2019年北京普通高中会考数学真题

2019年北京市普通高中会考数学试卷考 生 须 知1. 考生要认真填写考场号和座位序号..2. 本试卷共7页;分为两个部分;第一部分为选择题;27个小题共81分；第二部分为解答题;4个小题共19分..3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上;在试卷上作答无效..第一部分必须用铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答;作图时必须使用2B 铅笔..4．考试结束后;考生应将试卷、答题卡放在桌面上;待监考员收回..第一部分 选择题每小题分;共81分在每个小题给出的四个备选答案中;只有一个是符合题目要求的.1．已知集合{012}，，=A ;{123}，，=B ;那么集合A B 等于 A ．{0}B ．{12}，C ．{123}，，D ．{01,2,3},2. 已知向量(12)，=-a ;(2)，=m b ;且⊥a b ;那么m 等于 A ．4-B ．1-C ．1D ．43.不等式2230+->x x 的解集为A. {}31-<<x xB. {}13-<<x xC. {}31或<->x x xD. {}13或<->x x x 4. 某程序框图如图所示;如果输入a ;b ;c 的值 分别是3;1;9;那么输出S 的值是 A. 2B. 2C.33D. 95.要得到函数sin =y x 的图象向左平移6π个单位长度;所得图像的函数关系式为 2B 3A. sin()6π=-y xA. sin()6π=+y x考场号座位序号6. 221()log 22-+等于A.54B. 3C. 4D. 5 7.已知1;a ;b ;8是等比数列;那么ab 的值等于A. 1B. 4C. 8D. 16 8.sin 45cos15cos 45sin15-等于A. 1-B. 12- C. 12D. 1 9．给出下列四个函数：①2y x =； ②3=y x ； ③1=+y x ； ④=x y e . 其中偶函数的序号是 A ．①B ．②C ．③D ．④10. 某校共有学生1000人;其中男生600人;女生400人. 学校为检测学生的体质健康状况;统一从学生学籍档案管理库简称“CIMS 系统” 中随机选取参加测试的学生. 现采用分层抽样的方法从中抽取容量为30的样本进行测试;那么应抽取女生的人数为A. 12B. 15C. 18D. 2011.已知直线1l ：210--=x y ;2l ：20-+=ax y ;且1l ∥2l ;那么实数a 等于A. 2-B. 12- C.12D. 2 12.已知角θ的终边过点(1,3)-P ;那么tan θ等于A. 3-B. 32-C. 32D. 313.已知一个几何体的三视图如图所示;那么该几何体 的体积是A. 1B. 2C. cos()6π=-y x B. cos()6π=+y xC. 4D. 814. 在△ABC 中;1=a ;°30=A ;°45=B ;那么b 的值为 A ．1BCD ．215. 函数1()2=-x f x x的零点的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．316．当实数,x y 满足条件0,0,220≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩x y x y 时; =+z x y 的最小值是A. 2-B. 1-C. 0D. 217.已知数列{}n a 满足12(*)+=-∈n n a a n N ;且14=a 那么{}n a 的前4项和4S 等于 A ．0B ．1C ．2D ．418. 如果0a >;0>b ;4=ab ;那么+a b 的最小值是19.已知向量,a b 满足2=a ;⋅a b =3且,a b 的夹角为;那么=b 20.某中学组织开展3项拓展活动;要求每名学生必须参加其中的一项活动. 该校甲、乙两名学生随机选择拓展活动;恰好选择同一活动的概率为 21.已知数列{}n a 满足1n 3,(*)2n > 3，，+≤⎧=∈⎨⎩n n a n N n ;且4=n a ;那么n 等于A ．2B ．3C ．4D ．23或22.已知点P 是圆22430+-+=x y x 上的任意一点;那么P 与原点距离的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．423.我国古代数学着作九章算术中有如下问题：“今有女子善织;日自倍;五日织五尺……”其大意为：“有一位善于织布的女子;每天织的布都是前一天的2倍;5天一共织了5尺布……”那么该女子第一天织布的尺数为24.已知直线l 过原点;且与圆22(2)1+-=x y 有公共点;那么直线l 倾斜角的取值范围是A. [,]33ππ- B. 2[,]63ππ- C. 5[,]66ππ D. 2[,]33ππ25.设m ;n 是两条不同的直线;α;β;γ是三个不同的平面;给出下列四个命题：①如果∥αm ;∥αn ;那么∥m n ； ②如果α⊥m ;β⊥m ;那么∥αβ； ③如果αβ⊥;α⊥m ;那么∥βm ； ④如果αγ⊥;βγ⊥;那么∥αβ.其中正确命题的序号是A ．①B ．②C ．③D ．④26. 改革开放40年来;我国经济社会发展取得举世瞩目的辉煌成就;坚持巩固加强第一 产业、优化升级第二产业、积极发展第三产业;三次产业结构在调整中不断优化;农 业基础地位更趋巩固;工业逐步迈向中高端;服务业成长为国民经济第一大产业. 尤其是党的十八大以来;经济增长由主要依靠第二产业带动转向依靠三次产业共同 带动;三次产业内部结构调整优化.国家统计局发布的数据如下;反映了从2013年 到2017年三次产业对国内生产总值增长的拉动情况.2013 -2017年三次产业对国内生产总值增长的拉动指标说明：我国的三次产业划分是：第一产业是指农、林、牧、渔业不含农、林、牧、渔服务业.第二产业是指采矿业不含开采辅助活动;制造业不含金属制品、机械和设备修理业;电力、热力、燃气及水生产和供应业;建筑业.第三产业即服务业;是指除第一产业、第二产业以外的其他行业.根据上述信息;下列结论中错误的是A. 2013~2017年;第一产业增加值占国内生产总值的比值保持不变B. 2013~2017年;第二产业增加值占国内生产总值的比值逐年减少C. 2014~2017年;第三产业增加值占国内生产总值的比值不断增加D. 2013~2017年;三次产业增加值占国内生产总值的比例保持不变27.设函数()[](0)=-≥f x x x x ;其中[]x 表示不超过x 的最大整数;如：[0.5]0=;[2]2=. 如果函数=y kx 的图像与函数()f x 的图像恰有3个交点;那么实数k 的取值范围是 A. 11[,)43B. 11[,]43C. 11[,)54D. 11[,]54第二部分 解答题共19分28.本小题满分5分 已知函数22()cos sin =-f x x x①求()2πf 的值；②求函数()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值29.本小题满分5分如图;长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为1的正方形;点,E F 分别为线段11,BD CC 的中点..I 求证：//平面EF ABCD ；II 当12=DD 时;求证平面1平面⊥DE BFD .. 30. 本小题满分5分已知直线l 经过(1,0)P ;(2,1)-Q 两点;圆C 的方程是22(1)(1)4-++=x y .I 求直线l 的方程；II 设直线l 与圆C 交于,A B 两点;求AB 的值. 31.本小题满分4分铅酸电池是一种蓄电池;电极主要由铅及其氧化物制成;电解液是硫酸溶液.这种 电池具有电压稳定、价格便宜等优点;在交通、通信、电力、军事、航海、航空等领域有着广泛的应用.但是由于在实际生活中使用方法不当;电池能蛩未被完全使用;导致了能源的浪费;因此准确预测铅酸电池剩余放电时间是使用中亟待解决的问题.研究发现;当电池以某恒定电流放电时;电压U 关于放电时间t 的变化率y 满足12=+bt y ae 其中,a b 为常数;无理数e =2.71828···. 实验数据显示;当时间t 的值为0和5时;电压U 关于放电时间t 的变化率y 分别为-2和-752;求,a b 的值.。

2019 年北京市普通高中会考数学试卷号序考位生座须知1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.本试卷共7页，分为两个部分，第一部分为选择题，27个小题（共81分）；第二部分为解答题，4个小题（共19分）。

3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用 2B 铅笔。

4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。

第一部分选择题（每小题 3 分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.号1．已知集合A {0 ，1，2} ， B {1 ，2，3} ，那么集合 A I B 等于场考 A ．{ 0 }B． {1 ，2} C． {1，2，3} D． {01,2,3}2. 已知向量a (1， 2) ， b (2 ，m) ，且a b，那么m 等于A ．4 B．1 C．1 D．43.不等式x2 2 x 3 0 的解集为A. x 3 x 1B. x 1 x 3C. x x 3或 x 1D. x x 1或 x 34.某程序框图如图所示，如果输入 a ，b， c 的值分别是 3,1,9，那么输出 S的值是A.2B.2C. 3 3D.95.要得到函数y sin x 的图象向左平移个单位长度，6所得图像的函数关系式为A.y sin( x) A.y sin( x)6 6C. y cos( x)B. ycos( x)666. ( 1) 2 log 2 2 等于2A. 5B. 3C. 4D. 547.已知 1， a ， b ， 8是等比数列，那么ab 的值等于A. 1B. 4C. 8D. 168.sin45o cos15o cos45o sin15o 等于A. 1B.9．给出下列四个函数：1 C.1D. 122① yx 2 ； ② y x 3 ； ③ y x 1 ； ④ y e x .其中偶函数的序号是A ．①B ．②C ．③D ．④10. 某校共有学生 1000 人，其中男生 600 人，女生 400 人. 学校为检测学生的体质健康状况，统一从学生学籍档案管理库（简称 “CIMS 系统 ”） 中随机选取参加测试的学生 . 现采用分层抽样的方法从中抽取容量为 30 的样本进行测试，那么应抽取女生的人数为A. 12B. 15C. 18D. 2011.已知直线 l 1 ： 2x y 1 0 ， l 2 ： ax y2 0，且 l 1 ∥ l 2 ，那么实数 a 等于A. 2B.12.已知角 的终边过点1 C.1D. 222P(1,3) ，那么 tan 等于A.33 C.3 B.D. 32213.已知一个几何体的三视图如图所示， 那么该几何体的体积是A. 1B. 2C. 4D. 814. 在△ABC中，a 1 ， A 30°， B 45°，那么b的A ．1 B． 2 C． 3 D．215. 函数f ( x) 1 2x的零点的个数xA ．0 B．1 C．2 D．3x 0,16．当数 x, y 足条件y 0, ， z x y 的最小是2x y 2 0A. 2B. 1C. 0D. 217.已知数列a n 足 an 1an2(n N*) ，且 a 4 那么a n的前 4 和S等于1 4A ．0 B．1 C．2 D．418. 如果 a 0 ， b 0， ab 4 ，那么a b 的最小是A. 2 2B. 3C. 4D. 619.已知向量a,b足a 2 ， a b = 3 且 a,b 的角，那么 b31B. 3C. 3D. 3A.3320.某中学开展 3 拓展活，要求每名学生必参加其中的一活. 校甲、乙两名学生随机拓展活，恰好同一活的概率A. 1B. 1C. 1D. 24 3 2 3n，3,21.已知数列a n 足 a n 1 n ( n N*) ，且 a n 4 ，那么 n 等于，n > 32nA ．2 B．3 C．4 D．2或322.已知点P是x2 y2 4x 3 0 上的任意一点，那么P与原点距离的最小A ．1 B．2 C．3 D．423.我国古代数学着作《九章算》中有如下：“今有女子善，日自倍，五日五尺⋯⋯”其大意：“有一位善于布的女子，每天的布都是前一天的2 倍， 5 天一共了 5 尺布⋯⋯”那么该女子第一天织布的尺数为A.4 B.5C.6D.103131313124.已知直线 l 过原点，且与圆 x 2 ( y2)2 1 有公共点，那么直线 l 倾斜角的取值范围是A. [, 3 ]B. [6, 2] C. [ , 5]D. [, 2]33663 325.设 m ， n 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：① 如果 m ∥ ， n ∥ ，那么 m ∥ n ；② 如果 m ， m，那么∥；③如果 ， m，那么 m ∥ ；④如果，，那么∥ .其中正确命题的序号是A ．①B ．②C ．③D ．④26. 改革开放 40 年来，我国经济社会发展取得举世瞩目的辉煌成就，坚持巩固加强第一 产业、优化升级第二产业、积极发展第三产业，三次产业结构在调整中不断优化，农 业基础地位更趋巩固，工业逐步迈向中高端，服务业成长为国民经济第一大产业 . 尤其是党的十八大以来， 经济增长由主要依靠第二产业带动转向依靠三次产业共同 带动，三次产业内部结构调整优化 .国家统计局发布的数据如下，反映了从 2013 年 到 2017 年三次产业对国内生产总值增长的拉动情况 .2013 -2017 年三次产业对国内生产总值增长的拉动指标指标 (百分点）2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年第一产业对国内生产总值增长的拉0.30 0.30 0.30 0.30 0.30第二产业对国内生产总值增长的拉3.80 3.50 2.90 2.60 2.50第三产业对国内生产总值增长的拉3.70 3.50 3.70 3.904.00三次产业对国内生产总值增长的拉7.807.306.906. 80 6. 80说 明 ： 我 国 的 三 次 产 业 划 分 是 ： 第 一 产 业 是 指 农 、 林 、 牧 、 渔 业 （ 不 含 农 、林 、牧 、渔 服 务 业 ） .第 二 产 业 是 指 采 矿 业（ 不 含 开 采 辅 助 活 动 ），制 造 业（ 不含 金 属 制 品 、 机 械 和 设 备 修 理 业 ） ， 电 力 、 热 力 、 燃 气 及 水 生 产 和 供 应 业 ，建 筑 业 . 第 三 产 业 即 服 务 业 ， 是 指 除 第 一 产 业 、 第 二 产 业 以 外 的 其 他 行 业 .根据上述信息 ,下列结论中错误的是 ?A.2013~2017 年，第一产业增加值占国内生产总值的比值保持不变B.2013~2017 年，第二产业增加值占国内生产总值的比值逐年减少C.2014~2017年，第三产业增加值占国内生产总值的比值不断增加D.2013~2017 年，三次产业增加值占国内生产总值的比例保持不变27.设函数f (x)x [ x]( x 0) ，其中 [ x] 表示不超过x的最大整数，如： [0.5]0 ，[2] 2 .如果函数 y kx 的图像与函数 f ( x) 的图像恰有3个交点，那么实数k的取值范围是A. [1,1) B. [1,1]C. [1,1) D. [1,1]4 3 4 35 4 5 4第二部分解答题（共 19 分）28.（本小题满分 5 分）已知函数 f ( x) cos2 x sin2 x①求 f () 的值；2②求函数 f (x) 在区间[, ] 上的最大值和最小值6 429.（本小题满分 5 分）如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是边长为1的正方形，点E, F 分别为线段BD1 ,CC1的中点。

