第四章 多项式环及循环码

智能信息技术导论 - 循环码一、概述循环码是一种在通信领域中广泛使用的编码方式。

它通过在数据中添加冗余位来实现错误检测和纠正的功能。

循环码在数字通信系统、计算机网络、存储系统等领域都有着重要的应用，是保障数据传输可靠性的重要技术手段之一。

二、循环码的原理循环码是一种线性块码，通过在数据位后面添加一系列的冗余位（也称为校验位）来构成编码后的数据。

冗余位的计算方式使循环码的编码、译码实现起来非常高效。

2.1 循环码的生成多项式循环码最重要的参数是生成多项式，它决定了编码和译码的方式。

生成多项式是一个不可分解的多项式，用于生成校验位。

在循环码中，校验位是通过数据位和生成多项式的模2乘法来计算得到的。

2.2 循环码的编码循环码的编码过程实际上就是将数据位和生成多项式进行一系列模2乘法的计算，并将结果作为校验位添加到数据位后面。

编码过程可以通过移位寄存器的方式实现，其中移位寄存器的初始状态为全0。

2.3 循环码的译码循环码的译码过程主要是通过计算接收到的编码数据位和生成多项式的模2除法来还原数据位。

译码过程中，接收到的编码数据位会与寄存器中的状态进行模2除法的计算，得到的结果会作为冗余位进行错误检测。

三、循环码的性质循环码具有许多重要性质，这些性质使得循环码在实际应用中具有较好的性能。

3.1 线性性质循环码满足线性性质，即两个编码字的异或结果仍然是一个有效的编码字。

这种性质使得循环码可以方便地进行编码和译码操作。

3.2 最小距离性质循环码的最小距离决定了它所能检测和纠正的错误的能力。

最小距离越大，循环码的纠错能力越强。

在设计循环码时，需要考虑到数据传输过程中可能出现的各种错误类型，以便选择合适的生成多项式和编码长度。

3.3 循环码的循环性循环码具有循环性，即将一个编码字进行循环移位后所得到的码字仍然是一个有效的编码字。

该性质使得循环码在传输过程中可以通过循环移位将错误传播到多个位上，从而提高错误的检测和纠正的能力。

2、循环码2.1循环码的基本原理 1.定义循环码是满足循环特性的线性分组码，是线性分组码的子类，之所以这样说是因为线性分组码要求所选择的码是线性的，循环码则是在线性分组码的基础之上进一步要求所选择的码具有循环性。

假设C 是一个(n,k)线性码，如果C 中任意一个码字经任意循环移位之后仍然是C 中的码字，那么此码是一个循环码。

循环码具有规则的代数结构，且是自封闭的，因此用多项式来描述更方便。

长度为n 的循环码可用一个n-1次多项式来描述，此多项式称为码多项式，表示如下：(1)左移i 位后的码多项式为(2)码多项式与循环移位后的多项式之间的关系为)1()(c xC(x)1)1(021121-n -+=++⋅⋅⋅++=---nn n n n x c x C x c x c x c x (3)也即是)1m od()()()1(-≡n x x xC x C (4)以此类推，可以得到)1m od()()()(-≡n i i x x C x x C (5)2.循环码的性质(1)GF(q)上的(n,k)循环码中，存在唯一的一个n-k 次首一多项式0111)(g x g x g x x g k n k n k n ++⋅⋅⋅++=-----，每一个码多项式)(x C 都是)(x g 的倍式，即循环码的码多项式)(x C 中次数最低且其常数项为1的码多项式有且仅有一个，为码的生成多项式，记做)(x g 。

