《送瘟神》中写到“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，那么火星的大圆周长约为______________万里．10．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -（底面是正方形的直棱柱）的底面边长为2，高为4，那么异面直线1BD 与AD 所成角的正切值______________．11．已知椭圆221(0)3x y m m +=>的一个焦点是αBPCA 22１１ １正视图侧视图(0,1)，则m = ；若椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点12,F F 构成的三角形12PF F 的面2，则点P 的坐标是________．12．直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += ________.13．某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积是 ． 14．已知点1(,0)2A -，点B 是圆F ：221()42x y -+=（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为______________．三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案填在答题卡中相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．） 15．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点．（Ⅰ）求证：AC PB ⊥； （Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；（Ⅲ）若4PA =，求点E 到平面ABCD 的距离．16．已知圆C ：222440x y x y +-+-=，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．（Ⅰ）若直线l 过点()4,0M ，且25AB =l 的方程；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，且以弦AB 为直径的圆经过原点，求直线l 的方程．17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3,5AB BC ==． （Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若点D 是线段BC 的中点，请问在线段1AB 是否存在点E ，使得//DE 面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若EDPCADC 1B A 1AB不存在，请说明理由；（Ⅲ）（本小问．．．只．理科学生做．．．．．）求二面角111C A B C --的大小．18．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F -，右顶点为(2,0)D ，设点1(1,)2A ． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ∆面积的最大值．（草稿纸）2014～2015学年度第二学期期中练习高 二 数 学 答 案一、选择题（本大题共8小题，每小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B AD A CB题号 91011121314答案4 5 2 20±（，） 2 1622413x y +=15．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由PA ⊥平面ABCD 可得PA ⊥AC ，又AB AC ⊥，所以AC ⊥平面PAB ， 所以AC PB ⊥． ……… 4分 （Ⅱ）连BD 交AC 于点O ，连EO ，则EO 是△PDB 的中位线， 所以EO //PB ．又因为PB ⊄面AEC ，EO ⊂面AEC ， 所以PB //平面AEC ． ……… 8分 （Ⅲ）取AD 中点F ，连接EF ．EDPCA因为点E 是PD 的中点，所以1//2EF PA ． 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以EF ⊥平面ABCD ． 所以线段EF 的长度就是点E 到平面ABCD 的距离．又因为4PA =，所以2EF =．所以点E 到平面ABCD 的距离为2． ……… 12分16．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题设知直线l 的斜率存在，设其方程为()4y k x =-，即40kx y k --=．圆C ：222440x y x y +-+-=，即()()22129x y -++=，圆心()1,2C -，半径为3．由25AB =l ()2952-=，22421k k k +-=+，即22321k k -=+，整理得25120k k -=，解得，0k =或125k =． 所以直线l 的方程为0y =或125480x y --=．……… 5分 （Ⅱ）由直线l 的斜率为1，设直线l 的方程为y x b =+．由222440x y x y y x b⎧+-+-=⎨=+⎩ ， 得()22221440x b x b b ++++-=．令()()22418440b b b ∆=+-+->，解得332332b --<<-+． （1）设()()1122,,,A x y B x y ，则()121x x b +=-+，212442b b x x +-=．因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA OB ⊥．所以12120x x y y +=，即()2121220x x b x x b +++=．代入得2340b b +-=，解得1b =或4b =-，满足（1）．故直线l 的方程为1y x =+或4y x =-．……… 10分 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）因为四边形11AAC C 为正方形，所以AA 1 ⊥AC ．因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ， 且平面ABC平面11AAC C AC =，所以AA 1⊥平面ABC ．……… 4分（文6分）（Ⅱ）当点E 是线段1AB 的中点时，有//DE 面11AAC C ． 连结1A B 交1AB 于点E ，连结DE ．因为点E 是1A B 中点，点D 是线段BC 的中点， 所以1//DE A C ．又因为DE ⊄面11AAC C ，1AC ⊂面11AAC C ，所以//DE 面11AAC C ．……… 8分（文12分） （Ⅲ）因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥AB ． 又因为AC ⊥AB ，所以AB ⊥面11AAC C ． 所以11A B ⊥面11AAC C ． 所以11A B ⊥11A C ，11A B ⊥1A C ．所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角． 易得11111tan 1C CC A C C A ∠==． 所以二面角111C A B C --的平面角为45︒．……… 12分18．（本小题满分10分）解（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴2a =，半焦距3c =短轴1b =．又椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的标准方程为1422=+y x ．……… 4分 DC 1B A 1AB（Ⅱ）当直线BC 垂直于x 轴时，2BC =，因此ABC ∆的面积1ABC S ∆=．当直线BC 不垂直于x 轴时，该直线方程为y kx =，代入1422=+y x ， 解得B （1422+k ,1422+k k ），C （－1422+k ,－1422+k k ），则224114kk BC ++=，又点A 到直线BC 的距离2121k d k-=+∴△ABC 的面积ABCS ∆=2211214k BC d k-⋅=+．于是ABC S ∆=144114144222+-=++-k kk k k ． 由24411414k k k k=≥-++，得2ABC S ∆12k =-时，等号成立． ∴ABC S ∆的最大值是2． ……… 10分。

2013年北京市春季普通高中会考(新课程)数学试卷 第一部分 选择题（每小题3分，共60分）一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的． 1．如果集合{}1,2A =-，{}0B x x =>，那么集合A B I 等于（ ）．A ．∅B ．{}1-C ．{}2D ．{1,2}- 2．不等式220x x -<的解集为（ ）．A ．{|2}x x >B ．{|0}x x <C ．{|02}x x <<D ．{|0x x <或2}x > 3．已知向量(2,3)a =-r ，(1,5)b =r ，那么a b ⋅r r等于（ ）．A ．13-B ．7-C ．7D ．13 4．如果直线3y x =与直线1y mx =-+平行，那么m 的值为（ ）．A ．3-B ．13-C ．13 D ．35．如果0a >，那么11a a++的最小值是（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．要得到函数2sin()6y x π=+的图象，只要将函数2sin y x =的图象（ ）．A ．向左平移6π个单位B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位 7．在等差数列{}n a 中，已知11a =，525S =，那么5a 等于（ ）．A ．9B ．8C ．7D ． 6 8．在函数cos y x =，3y x =，e x y =，ln y x =中，奇函数是（ ）．A ．cos y x =B ．3y x =C ．e x y =D ．ln y x = 9．11cos6π的值为（ ）．A ．B ．2C ．2 D10．函数sin 2cos2()y x x x =+∈R 的最小正周期是（ ）．A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 11．已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠在区间[0,1]上最大值是2，那么a 等于（ ）．A ．14 B ．12C ．2D ．4 12．在ABC ∆中，60A ∠=︒，23AC =，32BC =，则角B 等于（ ）．A ．45︒B ．30︒或60︒C ．135︒D ．45︒或135︒ 13．口袋中装有4个大小、材质完全相同的小球，球的颜色分别是红色、黄色、蓝色和白色，从口袋中随机摸出2个小球，摸到红色小球和白色小球的概率是（ ）．A ．16 B ．13 C ．12 D ．2314．为了解决某学校门前公路的交通状况，从行驶过的汽车中随机抽取200辆进行统计分析，绘制出关于它们车速的频率分布直方图（如图所示），那么车速在[60,70)区间的汽车大约有（ ）．A ．20B ．40C ．60D ．80 15．已知平面α、β，直线a 、b ，下面的四个命题①//a b a α⎫⎬⊥⎭b α⇒⊥；②a b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭//a b ；③a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⊥⎬⎪⊥⎭；④////a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭中， 所有正确命题的序号是（ ）．A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④ 16．当x ，y 满足条件0230x yy x y ⎧⎪⎨⎪++⎩≥≥≤ 时，目标函数3z x y =+的最大值是（ ）．A ．1B ．1.5C ．4D ．9 17．针对2020年全面建成小康社会的宏伟目标，十八大报告中首次提出“实现国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番”的新指标．按照这一指标，城乡居民人均收入在这十年间平均增长率x 应满足的关系式是（ ）．A ．1102x +=B ．10(1)2x +=C ．10(1)2x +=D ．10(1)2x += 18．一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（ ）．A ．12B ．18C ．24D ．3619．将长度为1米的绳任意剪成两段，其中一段的长度小于0.4米的概率是（ ）． A ．1 B ．0.8 C ．0.6 D ．0.520．记时钟的时针、分针分别为OA 、OB （O 为两针的旋转中心）．从12点整开始计时，经过m 分钟，OA OB ⋅u u u r u u u r的值第一次达到最小时，那么m 的值是（ ）．A ．30B ．36011C ．31D ．211π俯视图侧(左)视图正(主)视图4333第二部分 非选择题（共40分）二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21．计算131()log 12-+的结果为 ．22．已知圆:C 22(1)(1)1x y -++=，那么圆心C 到坐标原点O 的距离是 ． 23．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S 的值为 ．24．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且各项均为正整数，如果11a =，16n a =，那么n d +的最小值为 ．三、解答题（共4个小题，共28分） 25．（本小题满分7分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC （Ⅰ）证明：1//AC 平面BDE ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥． 26．（本小题满分7分）在平面直角坐标系xOy 中，角α，β02πα⎛<< ⎝，2πβπ⎫<<⎪⎭重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，A ，B （Ⅰ）求tan β的值；（Ⅱ）求AOB △的面积．27．（本小题满分7分）已知圆222:5(0)C x y m m +=>，直线l 过点(),0M m -且与圆C 相交于A ，B 两点． （Ⅰ）如果直线l 的斜率为1，且||6AB =，求m 的值；（Ⅱ）设直线l 与y 轴交于点P ，如果||2||PA PM =u u u r u u u u r，求直线l 的斜率．28．（本小题满分7分）已知函数2()f x ax bx c =++满足：①()f x 的一个零点为2；②()f x 的最大值为1； ③ 对任意实数x 都有(1)(1)f x f x +=-． （Ⅰ）求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）设函数(),(),x x Ag x f x x B ∈⎧=⎨∈⎩是定义域为(0,1)的单调增函数，且001x x '<<<．当0x B ∈时，证明：x B '∈．结束开始BE A2013年北京市春季普通高中会考(新课程)数学试卷参考答案一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的． 1．【答案】C ．【解析】由于集合{1,2}A =-，{|0}B x x =>，因此{}2A B =I ，故选C ． 2．【答案】C ．【解析】令220x x -=，解得0x =或2x =，因此不等式220x x -<的解集为{|02}x x <<，故选C ．3．【答案】D ．【解析】根据向量的坐标运算()1212213513a b x x y y ⋅=+=-⨯+⨯=r r，故选D ．4．【答案】A ．【解析】根据两条直线平行的条件可知，3m =-，得3m =-，故选A ． 5．【答案】B ．【解析】根据题意，求11a a++的最小值可应用均值不等式，则1113a a ++=≥，当且仅当1a a=，即1a =时等号成立，故选B ． 6．【答案】A ．【解析】根据图象平移左加右减的原理，要得到函数2sin()6y x π=+的图象，只要将函数2sin y x =的图象向左平移6π个单位，故选A ． 7．【答案】A ．【解析】由等差数列前n 和n S 的计算公式()12n n n a a S +=，知()15552a a S +=，解得59a =，故选A ．8．【答案】B ．【解析】对于A ，定义域为R ，()()()cos cos f x x x f x -=-==，是偶函数；对于B ，定义域为R ，()()()33f x x x f x -=-=-=-，是奇函数； 对于C ，定义域R ，()()x f x e f x --=≠±，因此是非奇非偶函数；对于D ，定义域()0,+∞，不关于原点对称，因此是非奇非偶函数，故选B ．9．【答案】D ．【解析】根据诱导公式，11cos cos 2cos 666⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ππππD ． 10．【答案】B ．【解析】根据辅助角公式，sin 2cos 22224y x x x x x ⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭π， 最小正周期22T π==π，故选B ． 11．【答案】C ．【解析】①当01a <<时，函数()x f x a =是减函数，那么当0x =时，取得最大值012a =≠，不符合题意； ②当1a >时，函数()x f x a =是增函数，那么当1x =时，取得最大值12a =，即2a =，故选C ．12．【答案】A ．【解析】根据正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，=，即sin B =， 那么4B π=或34B π=，因为AC BC <，所以A B >，所以4B π=，故选A ．13．【答案】A ．【解析】根据题意符合古典概型的条件，基本事件空间{（红色，黄色），（红色，蓝色），（红色，白色），（黄色，蓝色），（黄色，白色），（蓝色，白色）}基本事件总数为6，摸到红色小球和白色小球的事件为{（红色，白色）}，事件数为1，摸到红色小球和白色小球的概率是16，故选A ． 14．【答案】D ．【解析】根据频率分布直方图可知，车速在[60,70)区间的概率为0.04100.4⨯=，车辆数为：2000.480⨯=，故选D ．15．【答案】A ．【解析】若两条直线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面①正确；若两条都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行，②正确； 若两个面垂直，两个面内的直线不一定互相垂直，③错误； 若两个平面平行，两个面内的直线平行或异面，④错误，故选A ．16．【答案】C ．【解析】根据题意，不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当过点()1,1时，z 取得最大值4，故选C ．13z17．【答案】C ．【解析】根据题意可知，设原收入为()0a a ≠，则十年后为2a ，因此10(1)2a x a +=，即10(1)2x +=，故选C ．18．【答案】B ．【解析】由三视图可知该空间几何体的直观图为横着放的直三棱柱，1433182V S h =⋅=⨯⨯⨯=，故选B ．19．【答案】B ．【解析】根据题意，符合几何概型的条件，因此将概率转化为长度的比，那么长度小于0.4米的概率是20.40.81⨯=，故选B ． 20．【答案】B ．【解析】因为cos ,OA OB OA OB OA OB ⋅=⋅〈〉u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以要使OA OB ⋅u u u r u u u r的值第一次达到最小时， 对应的夹角cos ,180OA OB 〈〉=︒u u u r u u u r，因为时针一分钟转的角度为：13600.51260⨯︒=︒⨯，分针一分钟旋转的角度为：1360660⨯︒=︒， 经过m 分钟后，有60.5180m m -=， 即5.5180m =，解得36011m =，故选B ． 第二部分 非选择题（共40分）二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 21．【答案】2．【解析】根据指数与对数的运算法则，131()log 12022-+=+=，故答案为：2．22．【答案】2．【解析】由题知，圆心()1,1C -，因此圆心C 到坐标原点O 的距离2d =，故答案为：2． 23．【答案】31．【解析】第一次循环，当1i =时，1123S =+=；第二次循环，当2i =时，2327S =+=； 第三次循环，当3i =时，37215S =+=； 第四次循环，当4i =时，415231S =+=；当5i =时，循环结束，输出S 的值为31，故答案为31．24．【答案】9．【解析】根据等差数列的通项公式()11n a a n d =+-，且各项均为正整数，即()11511535n d -==⨯=⨯，只有当13n -=，5d =或15n -=，3d = 解得4n =，5d =或6n =，3d =，n d +有最小值9，故答案为：9．三、解答题（共4个小题，共28分）25．证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于O ，连接OE ，因为ABCD 是正方形，所以O 为AC 的中点， 因为E 是棱1CC 的中点，所以1//AC OE ． 又因为1AC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， 所以1//AC 平面BDE ．（Ⅱ）因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥因为1CC ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以1CC BD ⊥． 又因为1CC AC C =I ， 所以BD ⊥平面1ACC ． 又因为1AC ⊂平面1ACC ， 所以1AC BD ⊥．26．解：（Ⅰ）因为在单位圆中，B 点的纵坐标为35，所以3sin 5β=，因为2πβπ<<， 所以4cos 5β=-，所以sin 3tan cos 4βββ==-．（Ⅱ）因为在单位圆中，A 点的纵坐标为513，所以5sin 13α=． 因为02πα<<，所以12cos 13α=． 由（Ⅰ）得3sin 5β=，4cos 5β=-， 所以56sin sin()sin cos cos sin 65AOB βαβαβα∠=-=-=． 又因为1OA =，1OB =， 所以AOB △的面积128||||sin 265S OA OB AOB =⋅∠=． 27．解：（Ⅰ）由已知，直线l 的方程为y x m =+，圆心()0,0到l因为6AB =，所以2259m -=，解得22m =．由0m >，得m =（Ⅱ）设()11,A x y ，直线l ：()y k x m =+，则点()0,P km ．因为||2||PA PM =u u u r u u u u r ，所以2PA PM =u u u r u u u u r 或2PA PM =-u u u r u u u u r，①当2PA PM =u u u r u u u u r时，11(,)2(,)x y km m km -=--，所以12x m =-，1y km =-．由方程组222111152x y m x m y km ⎧+=⎪=-⎨⎪=-⎩，得1k =±．②当2PA PM =-u u u r u u u u r时，11(,)2(,)x y km m km -=---，所以12x m =，13y km =．由方程组2221111523x y m x m y km⎧+=⎪=⎨⎪=⎩得13k =±．综上，直线l 的斜率为1±，13±．28． 解：（Ⅰ）因为()f x 的一个零点为2，所以(2)0f =，即420a b c ++=．又因为对任意x 都有(1)(1)f x f x +=-，所以(0)(2)0f f ==，即0c =．因为()f x 的最大值为1，所以2414ac b a-=，所以1,2a b =-=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，2()2f x x x =-+．因为0x B ∈，所以2000()2g x x x =-+． 因为001x <<，所以00()1x g x <<．因为()g x 是单调递增函数，所以2000[,2]x x x B -+⊆． 记21002(0,1)x x x =-+∈，22112x x x =-+，…，2112n n n x x x --=-+，…所以01[,]x x B ⊆． 同理12[,]x x B ⊆，…，1[,]n n x x B -⊆，…由2112n n n x x x --=-+，得22111112(1)n n n n x x x x ----=+-=-．所以22221201(1)(1)(1)nn n n x x x x ---=-=-==-L 由于01x x '<<，可取自然数02(1)log log 1x x n x '-'-≥（）， 于是x n x x ''≤，即0[,]x n x x x '∈． 而且0[,]x n x x x B '∈⊆，所以x B '⊆．。