最新北京市高三普通高中数学会考试题一、选择题（本题共25道小题，每题3分，共75分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．sin 150︒＝（ ）A ． 1 2B ．－ 1 2C ．32D ．－322．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6}，则A ∩B 中的元素个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．函数f (x )＝sin (2x ＋ π 3)（x ∈R ）的最小正周期为（ ）A ． π 2B ．πC ．2πD ．4π4．不等式(x －1)(x ＋2)＜0的解集为（ ）A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1，2)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－2，1)5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A ．圆锥 B ．棱柱 C ．棱锥 D ．圆柱 6．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4，则a 3＝（ ）A ．2B ．－2C ．±2D ．2 7．函数f (x )＝log 2x － 1x的零点所在区间是（ ）A ．(0， 1 2)B ．( 12，1) C ．(1，2) D ．(2，3)正视图侧视图俯视图8．过点A (1，－2)且斜率为3的直线方程是（ ）A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －5＝0C ．3x －y ＋1＝0D ．3x ＋y －1＝09．长方体的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点在同一个球面上，则该球的表面积（ ）A ．3πB ．9πC ．24πD ．36π 10．当0＜a ＜1时，函数y ＝x ＋a 与y ＝a x 的图象只能是（ ）11．将函数y ＝sin 2x （x ∈R ）图象上所有的点向左平移 π6个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）A ．y ＝sin (2x － π6)（x ∈R ）B ．y ＝sin (2x ＋ π6)（x ∈R ）C ．y ＝sin (2x － π 3)（x ∈R ）D ．y ＝sin (2x ＋ π3)（x ∈R ）12．某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（ ） A ．16 B ．18 C ．27 D ．3613．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是（ ） A ．y ＝－ 1xB ．y ＝cos xC ．y ＝－x 2＋3D ．y ＝e |x |B ．C ．xxxy y 1 1 OOD ． y 1O O A ．xy 1 114．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若c ＝1，b ＝2，C ＝30︒，则a ＝（ ）A ．3B ．3C ．5D ．115．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥0，|x |， x ＜0，且f (x 0)＝3，则实数x 0＝（ ）A ．－3B ．1C ．－3或1D ．－3或1或3 16．从集合{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从集合{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则b ＞a 的概率是（ ）A ． 1 5B ． 2 5C ． 3 5D ． 4517．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝5π3，则tan a 3＝（ ）A ．3B ．－3 D ．－3318．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(a 与b 的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 19．函数y ＝2x －1的定义域是（ ）A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)20．下列命题中正确的是（ ） A ．若直线m //平面α，直线n ⊂α，则m //n B ．若直线m ⊥平面α，直线n ⊂α，则m ⊥nC ．若平面α//平面β，直线m ⊂α，直线n ⊂β，则m //nD ．若平面α⊥平面β，直线m ⊂α，则m ⊥β21．在下列直线中，与圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0相切的直线是（ ）A ．x ＝0B ．y ＝0C ．x ＋y ＝0D ．x －y ＝0 22．某程序框图如图所示，若分别输入如下四个函数：f (x )＝ 1x，f (x )＝x 2，f (x )＝e x ，f (x )＝sin x ，则可以输出的函数是（ ）A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝ 1xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝sin x 23．在△ABC 中，AB →2＋AB →·BC →＜0，则△ABC 为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形24．现有下列四个命题：①若直线y ＝k 1x ＋b 1与直线y ＝k 2x ＋b 2垂直，则k 1k 2＝－1； ②若向量a ，b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ③若实数a ，b ，c 满足b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列． 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．325．函数y ＝log a (x ＋3)－1（a ＞0，且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0（m ＞0，n ＞0）上，则 1 m ＋ 2n的最小值等于（ ）A ．16B ．12C ．9D ．8开始 输入f (x ) 否输出f (x ) f (x )＋f (－x )＝0？是 结束f (x )存在零点？否 是二、解答题（本大题共道小题，满分25分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）26.（本小题满分5分）已知函数()cos 3sin()f x x x π=+-。