循环码C 中的每个码多项式)(x C 都可唯一表示成)()()(x g x m x C =。

(2))(,),(),(),(12x g x x g x x xg x g k -⋅⋅⋅都是生成多项式，他们的线性组合也是生成多项式。

(3)GF(q)上(n,k)循环码的生成多项式)(x g 一定是)1(-nx 的因子。

(4)循环码的生成矩阵H 和校验矩阵H 的正交性可以用多项式表示为1)()(-=n x x h x g 。

请简述什么是循环码以及循环码的生成多项式
循环码(Cyclic Code)是一种线性码的一种，其中循环码的生成多项式是一个非常关键的概念。

循环码的生成多项式是指一个m次多项式g(x)，它满足以下两个条件：
1. g(x)的所有根都在循环码的生成矩阵G的右互质集合内;
2. 对于任意的0≤i
其中，n是码长，m是生成多项式的次数，G是循环码的生成矩阵，mod m表示对m取模。

循环码的生成多项式可以通过辗转相除法(又称欧几里得算法)来求得，即找到一个最简形式的m次多项式。

循环码的生成矩阵可以通过将生成多项式展开得到，即将所有不等于常数项的系数所在列组成一个n×(n-m)的矩阵，这个矩阵就是循环码的生成矩阵。

循环码具有很多良好的性质，例如其检测和纠错能力、编码和解码的易实现性等，因此在通信和编码领域得到广泛应用。

8.5 循环码循环码是线性分组码中最重要的一个子类码，它的基本特点是编码电路及伴随式解码电路简单易行；循环码代数结构具有很多有用的特性，便于找到有效解码方法。

因此在实际差错控制系统中所使用的线性分组码，几乎都是循环码。

下面将介绍循环码的多项式表示及其性质，同时简介几种重要的循环码，CRC、BCH和R-S 码等。

8.5.1 循环码的描述1. 码多项式及其运算通式表示为：（8-69）于是称与为“同余”式，即[模]（8-70）如：则[模] 即能被整除利用这一运算原理，我们可对一个码字进行移位表示：如：的多项式表示为：使码组向左移2位（循环）则有对应多项式然后以去除得：这一结果表明，以作除法运算（称模）后，即与为同余因此，（模）应注意，利用这种同余式表示，必须加注（模），否则就不明确在什么条件下得到的这一同余关系式。

2.循环码的构成循环码的构成突出特点是只要是该码中的一个许用码组——码字，通过循环位其结果则可包括全部个非全0码字，如上面介绍的（7，3）分组码，从信码位0 0 1构成的码字（0011101）开始逐一向左（或者向右）移一位，可得其余6个码字：（0111010）、（1110100）、（1101001）、（1010011）、（0100111）、（1001110）。

若把这些码字写成码多项式，都具有同一个移位运算模式，并设（0011101）对应的码多项式，于是，有：（模)（8-71）这样，就构成了（7，3）循环码，如表8-4。

从表8-4看出，循环得到的（7，3）码，仍为系统码，信息码组均在表中码字的高位（左方）。

表8-4 （7，3）循环码移位（7，3）码码多项式（模）0 0 0 1 1 1 0 11 0 1 1 1 0 1 02 1 1 1 0 1 0 03 1 1 0 1 0 0 14 1 0 1 0 0 1 15 0 1 0 0 1 1 16 1 0 0 1 1 1 08.5.2 循环码生成多项式与生成矩阵1. 生成多项式由表8-4构成个非全0码字多项式的过程与结果看，我们从开始进行逐一循环，并以模运算，该码字正是信码组中最低位为1，对应码字多项式，在全部非全0码字中，它的最高位阶次也最低，并等于，即最高次项为，随后一系列码字都源于它的移位而形成，因此称其为生成多项式，即（8-72）然后再从的因式分解来进一步分析（8-73）我们可以将三个既约多项式因式任意组合成两个因式，可有（8-74）如：（8-75）（8-76）其中可以组合为二因式中包含最高次为4次的情况有两种，即展开式的第4及第5两组，都可以作为阶次最高为4的即（8-77）（8-78）在展开式中选用了其中一个（组合）因式为后，余下一个因式，则称其为循环码的监督多项式，如式（8-74）生成多项式与相应监督多项式乘积等于多项式。

