第二十八章 锐角三角函数(单元测试一)

人教版九下第28章锐角三角函数单元测试一、选择题（共10小题）1. 在△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=2，那么下列各式中正确的是( )A. tan A=13B. cot A=13C. sin A=13D. cos A=132. 如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是( )A. CD=AB⋅tan BB. CD=AD⋅cot AC. CD=AC⋅sin BD. CD=BC⋅cos A3. 在Rt△ABC中，sin A的值为12，则cos A的值等于( )A. 12B. 22C. 32D. 34. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,3)，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为( )A. 13B. 3 C. 1010D. 310105. 如图，点E在矩形ABCD的边CD上，AB=2BC，则tan∠CBE+tan∠DAE的值是( )A. 2B. 2+3C. 2−3D. 2+236. 在△ABC中，AB=23，∠BAC=30∘．下列线段BC的长度不能使△ABC的形状和大小都确定的是( )A. 2B. 4C. 3D. 237. 如图，为加快5G网络建设，某通信公司在一个坡度i=1:2.4的山坡AB上建了一座信号塔CD，信号塔底端C到山脚A的距离AC=13米，在距山脚A水平距离18米的E处，有一高度为10米的建筑物 EF ，在建筑物顶端 F 处测得信号塔顶端 D 的仰角为 37∘（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），则信号塔 CD 的高度约是 ( )（参考数据：sin37∘≈0.60，cos 37∘≈0.80，tan37∘≈0.75）A. 22.5 米B. 27.5 米C. 32.5 米D. 45.0 米8. 如图，某梯子长 10 米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 α 时，梯子顶端靠在墙面上的点 A 处，底端落在水平地面的点 B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 β，已知 sin α=cos β=35，则梯子顶端上升了 ( )A. 1 米B. 1.5 米C. 2 米D. 2.5 米9. 在 Rt △ABC 中，AC =8，BC =6，则 cos A 的值等于 ( )A. 45B. 74C. 45 或 74D. 45 或 27710. 如图，电线杆 CD 的高度为 ℎ，两根拉线 AC 与 BC 互相垂直，∠CAB =α（A ，D ，B 三点在同一条直线上），则拉线 BC 的长度为 ( )A. ℎsin αB. ℎcos αC. ℎtan αD. ℎ⋅cos α二、填空题（共8小题）11. 如果在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为 (3,4)，射线 OP 与 x 轴的正半轴所夹的角为 α，那么 α 的余弦值等于 ．+∣tan B−3∣=0，那么△ABC的形状是．12. 若cos A−1213. 如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE，BCFG，连接EC，EG，则tan∠CEG=．14. 如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E是矩形ABCD的一个“直角点”，且CD=3EC，那么AD:AB的值是．15. 某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45∘的传送带AB调整为坡度i=1:3的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是42 m，那么新传送带AC的长是m．16. 如图，某校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30∘，∠BCA=90∘,台阶的高BC为2 m，那么m长的地毯恰好能铺好台阶（精确到0.1 m；参考数据：2≈1.414，3≈1.732）．17. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B=40∘，∠E=140∘，AB=EF=5，BC=DE=8，则这两个三角形面积的大小关系为S△ABC S△DEF（填“>”“=”或“<”）．18. 如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在，则矩形ABCD 边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF⋅AD=15，tan∠BNF=52的面积为．三、解答题（共6小题）19. 计算：4sin260∘−2sin30∘−cot45∘．tan60∘−2cos45∘20. 已知二次函数y=ax2+x+c的图象经过点A(4,0)，B(−2,0)，与y轴交于点C，求∠ACB的正切值．21. 如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E在同一直线上，连接BD交AC边于点F．（1）如果∠ABD=∠CAD，求证：BF2=DF⋅DB；（2）如果AF=2FC，S四边形ABCD=18，求S△DCF的值．22. 在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图，测得BC∥AD，斜坡AB的长为6 m，坡度i=1:3，在点B处测得旗杆顶端的仰角为70∘，点B到旗杆底部C的距离为4 m．（参考数据：sin70∘≈0.94，cos70∘≈0.34，tan70∘≈2.75，结果精确到1 m）（1）求斜坡AB的坡角α的度数；（2）求旗杆顶端离地面的高度ED．23. 由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A，B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30∘和60∘（如图所示），试确定生命所在点C的深度（参考数据：2≈1.414，3=1.732，结果精确到0.1）24. 如图所示，一幢楼房AB的后面有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60∘时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（参考数据：3≈1.73）（1）求楼房的高度约为多少米；（结果精确到0.1米）（2）过了一会儿，当α=45∘时，小猫（填“能”或“不能”）晒到太阳．答案1. A【解析】∵∠C=90∘，BC=6，AC=2，∴AB=62+22=210．A．tan A=BCAC =26=13，正确；B．cot A=ACBC =62=3，故不正确；C．sin A=BCAB =2210=1010，故不正确；D．cos A=ACAB =6210=31010，故不正确．2. D3. C【解析】∵sin A=12，∴∠A=30∘，∴cos A=cos30∘=32．故选C．4. D【解析】由题意知OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，AB=OA2+OB2=32+42=5，∴AC=AB=5，∴OC=AC−AO=1，在Rt△BOC中，BC=OC2+OB2=12+32=10，∴sin C=OBBC =310=31010．5. A6. A【解析】如图（1），过点B作BD⊥AC于点D，×23=3，则BD=AB sin30∘=12故当BC=3，即点D与点C重合时，△ABC的形状和大小唯一确定，即C选项不符合题意；当BC=2时，如图（2），则BC1=BC2=2，此时△ABC1与△ABC2的形状和大小不相同，即选项A符合题意；当BC=23时，△ABC是等腰三角形，如图（3），此时△ABC的形状与大小确定，故选项D不符合题意；当BC=4时，如图（4），△ABC是钝角三角形，形状与大小确定，故选项B不符合题意．7. B8. C【解析】如图所示，在Rt△ABC中，AC=sinα×AB=35×10=6（米）；在Rt△DEC中，DC=cosβ×DE=35×10=6（米），EC=DE2−DC2=100−36=8（米）；∴AE=EC−AC=8−6=2（米）．9. C【解析】存在两种情况：①当AB为斜边时，∠C=90∘，∵AC=8，BC=6，∴AB=AC2+BC2=82+62=10．∴cos A=ACAB =810=45，②当AC为斜边时，∠B=90∘，∵AC=8，BC=6，∴AB=AC2−BC2=82−62=27，∴cos A=ABAC =278=74．综上所述，cos A的值等于45或74．10. B11. 35【解析】过P作PA⊥x轴于A，∵P(3,4)，∴PA=4，OA=3，由勾股定理得：OP=5，∴α的余弦值是OAOP =35．答案为：35．12. 等边三角形【解析】由题意得cos A−12=0，tan B−3=0，∴cos A=12，tan B=3，∴∠A=60∘，∠B=60∘，∴∠C=60∘，∴△ABC的形状是等边三角形．13. 12【解析】设BC=a，则AC=2a．∵正方形ACDE，∴EC=(2a)2+(2a)2=22a，∠ECD=12∠ACD=45∘．同理：CG=2a，∠GCD=12∠BCD=45∘．∴tan∠CEG=CGCE =2a22a=12．14. 2315. 8【解析】作AD⊥直线CB于点D，∵∠ABD=45∘，∴AD=BD，∵AB=42，∴AD=BD=AB sin45∘=42×22=4，∵新传带AC的坡度i=1:3，∴ADDC =4DC=13，则DC=43，∴AC=AD2+DC2=8(m)．16. 5.517. =【解析】如图1，过点D作DH⊥EF，交FE的延长线于点H，∵∠DEF=140∘，∴∠DEH=40∘．∴DH=sin∠DEH⋅DE=8sin40∘，∴S△DEF=12EF⋅DH=20sin40∘．如图2，过点A作AG⊥BC于点G．∵AG=sin B⋅AB=5sin40∘，∴S△ABC=12BC⋅AG=20sin40∘，∴S△DEF=S△ABC．18. 155【解析】由折叠的性质可得AE=EF，AD=DF，AN=NF，∠EAN=∠EFN，∴∠BEF=2∠EAN．在Rt△ABF中，∵AN=NF，∴BN=AN=NF，∴∠EAN=∠EBN，∠BNF=2∠EAN，∴∠BEF=∠BNF，∵tan∠BNF=52，∴tan∠BEF=52，∴BFBE =52，设BF=5k(k>0)，则BE=2k，∴AE =EF =BF 2+BE 2=3k ，∴AB =CD =5k ．由折叠的性质可得 ∠EFD =∠EAD =90∘，∴∠BFE +∠CFD =90∘，又 ∵∠BEF +∠BFE =90∘，∴∠CFD =∠BEF ．∴ 在 Rt △CFD 中，tan ∠CFD =CD CF =52， ∴CF =25k ，∴AD =BC =35k ．∵BF ⋅AD =15，∴5k ⋅35k =15，解得 k =1（会去负值），∴AB =5，BC =35，∴矩形ABCD 的面积=AB ⋅BC =5×35=155．19. 原式==3−2=3+2.20. 解法一：根据题意，得 0=16a +4+c,0=4a−2+c.解得 a =−12,c =4.∴ 二次函数的解析式为 y =−12x 2+x +4．∴ 点 C (0,4)．作 BH ⊥AC ，垂足为点 H ．可求得 AH =BH =32，AC =42．∴CH =2．∴tan ∠ACB =3．【解析】解法二：设二次函数的解析式为 y =a (x−4)(x +2)．展开，得 y =ax 2−2ax−8a ．比较系数，得 −2a =1．a =−12．∴ 二次函数的解析式为 y =−12x 2+x +4．（下同解法一）．21. （1） ∵△ABC ，△DCE 均为等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =∠ACB =∠DCE =60∘，∴∠ACD =180∘−∠ACB−∠DCE =60∘，∴∠BAC =∠ACD ，在 △ABF 和 △CAD 中， ∠BAC =∠ACD,∠ABD =∠CAD,AB =AC,∴△ABF ≌△CAD ，∴AD =BF ，∵∠ABD =∠FAD ，∠ADB =∠ADB ，∴△ADF ∽△BDA ，∴AD BD =DF AD ，即 AD 2=DF ⋅DB ，∵AD =BF ，∴BF 2=DF ⋅DB ．（2） ∵∠AFB =∠DFC ，∠BAF =∠DCF ，∴△DCF ∽△ABF ，∴BF DF =AF FC ，∵AF =2FC ，∴BF DF =AF FC =2，∴BF =2FD ，设 S △DCF =x ，∵S △ADF S △DCF =AF FC =2，∴S △ADF =2x ，同理可得，S △ABF =4x ，S △BCF =2x ，∵S 四边形ABCD =18，∴S △DCF +S △ADF +S △ABF +S △BCF =18，即 x +2x +4x +2x =18，解得 x =2，即 S △DCF =2．22. （1） 如图，作 BF ⊥AD 于点 F ，∵i =tan ∠BAF =BF AF =13=33， ∴∠BAF =30∘，即 α=30∘．（2） ∵∠BAF =30∘，AB =6，∴CD=BF=12AB=3．在Rt△BCE中，∵∠EBC=70∘，BC=4，∴EC=BC⋅tan∠EBC=4tan70∘≈11，∴ED=EC+CD=11+3=14(m)．答：旗杆顶端离地面的高度ED约为14 m．23. 如图所示，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，由题意可知，∠CAD=30∘，∠CBD=60∘，设CD=x米，则BD=xtan60∘，AD=xtan30∘，∵AB=2米，AD=AB+BD，∴AD=2+BD，∴2+xtan60∘=xtan30∘，解得，x≈1.7．即生命所在点C的深度是1.7米．24. （1）当α=60∘时，在Rt△ABE中，∵tan60∘=ABAE =AB10，∴AB=10⋅tan60∘=103≈10×1.73=17.3（米）．即楼房的高度约为17.3米．（2）能【解析】当α=45∘时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下：假设没有台阶，当α=45∘时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H，如图所示．∵∠BFA=45∘，∴tan45∘=ABAF=1，此时的影长AF=AB≈17.3米，∴CF=AF−AC≈17.3−17.2=0.1（米），∴CH=CF=0.1米，∴楼房的影子落在台阶MC这个侧面上，∴小猫能晒到太阳．。

人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数定向测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，ABA ．sin AB ．tan A ＝2C ．cos B ＝2D ．sin B 2、已知，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥于E ，设ADE α∠=，且35=cos α，4AB =，则AD 的长为（ ）A ．3B ．163C ．203D ．1653、如图，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则cos ∠ACB 的值为（ ）A ．12BCD 4）A ．2B ．3C ．4D ．55、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，则sin B 的值为（ ）A B C ．12D6sin60°﹣2tan45°的值是（ ）A ．2B ．32C ．D ．27、如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AC =12，则tanB 等于（ ）A ．512B ．125C ．513D ．12138、在 ABC 中，(22cos 1tan 0A B +-= ，则 ABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形9、如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为α的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为8 m ，那么这两棵树在坡面上的距离AB 为（ ）A．8cosαm B．8cosαm C．8sina m D．8sinαm10、tan30︒的相反数是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，大坝的横截面是一个梯形，坝顶宽10mDC=，坝高15m，斜坡AD的坡度11:2l=，斜坡BC的坡度23:4l=，则坡底宽AB=__________m．2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝A为圆心，AC长为半径作弧交AB于点D，再以点B为圆心，BD长为半径作弧交BC于点E，则图中阴影部分的面积为______．3、如图公路桥离地面的高度AC为6米，引桥AB的水平宽度BC为24米，为降低坡度，现决定将引桥坡面改为AD，使其坡度为1：6，则BD的长____．4、如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB，CD于点E，F，则弧EF的长是_________．5、如图，将ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．如果:3:5∠的值AB AD=，那么tan EFC是__________三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53︒，观测旗杆底部B 的仰角为45︒，则建筑物BC的高约为多少米？（结果保留小数点后一位）．（参考数据sin530.80︒≈，︒≈）︒≈，tan53 1.33cos530.602、计算：221cot 60cos30tan 60sin 453⋅-+ ．3、如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，与BD 交O 一点，直线EF 过点O 分别交直线AB ，CD ，BC 于E ，F ，H ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）若OC 2＝HC •BC ，OC ：BH ＝，求sin∠BAC ；（3）在△AOF 中，若AF ＝8，AO ＝OF ＝ABCD 的面积．4、计算：sin30°•tan45°+sin 260°﹣2cos60°．5、计算、解方程：（1）267x x =+（2）24(3)(3)x x x -=-（3）112tan 454sin 602-⎛⎫-︒+︒- ⎪⎝⎭---------参考答案-----------一、单选题1、D【分析】根据正弦、余弦及正切的定义直接进行排除选项．【详解】解：在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AB∴2AC ==，∴1sin tan ,cos 2BC BC BC AC A A B B AB AC AB AB ========；故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数的求法是解题的关键．2、B【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE =∠ACD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC =∠ACD ，然后求出AC ，再利用勾股定理求出BC ，然后根据矩形的对边相等可得AD =BC ．【详解】解：∵DE ⊥AC ，∴∠ADE +∠CAD =90°，∵∠ACD +∠CAD =90°，∴∠ACD =∠ADE =α，∵矩形ABCD 的对边AB ∥CD ，∴∠BAC =∠ACD ，∵cosα=35，∴35AB AC =，∴AC =53×4=203，由勾股定理得，BC =163，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC =163．故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC 是解题的关键．3、D【分析】根据图形得出AD 的长，进而利用三角函数解答即可．【详解】解：过A 作AD ⊥BC 于D ，∴DC =1，AD =3，∴AC =，∴cos ∠ACB =DC AC ==【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握勾股定理逆定理及余弦函数的定义．4、B【分析】如图，O 为正三角形ABC 的外接圆，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ， 再由等边三角形的性质，可得∠OAB =30°，12AD AB =，然后根据锐角三角函数，即可求解．【详解】解：如图，O 为正三角形ABC 的外接圆，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ，根据题意得：OA，∠OAB =30°，12AD AB =，在Rt AOD △中，3cos 2AD OA OAB =⋅∠== ，∴AB =3，即这个正三角形的边长是3．故选：B【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，三角形的外接圆，熟练掌握锐角三角函数，三角形的外接圆性质是解题的关键．5、A先根据勾股定理求出斜边AB 的值，再利用正弦函数的定义计算即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，BC =2，∴AB =∴sin B =AC AB 故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义．6、B【分析】先分别求解特殊角的三角函数值，再代入运算式进行计算即可.【详解】sin60°﹣2tan45°21+-´ 1322=+- 32=故选B【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，正确的记忆特殊角的三角函数值是解本题的关键.7、B【分析】根据锐角三角函数求解即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，所以tanB ＝AC BC ＝125，故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握正切的定义：正切是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比，是正确解答的关键．8、D【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得(32cos 0A =，1tan 0B -=，从而得cos A =tan 1B =，根据特殊角度三角函数的性质，得45A ∠=︒，45B ∠=︒；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】解：∵(32cos 1tan 0A B +-=∴(32cos 0A =，1tan 0B -=∴02cos A =，1tan 0B -=∴cos A =tan 1B =∴45A ∠=︒，45B ∠=︒∴18090C A B ∠=︒-∠-∠=︒，BC AC=∴ ABC 一定是等腰直角三角形故选：D ．【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解．9、B【分析】运用余弦函数求两树在坡面上的距离AB ．【详解】解：∵坡角为α，相邻两树之间的水平距离为8米，∴两树在坡面上的距离8cos AB α=（米）．故选：B ．【点睛】此题主要考查解直角三角形中的坡度坡角问题及学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．10、C【分析】先计算tan 30︒【详解】∵tan 30︒故选C ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，相反数的定义，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．二、填空题1、60【解析】【分析】过点D 作DE AB ⊥于点E ，过点C 作CF AB ⊥于点F ，先根据矩形的判定与性质可得10m EF DC ==，再根据坡度的定义求出,AE BF 的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】解：如图，过点D 作DE AB ⊥于点E ，过点C 作CF AB ⊥于点F ，则15m DE CF ==，四边形DEFC 是矩形，10m EF DC ∴==，斜坡AD 的坡度11:2l =，斜坡BC 的坡度23:4l =，13,24DE CF AE BF ∴==，即151153,24AE BF ==，解得30(m),20(m)AE BF ==，则坡底宽30102060(m)AB AE EF BF =++=++=，故答案为：60．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用（坡度）、矩形的判定与性质等知识点，掌握理解坡度的定义（坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度）是解题关键．2、π【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，求出∠B 和∠A 的度数，再根据三角形的面积公式和扇形的面积公式分别求出△ACB 和扇形ACD 、扇形BDE 的面积，最后求出答案即可．【详解】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝∴由勾股定理得：AB =4，∴tan AC B BC ===∴∠B ＝30°，∠A ＝60°，由题意，AC =AD =2，则BD =AB -AD =2，∴阴影部分的面积S ＝S △ABC ﹣S 扇形ACD ﹣S 扇形BDE22160230222360360ππ⨯⨯=⨯⨯-π=，故答案为：π-．【点睛】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，以及扇形面积相关计算问题，掌握特殊角的三角函数值，以及扇形的面积计算公式是解题关键．3、12米##12m【解析】【分析】根据坡度的概念可得ACCD =16，求得CD，即可求解．【详解】解：根据坡度的概念可得ACCD =16，CD=6AC=36m，BD=CD−BC=12m，故答案为：12m【点睛】此题考查了坡度的概念，掌握坡度的概念是解题的关键，坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度．4、2 3π【解析】【分析】先根据12OD OF=得出30OFD∠=︒，同理可得出30OEA∠=︒，进而得出60EOF∠=︒，根据扇形的弧长公式计算即可．