2019年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2M =，{}2,3N =，那么M N ⋂等于（ ） A.φ B.{}1C.{}2D.{}3【答案】C【解析】根据交集运算直接写出结果. 【详解】因为{}1,2M =，{}2,3N =，所以{}2M N =，故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集运算，难度较易.2．已知向量()2,1a =r，()0,2b =- ，那么a b + 等于（ ）A.()2,3B.()21，C.()20，D.()2,1-【答案】D【解析】根据向量加法的坐标运算直接写出结果. 【详解】因为()2,1a =r，()0,2b =-，所以()()()20,122,1a b +=++-=-，故选：D. 【点睛】本题考查向量加法的坐标表示，难度较易.3．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（ ） A.12B.14C.18D.116【答案】B【解析】根据随机事件的概率计算完成求解. 【详解】可能出现的选择有4种，满足条件要求的种数为1种，则14P =， 故选：B. 【点睛】本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解，难度较易.古典概型的概率计算公式：（目标事件的数量）÷（基本事件的总数）. 4．圆心为()2,3A -，半径等于5的圆的方程是( ) A.22(2)(3)5x y -++= B.22(2)(3)5x y ++-= C.22(2)(3)25x y -++= D.22(2)(3)25x y ++-=【答案】C【解析】对比圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=进行判断即可. 【详解】因为圆心(),a b 即为()2,3-，半径=5r ，所以圆的标准方程为：()()222325x y -++=，故选：C. 【点睛】本题考查根据圆心和半径写出圆的标准方程，难度较易.5．已知向量()2,1a =-r，()1,b m =，且a b ⊥，那么m 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】根据向量垂直对应的坐标关系计算出m 的值. 【详解】因为a b ⊥，所以()2110m -⨯+⨯=，所以2m =， 故选：C. 【点睛】本题考查向量垂直对应的坐标表示，难度较易.已知()11,a x y =r ，()22,b x y =r，若a b ⊥，则有：12120x x y y +=.6．直线30x y +-=与直线10x y -+=的交点坐标是( ) A.()2,2 B.()2,2-C.()1,3-D.()1,2【答案】D【解析】联立二元一次方程组求解交点坐标. 【详解】据题意有：31x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩，所以交点坐标为()1,2，故选：D. 【点睛】本题考查利用直线方程求解直线交点坐标，难度较易.直线的方程可认为是二元一次方程，两直线的交点坐标即为二元一次方程组的解对应的坐标形式.7．已知平面向量,a b 满足1a b ==r r，且a 与b 夹角为60°，那么a b ⋅等于( )A.14B.13C.12D.1【答案】C【解析】根据数量积公式完成计算. 【详解】因为11cos 1122a b a b θ⋅=⋅⋅=⨯⨯=， 故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积的计算，难度较易. 8．函数()()lg 1f x x =-的定义域为( ) A.R B.()1,+∞C.()0,∞+D.(),1-∞【答案】B【解析】根据真数大于零计算出的x 范围即为定义域. 【详解】因为10x ->，所以1x >，即定义域为()1,+∞， 故选：B. 【点睛】本题考查对数型函数的定义域，难度较易.对数型函数计算定义域，注意对应的真数大于零.9．已知点()1,1A -，()2,4B ，那么直线AB 的斜率为( )A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】根据斜率的计算公式直接计算出斜率. 【详解】因为()1,1A -，()2,4B ，所以()41121AB k -==--，故选：A. 【点睛】本题考查根据两点坐标计算出两点构成的直线的斜率，难度较易.已知()11,A x y ，()22,B x y ，则2121AB y y k x x -=-.10．为庆祝中华人民共和国成立70周年，某学院欲从A ，B 两个专业共600名学生中，采用分层抽样的方法抽取120人组成国庆宣传团队，已知A 专业有200名学生，那么在该专业抽取的学生人数为( ) A.20 B.30C.40D.50【答案】C【解析】先计算出抽样比，然后根据（A 专业人数）乘以（抽样比）即可得到应抽取的人数. 【详解】据题意可知：抽样比为12016005=，则A 专业抽取人数为1200405⨯=人， 故选：C. 【点睛】本题考查分层抽样的应用，难度较易.若要计算分层抽样的每一层应抽取数量，先要计算抽样比，利用每一层数量乘以抽样比得到该层应抽取的数量. 11．()cos αβ-等于( ) A.cos cos sin sin αβαβ+ B.cos cos sin sin αβαβ- C.sin cos cos sin αβαβ+ D.sin cos cos sin αβαβ-【答案】A【解析】根据两角差的余弦公式直接得到结果. 【详解】因为()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+， 故选：A. 【点睛】本题考查两角差的余弦公式的记忆，难度较易.12．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()12f -=-，那么()1f 的值为( ) A.0 B.12C.1D.2【答案】D【解析】根据奇函数找到()1f 与()1f -的关系即可计算出()1f 的值. 【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()112f f -=-=-，所以()12f =， 故选：D. 【点睛】本题考查根据奇函数的特性求值，难度较易.若()f x 是定义域内的奇函数，则有：()()f x f x -=-.13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，如果3AB =，1AC =，12AA =，那么直三棱柱111ABC A B C -的体积为( )A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】根据棱柱的体积公式求解直三棱柱的体积. 【详解】因为AB AC ⊥，所以322ABCAB AC S ⋅==； 所以11113232ABC A B C ABC V S AA -=⨯=⨯=，故选：B.【点睛】本题考查棱柱的体积计算公式，难度较易.棱柱体积计算公式：V S h =⋅，其中S 是棱柱的底面积，h 是棱柱的高. 14．13sin6π的值为( )A.12【答案】A 【解析】先将136π变形为[]2,,0,2k k Z απαπ+∈∈，然后根据诱导公式一计算结果. 【详解】 因为13266πππ=+，所以131sin sin sin 66226ππππ⎛⎫=== ⎪+⎝⎭， 故选：A. 【点睛】本题考查诱导公式的运用，难度较易.注意诱导公式一：()()sin 2sin k k Z απα+=∈，()()cos 2cos k k Z απα+=∈.15．函数()3f x x x =-的零点的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】将()f x 因式分解后即可判断零点的个数. 【详解】因为()()()311f x x x x x x =-=+-，所以令()0f x =则有：1x =-或0或1，即零点有3个， 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点个数，难度较易.对于可直接进行因式分解的函数，可通过因式分解判断每个因式为零的情况，然后确定零点个数. 16．要得到函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．只需将函数2sin y x =的图象（ ） A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 【答案】A【解析】根据三角函数的图像变换中的相位变换确定结果. 【详解】根据相位变换的左加右减有：2sin y x =向左移动3π个单位得到2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换中的相位变换，难度较易.相位变换时注意一个原则：左加右减.17．直线l 经过点()1,1A ，且与直线230x y --=平行，则l 的方程为（ ） A.21y x =+ B.112y x =+ C.112y x =-- D.21y x =-【答案】D【解析】根据平行关系设出直线的一般式方程，代入坐标求解出一般式方程并转化为斜截式方程. 【详解】设l 方程为：()203x y C C -+=≠-，代入()1,1A 有：210C -+=，所以1C =-， 所以l 方程为：210x y --=，即21y x =-， 故选：D. 【点睛】本题考查根据直线间的平行关系求解直线的方程，难度较易.已知直线方程为：10Ax By C ++=，与其平行的直线方程可设为：()2120Ax By C C C ++=≠.18．如果函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）的图象经过点()4,2，那么a 的值为（ ） A.14B.12C.2D.4【答案】C【解析】将点代入函数解析式中计算出a 的值即可. 【详解】因为()log a f x x =图象经过点()4,2，所以log 42a =，所以24a =且0a >且1a ≠，解得：2a =， 故选：C. 【点睛】本题考查根据对数函数图象所过点求解函数解析式，难度较易.通过函数图象所过点求解函数解析式的问题，可考虑直接将点代入函数解析式中求解参数值. 19．已知0.32=a ，32b =，12c -=，那么a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a b c >> B.b a c >> C.c a b >> D.c b a >>【答案】B【解析】根据指数函数单调性比较大小. 【详解】因为2xy =在R 上是增函数，又10.33-<<，所以10.33222-<<，所以b a c >>， 故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数单调性比较指数幂的大小，难度较易.对于指数函数()xf x a=（0a >且1a ≠）：若1a >，则()xf x a =是R 上增函数；若01a <<，则()xf x a =是R 上减函数.20．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是（ ） A.4πB.2π C.πD.2π【答案】C【解析】利用二倍角公式先化简，然后根据周期计算公式计算最小正周期. 【详解】因为()1sin cos sin 22f x x x x ==，所以222T πππω===， 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角公式、周期公式的应用，难度较易.常见的二倍角公式有：2222sin 22sin cos ,cos 2cos sin 2cos 112sin x x x x x x x x ==-=-=-.21．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果30A =︒，45B =︒，2b =，那么a 等于（ ）D.3【答案】A【解析】根据正弦定理得到边角对应关系，然后计算a 的值. 【详解】由正弦定理可知：sin sin a b A B=，所以2sin 30sin 45a =︒︒，解得：a =故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，难度较易.正弦定理对应的等式：2sin sin sin a b cR A B C===（R 是三角形外接圆的半径）. 22．已知4sin 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么()cos πα-等于（ ） A.45-B.35-C.35D.45【答案】B【解析】先根据诱导公式将待求式子化简，然后根据平方和为1去计算相应结果. 【详解】因为()cos cos παα-=-；又因为22sin cos 1αα+=且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5α==， 所以()3cos 5πα-=-， 故选：B. 【点睛】本题考查根据诱导公式求解给值求值问题，难度较易.利用平方和为1去计算相应三角函数值时，注意根据角度的范围去判断相应的三角形函数值的正负号.23．已知圆C ：2260x y x +-=与直线l ：10x y -+=，那么圆心C 到直线l 的距离为（ ）A. B.D.1【答案】B【解析】先确定圆心，根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离.【详解】圆的方程可变形为：()2239x y -+=，所以圆心C 为()3,0，所以圆心C 到l 的距离为：d ==故选：B. 【点睛】本题考查圆心的确定以及点到直线的距离公式，难度较易.圆的标准方程为：()()()2220x a y b r r -+-=>，其中圆心为(),a b ，半径为r .24．已知幂函数()nf x x =，它的图象过点()2,8，那么12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ） A.18B.14C.12D.1【答案】A【解析】先通过函数图象过点()2,8，计算出n 的值，然后再计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为()nf x x =过点()2,8，所以28n =，所以3n =，所以()3f x x =，则3111228f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：A. 【点睛】本题考查幂函数的解析式求解以及根据幂函数解析式求值，难度较易.25．生态环境部环境规划院研究表明，京津冀区域PM2.5主要来自工业和民用污染，其中冬季民用污染占比超过50%，最主要的源头是散煤燃烧．因此，推进煤改清洁能源成为三地协同治理大气污染的重要举措．2018年是北京市压减燃煤收官年，450个平原村完成了煤改清洁能源，全市集中供热清洁化比例达到99%以上，平原地区基本实现“无煤化”，为了解“煤改气”后居民在采暖季里每月用气量的情况，现从某村随机抽取100户居民进行调查，发现每户的用气量都在150立方米到450立方米之间，得到如图所示的频率分布直方图．在这些用户中，用气量在区间[)300,350的户数为（ ）A.5B.15C.20D.25【答案】D【解析】计算出[)300,350的频率，用抽取的总数量乘以对应的频率即可得到对应段的户数. 【详解】根据频率分布直方图可知：[)300,350的频率为0.005500.25⨯=，所以用气量在[)300,350的户数为：0.2510025⨯=户，故选：D. 【点睛】本题考查根据频率分布直方图完成相应计算，难度较易,观察频率分布直方图时，注意纵轴并不表示频率，而是频率除以组距，因此每一段区间对应的小长方形的面积即为该段的频率.26．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果60A =︒，3b =，ABC ∆的面积S =a 等于（ ）B.7D.17【答案】A【解析】先根据面积公式计算出c 的值，然后利用60A =︒以及余弦定理求解a 的值. 【详解】因为1sin 242S bc A ===，所以2c =；又因为222cos 2b c a A bc+-=，所以2194212a +-=，所以a =故选：A. 【点睛】本题考查三角形面积公式的应用以及利用余弦定理解三角形，难度较易.解三角形时常用的面积公式有三个，解答问题时要根据题意进行选择.27．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①如果//m α，n ⊂α，那么//m n ；②如果m α⊥，n α⊥，那么//m n ； ③如果//αβ，m α⊂，那么//m β；④如果αβ⊥，m α⊂，那么m β⊥． 其中正确的命题是（ ） A.①② B.②③C.③④D.①④【答案】B【解析】通过判定定理、性质定理、定义、举例的方式逐项分析. 【详解】①如图所示长方体，11A C ∥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，但是11A C 不平行BD ，故错误；②根据垂直于同一平面的两条直线互相平行，可知正确；③根据两个平面平行时，其中一个平面内的任意直线平行于另一个平面，可知正确；④如图所示长方体，平面ABCD ⊥平面11BCC B 且1BC ⊂平面11BCC B ，但此时1BC 显然不垂直于平面ABCD ，故错误；综上：②③正确. 故选：B. 【点睛】本题考查符号语言下的空间中的点、线、面的位置关系的命题的真假判断，难度一般.处理符号语言表示的命题真假的问题，常用的方法有：根据判定、性质定理直接判断；根据定义判断；根据示意图、举例判断.二、解答题28．某同学解答一道三角函数题：“已知函数()()2sin 22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，且()0f =（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间5,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及相应x 的值．” 该同学解答过程如下：解答：（Ⅰ）因为()02sin f ϕ==sin 2ϕ=．因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=．（Ⅱ）因为563x ππ-≤≤，所以2233x πππ-≤+≤．令3t x π=+，则223t ππ-≤≤．画出函数2sin y t =在2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象， 由图象可知，当2t π=，即6x π=时，函数()f x 的最大值为()max 2f x =．下表列出了某些数学知识：请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识．【答案】任意角的概念，弧度制的概念，任意角的正弦的定义，函数sin y x =的图象，三角函数的周期性，正弦函数在区间[]0,2π上的性质，参数A ，ω，ϕ对函数()sin y A ωx φ=+图象变化的影响．【解析】根据解答过程逐步推导所用的数学知识. 【详解】 首先22ππϕ-<<，这里出现了负角和弧度表示角，涉及的是任意角的概念和弧度制的概念；由sin ϕ=ϕ的范围解出3πϕ=，这里涉及的是任意角的正弦的定义；解题时所画的图象涉及的是函数sin y x =的图象；作出图象后可根据周期性以及单调性计算出最大值，这里涉及的是三角函数的周期性，正弦函数在区间[]0,2π上的性质；用换元法构造正弦函数的图象其实利用的是平移的思想，这里涉及的是参数A ，ω，ϕ对函数()sin y A ωx φ=+图象变化的影响. 【点睛】本题考查三角函数章节内容的综合应用，难度一般.由解答的过程分析其中涉及的知识点，这种题型比较灵活，需要注意到每一步是根据什么得到的，这就要保证对每一块的知识点都很熟悉.29．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，点D ，E ，F 分别为PC ，AB ，AC 的中点．（Ⅰ）求证：//BC 平面DEF ； （Ⅱ）求证：DF BC ⊥．阅读下面给出的解答过程及思路分析．解答：（Ⅰ）证明：在ABC ∆中，因为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以①． 因为BC ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，所以//BC 平面DEF ． （Ⅱ）证明：因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以②． 因为D ，F 分别为PC ，AC 的中点，所以//DF PA ．所以DF BC ⊥． 思路分析：第（Ⅰ）问是先证③，再证“线面平行”； 第（Ⅱ）问是先证④，再证⑤，最后证“线线垂直”．以上证明过程及思路分析中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了三个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置．【答案】①A ；②B ；③C ；④A ；⑤B ．【解析】①：由中位线分析；②线面垂直的性质分析；③由线线推导线面；④由线面垂直推导线线垂直；⑤由线线平行推导线线垂直.【详解】①因为EF 是中位线，所以//EF BC ，故选A ；②PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，可通过线面垂直得到线线垂直，故选B ；③通过中位线，先证线线平行，再证线面平行，故选C ；④根据PA BC ⊥可知：先证明线线垂直，故选A ；⑤由//DF PA 可知：再证线线平行，故选B. 【点睛】本题考查线线、线面平行以及线线、线面垂直的证明和理解，难度较易.证明线线平行多数情况可根据中位线或者证明平行四边形来解决问题，有时候也可以根据线面平行的性质定理去证明线线平行.30．某同学解答一道解析几何题：“已知直线l ：24y x =+与x 轴的交点为A ，圆O ：()2220x y r r +=>经过点A ．（Ⅰ）求r 的值；（Ⅱ）若点B 为圆O 上一点，且直线AB 垂直于直线l ，求AB ．” 该同学解答过程如下：解答：（Ⅰ）令0y =，即240x +=，解得2x =-，所以点A 的坐标为()2,0-． 因为圆O ：()2220x y rr +=>经过点A ，所以2r =．（Ⅱ）因为AB l ⊥．所以直线AB 的斜率为2-．所以直线AB 的方程为()022y x -=-+，即24y x =--． 代入224x y +=消去y 整理得2516120x x ++=， 解得12x =-，265x =-．当265x =-时，285y =-．所以点B 的坐标为68,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭．所以||AB ==指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程． 【答案】直线AB 的斜率为2-不对，见解析【解析】根据：两直线垂直（直线斜率都存在），对应的直线斜率乘积为1-，判断出AB 对应的直线方程的斜率错误. 【详解】因为AB l ⊥，所以直线AB 的解率为12．所以直线AB 的方程为()1022y x -=-+，即22x y =--． 代入224x y +=消去x 整理得2580y y +=，解得10y =，285y =-． 当285y =-时，265x =．所以B 的坐标为68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以||AB ==．【点睛】本题考查直线与圆的综合应用以及两直线垂直时对应的斜率关系的判断，难度一般.当两条直线12l l 、 的斜率都存在且为12k k 、时，若12l l ⊥，则有121k k ?-.31．土壤重金属污染已经成为快速工业化和经济高速增长地区的一个严重问题，污染土壤中的某些重金属易被农作物吸收，并转入食物链影响大众健康．A ，B 两种重金属作为潜在的致癌物质，应引起特别关注．某中学科技小组对由A ，B 两种重金属组成的1000克混合物进行研究，测得其体积为100立方厘米（不考虑物理及化学变化），已知重金属A 的密度大于311g /cm ，小于312g /cm ，重金属B 的密度为38.65g /cm ．试计算此混合物中重金属A 的克数的范围．【答案】大于3948367克，小于4363147克. 【解析】根据题意设未知数x y 、，根据条件构建新的方程从而找到y 与x 的关系，利用函数的单调性来分析混合物中重金属A 的克数的范围. 【详解】设重金属A 的密度为3g /cm x ，此混合物中含重金属A 为y 克． 由题意可知，重金属B 为()1000y -克，且10001008.65y y x -+=．解得()13511128.65xy x x =<<-．因为1358.6513518.658.65x y x x ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，所以当8.65x >时，y 随x 的增大而减小，因为1112x <<， 所以8.658.658.65135113511351128.658.65118.65y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+<=+<⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭．解得39434836316747y <<．故此混合物中重金属A 的克数的范围是大于3948367克，小于43 63147克．【点睛】本题考查函数的实际应用，难度一般.首先对于未给出函数的实际问题，第一步需要设未知数，第二步需要根据条件所给等量关系构建新函数（注意定义域），第三步就是根据函数知识求解相应问题.。