2013——2014学年度第二学期期中练习高 二 数 学（理） 试 卷姓名 班级 学号 成绩一．选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. i 是虚数单位，52ii =-（ ） A 。

12i + B. 12i -+C.12i -- D 。

12i -2. 由直线1,2,0x x y ===与抛物线2y x =所围成的曲边梯形的面积为( ）A ．13B ．53C ．73D ．1133.8(2)x y - 的展开式中62x y 项的系数是( ）A ．56B ．56-C ．28D ．28-4。

若曲线()2ln f x ax x =-在点()1,M a 处的切线平行于x 轴,则a 的值为（ )A ．2-B ．2C ．12- D ．125. 22(1cos )x dx ππ-+⎰等于 ( ）A ．πB 。

2 C. 2π- D 。

2π+6。

5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 （ ) A ．80 B ．80- C ．40 D ．40-7。

6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序 共有 （ ）A.240种 B 。

360种 C 。

480种 D 。

720种8。

下列命题中，假命题为（ ）A. 存在四边相等的四边形不是正方形 B 。

设12,z zC ∈，则12z z +为实数的充要条件是12,z z 互为共轭复数C 。

若,x y R ∈,且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1 D. 对于任意n N *∈，012nn n n nCC C C ++++都是偶数 9．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( )A ．324B ．328C ．360D ．648 10。

函数()241xf x x =+()x R ∈ ( )A ．既有最大值2 ,又有最小值2-B ．无最大值,但有最小值2-C ．有最大值2 ,但无最小值D ．既无最大值，又无最小值二．填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.将答案填在题中横线上）11. 如果复数()()2i 1i z m m =++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________．12。

