信道编码汉明码译码电路循环码生成多项式生成矩阵

循环码（7，3）码（生成多项式1)(234+++=x x xx g ）摘要：本报告详细给出了循环码的定义以及由生成多项式求解生成矩阵和系统生成矩阵的过程，并在Matlab 环境下写出了循环码的编码器和解码器代码，实现了编码和译码功能。

分析和讨论了 此码发现错误、纠正错误的能力，并讨论了其与线性分组码、Hamming 码等信道编码的区别与联系。

关键字：循环码 编码 译码 检错 纠错 Matlab信道编码：信道编码又称差错控制编码或纠错编码，它是提高信息传输可靠性的有效方法之一。

一类一类信道编码是对传输信号的码型进行变换，使之更适合于信道特性或满足接收端对恢复信号的要求，从而减少信息的损失；另一类信道编码是在信息序列中人为的增加冗余位，使之具有相关特性，在接收端利用相关性进行检错或纠错，从而达到可靠通信的目的。

1.1、循环码循环码是线性分组码中一个重要的分支。

它的检、纠错能力较强，编码和译码设备并不复杂，而且性能较好，不仅能纠随机错误，也能纠突发错误。

循环码是目前研究得最成熟的一类码，并且有严密的代数理论基础，故有许多特殊的代数性质，这些性质有助于按所要求的纠错能力系统地构造这类码，且易于实现，所以循环码受到人们的高度重视，在FEC 系统中得到了广泛应用。

1.1.1、循环码定义定义：一个线性分组码，若具有下列特性，则称为循环码。

设码字 )(0121c c c c c n n ⋅⋅⋅=-- （1.1.1） 若将码元左移一位，得 ())(10121--⋅⋅⋅=n n c c c c c （1.1.2）()1c也是一个码字。

由于（k n ,）线性分组码是n 维线性空间n V 中的一个k 维子空间，因此()k n ,循环码是n 维线性空间n V 中的一个k 维循环子空间。

注意：循环码并非由一个码字的全部循环移位构成。

1.1.2、循环码的特点循环码有两个数学特征： （1）线性分组码的封闭型；（2）循环性，即任一许用码组经过循环移位后所得到的码组仍为该许用码组集合中的一个码组。

请简述什么是循环码以及循环码的生成多项式
循环码(Cyclic Code)是一种线性码的一种，其中循环码的生成多项式是一个非常关键的概念。

循环码的生成多项式是指一个m次多项式g(x)，它满足以下两个条件：
1. g(x)的所有根都在循环码的生成矩阵G的右互质集合内;
2. 对于任意的0≤i
其中，n是码长，m是生成多项式的次数，G是循环码的生成矩阵，mod m表示对m取模。

循环码的生成多项式可以通过辗转相除法(又称欧几里得算法)来求得，即找到一个最简形式的m次多项式。

循环码的生成矩阵可以通过将生成多项式展开得到，即将所有不等于常数项的系数所在列组成一个n×(n-m)的矩阵，这个矩阵就是循环码的生成矩阵。

循环码具有很多良好的性质，例如其检测和纠错能力、编码和解码的易实现性等，因此在通信和编码领域得到广泛应用。

第五章 信道编码 习题解答1．写出与10011的汉明距离为3的所有码字。

解：共有10个：01111，00101，00000，01010，01001，00110，11101，10100，11000，11110。

2． 已知码字集合的最小码距为d ，问利用该组码字可以纠正几个错误？可以发现几个错误？请写出一般关系式。

解：根据公式：(1)1d e ≥+ 可发现e 个错。

(2)21d t ≥+ 可纠正t 个错。

得出规律：（1）1d = ，则不能发现错及纠错。

（2）d 为奇数：可纠12d -个码元错或发现1d -个码元错。

（3）d 为偶数：可纠12d-个码元错，或最多发现1d -个码元错。

（4）码距越大，纠、检错能力越强。

3．试计算（8，7）奇偶校验码漏检概率和编码效率。

已知码元错误概率为410e p -=。

解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元（忽略错4或6个码元）的情况：228788!10 2.8106!2!e p C p --==⨯=⨯⨯ 787.5%8η==4．已知信道的误码率410e p -=，若采用“五三”定比码，问这时系统的等效（实际）误码率为多少？ 解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元的情况1125211283232(1)610e e e p C C p p C C p --=-≈=⨯5．求000000，110110，011101，101011四个汉明码字的汉明距离，并据此求出校正错误用的校验表。