【详解】由题意可得：2OE OG OF===∴12OD OF =∴在Rt ODF 中，1sin 2OD OFD OF ∠==∴30OFD ∠=︒同理可得：30OEA ∠=︒AB OG DC∥∥ 30EOG OEA ∴∠=∠=︒，30FOG OFD ∠=∠=︒∴60EOF EOG FOG ∠=∠+∠=︒∴ 60221801803n r EF πππ⨯===故答案为：23π【点睛】本题考查了扇形的弧长计算，以及直角三角形的性质，熟练掌握扇形的弧长计算公式和直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．5、43##113【解析】【分析】利用“一线三垂直”模型，可知=EFC BAF ∠∠，由折叠可知，AE =AD ，利用勾股定理表示出BF ，即可求出tan EFC ∠的值．【详解】解：由题意得，∵=90D AFE ∠∠=︒,∴==90B C AFE ∠∠∠=︒，即：90EFC BFA BFA BAF ∠+∠=∠+∠=︒，∴=EFC BAF ∠∠．设：AB 为3x ，则AD 为5x ，∵AE =AD =5x ，∴在t R ABF 中，有勾股定理得：4BF x ===，∴44tan =33BF x BAF AB x ∠==，∴4tan =3EFC ∠．故答案为：43．【点睛】本题是图形与三角函数的综合运用，利用图形的变换，表示出所求的教角的函数值是本题的关键．三、解答题1、建筑物BC 的高约为24.2米【解析】【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得BC CD =，设m BC CD x ==，从而可得(8)m AC x =+，再在Rt ACD △中，利用正切三角函数解直角三角形即可得．【详解】解：由题意得：AC CD ⊥，8m AB =，53ADC ∠=︒，45BDC ∠=︒，Rt BCD ∴ 是等腰直角三角形，BC CD ∴=，设m BC CD x ==，则(8)m AC x =+，在Rt ACD △中，tan AC ADC CD∠=，即8tan 53 1.33x x +=︒≈，解得24.2(m)x ≈，经检验，24.2(m)x ≈是所列分式方程的解，且符合题意，∴建筑物BC 的高约为24.2米，答：建筑物BC 的高约为24.2米．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．2、0【解析】【分析】先将特殊角锐角三角锐角三角函数值代入，再合并，即可求解．【详解】解：2213=⨯+原式11122=-+=0【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角锐角三角锐角三角函数值是解题的关键．3、（1）证明见解析；（2（3）80．【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得,OB OD AB CD = ，再根据平行线的性质可得,OBE ODF OEB OFD ∠=∠∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据菱形的判定证出平行四边形ABCD 是菱形，再根据菱形的性质可得,AC BD AB BC ⊥=，然后设(0),(0)BH x x CH y y =>=>，从而可得,OC AB BC x y ===+，代入2OC HC BC =⋅解一元二次方程可得9y x =，由此可得10,AB x OB ==，最后在Rt AOB 中，利用正弦三角函数的定义即可得；（3）先根据平行四边形的判定证出四边形AECF 是平行四边形，再根据矩形的判定证出平行四边形AECF 是矩形，根据矩形的性质可得90AFC ∠=︒，然后利用勾股定理可得16CF =，设(0)AD CD a a ==>，从而可得16DF a =-，在Rt ADF 中，利用勾股定理可得10a =，最后利用平行四边形的面积公式即可得．【详解】证明：（1） 四边形ABCD 是平行四边形，,,AB CD OB OD AB CD ∴== ，,OBE ODF OEB OFD ∴∠=∠∠=∠，在BOE △和DOF △中，OBE ODF OEB OFD OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BOE DOF AAS ∴≅ ；（2）AB CD ∥，BAC ACD ∴∠=∠，AC 平分BAD ∠，BAC DAC ∴∠=∠，ACD DAC ∴∠=∠，AD CD ∴=，∴平行四边形ABCD 是菱形，,AC BD AB BC ∴⊥=，:OC BH =∴设(0),(0)BH x x CH y y =>=>可得,OC AB BC x y ===+，由2OC HC BC =⋅得：2)()y x y =+，解得9y x =或100y x =-<（不符题意，舍去），10,AB x OB ∴===，在Rt AOB 中，sin OB BAC AB ∠==（3）由（1）已证：BOE DOF ≅△△，,BE DF OE OF ∴==，AB CD = ，AB BE CD DF ∴+=+，即AE CF =，又AB CD ∥，即AE CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，AO OF ==AO OF OE OC ∴====AC EF ∴==∴平行四边形AECF 是矩形，90AFC ∴∠=︒，16CF ∴===，设(0)AD CD a a ==>，则16DF a =-，在Rt ADF 中，222AF DF AD +=，即2228(16)a a +-=，解得10a =，即10CD =，则平行四边形ABCD 的面积为10880CD AF ⋅=⨯=．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、一元二次方程的应用、正弦三角函数等知识点，熟练掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．4、14【解析】【分析】将特殊角的三角形函数值代入计算即可【详解】原式2111222=⨯+-⨯13124=+-14=【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解答的关键．5、（1）127,1x x ==-；（2）123,4x x ==；（3）-【解析】（1）利用配方法求出方程的解；（2）利用因式分解法求出方程的解；（3）利用负指数幂法则，特殊角的三角函数值计算，化简二次根式后计算出最后的结果．【详解】（1）解：x 2=6x +7方程可化为26916x x -+=即2(3)16x -=∴34x -=±∴127,1x x ==-；（2）解：4(x −3)2=x (x −3)方程可化为：24(3)(3)0x x x ---=∴(3)(312)0x x --=∴30x -=或3120x -=∴123,4x x ==．（3））11()2-−2tan45°+4sin60°−＝2﹣2+＝﹣本题考查了实数的运算、解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．。

九年级数学人教版《锐角三角函数》单元测试题（Word 版有答案）一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值( )A ．扩大2倍B ．缩小12 C ．不变 D ．无法确定2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则∠A 的余弦值是( )A.35B.34C.43D.453．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝2，那么AB 的长等于( )A.2sin α B ．2sin α C.2cos αD ．2cos α 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长度为( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm 5．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，tanA ＝512，则cosA ＝( )A.125 B.1213 C.513 D.5126．三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则最小角的正切值是( )A ．1 B.22 C.33D. 3 7．(－sin60°，cos60°)关于y 轴对称的点的坐标是( )A ．(32，12) B ．(－32，12) C ．(－32，－12) D ．(－12，－32) 8．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( )A ．2 B.255 C.55 D.129．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D.若AC ＝62，∠C ＝45°，tan ∠ABC ＝3，则BD 等于( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 310．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( )A ．sinB ＝AD AB B ．sinB ＝ACBCC ．sinB ＝AD AC D ．sinB ＝CDAC11．将宽为2 cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是( )A.23 3 cm B.433 cm C. 5 cm D ．2 cm12．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13 m 至坡顶B 处，再沿水平方向行走6 m 至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，那么大树CD 的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)( )A ．8.1 mB ．17.2 mC ．19.7 mD ．25.5 m13．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 上一点，且FC ＝2BF ，连接AE ，EF.若AB ＝2，AD ＝3，则cos ∠AEF 的值是( )A. 3B.32 C.22 D.1214．如图，以坐标原点O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(sin α，cos α)D ．(cos α，sin α)15．如图，已知点C 与某建筑物底端B 相距306米(点C 与点B 在同一水平面上)，某同学从点C 出发，沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯视角为20°，则建筑物AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )A ．29.1米B ．31.9米C ．45.9米D ．95.9米16．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝22，CD ＝2，点P 在四边形ABCD 的边上，若点P 到BD 的距离为32，则点P 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上)17．计算：cos 245°＋3tan60°＋cos30°＋2sin30°－2tan45°＝ ．18．张丽不慎将一道数学题沾上了污渍，变为“如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝63，tanC ＝，求BC 的长度”．张丽翻看答案后，得知BC ＝6＋33，则部分为 ． 19．如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan ∠BA 1C ＝1，tan ∠BA 2C ＝13，tan∠BA 3C ＝17，计算tan ∠BA 4C ＝113，…，按此规律，写出tan ∠BA n C ＝ ．(用含n 的代数式表示)三、解答题(本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分8分)Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝0.8，b＝0.4，解这个直角三角形．解：21．(本小题满分9分)△ABC中，(3·tanA－3)2＋|2cosB－3|＝0.(1) 判断△ABC的形状；(2) 若AB＝10，求BC，AC的长．解：22．(本小题满分9分)如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD＝60°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°.若房屋的高BC＝6 m．求树高DE.解：23．(本小题满分9分)如图，某船由西向东航行，在点A处测得小岛O在北偏东60°方向，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优卷人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优卷一、选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A的正弦值( D ) A．扩大为原来的5倍B ．缩小为原来的15C ．扩大为原来的10倍D ．不变2.小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D 处后进球.已知小明与篮框底的距离BC=5米，眼睛与地面的距离AB=1.7米，视线AD 与水平线AE 的夹角为a ，如图所示.若tana=310，则点D 到地面的距离CD 是( C )A.2.7米B.3.0米C.3.2米D.3.4米3.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( B )A ． 144 cmB ． 180 cmC ． 240 cmD ． 360 cm4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝，则∠A 的度数是( A )A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 70°5.如图，有两个全等的正方形ABCD 和BEFC ，则tan(∠BAF ＋∠AFB)=( A )A.1B.56 C. 23D. 6.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得到Rt △A ′B ′C ′，那么锐角∠A 、∠A ′的余弦值的关系是( B )A ．cosA ＝cosA ′B ．cosA ＝3cosA ′C ．3cosA ＝cosA ′D ．不能确定7.如图，小岛在港口P 的北偏西60°方向，距港口56海里的A 处，货船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是( A )海里/时 /时 海里/时 海里/时8.如图，在△ABC 中，AB =2，BC =4，∠ABC =30°，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ A ） A.B.C.D.9.如图，△ABD 和△BDC 都是直角三角形，且∠ABD=∠BDC=90°，∠BAD=30°，∠DBC=45°，则tan ∠DAC 的值为( C )A.B. C. D. 310.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( D )A ．26米B ．28米 C.30米 D ．46米11.如图，△ABC 内接于⊙0，AD 为⊙0的直径，交BC 于点E ，若DE=2，0E=3，则tan ∠ACB ·tan ∠ABC=( C )A.2B.3C.4D.5二、填空题12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ∶BC ＝1∶2，则sinB ＝________． [答案] 3413.如图，在半径为3的⊙0中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC=2，则tanD=____.[答案]14.已知对任意锐角α，β均有cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β，则cos75°＝________．【答案】6－2415.如图，在△ABC 中，AB=AC=10，点D 是边上一动点(不与B ，C 重合)，∠ADE=∠B=a ，DE 交AC 于点E ，且cosa=45，则线段CE 的最大值为____.【答案】6.416.一个人由山脚爬到山顶，须先爬倾斜角为30度的山坡300米到达D ，再爬倾斜角为60度的山坡200米，这座山的高度为______________(结果保留根号)【答案】(150＋100)米17.如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为20 m，则电梯楼的高BC为____________米(精确到0.1)．(参考数据：≈1.414≈1.732)【答案】54.618.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为_____米．【答案】5三、解答题19.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，求cos A的值．【答案】解在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴cos A＝sin B＝.20.被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆(俗称“玉米楼”)坐落在风景如画的如意湖畔，是来郑州观光的游客留影的最佳景点.学完了三角函数知识后，刘明和王华决定用自己学到的知识测量“玉米楼”的高度.如图，刘明在点C处测得楼顶B的仰角为45°，王华在高台上的D处测得楼顶的仰角为40°.若高台DE的高为5米，点D到点C的水平距离EC为47.4米，A，C，E三点共线，求“玉米楼”AB的高度.(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数)【解析】如图，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，交BC 于点F ，过点C 作CG ⊥DM 于点G ，设BM=x 米，由题意，得DG=47.4米，CG=5米，∠BFM=45°，∠BDM=40°，则FM=BM=x 米，GF=CG=5米，∴DF=DG ＋GF=52.4米，∴DM=BM tan BDM ∠=x tan 40︒≈x0.84(米)，∵DM －FM=DF ，∴x0.84－x=52.4，解得x≈275.1，∴AB=BM ＋AM=BM ＋DE ≈280米. 答：“玉米楼”AB 的高约为280米.21.计算：sin 45°＋cos 230°＋2sin 60°. 【答案】解 原式＝×＋2＋2×＝＋＋＝1＋. 22.如图，AB 是⊙O 的直径，延长AB 至P ，使BP=OB ，BD 垂直于弦BC ，垂足为点B ，点D 在PC 上，设∠PCB=α，∠P0C=β，求证tan α·tan β=13【解析】如图，连接AC ，则∠A=12∠POC=2β. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴tan 2β=BCAC.∵BD ⊥BC ，tan α=BD BC ，BD ∥AC ，∴△PBD ∽△PAC ，∴BD AC =PBPA.∵PB=OB=OA ，∴PB PA =13.∴BD AC =13.∴tan α·tan 2β=BD BC ·BC AC =BDAC人教版九年级数学下册 第二十八章锐角三角函数检测卷一、选择题(每小题3分，共30分)1.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，BC ＝5，那么下列式子中正确的是( A )A.sin A ＝58B.cos A ＝58C.tan A ＝58 D.以上都不对 2.若cos A ＝32，则∠A 的大小是( A ) A.30° B.45° C.60° D.90°3.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝37，BC ＝4，则AB 的长度为( D ) A.43 B.74 C.8103 D.2834.如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( A )A.2＋ 3B.2 3C.3＋ 3D.3 35.△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD ⊥BC 于D ，下列四个选项中，错误的是( C )A.sin α＝cos αB.tan C ＝2C.sin β＝cos βD.tan α＝16.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔为2 海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是( C )A.2 海里B.2sin55°海里C.2cos55°海里D.2tan55°海里7.Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，那么c 等于( B )A.a cos A＋b sin BB.a sin A＋b sin BC.asin A＋bsin B D.acos A＋bsin B8.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( D )A.4sinθ米2 B.4cosθ米2 C.(4＋tanθ4)米2 D.(4＋4tanθ)米29.如图，要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD 垂直.当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心时照明效果最佳.此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为( D )A.(11－22)米B.(113－22)米C.(11－23)米D.(113－4)米10.如图，小明爬山，在山脚下B处看山顶A的仰角为30°，小明在坡度为i＝512的山坡BD上去走1300米到达D处，此时小明看山顶A的仰角为60°，则山高AC为( B )A.600－250 3B.6003－250C.350＋350 3D.500 3二、填空题(每小题4分，共24分)11.计算：2sin60°12.如图，▱ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于13.传送带和地面所成斜坡的坡度为1∶0.75，它把物体从地面送到离地面高8米的地方，物体在传送带上所经过的路程为10米.14.如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米(假设拉线是直的)，且拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平(结果保留根号).15.如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos∠E＝12 .16.△ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是三、解答题(共66分)17.(6分)计算：2cos 245°－(tan60°－2)2－(sin60°－1)0＋(12)－2 解：原式＝2×(22)2－|3－2|－1＋4＝1－(2－3)－1＋4＝3＋2.18.(6分)如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值.解：∵在直角△ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9，∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13，∴sin C ＝AD AC ＝1213.19.(6分)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为31°，AB 的长为12米，求大厅两层之间的距离BC 的长.(结果精确到0.1米)(参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.60)解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB·sin∠BAC＝12×0.515≈6.2(米).即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米.20.(8分)如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m).(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)解：作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°，在Rt△AFB中，∵AB＝2.7，∴AF＝2.7×cos70°≈2.7×0.34＝0.918，∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1 m，答：端点A到地面CD的距离是1.1 m.21.(8分)王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示.已知AC＝20 cm，BC＝18 cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17 cm，宽为8 cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由.(提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2)解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内.理由：作AD⊥BC于点D，∵∠C＝50°，AC＝20 cm，∴AD＝AC·sin50°＝20×0.8＝16 cm，CD＝AC·cos50°＝20×0.6＝12 cm，∵BC＝18 cm，∴DB＝BC－CD＝18－12＝6 cm，∴AB＝AD2＋BD2＝162＋62＝292，∵17＝289＜292，∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内.22.(10分)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14米.求居民楼的高度(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73)人教新版九年级下学期单元测试卷：《锐角三角函数》一．选择题1．