海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）2014.01一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）抛物线22y x =的准线方程是 ( ) （A ） 12x =（B ）12y = （C ）12x =- （D ）12y =-（2）若直线10x ay ++=与直线20x y ++=平行，则实数a = ( )（A ）12-（B ）2- （C ）12 （D ）2（3）在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点. 设OA = a , OB = b ，OC =c ，那么向量AP用基底{,,}a b c 可表示为（ ）（A ）111222-+a +b c（B ）1122-+a +b c （C ）1122+a +b c（D ）111222+a +b c（4）已知直线l ，平面α.则“l α^”是“$直线m αÌ，l m ^”的 （ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）若方程22(2)1mx m y +-=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）(1,)+∞ （B ）(0,2)（C ）(1,2)（D ）(0,1)（6）已知命题:p 椭圆的离心率(0,1)e ∈，命题:q 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线，那么 （ ）（A ）p q ∧是真命题 （B ）()p q ∧⌝是真命题 （C ）()p q ⌝∨是真命题 （D ）p q ∨是假命题（7）若焦距为4的双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的实轴长为 （ ） （A ）（B ） 4 （C ）（D ） 2（8）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．则下列命题中假命题．．．是 （ ） OABCP F ED 1C 1B 1A 1DCBA（A ）存在点E ，使得11A C //平面1BED F （B ）存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F （C ）对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F （D ）对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）在空间直角坐标系中，已知(2,1,3)=-a ，(4,2,)x =-b .若^a b ，则x = . （10）过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线方程是 .（11）已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点. 若OPF ∆是等腰三角形，则PO = .（12）已知点12,F F 是双曲线C 的两个焦点，过点2F 的直线交双曲线C 的一支于,A B 两点，若1ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为 .（13）如图所示，已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11A D 上的一个动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值是 .（14）曲线C 是平面内与定点(2,0)F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹.给出下列四个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于x 轴对称； ③曲线C 与y 轴有3个交点；④若点M 在曲线C 上，则MF的最小值为1). 其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点 (4 0)A ，，动点M 在y 轴上的正射影为点N ，且满足直线MO NA ⊥. （Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）当π6MOA ∠=时，求直线NA 的方程.1A(16)（本小题共11分）已知椭圆C ：22312x y +=，直线20x y --=交椭圆C 于,A B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的焦点坐标及长轴长； （Ⅱ）求以线段AB 为直径的圆的方程.(17)（本小题共11分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB BC ⊥，PD DC ⊥，且PC =（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；（Ⅲ）棱PD 上是否存在一点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30 ？若存在，求PE 的长；若不存在，请说明理由．(18)（本小题共12分）已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>经过如下五个点中的三个点：1(1,)2P --，2(0,1)P，31(,22P，4P ，5(1,1)P . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆M 的左顶点，, B C 为椭圆M 上不同于点A 的两点，若原点在ABC ∆的外部，且ABC ∆为直角三角形，求ABC ∆面积的最大值.AB CDP海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2014．01 一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（9）103（10）10y-=（11）32或1（12（13（14）①②④注：（11）题少一个答案扣2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设(,)M x y，则(0,)N y，(,)OM x y=，(4,)NA y=-.……………………2分因为直线MO NA⊥，所以240OM NA x y⋅=-=，即24y x=. ………………………4分所以动点M的轨迹C的方程为24y x=（0x≠）. ………………………5分（Ⅱ）当π6MOA∠=时，因为MO NA⊥，所以π3NAO∠=.所以直线AN的倾斜角为π3或2π3.当直线AN的倾斜角为π3时，直线NAy--=；……………8分当直线AN的倾斜角为2π3时，直线NA0y+-=.…………10分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）原方程等价于221412x y+=.由方程可知：212a=，24b=，2228c a b=-=，c=……………………3分所以椭圆C的焦点坐标为(0,，(0,-，长轴长2a为……………5分（Ⅱ）由2231220x yx y⎧+=⎨--=⎩，，可得:220x x--=.解得：2x=或1x=-.所以 点,A B 的坐标分别为(2,0)，(1,3)--. ………………………7分 所以 ,A B 中点坐标为13(,)22-，||AB ==……………9分所以 以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为13(,)22-，半径为2. 所以 以线段AB 为直径的圆的方程为22139()()222x y -++=. …………………11分 （17）（本小题满分11分）（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，CD AD ⊥.因为CD PD ⊥，AD PD D = ，所以 CD ⊥平面PAD ． ………………………1分 因为 PA ⊂平面PAD ，所以 CD PA ⊥． ………………………2分 同理，BC PA ⊥． 因为 BC CD C = ，所以 PA ⊥平面ABCD ． ………………………3分 （Ⅱ）解：连接AC ，由（Ⅰ）知PA ⊥平面ABCD ．因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 PA AC ⊥． ………………………4分 因为PC =AC =，所以 1PA =．分别以AD ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意可得：(0,1,0)B ，(1,0,0)D ，(1,1,0)C ，(0,0,1)P ．所以 (0,1,0)DC = ，(1,0,1)DP =- ，(1,1,0)BD =- ，(0,1,1)BP =-．设平面PDC 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DC DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即0,0.y x z =⎧⎨-+=⎩令1x =，得1z =. 所以 (1,0,1)=n ． 同理可求：平面PDB 的一个法向量(1,1,1)=m ． ………………………6分所以cos ,⋅<>===n m n m |n ||m |．所以 二面角B PD C --………………………8分 （Ⅲ）存在．理由如下：若棱PD 上存在点E 满足条件，设(,0,)PE PD λλλ==-，[0,1]λ∈．所以 (1,1,1)(,0,)(1,1,1)EC PC PE λλλλ=-=---=--．…………………9分因为 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)AP =．所以|cos ,|EC APEC AP EC AP⋅<>==令1sin 30,2==解得：1λ=经检验1[0,1]2λ=-∈． 所以 棱PD 上存在点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30 ，此时PE 的长为1． ………………………11分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由22222222222222221222(1)1112a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+<+=+<+知，31(,)22P 和5(1,1)P 不在椭圆M 上，即椭圆M经过1(1,2P --，2(0,1)P，4(1,2P . 于是222,1a b ==.所以 椭圆M 的方程为：2212x y +=. ………………………2分 （Ⅱ）①当90A ∠=︒时，设直线:BC x ty m =+，由2222,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得222(2)2(2)0t y tmy m +++-=.设1122(,),(,)B x y C x y ，则2216880m t ∆=-+>，12221222,22. 2tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以AB AC k k ===1==-.于是3m =-，此时21616809t ∆=-+>，所以直线:3BC x ty =-.因为12216902y y t =-<+，故线段BC 与x轴相交于(3M -，即原点在线段AM 的延长线上，即原点在ABC ∆的外部，符合题设. ………………………6分所以12121||||||23ABC S AM y y y y ∆=⋅-=-====89.当0t =时取到最大值89. ………………………9分 ②当90A ∠≠︒时，不妨设90B ∠=︒.设直线:0)AB x ty t =≠，由2222,x y x ty ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得22(2)0t y +-=.所以 0y =或y =.所以B ，由AB BC ⊥，可得直线:BC y tx =-+.由223222,,2x y y tx t ⎧+=⎪⎨=-+⎪+⎩得22222328(1)(2)(21)02t t t t y y t +++--=+.所以 222228(1)0(2)(21)B C t t y y t t +=-<++. 所以 线段BC 与x轴相交于22(,0)2N t +. 显然原点在线段AN 上，即原点在ABC ∆的内部，不符合题设. 综上所述，所求的ABC ∆面积的最大值为89. ……………………12分 注：对于其它正确解法，相应给分.。

北京101中学2013-2014学年度上学期高二年级期末考试数学试卷一、选择题：本大题单选，共8小题,每小题5分，共40分。

1. 下列说法正确的是（ ） A. 由归纳推理得到的结论一定正确 B. 由类比推理得到的结论一定正确 C. 由合情推理得到的结论一定正确D. 在演绎推理和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确 2. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=（ ） A. i +-1 B. i +1 C. i -1 D. i --1 3. 已知命题：06,:2<-+∈∃x x R x p ，则命题p ⌝是（ ）A. 06,2≥-+∈∃x x R x B. 06,2>-+∈∃x x R x C. 06,2≥-+∈∀x x R x D. 06,2≥-+∈∀x x R x 4. 若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是（ ）A.3-B. 13- C. 3 D.135. 函数221ln )(x x x f -=的图象大致是（ ）A. B. C. D.6. 曲线12++=x xe y x在点()()00f ,处的切线方程为（ ）A. 13+=x yB. 13+-=x yC. 22+=x yD.22+-=x y7. 曲线1||:,12:2221+==-x y C y x C ，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与曲线21,C C 都有公共点，则点P 的坐标可能是（ ）A. )0,0(B. )2,0(-C. )21,0( D. )1,0(-8. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点)0)(0,(>-c c F ，作圆：2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2014年春季普通高中会考英语试卷一、听力理解（共20小题，20分）第一节：听下面八段对话或独白，从各题A、B、C三个选项中，选出能回答问题的最佳答案。

每段对话或独白你将听两遍.听下面一段对话，回答第1题。

1. Where does the conversation probably take place？A。

At a library。

B. At a cinema。

C。

At a railway station.听下面一段对话,回答第2题。

2. What does the man want to do？A。

To make an invitation。

B. To have lunch。

C。

To pay bills。

听下面一段对话，回答第3题.3. What’s the man going to do in the summer vacation?A. To visit places of interest.B. To read some books. C。

To teach English。

听下面一段对话，回答第4题至第6题。

4。

Where did the woman go yesterday？A. A watch shop.B. A police station.C。

A movie theater。

5. What does the woman want to do？A。

To book movie tickets. B。

To find what she lost.C。

To buy a watch。

6。

Which watch belongs to the woman?A。

B. C. 听下面一段对话，回答第7题至第8题。

7. What’re the speakers talking about？A。

Their travel plan. B。

Their favorite food. C. Their final papers。

2013-2014学年北京市重点中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=2．（4分）设点P（x，y），则“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（4分）若命题“（￢p）∨（￢q）”是假命题，则在下列各结论中，正确的为（）①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题．A．①③B．②④C．②③D．①④4．（4分）下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=25．（4分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1 B．2 C．4 D．86．（4分）圆与圆的位置关系是（）A．相交B．外切C．内切D．相离7．（4分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）A．2 B．C．3 D．28．（4分）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的表面积为（）A．144 B．124 C．104 D．849．（4分）设a＞b＞0，k＞0且k≠1，则椭圆和椭圆具有相同的（）A．顶点B．焦点C．离心率D．长轴和短轴10．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1 B．C．2 D．311．（4分）若椭圆mx2+ny2=1与直线x+y﹣1=0交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则=（）A．B．C．D．12．（4分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.把答案填在题中横线上）13．（4分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是．14．（4分）已知直线l：y=kx+1与抛物线C：y2=x，则“k≠0”是“直线l与抛物线C 有两个不同交点”的条件．15．（4分）过原点的直线与圆C：x2+y2﹣4y+3=0相切，若切点在第二象限，则该直线方程为．16．（4分）若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点P（3，0），且长轴长是短轴长的3倍，则其标准方程为．17．（4分）若抛物线C：y2=x上一点P到A（3，﹣1）的距离与到焦点F的距离之和最小，则点P的坐标为．18．（4分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是．19．（4分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），=．20．（4分）已知是圆为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为．三、解答题（本大题共2个小题，每小题10分.共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（10分）已知两个定点O（0，0），A（3，0），动点M满足，记动点M的轨迹为C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求直线l：x+y+2=0被C截得的弦长．22．（10分）如图，F1、F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a，b 的值．2013-2014学年北京市重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选：C．2．（4分）设点P（x，y），则“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵x=2且y=﹣1”可以得到“点P在直线l：x+y﹣1=0上”，当“点P在直线l：x+y﹣1=0上”时，不一定得到x=2且y=﹣1，∴“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的充分不必要条件，故选：A．3．（4分）若命题“（￢p）∨（￢q）”是假命题，则在下列各结论中，正确的为（）①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题．A．①③B．②④C．②③D．①④【解答】解：∵命题“（￢p）∨（￢q）”是假命题，∴￢p和￢q都是假命题，∴p和q都是真命题，故“p且q”和“p或q”都是真命题故选：A．4．（4分）下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0 C．∃x∈R，lgx＜1 D．∃x∈R，tanx=2【解答】解：∵指数函数y=2t的值域为（0，+∞）∴任意x∈R，均可得到2x﹣1＞0成立，故A项正确；∵当x∈N*时，x﹣1∈N，可得（x﹣1）2≥0，当且仅当x=1时等号∴存在x∈N*，使（x﹣1）2＞0不成立，故B项不正确；∵当x=1时，lgx=0＜1∴存在x∈R，使得lgx＜1成立，故C项正确；∵正切函数y=tanx的值域为R∴存在锐角x，使得tanx=2成立，故D项正确综上所述，只有B项是假命题故选：B．5．（4分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：由y2=2px=8x，知p=4，又焦点到准线的距离就是p．故选：C．6．（4分）圆与圆的位置关系是（）A．相交B．外切C．内切D．相离【解答】解：∵圆C1的方程为x2+y2+6x﹣4y+9=0，∴化成标准方程得（x+3）2+（y﹣2）2=4，可得圆心C1（﹣3，2），半径r1=2．同理可得圆C2的圆心为C2（3，﹣6），半径r2=8．∵两圆圆心之间的距离|C1C2|==10．∴由r1+r2=10，可得|C1C2|=r1+r2．因此两圆相外切．故选：B．7．（4分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）A．2 B．C．3 D．2【解答】解：由题得：其焦点坐标为（±4，0）．渐近线方程为y=±x所以焦点到其渐近线的距离d==2．故选：D．8．（4分）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的表面积为（）A．144 B．124 C．104 D．84【解答】解：如图，此几何体是正四棱锥，其底面边长为8，侧面的斜高为5，从而表面积为底面面积加四个侧面面积，S=8×8+4××8×5=144．故选：A．9．（4分）设a＞b＞0，k＞0且k≠1，则椭圆和椭圆具有相同的（）A．顶点B．焦点C．离心率D．长轴和短轴【解答】解：∵椭圆中，长半轴为a，短半轴为b，∴椭圆C1的半焦距c=，可得椭圆C1的离心率e1==；将椭圆化成标准形式，得，∴k＞0，得椭圆C2的离心率e2==．因此e 1=e2，即椭圆C1与椭圆C2的离心率相同．当a、b保持不变时椭圆C1的顶点、焦点、长轴和短轴保持不变，而随着k的变化椭圆C2的顶点、焦点、长轴和短轴都在变化．因此，两个椭圆不一定有相同的顶点、焦点、和长短轴．故选：C．10．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1 B．C．2 D．3【解答】解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=±x又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以，∴则，A，B两点的纵坐标分别是y=±=，又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴，得p=2．故选：C．11．（4分）若椭圆mx2+ny2=1与直线x+y﹣1=0交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则=（）A．B．C．D．【解答】解：由直线x+y﹣1=0，可得y=﹣x+1代入mx2+ny2=1得：（m+n）x2﹣2nx+n ﹣1=0设A、B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），则有：x1+x2=，y1+y2=1﹣x1+1﹣x2=2﹣（x1+x2）=∴M的坐标为：（，），∴0M的斜率k==故选：B．12．（4分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：法1．由双曲线方程得a=1，b=1，c=，由余弦定理得cos∠F1PF2=∴|PF1|•|PF2|=4．法2；由焦点三角形面积公式得：∴|PF1|•|PF2|=4；故选：B．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.把答案填在题中横线上）13．（4分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．14．（4分）已知直线l：y=kx+1与抛物线C：y2=x，则“k≠0”是“直线l与抛物线C 有两个不同交点”的必要而不充分条件条件．【解答】解：∵直线l与抛物线C有两个不同交点，∴方程组有两组不同的实数解，即方程k2x2+（2k﹣1）x+1=0有两个不同的实根且k≠0，∴“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的必要不充分条件．故答案为：必要而不充分条件．15．（4分）过原点的直线与圆C：x2+y2﹣4y+3=0相切，若切点在第二象限，则该直线方程为．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4y+3=0化为圆x2+（y﹣2）2=1，圆的圆心坐标（0，2），半径为1，如图：设直线方程为y=kx，即kx﹣y=0，∴，∴k=．因为切点在第二象限，∴k=．所求直线方程为．故答案为：16．（4分）若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点P（3，0），且长轴长是短轴长的3倍，则其标准方程为或．【解答】解：①当椭圆的焦点在x轴上时，设方程为（a＞b＞0）．∵椭圆过点P（3，0），∴a=3，∵长轴长是短轴长的3倍，∴2a=3•2b，可得b==1，此时椭圆的方程为；②当椭圆的焦点在y轴上时，设方程为（a＞b＞0）．∵椭圆过点P（3，0），∴b=3，∵长轴长是短轴长的3倍，∴2a=3•2b，可得a=3b=9，此时椭圆的方程为．综上所述，椭圆的标准方程为或．17．（4分）若抛物线C：y2=x上一点P到A（3，﹣1）的距离与到焦点F的距离之和最小，则点P的坐标为（1，﹣1）．【解答】解：作出抛物线的准线l，设P在l上的射影点为Q，连结PQ，根据抛物线的定义，得|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|，运动点P，可得当A、P、Q三点共线时，|PA|+|PQ|=|AQ|达到最小值．∴当|PA|+|PF|取最小值时，直线PA与准线l垂直，可设P的坐标为（x0，﹣1），代入抛物线方程得（﹣1）2=x0，此时的点P坐标为（1，﹣1），即点P到A的距离与P到焦点F的距离之和最小时，点P的坐标为（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）18．（4分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是8﹣π．【解答】解：由题意知，根据三视图可知，几何体是一个正方体挖去一个圆锥得到的，要求的几何体的体积是由正方体的体积减去圆锥的体积，正方体的体积是23=8，圆锥的体积是×πR2•h=，∴要求的几何体的体积是8﹣，故答案为：8﹣π．19．（4分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），=3．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，又，可得，则，故答案为：3．20．（4分）已知是圆为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为．【解答】解：依题意可知|BP|+|PF|=2，|PB|=|PA|∴|AP|+|PF|=2根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，a=1，c=，则有b=故点P的轨迹方程为故答案为三、解答题（本大题共2个小题，每小题10分.共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（10分）已知两个定点O（0，0），A（3，0），动点M满足，记动点M的轨迹为C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求直线l：x+y+2=0被C截得的弦长．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由，得，化简得x2+y2+2x﹣3=0，∴动点M的轨迹C的方程为x2+y2+2x﹣3=0；（Ⅱ）由x2+y2+2x﹣3=0，即（x+1）2+y2=4，∴C是以（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆．圆心（﹣1，0）到直线l：x+y+2=0的距离，∴弦长为．22．（10分）如图，F1、F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a，b 的值．【解答】解：（Ⅰ）∠F1AF2=60°⇔a=2c⇔e==．（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2﹣2|BF2||F1F2|cos120°⇔（2a﹣m）2=m2+a2+am．⇔m=．△AF1B面积S=|BA||F1A|sin60°⇔=40⇔a=10，∴c=5，b=5．。