解：先求出码字间距离：000000 110110 011101 101011000000 4 4 4 110110 4 4 4 011101 4 4 4 101011 4 4 4汉明距离为4，可纠一位错。

由于一个码字共有6个码元，根据公式：21617rn ≥+=+= 得 3r = 即每个码字应有3位监督码元，6-3=3位信息码元。

直观地写出各码字：123456000000110110011101101011x x x x x x 令456x x x 为监督码元，观察规律则可写出监督方程：413523612x x x x x x x x x=⊕⎧⎪=⊕⎨⎪=⊕⎩从而写出校验子方程：113422353126s x x x s x x x s x x x *********⎧=⊕⊕⎪=⊕⊕⎨⎪=⊕⊕⎩列出校验表：6．写出信息位6k =，且能纠正1个错的汉明码。

第五章 信道编码 习题解答1．写出与10011的汉明距离为3的所有码字。

解：共有10个：01111，00101，00000，01010，01001，00110，11101，10100，11000，11110。

2． 已知码字集合的最小码距为d ，问利用该组码字可以纠正几个错误？可以发现几个错误？请写出一般关系式。

解：根据公式：(1)1d e ≥+ 可发现e 个错。

(2)21d t ≥+ 可纠正t 个错。

得出规律：（1）1d = ，则不能发现错及纠错。

（2）d 为奇数：可纠12d -个码元错或发现1d -个码元错。

（3）d 为偶数：可纠12d-个码元错，或最多发现1d -个码元错。

（4）码距越大，纠、检错能力越强。

3．试计算（8，7）奇偶校验码漏检概率和编码效率。

已知码元错误概率为410e p -=。

解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元（忽略错4或6个码元）的情况：228788!10 2.8106!2!e p C p --==⨯=⨯⨯ 787.5%8η==4．已知信道的误码率410e p -=，若采用“五三”定比码，问这时系统的等效（实际）误码率为多少？ 解：由于410e p -=较小，可只计算错两个码元的情况1125211283232(1)610e e e p C C p p C C p --=-≈=⨯5．求000000，110110，011101，101011四个汉明码字的汉明距离，并据此求出校正错误用的校验表。

解：先求出码字间距离：000000 110110 011101 101011000000 4 4 4 110110 4 4 4 011101 4 4 4 101011 4 4 4 汉明距离为4，可纠一位错。

由于一个码字共有6个码元，根据公式：21617rn ≥+=+= 得 3r = 即每个码字应有3位监督码元，6-3=3位信息码元。

直观地写出各码字：123456000000110110011101101011x x x x x x 令456x x x 为监督码元，观察规律则可写出监督方程：413523612x x x x x x x x x=⊕⎧⎪=⊕⎨⎪=⊕⎩从而写出校验子方程：113422353126s x x x s x x x s x x x *********⎧=⊕⊕⎪=⊕⊕⎨⎪=⊕⊕⎩列出校验表：6．写出信息位6k =，且能纠正1个错的汉明码。

信息论与编码实验报告姓名：学号：院系：班级：指导教师：实验2 信道编码----（7,4）循环码一、实验目的1.掌握循环码的编码原理（生成多项式、校验多项式等）2.掌握VB开发环境的使用（尤其是程序调试技巧）3.掌握VB的编程技巧二、实验环境1.计算机2.Windows 2000 或以上3.VB三、实验内容根据信道编码——循环码的编码原理，制作（7,4）循环码的码字生成器软件。

要求软件有简单的用户界面，当输入信息码字时，软件能够输出相应的循环码字。

实验结果要求：1、g(x)= x3+ x2+1；2、当输入m(x)= x3+x2时电路工作过程中各寄存器的状态。

四、实验原理1、实验原理循环码定义：设CH是一个[n.k]线性分组码，C1是其中的一个码字，若C1的左(右)循环移位得到的n 维向量也是CH中的一个码字，则称CH是循环码。