2019年北京市普通高中学业水平考试数学试卷（附答案）一、选择题（每小题3分，共75分）1．（3分）已知集合A＝{0，1}，B＝{﹣1，1，3}，那么A∩B等于（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，3}2．（3分）平面向量，满足＝2，如果＝（1，2），那么等于（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（2，﹣4）D．（2，4）3．（3分）如果直线y＝kx﹣1与直线y＝3x平行，那么实数k的值为（）A．﹣1B．-C．D．34．（3分）如图，给出了奇函数f（x）的局部图象，那么f（1）等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．45．（3分）如果函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）的图象经过点（2，9），那么实数a等于（）A．2B．3 C.4 D.56．（3分）某中学现有学生1800人，其中初中学生1200人，高中学生600人．为了解学生在“阅读节”活动中的参与情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本，那么应从高中学生中抽取的人数为（）A．60B．90C．100D．1107．（3分）已知直线l经过点O（0，0），且与直线x﹣y﹣3＝0垂直，那么直线l的方程是（）A．x+y﹣3＝0B．x﹣y+3＝0C．x+y＝0D．x﹣y＝08．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量等于（）A．B．C．D．9．（3分）实数的值等于（）A．1B．2C．3D．410．（3分）函数y＝x2，y＝x3，，y＝lgx中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝x2B．y＝x3C．D．y＝lgx11．（3分）某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项．已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.1，那么本次活动中，中奖的概率为（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.712．（3分）如果正△ABC的边长为1，那么•等于（）A．B．C．1D．213．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a＝10，A＝45°，B＝30°，那么b等于（）A．B．C．D．14．（3分）已知圆C：x2+y2﹣2x＝0，那么圆心C到坐标原点O的距离是（）A．B．C．1D．15．（3分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，A1A⊥底面ABCD，A1A＝2，AB＝1，那么该四棱柱的体积为（）A．1B．2C．4D．816．（3分）函数f（x）＝x3﹣5的零点所在的区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）17．（3分）在sin50°，﹣sin50°，sin40°，﹣sin40°四个数中，与sin130°相等的是（）A．sin50°B．﹣sin50°C．sin40°D．﹣sin40°18．（3分）把函数y＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，再把y＝g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（）A．B．C．D．19．（3分）函数的最小值是（）A．﹣1B．0C．1D．220．（3分）在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③平行于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④21．（3分）北京市环境保护监测中心每月向公众公布北京市各区域的空气质量状况.2018年1月份各区域的PM2.5浓度情况如表：各区域1月份PM2.5浓度（单位：微克/立方米）表）A．B．C．D．22．（3分）已知，那么＝（）A．B．C．D．23．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，那么△ABC的最大内角的余弦值为（）A．B．C．D．24．（3分）北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览．下图是从2012年到2017年每年参观人数的折线图．根据图中信息，下列结论中正确的是（）A．2013年以来，每年参观总人次逐年递增B．2014年比2013年增加的参观人次不超过50万C．2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多D．2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次超过160万25．（3分）阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是（）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，BC⊥AC求证：BC⊥P A证明：因为平面P AC⊥平面ABC平面P AC∩平面ABC＝ACBC⊥AC，BC⊂平面ABC所以______．因为P A⊂平面P AC．所以BC⊥P A二、解答题（共4小题，满分25分）26．（7分）已知函数（Ⅰ）A＝；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）函数f（x）的最小正周期T＝（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅲ）求函数f（x）的最小值及相应的x的值．27．（7分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E，分别为PB，PC的中点．（Ⅰ）求证：BC∥平面ADE；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB．28．（6分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）经过点A（0，5），与x轴正半轴交于点B．（Ⅰ）r＝；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）圆O上是否存在点P，使得△PAB的面积为15？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．29．（5分）种植于道路两侧、为车辆和行人遮阴并构成街景的乔木称为行道树．为确保行人、车辆和临近道路附属设施安全，树木与原有电力线之间的距离不能超出安全距离．按照北京市《行道树修剪规范》要求，当树木与原有电力线发生矛盾时，应及时修剪树枝．《行道树修剪规范》中规定，树木与原有电力线的安全距离如表所示：树木与电力线的安全距离表高度y（m）满足关系式（Ⅰ）r＝；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）如果这棵行道树的正上方有35kV的电力线，该电力线距地面20m．那么这棵行道树自然生长多少年必须修剪？（Ⅲ）假如这棵行道树的正上方有500kV的电力线，这棵行道树一直自然生长，始终不会影响电力线段安全，那么该电力线距离地面至少多少m？北京市普通高中学业水平考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共75分）1．（3分）已知集合A＝{0，1}，B＝{﹣1，1，3}，那么A∩B等于（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，3}【解答】解：∵集合A＝{0，1}，B＝{﹣1，1，3}，∴A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（3分）平面向量，满足＝2，如果＝（1，2），那么等于（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（2，﹣4）D．（2，4）【解答】解：∵平面向量，满足＝2，＝（1，2），∴＝2（1，2）＝（2，4）．故选：D．【点评】本题考查向量的求法，考查数乘向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（3分）如果直线y＝kx﹣1与直线y＝3x平行，那么实数k的值为（）A．﹣1B．C．D．3【解答】解：∵直线y＝kx﹣1与直线y＝3x平行，∴k＝3，经过验证满足两条直线平行．故选：D．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（3分）如图，给出了奇函数f（x）的局部图象，那么f（1）等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【解答】解：根据题意，由函数的图象可得f（﹣1）＝2，又由函数为奇函数，则f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣2，故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质，关键是掌握函数单调性的性质，属于基础题．5．（3分）如果函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）的图象经过点（2，9），那么实数a等于（）A．2B．3 C.4 D.5【解答】解：指数函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，9），∴9＝a2，解得a＝3，故选：B．【点评】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．6．（3分）某中学现有学生1800人，其中初中学生1200人，高中学生600人．为了解学生在“阅读节”活动中的参与情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本，那么应从高中学生中抽取的人数为（）A．60B．90C．100D．110【解答】解：根据分层抽样的定义和题意，则高中学生中抽取的人数 600×＝60（人）．故选：A．【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在所求的层中抽取的个体数目．7．（3分）已知直线l经过点O（0，0），且与直线x﹣y﹣3＝0垂直，那么直线l的方程是（）A．x+y﹣3＝0B．x﹣y+3＝0C．x+y＝0D．x﹣y＝0【解答】解：∵直线l与直线x﹣y﹣3＝0垂直，∴直线l的斜率为﹣1，则y﹣0＝﹣（x﹣0），即x+y＝0故选：C．【点评】本题考查了直线方程的求法，属于基础题．8．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量等于（）A．B．C．D．【解答】解：在矩形ABCD中，E为CD中点，所以：，则：＝．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．（3分）实数的值等于（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：＝2+0＝2．故选：B．【点评】本题考查了有理指数幂及对数的运算性质，是基础题．10．（3分）函数y＝x2，y＝x3，，y＝lgx中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝x2B．y＝x3C．D．y＝lgx【解答】解：根据题意，函数y＝x2，为二次函数，在区间（0，+∞）为增函数；y＝x3，为幂函数，在区间（0，+∞）为增函数；，为指数函数，在区间（0，+∞）上为减函数；y＝lgx中，在区间（0，+∞）为增函数；故选：C．【点评】本题考查函数单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．11．（3分）某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项．已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.1，那么本次活动中，中奖的概率为（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.7【解答】解：由于中一等奖，中二等奖，为互斥事件，故中奖的概率为0.1+0.1＝0.2，故选：B．【点评】此题考查概率加法公式及互斥事件，是一道基础题．12．（3分）如果正△ABC的边长为1，那么•等于（）A．B．C．1D．2【解答】解：∵正△ABC的边长为1，∴•＝||•||cos A＝1×1×cos60°＝，故选：B．【点评】本题考查了向量的数量积的运算，是一道基础题．13．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a＝10，A＝45°，B＝30°，那么b等于（）A．B．C．D．【解答】解：由正弦定理＝＝，得＝，解得：b＝5，故选：B．【点评】本题考查了正弦定理的应用，考查解三角形问题，是一道基础题．14．（3分）已知圆C：x2+y2﹣2x＝0，那么圆心C到坐标原点O的距离是（）A．B．C．1D．【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2﹣2x＝0，其圆心C为（1，0），则圆心C到坐标原点O的距离d＝＝1；故选：C．【点评】本题考查圆的一般方程，涉及两点间距离公式，属于基础题．15．（3分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，A1A⊥底面ABCD，A1A＝2，AB＝1，那么该四棱柱的体积为（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：∵在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，A1A⊥底面ABCD，A1A＝2，AB＝1，∴该四棱柱的体积为V＝S正方形ABCD×AA1＝12×2＝2．故选：B．【点评】本题考查该四棱柱的体积的求法，考查四棱柱的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（3分）函数f（x）＝x3﹣5的零点所在的区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）【解答】解：由函数f（x）＝x3﹣5可得f（1）＝1﹣5＝﹣4＜0，f（2）＝8﹣5＝3＞0，故有f（1）f（2）＜0，根据函数零点的判定定理可得，函数f（x）的零点所在区间为（1，2），故选：A．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基本知识的考查．17．（3分）在sin50°，﹣sin50°，sin40°，﹣sin40°四个数中，与sin130°相等的是（）A．sin50°B．﹣sin50°C．sin40°D．﹣sin40°【解答】解：由sin130°＝sin（180°﹣50°）＝sin50°．∴与sin130°相等的是sin50°故选：A．【点评】题主要考察了诱导公式的应用，属于基本知识的考查．18．（3分）把函数y＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，再把y＝g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（）A．B．C．D．【解答】解：把函数y＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝g（x）＝sin（x﹣）的图象，再把y＝g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为y＝2sin（x﹣），故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．19．（3分）函数的最小值是（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：当x＞﹣1时，f（x）＝x2的最小值为f（0）＝0；当x≤﹣1时，f（x）＝﹣x递减，可得f（x）≥1，综上可得函数f（x）的最小值为0．故选：B．【点评】本题考查分段函数的最值求法，注意分析各段的单调性和最值，考查运算能力，属于基础题．20．（3分）在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③平行于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解；对于①，平行于同一个平面的两条直线互相平行或相交或异面，故①错误；对于②，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故②正确；对于③，平行于同一条直线的两个平面互相平行或相交，故③错误；对于④，垂直于同一个平面的两个平面互相平行或相交，故④错误．故选：B．【点评】本题考查空间线线和面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质定理的运用，属于基础题．21．（3分）北京市环境保护监测中心每月向公众公布北京市各区域的空气质量状况.2018年1月份各区域的PM2.5浓度情况如表：各区域1月份PM2.5浓度（单位：微克/立方米）表）A．B．C．D．【解答】解：从上述表格随机选择一个区域，共有17种情况，其中2018年1月份PM2.5的浓度小于36微克/立方米的地区有9个，则2018年1月份PM2.5的浓度小于36微克/立方米的概率是，故选：D．【点评】本题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等22．（3分）已知，那么＝（）A．B．C．D．【解答】解：知，那么，则：＝sin＝＝，故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，那么△ABC的最大内角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC中，，∴a＞c＞b，∴△ABC的最大内角为A，且cos A＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．24．（3分）北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览．下图是从2012年到2017年每年参观人数的折线图．根据图中信息，下列结论中正确的是（）A．2013年以来，每年参观总人次逐年递增B．2014年比2013年增加的参观人次不超过50万C．2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多D．2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次超过160万【解答】解：由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得：在A中，2013年以来，2015年参观总人次比2014年参观人次少，故A错误；在B中，2014年比2013年增加的参观人次超过50万，故B错误；在C中，2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多，故C正确；在D中，2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次不超过160万，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．25．（3分）阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是（）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，BC⊥AC求证：BC⊥P A证明：因为平面P AC⊥平面ABC平面P AC∩平面ABC＝ACBC⊥AC，BC⊂平面ABC所以______．因为P A⊂平面P AC．所以BC⊥P A【解答】解：根据面面垂直的性质定理判定得：BC⊥底面PAC，故选：C．【点评】本题考查了面面垂直的性质定理，考查数形结合思想，是一道基础题．二、解答题（共4小题，满分25分）26．（7分）已知函数（Ⅰ）A＝ 2 ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）函数f（x）的最小正周期T＝ 2π（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅲ）求函数f（x）的最小值及相应的x的值．【解答】解：（Ⅰ）函数由f（0）＝A sin＝A＝1，解得A＝2；（Ⅱ）函数f（x）＝2sin（x+），∴f（x）的最小正周期为T＝2π；（Ⅲ）令x+＝2kπ﹣，k∈Z；x＝2kπ﹣，k∈Z；此时函数f（x）取得最小值为﹣2．故答案为：（Ⅰ）2，（Ⅱ）2π．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．27．（7分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E，分别为PB，PC的中点．（Ⅰ）求证：BC∥平面ADE；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB．【解答】证明：（Ⅰ）在△PBC中，∵D、E分别为PB、PC的中点，∴DE∥BC，∵BC⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴BC∥平面ADE．（Ⅱ）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB．【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．28．（6分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）经过点A（0，5），与x轴正半轴交于点B．（Ⅰ）r＝ 5 ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）圆O上是否存在点P，使得△PAB的面积为15？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）r＝5；（Ⅱ）存在．∵r＝5，∴圆O的方程为：x2+y2＝25．依题意，A（0，5），B（5，0），∴|AB|＝，直线AB的方程为x+y﹣5＝0，又∵△PAB的面积为15，∴点P到直线AB的距离为，设点P（x0，y0），∴，解得x0+y0＝﹣1或x0+y0＝11（显然此时点P不在圆上，故舍去），联立方程组，解得或．∴存在点P（﹣4，3）或P（3，﹣4）满足题意．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，是中档题．29．（5分）种植于道路两侧、为车辆和行人遮阴并构成街景的乔木称为行道树．为确保行人、车辆和临近道路附属设施安全，树木与原有电力线之间的距离不能超出安全距离．按照北京市《行道树修剪规范》要求，当树木与原有电力线发生矛盾时，应及时修剪树枝．《行道树修剪规范》中规定，树木与原有电力线的安全距离如表所示：树木与电力线的安全距离表高度y（m）满足关系式（Ⅰ）r＝；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）如果这棵行道树的正上方有35kV的电力线，该电力线距地面20m．那么这棵行道树自然生长多少年必须修剪？（Ⅲ）假如这棵行道树的正上方有500kV的电力线，这棵行道树一直自然生长，始终不会影响电力线段安全，那么该电力线距离地面至少多少m？【解答】解：（Ⅰ）r＝，故答案为：（Ⅱ）根据题意，该树木的高度为16米时需要及时修剪这颗行道数，函数解析式为y＝，令y＝20﹣4＝16，解得x＝10，故这棵行道树自然生长10年必须修剪；（Ⅲ）因为＞0，所以1+28×＞1，所以y＝＜30，所以该电力线距离地面至少37米，这这棵行道树一直自然生长，始终不会影响电力线段安全．【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．。