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan∠BCD＝，则tan A ＝（）A．B．1C．D．2．若0°＜∠A＜45°，那么sin A﹣cos A的值（）A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定3．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．04．关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβcos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1利用上述公式计算下列三角函数①s in105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知sinα＝，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（）A．（b+2a，2b）B．（﹣b﹣2c，2b）C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c）D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）7．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB＝60°，OA＝OB＝14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm8．如图，一辆小车沿坡度为的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米9．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平底面A处安置侧倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为30°，向前走20米到达E处，测得点D的仰角为60°已知侧倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米）（）A．30米B．18.9米C．32.6米D．30.6米10．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（）A．1小时B．2小时C．3小时D．4小时二．填空题11．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝37°，则BC的长为（注：tan ∠B＝0.75，sin∠B＝0.6，c os∠B＝0.8）12．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°cos50°．13．若tanα＝1（0°＜α＜90°），则sinα＝．14．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝，则cos A＝．15．在△ABC中，若|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，则∠C的度数是．16．请从下列两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A：一个正多边形的一个外角为36°，则这个多边形的对角线有条．B：在△ABC中AB＝AC，若AB＝3，BC＝4，则∠A的度数约为．（用科学计算器计算，结果精确到0.1°．）17．如图，点A（t，2）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα＝，则t＝18．如图，小明想测量学校教学楼的高度，教学楼AB的后面有一建筑物CD，他测得当光线与地面成22°的夹角时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米高的影子CE；而当光线与地面成45°的夹角时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（点B，F，C在同一条直线上），则AE之间的长为米．（结果精确到lm，参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.9375，tan22°≈0.4）三．解答题19．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．20．我们知道：sin30°＝，tan30°＝，sin45°＝，tan45°＝1，sin60°＝，tan60°＝，由此我们可以看到tan30°＞sin30°，tan45°＞sin45°，tan60°＞sin60°，那么对于任意锐角α，是否可以得到tanα＞sinα呢？请结合锐角三角函数的定义加以说明．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝．求cos A，sin B，tan B的值．22．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．23．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．24．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为（6，y），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值为．求：（1）y的值；（2）角α的正弦值．25．某建筑物的金属支架如图所示，根据要求AB长为4m，C为AB的中点，点B到D的距离比立柱CD的长小0.5m，∠BCD＝60°，求立柱CD长．26．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD（结果果保留根号）．参考答案一．选择题1．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE＝90°．∴BE∥AC．∵AB＝BD，∴AC＝2BE．又∵tan∠BCD＝，设BE＝x，则AC＝2x，∴tan A＝＝＝，故选：A．2．【解答】解：∵cos A＝sin（90°﹣A），余弦函数随角增大而减小，∴当0°＜∠A＜45°时，sin A＜cos A，即sin A﹣cos A＜0．故选：B．3．【解答】解：∵sinα+cosα＝，∴（sinα+cosα）2＝2，即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．又∵sin2α+cos2α＝1，∴2sinαcosα＝1．∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．∴sinα﹣cosα＝0．故选：D．4．【解答】解：①sin105°＝sin（45°+60°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°＝×+×＝，故此选项正确；②tan105°＝tan（60°+45°）＝＝＝＝﹣2﹣，故此选项正确；③sin15°＝sin（60°﹣45°）＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°＝×﹣×＝，故此选项正确；④cos90°＝cos（45°+45°）＝cos45°cos45°﹣sin45°sin45°＝×﹣×＝0，故此选项正确；故正确的有4个．故选：D．5．【解答】解：“SHIET”表示使用该键上方的对应的功能．故选：D．6．【解答】解：作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．∵tan∠BAC＝＝2，∵∠CBH+∠ABH＝90°，∠ABH+∠OAB＝90°，∴∠CBH＝∠BAO，∵∠CHB＝∠AOB＝90°，∴△CBH∽△BAO，∴＝＝＝2，∴BH＝﹣2a，CH＝2b，∴C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，∴＝，∴＝，∴FH＝2c，∴C（﹣b﹣2c，2b），∵2c+2b＝﹣2a，∴2b＝﹣2a﹣2c，b＝﹣a﹣c，∴C（a﹣c，﹣2a﹣2c），故选：C．7．【解答】解：作OG⊥AB于点G，∵OA＝OB＝14厘米，∠AOB＝60°，∴∠AOG＝∠BOG＝30°，AG＝BG，∴OG＝OA•cos30°＝7厘米，故选：D．8．【解答】解：作BC⊥AC．在Rt△ABC中，∵AB＝13m，BC：AC＝5：12，∴可以假设：BC＝5k，AC＝12k，∵AB2＝BC2+AC2，∴132＝（5k）2+（12k）2，∴k＝1，∴BC＝5m，故选：A．9．【解答】解：过B作BF⊥CD，作FG⊥BD，∵∠BDF＝∠FDC＝30°，∴EF＝FH，∵∠BGF＝90°，∴EF＝FH＝10，∴DF＝20，∴DC＝DH+HC＝10+1.6≈18.9．故选：B．10．【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝12，BC＝10x，AC＝14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB＝12，∠ABD＝45°+（90°﹣75°）＝60°，∴BD＝AB•cos60°＝AB＝6，AD＝AB•sin60°＝6，∴CD＝10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：（不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．故选：B．二．填空题（共8小题）11．【解答】解：∵∠C＝90°，∴tan B＝，∴BC＝＝＝4．故答案为4．12．【解答】解：∵cos50°＝sin40°，sin50°＞sin40°，∴sin50°＞cos50°．故答案为＞．13．【解答】解：∵tanα＝1（0°＜α＜90°），∴∠α＝45°，则sinα＝，故答案为．14．【解答】解：如图，由tan B＝，得AC＝4k，BC＝3k，由勾股定理，得AB＝5k，cos A＝＝＝，故答案为：．15．【解答】解：∵在△ABC中，|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°．故答案为：90°．16．【解答】解：A、由一个正多边形的一个外角为36°，得360÷36＝10，则这个多边形的对角线有＝35，B、由AB＝AC，若AB＝3，BC＝4，得cos A＝≈0.667，A＝42.5故答案为：35，42.5°．17．【解答】解：过A作AB⊥x轴于B．∴sinα＝，∵sinα＝，∴＝，∵A（t，2），∴AB＝2，∴OA＝，∴t＝，故答案为：．18．【解答】解：过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为xm，在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝xm，∴BC＝BF+FC＝（x+13）m，在Rt△AEM中，AM＝AB﹣BM＝AB﹣CE＝（x﹣2）m，又tan∠AEM＝，∠AEM＝22°，∴＝0.4，解得x≈12，则ME＝BC＝BF+13≈12+13＝25（m）．在Rt△AEM中，cos∠AEM＝，∴AE＝≈≈27（m），故AE的长约为27m．故答案为：27．三．解答题（共8小题）19．【解答】解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，∴EC＝＝5x，EM＝＝x，CM＝＝2x，∴EM2+CM2＝CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM＝＝．20．【解答】解：对于任意锐角α，都有tanα＞sinα，理由如下：如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，设∠A＝α．则tanα＝，sinα＝，∵b＜c，∴＞，∴tanα＞sinα．21．【解答】解：∵sin A＝＝，∴设AB＝13x，BC＝12x，由勾股定理得：AC＝＝＝5x，∴cos A＝＝，sin B＝cos A＝，tan B＝＝．22．【解答】解：3tan30°+cos245°﹣2sin60°＝＝＝．23．【解答】解：（1）∵2sin30°•cos30°＝2××＝，sin60°＝．2sin22.5°•cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°＝≈0.7，∴2sin30°•cos30°＝sin60°，2sin22.5°•cos22.5＝sin45°；（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；（3）2sin15°•cos15°≈2×0.26×0.97≈，sin30°＝；故结论成立；（4）2sinα•cosα＝sin2α．24．【解答】解：（1）作PC⊥x轴于C．∵t anα＝，OC＝6，∴PC＝8，即y＝8．（2）∵OP＝＝10．则sinα＝＝＝．25．【解答】解：连接BD，作OB⊥CD于点O，∵在直角三角形BCO中，∠BCD＝60°，AB长为4m，C为AB的中点，∴OC＝m，OB＝OC＝m，在直角三角形BOD中，设CD为x，OD＝DC﹣OC＝x﹣1，BD＝CD﹣0.5＝x﹣0.5，OB＝，可得：，解得：x＝3.75，答：CD的长为3.75m．26．【解答】解：过B作BF⊥AD于F．在Rt △ABF 中，AB ＝5，BF ＝CE ＝4．∴AF ＝3．在Rt △CDE 中，tan α＝＝i ＝． ∴∠α＝30°且DE ＝＝4，∴AD ＝AF +FE +ED ＝3+4.5+4＝7.5+4．答：坡角α等于30°，坝底宽AD 为7.5+4．人教版九年级下学期第28章锐角三角函数 单元过关测试卷 含参考答案一、选择题（每小题3分，共18分）1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，b=53c ，则sinB 的值是（ ） A 、53 B 、54 C 、43 D 、34 2、在△ABC中，若1sin 02A B -=，则△ABC 是（ ） A 、等腰三角形 B 、等腰直角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形3、如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cosA=53，BE=2，则tan ∠DBE 的值是（ ） A 、21 B 、2 C 、25 D 、554、如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为（ ）A ．32 m B．62 m C ．（32﹣2）m D ．（62﹣2）m5、一人乘雪橇沿坡度为i=１:3的斜坡滑下，滑下距离Ｓ（米）与时间t （秒）之间的关（第3题） （第4题） （第6题） E D C B A D B C A B D C E A系为Ｓ＝2210t t +,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（ ）A 、72米B 、36米C 、336米D 、318米6、某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立 于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B 处， 然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么 大树CD 的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（ ）A ．8.1米B ．17.2米C ．19.7米D ．25.5米二、填空题（每小题3分，共21分）7、在△ABC 中，∠C ＝90°，若sinB ＝31，则sinA 的值为 8、如图，P 是∠α 的边OA 上一点，且点P 的坐标为（3，4）， 则sin α=9、升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m ，则旗杆高度约为 . （取3=1.732，结果精确到0.1m ）10、如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两座楼房的高，AB ⊥BC ， DC ⊥BC ，两建筑物间距离BC=30米，若甲建筑物高AB=28米，在点A 测得D 点的仰角α=45°，则乙建筑物高DC= 米.11、如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤高BC=5m ，则坡面AB 的长度是 米．12、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为13、四边形的对角线的长分别为，可以证明当时（如图1），四边形的面积，那么当所夹的锐角为θ时（如图2），四边形的面积 ．（用含的式子表示） 三、解答题（共61分）14、计算：（8分）（145sin 60)︒-︒（2）3sin60°﹣2cos30°﹣tan60°•tan45°．（第10题） （第11题） （第13题） Ｄ 图1 Ｃ 图215、（8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i （指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=20 m ．身高为1.7 m 的小明站在大堤A 点，测得高压电线杆端点D 的仰角为30°．已知地面CB 宽30 m ，求高压电线杆CD 的高度（结果保留0.1m，1.732）.16、（8分）如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB=AD ，BD 平分∠ABC ，若CD=3，BD=62，sin ∠DBC=33，求对角线AC 的长．17、（8分）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）18、（8分）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由 (≈1.411.73≈2.45， )AB19、（10分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。

2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则锐角A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定2．用计算器求sin28°，cos27°，tan26°的值，它们的大小关系是（）A．tan26°＜cos27°＜sin28°B．tan26°＜sin28°＜cos27°C．sin28°＜tan26°＜cos27°D．cos27°＜sin28°＜tan26°3．已知锐角α满足cosα＝，则tanα是（）A．B．C．2D．24．在直角三角形中不能求解的是（）A．已知一直角边和一锐角B．已知斜边和一锐角C．已知两边D．已知两角5．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米处的C点（AC⊥BA）测得∠C＝50°，则A、B间的距离应为（）A．15sin50°米B．15cos50°米C．15tan50°米D．米6．如图，在高为2m，坡比为1：的楼梯上铺地毯，地毯的长度应为（）A．4m B．6m C．m D．m 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．28．△ABC中，tan A＝1，cos B＝，则△ABC为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定9．在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝13，用计算器求∠A约等于（）A．14°38′B．65°22′C．67°23′D．22°37′10．如图，在某海岛的观察所A测得船只B的俯角是30°．若观察所的标高（当水位为0m 时的高度）是53m，当时的水位是+3m，则观察所A和船只B的水平距离BC是（）A．50m B．50m C．5m D．53m二．填空题11．比较大小：sin87°tan47°．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝1，则tan B＝．13．在△ABC中，∠B＝74°37′，∠A＝60°23′，则∠C＝，sin A+cos B+tan C ≈．14．计算：tan45°+sin260°＝．15．已知：∠α是锐角，且sinα•cosα＝，则sinα+cosα＝．16．一船向西航行，上午9时30分在小岛A的南偏东30°，距小岛A60海里的B处，上午11时，船到达小岛A的正南方向，则该船的航行速度为．17．如图，小明想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进20m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为m．（小明身高忽略不计，≈1.732）18．如图，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为，∠α＝60°，则AB＝．19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则tan A＝，若此时△ABC的周长为48，那么△ABC的面积．20．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB的垂直平分线MN交AC于D，且CD：DA ＝3：5，则sin A＝．三．解答题21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝2cm．求∠A，∠B的正弦、余弦和正切的值．22．如图，梯子AB的长为2.8m．当α＝60°时，求梯子顶端离地面的高度AD和两梯脚之间的距离BC．当α＝45°时呢？23．已知∠A为锐角，且cos A＝，求sin A、tan A．24．观察下列等式：①sin30°＝，cos60°＝；②sin45°＝，cos45°＝；③sin60°＝，cos30°＝．（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝．（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．25．如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m，在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为45°，∠ACD为56°，求气球A离地面的高度AD（精确到0.1m）．26．在直角坐标系中，点P（x，6）在第一象限，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是．求x的值，及角α的正弦和余弦值．27．用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．参考答案与试题解析一．选择题1．解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐有A的各三角函数值没有变化，故选：A．2．解：∵tan26°≈0.488，cos27°≈0.891，sin28°≈0.469．故sin28°＜tan26°＜cos27°．故选：C．3．解：∵cosα＝＝，∴可设b＝x，则c＝3x，∵a2+b2＝c2，∴a＝2x，∴tanα＝＝＝2．故选：D．4．解：A、已知一直角边和一锐角能够求解；B、已知斜边和一锐角能够求解；C、已知两边能求解；D、已知两角不能求解．故选：D．5．解：因为AC＝15米，∠C＝50°，在直角△ABC中tan50°＝，所以AB＝15•tan50°米．故选：C．6．解：如图，根据题意得：AC＝2m，i＝AC：BC＝1：，∴BC＝AC＝2m，∴地毯的长度应为：AC+BC＝2+2（m）．故选：D．7．解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°，则sin B＝cos A＝．故选：A．8．解：由tan A＝1，cos B＝，得A＝45°，B＝30°，由三角形内角和定理，得C＝180°﹣A﹣B＝105°，故选：B．9．解：sin A＝＝≈0.385，A＝sin﹣10.385＝22.64°＝22°37′，故选：D．10．解：由题意得，AC＝50米，∠ABC＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AC cot∠ABC＝50（米）．故选：B．二．填空题11．解：∵sin87°＜1，tan47°＞tan45°＝1，∴sin87°＜tan47°，故答案为：＜．12．解：∵∠C＝90°，AB＝，BC＝1，∴AC＝＝2，∴tan B＝＝2，故答案为：2．13．解；∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣135°＝45°．sin A+cos B+tan C≈0.86935+0.26527+1≈2.1346．故答案为：45°；2.1346．14．解：tan45°+sin260°＝1+（）2＝1．故答案为：1．15．解：∵（sinα+cosα）2＝sin2α+2sinα•cosα+cos2α＝1+2sinα•cosα，∴当sinα•cosα＝时，原式＝1+＝，则sinα+cosα＝±＝±，∵∠α是锐角，sinα，cosα都为正数，∴sinα+cosα＝．故答案为：．16．解：如图在Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，AB＝60海里，故BC＝30海里，11时﹣9时30分＝1.5小时，船航行的速度为30÷1.5＝20海里/时．故答案为：20海里/时．17．解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，∴BD＝AB＝20m．∴DC＝BD•sin60°＝20×≈17.32（m）．故答案为：17.32．18．解：如图，过点B作BC⊥l2于点C，则BC＝，在Rt△ABC中，∠BAC＝α＝60°，BC＝，所以AB＝＝＝2．故答案是：2．19．解：设c＝5k，a＝3k．由勾股定理得：b＝＝＝4k．∴tan A＝＝．∵△ABC的周长为48，∴5k+3k+4k＝48．解得：k＝4．∴3k＝3×4＝12，4k＝4×4＝16．∴△ABC的面积＝＝96．故答案为：；96．20．解：如图，连BD，设CD＝3x，则DA＝5x，又∵MN垂直平分AB，∴DB＝DA＝5x，在Rt△BCD中，BC＝4，∵BD2＝CD2+BC2，∴（5x）2＝（3x）2+42，∴x＝1，∴AC＝AD+DC＝5x+3x＝8x＝8，在Rt△ABC中，AB＝＝＝4．sin A＝．故答案为：三．解答题21．解：由勾股定理得：AB＝＝＝7（cm）．∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝，sin B＝＝，cos B＝＝，tan B＝＝＝．22．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠ABD＝∠ACD．当α＝60°时，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2.8m，∠ABD＝60°，∴BD＝AB•cos∠ABD＝1.4m，AD＝AB•sin∠ABD＝m，∴BC＝2BD＝2.8m；当α＝45°时，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2.8m，∠ABD＝45°，∴BD＝AB•cos∠ABD＝m，AD＝AB•sin∠ABD＝m，∴BC＝2BD＝m．23．解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，∴sin2A＝，∴sin A＝或﹣（舍去），∴sin A＝，∵tan A＝，∴tan A＝＝．24．解：（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）＝cosα，∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝1；（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°＝（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°＝1+1+…1+＝44+＝．25．解：根据题意，得∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，∴∠DAB＝45°，∴AD＝BD，∴CD＝BD﹣BC＝AD﹣20，在Rt△ADC中，∠ACD＝56°，∴tan56°＝，即1.48≈，解得AD≈61.7（m）．答：气球A离地面的高度AD约为61.7m．26．解：如图所示，过点P作PQ⊥x轴于点Q，由P（x，6）且P在第一象限知OQ＝x，PQ＝6，∵tan∠POQ＝tanα＝，∴＝，即＝，解得x＝9，则OP＝＝＝3，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝．27．解：∵75°＞60°＞30°＞15°，∴cos75°＜cos60°＜cos30°＜cos15°．。