循环码的生成多项式和生成矩阵：全0码字除外）称为生成多项式，用g(x)表示。

可以证明生成多项式g(x)具有以下特性：（1）g(x)是一个常数项为1的r=n-k次多项式；（2）g(x)是的一个因式；（3）该循环码中其它码多项式都是g(x)的倍式。

为了保证构成的生成矩阵G的各行线性不相关，通常用g(x)来构造生成矩阵，这时，生成矩阵G(x)可以表示成为其中，因此，一旦生成多项式g(x)确定以后，该循环码的生成矩阵就可以确定，进而该循环码的所有码字就可以确定。

显然，上式不符合形式，所以此生成矩阵不是典型形式，不过，可以通过简单的代数变换将它变成典型矩阵。

2、实验方法循环码的编码方法在编码时，首先需要根据给定循环码的参数确定生成多项式g(x)，也就是从的因子中选一个（n-k）次多项式作为g(x)；然后，利用循环码的编码特点，即所有循环码多项式A(x)都可以被g(x)整除，来定义生成多项式g(x)。

根据上述原理可以得到一个较简单的系统循环码编码方法：设要产生（n,k）循环码，m(x)表示信息多项式，则其次数必小于k，而·m(x)的次数必小于n，用·m(x)除以g(x)，可得余数r(x)，r(x)的次数必小于（n-k），将r(x)加到信息位后作监督位，就得到了系统循环码。

公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]第五章信道编码习题解答1.写出与10011的汉明距离为3的所有码字。

解:共有10 个：01111, 00101, 00000, 01010, 01001, 00110, 11101, 10100,11000, llllOo2.已知码字集合的最小码距为d ,问利用该组码字可以纠正儿个错误可以发现儿个错误请写出一般关系式。

解：根据公式：（1）d, + l 可发现e个错。

（2）d>2t + \可纠正t个错。

得出规律：（1） d = \ ,则不能发现错及纠错。

（2）d为奇数:可纠仝个码元错或发现1个码元错。

2（3）〃为偶数：可纠°-1个码元错，或最多发现〃-1个码元错。

2（4）码距越大，纠、检错能力越强。

3.试计算（8, 7）奇偶校验码漏检概率和编码效率。

已知码元错误概率为代=解：由于/< = 10-*较小，可只计算错两个码元（忽略错4或6个码元）的情况:= 2 = 87.5%84. 己知信道的误码率代=10匕 若采用“五三”定比码，问这时系统的等效（实 际）误码率为多少解：由于以= 10-较小，可只计算错两个码元的情况P = C ；C ；p ；Q — pjX «C\c\p ； =6xl0-85. 求000000, 110110, 011101, 101011四个汉明码字的汉明距离,并据此求出校 正错误用的校验表。

解：先求出码字间距离:%2兀兀 0 0 0 0 0 0直观地写出各码字：1 1 0 1 1 00 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1X 4 = X x ㊉兀3 令x 4 x 5 A-6为监督码元，观察规律则可写出监督方程：h 5=x 2㊉®/6 =召 ®X2000000110110 011101 00000044 110110 44011101 4 4101011 444汉明距离为4,可纠一位错。

汉明码(Hamming)的编码和译码算法本文所讨论的汉明码是一种性能良好的码，它是在纠错编码的实践中较早发现的一类具有纠单个错误能力的纠错码，在通信和计算机工程中都有应用。

例如：在“计算机组成原理”课程中，我们知道当计算机存储或移动数据时，可能会产生数据位错误，这时可以利用汉明码来检测并纠错。

简单的说，汉明码是一个错误校验码码集，由Bell实验室的R.W.Hamming发明，因此定名为汉明码。

如果对汉明码作进一步推广，就得出了能纠正多个错误的纠错码，其中最典型的是BCH码，而且汉明码是只纠1bit错误的BCH码，可将它们都归纳到循环码中。

各种码之间的大致关系显示如下。

一、汉明码的编码算法输入：信源消息u（消息分组u）输出：码字v处理：信源输出为一系列二进制数字0和1。

在分组码中，这些二进制信息序列分成固定长度的消息分组（message blocks）。

每个消息分组记为u，由k个信息位组成。

因此共有2k种不同的消息。

编码器按照一定的规则将输入的消息u转换为二进制n 维向量v ，这里n >k 。

此n 维向量v 就叫做消息u 的码字（codeword ）或码向量（code vector ）。

因此，对应于2k 种不同的消息，也有2k 种码字。

这2k 个码字的集合就叫一个分组码（block code ）。

若一个分组码可用，2k 个码字必须各不相同。

因此，消息u 和码字v 存在一一对应关系。

由于n 符号输出码字只取决于对应的k 比特输入消息，即每个消息是独立编码的，从而编码器是无记忆的，且可用组合逻辑电路来实现。

定义：一个长度为n ，有2k 个码字的分组码，当且仅当其2k 个码字构成域GF(2)上所有n 维向量组成的向量空间的一个K 维子空间时被称为线性（linear ）(n, k)码。