北京101中学2013-2014学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题单选，共8小题，每小题5分，共40分。

1. 已知命题2:,3,p x x ∃∈>R 下列各选项中对命题p 的理解不正确的是（ ） A. 有一个x ∈R ，使得 23x > B. 对有些x ∈R ，使得23x > C. 任选一个x ∈R ，都有23x > D. 至少有一个x ∈R ，使得23x > 2. 过点(1,3)-且与直线230x y -+=平行的直线方程是（ ）A. 250x y --=B. 270x y -+=C. 210x y +-=D. 250x y +-= 3. “a b =”是“直线2y x =+与圆22()()2x a y b -+-=相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知椭圆2214x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2||PF 等于（ ）12 D. 725. 已知椭圆方程为2223(0)x y m m +=>，则该椭圆的离心率为（ ）A.1312 6. 过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为（ ）A. 230x y +-=B. 230x y --=C. 430x y --=D. 430x y +-=7. 给出三条曲线①30,x y ++=②229,2x y +=③22154x y +=，其中与直线30x y -+=仅有一个公共点的曲线有（ ）A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条8. 已知1l 和2l 是平面内相互垂直的两条定直线，它们的交点为A ，动点,B C 分别在直线1l 和2l 上，且||BC =,,A B C 三点的动圆所形成的区域的面积是（ ）A. 6πB. 8πC. 16πD. 18π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京101中学2013－2014学年度下学期高二年级自主会考数学试卷本试卷共分为两部分，第一部分选择题，20个小题（共60分）；第二部分非选择题，二道大题（共40分）。

第一部分 选择题（每小题3分，共60分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。

1. 已知集合{|20}A x x =+=，2{|40}B x x =-=，则AB ＝A. {2}B. {2}-C. {2,2}-D. ∅ 2. 如果0x >，那么91x x++的最小值为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 不等式260x x --<的解集为 A.{|32}x x -<< B. {|3x x <-或2}x >C. {|23}x x -<<D.{|2x x <-或3}x >4. 已知点(43)P -，是角α终边上的一点，那么sin cos αα+的值为A. 75- B. 15- C. 75 D.155. 若过点(1)A m -，和点(2)B m ，的直线与直线210x y ++=平行，则实数m 的值等于A. 0B. 1C. 5D. 4- 6. 若在等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为A. 1B. 2C. 3D. 47. 函数2()(sin cos )f x x x =+的最小正周期为 A.4πB.2πC. πD. 2π8. 从12345 ，，，，中任意取出两个不同的数，这两个数的和为5的概率是 A.110 B. 310 C. 25D. 15 9. 执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 的值为A. 2B. 3C. 4D. 5 10. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是A. lg y x =B.y x = C. cos y x = D. sin y x =11. 已知函数20()10x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，，，．若()(1)0f a f +=，则实数a 的值等于A. 3-B. 1-C. 1D. 312. 已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(10)A -，，(12)B ，，(0)C c ，，且AB BC ⊥，那么c 的值是A. 1-B. 3-C. 1D. 3 13. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为A.6+ B.6+ C.8+D. 8+14. 当x y ，满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，，时，目标函数23z x y =-的最小值是A. 7-B. 6-C. 5-D. 3- 15. 在边长为2 的正方形ABCD 内部任取一点M ，则90AMB ∠>的概率为 A.14 B. 8π C. 12 D. 4π 16. 在∆ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若12a b B A ===，，则c =A.B.C. 2D. 117. 方程lg 82x x =-的根(1)x k k ∈+，，∈k Z ，则k 等于A. 2B. 3C. 4D. 5 18. 今有一组实验数据如下：A. 2log y x =B.12log y x = C. 212x y -= D. 22y x =-19. 下列命题中，假命题．．．是A. 如果平面α内的一条直线l 垂直于平面β内的任一直线，那么αβ⊥B. 如果平面α内的任一直线平行于平面β，那么α∥βC. 如果平面α⊥平面β，任取直线l α⊂，那么必有l β⊥D. 如果平面α∥平面β，任取直线l α⊂，那么必有l ∥β20. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若2AB AF ⋅=则AE BF ⋅的值是A. B. C. D.第二部分 非选择题（共40分）一、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 21. 计算sin77cos47cos77sin47︒︒-︒︒= ．22. 为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示（如图）。

北京101中学2013-2014学年度下学期高一年级自主会考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，共40分。

1. 等差数列{}n a 中, 2343,9,a a a =+= 则16a a 的值为（ ） A. 14B. 18C. 21D. 272. 一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条（ ） A. 相交 B. 异面 C. 相交或异面D. 平行3. 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且10a >。

若232S a >，则q 的取值范围是（ ）A. 1(1,0)(0,)2-B. 1(,0)(0,1)2- C. 1(,1)(,)2-∞-+∞ D. 1(,)(1,)2-∞-+∞4. 不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 35. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A. 8－2π3B. 8－π3C. 8－2πD. 2π36. 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（ ）A. 110B. 310C. 35D. 9107. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为－4，则输出y 的值为（ ）A. 0.5B. 1C. 2D. 48. 在空间四边形ABCD 中，AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，且△BCD 是锐角三角形，那么必有（ ） A. 平面ABD ⊥平面ADC B. 平面ABD ⊥平面ABC C. 平面ADC ⊥平面BCDD. 平面ABC ⊥平面BCD二、填空题：本大题共6小题，共30分。

9. 某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n ＝__________。

10. 已知数列{}n a 是等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则5a 的值为____。