通信原理课程设计循环码循环码是一种在通信原理中广泛应用的编码技术，用于在数字通信中实现错误检测和纠正。

循环码通过在发送数据中添加冗余位来检测和纠正传输中的错误。

在本文中，我将详细介绍通信原理课程设计中循环码的标准格式以及相关内容。

一、引言循环码是一种线性块码，它通过在数据中添加冗余位来实现错误检测和纠正。

循环码的特点是具有循环性质，即码字中的位可以通过移位运算循环生成。

循环码的设计和分析是通信原理课程中的重要内容之一。

二、循环码的定义循环码可以用生成多项式来定义。

生成多项式是一个二进制多项式，它确定了循环码的结构和性能。

循环码的生成多项式可以用多项式系数表示，例如G(x) = g0 + g1x + g2x^2 + ... + gkx^k。

三、循环码的编码过程循环码的编码过程可以分为以下几个步骤：1. 将待发送的数据按照信息位和冗余位的顺序排列。

2. 使用生成多项式进行除法运算，得到校验位。

3. 将校验位添加到数据中，形成循环码。

四、循环码的解码过程循环码的解码过程可以分为以下几个步骤：1. 接收到循环码后，使用接收到的码字和生成多项式进行除法运算。

2. 如果除法运算的余数为0，则认为接收到的码字没有错误。

3. 如果除法运算的余数不为0，则认为接收到的码字存在错误，并进行纠正。

五、循环码的性能分析循环码的性能可以通过误码率和纠错能力来评估。

误码率是指接收到的码字中错误位的比例，纠错能力是指循环码能够纠正的最大错误位数。

六、循环码的应用循环码在通信原理中有广泛的应用。

它可以用于数据传输中的错误检测和纠正，提高通信系统的可靠性和稳定性。

循环码也可以用于存储介质中的数据纠错，例如光盘和硬盘等。

七、循环码的改进为了提高循环码的性能，可以采用一些改进技术。

例如，可以使用更复杂的生成多项式来增加纠错能力；可以采用交织技术来减小错误传播的影响；可以使用迭代译码算法来提高解码的准确性。

八、总结循环码是通信原理中重要的编码技术，用于实现错误检测和纠正。

2、循环码2.1循环码的基本原理 1.定义循环码是满足循环特性的线性分组码，是线性分组码的子类，之所以这样说是因为线性分组码要求所选择的码是线性的，循环码则是在线性分组码的基础之上进一步要求所选择的码具有循环性。

假设C 是一个(n,k)线性码，如果C 中任意一个码字经任意循环移位之后仍然是C 中的码字，那么此码是一个循环码。

循环码具有规则的代数结构，且是自封闭的，因此用多项式来描述更方便。

长度为n 的循环码可用一个n-1次多项式来描述，此多项式称为码多项式，表示如下：(1)左移i 位后的码多项式为(2)码多项式与循环移位后的多项式之间的关系为)1()(c xC(x)1)1(021121-n -+=++⋅⋅⋅++=---nn n n n x c x C x c x c x c x (3)也即是)1m od()()()1(-≡n x x xC x C (4)以此类推，可以得到)1m od()()()(-≡n i i x x C x x C (5)2.循环码的性质(1)GF(q)上的(n,k)循环码中，存在唯一的一个n-k 次首一多项式0111)(g x g x g x x g k n k n k n ++⋅⋅⋅++=-----，每一个码多项式)(x C 都是)(x g 的倍式，即循环码的码多项式)(x C 中次数最低且其常数项为1的码多项式有且仅有一个，为码的生成多项式，记做)(x g 。

循环码C 中的每个码多项式)(x C 都可唯一表示成)()()(x g x m x C =。

(2))(,),(),(),(12x g x x g x x xg x g k -⋅⋅⋅都是生成多项式，他们的线性组合也是生成多项式。

(3)GF(q)上(n,k)循环码的生成多项式)(x g 一定是)1(-nx 的因子。

(4)循环码的生成矩阵H 和校验矩阵H 的正交性可以用多项式表示为1)()(-=n x x h x g 。

多项式环的定义多项式环是数学中的一个重要概念，它在代数学、数论、计算机科学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍多项式环的定义及其相关概念，以及它在代数学中的重要性。