六大注意1 考生需自己粘贴答题卡的条形码考生需在监考老师的指导下，自己贴本人的试卷条形码。

粘贴前，注意核对一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手报告。

如果无误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。

万一粘贴不理想，也不要撕下来重贴。

只要条形码信息无误，正确填写了本人的考生号、考场号及座位号，评卷分数不受影响。

2 拿到试卷后先检查有无缺张、漏印等拿到试卷后先检查试卷有无缺张、漏印、破损或字迹不清等情况，尽管这种可能性非常小。

如果有，及时举手报告；如无异常情况，请用签字笔在试卷的相应位置写上姓名、考生号、考场号、座位号。

写好后，放下笔，等开考信号发出后再答题，如提前抢答，将按违纪处理。

3 注意保持答题卡的平整填涂答题卡时，要注意保持答题卡的平整，不要折叠、弄脏或撕破，以免影响机器评阅。

若在考试时无意中污损答题卡确需换卡的，及时报告监考老师用备用卡解决，但耽误时间由本人负责。

不管是哪种情况需启用新答题卡，新答题卡都不再粘贴条形码，但要在新答题卡上填涂姓名、考生号、考场号和座位号。

4 不能提前交卷离场按照规定，在考试结束前，不允许考生交卷离场。

如考生确因患病等原因无法坚持到考试结束，由监考老师报告主考，由主考根据情况按有关规定处理。

5 不要把文具带出考场考试结束，停止答题，把试卷整理好。

然后将答题卡放在最上面，接着是试卷、草稿纸。

不得把答题卡、试卷、草稿纸带出考场，试卷全部收齐后才能离场。

请把文具整理好，放在座次标签旁以便后面考试使用，不得把文具带走。

6 外语听力有试听环外语考试14:40入场完毕，听力采用CD 播放。

14：50开始听力试听，试听结束时，会有“试听到此结束”的提示。

听力部分考试结束时，将会有“听力部分到此结束”的提示。

听力部分结束后，考生可以开始做其他部分试题。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1、（2019•北京）已知集合A={x|-1<x<2}，B={x|x>1}，则AUB=（ ） A. （-1，1） B. （1，2） C. （-1，+∞） D. （1，+∞） 【答案】C【解析】【解答】因为{}{}12,1,A x x B x x =-<<=> 所以{}1,A B x x =>-U 故答案为：C.【分析】本题考查了集合的并运算，根据集合A 和B 直接求出交集即可. 2、（2019•北京）已知复数z=2+i ，则·z z =（ ）【答案】D【解析】【解答】根据2z i =+，得2z i =-， 所以(2)(2)415z z i i ⋅=+⋅-=+=， 故答案为：D.【分析】根据z 得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.3、（2019•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）A. 12y x = B. y=2-xC.12log y x = D. 1y x= 【答案】A【解析】【解答】A ：12y x =为幂函数，102α=>，所以该函数在()0,+∞上单调递增； B:指数函数xx1y 22-⎛⎫== ⎪⎝⎭，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； C ：对数函数12log y x =，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； D ：反比例函数1y x=，其k=1>0，故在()0,+∞上单调递减； 故答案为：A.【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数及反比例函数的单调性逐一判断即可. 4、（2019•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【解答】k=1，s=1， s=2212312⨯=⨯-，k<3,故执行循环体k=1+1=2，2222322s ⨯==⨯-； 此时k=2<3，故继续执行循环体k=3，2222322s ⨯==⨯-，此时k=3，结束循环，输出s=2. 故答案为：B.【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.5、（2019•北京）已知双曲线2221x y a-=（a>0a=（ ）B. 4C. 2D. 12【答案】D【解析】【解答】双曲线的离心率c e a ===， 故2251,a a =+解得211,42a a ==， 故答案为：D.【分析】根据双曲线的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出a 的值.6、（2019•北京）设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】【解答】若b=0，则()cos f x x =为偶函数， 若()cos sin f x x b x =+为偶函数，则()()()cos sin cos sin ()cos sin f x x b x x b x f x x b x -=-+-=-==+， 所以2sin 0,b x =B=0,综上，b=0是f （x ）为偶函数的充要条件. 故答案为：C.【分析】根据偶函数的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性，即可确定充分、必要性. 7、（2019•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=125lg 2E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10-10.1 【答案】A【解析】【解答】解：设太阳的亮度为1E ,天狼星的亮度为2E ， 根据题意1251.45(26.7)lg 2E E ---=, 故122g25.2510.15E l E =⨯=， 所以10.11210E E =；故答案为：A.【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.8、（2019•北京）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β 【答案】B【解析】【解答】设圆心为O ，根据,APB β∠=可知AB 所对圆心角2,AOB β∠=故扇形AOB 的面积为22242πββπ⋅⋅=，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，故阴影部分面积最大值4,AOB PAB S S S β=-+V V 而2sin 22cos 4sin cos 2AOB S ββββ⨯⨯==V ，()2sin 222cos 4sin 4sin cos 2PAB S βββββ⨯⨯+==+V ，故阴影部分面积最大值444sin ,AOB PAB S S S βββ=-+=+V V 故答案为：B.【分析】根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分，9、（2019•北京）已知向量a r =（-4.3），b r =（6，m ），且a b ⊥r r，则m= . 【答案】8【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得()4630,m -⨯+= 解得m=8. 故答案为8.【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.10、（2019•北京）若x ，y 满足214310x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩.则y-x 的最小值为 ，最大值为 . 【答案】-3|1【解析】【解答】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最小值-3，过（2，3）时取最大值1. 故答案为-3；1.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值和最小值. 11、（2019•北京）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l.则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 .【答案】()2214x y -+=【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点坐标F （1,0），准线方程：x=-1， 焦点F 到准线l 的距离为2， 故圆心为（1,0），半径为2， 所以圆的方程为()2214x y -+=；故答案为()2214x y -+=.【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，即可得到圆心和半径，写出圆的标准方程即可. 12、（2019•北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 .【答案】40【解析】【解答】根据三视图，可知正方体体积31464V ==，去掉的四棱柱体积()22424242V +⨯=⨯=，故该几何体的体积V=64-24=40. 故答案为40.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可.13、（2019•北京）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： . 【答案】若②③，则①【解析】【解答】若l α⊥，则l 垂直于α内任意一条直线， 若m αP ，则l m ⊥； 故答案为若②③，则①.14、（2019•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 . 【答案】130|15【解析】【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元， 140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可， 根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元， 故实际付款（120-x ）元，此时李明得到()12080%x -⨯， 故()12080%1200.7x -⨯≥⨯，解得15x ≤； 故最大值为15. 故答案为①130；②15.【分析】①根据已知，直接计算即可；②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值. 三、解答题共6小题，共80分.15、（2019•北京）在△ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=-12. （I ）求b ，c 的值：（II ）求sin （B+C ）的值.【答案】解：（I ）根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 故()22129232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯-⎪⎝⎭， 解得c=5，B=7；（II ）根据1cos 2B =-，得sin B =，根据正弦定理，sin sin b cB C=，5sin C=，解得sin C =，所以11cos 14C =，所以()111sin sin cos cos sin 21421414B c BC B C ⎛⎫+=+=+-⨯=⎪⎝⎭【解析】【分析】（I ）根据余弦定理，解方程即可求出c 和b ；（II ）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB ，结合正弦定理，求出sinC 和cosC ，即可依据两角和的正弦公式，求出sin （B+C ）.16、（2019•北京）设{a n }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列.（I ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. 【答案】解：（I ）根据三者成等比数列，可知()()()23248106a a a +=++，故()()()2102810101036d d d -++=-++-++， 解得d=2，故()1021212n a n n =-+-=-； （Ⅱ）由（I ）知()210212112n n n S n n -+-⋅==-，该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5， 故n=5或6时，n S 取最小值-30.【解析】【分析】（I ）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d ，即可求出n a ；（Ⅱ）由（1），求出n S ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.17、（2019•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（II ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率； （III ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B 的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（II ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【答案】解：（I ）据估计，100人中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为100-5-27-3-24-1=40人，故该校学生中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为400人；（II ）该校学生上个月仅使用B 支付的共25人，其中支付金额大于2000的有一人，故概率为125； （III ）不能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到法机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付抄过2000的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化. 【解析】【分析】（I ）根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可； （II ）根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率； （III ）从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可.18、（2019•北京）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由. 【答案】（Ⅰ）证明：因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥， 又因为PA ABCD ⊥平面，所以BD PA ⊥，而PA AC A =I ， 故BD PAC ⊥平面；（Ⅱ）因为60ABC ∠=︒,所以60ADC ∠=︒，故ADC V 为等边三角形， 而E 为CD 的中点，故AE CD ⊥,所以AE AB ⊥, 又因为PA ABCD ⊥平面，所以AB PA ⊥, 因为PA AE A =I ，所以AB PAE ⊥平面,又因为AB PAB ⊂平面，所以PAB PAE ⊥平面平面； （Ⅲ）存在这样的F ，当F 为PB 的中点时，CF PAE P 平面； 取AB 的中点G ，连接CF 、CG 和FG ，因为G 为AB 中点，所以AE 与GC 平行且相等，故四边形AGCE 为平行四边形，所以AE GC P ,故GC PAE P 平面 在三角形BAP 中，F 、G 分别为BP 、BA 的中点，所以FG PA P , 故FG PAE P 平面,因为GC 和FG 均在平面CFG 内，且GC FG G =I , 所以CGF PAE P 平面平面，故CF PAE P 平面.【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可； （Ⅱ）根据面面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直，即可得到面面垂直；（Ⅲ）根据面面平行的判定定理，证明面面平行，即可说明两平面没有公共点，因此，一个平面内任意一条直线与另一平面均无公共点，即可说明线面平行.19、（2019•北京）已知椭圆C ：22221x y a b+=的右焦点为（1.0），且经过点A （0，1）.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设O 为原点，直线l ：y=kx+t （t ≠±1）与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】解：（I ）根据焦点为（1,0），可知c=1， 根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故2222a b c =+=，所以椭圆的方程为2212x y +=； （II ）设()()1122,,,P x y Q x y ， 则直线111:1y AP y x x -=+，直线221:1y AQ y x x -=+， 解得1212,0,,011x x M N y y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,故()1212121212111x x x x OM ON y y y y y y ⋅=⋅=---++， 将直线y=kx+t 与椭圆方程联立， 得()222124220k x ktx t +++-=，故2121222422,1212kt t x x x x k k --+==++，所以22221212228282,1212k t t k t k t y y y y k k+-++==++， 故()2121t OM ON t +⋅==-，解得t=0，故直线方程为y=kx ，一定经过原点（0,0）.【解析】【分析】（I ）根据焦点坐标和A 点坐标，求出a 和b ，即可得到椭圆的标准方程； （II ）设出P 和Q 的坐标，表示出M 和N 的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM 与ON ，根据2OM ON ⋅=，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）. 20、（2019•北京）已知函数f （x ）=14x 3-x 2+x. （I ）求曲线y=f （x ）的斜率为1的切线方程； （II ）当x ∈[-2，4]时，求证：x-6≤f （x ）≤x ；（Ⅲ）设F （x ）=|f （x ）-（x+a ）|（a ∈R ），记F （x ）在区间[-2，4]上的最大值为M （a ）.当M （a ）最小时，求a 的值. 【答案】解（I ）()23'214f x x x =-+，令()'1f x =， 则1280,3x x ==，因为()8800,327f f ⎛⎫==⎪⎝⎭， 故斜率为1的直线为y=x 或88273y x -=-， 整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或64027x y --=； （II ）构造函数g （x ）=f （x ）-x+6， 则()23'24g x x x =-，令()'0g x =，则1280,3x x ==， 故g （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故g （x ）的最小值为g （-2）或83g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而g （-2）=0，8980327g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故()min (2)0g x g =-=⎡⎤⎣⎦， 所以()0g x ≥，故在[-2,4]上，()6x f x -≤； 构造函数h （x ）=f （x ）-x ， 则()23'24h x x x =-，令()'0h x =，则1280,3x x ==，故h （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故h （x ）的最大值为h （0）或h （4），因为h （0）=0，h （4）=0，所以()0h x ≤，故在[-2,4]上，()f x x ≤， 综上在[-2,4]上，()6x f x x -≤≤； （Ⅲ）令()()()3214x f x x a x x a ϕ=-+=--， 则()23'24x x x ϕ=-，令()'0x ϕ=，则1280,3x x ==， 故ϕ（x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以ϕ（x ）的最小值为ϕ（-2）=-6-a 或864327a ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 最大值为ϕ（0）=-a 或ϕ（4）=12-a ， 故()()F x x ϕ=其最大值()12,36,3a a M a a a -≤⎧=⎨+>⎩，故当a=3时，M （a ）有最小值9.【解析】【分析】（I ）求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；（II ）构造函数，要证()6x f x x -≤≤，只需要证在[-2,4]上6()0f x x g x -≥+=（）和()()0h x f x x =-≤即可，求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明；（Ⅲ）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M （a ）的表达式，即可求出M （a ）取最小值时相应的a 值.。