2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题1．已知a＝sin25°，b＝tan46°，c＝cot17°，m＝cos20°，则a、b、c、m的大小关系（）A．a＜b＜c＜m B．b＜m＜c＜a C．a＜m＜b＜c D．m＜a＜b＜c 2．下列等式中正确的是（）A．cos2α+sin2α＝1 B．cos30°+cos45°＝cos75°C．tan30°﹣tan60°＝D．2cot22°30′＝cot45°＝13．sin2θ+sin2（90°﹣θ）（0°＜θ＜90°）等于（）A．0 B．1 C．2 D．2sin2θ4．的值为（）A．﹣1B．C．﹣D．1﹣5．四位学生用计算器求sin62°20′的值正确的是（）A．0.8857B．0.8856C．0.8852D．0.88516．正六边形的两条互相平行的对边相距12cm，这个正六边形的边长为（）A．7.5cm B．cm C．cm D．cm7．某个水库大坝的横断面为梯形，迎水坡的坡度是1：，背水坡为1：1，那么两个坡的坡角和为（）A．90°B．75°C．60°D．105°8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，c＝13，则cos A的值为（）A．B．C．D．以上都不对9．甲、乙、丙三人放风筝，各人放出的风筝线长分别为60m、50m、40m，线与地平面所成的角分别为30°、45°、60°，假设风筝线近似看作是拉直的，则所放风筝最高的是（）A．甲B．乙C．丙D．不能确定10．如图，某建筑物BC的楼顶上有一避雷针AB，在距此建筑物12米的D处安置﹣高度为1.5米的测倾器DE，测得避雷针顶端的仰角为60°，又知建筑物共有六层，每层层高为3米，则避雷针AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据≈1.41，≈1.73）为（）A．2.76米B．2.8米C．4.26米D．4.3米二．填空题11．△ABC中∠A＝40°，∠C＝90°，a＝4.2，则b≈，c≈（保留2个有效数字）．12．已知α为锐角，若cosα＝，则sinα＝，tan（90°﹣α）＝．13．斜坡AB＝50m，水平距离40m，则垂直距离m，坡度是．14．如图，一个长为3米的梯子斜靠在墙壁上，若梯子与地面所成的角为60°，则此时梯子顶端到地面的距离为米．15．在△ABC中，AC＝，BC＝2，∠A＝45°，则∠B＝．16．若sin47°＝cosα，则锐角α＝．17．5sin2（90°﹣α）+5sin2α＝．18．已知45°＜α＜90°，用“＞”或“＜”符号填空：sinαcosα；tanαcotα；sinαtanα．19．如图所示，在数学活动课上，老师带学生去测河宽，某学生在A处观测到河对岸有一点C，并测得∠CAD＝45°，在距离A点30m的B处测得∠CBD＝30°，则河宽CD是m．（答案保留根号）20．如图，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A。

2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题1．在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，那么sin A的值等于（）A．B．C．D．2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan A＝，则BC的长为（）A．2B．6C．8D．103．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tan B＝，则锐角A满足（）A．0°＜A＜30°B．30°＜A＜45°C．45°＜A＜60°D．60°＜A＜90°4．若锐角A满足cos A＝，则∠A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子定成立的是（）A．sin A＝sin B B．cos A＝cos B C．tan A＝tan B D．sin A＝cos B 6．如图为张小亮的答卷，每个小题判断正确得20分，他的得分应是（）A．100分B．80分C．60分D．40分7．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是（）A．（8，）B．（8，12）C．（6，）D．（6，10）8．如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算sin52°，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．9．秀秀和山山在水平的地面上放风筝，某一时刻两人的风筝正好都停在对方的正上方，即此时AC⊥AB，DB⊥AB，两人之间的距离AB为120米，若两人的风筝线与水平线的夹角分别为a和β，则两人放出的风筝线AD与BC的长度和为（忽略两人的身高与手臂长度）（）米．A．120tanα+120tanβB．+C．120cosα+120cosβD．+10．如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若坡面CD 的长度为米，则斜坡AB的长度为（）A．B．C．D．24二．填空题11．cos30°的值等于．12．如图，边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，半径为2的⊙A 与BC交于点F，则tan∠DEF＝．13．小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为．（结果精确到1m．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）14．在△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，则cos B＝．15．已知sinα+cosα＝，则sinαcosα＝．16．比较大小：sin40°cos50°（填“＞”、“＜”或“＝”）17．再如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为多少km．18．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为．19．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．B．用科学计算器计算：13××sin14°≈（结果精确到0.1）20．门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门第等级为一体的一种古建筑构件，也成为中国古建“门文化”中的一部分，现有一个门环的示意图如图所示．图中以正六边形ABCDEF的对角线AC的中点O为圆心，OB为半径作⊙O，AQ切⊙O于点P，并交DE于点Q，若AQ＝12cm，则（1）sin∠CAB＝；（2）该圆的半径为cm．三．解答题21．已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．22．计算：（1）cos245°+tan245°﹣tan260°．（2）．23．目前，各大城市都在积极推进公共自行车建设，努力为人们绿色出行带来方便．图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是自行车的车架示意图．CE＝30cm，DE＝20cm，AD＝25cm，DE⊥AC于点E，座杆CF的长为15cm，点A，E，C，F在同一直线上，且∠CAB＝75°，公共自行车车轮的半径约为30cm，且AB与地面平行．（1）求车架中AE的长；（2）求车座点F到地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B＝．（1）求线段CD的长度；（2）求cos∠C的值．25．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，求cos A，sin B，cos B．26．淮安华联商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为45°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，改造后的斜坡式自动扶梯水平距离增加了BC，请你计算BC的长度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.41）27．如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC＝1，AD ＝x，△BDE的面积为S．（1）当α＝30°时，求x的值．（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S＝S时，判断⊙E与A′C的位置关系，△ABC并求相应的tanα值．参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵cos2A+sin2A＝1，cos A＝，∴sin2A＝1﹣＝，∴sin A＝或sin A＝﹣（舍去）．故选：B．2．解：设BC＝3x，∵tan A＝，∴＝，∴AC＝4x，由勾股定理得，BC2+AC2＝AB2，即（3x）2+（4x）2＝102，解得，x＝2，∴BC＝3x＝6，故选：B．3．解：∵tan30°＝≈0.58，tan45°＝1，tan B＝，∴30°＜B＜45°，∴45°＜A＜60°．故选：C．4．解：∵cos A＝，∴∠A＝30°．故选：A．5．解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin A＝cos B．故选：D．6．解：∵cos60°＝，∴1的判断正确；∵＝2，∴﹣1和5的平均数是2，则2的判断正确；第3题应先把数据从小到大进行排列：﹣1、1、3，则中位数为：1，故3的判断错误；4的判断正确；5．在半径为1的圆中，60°的圆心角所对的弧长为：＝，∴5的判断正确．综上，正确的判断有1，2，4，5，则张小亮可以得80分．故选：B．7．解：过点F作AB⊥y轴交y轴于点A，过点G作GB⊥AB于B，则∠FGO+∠FGB＝90°，∠BFG+∠FGB＝90°，∠AEF+∠AFE＝90°，∴∠BFG＝∠FGO，∵AB⊥y轴，GB⊥AB，∠AOG＝90°，∴四边形AOGB为矩形，∴AO＝GB，AB＝OG＝17，∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠BFG＝90°，∴AEF＝∠BFG＝∠FGO，在Rt△AEF中，cos∠AEF＝，即＝，解得，AE＝6，由勾股定理得，AF＝＝8，∴BF＝AB﹣AF＝17﹣8＝9，在Rt△BFG中，cos∠BFG＝，即＝，解得，FG＝15，由勾股定理得，BG＝＝12，则点F的坐标是（8，12），故选：B．8．解：利用该型号计算器计算sin52°，按键顺序正确的是：故选：B．9．解：在Rt△ABD中，AD＝＝（米）；在Rt△ABC中，BC＝＝（米）；故两人放出的风筝线AD与BC的长度和为（+）米．故选：D．10．解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如图所示：则四边形BEFC是矩形，∴BE＝CF，∵背水坡CD的坡比i＝1：1，CD＝米，∴CF＝DF＝CD＝6（米），∴BE＝CF＝6米，又∵斜坡AB的坡比i＝1：2＝，∴AE＝2BE＝12（米），∴AB＝＝＝6（米），故选：C．二．填空题11．解：cos30°＝，故答案为：．12．解：由题意可得：∠DBC＝∠DEF，则tan∠DEF＝tan∠DBC＝＝．故答案为：．13．解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得，BC＝DE＝8，∠ADE＝52°，BE＝CD＝1在Rt△ADE中，AE＝DE•tan∠ADE＝8×tan52°≈10.24，∴AB＝AE+BE＝10.24+1≈11（米）故答案为：11．14．解：如图所示：∵∠C＝90°，tan A＝＝，∴设BC＝x，则AC＝2x，故AB＝x，∴cos B＝＝＝．故答案为：．15．解：把sinα+cosα＝，两边平方得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝，则sinαcosα＝，故答案是：．16．解：∵cos50°＝sin（90°﹣50°）＝sin40°，∴sin40°＝cos50°．故答案为：＝．17．解：如图，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，则CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，∴∠ACB＝20°+40°＝60°，由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝30km，∴AE＝BE＝AB＝30（km），在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，∴CE＝＝＝10（km），∴AC＝AE+CE＝30+10（km），∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故答案为：（30+10）．18．解：如图所示：连接BD，BD＝＝，AD＝＝2，AB＝＝，∵BD2+AD2＝2+8＝10＝AB2，∴△ADB为直角三角形，∴∠ADB＝90°，则tan A＝＝＝．故答案为：．19．解：A．∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°＝40°，则这个正多边形的边数为：360°÷40°＝9．故答案为：9．B.13××sin14°≈13×3.61×0.24≈11.3，故答案为：11.3．20．解：（1）连接OB，OP，∵AB＝BC，O为AC的中点，∴OB⊥AC，∵∠ABC＝120°，∴∠ACB＝∠CAB＝30°，∴sin∠CAB＝sin30°＝．故答案为；（2）∵AQ是⊙O的切线，∴OP⊥AQ，设该圆的半径为r，∴OB＝OP＝r，∵∠ACB＝∠CAB＝30°，∴AB＝BC＝CD＝2r，AO＝r，∴AC＝r，∴sin∠PAO＝，过Q作QG⊥AC于G，过D作DH⊥QG于H，则四边形DHGC是矩形，∴HG＝CD，DH＝CG，∠HDC＝90°，∴sin∠PAO＝，∠QDH＝120°﹣90°＝30°，∴QG＝12，∴AG＝，∴QH＝12﹣2r，DH＝，∴tan∠QDH＝tan30°＝，解得r＝，∴该圆的半径为（）cm．故答案为（）．三．解答题21．解：∠OBA＝∠OCD，理由如下：由勾股定理，得AB＝＝＝5，CD＝＝＝15，sin∠OBA＝＝，sin∠OCD＝＝＝，∠OBA＝∠OCD．22．解：（1）原式＝（）2﹣+1﹣（）2＝﹣1+1﹣3＝﹣；（2）原式＝3×﹣2+2×+﹣1＝﹣2+2+﹣1＝2﹣1．23．解：（1）∵DE⊥AC，DE＝20，AD＝25，∴AE＝＝＝15（cm）；（2）在图（2）中，作FG⊥AB于G，延长FG交地平线于点Q．∵AE＝15，CE＝30，CF＝15，∴FA＝FC+CE+EA＝15+30+15＝60．∵sin∠CAB＝，∴FG＝FA•sin∠CAB≈60×0.97＝58.2（cm），∴FQ＝FG+GQ＝58.2+30＝88.2≈88（cm）．答：车座点F到地面的距离约为88cm．24．解：（1）∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵sin B＝，AD＝12，∴AB＝15，∴BD＝＝＝9，∵BC＝14，∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，∴AC＝＝＝13，cos C＝＝．25．解：∵∠C＝90°，sin A＝，∴cos A＝＝，∵∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝，cos B＝sin A＝．26．解：在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，AB＝10，∴AD＝BD＝AB•sin∠ABD＝10×＝5≈7，∵∠ACD＝15°，tan∠ACD＝，∴CD≈≈≈26，∴BC＝CD﹣BD＝26﹣7＝19．故BC的长度约为19米．27．解：（1）∵∠A＝a＝30°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠BCD＝60°．∴AD＝BD＝BC＝1．∴x＝1；（2）∵∠DBE＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝∠CBE＝30°．∴AC＝BC＝，AB＝2BC＝2．由旋转性质可知：AC＝A′C，BC＝B′C，∠ACD＝∠BCE，∴△ADC∽△BEC，∴＝，∴BE＝x．∵BD＝2﹣x，∴s＝×x（2﹣x）＝﹣x2+x．（0＜x＜2）（3）∵s＝s△ABC∴﹣+＝，∴4x2﹣8x+3＝0，∴，．①当x＝时，BD＝2﹣＝，BE＝×＝．∴DE＝＝．∵DE∥A′B′，∴∠EDC＝∠A′＝∠A＝30°．∴EC＝DE＝＞BE，∴此时⊙E与A′C相离．过D作DF⊥AC于F，则，．∴．∴．（12分）②当时，，．∴，∴，∴此时⊙E与A'C相交．同理可求出．。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（ ）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（ ）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（ ）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（ ）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（ ）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（ ）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（ ）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（ ）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（ ）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（ ）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角 三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为 ．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝ ．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是 ．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为 ．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为 ．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。

第二十八章 锐角三角函数一、选择题(每小题3分，共30分) 1．sin60°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( )A.83B ．6C ．12D ．8 3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12，则cos α的值为( )A.33 B.22 C.12 D.324．如图1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )图1A ．1B ．1.5C ．2D ．35．如图2，∠AOB 在正方形网格中，则cos ∠AOB 的值为( )图2A.12B.22C.32D.336．如图3，将△ABC 放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )图3A.55 B.105 C ．2 D.127．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )图4A.53B.2 55C.52 D.238．如图5，某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米，高为3米的玻璃隔板组成，三块玻璃摆放时夹角相同．若入口处两根立柱之间的距离为2米，则两立柱底端中点到转轴底端的距离为( )图5A.3米 B ．2米 C ．2 2米 D ．3米9．如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在南偏西22°方向上．航行2小时后到达N 处，观测灯塔P 在南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )图6A ．22.48海里B ．41.68海里C ．43.16海里D ．55.63海里10．如图7，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE 的长是( )图7A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3 D ．3＋4 3 请将选择题答案填入下表：题号 12345678910总分答案第Ⅱ卷 (非选择题 共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图8，在△ABC 中，∠B ＝45°，cos C ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示是________．图812．为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9，每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位．(参考数据：2≈1.4)图913．如图10，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，点E ，F 在线段AD 上，tan ∠ABC ＝3，则阴影部分的面积是________．图1014．已知△ABC ，若⎪⎪⎪⎪sin A －12与(tan B －3)2互为相反数，则∠C 的度数是________． 15．如图11，已知四边形ABCD 是正方形，以CD 为一边向CD 两旁分别作等边三角形PCD 和等边三角形QCD ，那么tan ∠PQB 的值为________．图1116.如图12，已知点A(5 3，0)，直线y ＝x ＋b(b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB.若∠α＝75°，则b ＝________．图12三、解答题(共52分)17．(5分)计算：cos30°tan60°－cos45°sin45°－sin260°.18．(5分)如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tan C 的值．图1319.(5分)如图14，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，求sin C的值．图1420．(5分)如图15，AB是长为10 m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度(结果保留整数)．(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin65°≈910，tan65°≈157)图1521．(7分)如图16，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．图1622．(7分)如图17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高1米(EF＝1米)，背水坡AF的坡度i＝1∶1，已知AB＝3米，∠ABE＝120°，求水坝原来的高度．图1723．(9分)阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题：如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请回答：(1)△ABD 的面积为________(用含m 的式子表示)； (2)求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝a ，BD ＝b ，∠AOB ＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD 的面积为________(用含a ，b ，α的式子表示)．图1824．