高等数学 10-4对面积的曲面积分

高数下第10讲：两类曲面积分(倒数第四次)1 对面积的曲面积分上连续，则有：在偏导数连续，，函数面上的投影为在，的方程为单值函数设光滑曲面∑=∑=∑),,(),(),(z y x f y x z z D xoy y x z z dxdy z z y x z y x f dS z y x f Dy x ⎰⎰⎰⎰∑++=221)),(,,(),,(0:.1积分值为轴对称，则于的奇函数，积分区域关是关于若二重积分的被积函数求证y x0:.2积分值为面对称，则于的奇函数，积分区域关是关于若三重积分的被积函数求证yoz x整个边界曲面所围成的四面体的及是由其中曲面计算⎰⎰∑=++===∑=10,0,0,.3z y x z y x xyzdS I所割下的部分被柱面为圆锥面其中曲面计算)0(2,)(.42222>=++=∑++=⎰⎰∑a ayy x y x z dS yz xz xy I⎰⎰∑=++∑=2222,.5R z y x zdS I 是球面其中计算所围立体的表面是锥面及平面其中计算1,)(.622=∑+=⎰⎰∑z dS y x I所截下的部分被平面为旋转抛物面其中计算1,.722=+=∑=⎰⎰∑z y x z dS xyz I求：的密度为上点设锥面壳,),,()10(.822z u z y x z y x z =≤≤+=锥面壳的质量；)1( 锥面壳的质心)2(Rx y x R z y x =+=++222222,.9柱面已知球面；求球面在柱面内的面积)1( 求柱面在球面内的面积)2(2 对坐标的曲面积分2.1 ⎰⎰⎰⎰∑∑→→++=⋅Rdxdy Qdzdx Pdydz dS n z y x F ),,(→→→→++=k z y x R j z y x Q i z y x P z y x F ),,(),,(),,(),,(.其中2.2 ⎰⎰⎰⎰∑±=xy D dxdy y x z y x R dxdy z y x R )),(,,(),,(侧取正，下侧取负的单值函数，右端在上和是其中y x z部分的外侧在是球面其中计算0,01,)(.1022223≥≥=++∑++=⎰⎰∑y x z y x dxdy z y x I的外侧是球面其中计算222232.)(.11R z y x dydz z y x I =++∑++=⎰⎰∑外侧所围成的正方体表面的平面是由三个坐标面与其中计算)0(,,.)()()(.12222>===∑-+-+-=⎰⎰∑a a z a y a x dxdy xy z dzdx zx y dydz yz x I所围成正方体的外侧是平面其中1,1,1,.1322===∑=⎰⎰∑z y x zdxdy y x I所围立体表面的外侧以及两平面是由曲面其中计算)0(,,.142222222>-===+∑+++=⎰⎰∑R R z R z R y x z y x dxdy z xdydz I的下侧的部分在是锥面，其中0,0)10(.1522≥≥≤≤+=∑++⎰⎰∑y x z y x z zdxdy ydzdx xdydz面上方部分的外侧在是抛物面，其中化成对面积的曲面积分把对坐标的曲面积分xoy y x z dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P 228),,(),,(),,(.16--=∑++⎰⎰∑22202020220002222)(4])()()[()(4,),,(.17R d R dS z z y y x x R d R M d z y x M R z y x +≤-+-+-≤-=++∑⎰⎰∑ππ到原点的距离，求证：为是球面外一点，是球面设的外侧为球面计算1,cos cos cos 2.18222222=++∑-+=⎰⎰∑z y x zz dxdy y dzdx z x dydz I⎰⎰∑++=≥≤-+=++∑dxdyz dzdx y dydz x I z x y x z y x 222222220,01.19的部分，试计算的外侧位于表示球面设⎰⎰∑>>>=++∑dSz y x z y x c b a c z b y a x z y x ),,(),,()0,0,0(1),,(.20222222ϕϕ切平面的距离，求处上点：为原点到椭球面设期中部分题目回顾⎰⎰-=10022.1x y dy e dx I 计算),(,14,),(),(.222y x f y x y x y D y x dxdy y x f y x f D求所围区域及是由曲线，设===++=⎰⎰方向导数最大的点沿在，使函数上求点在曲面)0,1,1(),,(122.3222222-=++==++→l P z y x z y x u P z y xds n u y x y u x u y x u L n a a y x L L ⎰→→∂∂+=∂∂+∂∂>=+求偏导数且具有二阶连续的外法向量为为圆周设平面曲线,),(,),0(.4222222222。