北京市春天一般高中会考数学试卷一、在每题给出的四个备选答案中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．（3 分）已知会合A={ 1，2，3} ， B={ 1， 2} ，那么A∩B 等于（）A．{ 3} B．{ 1，2}C．{ 1，3}D．{ 1，2，3}2．（ 3 分）已知直线l 经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l 的斜率为（）A．﹣ 3 B．C．D．33．（3 分）对随意，以下不等式恒建立的是（）A．x2＞ 0 B．C．D．lgx＞04．（3 分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2B．3C．4D．65．（3 分）给出以下四个函数①；②y=| x|；③ y=lgx；④ y=x3+1，此中奇函数的序号是（）A．①B．②C．③D．④6．（3 分）要获得函数的图象，只要将函数y=sinx 的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位7．（3 分）某程序框图如下图，那么履行该程序后输出S 的值是（）8．（3 分）设数列 { a n} 的前项和为 S n，假如 a1=1， a n+1=﹣ 2a n（ n∈ N*），那么 S1，S2， S3，S4中最小的是（）A．S1B．S2C．S3D．S49．（3 分）等于（）A．1B．2C．5D．610．（ 3 分）假如α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．11．（ 3 分）已知 a＞0，b＞0，且 a+2b=8，那么 ab 的最大值等于（）A．4B．8C．16D．3212．（ 3 分） cos12 °cos18 °﹣ sin12 sin18°的°值等于（）A．B．C．D．13．（ 3 分）共享单车为人们供应了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年纪散布进行了统计，获得的数据如表所示：年纪12﹣20 岁20﹣30 岁30﹣40 岁40 岁及以上比率14%45.5%34.5%6%为检查共享单车使用满意率状况，线采纳分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行检查，那么应抽取20﹣30 岁的人数为（）A．12 B．28 C．69D．9114．（ 3 分）某几何体的三视图如下图，此中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）15．（3 分）已知向量 知足，，，那么向量的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°16．（3 分）某学校高一年级计划在开学第二周的礼拜一至礼拜五进行 “生涯规划 ”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动， 那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是礼拜二的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．17．（ 3 分）函数的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．318．（ 3 分）已知圆 M ：x 2+y 2 =2与圆：（ ﹣ ）2+（y ﹣ 2） 2，那么两圆的位N x1 =3置关系是（）A ．内切B ．订交C ．外切D ．外离19．（ 3 分）如图，平面地区（暗影部分）对应的不等式组是（ ）A ．B ．C ．D ．20．（ 3 分）在△ ABC中，，那么sinA等于（）A．B．C．D．21．（ 3 分）《九章算》的盈不足章第19 个中提到：“今有良与安，至．去安三千里．良初日行一百九十三里，日增一十三里．初日行九十七里，日减半里⋯”其粗心：“ 在有良和同从安出到去．已知安和的距离是3000 里．良第一天行193 里，以后每日比前一天多行 13 里．第一天行97 里，以后每日比前一天少行0.5 里⋯”前 4 天，良和共走的行程之和的里数（）A．1235B．1800C．2600D．300022．（ 3 分）在正方体 ABCD A1B1C1D1中，出以下四个推测：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面 A1 C1B∥平面 ACD1④平面 A1 C1B⊥平面 BB1D1D此中正确的推测有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个23．（3 分）如图，在△ ABC中，∠ BAC=90°，AB=3，D 在斜边 BC上，且 CD=2DB，那的值为（）A．3B．5C．6D．924．（3 分）为了促使经济构造不停优化， 2015 年中央财经领导小组重申“着力增强供应侧构造性改革”.2017年国家统计局对外公布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供应侧构造性改革连续作用下，今年以往来产能收效更加突显，供求关系稳步改良”．如图为国家统计局公布的2015 年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据对比较，；例如 2016 年第二季度与 2015 年第二季度对比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据对比较，比如 2015 年第二季度与 2015 年第一季度对比较．依据上述信息，以下结论中错误的选项是（）A．2016 年第三季度和第四时度环比都有提升B．2017 年第一季度和第二季度环比都有提升C．2016 年第三季度和第四时度同比都有提升D．2017 年第一季度和第二季度同比都有提升25．（ 3 分）已知函数 f（x）=| x2﹣ 2x﹣a|+ a 在区间 [ ﹣1，3] 上的最大值是 3，那么实数 a 的取值范围是（）A．（﹣∞， 0] B．（﹣∞，﹣ 1]C．[ 0， +∞）D．二、解答题（共 5 小题，满分 25 分）26．（ 5 分）已知函数 f（x）=1﹣2sin2x（1）=；（ 2）求函数f（ x）在区间上的最大值和最小值．27．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中， PB⊥ BC，AC⊥BC，点E， F， G 分别为AB，BC， PC，的中点（1）求证： PB∥平面 EFG；（2）求证： BC⊥EG．．（分）已知数列n}是等比数列，且，公比 q=2．28 5{ a（ 1）数列 { a n } 的通项公式为 a n=；（ 2）数列 { b n} 知足 b n2n（n∈N*），求数列 { b n} 的前 n 项和 S n的最小值．=log a29．（ 5分）已知圆 M ：2x2+2y2﹣6x+1=0．（ 1）圆 M 的圆心坐标为；（2）设直线 l 过点 A（0， 2）且与 x 轴交于点 D．与圆 M 在第一象限的部分交于两点 B， C．若 O 为坐标原点，且△ OAB 与△ OCD的面积相等，求直线 l 的斜率．30．（ 5 分）同学们，你们能否注意到：在雨后的清早，沾满露水自然下垂的蜘蛛丝；空阔的野外上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的参观索道的电缆．这些现象中都有相像的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上经常被称为悬链线．悬链线的有关理论在工程、航海、光学等方面有宽泛的应用．下边我们来研究一类与悬链线有关的函数，这种函数的表达式为f（x）=ae x+be﹣x（此中a，b 是非零常数，无理数e=2.71828⋯）．（ 1）当a=1，f （x）偶函数，b=；（ 2）假如f（x）R 上的函数，写出一切合条件的a，b；（ 3）假如f（x）的最小2，求a+b 的最小．2018 年北京市春天一般高中会考数学试卷参照答案与试题分析一、在每题给出的四个备选答案中，只有一项为哪一项切合题目要求的. 1．（3 分）已知会合A={ 1，2，3} ， B={ 1， 2} ，那么A∩B 等于（）A．{ 3} B．{ 1，2}C．{ 1，3}D．{ 1，2，3}【解答】解：∵会合A={ 1，2，3} ，B={ 1，2} ，∴A∩B={ 1，2} ．应选： B．2．（ 3 分）已知直线A．﹣ 3 B．C．l 经过两点D．3P（1，2），Q（4，3），那么直线l 的斜率为（）【解答】解：直线l 的斜率k== ，应选： C．3．（3 分）对随意，以下不等式恒建立的是（）2A．x ＞ 0 B．C．D．lgx＞0【解答】解： A．x2≥ 0，所以不正确；B.≥0，所以不正确；C．∵＞0，∴+1＞ 1＞ 0，恒建立，正确；D.0＜x≤1 时， lgx≤ 0，所以不正确．应选： C．4．（3 分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：向量，，且，则 6x﹣3×4=0，解得x=2．应选：A．5．（3 分）给出以下四个函数①；②y=| x| ；③ y=lgx；④ y=x3+1，此中奇函数的序号是（A．① B．②【解答】解：①）C．③D．④知足 f（﹣ x）=﹣ f（x），为奇函数；②y=| x| 知足f（﹣ x）=f（ x），为偶函数；③ y=lgx 为对数函数，为非奇非偶函数；④y=x3+1 不知足 f （﹣ x）=﹣f （x），不为奇函数．应选 A．6．（3 分）要获得函数的图象，只要将函数y=sinx 的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位【解答】解：将函数 y=sinx 的图象向右平移个单位，可获得函数的图象，应选： B．7．（3 分）某程序框图如下图，那么履行该程序后输出S 的值是（）A．3B．6C．10D．15【解答】解：模拟程序的运转，可得i=1，S=0知足条件 i＜4，履行循环体， S=1， i=2知足条件 i＜4，履行循环体， S=3， i=3知足条件 i＜4，履行循环体， S=6， i=4不知足条件 i＜ 4，退出循环，输出S 的值为 6．应选： B．8．（3 分）设数列 { a n} 的前项和为 S n，假如 a1=1， a n+1=﹣ 2a n（ n∈ N*），那么 S1，S2， S3，S4中最小的是（）A．S1B．S2C．S3D．S4【解答】解： { a n} 的前 n 项和为 S n，假如 a1=1， a n+1=﹣ 2a n（ n∈N*），则数列 { a n} 为首项为 1，公比为﹣ 2 的等比数列，则 S1=a1=1；S2=1﹣2=﹣1；S3=1﹣2+4=3；S4=1﹣2+4﹣8=﹣5．则此中最小值为S4．应选： D．9．（3 分）等于（）A．1B．2C．5D．6【解答】解：原式 ===2．应选： B．10．（ 3 分）假如α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵ α为锐角，，∴ cosα==，∴ sin2 α=2sin αcos×α=2=．应选： A．11．（ 3 分）已知 a＞0，b＞0，且 a+2b=8，那么 ab 的最大值等于（）A．4B．8C．16D．32【解答】解： a＞0，b＞0，且 a+2b=8，则 ab= a?2b≤（）2=×16=8，当且仅当 a=2b=4，获得等号．则 ab 的最大值为8．应选： B．12．（ 3 分） cos12 °cos18 °﹣ sin12 sin18°的°值等于（）A．B．C．D．【解答】解： cos12°cos18°﹣sin12 °sin18 °=cos（ 12°+18°）=cos30°=，应选： D．13．（ 3 分）共享单车为人们供应了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年纪散布进行了统计，获得的数据如表所示：年纪12﹣20 岁20﹣30 岁30﹣40 岁40 岁及以上比率14%45.5%34.5%6%为检查共享单车使用满意率状况，线采纳分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行检查，那么应抽取20﹣30 岁的人数为（）A．