(9分)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，过点A 作AD ⊥BC 于点D(如图19①)，则sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即b sin B ＝csin C ，同理有c sin C ＝a sin A ，a sin A ＝b sin B ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图②，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，BC ＝60，则∠A ＝________°，AC ＝________；(2)如图③，在某次巡逻中，渔政船在C 处测得海岛A 在其北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得海岛A 在其北偏西75°的方向上，求此时渔政船距海岛A 的距离AB.(结果精确到0.01海里，6≈2.449)图19详解详析1．C2．B [解析] 由题意可得sin A ＝23＝BCAB.因为BC ＝4，所以AB ＝6.3．D [解析] 因为cos(90°－α)＝12，α为锐角，所以90°－α＝60°，所以α＝30°，所以cos α＝32. 4．C [解析] ∵点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，∴tan α＝3t ＝32，∴t ＝2. 5．B [解析] 如图，连接AC .由网格图的特点，易得△ACO 是等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以cos ∠AOB 的值为22.6．D [解析] 如图，连接BD .由网格图的特点可知AD ⊥BD ，由AD ＝2 2，BD ＝2，可得tan A 的值为12.7．A [解析] 在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2＝(5)2＋22＝9，∴AB ＝3.∵∠B ＋∠BCD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝53.故选A. 8．A [解析] 如图，设转轴底端为A ，两立柱底端的点为B ，C ，BC 的中点为D ，则有AB ＝AC ＝2米，所以AD ⊥BC ，且CD ＝1米，所以AD ＝3米．9．B [解析] 如图，过点P 作P A ⊥MN 于点A ，MN ＝30×2＝60(海里)．∵∠PMN ＝22°，∠PNA ＝44°， ∴∠MPN ＝∠PNA －∠PMN ＝22°， ∴∠PMN ＝∠MPN ， ∴MN ＝PN ＝60海里． ∵∠PNA ＝44°，∴在Rt △NAP 中，P A ＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)． 故选B.10．D [解析] 如图，过点B 作BF ⊥DE 于点F .在Rt △CBD 中，∵BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∴DC ＝6，∴BD ＝8.在Rt △BCE 中，BC ＝10，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝5.在Rt △BDF 中，∠BDF ＝∠BCE ＝30°，BD ＝8， ∴DF ＝BD ·cos30°＝4 3.在Rt △BEF 中，∠BEF ＝∠BCD ， 即cos ∠BEF ＝cos ∠BCD ＝35，∴EF ＝BE ·cos ∠BEF ＝3，∴DE ＝EF ＋DF ＝3＋4 3. 11．14a 2 12.1713．6 [解析] 由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC 的面积的一半．因为BD ＝12BC ＝2，AD ⊥BC ，tan ∠ABC ＝3，所以AD ＝6，所以△ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为6.14．90° [解析] 由题意得sin A ＝12，tan B ＝3，所以∠A ＝30°，∠B ＝60°，所以∠C的度数是90°.15．2－3 [解析] 延长QP 交AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，△PCD 和△QCD 是以CD 为边的等边三角形， ∴四边形PCQD 是菱形．设正方形ABCD 的边长为a ，则可得PE ＝QE ＝32a ，DE ＝EC ＝12a ，FB ＝12a ， ∴tan ∠PQB ＝FBFQ＝12a a ＋32a＝2－ 3. 16．5 [解析] 设直线y ＝x ＋b (b ＞0)与x 轴交于点C ，易得C (－b ，0)，B (0，b )， 所以OC ＝OB ， 所以∠BCO ＝45°.又因为α＝75°，所以∠BAO ＝30°. 因为OA ＝5 3，所以OB ＝5，所以b ＝5. 17.1418．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sin B ＝ADAB，∴AD ＝AB ·sin B ＝4×sin45°＝4×22＝2 2， ∴BD ＝AD ＝2 2.在Rt △ADC 中，AC ＝6，由勾股定理，得DC ＝AC 2－AD 2＝62－（2 2）2＝2 7， ∴BC ＝BD ＋DC ＝2 2＋2 7，tan C ＝AD DC ＝2 22 7＝147. 19．解：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D . ∵在Rt △AOD 中，∠AOB ＝45°， ∴OD ＝AD ＝OA ·cos45°＝1×22＝22， ∴BD ＝OB －OD ＝1－22， ∴AB ＝AD 2＋BD 2＝（22）2＋（1－22）2＝2－ 2. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2，∴sin C ＝ABAC ＝2－22.20．解：如图，过点B 作BF ⊥AE 于点F ， 则BF ＝DE .在Rt △ABF 中，sin ∠BAF ＝BF AB， 则BF ＝AB ·sin ∠BAF ≈10×35＝6(m)．在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD ，则CD ＝BD ·tan65°≈10×157≈21(m)． 则CE ＝DE ＋CD ＝BF ＋CD ≈6＋21＝27(m)．答：大楼CE 的高度约是27 m.21．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°. 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°.∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33. (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BOC ＝90°.∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠OBE ＝∠BOC ＝∠OCE ＝90°， ∴四边形OBEC 是矩形．22．解：如图所示，过点E 作EC ⊥BD 于点C ， 设BC ＝x 米．∵∠ABE ＝120°， ∴∠CBE ＝60°. 在Rt △BCE 中， ∵∠CBE ＝60°，∴tan60°＝CE BC ＝3，即CE ＝3x 米． ∵背水坡AF 的坡度i ＝1∶1，∴CF AC＝1. ∵AC ＝(3＋x )米，CF ＝(1＋3x )米， ∴1＋3x 3＋x＝1，解得x ＝3＋1， ∴EC ＝3x ＝(3＋3)米．答：水坝原来的高度为(3＋3)米．23．解：(1)∵AO ＝m ，∠AOB ＝30°，∴AE ＝12m ， ∴△ABD 的面积为12×12m ×6＝32m . 故答案为32m. (2)由(1)得S △ABD ＝32m . 同理，CF ＝12(4－m )， ∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝6－32m . ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝6.解决问题：分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，设AO 为x .∵∠AOB ＝α，∴AE ＝x ·sin α，∴S △ABD ＝12BD ·AE ＝12b ·x ·sin α. 同理，CF ＝(a －x )·sin α，∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝12b ·(a －x )·sin α. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12b ·x ·sin α＋12b ·(a －x )·sin α＝12ab ·sin α. 故答案为12ab ·sin α. 24．解：(1)60 20 6(2)依题意，得BC ＝40×0.5＝20(海里)．∵CD∥BE，∴∠DCB＋∠CBE＝180°.∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°.∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°，∴∠A＝45°.在△ABC中，ABsin∠ACB＝BC sin A，即ABsin60°＝20sin45°，解得AB＝10 6≈24.49(海里)．答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．。

人教新版九年级下册《第28章锐角三角函数》2021年单元测试卷（广东省潮州市饶平县英才实验中学）（1）试题数：31，总分：01.（单选题，0分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则sinB的值是（）A. 512B. 125C. 513D. 12132.（单选题，0分）在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）A. √33B. √53C. 12D.23.（单选题，0分）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（）A.不变B.扩大5倍C.缩小5倍D.不能确定，则cosA的值为（）4.（单选题，0分）在△ABC中，∠C=90°，tanA= 13A. √1010B. 23C. 3410，则sinA的值为（）5.（单选题，0分）在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA= 725A. 2425B. 724C. 725D. 2524，则sinA+cosA=___ ．6.（填空题，0分）△ABC中，∠C=90°，tanA= 437.（单选题，0分）sin60°的值等于（）A. 12B. √22C. √32D. √33，则α=（）8.（单选题，0分）已知α为锐角，sin（α-20°）= √32A.20°B.40°C.60°D.80°9.（问答题，0分）计算：2cos245°+tan60°•tan30°-cos60°10.（问答题，0分）计算：√8 +（1）-1-4cos45°-（√3−π）0．211.（单选题，0分）在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）A. 5√714B. √2114C. √357，则S△ABC=___ ．12.（填空题，0分）△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA= 1313.（填空题，0分）在△ABC中，∠ABC=30°，AB= √3，AC=1，则∠ACB为___ 度．14.（问答题，0分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD=6．tanC= 3，BC=12，求2cosB的值．15.（单选题，0分）如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（）A.3米B.6 √3米C.3 √3米D.2 √3米16.（填空题，0分）如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）___ ．17.（问答题，0分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈ 38，cos22°≈1516，tan22 °≈25）18.（单选题，0分）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是（）A.10米B.24米C.25米D.26米19.（单选题，0分）如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行（）A. 10(√3+1)海里B. 10(√3−1)海里C. 20(√3+1)海里D. 20(√3−1)海里20.（单选题，0分）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（）A.20海里B.40海里C.20 √3海里D.40 √3海里21.（单选题，0分）已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北方向的距离BM为10 √2 km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4 √7 km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（）km．A.8 √3B.9 √3C.6 √3D.7 √322.（填空题，0分）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为___ ．23.（问答题，0分）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围20海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？24.（问答题，0分）某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin33°=0.54，cos33°≈0.84，tan33°=0.65，√2≈1.41）25.（填空题，0分）在△ABC中，∠C=90°，若tanA= 1，则sinB=___ ．226.（问答题，0分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD=α，AO=70cm，BO=DO=80cm，CO=40cm．（1）若α=56°，求点A离地面的高度AE；（参考值：sin62°=cos28°≈0.88，sin28°=cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）（2）调节α的大小，使A离地面高度AE=125cm时，求此时C点离地面的高度CF．27.（问答题，0分）某数学小组开展了一次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面A处出发，沿坡角为53°的山坡AB直线上行一段距离到达B处，再沿着坡角为22°的山坡BC直线上行600米到达C处，通过测量数据计算出小山高CD=612m，求该数学小组行进的水平距离AD（结果精确到1m）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）28.（问答题，0分）热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处于地面距离为420米，求这栋楼的高度．29.（问答题，0分）某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i=1：√3，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．30.（问答题，0分）如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两建筑物的高，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，从B点测得D点的仰角α为60°，从A点测得D点的仰角β为30°，已知甲建筑物的高度AB=34m，求甲、乙两建筑物之间的距离BC和乙建筑物的高度DC．（结果保留根号）31.（问答题，0分）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）人教新版九年级下册《第28章锐角三角函数》2021年单元测试卷（广东省潮州市饶平县英才实验中学）（1）参考答案与试题解析试题数：31，总分：01.（单选题，0分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则sinB的值是（）A. 512B. 125C. 513D. 1213【正确答案】：D【解析】：直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．【解答】：解：如图所示：∵∠C=90°，BC=5，AC=12，∴AB= √52+122 =13，∴sinB= ACAB = 1213．故选：D．【点评】：此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角关系是解题关键．2.（单选题，0分）在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）A. √33B. √53C. 12D.2【正确答案】：D【解析】：此题可以根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可．【解答】：解：由图可得，tanα=2÷1=2．故选：D．【点评】：本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键．3.（单选题，0分）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（）A.不变B.扩大5倍C.缩小5倍D.不能确定【正确答案】：A【解析】：易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．【解答】：解：∵各边都扩大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，∴两三角形相似，∴∠A的三角函数值不变，故选：A．【点评】：用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关．4.（单选题，0分）在△ABC中，∠C=90°，tanA= 13，则cosA的值为（）A. √1010B. 23C. 34D. 3√1010【正确答案】：D【解析】：根据正切的定义得到tanA= BCAC = 13，于是可设BC=x，则AC=3x，根据勾股定理计算出AB，然后利用余弦的定义求解．【解答】：解：如图，∵tanA= BCAC = 13，∴设BC=x，则AC=3x，∴AB= √AC2+BC2 = √10 x，∴cosA= ACAB = 3x√10x= 3√1010．故选：D．【点评】：本题考查了三角形函数的定义：在三角形三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值；这个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．也考查了勾股定理．5.（单选题，0分）在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA= 725，则sinA的值为（）A. 2425B. 724C. 725D. 2524【正确答案】：A【解析】：先根据特殊角的三角函数值求出∠A的值，再求出sinA的值即可．【解答】：解：∵Rt△ABC 中，∠C=90°，∴∠A 是锐角， ∵cosA= 725 = AC AB∴设AB=25x ，AC=7x ，由勾股定理得：BC=24x ，∴sinA= BC AB = 2425 ，故选：A ．【点评】：本题考查的是特殊角的三角函数值，主要考查学生对锐角三角函数的定义的理解能力和计算能力．6.（填空题，0分）△ABC 中，∠C=90°，tanA= 43 ，则sinA+cosA=___ ．【正确答案】：[1] 75【解析】：根据tanA= 43 和三角函数的定义画出图形，进而求出sinA 和cosA 的值，再求出sinA+cosA 的值．【解答】：解：如图，∵tanA= BC AC = 43 ， ∴设AB=5x ，则BC=4x ，AC=3x ， 则有：sinA+cosA= BC AB + AC AB = 3x 5x + 4x 5x = 75 ，故答案为： 75 ．【点评】：此题考查了锐角三角函数的定义，只要画出图形，即可将正弦、余弦、正切函数联系起来，进而得出结论．7.（单选题，0分）sin60°的值等于（ ）A. 12B. √22C. √32D. √33【正确答案】：C【解析】：根据特殊角的三角函数值直接解答即可．【解答】：解：sin60°= √32．故选：C．【点评】：此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容，要注意积累．8.（单选题，0分）已知α为锐角，sin（α-20°）= √32，则α=（）A.20°B.40°C.60°D.80°【正确答案】：D【解析】：根据特殊角的三角函数值直接解答即可．【解答】：解：∵α为锐角，sin（α-20°）= √32，∴α-20°=60°，∴α=80°，故选：D．【点评】：本题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．9.（问答题，0分）计算：2cos245°+tan60°•tan30°-cos60°【正确答案】：【解析】：把特殊角的三角函数值代入计算，得到答案．【解答】：解：原式=2×（√22）2+ √3 × √33- 12=1+1- 12= 3．2【点评】：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．10.（问答题，0分）计算：√8 +（1）-1-4cos45°-（√3−π）0．2【正确答案】：【解析】：先根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及0指数幂把原式化简，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．-1，【解答】：解：原式=2 √2 +2-4× √22=2 √2 +2-2 √2 -1，=1．故答案为：1．【点评】：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂及二次根式等考点的运算．11.（单选题，0分）在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）A. 5√714B. √2114C. √35D. √217【正确答案】：B【解析】：首先延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，进而得出AD，CD，BC的长，再利用锐角三角函数关系求出即可．【解答】：解：延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，∵AB=4，AC=2，∴AD=1，CD= √3，BD=5，∴BC= √28 =2 √7，∴sinB= CDBC = √32√7= √2114．故选：B．【点评】：此题主要考查了解直角三角形，作出正确辅助线构造直角三角形是解题关键．12.（填空题，0分）△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA= 13，则S△ABC=___ ．【正确答案】：[1] 16√2【解析】：根据直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半可求出AB；根据三角函数的定义求出AC，根据面积公式解答．【解答】：解：在Rt△ABC中，∵斜边上的中线CD=6，∴AB=12．∵sinA= BCAB = 13，∴BC=4，AC= √AB2−BC2 =8 √2．∴S△ABC= 12AC•BC=16 √2．故答案为：16 √2．【点评】：本题利用了直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半和锐角三角函数的概念求解．13.（填空题，0分）在△ABC中，∠ABC=30°，AB= √3，AC=1，则∠ACB为___ 度．【正确答案】：[1]120或60【解析】：作AD⊥BC于D，先在Rt△ABD中求出AD= √32，再在Rt△ACD中利用sinC= ADAC=√32，可计算出∠C=60°，则可得到∠AC′D=60°，∠AC′B=120°．【解答】：解：如图，作AD⊥BC于D，AC=AC′=1，在Rt△ABD中，∠B=30°，AB= √3，∴AD= 12 AB= √32，在Rt△ACD中，sinC= ADAC = √32，∴∠C=60°，同理可得∠AC′D=60°，∴∠AC′B=120°．故答案为60或120．【点评】：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了分类讨论的思想．14.（问答题，0分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD=6．tanC= 32，BC=12，求cosB的值．【正确答案】：【解析】：根据AD、tanC直角三角形ACD中求出CD，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出AB，最后根据锐角三角函数关系求出cosB．【解答】：解：∵tanC= ADCD = 6CD= 32，∴CD=4．∴BD=12-4=8．在Rt△ABD中，AB= √AD2+BD2 =10．∴cosB= BDAB = 45．【点评】：本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形中的边角间关系，是解决本题的关键．15.（单选题，0分）如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（）A.3米B.6 √3米C.3 √3米D.2 √3米【正确答案】：B【解析】：依据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例及60°的正切值联立求解．【解答】：解：设直线AB与CD的交点为点O．∴ BO AB =DOCD．∴AB= BO×CDDO．∵∠ACD=60°．∴∠BDO=60°．在Rt△BDO中，tan60°= BODO．∵CD=6．∴AB= BODO×CD =6 √3．故选：B．【点评】：本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据实际问题抽象出几何图形．16.（填空题，0分）如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）___ ．