多项式环是由一组多项式构成的环。

在代数学中，环是一种特殊的数学结构，它包含了加法和乘法运算，并满足一定的运算规则。

多项式环是一种特殊的环，它由多项式构成。

在多项式环中，多项式是基本的元素。

一个多项式由一组系数和一组指数构成。

系数可以是实数、复数或其他代数结构中的元素，而指数则是非负整数。

多项式的形式可以表示为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中，P(x)表示多项式，a_n到a_0表示系数，x^n到x^0表示指数。

多项式环中的加法运算是多项式的系数相加，乘法运算是多项式的系数相乘并按指数相加。

例如，多项式环中的两个多项式P(x)和Q(x)的加法和乘法可以表示为：P(x) + Q(x) = (a_n + b_n)x^n + (a_{n-1} + b_{n-1})x^{n-1} + ... + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0)P(x) * Q(x) = (a_n * b_m)x^{n+m} + (a_n * b_{m-1} + a_{n-1} * b_m)x^{n+m-1} + ... + (a_1 * b_0 + a_0 * b_1)x + a_0 * b_0多项式环的定义可以推广到多个变量的情况。

在多变量的多项式环中，每个多项式的变量可以是不同的，而系数和指数的定义与一元多项式环相同。

多项式环在代数学中有着广泛的应用。

它是一种重要的代数结构，可以用来研究和解决各种代数问题。

在线性代数中，多项式环可以用来表示和求解线性方程组。

在数论中，多项式环可以用来研究数的性质和素性。

在计算机科学中，多项式环可以用来设计和分析算法，解决各种计算问题。

多项式环的性质和运算规则在代数学中有着重要的地位。

循环码原理循环码是一种在通信领域中被广泛应用的编码技术，它通过在数据中添加冗余信息来实现错误检测和纠正的功能。

在本文中，我们将深入探讨循环码的原理，以及它在通信系统中的应用。

循环码的原理基于多项式除法。

假设我们有一个k位的数据块，我们希望在传输过程中添加一些冗余信息，以便在接收端能够检测并纠正错误。

为了实现这一目的，我们可以使用一个n位的生成多项式G(x)来对数据进行编码，生成一个n位的循环冗余校验码(CRC)。

这个CRC码可以被添加到数据块中，形成一个n位的编码块。

接收端在接收到编码块后，可以使用同样的生成多项式G(x)来进行除法运算。

如果余数为0，那么说明数据没有出现错误；如果余数不为0，那么说明数据出现了错误。

通过这种方式，接收端可以检测出错误的位置，并进行纠正。

循环码的一个重要特性是它可以通过移位寄存器来高效地实现。

在编码过程中，数据块会被送入移位寄存器中，然后通过与生成多项式G(x)进行模2加法来生成CRC码。

在解码过程中，接收端也可以使用相同的移位寄存器结构来进行除法运算，从而检测并纠正错误。

在通信系统中，循环码被广泛应用于数据传输和存储。

它可以在数字电视、移动通信、卫星通信等领域中起到重要的作用。

通过添加循环冗余校验码，通信系统可以提高数据传输的可靠性，从而减少数据传输过程中的错误率。

除了在通信系统中的应用，循环码还被广泛应用于存储系统中。

例如，光盘、硬盘等存储介质都会使用循环码来进行错误检测和纠正。

这些应用都充分展示了循环码作为一种强大的编码技术的重要性。

总之，循环码作为一种重要的编码技术，在通信和存储领域中发挥着重要作用。

它通过添加冗余信息来实现错误检测和纠正的功能，从而提高了数据传输和存储的可靠性。

希望本文对循环码的原理有所了解，并对其在通信系统中的应用有更深入的认识。