东城区2013—2014学年度第一学期期末教学统一检测高二数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设命题p ：2,2014x x ∃∈<R ，则p ⌝为（ ）A ．2,2014x x ∀∈≥RB ．2,2014x x ∀∈<R C ．2,2014x x ∃∈≥R D ．2,2014x x ∃∈>R 2．直线2360x y --=在y 轴上的截距为（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-3．双曲线22122x y -=的渐近线方程为（ ）A ．4y x =±B ． 2y x =±C ．y =D ．y x =±4．如图，函数)(x f y =在A ，B 两点间的平均变化率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 5. 设点),,(c b a P 关于原点的对称点为P '，则P P '等于（ ） A ．2222c b a ++ B ．222c b a ++C ．c b a ++D ．c b a ++26．若图中直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则 ( )A ．1k <2k <3kB ．1k <3k <2kC ．3k <2k <1kD ．3k <1k < 2k7．已知P 为椭圆221169x y +=上的一点，1B ，2B 分别为椭圆的上、下顶点，若△12PB B 的面积为6，则满足条件的点P 的个数为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．68. “b a =”是“直线2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知l 表示空间一条直线， α，β表示空间两个不重合的平面，有以下三个语句：①l α⊥；②l ∥β；③βα⊥.以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，可以得到三个命题，其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．若圆022=++++F Ey Dx y x 关于直线04:1=+-y x l 和直线03;2=+y x l 都对称，则E D +的值为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4 11．若函数x ax x f ln )(-=在),21(+∞内单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．),2[+∞ B ．]2,(-∞C ．]0,(-∞D ． ]0,(-∞),2[+∞12. 抛物线24y x =的准线与双曲线 2221(0)x y a a-=>交于,A B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A．65 C二、填空题：本大题共6小题,每小题3分,共18分.将答案填在题中横线上.13．曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的斜率为 . 14．若直线(+1)2x m y m +=-与直线28mx y +=-互相垂直，则m 的值为 ．15．已知1F ，2F 是椭圆22121x y k k +=++的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若△2ABF 的周长为8，则k 的值为 .16．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个 全等的等腰直角三角形，则这个几何体的体积为 ．17．若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于P ，Q 两点，且120POQ ∠=(其中O 为原点)，则k 的值为 ．18．已知椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的离心率相同，且12a a >.给出如下三个结论： ①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b =； ③22221212a a b b -<-. 其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共4小题,共34分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（本题满分8分）如图，矩形ABCD 所在的平面与正方形ADPQ 所在的平面相互垂直， E 是QD 的中点. （I ）求证：QB ∥平面AEC ; （II ）求证：平面QDC ⊥平面AEC ．20. （本题满分8分）已知圆M 的圆心在直线240x y -+=上，且与x 轴交于两点(5,0)A -,(1,0)B . （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）求过点C (1,2)的圆M 的切线方程.21. （本题满分9分）已知函数32()2f x x ax bx c =-++.（Ⅰ）当0c =时，()f x 的图象在点(1,3)处的切线平行于直线2y x =+，求,a b 的值；（Ⅱ）当3,92a b ==-时，()f x 在点,A B 处有极值，O 为坐标原点，若,,A B O 三点共线，求c 的值. 22．（本题满分9分）已知曲线C ：22123x y m m+=+-()R m ∈． （Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）设2m =，过点(0, 4)D 的直线l 与曲线C 交于M ,N 两点，O 为坐标原点，若OMN ∠为直角，求直线l 的斜率．东城区2013—2014学年度第一学期期末教学统一检测高二数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．1．A 2． C 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．A 9．B 10．D 11．A 12．D 二、填空题：本大题共6小题,每小题3分,共18分. 13.1 14. 23-15. 2 16．64317．． ①② 三、解答题：本大题共4个小题，共34分. 19．（本题满分8分）解:（I ）连接BD 交AC 于O ,连接EO ．在三角形BDQ 中，E ，O 分别为QD 和BD 的中点， 所以EO ∥QB ． ………………………2分 又EO ⊂平面AEC ，QB ⊄平面AEC ，所以QB ∥平面AEC ． ……………………… 4分（II ）因为矩形ABCD 所在的平面与正方形ADPQ 所在的平面相互垂直，平面ABCD平面ADPQ =AD ，CD ABCD ⊂平面，CD AD ⊥，所以CD ADPQ ⊥平面． 又AE ADPQ ⊂平面，所以CD AE ⊥． ………………………6分 又因为AD AQ =，E 是QD 的中点， 所以AE QD ⊥． 又QDCD D =，所以AE QDC ⊥平面． ………………………7分由AE AEC ⊂平面，所以平面QDC ⊥平面AEC ． ………………………8分20．（本题满分8分）解：（Ⅰ） 因为圆M 与x 轴交于两点(5,0)A -,(1,0)B ,所以圆心在直线 2x =-上．由2,240x x y =-⎧⎨+-=⎩得2,1.x y =-⎧⎨=⎩即圆心M 的坐标为（-2,1)．………………2分半径r ==所以圆M 的方程为22(2)1)10x y ++-=（. ………………4分（Ⅱ）由C 坐标可知点C 在圆M 上，由CM k =13，可知切线的斜率为3-．……6分 故过点C (1,2)的圆M 的切线方程为350x y +-=. ………………8分 21．（本题满分9分）解：（Ⅰ） 当0c =时，32()2f x x ax bx =-+.所以2'()34f x x ax b =-+. ………………2分依题意可得1=3f （）,(1)1f '=， 即341,123,a b a b -+=⎧⎨-+=⎩解得2,6.a b =⎧⎨=⎩…………………5分（Ⅱ）当3,92a b ==-时，32()39f x x x x c =--+. 所以2'()3693(3)(1)f x x x x x =--=-+. …………………7分 令()0f x '=，解得13x =，21x =-. 当x 变化时，'(),()f x f x 变化情况如下表：所以当1x =-时，()5f x c =+极大值；当3x =时，()27f x c =-+极小值. 不妨设(1,5),(3,27)A c B c -+-+. …………………8分 因为,,A B O 三点共线，所以OA OB k k =. 即5+2713c c-+=-，解得3c =. 故所求c 值为3. …………………9分 22．（本题满分9分）解：（Ⅰ）若曲线C ：22123x y m m+=+-是焦点在x 轴上的椭圆，则有230m m +>->，解得132m <<． -------------------3分 （Ⅱ）2m =时，曲线C 的方程为2214x y +=，C 为椭圆， 由题意知，点(0,4)D 的直线l 的斜率存在，所以设l 的方程为4y kx =+，由22144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得22(14)32600k x kx +++=. ------------------5分 222(32)240(14)64240k k k ∆=-+=-，当0∆>时，解得2154k >． 设, M N 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， 因为OMN ∠为直角，所以1OM k k ⋅=-，即111141y y x x -⋅=-， 整理得221114x y y =-． ① -----------------7分又221114x y +=,② 将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=， 解得123y =或12y =-（舍去），将12 3y=代入①，得1x=114ykx-==故所求k的值为分。

2014年北京市春季普通高中会考数 学 试 卷第一部分 选择题（每小题3分，共60分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合{}0,1,3A =，{}0,1,2B =，那么A B 等于A．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}3D ．{}0,1,2,32．如果0m >，那么4m m+的最小值为 A ．2B ．C ．4D ． 83．不等式2+0x x >的解集为A ．{}0x x >B ．{}1x x <-C ．{}10x x -<<D ．{}10x x x <->或4．已知点(3,4)A 是角α终边上的一点，那么sin α等于A ．43B ．43C ．53D ．455．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线的方程是A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．220x y +-=D ．210x y +-=6．在等比数列{}n a 中，24a =，38a =，那么1234a a a a +++等于A ．30B ．28C ．24D ．157．函数()2sin3cos3f x x x =⋅的最小正周期为A ．πB ．2π C ．3π D ．6π 8．盒子里装有大小完全相同且分别标有数字1,2,3,4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小 球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是 A ．16B ．13C ．12D ．239．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出n 的值是A ．13B ．40C ．121D ．36410．在函数e x y =，lg y x =，cos y x =, 1y x -=中，奇函数是A ． cos y x =B ． e xy =C ． lg y x =D ． 1y x -=11．已知函数2,0,()2,0.x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩如果0()4f x =，那么实数0x 的值为A ．2B ．0C ．2或2-D ．1或2-12．已知平面向量(1,2)=-a ，(2,)x =b ，且0⋅a b =，那么b 等于A ．B ．C ． 20D ． 513．已知某三棱锥的三视图如右图所示，那么该三棱锥的体积是A ．13 C ．32B ．1 D ．9214．当x ，y 满足条件20,0,240x y y x y ≥≥≤-⎧⎪⎨⎪+-⎩时，目标函数z x y =+的最大值是A ．3B ．2C ．1D ．015．在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P ,那么点P 到顶点A 的距离大于1的概率是A ．16π B ．116π-C ．4π D ．14π-16．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且1,60a b B ===︒，那么c 等于A ．1B ．2C ．3D ．417．函数()25ln f x x x =-+的零点所在的区间是A ．(1,2)B ．(2,3)C ．()3,4D ．()4,518．国际能源署研究发现，在2000年开始的未来三十年内，非水利的可再生能源的年发电量将比其它任何燃料的年发电量增长都要快，其年平均增长率可达6% .设2013年某地区非水利的可再生能源的年发电量为a 度，那么经过12年后，该地区非水利的可再生能源的A ．2aB ．3aC ．4aD ．6a19．设m ,n 是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，给出下列四个命题：① 如果m //α，α⊂n ，那么n m //； ② 如果βα⊥⊥m m ,，那么βα//； ③ 如果,,αβα⊥⊥m 那么β//m ；④ 如果,,αβαβm m n ^=^I ,那么β⊥n ． 其中正确的命题是 A ．①B ．②C ．③D ．④20．如图，在圆O 中，已知弦4AB =，弦6AC =，那么AO BC ⋅的值为A ．10 B．CD ． 10-第二部分 非选择题（共40分）一、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 21.计算cos 43cos13sin 43sin13︒︒+︒︒的值等于 .22. 校园歌手大奖赛中,甲、乙两组同学（每组5人）的成绩用茎叶图表示如下图所示．如果用s 甲，s 乙分别表示两组同学演唱成绩的标准差，那么s 甲 s 乙（填, , <>=）.23. 已知点A 的坐标为(2,1)，点B 的坐标为(3,3)，且2AC AB =，那么点C 的坐标为 .24.已知数列{}n a 满足11(1)2n n n a n a ++=--（n *∈N ）,且17a a =，那么1234a a a a ++++56a a += .二、解答题（共4个小题，共28分） 25.（本小题满分7分）已知函数()cos π)f x x x =-. （Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[,]22-上的最大值和最小值．4 2 6 4 9 18 8 9 99 8 7 甲乙26.（本小题满分7分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为棱AB AD , 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面11D CB ； （Ⅱ）求证：平面11C CAA ⊥平面11D CB ．27.（本小题满分7分）已知圆222:()C x a y r -+=与直线1y x =-交于A ，B 两点，点P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点．（Ⅰ）如果直线OP 的斜率为13，求实数a 的值；（Ⅱ）如果AB =，且OA OB ⊥，求圆C 的方程．28.（本小题满分7分）已知函数2()2f x x ax =--，且函数(2)f x +是偶函数． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设函数()y g x =，集合{()0}M x g x x =-=，{(())0}N x g g x x =-=．(ⅰ) 证明M N ⊆；(ⅱ) 如果()()g x f x =，集合{(())0,2}P x g g x x x ≤且=-=，那么集合P 中的元素个数为 ．2014年北京市春季普通高中会考数学试卷答案及评分参考[说明]1. 第一部分选择题，机读阅卷.2. 第二部分包括填空题和解答题.为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.第一部分 选择题 (共60分)选择题（每小题3分，共60分）第二部分 非选择题 (共40分)一、填空题（每小题3分，共12分）21.22. > 23. (4,5) 24. 1-二、解答题（共4个小题，共28分） 25.（本小题满分7分）已知函数()cos π)f x x x =-．（Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[,]22-上的最大值和最小值．（Ⅰ）解：π1()32f =+2=. …………………………3分 （Ⅱ）解：()cos f x x x =12(cos )2x x =+π2s i n ()6x =+. 因为 ππ[,]22x ∈-，所以 ππ2π363x ≤≤-+.所以 πsin()16x ≤+.从而 π2sin()26x ≤+.所以 当ππ62x +=，即π3x =时，()f x 的最大值为2；当ππ63x +=-，即π2x =-时，()f x 的最小值为 ……………7分26.（本小题满分7分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为棱AB AD , 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥平面11D CB ；（Ⅱ）求证：平面11C CAA ⊥平面11D CB ． （Ⅰ）证明：连结BD .在正方体1AC 中，11//D B BD . 因为 E ，F 分别为棱AD ，AB 的中点， 所以 BD EF //. 所以 11//D B EF .又因为 11B D ⊂平面11CB D ，⊄EF 平面11D CB ，所以 EF ∥平面11D CB . ……………3分 （Ⅱ）证明：在正方体1AC 中，1AA ⊥平面1111D C B A .又因为11B D ⊂平面1111D C B A ， 所以 1AA ⊥11D B .又在正方形1111D C B A 中，1111D B C A ⊥， 且1111AA AC A = ， 所以 11D B ⊥平面11C CAA . 又因为 11B D ⊂平面11D CB ，所以 平面11C CAA ⊥平面11D CB ． ………………7分 27.（本小题满分7分）已知圆222:()C x a y r -+=与直线1y x =-交于A ，B 两点，点P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点.（Ⅰ）如果直线OP 的斜率为13，求实数a 的值；（Ⅱ）如果AB =OA OB ⊥，求圆C 的方程. （Ⅰ）解：由已知，直线OP 的方程为13y x =，与1y x =-联立解得 31(,)22P . 由垂径定理可得 AB CP ⊥. 所以 1AB CP k k ⋅=-. 又因为 (,0)C a ,所以 121132a ⨯=--.解得 2a =. ……………………………………3分 （Ⅱ）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y .由方程组222(),1x a y r y x ⎧-+=⎨=-⎩得 22222(1)10x a x a r -++-+=.2284840r a a ∆=-+->.所以 1222121,1.2x x a a r x x +=+⎧⎪⎨-+⋅=⎪⎩因为AB ==11221,1,y x y x =-=-所以== ①又因为 OA OB ⊥，所以 12120x x y y +=，即1212(1)(1)0x x x x +--=.化简得 12122()1x x x x =+-. ② 将②代入①得=所以 2(1)2(1)80a a +-+-=. 解得 3a =或3a =-. 由②得 221a a r -+=.所以 当3a =时，27r =；当3a =-时，213r =.经检验，圆C 的方程为22(3)7x y -+=或22(+3)13x y +=. ………………7分 28.（本小题满分7分）已知函数2()2f x x ax =--，且函数(2)f x +是偶函数. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设函数()y g x =，集合{()0}M x g x x =-=，{(())0}N x g g x x =-=.(ⅰ) 证明M N ⊆；(ⅱ) 如果()()g x f x =，集合{(())0,2}P x g g x x x =-=且≤，那么集合P 中的元素个数为 . （Ⅰ）解：因为 函数(2)f x +是偶函数，所以 (2)(2)f x f x -+=+对任意的实数x 恒成立. 令2x =，得到(0)(4)f f =.因为2()2f x x ax =--，所以 (0)2f =-，(4)1642f a =--. 所以 21642a -=--. 解得：4a =.经检验，当4a =时，(2)(2)f x f x -+=+对任意的实数x 恒成立.所以 实数a 的值为4. ………………2分 （Ⅱ）(ⅰ) 证明：①当M =∅时，易得M N ⊆.②当M ≠∅时，对任意x M ∈，()0g x x -=，即()g x x =.所以 (())()g g x g x x ==，即(())0g g x x -=. 所以 x N ∈. 所以M N ⊆. 综上所述，M N ⊆.(ⅱ) 集合P 中的元素个数为 5 . ………………7分。