12 B．28 C．69D．91【解答】解：由分层抽样的定义得应抽取20﹣30 岁的人数为 200×45.5%=91人，应选： D14．（ 3 分）某几何体的三视图如下图，此中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A．4π B．5π C．6π D．2π+4【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是底面半径为r=1，高为 2 的圆柱，∴这个几何体的表面积：2S=2×πr+2πr×2=2π+4π =6．π应选： C．15．（3 分）已知向量知足，，，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：依据题意，设向量的夹角为θ，又由，，，则 cosθ==，又由 0°≤θ≤ 180°，则θ=60；°应选： B．16．（3 分）某学校高一年级计划在开学第二周的礼拜一至礼拜五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是礼拜二的概率为（）A．B．C．D．“生涯规【解答】解：某学校高一年级计划在开学第二周的礼拜一至礼拜五进行划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，基本领件有 4 个，分别为：（礼拜一，礼拜二），（礼拜二，礼拜三），（礼拜三，礼拜四），（礼拜四，礼拜五），有一天是礼拜二包括的基本领件有 2 个，分别为：（礼拜一，礼拜二），（礼拜二，礼拜三），∴某学生随机选择的连续两天中，有一天是礼拜二的概率为p=．应选： D．17．（ 3 分）函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：依据题意，关于函数，其对应的方程为x﹣﹣2=0，令 t= ，有 t≥0，则有 t 2﹣t ﹣2=0，解可得 t=2 或 t=﹣ 1（舍），若 t= =2，则 x=4，即方程 x﹣﹣2=0有一个根4，则函数有 1 个零点；应选： B．18．（ 3 分）已知圆 M：x2+y2=2 与圆 N：（ x﹣1）2+（y﹣ 2）2=3，那么两圆的位置关系是（）A．内切B．订交C．外切D．外离【解答】解：圆 M ：x2+y2的圆心为1；=2M（ 0，0），半径为 r =圆 N：（ x﹣ 1）2+（y﹣2）2=3 的圆心为 N（ 1， 2），半径为 r2=；|MN|== ，且﹣＜＜+，∴两圆的地点关系是订交．应选： B．19．（ 3 分）如图，平面地区（暗影部分）对应的不等式组是（）A．B．C．D．【解答】解：（2，0），（0，2）点的直方程+ =1，即x+y 2=0，（ 2，0），（ 0， 2）点的直方程=1，即x y 2=0，（ 1， 0），（0， 2）点的直方程 x+ =1，即 2x y+2=0，暗影部分在 x+y2=0 的下方，即不等式 x+y 2≤ 0暗影部分在 2x y+2=0，的下方，即不等式 2x y+2≥ 0 暗影部分在x y 2=0 的上方，即不等式 x y 2≤ 0，即不等式，故： A20．（ 3 分）在△ ABC中，，那么sinA 等于（）A．B．C．D．【解答】解：在△ ABC中，，：，解得：．故： B．21．（ 3 分）《九章算》的盈不足章第19 个中提到：“今有良与安，至．去安三千里．良初日行一百九十三里，日增一十三里．初日行九十七里，日减半里⋯”其粗心：“ 在有良和同从安出到去．已知安和的距离是3000 里．良第一天行193 里，以后每日比前一天多行 13 里．第一天行97 里，以后每日比前一天少行0.5 里⋯”前 4 天，良和共走的行程之和的里数（）A．1235B．1800C．2600D．3000【解答】解：∵长安和齐的距离是3000 里．良马第一天行193 里，以后每日比前一天多行 13 里．驽马第一天行 97 里，以后每日比前一天少行0.5 里，∴前 4 天，良马和驽马共走过的行程之和的里数为：S4=（4×193+）+[ 4×] =1235．应选： A．22．（ 3 分）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下四个推测：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面 A1 C1B∥平面 ACD1④平面 A1 C1B⊥平面 BB1D1D此中正确的推测有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【解答】解：在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，在①中， A1C1与 AD1成 60°角，故①错误；在②中，∵ A1C1∥ AC，AC⊥BD，∴ A1C1⊥ BD，故②正确；在③中，∵ A1C1∥ AC，AD1∥ BC1，A1C1∩BC1=C1，AC∩ AD1=A，A1C1、BC1? 平面 A1C1B，AC、AD1? 平面 ACD1，∴平面 A1 C1B∥平面 ACD1，故③正确；在④中，∵ A1C1⊥ B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩ BB1=B1，∴平面 A1 C1B⊥平面 BB1D1D，故④正确．应选： C．23．（3 分）如图，在△ ABC中，∠ BAC=90°，AB=3，D 在斜边 BC上，且 CD=2DB，那的值为（）A．3B．5C．6D．9【解答】解：∵=﹣，∠ BAC=90°，AB=3，CD=2DB∴?=?（+）=?（ +）=?（+﹣）（+）=2+? =×9+0=6，= ?应选： C24．（3 分）为了促使经济构造不停优化，2015 年中央财经领导小组重申“着力加强供应侧构造性改革”.2017年国家统计局对外公布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供应侧构造性改革连续作用下，今年以往来产能收效更加突显，供求关系稳步改良”．如图为国家统计局公布的2015 年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据对比较，；例如 2016 年第二季度与 2015 年第二季度对比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据对比较，比如 2015 年第二季度与 2015 年第一季度对比较．依据上述信息，以下结论中错误的选项是（）A．2016 年第三季度和第四时度环比都有提升B．2017 年第一季度和第二季度环比都有提升C．2016 年第三季度和第四时度同比都有提升D．2017 年第一季度和第二季度同比都有提升【解答】解：由折线图知：在 A 中， 2016 年第三季度和第四时度环比都有提升，故 A 正确；在B 中， 2017 年第一季度和第二季度环比都有提升，故 B 正确；在 C中， 2016 年第三季度和第四时度同比都降落，故 C 错误；在 D 中，2017 年第一季度和第二季度同比都有提升，故 D 正确．应选： C．．（分）已知函数f（x）=| x2﹣ 2x﹣a|+ a 在区间 [ ﹣1，3] 上的最大值是 3，那25 3么实数 a 的取值范围是（）A．（﹣∞， 0] B．（﹣∞，﹣ 1]C．[ 0， +∞）D．【解答】解： f（x） =| x2﹣2x﹣a|+ a=| （x﹣1）2﹣ 1﹣ a| ，∵x∈[ ﹣1，3] ，∴x2﹣2x∈[ ﹣1，3] ，当 a＞3 时， x2﹣ 2x﹣a＜0，∴f（x）=| x2﹣2x﹣a|+ a=﹣x2+2x+a+a=﹣x2+2x+2a=﹣（ x﹣1）2+1﹣2a，当 x=1 时，取的最大值，即 1﹣2a=3，解得 a=﹣ 1，与题意不符；当 a≤﹣ 1 时， x2﹣2x﹣ a≥ 0，∴f（x）=| x2﹣2x﹣a|+ a=x2﹣2x﹣a+a=x2﹣2x=（ x﹣1）2﹣1，当 x=﹣1 或 3 时，取的最大值，（3﹣1）2﹣1=3，综上所述 a 的取值范围为（﹣∞，﹣ 1]应选： B．二、解答题（共 5 小题，满分 25 分）2（1）=；（ 2）求函数 f（ x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：函数 f （x） =1﹣2sin2 x=cos2x，（1）=cos（2×）= ；故答案为：；（ 2） x∈[ ﹣，] ，∴ 2x∈[ ﹣，] ，∴cos2x∈[ 0， 1] ，∴当 x=﹣时，f（x）获得最小值0，x=0 时， f （x）获得最大值1，∴函数 f（x）在区间上的最大值为1，最小值为0．27．（5 分）如图，在三棱锥P﹣ABC中， PB⊥ BC，AC⊥BC，点 E， F， G 分别为AB，BC， PC，的中点（1）求证： PB∥平面 EFG；（2）求证： BC⊥EG．【解答】证明：（1）∵点 F，G 分别为 BC，PC，的中点，∴GF∥PB，∵PB?平面 EFG，FG? 平面 EFG，∴ PB∥平面 EFG．（2）∵在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点 E，F， G 分别为 AB，BC， PC，的中点，∴EF∥AC，GF∥PB，∴ EF⊥BC，GF⊥ BC，∵EF∩FG=F，∴ BC⊥平面 EFG，∵EG? 平面 EFG，∴ BC⊥ EG．28．（ 5 分）已知数列 { a n} 是等比数列，且，公比q=2．（1）数列 { a n } 的通项公式为 a n= 2n﹣4；（2）数列 { b n} 知足 b n=log2a n（n∈N*），求数列 { b n} 的前 n 项和 S n的最小值．【解答】解：（1）数列 { a n} 是等比数列，且，公比q=2，可得 a n=?2n﹣1=2n﹣4；故答案为： 2n﹣4；（2） b n =log2a n =log22n﹣4=n﹣4，S n=n（﹣ 3+n﹣ 4） = （ n2﹣7n）= [ （n﹣）2﹣] ，可得 n=3 或 4 时， S n获得最小值，且为﹣ 6．2229．（ 5 分）已知圆 M ：2x +2y ﹣6x+1=0．（2）设直线 l 过点 A（0， 2）且与 x 轴交于点 D．与圆 M 在第一象限的部分交于两点 B， C．若 O 为坐标原点，且△ OAB 与△ OCD的面积相等，求直线 l 的斜率．【解答】解：（1）圆 M ：2x2 +2y2﹣6x+1=0．转变为：．则圆 M 的圆心坐标为：（）．（2）直线 l 过点 A（0，2）且与 x 轴交于点D．则：设直线的方程为： y=kx+2．与圆 M 在第一象限的部分交于两点 B， C．且△ OAB与△ OCD的面积相等，则： AB=CD．即： AM=DM．设点 A（x，0）则：，整理得： x2﹣3x﹣4=0，解得： x=4 或﹣ 1（负值舍去）．则： A（4，0）因为点 A 在直线 y=kx+2 上，解得： k=﹣故直线的斜率为﹣．故答案为：（，0）；直线的斜率为﹣．30．（ 5 分）同学，你能否注意到：在雨后的清早，沾露水自然下垂的蜘蛛；空的野外上，两根杆之的；峡谷上空，横跨深的光索道的．些象中都有相像的曲形．事上，些曲在数学上经常被称．的有关理在工程、航海、光学等方面有宽泛的用．下边我来研究一与有关的函数，函数的表达式f（x）=ae x+be﹣x（此中a，b 是非零常数，无理数e=2.71828⋯）．（ 1）当 a=1，f （x）偶函数， b= 1；（ 2）假如 f（x） R 上的函数，写出一切合条件的a，b；（3）假如 f（x）的最小 2，求 a+b 的最小．【解答】解：（1）当 a=1 ， f （x）=e x+be﹣x，∵f（x）是偶函数，∴ f（ x）=f（x），即 e﹣x+be x=e x+be﹣x，b=1．（ 2）当 a=1 ， b= 1 ， f （x）=e x e﹣x，增函数．（ 3）当 ab≤0 ， f （x）函数，此函数没有最小，若 f（ x）有最小2，必有 a＞ 0， b＞ 0，此 f （x） =ae x+be﹣x≥ 2=2=2，即=1，即 ab=1，a+b≥2=2，即 a+b 的最小 2．故答案： 1。