【正确答案】：[1]（2 √3 +1.6）m【解析】：已知小丽与树之间的距离为6m即AD=7m，可由直角三角形ACD及三角函数的关系可求出CD的长度，再由AB=1.6m可得出树的高度．【解答】：解：由题意得：AD=6m，在Rt△ACD中，tanA= CDAD = √33∴CD=2 √3，又AB=1.6m∴CE=CD+DE=CD+AB=2 √3 +1.6，所以树的高度为（2 √3 +1.6）m．故答案为：（2 √3 +1.6）m．【点评】：本题考查解直角三角形的应用，要注意利用已知线段及三角函数关系求未知线段．17.（问答题，0分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈ 38，cos22°≈1516，tan22 °≈25）【正确答案】：【解析】：（1）首先构造直角三角形△AEM ，利用tan22°= AM ME ，求出即可；（2）利用Rt△AME 中，cos22°= ME AE ，求出AE 即可【解答】：解：（1）如图，过点E 作EM⊥AB ，垂足为M ．设AB 为x ．Rt△ABF 中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x ， ∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM 中，∠AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE=x-2， tan22°= AM ME ，则 x−2x+25 = 25 ，解得：x=20．即教学楼的高20m ．（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45． 在Rt△AME 中，cos22°= ME AE ．∴AE= MEcos22°≈ 451516=48m，即A、E之间的距离约为48m【点评】：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°= AMME是解题关键18.（单选题，0分）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是（）A.10米B.24米C.25米D.26米【正确答案】：D【解析】：根据坡度的概念求出BC，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】：解：作AB⊥CB于B，由题意得，AB=10米，∵斜坡的坡度i=1：2.4，∴ AB BC = 12.4，即10BC= 12.4，解得，BC=24，由勾股定理得，AC= √AB2+BC2 = √102+242 =26（米），故选：D．【点评】：本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．19.（单选题，0分）如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行（）A. 10(√3+1)海里B. 10(√3−1)海里C. 20(√3+1)海里D. 20(√3−1)海里【正确答案】：A【解析】：作AC⊥OB于C点，根据题目提供的方向角，并从图中整理出直角三角形的模型，利用解直角三角形的知识求得BC的长即可．【解答】：解：作AC⊥OB于C点，只要到C处，轮船离电视塔最近，求出BC长即可，由已知得：∠AOB=30°，∠ABC=45°、OB=20海里，∴BC=AC，CO=AC÷tan∠AOB=AC÷tan30°= √3AC，∵CO-CB= √3AC -AC=20，解得：AC= 10(√3+1)海里，∴BC=AC=10（√3 +1）海里，故选：A．【点评】：本题考查了方向角的知识，解决此类题目的关键是将方向角正确的转化为直角三角形的内角，并利用解直角三角形的知识解题．20.（单选题，0分）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（）A.20海里B.40海里C.20 √3海里D.40 √3海里【正确答案】：C【解析】：根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=30°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt△BCD，求出CD即可解答．【解答】：解：根据题意可知∠CAD=30°，∠C BD=60°，∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，∴∠CAD=30°=∠ACB，∴AB=BC=40海里，，在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC= CDBC∴sin60°= CD，BC=20 √3（海里）．∴CD=40×sin60°=40× √32故选：C．【点评】：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．21.（单选题，0分）已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北方向的距离BM为10 √2 km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4 √7 km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（）km．A.8 √3B.9 √3C.6 √3D.7 √3【正确答案】：A【解析】：根据∠MAB=45°，BM=10 √2和勾股定理求出AB的长，再根据tan∠BAD= BDAD，求出BD的长，即可得出AD以及CD的长，进而得出答案．【解答】：解：∵∠MAB=45°，BM=10 √2 km，∴AB= √BM2+MA2 = √(10√2)2+(10√2)2 =20（km），过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于D，如图所示，在Rt△ADB中，∠BAD=∠MAC-∠MAB=75°-45°=30°，tan∠BAD= BDAD = √33，∴AD= √3 BD，BD2+AD2=AB2，即BD2+（√3 BD）2=202，∴BD=10km，∴AD=10 √3 km，在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，BC=4 √7 km，∴CD=2 √3 km，∴AC=AD-CD=10 √3 -2 √3 =8 √3（km），∴此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为8 √3 km．故选：A．【点评】：此题主要考查了解直角三角形中方向角问题，根据题意作出辅助线，构造直角三角形，求出BD的长是解题关键．22.（填空题，0分）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为___ ．【正确答案】：[1]2 √2 kmOA=2km，再由△ABD是等腰【解析】：过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD= 12直角三角形，得出BD=AD=2km，则AB= √2 AD=2 √2 km．【解答】：解：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，OA=2km．∴AD= 12在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，∴BD=AD=2km，∴AB= √2 AD=2 √2 km．即该船航行的距离（即AB的长）为2 √2 km．故答案为2 √2 km．【点评】：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23.（问答题，0分）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围20海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？【正确答案】：【解析】：（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题；（2）作PD⊥AB于D．求出PD的值即可判定；【解答】：解：（1）由题意得，∠PAB=30°，∠PBD=60°，∴∠APB=∠PBD-∠PAB=30°，（2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°，∴PB=AB=40（海里）过点P作PD⊥AB于点D，在Rt△PBD中，PD=BPsin60°=20 √3（海里）20 √3＞20∴海监船继续向正东方向航行是安全的．【点评】：本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．24.（问答题，0分）某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin33°=0.54，cos33°≈0.84，tan33°=0.65，√2≈1.41）【正确答案】：【解析】：延长CA交BE于点D，得CD⊥BE，设AD=x，得BD=x米，CD=（20+x）米，根=tan∠DCB列方程求出x的值即可得．据DBCD【解答】：解：如图，延长CA交BE于点D，则CD⊥BE，由题意知，∠DAB=45°，∠DCB=33°，设AD=x米，则BD=x米，CD=（20+x）米，=tan∠DCB，在Rt△CDB中，DBCD∴ x20+x=tan33°≈0.65，解得x≈37，答：这段河的宽约为37米．【点评】：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．25.（填空题，0分）在△ABC中，∠C=90°，若tanA= 12，则sinB=___ ．【正确答案】：[1] 2√55【解析】：直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】：解：如图所示：∵∠C=90°，tanA= 12，∴设BC=x，则AC=2x，故AB= √5 x，则sinB= ACAB = 2x√5x= 2√55．故答案为：2√55．【点评】：此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键．26.（问答题，0分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD=α，AO=70cm，BO=DO=80cm，CO=40cm．（1）若α=56°，求点A离地面的高度AE；（参考值：sin62°=cos28°≈0.88，sin28°=cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）（2）调节α的大小，使A离地面高度AE=125cm时，求此时C点离地面的高度CF．【正确答案】：【解析】：（1）过O作OG⊥BD于点G，根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠EAB=∠BOG=28°，再利用锐角三角函数即可解决问题；（2）根据已知条件证明△AEB∽△CFD，对应边成比例即可求出CF的高度．【解答】：解：（1）如图，过O作OG⊥BD于点G，∵AE⊥BD，∴OG || AE，∵BO=DO，∴OG平分∠BOD，∴∠BOG= 12∠BOD= 12×56°=28°，∴∠EAB=∠BOG=28°，在Rt△ABE中，AB=AO+BO=70+80=150（cm），∴AE=AB•cos∠EAB=150×cos28°≈150×0.88=132（cm），答：点A离地面的高度AE约为132cm；（2）∵OG || AE，∴∠EAB=∠BOG，∵CF⊥BD，∴CF || OG，∴∠DCF=∠DOG，∵∠BOG=∠DOG，∴∠BAE=∠DCF，∵∠AEB=∠CFD=90°，∴△AEB∽△CFD，∴ CF AE = CDAB，∴CF= CD•AEAB = 120×125150=100（cm），答：C点离地面的高度CF为100cm．【点评】：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是综合运用锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．27.（问答题，0分）某数学小组开展了一次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面A处出发，沿坡角为53°的山坡AB直线上行一段距离到达B处，再沿着坡角为22°的山坡BC 直线上行600米到达C处，通过测量数据计算出小山高CD=612m，求该数学小组行进的水平距离AD（结果精确到1m）．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）【正确答案】：【解析】：过B作BE⊥CD于E，过B作BH⊥AD于H，则四边形BEDH是矩形，得到DE=BH，BE=DH，解直角三角形求出BE、AH的长，即可解决问题．【解答】：解：过B作BE⊥CD于E，过B作BH⊥AD于H，如图所示：则四边形BEDH是矩形，∴DE=BH，BE=DH，在Rt△BCE中，∵BC=600，∠CBE=22°，∴CE=BC•sin22°=600×0.37=222（m），BE=BC•cos22°=600×0.92=552（m），∴DH=BE=552m，∵CD=612m，∴BH=DE=CD-CE=612-222=390（m），在Rt△ABH中，∵∠BAH=53°，，∴tan53°= BHAH=300（m），∴AH≈ 3901.3∴AD=AH+DH=300+552=852（m），答：该数学小组行进的水平距离AD约为852m．【点评】：此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．28.（问答题，0分）热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处于地面距离为420米，求这栋楼的高度．【正确答案】：【解析】：过A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，先解Rt△ACD，求出CD的长，则AE=CD，再解Rt△ABE，求出BE的长，然后根据BC=AD-BE即可得到这栋楼的高度．【解答】：解：过A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，在Rt△ACD中，∵∠CAD=30°，AD=420米，∴CD=AD•tan30°=420× √3=140 √3（米），3∴AE=CD=140 √3米．在Rt△ABE中，∵∠BAE=30°，AE=140 √3米，∴BE=AE•tan30°=140 √3 × √3=140（米），3∴BC=AD-BE=420-140=280（米），答：这栋楼的高度为280米．【点评】：本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，在此类题目中常用的方法是利用作高线转化为直角三角形进行计算．29.（问答题，0分）某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i=1：√3，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．【正确答案】：【解析】：过B 分别作AE 、DE 的垂线，设垂足为F 、G ．分别在Rt△ABF 和Rt△ADE 中，通过解直角三角形求出BF 、AF 、DE 的长，进而可求出EF 即BG 的长；在Rt△CBG 中，∠CBG=30°，求出CG 的长；根据CD=CG+GE-DE 即可求出宣传牌的高度．【解答】：解：过B 作BF⊥AE ，交EA 的延长线于F ，作BG⊥DE 于G ．在Rt△ABF 中，i=tan∠BAF= 1√3 = √33 ，∴∠BAF=30°，∴BF= 12 AB=5，AF=5 √3 ．∴BG=AF+AE=5 √3 +15．在Rt△BGC 中，∵∠CBG=30°，∴CG ：BG= √33 ，∴CG=5+5 √3 ．在Rt△ADE 中，∠DAE=45°，AE=15，∴DE=AE=15，∴CD=CG+GE -DE=5+5 √3 +5-15=（5 √3 -5）m ．答：宣传牌CD 高约（5 √3 -5）米．【点评】：此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．30.（问答题，0分）如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两建筑物的高，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，从B点测得D点的仰角α为60°，从A点测得D点的仰角β为30°，已知甲建筑物的高度AB=34m，求甲、乙两建筑物之间的距离BC和乙建筑物的高度DC．（结果保留根号）【正确答案】：【解析】：作AE⊥CD，用BC可以分别表示DE，CD的长，根据CD-DE=AB，即可求得BC的长，即可解题．【解答】：解：作AE⊥CD，BC，∵CD=BC•tanα= √3 BC，DE=BC•tanβ= √33BC，∴AB=CD-DE= 2√33∴BC=17 √3 m，CD=BC•tanα= √3 BC=51m．答：甲、乙两建筑物之间的距离BC为17 √3 m，乙建筑物的高度DC为51m．【点评】：本题考查了直角三角形中三角函数的应用，考查了特殊角的三角函数值，本题中求的BC的长是解题的关键．31.（问答题，0分）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【正确答案】：≈0.75求得AE=40，由【解析】：作DE⊥AB于点E，作CF⊥DE于点F，由tan37°= DEAEAB=57知BE=17，再根据四边形BCFE是矩形知CF=BE=17．由∠CDF=∠DCF=45°知DF=CF=17，从而得BC=EF=30-17=13．【解答】：解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°．在Rt△ADE中，∠AED=90°，≈0.75．∴tan37°= DEAE∴AE=40，∵AB=57，∴BE=17∵四边形BCFE是矩形，∴CF=BE=17．在Rt△DCF中，∠DFC=90°，∴∠CDF=∠DCF=45°．∴DF=CF=17，∴BC=EF=30-17=13．答：教学楼BC高约13米．【点评】：此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系求解是解题关键．。

人教版九年级数学下第二十八章 锐角三角函数 单元复习卷一、单选题1．如图所示的是某超市入口的双买闸门，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘AC ＝BD ＝54cm ，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是()A ．74cmB ．64cmC ．54cmD ．44cm2．如图，△ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA 的值是( )A B C D 3．如图所示，15AOP BOP ∠=∠=︒，//PC OA ，PD OA ⊥．若4PC =，则PD 的值为( )A ．1.5B ．4C ．2D ．14．对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长我们称为该图形的宽，矩形铅垂方向的边长我们称为该图形的高．如图2，已知菱形ABCD 的边长为1，菱形的边AB 水平放置，如果该菱形的高是宽的23，那么菱形的宽是（ ）A ．1813B ．139C ．32D ．25．在 Rt ABC 中，90C ∠=，5AB =，3BC =，则 sin A 的值是（ ）A ．35B ．53C ．45D ．346．如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin BAC ∠=（ ）．A ．15B ．13C D 7．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果1sin 3A =，那么sinB 的值是( )A B ．C D ．38．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣2x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线y ＝kx 交于点C （4，n ），则tan ∠OCB 的值为（ ）A ．13B C D ．389．角α，β满足045αβ<<<︒︒，下列是关于角α，β的命题，其中错误的是（）A ．0sin α<<B ．0tan 1β<<C ．cos sin βα<D ．sin cos βα<10．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个三角形中，与众不同的是( )A．B．C．D．二、填空题11．已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP 与x轴正半轴所夹角的余弦值为_____．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，则sin B＝_____．13．如图，一艘船由A港沿北偏东65︒方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40︒方向航行至C港，C港在A港北偏东20︒方向，则A，C两港之间的距离为______km．14．观光塔是潍坊市区的标志性建筑.为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端Ａ点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是______m.15．如图，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E.若BE=2，∠B =22.5°，则AC 的长为_______．16．在Rt ABC 中，190,cos 2C A ︒∠==，那么A ∠的度数是___________.17．取一张边长为4的正方形纸折五角星．操作步骤如下：①按如图1、图2的方法对折两次，将图2展开后得到图3；②如图4所示折出正方形ABCD 对角线的交点O ，将纸片折叠，使得点H 与点O 重合，折痕为EF ，再将四边形EFOG 折叠，使得EF 与FO 重合；③最后再将∠CFO 沿着FO 折叠，得到图5，沿图中虚线PM 剪一刀．展开得图6．（1）若图6中∠ABC=36°，则图5中∠MPN=________°；（2）小王认为此时∠OFC=36°．小黄同学提出了质疑！若已知．请求出sin ∠OFC=________，这样就可以知道谁的判断是正确的．18．如图一，矩形纸片ABCD 中，已知:5:3AB BC =，先按图二操作，将矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点D 落在边AB 上的点E 处，折痕为AF ；再按图（三）操作：沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则的余弦值________．HAF19．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC 内．若四边形CDFE是边长为2的正方形，则sin∠FBA＝__．三、解答题20．如图，电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B，E，D在同一直线上），在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪的高AB=1.5米，BE=2.3米，求拉线CE的长，（精确到0.1米）参考数据≈1.41，≈1.73．21．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y = 2，直接写出直线y = 2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；（2）⊙C的半径为1，①C的坐标为（1，2），直线l: y=kx + b（k > 0）经过点D（1-，0），若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y ⊙C的“视角”大于120°，直接写出圆心C的横坐标xC的取值范围．22．为了测量某单位院内旗杆AB的高度，在地面距离旗杆底部B的15米C处放置高度为1.8米的测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角（∠ADE）为54°．求旗杆AB的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin 54°≈0.81，cos 54°≈0.59，tan 54°≈1.38）23．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；（2）求证：BD CD BE BC=（3）若BC=32AB，求tan∠CDF的值．24．如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A 处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里，（计算结果保留根号）（1）求出此时点A到军港C的距离；（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达A＇时，测得军港B在A＇的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．25．如图，甲船在A处发现乙船在北偏东的60 的B处，如果此时乙船正以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船的速度是海里/小时，这时甲船向________方向行驶才能最快追上乙．26．苏北五市联合通过网络投票选出了一批“最有孝心的美少年”．根据各市的入选结果制作出如下统计表，后来发现，统计表中前三行的所有数据都是正确的，后两行中有一个数据是错误的．请回答下列问题：a________，b=________；（1）统计表=（2）统计表后三行中哪一个数据是错误的？该数据的正确值是多少？（3）组委会决定从来自宿迁市的4位“最有孝心的美少年”中，任选两位作为苏北五市形象代言人，A 、B 是宿迁市“最有孝心的美少年”中的两位，问A 、B 同时入选的概率是多少？并请画出树状图或列出表格．区域频数频率宿迁4a 连云港70.175淮安b0.2徐州100.25盐城120.27527．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD 长为1．6m ，CD 与地面DE 的夹角∠CDE 为12°，支架AC 长为0．8m ，∠ACD 为80°，求跑步机手柄的一端A 的高度h （精确到0.1m ）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）28．当一个角固定不变，而某种图形在该角的内部变化，则我们称这个角为墙角．