汉明码（n ，k ，d ）就是线性分组(n, k)码的一种。

其编码算法即为使用生成矩阵G ：v = u ·G 。

7.1 写出构成二元域上的 3 维 3重矢量空间的全部矢量元素， 并且找出其中一个 2维子 空间及其对偶子空间。

000 100 011 111 二维子空间（ 000， 011， 110， 101）7.2 写出 GF （7）的加法，乘法运算表，并找出每个元素的负元素和逆元素。

解：{0,1,2,3,4,5,6} 对应的负元为 {0,6,5,4,3,2,1} ， {1,2,3,4,5,6} 对应的逆元 {1,4,5,2,3,6}7.3 设二元 （6,3）码的生成矩阵为100011 G 0 1 0 1 0 1001110（1）写出相应的检验矩阵 H 。

（2）写出码字集合，并求出最小汉明距离。

解： 1）由于生成矩阵 G 是规范形式，根据校验矩阵 H 与生成矩阵 G 之间的关系011 101 110 100 010 001设比特信息矢量 {x1,x2,x3 }, 可以得到每位码元与信息位之间关系如下c 1 x 1,c 2 x 2,c 3 x 3c 4 x 2 x 3 c 5 x 1 x 3 c 5 x 1 x 2可以得到具体码字如下 {000000} ， {100011} ， {010101} ， {001110} ，{110110} ， {101101} ，{011011} ， {111000} 。

最小汉明距离为 3.7.4 试证明下列 GF （2） 上的生成矩阵解：三维空间元素001 101010 1100123456 1234560 2345601 3456012 4560123 5601234 6012345 0000000 0123456 0246135 0362514 0415263 0531642 0654321HT产生的码为循环码，并写出其生成多项式和校验多项式。

证明：生成矩阵的行矢量为g 1 [ 10000111] g 2 [ 01000111] g 3 [ 00100010]g 4 [ 00010001] g 5 [ 00001111] 从上述关系可以看出 g 5 pg 1(mod)( p 7 1) g 3 pg 4(mod)( p 7 1) g 2 p 2g 4(mod)( p 7 1) 所以该生成多项式产生的码字为循环码32生成多项式为 p 3p 2p 17.5 (6,3) 系统码的生成矩阵为100110 G 0 1 0 0 11001101或者e 4 e 1 e 2 S110 111 001 110 001 000 1差 错图 样 为ee 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 ， 有 {000,00 1,0 10,011, 100 ,101,110,111} ，解上述方程 S S1 e 1 e 2 e 4S2 e 2 e 3 e 5S3 e 1 e 3 e 6设 S 即 构造译码阵列，确定差错样图以及对应的伴随式。