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高二数学 2014.1（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟题号一二三本卷总分1718 19 20 21 22分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．圆2221x y y ++=的半径为( ) A. 1B.C. 2D. 42．双曲线1922=-y x 的实轴长为( ) A. 4B. 3C. 2D. 13．若(,1,3)x =-a ，(2,,6)y =b ，且//a b ，则( ) A. 1,2x y ==- B. 1,2x y == C. 1,22x y ==- D. 1,2x y =-=-4．命题“x ∀∈R ,20x ≥”的否定为( ) A. x ∀∈R ，20x < B. x ∀∈R ，20x ≤ C. x ∃∈R ，20x ≥D. x ∃∈R ，20x <5． “n m =”是“方程122=+ny mx 表示圆”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6．关于直线,a b 以及平面,M N ,下列命题中正确的是( ) A. 若//a M ，//b M ，则//a b B. 若//a M ，b a ⊥，则b M ⊥ C. 若b M ⊂，且a b ⊥，则a M ⊥D. 若a M ⊥，//a N ，则M N ⊥7．已知12,F F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点， 8AB =，则22AF BF +=( ) A. 2B. 10C. 12D. 148．某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（ ） A. 8B. 6C. 4D.839．已知平面内两个定点(1,0),(1,0)A B -，过动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN BN =⋅，则动点M 的轨迹是（ ）A. 圆B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线10. 已知正方体1111D C B A ABCD -，点E ，F ，G 分别 是线段B B 1，AB 和1A C 上的动点，观察直线CE 与F D 1，CE 与1DG ．给出下列结论：①对于任意给定的点E ，存在点F ，使得1D F ⊥CE ； ②对于任意给定的点F ，存在点E ，使得⊥CE F D 1； ③对于任意给定的点E ，存在点G ，使得1D G ⊥CE ； ④对于任意给定的点G ，存在点E ，使得⊥CE 1D G ．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 11. 已知抛物线的准线为1-=x ，则其标准方程为_______.俯视图侧视图正视图F D A BC A 1B 1C 1D 1E G12. 命题“若x y >，则x y >”的否命题是：__________________.13. 双曲线221412x y -=的离心率为_______；渐近线方程为_______. 14. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为_______.15. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，ABCD 是边长为1的正方形，1D B 与平面ABCD 所成的角为45， 则棱1AA 的长为_______；二面角1B DD C --的 大小为_______. 16. 已知M 为椭圆22143x y +=上一点，N 为椭圆长轴上一点，O 为坐标原点. 给出下列结论：① 存在点,M N ，使得OMN ∆为等边三角形； ② ②不存在点,M N ，使得OMN ∆为等边三角形；③存在点,M N ，使得90OMN ∠=；④不存在点,M N ，使得90OMN ∠=. 其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 底面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 中点.（Ⅰ）求证：//MN 平面PAD ； （Ⅱ）求证：MN AB ⊥.18.（本小题满分13分）已知圆C 经过坐标原点O 和点(2,2)，且圆心在x 轴上.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点(1,2)，且l 与圆C 相交所得弦长为32，求直线l 的方程.ABCDNPMDABCA 1B 1C 1D 119.（本小题满分13分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AC CB CC ===，E 是AB 中点.（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A CE ；（Ⅱ）求直线11A C 与平面1A CE 所成角的正弦值.20.（本小题满分14分）如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，CD AB //，BC AB ⊥，ABE ∆为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，222AB CD BC ===，P 为CE 中点．（Ⅰ）求证：AB ⊥DE ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在ABE ∆内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平ABECDP·ABCA 1B 1C 1E面CDE ，如果存在，求PQ 的长；如果不存在，说明理由．21.（本小题满分13分）已知抛物线2:12C y x =，点(1,0)M -，过M 的直线l 交抛物线C于,A B 两点.（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标等于2，求直线l 的斜率； （Ⅱ）设点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：直线A B '过定点.22.（本小题满分14分）已知,,A B C 为椭圆22:22W x y +=上的三个点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若,A C 所在的直线方程为1y x =+，求AC 的长；（Ⅱ）设P 为线段OB 上一点，且3OB OP =，当AC 中点恰为点P 时，判断OAC ∆的面积是否为常数，并说明理由.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.B2.C3.A4.D5.B6.D7.C8.C9.D 10. B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. x y 42= 12. 若x y ≤，则x y ≤. 13. 2，y =14. π:2 15.45 16. ①④注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分；16题，仅选出①或④得3分；错选得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17. 证明：（Ⅰ）取PD 中点Q ，连结AQ,NQ .因为 N 是PC 中点， 所以 1//2NQ DC . ………………2分 又M 是AB 中点，1//2AM DC , 所以 //AM NQ ，四边形AQNM 是平行四边形. ………4分 所以 //MN AQ . ………………5分 因为 MN Ë平面PAD ，AQ Ì平面PAD ， 所以 //MN 平面PAD . ………………7分（Ⅱ）因为 PA ^平面ABCD ,所以 PA AB ^. ………………8分又 ABCD 是矩形，所以 AB AD ^. (9)ABCDNPM Q分所以 AB ^平面PAD , ………………10分 所以 AB AQ ^. ………………11分又 //AQ MN ,所以 AB MN ^. ………………13分18. 解：（Ⅰ）设圆C 的圆心坐标为(,0)a ，依题意，有a =， ………………2分即2248a a a =-+，解得2a =， ………………4分 所以圆C 的方程为22(2)4x y -+=. ………………6分 （Ⅱ）依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1， ………………8分所以直线1x =符合题意. ………………9分 另，设直线l 方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，1=， ………………11分解得34k =-， ………………12分 所以直线l 的方程为32(1)4y x -=--，即34110x y +-=. ………………13分综上，直线l 的方程为10x -=或34110x y +-=. 19.（Ⅰ）证明:因为111ABC A B C -是直三棱柱， 所以11CC AC ,CC BC ^^，又90ACB?o ，即AC BC ^. ………………2分 如图所示，建立空间直角坐标系C xyz -.(200)A ,,,1(022)B ,,,(110)E ,,,1(202)A ,,， 所以 1=(222)AB ,,-uuu r ，=(110)CE ,,u u r ， 1=(202)CA ,,uuu r. ………………4分又因为 10AB CE ?uuu r uu r ，110AB CA ?uuu r uuu r， ………………6分所以 1AB CE ^，11AB CA ^，1AB ^平面1A CE . ………………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，1=(222)AB ,,-uuu r是平面1A CE 的法向量， ………………9分11==(200)C A CA ,,uuu r uu r， ………………10分则 111111111cos C A AB C A ,AB C A AB×狁=uuu u r uuu ruuu u r uuu r uuu u r uuu r 3=. ………………12分 设直线11A C与平面1A CE 所成的角为q ， 则111sin =cos C A ,AB狁uuu u r uuu rq 3=. 所以直线11AC 与平面1A CE 所成角的正弦值为3. ………………13分 20. （Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结OD,OE ， ………………1分因为△ABE 是正三角形，所以AB OE ^. 因为 四边形ABCD 是直角梯形，12DC AB =，AB //CD ， 所以 四边形OBCD 是平行四边形，OD //BC ， 又 AB BC ^，所以 AB OD ^. 所以 AB ^平面ODE ，………………3分 所以 AB DE ^. ………………4分 （Ⅱ）解：因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB OE ^，所以OE ^平面ABCD ，所以 OE OD ⊥. ………………5分 如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系则 (100)A ,,，(100)B ,,-，(001)D ,,，(101)C ,,-，(00)E .所以 =(101)AD ,,-uuu r ,=(01)DE -u u u r， ………………6分设平面ADE 的法向量为1n 111=()x ,y ,z ，则1100DE ADìï?ïíï?ïïîuuu r uuu r n n 11110z x z ìï-=ïÛíï-+=ïî， ………………7分 令11z =，则11x =,13y =.所以1n =(11)3,. ………………8分 同理求得平面BCE 的法向量为2n =(10),-， ………………9分设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则cos θ1212×=n n n n 7=.所以平面ADE 与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为7. ………………10分 （Ⅲ）解：设22(0)Q x ,y ,，因为11()22P -，所以2211()22PQ x ,y =+--uu u r ，=(100)CD ,,uu u r,=(01)DE -uu u r . 依题意00PQ CD PQ DEìï?ïíï?ïïîuu u r uu u ruu u r uuu r ，，即22102102x ,y ,ìïï+=ïïïíïï-+=ïïïî………………11分 解得 212x =-，2y = ………………12分符合点Q 在三角形ABE 内的条件. ………………13分所以，存在点1(0)23Q ,-，使PQ ^平面CDE，此时3PQ =.…………14分 21.解：（Ⅰ）设过点(1,0)M -的直线方程为(1)y k x =+，由 2(1),12,y k x y x =+⎧⎨=⎩ 得2222(212)0k x k x k +-+=. ………………2分因为 20k ≠，且2242(212)4144480k k k ∆=--=->，所以，((0,3)k ∈. ………………3分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122122k x x k -+=，121x x =. ………………5分 因为线段AB 中点的横坐标等于2，所以2122622x x k k+-==， ………………6分解得k =符合题意. ………………7分 （Ⅱ）依题意11(,)A x y '-，直线212221:()y y A B y y x x x x +'-=--， ………………8分又 21112y x =，22212y x =，所以 222112()y x x y y y =-+-， ………………9分12212112y y x y y y y =--- (10)分因为 221212144144y y x x ==， 且12,y y 同号，所以1212y y =， (11)分所以 2112(1)y x y y =--， ………………12分所以，直线A B '恒过定点(1,0). ………………13分22. 解：（Ⅰ）由2222,1x y y x ⎧+=⎨=+⎩ 得2340x x +=，解得0x =或43x =-， ………………2分 所以,A C 两点的坐标为(0,1)和41(,)33--， ………………4分所以AC =………………5分（Ⅱ）①若B 是椭圆的右顶点（左顶点一样），则B ， 因为3OB OP =，P 在线段OB上，所以3P，求得AC =6分 所以OAC ∆的面积等于4=23391⨯. ………………7分 ②若B 不是椭圆的左、右顶点，设:(0)AC y kx m m =+≠，1122(,),(,)A x y C x y ， 由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=， ………………8分122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+， 所以，AC 的中点P 的坐标为222(,)2121km mk k -++， ………………9分所以2263(,)2121km m B k k -++，代入椭圆方程，化简得22219k m +=. ……………10分计算AC ==…………11分=9m. ………………12分 因为点O 到AC 的距离O AC d -=. ………………13分所以，OAC ∆的面积2OACO AC S AC d ∆-1=⋅4299m 1=⨯=. 综上，OAC ∆面积为常数49. ………………14分高考资源网版权所有！投稿可联系QQ ：1084591801。