2019年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数 学 试 卷考生须知1. 考生要认真填写考场号和座位序号。

2. 本试卷共7页，分为两个部分，第一部分为选择题，27个小题（共81分）；第二部分为解答题，4个小题（共19分）。

3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔。

4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.第一部分 选择题（每小题3分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合{01}A =，，{11}B =-，，那么A B 等于A. {01}，B. {11}-，C. {0}D. {110}-，，2. 已知向量(11)=，a ，(12)=，b ，那么+a b 等于 A. (01)-， B. (12)，C. (23)，D. (32)，3. 过点(3,0)A 和(0,2)B 的直线的方程为 A. 2360x y --= B. 3240x y +-= C. 2+360x y -=D. 240x y +-=4. 函数=lg(+2)y x 的定义域是A. [)2+∞， B . ()2+∞， C. ()0+∞， D. ()2+∞-，5. 如果幂函数()=f x x α的图象经过点()4,2，那么α的值是A. 2-B. 2C. 12-D.126. 在空间直角坐标系O xyz -中，(111)A ---,,，(111)B ,,，那么AB 等于 A.2B.6 C. 22 D. 37. 2018年10月24日，我国超级工程——港珠澳大桥正式通车运营，它是世界上最长的跨海大桥，全长55千米，采用Y 型线路，连接香港、珠海和澳门三地. 如果从甲、乙、丙三位同学中任选一位同学前往港珠澳大桥参观，那么甲同学被选中的概率为A.13B.12C.23D. 18.为深入贯彻落实《国务院办公厅关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》，我市提出：到2020年，全市义务教育阶段学生体质健康合格率达到98%，基础教育阶段学生优秀率达到15%以上. 某学校现有小学和初中学生共2000人，为了解学生的体质健康合格情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为400的样本，其中被抽到的初中学生人数为180，那么这所学校的初中学生人数为A. 800B. 900C. 1000D. 11009. 化简sin()+πα为 A. sin -αB. sin αC. cos -αD. cos α10. 如果直线20x y -=与直线10x my +-=垂直，那么m 的值为 A. 2-B. 12-C.12D. 211. 已知向量(2,1)=-a ，(1,)m =b , 且2a =b ，那么m 的值为 A. 2-B. 21-C.12D. 212. 直线310x y -+=的倾斜角的度数是 A. 30B ．45C. 60D ．9013. 已知直线l 经过点(1,1)P ，且与直线20x y -+=平行，那么直线l 的方程为 A. 20x y --= B. 20x y +-=C. 0x y -=D. 40x y +-=14. 函数零点的涵义是 A. 一个点B. 函数图象与x 轴的交点的横坐标C. 函数图象与x 轴的交点D. 函数图象与y 轴的交点的纵坐标15.在函数1y x=，2y x =，2xy =，3log y x =中，奇函数是A. 1y x=B. 2y x =C. 2x y =D. 3log y x =16.在相距4千米的A ,B 两点分别观测目标点C ,如果75CAB ︒∠=,60CBA ︒∠=,那么A ,C 两点间的距离是A. 22千米B. 23千米C. 26千米D. (2+23)千米17. 已知角α的终边经过点(5,12)P ，那么sin α的值是A.512B.125C.513D.121318.已知直线+20l x y +=：和圆22(1)(1)1C x y -++=：，那么圆心C 到直线l 的距离是A.12B. 1C.2 D. 219. 函数2()2sin f x x =的最小正周期是A.2π B. πC. 2πD. 4π20. 计算021+log 24⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果为 A. 3B.54C. 2D. 121.已知两条直线m ，n 和平面α，且m α⊥，要得到结论m n ∥，还需要添加一个已知条件，这个条件应是①n ⊥α，②n α∥，③n ⊂α，④n ⊄α中的A. ①B. ②C. ③D. ④22. 已知函数1,0()=2,0.x f x x x ⎧⎨-<⎩≥，如果()=4f m ，那么实数m 的值为A. 1B. 2-C. 8-D. 12-23. 将函数2sin y x =的图象向左平移6π个单位，所得图象的函数表达式是 A ．2sin()6y x π=+B. 2sin()6y x π=-C. sin(2)6y x π=-D. sin(2)6y x π=+24.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，如果1,3,30b c B ︒===，那么角A 的度数是 A. 30︒或60︒B. 45︒或60︒C. 30︒或90︒D. 45︒或120︒25.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为棱11,AB C D 上的动点，那么三棱锥F CDE -的体积为A. 16D 1C 1B 1A 1DCBAEF[ B. 13C. 12D.2326. 已知边长为3的正方形ABCD ，点E 满足2DE EC =，那么AE AC ⋅等于 A. 6B. 9C. 12D. 1527.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，作出了新的部署. 某地区现有28万农村贫困人口，如果计划在未来3年时间内完成脱贫任务，并且后一年的脱贫任务是前一年任务的一半，为了按时完成脱贫攻坚任务，那么第一年需要完成的脱贫任务是A.10万人B. 12万人C. 14万人D. 16万人第二部分 解答题（共19分）28.（本小题满分5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数()2sin(),06f x x ωωπ=+>，其最小正周期为π．（Ⅰ）求(0)f 和ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最小值及相应x的值．”该同学解答过程如下：解：（Ⅰ）1(0)2sin 2=162f π==⨯；因为 =||T ω2π=π，且0ω>， 所以 2ω=.（Ⅱ） 画出函数2sin(2)6y x π=+在[,]63ππ-上的图象，由图象 可知，当6x π=-时，函数()f x的最小值min ()1f x =-.下表列出了某些数学知识： 任意角的概念 任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念 ,2ααπ±π±的正弦、余弦、正切的诱导公式 弧度与角度的互化 函数sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图象 三角函数的周期性 正弦函数、余弦函数在区间 [0,2]π上的性质 同角三角函数的基本关系式 正切函数在区间(,)22ππ-上的性质 两角差的余弦公式函数sin()y A x+ωϕ=的实际意义两角差的正弦、正切公式参数A ，ω，φ对函数sin()y A x+ωϕ=图象变化的影响两角和的正弦、余弦、正切公式 半角的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 积化和差、和差化积公式 请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.1π3y x-1O2-π6π629. （本小题满分5分）阅读下面题目及其证明过程，在~①⑤处填写适当的内容.已知三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，,E F 分别为11,AB CB 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：AB ⊥1A C ．解答：（Ⅰ）证明： 在1AB C ∆中，因为 ,E F 分别为11,AB CB 的中点， 所以 ① .因为 EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以 EF ∥平面ABC .（Ⅱ）证明：因为 1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以 ② . 因为90BAC ∠=︒，所以 AB AC ⊥. 又因为 1AC AA A =，所以 ③ .因为 1AC ⊂平面11AAC C ，所以 1AB AC ⊥. 上述证明过程中，第（Ⅰ）问的证明思路是先证“线线平行”，再证“线面平行”； 第（Ⅱ）问的证明思路是先证 ④ ，再证 ⑤ ，最后证“线线垂直”. 30. （本小题满分5分）某同学解答一道解析几何题：“已知圆O ：222(0)x y r r +=>与直线12l x =-：和22l x =：分别相切，点C 的坐标为(1,0)-.,A B 两点分别在直线1l 和2l 上，且AC BC ⊥, AC BC =,试推断线段AB 的中点是否在圆O 上.”该同学解答过程如下：1B 1A 1FECA解答：因为 圆O :222(0)x y r r +=>与直线1:2l x =-和2:2l x =分别相切，所以 24 2.r r ==， 所以 22 4.x y +=由题意可设(2,),(2,)A m B n -，因为 AC BC ⊥，点C 的坐标为(1,0)-， 所以 0AC BC ⋅=，即3mn =-. ① 因为 ||||AC BC =， 所以 2219m n +=+. 化简得 228.m n -= ②由①②可得 824,mn =-223324,m n -= 所以 223830m mn n +-=. 因式分解得 ()()3+30,m n m n -= 所以 3,n m =或3.m n =-解得 3,1,m n =-⎧⎨=⎩或3,1,m n =⎧⎨=-⎩所以 线段AB 的中点坐标为(0,1)-或(0,1). 所以 线段AB 的中点不在圆O 上.请指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程. 31. （本小题满分4分）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络, “八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”. 京沪高速铁路线是北京南站到上海虹桥站之间的一条高速铁路线，全长约1318km .某机构研究发现：高速列车在该线路上单程运行一次的总费用()f x （万元）与平均速度x （km/h ）及其它费用34aa （≤≤）（万元）之间近似满足函数关系21318()0.0006af x x x=+200400x （≤≤）.问：当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？2019年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷答案及评分参考[说明]1. 第一部分选择题，机读阅卷.2. 第二部分解答题. 为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可. 若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.第一部分 选择题 (共81分)第二部分 解答题 (共19分)28.（本小题满分5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数()2sin(),06f x x ωωπ=+>，其最小正周期为π．（Ⅰ）求(0)f 和ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最小值及相应x 的值．”该同学解答过程如下：下表列出了某些数学知识：请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.解答：弧度制的概念，三角函数的周期性，函数sin y x =的图象，正弦函数在区间［0，2π］上的性质，参数A ，ω，φ对函数sin()y A x+ωϕ=图象变化的影响. ……5分 29.（本小题满分5分）阅读下面题目及其证明过程，在~①⑤处填写适当的内容.已知三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，,E F 分别为11,AB CB 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：AB ⊥1A C ．解答：（Ⅰ）证明： 在1AB C ∆中，因为 ,E F 分别为11,AB CB 的中点， 所以 ① .因为 EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以 EF ∥平面ABC .（Ⅱ）证明：因为 1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以 ② . 因为90BAC ∠=︒，所以 AB AC ⊥. 又因为 1AC AA A =，所以 ③ .因为 1AC ⊂平面11AAC C ，所以 1AB AC ⊥. 上述证明过程中，第（Ⅰ）问的证明思路是先证“线线平行”，再证“线面平行”； 第（Ⅱ）问的证明思路是先证 ④ ，再证 ⑤ ，最后证“线线垂直”.解答：① EF AC ∥；② 1AA AB ⊥；③ AB ⊥平面11AAC C ；④ “线线垂直”； ⑤ “线面垂直”.（每空1分，共5分）30.（本小题满分5分）某同学解答一道解析几何题：“已知圆O :222(0x y r r +=>）与直线1:2l x =-和2:2l x =分别相切，点C 的坐标为(1,0)-.,A B 两点分别在直线1l 和2l 上，且,AC BC AC BC ⊥=,试推断线段AB 的中点是否在圆O 上.” 该同学解答过程如下：0AC BC ⋅=，即||||AC BC =，219m +=化简得 228.m n -=请指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程.解答： 3mn =-不对. …………1分 由 0AC BC ⋅=，即 3mn =. ①因为 ||||AC BC =，点C 的坐标为(1,0)-,所以=化简得 228m n -=. ②由①②解得 3,1,m n =⎧⎨=⎩ 或3,1.m n =-⎧⎨=-⎩所以 线段AB 的中点坐标(0,2)或(0,2)-.所以 线段AB 的中点在圆O 上. …………5分31.（本小题满分4分）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络, “八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”. 京沪高速铁路线是北京南站到上海虹桥站之间的一条高速铁路线，全长约1318km .某机构研究发现：高速列车在该线路上单程运行一次的总费用()f x （万元）与平均速度x （km/h ）及其它费用34aa ≤≤）（（万元）之间近似满足函数关系21318()0.0006a f x x x=+200400x ≤≤（）.问:当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？解答：任取[]12,200400x x ∈，，不妨设21x x >，令210x x x ∆=->，于是 2221212113181318()()+0.0006+0.0006a a y f x f x x x x x ⎛⎫∆=-=- ⎪⎝⎭ ()()()211221211213180.0006+=a x x x x x x x x x x --+-()()211212120.00061318=x x x x x x a x x -+-⎡⎤⎣⎦. 因为 1200400x ≤≤，2200400x ≤≤，所以 12400+800x x <<，1240000160000x x <<. 所以 12240.000696x x <<.所以 12120.0006768009600x x x x <+<().又因为34a ≤≤，所以 395413185272a ≤≤.所以 121243280.0006728461318x x x x a <+<()-.所以 ()12120.000613180x x x x a +->.因为 210x x ->，120x x >，所以 ()()211212120.000613180x x x x x x a x x -+-⎡⎤⎣⎦>. 于是当 210x x x ∆=->时， 21()()0y f x f x ∆=->， 所以 函数()f x 在定义域[]200400，上是单调递增函数. 所以 当200x =时，函数()f x 有最小值.故运行的平均速度是200km/h 时，单程运行一次总费用最小. …………4分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷文科）数学试题本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

)1.已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（C ）A.（–1，1）B.（1，2）C.（–1，+∞）D.（1，+∞）2.已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（D ）C.3D.53.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（A ）A.12y x =B.y=2x -C.12log y x= D.1y x=4.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（B ）A.1B.2C.3D.45.已知双曲线2221x y a-=（a >0a =（D ）A.6B.4C.2D.126.设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（C ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A ）A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10.110-8.如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（B ）A.4β+4cosβB.4β+4sinβC.2β+2cosβD.2β+2sinβ第二部分（非选择题 共110分）二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分。

名师考前提醒01选择题做完就填答题卡这是针对考试总会忘记填答题卡的考生，为避免非智力因素失分，一般每门一做完选择题就填答题卡。

这时填答题卡心态较平静，不会因为担心时间不够而出现涂写错位的情况。

考试成绩的好坏往往与考试的心情有关，所以我们一定要调节好自己的考试心情。

特别是刚开始的状态，利用一些小的技巧如做完试题就填涂答题卡等，这样可以避免在最后时间较紧的情况下因匆忙而涂错、涂串或是没有涂完而造成遗憾。

02考前看相关资料转换思维考英语前最好看看复习资料，并不是要记住什么知识点，而是让大脑提前进入状态。

而数学试卷对一些学生来说比较发怵，建议在心中回忆梳理一下相关知识点，可驱使自己进入状态，效果不错。

考试紧张，这是很正常的事情，考试不紧张，就不正常了。

但是不能过度紧张，那样会给自己很大的压力不利于水平的发挥。

可以和同学聊一聊天，说说话放松一下。

03遇事都往好处想看大题时，先不想该怎么做，只是看它如何表述，甚至跟自己说“这题我会做，第一问认真看就能做对”，让自己有一个平和的心态答题。

即使是弱科，我们也要知足常乐，我只要把会做的都做上，在一场考试中把会的都做对其实就是很好的发挥了。

时刻给自己打一打气，阿Q一下，这样把对自己的期待放低一些，心态就平稳了，也就高兴了，这可以使得思路更顺畅，而超水平发挥也就很正常了。

04别看他人答题的速度考场上不要左顾右盼，观察别人做题的进度，万一人家比自己快，会给自己压力。

在考场上和比较熟悉的老师、同学可以主动打个招呼。

即使是不认识的老师，也可问候一声“老师好”，一般老师都会像老朋友似地回以微笑，这可以缓解紧张的情绪。

这一些方法和措施都是很有助于调节考试心态与考试情绪的。

有心理学家研究证明，人在平稳的平稳或是心情高兴的时候，智商最高，情商也不错，更容易发挥出自己的高水平来。

05答题遇困难要镇静，巧用考前5分钟这个问题是涉及到考试策略与方法的，对于每一学科的考试，我们都应该有自己的考试策略和答题风格。