信道编码过程在通信系统中，为了保证信息能够在信道中稳定地传输，需要对信号进行编码。

信道编码是一种将原始信号转换为编码信号的过程，旨在提高信号的可靠性和鲁棒性。

信道编码的过程可以分为两个主要步骤：编码和译码。

1. 编码过程编码是指将原始信号转换为编码信号的过程。

常用的信道编码技术包括前向纠错编码（FEC）和后向纠错编码（BEC）。

（1）FEC编码FEC编码是一种通过向原始信号添加冗余信息来实现纠错的编码技术。

其基本原理是在发送端对原始信息进行处理，生成冗余编码，并将其附加到原始信号中一起传输到接收端。

常见的FEC编码技术包括海明码、卷积码和低密度奇偶校验码（LDPC）等。

海明码是一种最简单的纠错码，其基本原理是在原始信息中添加冗余位，使得接收端能够检测出并纠正一定数量的错误。

卷积码是一种基于状态机的编码技术，具有较高的纠错能力。

LDPC码是一种基于稀疏矩阵的编码技术，具有较低的解码复杂度和较高的编码效率。

（2）BEC编码BEC编码是一种在接收端进行纠正的编码技术。

接收端通过接收到的编码信号进行译码，利用冗余信息进行错误检测和纠正。

常见的BEC编码技术包括汉明码、纵横码和RS码等。

汉明码是一种用于纠正错误的编码技术，通过添加冗余位和奇偶校验位来检测和修正错误。

纵横码是一种基于置换的编码技术，通过将信息序列按照特定规则进行排列和交织，从而提高纠错能力。

RS码是一种广泛应用于CD、DVD等存储介质中的编码技术，具有较高的纠错能力和较低的解码复杂度。

2. 译码过程译码是指接收端对接收到的编码信号进行解码的过程。

译码的目标是尽可能地恢复原始信息，并对可能存在的错误进行检测和纠正。

译码的过程与编码的过程相反，主要包括错误检测和错误纠正两个步骤。

错误检测主要利用冗余信息对接收到的编码信号进行校验，判断是否存在错误。

错误纠正则根据错误检测的结果进行相应的纠正操作。

在译码中，还需要考虑决策规则的选择。

决策规则决定了在接收端如何根据接收到的编码信号进行译码操作。

第六章：信道编码(本章复习大纲我重新修改了一下，尤其要关注红色内容)1、基本概念：差错符号、差错比特；差错图样：随机差错、突发差错；纠错码分类：检错和纠错码、分组码和卷积码、线性码与非线性码、纠随机差错码和纠突发差错码；矢量空间、码空间及其对偶空间； 有扰离散信道的编码定理：-()NE R e P e （掌握信道编码定理的内容及减小差错概率的方法）；线形分组码的扩展与缩短（掌握奇偶校验码及缩短码的校验矩阵、生成矩阵与原线形分组码的关系）。

2、线性分组码(封闭性)：生成矩阵及校验矩阵、系统形式的G 和H 、伴随式与标准阵列译码表、码距与纠错能力、完备码(汉明码)、循环码的生成多项式及校验多项式、系统形式的循环码。

作业：6-1、6-3、6-4、6-5和6-6选一、6-7 6-8和6-9选一 6-1 二元域上4维4重失量空间的元素个数总共有24=16个，它们分别是(0,0,0,0),(0,0,0,1)…(1,1,1,1)，它的一个自然基底是(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0)和(1,0,0,0)；其中一个二维子空间含有的元素个数为22个，选取其中一个自然基底为(0,0,0,1)和(0,0,1,0)，则其二维子空间中所包含的全部矢量为(0,0,0,0,),(0,0,0,1),(0,0,1,0)和(0,0,1,1)(注选择不唯一)；上述子空间对应的对偶子空间可以有三种不同的选择：(0,0,0,0) ,(0,1,0,0),(1,0,0,0)，(1,1,0,0)或(0,0,0,0) ,(0,1,0,0)或(0,0,0,0) (1,0,0,0)。

(注意本题中所包含的关于矢量空间的一些基本概念)6-3 由题设可以写出该系统(8,4)码的线形方程组如下：736251403320231012100321v u v u v u v u v u u u v u u u v u u u v u u u=⎧⎪=⎪⎪=⎪=⎪⎨=++⎪⎪=++⎪=++⎪⎪=++⎩(注：系统码高四位与信息位保持一致，u i 为信息位) 把上述方程组写成矩阵形式，可以表示为 V =U G ，其中V 为码字构成的矢量，即V =(v 7,v 6,v 5,v 4,v 3,v 2,v 1,v 0)，U 为信息位构成的矢量，即U =( u 3,u 2,u 1,u 0)，观察方程组可得系统生成矩阵为：[]44*41000110101001011G I |P 0010011100011110⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦由系统生成矩阵和校验矩阵的关系可得：4*441101100010110100H P |I 0111001011100001T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦由校验矩阵可以看出，矩阵H 的任意三列都是线性无关的(任意三列之和不为0)，但存在四列线性相关的情况(如第1、5、6、8列，这四列之和为0)，即校验矩阵H 中最小的线性相关的列数为4，从而得该线性分组码的最小码距为4。