2013-2014学年北京某校高二（上）入学数学试卷一.选择题（本题共40分，每小题4分）1. 与−263∘角终边相同的角的集合是（ ） A.{α|α=k ⋅360∘+250∘, k ∈Z} B.{α|α=k ⋅360∘+197∘, k ∈Z} C.{α|α=k ⋅360∘+63∘, k ∈Z} D.{α|α=k ⋅360∘−263∘, k ∈Z}2. 已知α是第二象限的角，且cos α=−1213，则tan α的值是（ ） A.1213 B.−1213C.512D.−5123. 下列各式化简后的结果为cos x 的是（ ） A.sin (x −π2) B.sin (π+x)C.sin (x +π2)D.sin (π−x)4. 为了得到函数y =sin (2x −π3)的图象，可以将函数y =sin 2x 的图象（ ）A.向右平移π6个单位长度 B.向左平移π3个单位长度 C.向左平移π6个单位长度D.向右平移π3个单位长度5. 已知平面向量a →=(1, 2)，b →=(−2, m)，且a → // b →，则m 的值为（ ） A.1 B.−1 C.4 D.−46. 如图，AB →+BC →−AD →等于（ ）A.AD →B.DC →C.DB →D.AB →7. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=3，a 10=10，则S 7的值是（ ） A.30 B.29 C.28 D.278. 设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a2a 1等于（ ）A.1B.2C.3D.49. 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2A +cos 2A =0，a =7，c =6，则b =( )A.10B.9C.8D.510. 已知直线ax +by +c =0的图形如图所示，则（ ）A.若c >0，则a >0，b >0B.若c >0，则a <0，b >0C.若c <0，则a >0，b <0D.若c <0，则a >0，b >0二．填空题（本题共24分，每小题4分）等比数列{a n }中，a 3=2，a 7=8，则a 5=________．y =2cos x −1的最大值是________，最小值是________．已知OA →=(3, 1)，OB →=(0, 4)，OC →=(x, 4)，且AC →⊥AB →，则x =________．若向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，|a →−b →|=2，则a →⋅b →=________．已知点A(−2, 2)，B(4, −2)，则线段AB 的垂直平分线的方程为________．数列{a n }满足a 1=2，且对任意的m ，n ∈N ∗，都有a n+m a m=a n ，则a 3=________；{a n }的前n 项和S n=________．三．解答题（本题共36分，每题各12分）已知tanα=12，且α为第三象限角．（1）求tan2α的值；（2）求cos(α−π4)的值．已知函数f(x)=cos2x+√3sin x cos x．(I)求f(π6)的值及f(x)的最小正周期；(II)求f(x)在区间[π12, π2]上的取值范围．已知{a n}为等比数列，a1=1，a4=27．S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）设T n=a1b1+a2b2+...+a n b n，求T n．参考答案与试题解析2013-2014学年北京某校高二（上）入学数学试卷一.选择题（本题共40分，每小题4分） 1.【答案】 D【考点】 终边相同的角 【解析】利用与α角终边相同的角，相差360∘的整数倍，可得结论． 【解答】解：利用与α角终边相同的角，相差360∘的整数倍，可得与−263∘角终边相同的角的集合是{α|α=k ⋅360∘−263∘, k ∈Z}， 故选D ． 2.【答案】 D【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】先判定sin α的符号，再利用同角三角函数的基本关系式即可得出． 【解答】解：∵ α是第二象限的角，且cos α=−1213， ∴ sin α=√1−cos 2α=√1−(1213)2=513．则tan α=sin αcos α=−512．故选D ． 3. 【答案】 C【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】各项利用诱导公式化简得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A 、sin (x −π2)=−sin (π2−x)=−cos x ，不合题意； B 、sin (π+x)=−sin x ，不合题意； C 、sin (x +π2)=cos x ，符合题意；D 、sin (π−x)=sin x ，不合题意，故选：C ． 4.【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论． 【解答】解：∵ 函数y =sin (2x −π3)=sin [2(x −π6)]，∴ 为了得到函数y =sin (2x −π3)的图象，可以将函数y =sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度故选A ． 5. 【答案】 D【考点】平行向量的性质 【解析】由a → // b →，根据1×m =2×(−2)可得答案． 【解答】解：∵ a → // b →∴ 1×m =2×(−2)∴ m =−4 故选D ． 6.【答案】 B【考点】向量的减法及其几何意义 向量的加法及其几何意义【解析】结合图形，利用向量的线性运算法则，求出运算结果． 【解答】解：根据题意，得； AB →+BC →−AD →=AC →−AD →=DC →． 故选：B ． 7. 【答案】 C【考点】等差数列的前n项和【解析】由题意可解公差d，进而可求a4，而由等差数列的性质可得S7=7a4，代入可得答案．【解答】解：由题意，设等差数列的公差为的d，则d=a10−a310−3=1，故a4=a3+d=4，故S7=7(a1+a7)2=7×2a42=7×4=28故选C8.【答案】C【考点】等差数列的前n项和【解析】由S1，S2，S4成等比数列，根据等比数列的性质得到S22=S1S4，然后利用等差数列的前n项和的公式分别表示出各项后，代入即可得到首项和公差的关系式，根据公差不为0，即可求出公差与首项的关系并解出公差d，然后把所求的式子利用等差数列的通项公式化简后，把公差d的关系式代入即可求出比值．【解答】解：由S1，S2，S4成等比数列，∴(2a1+d)2=a1(4a1+6d)．∵d≠0，∴d=2a1．∴a2a1=a1+da1=3a1a1=3．故选C9.【答案】D【考点】余弦定理【解析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出cos A的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．【解答】解：∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A−1=0，即cos2A=125.∵A为锐角，∴cos A=15.又a=7，c=6，根据余弦定理得：a2=b2+c2−2bc⋅cos A，即49=b2+36−125b，解得：b=5或b=−135（舍去），则b=5．故选D.10.【答案】D【考点】确定直线位置的几何要素【解析】把直线的方程化为斜截式，判断斜率的符号和直线在y轴上的截距上的符号，即可得出结论．【解答】解：由直线ax+by+c=0可得y=−abx−cb．根据图象可得−ab<0，−cb>0．∴若c<0，则a>0，b>0．故选：D．二．填空题（本题共24分，每小题4分）【答案】4【考点】等比数列的通项公式【解析】等比数列{a n}中，由a3=2，a7=8，利用等比数列的通项公式，列出方程组，解得a1=1，q4=4，由此能求出a5．【解答】解：等比数列{a n}中，∵a3=2，a7=8，∴{a1q2=2a1q6=8，解得a1=1，q4=4，∴a5=a1⋅q4=1×4=4．故答案为：4．【答案】1,−3【考点】余弦函数的定义域和值域【解析】由余弦函数的有界性，即可求出该函数的最值．【解答】解：∵−1≤cos x≤1，∴−2≤2cos x≤2，∴−3≤2cos x−1≤1；∴y=2cos x−1的最大值是1，最小值是−3．故答案为：1；−3． 【答案】 6【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】利用向量垂直的性质求解． 【解答】解：∵ OA →=(3, 1)，OB →=(0, 4)，OC →=(x, 4)， ∴ AC →=(x −3, 3)，AB →=(−3, 3) ∵ AC →⊥AB →，∴ AC →⋅AB →=−3(x −3)+3×3=0， 解得x =6． 故答案为：6． 【答案】12【考点】平面向量数量积的运算 【解析】通过观察条件，容易看出，需对等式|a →−b →|=2两边平方，便能出现a →⋅b →，并能求出它的值． 【解答】解：由条件得：|a →−b →|2=a →2−2a →⋅b →+b →2=1−2a →⋅b →+4=4； ∴ a →⋅b →=12．故答案为：12．【答案】3x −2y −3=0 【考点】直线的一般式方程 【解析】可先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，然后由点斜式写出线段AB 的垂直平分线的方程，最后化为一般式． 【解答】解：两点A(−2, 2)，B(4, −2)，则它们的中点坐标为(1, 0)， 直线AB 的斜率为：2−(−2)−2−4=−23，故AB 垂线的斜率为32，线段AB 的垂直平分线方程是：y −0=32(x −1)即：3x −2y −3=0．故答案为：3x −2y −3=0． 【答案】 8,2n+1−2 【考点】 数列递推式 数列的求和【解析】由已知利用赋值可得{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式即可求解 【解答】解：∵ 由题意可得，对任意的m ，n ∈N ∗，都有a n+m =a n a m ，且a 1=2 令m =1可得a n+1=a n a 1=2a n即{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列 ∴ a 3=4a 1=8 ∴ S n =2(1−2n )1−2=2n+1−2故答案为：8，2n+1−2三．解答题（本题共36分，每题各12分） 【答案】解：（1）∵ tan α=12， ∴ tan 2α=2tan α1−tan 2α=11−14=43；（2）∵ tan α=12，且α为第三象限角， ∴ sin α=−√55，cos α=−2√55， ∴ cos (α−π4)=√22(cos α+sin α)=−3√1010． 【考点】求二倍角的正弦两角和与差的余弦公式【解析】（1）利用二倍角的正切公式求tan 2α的值； （2）先求出sin α=−√55，cos α=−2√55，再求cos (α−π4)的值．【解答】解：（1）∵ tan α=12，∴ tan 2α=2tan α1−tan 2α=11−14=43；（2）∵ tan α=12，且α为第三象限角， ∴ sin α=−√55，cos α=−2√55，∴cos(α−π4)=√22(cosα+sinα)=−3√1010．【答案】解：f(x)=12+12cos2x+√32sin2x=sin(2x+π6)+12，(I)T=2π2=π，(II)∵x∈[π12, π2 ]，∴2x+π6∈[π3, 7π6]，∴sin(2x+π6)∈[−12, 1]，∴f(x)∈[0, 32]．【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式正弦函数的周期性正弦函数的定义域和值域函数的求值【解析】(I)先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而利用周期公式求得函数的最小正周期．(II)根据x的范围确定2x+π6的范围，进而利用正弦函数的性质求得函数f(x)的值域．【解答】解：f(x)=12+12cos2x+√32sin2x=sin(2x+π6)+12，(I)T=2π2=π，(II)∵x∈[π12, π2 ]，∴2x+π6∈[π3, 7π6]，∴sin(2x+π6)∈[−12, 1]，∴f(x)∈[0, 32]．【答案】解：（1）设等比数列的公比为q∵{a n}为等比数列，a1=1，a4=27，∴公比q=3，∴a n=3n−1，设等差数列{b n}的公差为d，∵S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35，∴15+10d=35，∴d=2∴b n=2n+1．（2）T n=a1b1+a2b2+...+a n b n=3×1+5×3+...+(2n−1)×3n−2+(2n+1)×3n−1①3T n=3×3+5×32+⋯+(2n−1)×3n−1+(2n+1)×3n②①-②得：−2T n=3+2×(3+32+⋯+3n−1)−(2n+1)×3n∴T n=n⋅3n【考点】数列的求和等差数列的通项公式等比数列的通项公式【解析】（1）根据{a n}为等比数列，a1=1，a4=27，确定数列的公比q=3，利用S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35，可得数列的公差，从而可求{a n}和{b n}的通项公式；（2）利用错位相减法可求数列的和．【解答】解：（1）设等比数列的公比为q∵{a n}为等比数列，a1=1，a4=27，∴公比q=3，∴a n=3n−1，设等差数列{b n}的公差为d，∵S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35，∴15+10d=35，∴d=2∴b n=2n+1．（2）T n=a1b1+a2b2+...+a n b n=3×1+5×3+...+(2n−1)×3n−2+(2n+1)×3n−1①3T n=3×3+5×32+⋯+(2n−1)×3n−1+(2n+1)×3n②①-②得：−2T n=3+2×(3+32+⋯+3n−1)−(2n+1)×3n∴T n=n⋅3n。