第四章循环码我们所获取的真理不仅仅来自于理论，还要靠灵感4.1循环码简介在第三章中，当处理线性分组码时，在分组码的结构上加进去一些线性限制条件。

这些结构上的性质可以帮助我们寻找能够快速、简单地编码和译码的线性分组码。

在本章中，我们将研究一个线性分组码的子类，该码在结构上有另外的条件的限制条件。

这种限制条件就是一个码字任意循环移位的结果都是另一个有效码字。

这种条件使得循环码可用移位寄存器非常简单的实现。

高效的电路实现是任何错误控制码的卖点。

我们也将看到伽罗瓦域理论可以有效地用于研究、分析和发现新的循环码。

循环码的伽罗瓦域表示导致低复杂度编码和译码算法。

本章内容如下：在前三节中，我们研究多项式。

我们将回顾一些概念并学习几个新概念。

然后利用这些数学工具构造和分析循环码。

接下来将介绍循环码的矩阵描述，并简要介绍准循环码和截短循环码。

然后将讨论一些流行的循环码。

本章最后讨论循环码的电路实现。

定义4.1 我们称码C是循环码，如果（1）C是一个线性码；（2）一个码字的任意循环移位的结果还是一个码字，即若为C 中的一个码字，则也是C中的一个码字。

例4.1二元码1C={0000,0101,1010,11 11}循环码，然而C2={0000,0110,1001,1111}却不是循环码，但与前面的码等价。

将C2的第三位和第四位交换就得到C1. 4.2多项式定义4.2一个多项式就是如下的数学表达式f(x)=f0+f1x+……+fmxm (4-1)其中符号x成为未知元，系数f0,f1,…..,fm是GF（q）中的元素。

系数fm称为最高项系数。

若fm 0，则m称为该多项式的次数，并记为degf(x). 定义4.3 若一个多项式的最高项系数为单位元，则该多项式称为首一的。

多项式在研究循环码方面起到重要作用。

令F（x）为系数在GF（q）上的关于x 的所有多项式的集合。

F(x)中的不同多项式可以按通常方式进行加法、减法和乘法运算。

循环码的概念及性质：循环码是线性分组码中最重要的一种子类，是目前研究得比较成熟的一类码。

循环码具有许多特殊的代数性质，这些性质有助于按照要求的纠错能力系统地构造这类码，并且简化译码算法，并且目前发现的大部分线性码与循环码有密切关系。

循环码还有易于实现的特点，很容易用带反馈的移位寄存器实现其硬件。

正是由于循环码具有码的代数结构清晰、性能较好、编译码简单和易于实现的特点，因此在目前的计算机纠错系统中所使用的线性分组码几乎都是循环码。

它不仅可以用于纠正独立的随机错误，而且也可以用于纠正突发错误。

在描述循环码之前，先看以下例子。

设（7，4）汉明码C的生成矩阵和校验矩阵为：于是可以得到相应的16个码组：（1000101）（0001011）（0010110）（0101100）（1011000）（0110001）（1100010）（0100111）（1001110）（0011101）（0111010）（1110100）（1101001）（1010011）（1111111）（0000000）由上述这些码组可以看到，如果是C的码组，则它的左右移位都是C的码组，具有这种特性的线性分组码称为循环码。

循环码具有以下一些性质：1、封闭性（线性性）。

任何许用码组的线性和还是许用码组。

由此性质可以知：线性码都包含全零码。

且最小码重就是最小码距。

2、循环性。

任何许用的码组循环移位后的码组还是许用码组。

循环码可以用多项式来表示。

为了用代数理论的方法研究循环码的特性，我们经常将循环码表示成码多项式的形式：通常将码的码多项式定义如下：其中，D、。

这里，GF（2）表示2元域，在GF（2）内只有两种元素0，1，且0、1满足如下的加法和乘法运算规则：1+1=0、1+0=1、0+1=1、0+0=0；1×1=1、1×0=0、0×0=0、0×1=0。