（1）如图1，墙角O ∠=30°，如果AB=3，长度不变，在角内滑动，当OA=6时，则求出此时OB 的长度．（2）如图2，墙角O ∠=30°，如果在AB 的右边作等边ABC ∆，AB=3，长度不变，滑动过程中，请求出点O 与点C 的最大距离．（3）如图3，墙角sin O =35时，如果点E 是O ∠一条边上的一个点，DEF ∠=90°，其两条边与O ∠另一条边交于点F 与点D ，求OFOD的最大值．答案第1页，共26页参考答案：1．B 【解析】【分析】首先过A 作AM 垂直PC 于点M ，过点B 作BN 垂直DQ 于点N ，再利用三角函数计算AM 和BN ，从而计算出MN.【详解】解:根据题意过A 作AM 垂直PC 于点M ，过点B 作BN 垂直DQ 于点N54AC BD cm ＝＝30ACP BDQ ︒∠=∠=MC ND =∴ AMC BDN∆≅∆1sin 3054272AM BN AC ︒∴===⨯= 所以2271064MN =⨯+= 故选B.【点睛】本题主要考查直角三角形的应用，关键在于计算AM 的长度，这是考试的热点问题，应当熟练掌握.2．D 【解析】【分析】根据勾股定理，可得AC 的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【详解】如图：，由勾股定理，得由锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，得cosA=AD AC 故选D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先求斜边，再求锐角三角函数的余弦．3．C【解析】【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质可得15OPC AOP ∠=∠=︒，再根据三角形的外角性质可得30OP C BO E C P P ∠+∠=∠=︒，然后利用直角三角形的性质可得122PE PC ==，最后根据角平分线的性质即可得．【详解】如图，过点P 作PE OB ⊥于点E ，,15//AOP BO PC O P A ∠︒∠== ，15OPC AOP ∠∴∠==︒，30OPC BO PCE P ∴∠=∠+∠=︒，在Rt CEP △中，114222PE PC ==⨯=，又15AOP BOP ∠︒∠== ，PE OB ⊥，PD OA ⊥，2PD PE ∴==，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质、角平分线的性质等知识点，通过作辅助线，利用直角三角形和角平分线的性质是解题关键．4．A【解析】【分析】先根据要求画图，设AF=x，则CF=23x，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，设AF=x，则CF=23 x，在Rt△CBF中，CB=1，BF=x-1，由勾股定理得：BC2=BF2+CF2，12＝（x−1）2+（23x）2，解得：x=1813或0（舍），则该菱形的宽是18 13，故选A．【点睛】本题考查了新定义、矩形和菱形的性质、勾股定理，理解新定义中矩形的宽和高是关键．5．A【解析】【分析】根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．【详解】解：sinA=BC AB =35．故选A ．【点睛】本题考查了锐角正弦函数的定义.6．D【解析】【分析】根据题意和图形，可以得到AC 、BC 和AB 的长，然后根据等面积法可以求得CD 的长，从而可以得到sin BAC ∠的值．【详解】解：作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，由图可得，AC =BC ＝2，AB =∵242AB CD BC =⨯⨯，422=⨯，解得，CD∴sin ∠BAC ＝CD AC ==，故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．A【解析】【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【详解】∵Rt△ABC中, ∠C=90°，sin A=13，∴cos A，∴∠A+∠B=90°，∴sin B=cos A故选A.【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据sinA得出cosA的值是解题的关键.8．A【解析】【分析】先将点A点B坐标表示出来，把点C代入直线AB可得出C点坐标为（4，-4），过B做垂线垂直于直线OC交于点E，求出BE和EC的长即可求出答案【详解】过B 作BE ⊥直线OC 交于点E由题意可得，点A 坐标为（2,0）点B 坐标为（0,4）把C 点横坐标代入直线y=-2x+4，可得y=-4故点C 坐标为（4，-4）∴直线OC ：y=-x∴∠EOB=45°，即△OEB 是等腰直角三角形∵在△OEB 中，OB=4，∴同理可得∴∴tan ∠OCB=BE EC 13故正确答案为A【点睛】此题主要考查两点距离和三角函数，三角函数一定要构造出直角三角形，找出对应边的长度是解题关键9．C【解析】【分析】由角α，β满足045αβ<<<︒︒，确定锐角三角函数的增减性，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小，tan β随β的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案．【详解】解：角α，β满足045αβ<<<︒︒，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小，tan β随β的增大而增大，A.∵sin 45︒∴0<sin α,选项A 正确，不合题意；B ．∵tan 45=1︒,∴0tan 1β<<,选项B 正确，不合题意；C ．sin 45︒cos 45︒，cos βα><，cos sin βα>，选项C 不正确，D ．sin 45︒cos 45︒cos αβ><，sin cos βα<，选项D 正确，不符合题意．故选择：C ．【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键．10．A【解析】【详解】试题分析：仔细分析各选项中格点三角形的特征即可作出判断.仔细分析图形特征可得A 不是直角三角形，B 、C 、D 均为直角三角形，故选A.考点：格点三角形的特征点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握格点中互相垂直的线段的特征，即可完成.11．513【解析】【分析】根据三角函数的定义解答．【详解】如图作PA ⊥x 轴，垂足为A ．OP 13=，cos ∠POA =513．故答案为513．本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，利用坐标系求出三角形的边长是关键步骤．12．1517【解析】【分析】首先利用勾股定理求出AC 的长，再利用锐角三角函数关系得出sinB 的值．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝17，BC ＝8，∴AC 15==，∴sin B ＝1517AC AB =．故答案为：1517．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．13．+【解析】【分析】根据题意得，6520CAB ∠=︒-︒，402060ACB ∠=︒+︒=︒，30AB =，过B 作BE AC ⊥于E ，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：根据题意得，652045CAB ∠=︒-︒=︒，402060ACB ∠=︒+︒=︒，30AB =，过B 作BE AC ⊥于E ，90AEB CEB ∴∠=∠=︒，在Rt ABE ∆中，45ABE ∠=︒ ，30AB =，AE BE ∴===在Rt CBE ∆中，60ACB ∠=︒ ，CE ∴=∴=+=AC AE CE∴，C两港之间的距离为km，A故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．14．135【解析】【详解】试题分析：根据题意可得：∠BDA=30°,∠DAC =60°,在Rt△ABD中，因为AB=45m，所以AD=，所以在Rt△ACD中，CD= ．考点：解直角三角形的应用．15【解析】【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE=2，故∠EAB=∠B=22.5°，由三角形外角的性质得出∠AEC的度数，再根据锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC边于点E，BE=2，∠B=22.5°∴AE=BE=2，∴∠EAB=∠B=22.5°．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠EAB=45°．∵∠C=90°，∴【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，解直角三角形，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．16．60【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】∵∠C=90°，cos A12=，∴∠A=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键．17．18 3 5【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得到∠ABC=2∠MPN，即可求解；（2）过点O作OM⊥BC于点M，设OF=FH=x，BM=k，则MH=3k，利用勾股定理求得x=53k，求得∠OFC的正弦函数即可比较得出结论．【详解】解：（1）由图5和图6可知∠ABC=2∠MPN=36°，∴∠MPN=36°÷2=18°；（2）过点O作OM⊥BC于点M，由题意可知MC=MO=MB=12BC=12HB ．设OF=FH=x ，BM=k ，则MH=3k ，在Rt △OFM 中，OM=k ，OF=HF=x ，MF=3k-x ，∴222OM MF OF +=，即()2223k x k x +-=，整理得：6kx=10k 2，∴x=53k ，∴3553OM k sin OFC OF k ∠===，∵，35≠，∴∠OFC≠36°．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理的应用，正弦函数等，作出常用辅助线构建直角三角形是解题的关键．18【解析】【分析】设AB =5，BC =3，根据折叠的性质，结合勾股定理求出AH ，过H 作HM ⊥AF ，垂足为M ，解直角三角形AHF ，求出AM ，最后根据余弦的定义计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB ：BC =5：3，设AB =5，BC =3，由折叠可知：AD =AE =BC =DF =3，FH =FC =2，则EH =EF -HF =3-2=1，∴AH又AF =H 作HM ⊥AF ，垂足为M ，设AM =x ，则MF =x ，则2222AH AM HF MF -=-，即()22222x x -=-，解得：x =AM =∴cos ∠HAF =AM AH ，．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用折叠的性质，掌握解直角三角形的一般方法．19【解析】【分析】过点F 作FG ⊥AB 于G ，连接AF ，根据正方形的性质可得CD ＝CE ＝DF ＝EF ＝2，∠C ＝∠ADF ＝90°，从而得到AD ＝4，BE ＝6，再由勾股定理可得AB ＝10，AF ＝BF ＝，然后设BG ＝x ，再由勾股定理FG ＝2，即可求解．【详解】解：过点F 作FG ⊥AB 于G ，连接AF ，∵四边形CDFE 是边长为2的正方形，∴CD ＝CE ＝DF ＝EF ＝2，∠C ＝∠ADF ＝90°，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AD ＝4，BE ＝6，∴AB 10，AF ＝BF ，设BG ＝x ，∵FG 2＝AF 2﹣AG 2＝BF 2﹣BG 2，∴（2﹣（10﹣x ）2＝（）2﹣x 2，解得：x ＝6，∴FG 2，∴sin ∠FBA ＝FG BF【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理，正方形的性质是解题的关键．20．6.2．【解析】【分析】过点A 作AM ⊥CD 于点M ，可得四边形ABDM 为矩形，根据A 处测得电线杆上C 处得仰角为23°，在△ACM 中求出CM 的长度，然后在Rt △CDE 中求出CE 的长度．【详解】过点A 作AM ⊥CD 于点M ，则四边形ABDM 为矩形，AM=BD=6米，在Rt △ACM 中，∵∠CAM=30°，AM=6米，∴CM=AM•tan ∠，∴CD=（米），在Rt △CDE 中，ED=6﹣2.3=3.7（米），∴≈6.2（米）．21．（1）① 90&#ξΦ0B0;，60&#ξΦ0B0;；②本题答案不唯一，如：B (0，2)；（3）113C x -<<.【解析】【详解】试题分析：（1）由题意可知，点P 关于⊙O 的“视角”是指从点P 引出两条射线，当两条射线和⊙O 相切时，两条射线所形成的的夹角就是点P 关于⊙O 的“视角”；直线l 关于⊙O 的“视角”是指当直线l 与⊙O 相离时，直线l 上的点Q 距离圆心O 最近时，点Q 关于⊙O 的“视角”就是直线l 关于⊙O 的“视角”；由此可根据已知条件解答第一问；（2）①由题意可知，若直线l 关于⊙C 的“视角”为60°，则说明在直线l 上存在一点P 距离点C 最近，且点P 关于⊙C 的“视角”为60°，则此时点P 是l 与以点C 为圆心，2为半径的圆相切的切点，如图1，过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，PE ⊥x 轴于点E ，由已知分析可得DP=DH=∠PDE=60°，在△PDE 中可求得DE 和PE 的长，得到点P 的坐标，把P 、D 的坐标代入直线l 的解析式可求得k 的值；②如图2，由已知易得直线l 与x 轴相交于点A （-1，0），与y 轴相交于点B （0，若此时直线l 关于⊙C 的视角∠EPF=120°，由已知条件求得OC 的长，可得点C 的坐标；如图3，当沿着x 轴向左移动时，直线l 关于⊙C 的视角会变大，当直线l 和⊙C 相切于点P 时，由已知条件可求得OC 的长，可得此时点C 的坐标；综合起来可得C x 的取值范围.试题解析：（1）①如下图，当点A的坐标为（1，1）时，易得点A关于⊙O的视角为90°；∵直线y=2上距离圆心O最近的点是直线y=2与y轴的交点P，过点P作⊙O的两条切线PC、PD，切点为C、D，则直线y=2关于⊙O的视角是∠CPD，连接OD，由已知条件可求得∠OPD=30°，∴∠CPD=60°，即直线y=2关于⊙O的视角为60°.②由①中第2小问可知，满足条件的点B在以O为圆心，2为半径的圆上，这样的点很多，比如说点B（0，2）.（2）①∵直线l: y=kx + b（k > 0）经过点D（1-，0），-+=.∴()1k b0∴b k=-.∴直线l: y kx k=+-.设点P在直线l上，若点P关于⊙C的“视角”为60°，则点P在以C为圆心，2为半径的圆上．∵直线l关于⊙C的“视角”为60°，∴此时，点P是直线l上与圆心C的距离最短的点.∴CP⊥直线l.即直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图1所示．作过点C作CH⊥x轴于点H，PE⊥x轴于点E，∴点H的坐标为（1，0），又∵点D 的坐标为(1 0)，-，∴DH =．∴tan ∠CDH=CH DH =∴∠CDH=30°，∠PDH=60°，∴DE=PD ⋅PE= PD ⋅sin60°=3，∴1，∴点P 的坐标（13）．把点P 的坐标代入l : y kx k =+-，解得： k ．②如图2，由已知易得直线l 与x 轴相交于点A （-1，0），与y 轴相交于点B （0，若此时直线l 关于⊙C 的视角∠EPF=120°，则∠EPC=60°，∠PEC=90°，CE=1，∴∠PCE=30°，∴PC=1=cos30 =AC=4cos303PC = ，∴OC=AC-OA=13，∴此时C x =13；如图3，当沿着x 轴向左移动时，直线l 关于⊙C 的视角会变大，当直线l 和⊙C 相切于点P 时，连接CP ，∵在△ABO 中，AO=1，，∴tan ∠BAO=BO AO=∴∠BAO=60°，∴AC=sin 60PC∴1，∴此时C x 1，综上所述，C x 的取值范围为：113c x -<<.点睛：解这道题的基础是弄懂两个定义的本质，（1）圆外一点关于圆的视角就是：“过圆外一点向圆引两条切线，这两条切线的夹角就是这个点关于这个圆的视角”；（2）当直线和圆相离时，这条直线关于这个圆的视角就是“过圆心向这条直线作垂线，垂足关于这个圆的视角就是这条直线关于这个圆的视角”.22．23米【解析】【分析】根据锐角三角函数求得线段AE ，从而求得旗杆AB 的高度．【详解】解：在Rt △ADE 中，∵ tan ∠ADE ＝AE DE，∠ADE ＝54°，∴ tan 15 1.3820.7AE DE ADE ≈=⨯⋅∠=又∵ 1.8BE CD ＝＝，∴ 20.7 1.822.523AB AE BE =+=+=≈答：旗杆AB 的高度约为23 m ．【点睛】此题主要考查了利用三角函数解直角三角形，熟练掌握并应用三角函数的定义是解题的关键．23．（1）∠CBD 与∠CEB 相等，证明见解析；（2）证明见解析；（3）tan ∠． 【解析】【详解】试题分析：（1）由AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，可得∠ADB=∠ABC=90°，由此可得∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，从而可得∠A=∠CBD ，结合∠A=∠CEB 即可得到∠CBD=∠CEB ；（2）由∠C=∠C ，∠CEB=∠CBD ，可得∠EBC=∠BDC ，从而可得△EBC ∽△BDC ，再由相似三角形的性质即可得到结论；（3）设AB=2x ，结合BC=32AB ，AB 是直径，可得BC=3x ，OB=OD=x ，再结合∠ABC=90°，可得x ，CD=-1）x ；由AO=DO ，可得∠CDF=∠A=∠DBF ，从而可得△DCF ∽△BCD ，由此可得：CD DF BC BD =，这样即可得到tan ∠CDF=tan ∠DBF=DF BD .试题解析：（1）∠CBD 与∠CEB 相等，理由如下：∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠CBD=∠BAD ，∵∠BAD=∠CEB ，∴∠CEB=∠CBD ，（2）∵∠C=∠C ，∠CEB=∠CBD ，∴∠EBC=∠BDC ，∴△EBC ∽△BDC ，∴BD CD BE BC=；（3）设AB=2x ，∵BC=32AB ，AB 是直径，∴BC=3x ，OB=OD=x ，∵∠ABC=90°，∴x ，∴CD=）x ，∵AO=DO ，∴∠CDF=∠A=∠DBF ，∴△DCF ∽△BCD ，∴CD DF BC BD =∵tan ∠DBF=DF BD∴tan ∠点睛：解答本题第3问的要点是：（1）通过证∠CDF=∠A=∠DBF ，把求tan ∠CDF 转化为求tan ∠DBF=DF BD；（2）通过证△DCF ∽△BCD ，得到DF CD BD BC =.24．（1）（2）60-海里．【解析】【分析】（1）延长BA ，过点C 作CD ⊥BA 延长线于点D ，在Rt ACD ∆中利用利用三角函数即可求解；（2）过点A ＇作A ＇N ⊥BC 于点N ，可证A ＇B 平分∠CBA ，根据角平分线的性质、三角函数即可求解．【详解】解：（1）延长BA ，过点C 作CD ⊥BA 延长线于点D由题意可得：∠CBD 30=︒，BC=120则DC=60故60cos30DC AC AC ︒===解得：AC=答：此时点A 到军港C 的距离为（2）过点A ＇作A ＇N ⊥BC 于点N可得∠1=30︒，∠BA ＇A=45︒则∠2=15︒，即A ＇B 平分∠CBA设AA ＇=x ，则A ＇故CA ＇=2A ＇N=2x =x +=∴x 60=-答：此时“昆明舰”的航行距离为60-海里．【点睛】此题主要考查方向角的应用，灵活运用三角函数是解题关键．25．北偏东30【解析】【分析】构建两个直角三角形后，令BD=x ，则AB=2x ，；BC=a ，则．在RT △ACD 中运用勾股定理可求出a 和x 之间的关系，从而得到AB=BC ，依据三角形外角和定理，从而求出∠CAB，又因为∠BAD已知，则可找到所行驶方向．【详解】设甲船在C处追上乙船，根据题意知CD⊥AD，∴∠ADB=90 ，∠BAD=30∴AB=2BD，由勾股定理得：AD，∵乙船正以每小时10海里的速度向正北方向行驶,而甲船的速度是/小时，∴设BC=a,则AC a，又在Rt△ABD中,令BD=x,则AB=2x,AD，又∵在Rt△ADC中,2AC=22AD DCa (舍负)，∴x=2又在Rt△ABD中，AB=2x，∴AB=a，∴AB=BC，∴∠C=∠CAB，∴∠ABD=∠C+∠CAB，∴∠ABD=2∠C.∵∠ABD=60∴∠C=30∴∠CAD =60∴这时甲船应朝北偏东30 方向行驶，才能最快追上乙船．【点睛】解直角三角形的应用-方向角问题．26．（1）0.1，8；（2）盐城市对应频数12这个数据是错误的，该数据的正确值是11；（3）16【解析】【分析】（1）利用连云港的频数及频率求出总数，再根据a 的频数、b 的频率利用公式即可求出答案；（2）计算各组的频率和是否得1，根据频率计算各组频数是否正确，由此即可判断出错误的数据；（3）设来自宿迁的4位“最有孝心的美少年”为A 、B 、C 、D ，列表表示所有可能的情况，再根据概率公式计算即可.【详解】（1）∵连云港市频数为7，频率为0．175，∴数据总数为70.17540÷=，∴4400.1a =÷=，400.28b =⨯=．故答案为0.1，8；（2）∵0.10.1750.20.250.2751++++=，∴各组频率正确，∵400.2751112⨯=≠，∴盐城市对应频数12这个数据是错误的，该数据的正确值是11；（3）设来自宿迁的4位“最有孝心的美少年”为A 、B 、C 、D ，列表如下：AB C D ABA CA DA B ABCB DB C AC BC DCD AD BD CD∵共有12种等可能的结果，A、B同时入选的有2种情况，∴A、B同时入选的概率是：16．【点睛】此题考查统计计算能力，正确理解频数分布表，依据表格得到相应的信息，能正确计算总数，部分的数量，部分的频率，利用列表法求事件的概率.27．1．1m．【解析】【详解】试题分析：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据CF=AC•sin∠CAF 求出CF的长，在Rt△CDG中，根据CG=CD•sin∠CDE求出CG的长，然后根据FG=FC+CG计算即可．试题解析：解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF=90°+12°﹣80°=22°，∴∠CAF=68°，在Rt△ACF中，CF=AC•sin∠CAF≈0．744m，在Rt△CDG中，CG=CD•sin∠CDE≈0．336m，∴FG=FC+CG≈1．1m．故跑步机手柄的一端A的高度约为1．1m．考点：解直角三角形的应用．28．（1）（2）3；（3）1 4【解析】【分析】（1）过A 点作OB 的垂线AE ，证明E 点与B 点重合即可求得OB 的长；（2）在点A 运动过程中，AB 长不变，∠AOB=30°不变，考虑到同弧所对的圆周角不变，所以构造半径为3且过AB 两点的圆O ＇，易知O O ＇=3，C O ＇=O 、O ＇、C 三点共线时，得最值；（3）过点F 做FG ⊥OE 与点G ，过点D 做DH ⊥OE 与点H ，根据sin O =35，不妨设FG=3a ，DH=3b ，则OG=4a ，OH=4b ，GH=4b-4a (b a ≥)，证明FGE ∆∽EHD ∆，根据相似三角形的对应边成比例求解即可．【详解】（1）如图1，过A 点作AE ⊥OB ，∵∠O=30°，OA=6∴AE=132OA = 又AB=3，AE ⊥OB∴B 点与E 点重合∴OB =（2）如图2，在C 点的另一侧作等边三角形ABO ＇，连接O O ＇，连接O ＇C 交AB 于点，则∠A O ＇B=60°，以O ＇为圆心，以3为半径作圆，则A 、B 点在圆上，又因为∠AOB=30°=12∠A O ＇B ，故O 点在圆上，当O 、O ＇、C 三点共线时，点O 与点C 的距离最大．∵△ABC 、△AB O ＇为等边三角形∴四边形AO ＇BC 为菱形∴O ＇C 与AB 互相垂直平分，AD=1322AB =，∠CAD=60°∴CD=tan AD CAD ⋅∠∴O ＇C=2CD=∴当O 、O ＇、C 三点共线时，点O 与点C 的最大距离为当OO ＇+O ＇C 3=+ （3）如图：过点F 做FG ⊥OE 与点G ，过点D 做DH ⊥OE 与点H ，∴∠DHE=∠FGE=90°∵sin O =35，设FG=3a ，DH=3b ，则OG=4a ，OH=4b ，GH=4b-4a (b a ≥)∵DEF ∠=90°∴∠DEH+∠FEG=90°，∠FEG+∠EFG=90°∴∠DEH=∠EFG=∴FGE ∆∽EHD ∆ ∴FG GE EH DH= ∴••FG DH GE EH=即9(44)ab GE b a GE =--∴24()90GE b a GE ab --+=∵0∆≥∴216)360b a ab --≥（化简后得到：4(4)0b a b a --≥（）∵b a ≥，∴40b a -≥，∴40b a -≥∴4b a≥∵FG//DH ，∴OF OD =OG OH =44a b ≤4a a =14【点睛】本题考查的是新定义问题，综合利用三角函数、相似三角形的性质与判断、圆的性质等解答，难度较大，正确的添加辅助线，根据圆或相似三角形是解答的关键．。