北京101中学2013-2014学年度下学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1. 在2101()x x+的展开式中系数最大的项是 A. 第5项B. 第6项C. 第5，6项D. 第6，7项2. 在极坐标系中，直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点，O 为极点，则AOB ∠的大小为A.3π B. 2π C. 32π D. 65π 3. 若直线1,x t y a t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆22cos ,22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）所截的弦长为则a 的值为A. 1 或5B. 1- 或5C. 1 或5-D. 1- 或5-4. 如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F 。

在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA = ；③AE CEBE DE ? ；④AF BDAB BF ? 。

ED CBA则所有正确结论的序号是A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②④ 5. 在下列命题中， ①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ服从二项分布1(4,)2B ，则()2E ξ=。

其中所有正确命题的序号是A. ②B. ③C. ②③D. ①③6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有A. 12种B. 15种C. 17种D. 19种 7. 设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），则12,10,y y y 的均值和方差分别为A. 1+,4aB. 1,4a a ++C. 1,4D. 1,4+a8. 如图，已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则满足与平面ABCD 平行的直线MN 有1DA. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 以极坐标系中的点(1,)6π为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是。

2014年春季普通高中会考数 学 试 卷第一部分 选择题〔每题3分，共60分〕在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1．如果集合{}1,3A =，{}1,4B =，那么集合AB 等于A ．∅B ．{}1C ．{}3,4D ．{}1,3,4 2．已知向量(2,1)=a ，(2,3)=-b ，那么3-a b 等于A ．4,0（）B ．4,6（）C ．8,0（）D ．8,6（）3．已知函数2,0,()2,0,x x x f x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩那么(1)f 等于A ．1B ．2C ． 3D ．4 4．如果直线1l ：230x y ++=与直线2l ：10mx y --=垂直，那么m 的值为A ．2B ．12C ．2-D ．12- 5．不等式20x x +>的解集为A ．{}0x x >B ．{}1x x <-C ．{}10x x -<<D ．{}10x x x <->或 6．在等比数列{}n a 中，已知11a =，22a =，那么前5项和5S 等于A ．5B ．15C ．16D ．317．要得到函数πsin()3y x =+的图象，只要将函数sin y x =的图象 A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位8．在函数sin y x =，2y x =， 3x y =，3log y x =中为偶函数的是A ．sin y x =B ．2y x =C ．3x y =D ．3log y x = 9．5πcos3的值为A ．BC ．12-D ．1210．某机构为调查中学生对“北京国际园林博览会”的了解程度，计划从某校初一年级160名学生和高一年级480名学生中抽取部分学生进行问卷调查．如果用分层抽样的方法抽取一个容量为32的样本，那么应抽取初一年级学生的人数为A ．8B ．16C ．24D ．32 11．在△ABC 中，如果 2a =，4b =，60C =，那么c 等于A ．B ．C ． D12．如果0m >，那么4m m+的最小值为A ． 8B ．4C ．D ．213．盒子里装有标着数字1，2，3，4的大小、材质完全相同的4张卡片，从盒子里随机地抽出2张卡片，抽到的卡片上数字之积为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12 D ．2314．已知函数()1(0,1)xf x a a a =->≠在[1,2]上的最大值是3，那么a 等于A ．14B ．C ． 2D ．415．已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则以下命题正确的选项是A ．假设l α⊥，m α⊂，则l m ⊥B ．假设l m ⊥，m α⊂，则l α⊥C ．假设l ∥α，m α⊂，则l ∥mD ．假设l ∥α，m ∥α，则l ∥m16．当实数,x y 满足条件 20,0,240x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩时，目标函数z x y =+的最大值是A ．1B ．2C ． 3D ．417．如图，先将边长为a 的正方形铁皮的四个角各截去一个 边长为(0)2ax x <<的小正方形，然后沿虚线折成一个 无盖的长方体盒子．设长方体盒子的体积是y ，则y 关于x 的函数关系式为A ．2(2)y x a x =-B ．2()y x a x =-C ．2(2)y a x x =-D ．2()y a x x =-18．已知一个样本容量为100的样本数据的频率分布直方图如下图，则样本数据落在[2,10)内的样 本频数为A ．8B ．32C ．40D ．4819．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积是A ．16πB ．16C ．163πD ．163频率组距样本数据主(正)视图44左〔侧〕视图4俯视图4•ax20．在矩形ABCD 中，1AD =，E 为CD 的中点. 假设1AC BE ⋅=-，则AB 的长为A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分 非选择题〔共40分〕一、填空题〔共4个小题，每题3分，共12分〕21．计算121log 43-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的结果为 ．22．坐标原点到直线l ：20x y --=的距离为 ．23．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的S 的值为 ．24．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设20142014a =，20142014S =，则1a = ；公差d = ．二、解答题〔共4个小题，共28分〕25．〔本小题总分值7分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形．〔Ⅰ〕证明：BC ∥平面PAD ； 〔Ⅱ〕证明：平面PAC ⊥平面PBD ．否是 i ≥6 ? 输出S开始i =0，S=0S=S+i结束i = i +226．〔本小题总分值7分〕已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =-． 〔Ⅰ〕求π()12f ； 〔Ⅱ〕求()f x 的最大值和单调递增区间．27．〔本小题总分值7分〕已知圆C ：222440x y x y +-+-=，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．〔Ⅰ〕假设直线l 过点()4,0M ，且AB =l 的方程；〔Ⅱ〕假设直线l 的斜率为1，且以弦AB 为直径的圆经过原点，求直线l 的方程．28．〔本小题总分值7分〕设二次函数()2f x ax bx c =++在[]2,2-上的最大值、最小值分别是M ，m ，集合(){}A x f x x ==．〔Ⅰ〕假设{}1,2A =，且()02f =，求M 和m 的值；〔Ⅱ〕假设{}2A =，且1a ≥，记()g a M m =+，求()g a 的最小值．2014年春季普通高中会考数学试卷答案及评分标准第一部分选择题〔每题3分，共60分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案D C B A D D C B D A题号11 12 1314 15 16 17 18 19 20 答案B B A C A C A C C B第二部分非选择题〔共40分〕题号21 22 23 24-2答案5262012二、解答题〔共4个小题，共28分〕25.〔本小题总分值7分〕〔Ⅰ〕证明：因为底面ABCD是正方形，BC AD．所以//又因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，BC平面PAD．……………3分所以//〔Ⅱ〕证明：因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AC．又PD BD=D，所以AC⊥平面PBD．又因为AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD．……………7分26．〔本小题总分值7分〕解： 〔Ⅰ〕因为()f x sin 2cos 21x x =--，所以πππ1()sin cos 112662f =--=-． ……………3分 〔Ⅱ〕()f x =sin 2(1cos 2)x x -+sin 2cos 21x x =--π)14x =--当πsin(2)14x -=时，函数()f x1．令πππ2π22π242k x k -≤-≤+，得π3πππ(88k x k k -≤≤+∈Z)．所以函数()f x 的单调递增区间是π3π[π,π](88k k k -+∈Z)．……………7分27.〔本小题总分值7分〕解：〔Ⅰ〕由题设知直线l 的斜率存在，设其方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=.圆C ：222440x y x y +-+-=，即22(1)(2)9x y -++=， 圆心()1,2C -，半径为3.由AB =l2=，2=，即23k -=，整理得25120k k -=， 解得，0k =或125k =. 所以直线l 的方程为0y =或125480x y --=. ……………3分〔Ⅱ〕由直线l 的斜率为1，设直线l 的方程为y x b =+.由222440x y x y y x b⎧+-+-=⎨=+⎩ ， 得2222(1)440x b x b b ++++-=.令224(1)8(44)0b b b ∆=+-+->，解得33b --<<-+〔1〕 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12(1)x x b +=-+，212442b b x x +-=. 以AB 为直径的圆过原点90AOB OA OB ︒⇔∠=⇔⊥⇔0OA OB ⋅= ⇔12120x x y y +=1212()()0x x x b x b ⇔+++=212122()0x x b x x b ⇔+++=.代入得2340b b +-=， 解得1b =或4b =-，满足〔1〕.故直线l 的方程为1y x =+或4y x =-. ………………………………7分 28.〔本小题总分值7分〕解：〔Ⅰ〕由(0)2f =，可知2c =.又{}1,2A =，故1,2是方程2(1)0ax b x c +-+=的两实根.所以11212b aca -⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩. 于是22()22(1)1f x x x x =-+=-+. 在[2,2]-上，当1x =时，(1)1m f ==；当2x =-时，(2)10M f =-=.…3分 〔Ⅱ〕由题意知，方程2(1)0ax b x c +-+=有两相等实根122x x ==，所以12222b aca -⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得144b a c a =-⎧⎨=⎩. 于是2()(14)4f x ax a x a =+-+. 其对称轴方程为411222a x a a -==-，由1a ≥，得132[,2)22a -∈. 在[2,2]-上， 241414181()()(14)()42224a a a a m f a a a a a a a----==+-+=； 2(2)(2)(14)(2)4162M f a a a a =-=-+--+=-.811()1621644a g a M m a a a a-=+=-+=-. 由()g a 在[1,)+∞上为增函数，得()g a 的最小值为163(1)1644g =-=. ……7分。

第Ⅰ卷（共48分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1。

设命题p ：2,2014x x ∃∈<R ，则p ⌝为（）A ．2,2014x x ∀∈≥RB ．2,2014x x ∀∈<R C ．2,2014x x ∃∈≥RD ．2,2014x x ∃∈>R3.双曲线22144x y -=的渐近线方程为(）A ．4y x =±B ． 22y x =±C ．2y x =±D ．y x =± 【答案】D 【解析】试题分析：因为双曲线的方程为22144x y -=，故2,2a b ==，所以该双曲线的渐近线方程为b y x x a=±=±，故选D.考点:双曲线的性质。

4.若图中直线1l ,2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则( )6.已知向量(1,,3)x =-a ，(2,4,)y =-b ，且//a b ，那么x y +等于（ )A．4-B．2-C．2D．48.已知l表示一条直线，α,β表示两个不重合的平面，有以下三个语句：①lα⊥；②//lβ；③βα⊥。

以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，可以得到三个命题,其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2 D．3【答案】B【解析】试题分析：命题①：若//,l l βα⊥，则αβ⊥是正确的命题，如图（1)过直线l 作一个平面γ，AB γβ⋂=,则由//l β，结合线面平行的性质可知//AB l ，因为l α⊥，所以AB α⊥，而AB β⊂，所以由面面垂直的判定可得αβ⊥;命题②：若,l ααβ⊥⊥，则//l β是错误的命题，如图（2）,直线l 可能在平面β内；命题③：若//,l βαβ⊥，则l α⊥是错误的命题，如图（3），直线l 可能在α内,如图（4），直线l 也可能与α平行，综上可知，三个命题中只有一个命题是正确的，故选B.考点：1.线面平行的性质；2.面面垂直的判定；3.命题真假的判断。