例如（1011000）码的多项式表示为循环码的生成多项式：(返回)循环码完全由其码长n和生成多项式构成。

2、循环码2.1循环码的基本原理 1.定义循环码是满足循环特性的线性分组码，是线性分组码的子类，之所以这样说是因为线性分组码要求所选择的码是线性的，循环码则是在线性分组码的基础之上进一步要求所选择的码具有循环性。

假设C 是一个(n,k)线性码，如果C 中任意一个码字经任意循环移位之后仍然是C 中的码字，那么此码是一个循环码。

循环码具有规则的代数结构，且是自封闭的，因此用多项式来描述更方便。

长度为n 的循环码可用一个n-1次多项式来描述，此多项式称为码多项式，表示如下：(1)左移i 位后的码多项式为(2)码多项式与循环移位后的多项式之间的关系为)1()(c xC(x)1)1(021121-n -+=++⋅⋅⋅++=---nn n n n x c x C x c x c x c x (3)也即是)1m od()()()1(-≡n x x xC x C (4)以此类推，可以得到)1m od()()()(-≡n i i x x C x x C (5)2.循环码的性质(1)GF(q)上的(n,k)循环码中，存在唯一的一个n-k 次首一多项式0111)(g x g x g x x g k n k n k n ++⋅⋅⋅++=-----，每一个码多项式)(x C 都是)(x g 的倍式，即循环码的码多项式)(x C 中次数最低且其常数项为1的码多项式有且仅有一个，为码的生成多项式，记做)(x g 。

循环码C 中的每个码多项式)(x C 都可唯一表示成)()()(x g x m x C =。

(2))(,),(),(),(12x g x x g x x xg x g k -⋅⋅⋅都是生成多项式，他们的线性组合也是生成多项式。

(3)GF(q)上(n,k)循环码的生成多项式)(x g 一定是)1(-nx 的因子。

(4)循环码的生成矩阵H 和校验矩阵H 的正交性可以用多项式表示为1)()(-=n x x h x g 。

循环冗余校验原理奇偶校验码作为一种检错码虽然简单,但是漏检率太高。

在计算机网络和数据通信中用E得最广泛的检错码,是一种漏检率低得多也便于实现的循环冗余码CRC (Cyclic Redundancy .Code),CRC码又称为多项式码。

任何一个由二进制数位串组成的代码,都可以惟一地与一个只含有0和1两个系数的多项式建立一一对应的关系。

例如,代码1010111对应的多项式为X6+X4+X2+X+1,同样.多项式X5+X3+X2+X+1对应的代码为101111。

CRC码在发送端编码和接收端校验时,都可以利用事先约定的生成多项式G(X)来得到。

k 位要发送的信息位可对应于一个(k-1)次多项式K(X),r位冗余位则对应于一个(r-1)次多项式R(X),由k位信息位后面加上r位冗余位组成的n=k+r位码字则对应于一个(n-1)次多项式T(X)=Xr·K(X)+R(X)。

例如信息位:1011001→K(X)=X6+X4+X3+1冗余位:1010→R(X)=X3+X码字:10110011010→T(X)=X4·K(X)+R(X)=X10+X8+X7+X4+X3+X由信息位产生冗余位的编码过程,就是已知K(X)求R(X)的过程。

在CRC码中可以通过找到一个特定的r次多项式G (X)(其最高项Xr的系数恒为1),然后用Xr·K(X)去除以G(X),得到的余式就是R(X)。

特别要强调的是,这些多项式中的"+"都是模2加(也即异或运算);此外,这里的除法用的也是模2除法,即除法过程中用到的减法是模2减法,它和模2加法的运算规则一样,都是异或运算,这是一种不考虑加法进位和减法借位的运算,即0+O=0,0+1=1,1+0=1,1+1=00-0=0,0-1=1,1-0=1,1-1=0在进行基于模2运算的多项式除法时,只要部分余数首位为1,便可上商1,否则上商0。

然后按模2减法求得余数,该余数不计最高位。