人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元练习题（含答案）一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cos A的值等于()A．B．C．D．2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为()A．4B．2C．D．3.已知∠A为锐角，且tan A＝，则∠A的取值范围是()A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°4.把Rt△ABC各边的长度都缩小为原来的得Rt△A′B′C′，则锐角A、A′的余弦值之间的关系是()A．cos A＝cos A′B．cos A＝5cos A′C．5cos A＝cos A′D．不能确定5.Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝6 cm，那么BC等于()A．8 cmB．cmC．cmD．cm6.在△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝，则cos B的值等于()A．B．C．D．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为()A．B．4C．2D．58.已知∠A为锐角，且sin A＜，那么∠A的取值范围是()A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜60°C．60°＜∠A＜90°D．30°＜∠A＜90°分卷II二、填空题9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为，则∠A＝________.10.若tan (x＋10°)＝1，则锐角x的度数为__________．11.在△ABC中，∠C＝90°，如果tan B＝3，则cos A＝__________.12.如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以20海里/小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船，我渔政船的航行路程是________海里．13.如图，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100 m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高为__________，楼高为__________．14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，且tan A＝3，则cos B的值为__________．15.如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A 的值是__________．16.△ABC中，∠C＝90°，cos ∠A＝0.3，AB＝10，则AC＝__________.三、解答题17.如图，某公园内有座桥，桥的高度是5米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°，为方便老人过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝∶3.若新坡角外需留下2米宽的人行道，问离原坡角(A点处)6米的一棵树是否需要移栽？(参考数据：≈1.414，≈1.732)18.课堂上我们在直角三角形中研究了锐角的正弦，余弦和正切函数，与此类似，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cot A＝.(1)若∠A＝45°，则cot 45°＝__________；若∠A＝60°，则cot 60°＝__________；(2)探究tan A·cot A的值．19.已知Rt△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，∠C＝90°，a：c＝2：3，求tan A 的值．20.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5，解这个直角三角形．21.如图1是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图(图2)，支架与坐板均用线段表示，若座板DF平行于地面MN，前支撑架AB与后支撑架AC分别与座板DF 交于点E、D，现测得DE＝20厘米，DC＝40厘米，∠AED＝58°，∠ADE＝76°.(1)求椅子的高度(即椅子的座板DF与地面MN之间的距离)(精确到1厘米)(2)求椅子两脚B、C之间的距离(精确到1厘米)(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，sin 76°≈0.97.cos 76°≈0.24，tan 76°≈4.00)第二十八章《锐角三角函数》单元练习题答案解析1.【答案】D【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5.∴cos A＝＝，故选D.2.【答案】A【解析】如图，∵∠C＝90°，∴cos B＝，∴BC＝AB cos B＝6×＝4，故选A.3.【答案】C【解析】∵tan 45°＝1，tan 60°＝，锐角的正切值随角增大而增大，又1＜＜，∴45°＜∠A＜60°.故选C.4.【答案】【解析】∵Rt△ABC各边的长度都缩小为原来的得Rt△A′B′C′，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∴∠A＝∠A′，∴cos A＝cos A′.故选A.5.【答案】A【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝6 cm，∴tan A＝＝＝，解得BC＝8，故选A.6.【答案】A【解析】设BC＝2x，∵tan A＝，∴AC＝x，∴AB＝3，∴cos B＝＝，故选A.7.【答案】B【解析】∵cos B＝，∴BC＝AB·cos B＝6×＝4.故选B.8.【答案】A【解析】∵∠A为锐角，且sin 30°＝，又∵当∠A是锐角时，其正弦随角度的增大而增大，∴0°＜A＜30°，故选A.9.【答案】60°【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为，∴S＝AC·BC＝，∴AC＝，∵tan A＝＝＝，∴∠A＝60°.10.【答案】20°【解析】∵tan (x＋10°)＝1，∴tan (x＋10°)＝＝，∴x＋10°＝30°，∴x＝20°.11.【答案】【解析】由tan B＝3，可以设∠B的对边是3k，邻边是k，则根据勾股定理，得斜边是k＝k，故cos A＝.12.【答案】30【解析】作CD⊥AB于点D，垂足为D，在Rt△BCD中，∵BC＝20×1.5＝30(海里)，∠CBD＝45°，∴CD＝BC·sin 45°＝30×＝15(海里)，则在Rt△ACD中，AC＝＝15×2＝30(海里)．13.【答案】100m(100－100)m【解析】设CD＝x m，则∵CE＝BD＝100，∠ACE＝45°，∴AE＝CE·tan 45°＝100.∴AB＝100＋x.在Rt△ADB中，∵∠ADB＝60°，∠ABD＝90°，∴tan 60°＝，∴AB＝BD，即x＋100＝100，∴x＝100－100，即楼高100－100 m，塔高100m.14.【答案】【解析】解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝3，设a＝3x，b＝x，则c＝x，∴cos B＝＝＝.解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．又∵tan A＝＝3，∴sin A＝3cos A.又sin2A＋cos2A＝1，∴cos A＝.∵A、B互为余角，∴cos B＝sin (90°－B)＝sin A＝.15.【答案】【解析】作BD⊥AC于点D，∵BC＝2，AC＝＝3，点A到BC的距离为3，AB＝＝，∴＝，即＝，解得BD＝，∴AD＝＝＝2，∴tan A＝＝＝.16.【答案】3【解析】∵∠C＝90°，AB＝10，∴cos A＝＝＝0.3，∴AC＝3.17.【答案】解不需要移栽，理由：∵CB⊥AB，∠CAB＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝5米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i＝∶3，即∠CDB＝30°，∴DC＝2BC＝10米，BD＝BC＝5米，∴AD＝BD－AB＝(5－5)米≈3.66米，∵2＋3.66＝5.66＜6，∴不需要移栽．【解析】根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB－AB求出AD的长，然后将AD＋2与6进行比较，若大于则需要移栽，反之不需要移栽．18.【答案】解(1)由题意得：cot 45°＝1，cot 60°＝；(2)∵tan A＝，cot A＝，∴tan A·cot A＝·＝1.【解析】(1)根据题目所给的信息求解即可；(2)根据tan A＝，cotA＝，求出tan A·cot A的值即可．19.【答案】解设a＝2k，c＝3k.由勾股定理得b＝＝＝k.则tan A＝＝＝.【解析】设a＝2k，c＝3k，依据勾股定理可求得b的长度，然后依据锐角三角函数的定义解答即可．20.【答案】解在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠A＝60°，∵tan B＝，∴b＝a×tan B＝5×tan 60°＝5，由勾股定理，得c＝＝10.【解析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt△ABC中，∠C＝90°则∠A＝90－∠B＝60°，解直角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角，三边中的未知的元素．21.【答案】解(1)如图，作DP⊥MN于点P，即∠DPC＝90°，∵DE∥MN，∴∠DCP＝∠ADE＝76°，则在Rt△CDP中，DP＝CD sin ∠DCP＝40×sin 76°≈39(cm)，答：椅子的高度约为39厘米；(2)作EQ⊥MN于点Q，∴∠DPQ＝∠EQP＝90°，∴DP∥EQ，又∵DF∥MN，∠AED＝58°，∠ADE＝76°，∴四边形DEQP是矩形，∠DCP＝∠ADE＝76°，∠EBQ＝∠AED＝58°，∴DE＝PQ＝20，EQ＝DP＝39，又∵CP＝CD cos ∠DCP＝40×cos 76°≈9.6(cm)，BQ＝＝≈24.4(cm)，∴BC＝BQ＋PQ＋CP＝24.4＋20＋9.6≈54(cm)，答：椅子两脚B、C之间的距离约为54 cm.【解析】(1)作DP⊥MN于点P，即∠DPC＝90°，由DE∥MN知，∠DCP＝∠ADE＝76°，根据DP＝CD sin ∠DCP可得答案；(2)作EQ⊥MN于点Q可得四边形DEQP是矩形，知DE＝PQ＝20，EQ＝DP＝39，再分别求出BQ、CP的长可得答案．人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数 章末专题训练人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数 章末专题训练一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A 的正弦值( D )A ．扩大为原来的5倍B ．缩小为原来的15C ．扩大为原来的10倍D ．不变2. 下列式子错误的是( D )A ．cos40°＝sin50°B ．tan15°·tan75°＝1 C.sin 225°＋cos 225°＝1 D ．sin60°＝2sin30°3. 如图所示，AB 为斜坡，D 是斜坡AB 上一点，斜坡AB 的坡度为i ，坡角为α，AC ⊥BM 于C ，下列式子：①i ＝AC ∶AB ；②i ＝(AC －DE)∶EC ；③i ＝tan α＝DE BE；④AC ＝i ·BC.其中正确的有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡度是（坡度是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是 （ A ） A.米B.米C. 15米D. 10米5.△ABC 在网格中的位置如图K －17－2所示(每个小正方形的边长都为1)，AD ⊥BC 于点D ，下列选项中，错误．．的是( C )图K－17－2A．sinα＝cosα B．tanC＝2C．sinβ＝cosβ D．tanα＝16.把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，那么锐角∠A、∠A′的余弦值的关系是( B )A．cosA＝cosA′B．cosA＝3cosA′C．3cosA＝cosA′D．不能确定7. 如图，要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直。

第二十八章锐角三角函数一、选择题1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为()A． 4B． 2C．D．2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则sin A等于()A．B．C．D．3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝，则∠A等于()A． 30°B． 45°C． 60°D． 90°4.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A．B．C．D．h·cosα5.如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是()A． 5米B． 6米C． 6.5米D． 12米6.Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin B的值为()A．B．C．D．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝4，则cos A的值是()A．B．C．D．8.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，C离海岸线l的距离(即CD的长)为2，从A 测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则AB的长()A． 2 kmB． (2＋)kmC． (4－2) kmD． (4－) km9.在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是() A． 100tanα米B． 100cotα米C． 100sinα米D． 100cosα米10.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦函数值()A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定二、填空题11.若2cosα－＝0，则锐角α＝____________度．12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝；②cos B＝；③tan A＝；④tan B＝，其中正确的结论是__________(只需填上正确结论的序号)13.如图，已知点A(0,1)，B(0，－1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则sin ∠BAC＝____________.14.已知∠A的补角是120°，则tan A＝________.15.如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是____________．16.汽车沿着坡度为1∶7的斜坡向上行驶了50米，则汽车升高了____________米．17.已知0°＜θ＜30°，且sinθ＝km＋(k为常数且k＜O)，则m的取值范围是__________．18.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sin A＝，那么AB＝__________.19.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则sin ∠ABC＝________.20.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：≈1.73)三、解答题21.如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°.朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为(即AB∶BC＝)，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．(测量器的高度忽略不计)22.南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数)?(参考数据：cos 75°＝0.2588，sin 75°＝0.9659，tan 75°＝3.732，＝1.732，＝1.414)23.如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO＝15°，AO＝30 cm，∠OBC＝45°，求AB的长度．(结果精确到0.1 cm)(参考数据：sin 15°≈0.259，cos 15°≈0.966，tan 15°≈0.268，≈1.414)24.小明周日在广场放风筝，如图，小明为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为20米，小明的身高AB为1.75米，请你帮小明计算出风筝离地面的高度．(结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73)25.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．(1)在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离(结果取整数)；(2)用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置．(参考数据：sin 53°＝0.80，cos 53°＝0.60，tan 53°＝0.33，＝1.41)26.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值．27.如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m)．(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)28.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24，求sin A，sin B的值．答案解析1.【答案】A【解析】如图，∵∠C＝90°，∴cos B＝，∴BC＝AB cos B＝6×＝4，故选A.2.【答案】B【解析】sin A＝＝，故选B.3.【答案】A【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝，∴tan A＝＝.∴∠A＝30°，故选A.4.【答案】B【解析】∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos ∠BCD＝，∴BC＝＝，故选B.5.【答案】A【解析】在如图AC＝13，作CB⊥AB，∵cosα＝＝，∴AB＝12，∴BC＝＝＝5，∴小车上升的高度是5 m.故选A.6.【答案】A【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，∴sin B＝＝.故选A.7.【答案】B【解析】cos A＝＝＝.故选B.8.【答案】C【解析】在CD上取一点E，使BD＝DE，可得∠EBD＝45°，AD＝DC＝2，∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，∴BE＝EC.设AB＝x，则DE＝BD＝AD－AB＝2－x，∴EC＝BE＝BD＝(2－x)，∵DE＋EC＝CD，∴2－x＋(2－x)＝2，解得x＝4－2，即AB＝4－2.故选C.9.【答案】B【解析】∵∠BAC＝α，BC＝100 m，∴AB＝BC·cotα＝100cotαm.故选B.10.【答案】A【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，故锐角A的余弦函数值也不变．故选A.11.【答案】45°【解析】∵2cosα－＝0，∴cosα＝，又∵cos 45°＝，∴锐角α＝45°.12.【答案】②③④【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝，故①错误；∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴cos B＝cos 60°＝，故②正确；∵∠A＝30°，∴tan A＝tan 30°＝，故③正确；∵∠B＝60°，∴tan B＝tan 60°＝，故④正确．故答案为②③④.13.【答案】【解析】∵A(0,1)，B(0，－1)，∴AB＝2，OA＝1，∴AC＝2，由勾股定理，得OC＝＝，∴在Rt△AOC中，sin ∠OAC＝sin ∠BAC＝＝.14.【答案】【解析】∵∠A的补角是120°，∴∠A＝180°－120°＝60°，∴tan A＝tan 60°＝.15.【答案】5∶12【解析】如图所示，由题意可知，PM＝13 m，MC＝5米，∴PC＝＝12，∴MC∶PC＝5∶12，故答案为5∶12.16.【答案】5【解析】∵坡度为1∶7，∴设坡角是α，则sinα＝＝，∴上升的高度是50×＝5(米)．17.【答案】＜m＜【解析】∵0°＜θ＜30°，∴sin 0°＜sinθ＜sin 30°，即0＜km＋＜，∴＜km＜，∴＜m＜.18.【答案】18【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，sin A＝＝，∴AB＝3×6＝18.19.【答案】【解析】∵小正方形边长为1，∴AB2＝8，BC2＝10，AC2＝2；∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠CAB＝90°，∴sin ∠ABC＝＝＝.20.【答案】208【解析】由题意可得：tan 30°＝＝＝，解得：BD＝30，tan 60°＝＝＝，解得DC＝90，故该建筑物的高度为BC＝BD＋DC＝120≈208(m)．21.【答案】解∵AF⊥AB，AB⊥BE，DE⊥BE，∴四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝2，设DE＝x，在Rt△CDE中，CE＝＝＝x，在Rt△ABC中，∵＝，AB＝2，∴BC＝2，在Rt△AFD中，DF＝DE－EF＝x－2，∴AF＝＝＝(x－2)，∵AF＝BE＝BC＋CE.∴(x－2)＝2＋x，解得x＝6.答：树DE的高度为6米．【解析】由于AF⊥AB，则四边形ABEF为矩形，设DE＝x，在Rt△CDE中，CE＝＝＝x，在Rt△ABC中，得到＝，求出BC，在Rt△AFD中，求出AF，由AF＝BC＋CE 即可求出x的长．22.【答案】解过B作BD⊥AC，∵∠BAC＝75°－30°＝45°，∴在Rt△ABD中，∠BAD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，由勾股定理，得BD＝AD＝×20＝10(海里)，在Rt△BCD中，∠C＝15°，∠CBD＝75°，∴tan ∠CBD＝，即CD＝10×3.732＝52.77048，则AC＝AD＋DC＝10＋10×3.732＝66.91048≈67(海里)，即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里．【解析】过B作BD⊥AC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD与AD的长，在直角三角形BCD中，求出CD的长，由AD＋DC求出AC的长即可．23.【答案】解过O点作OD⊥AB交AB于D点．在Rt△ADO中，∵∠A＝15°，AO＝30，∴OD＝AO·sin 15°≈30×0.259≈7.77(cm)AD＝AO·co s 15°≈30×0.966≈28.98(cm)又∵在Rt△BDO中，∠OBC＝45°，∴BD＝OD＝7.77(cm)，∴AB＝AD＋BD＝36.75≈36.8(cm)．答：AB的长度为36.8 cm.【解析】过O点作OD⊥AB交AB于D点，根据∠A＝15°，AO＝30可知OD＝AO·sin 15°，AD＝AO·cos 15°，在Rt△BDO中根据∠OBC＝45°可知，BD＝OD，再根据AB＝AD＋BD即可得出结论．24.【答案】解∵在Rt△CBE中，sin 60°＝，∴CE＝BC·sin 60°＝20×≈17.3 m，∴CD＝CE＋ED＝17.3＋1.75＝19.05≈19.1 m.答：风筝离地面的高度是19.1 m.【解析】先根据锐角三角函数的定义求出CE的长，再由CD＝CE＋ED即可得出结论．25.【答案】解(1)如图，作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵PA＝100，∠PAC＝53°，∴PC＝PA·sin ∠PAC＝100×0.80＝80，在Rt△PBC中，∵PC＝80，∠PBC＝∠BPC＝45°，∴PB＝PC＝1.41×80≈113，即B处与灯塔P的距离约为113海里；(2)∵∠CBP＝45°，PB≈113海里，∴灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．【解析】(1)根据方向角的定义结合已知条件在图中画出点B，作PC⊥AB于C，先解Rt△PAC，得出PC＝PA·sin ∠PAC＝80，再解Rt△PBC，得出PB＝PC＝1.41×80≈113；(2)由∠CBP＝45°，PB≈113海里，即可得到灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里．26.【答案】解∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠AMN＝90°，∴∠B＝∠AMN，又AN＝3，AM＝4，∴MN＝＝，∴cos B＝cos ∠AMN＝＝.【解析】根据“同角的余角相等”，可得∠B＝∠AMN，又AN＝3，AM＝4，由勾股定理得MN＝，故 cos B＝cos ∠AMN.27.【答案】解作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°，在Rt△AFB中，∵AB＝2.7，∴AF＝2.7×cos 70°≈2.7×0.34＝0.918，∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1 m，答：端点A到地面CD的距离是1.1 m.【解析】作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，求出AF、EF即可解决问题．28.【答案】解在△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24，由勾股定理，得AB＝＝＝25，sin A＝＝，sin B＝＝.【解析】根据勾股定理，可得AC的长，根据锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．。

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21 B.33 C 。

1 D. 32．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下,倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ )A ．10米B ．15米C ．25米D ．30米3．若A B ∠∠、均为锐角，且21cos 21sin ==B A ，,则（ ).A ．︒=∠=∠60B A B ．︒=∠=∠30B AC ．︒=∠︒=∠3060B A ，D ．︒=∠︒=∠6030B A ，4. 在△ABC 中，∠C ＝90°，53sin =A ,则=B tan （ )．A.53B.54C 。