习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分： （1）22x y Leds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（2）2x yzds Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；（3）2Ly ds ⎰，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.2.有一段铁丝成半圆形y =，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。

解 曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ϕϕϕπ==≤≤ds ad ϕϕ==依题意(),x y y ρ=，所求质量22sin 2LM yds a d a πϕϕ===⎰⎰ 习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分： （1）22()Lxy dx -⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）22()()Lx y dx x y dy x y+--+⎰，其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）；（3）(1)xdx ydy x y dz Γ+++-⎰，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；（4）dx dy ydz Γ-+⎰，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.计算()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。

曲面积分的基本概念与运算曲面积分是数学中的一个重要概念，它可以用来求解曲面上的一些重要物理量，比如曲面的面积、电场的通量等。

本文将简要介绍曲面积分的基本概念与运算方法。

一、曲面积分的定义曲面积分是对一个向量场在曲面上进行积分的操作，其定义如下：设$\overrightarrow{F}$是一个定义在曲面$S$上的向量场，曲面$S$在$xOy$平面内的投影为区域$D$，$S$可由方程$z=z(x,y)$确定，则曲面积分的计算式为：$\iint_S{\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{ds}}=\iint_D{\ov errightarrow{F}(x,y,z(x,y))\cdot\overrightarrow{n}(x,y)dA}$其中,$\overrightarrow{n}(x,y)$表示曲面元素$ds$相应的法向量，$dA$表示$xOy$平面上的面积元素。

由于$\overrightarrow{ds}$的方向与曲面方向一致，因此曲面积分的计算式中需要乘上$\overrightarrow{n}$。

根据右手法则，$\overrightarrow{n}$的方向应当指向指向位于$z$半空间的区域$S$，也就是说，当观察者位于位于正$x$半轴方向时，曲面$S$在$xOy$平面内的投影应当位于观察者的左侧。

二、曲面积分的运算方法曲面积分的运算方法大致可以分为直接计算和利用高斯公式进行计算两类，下面分别介绍。

(一) 直接计算法直接计算法是通过计算曲面上的积分式来求解曲面积分的值。

设$\overrightarrow{F}$是一个定义在曲面$S$上的向量场，曲面$S$在$xOy$平面内的投影为区域$D$，$S$可由方程$z=z(x,y)$确定，那么曲面积分的计算式为：$\iint_S{\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{ds}}=\iint_D{\ov errightarrow{F}(x,y,z(x,y))\cdot\overrightarrow{n}(x,y)dA}$其中，$\overrightarrow{n}(x,y)$表示曲面元素$ds$相应的法向量，$dA$表示$xOy$平面上的面积元素。

⾼数同济第六版下⾼等数学2第⼗⼀章答案[1]习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分：（1）22x y Leds +?，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第⼀象限内所围成的扇形的整个边界；（2）2x yzds Γ，其中Γ为折线ABCD ，这⾥A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；（3）2Ly ds ?，其中L 为摆线的⼀拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.2.有⼀段铁丝成半圆形y =，其上任⼀点处的线密度的⼤⼩等于该点的纵坐标，求其质量。

解曲线L 的参数⽅程为()cos ,sin 0x a y a π==≤≤ds ad ??==依题意(),x y y ρ=，所求质量22sin 2LM yds a d a π===?? 习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分：（1）22()Lxy dx -?，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的⼀段弧；（2）22()()Lx y dx x y dy x y+--+?，其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针⽅向绕⾏）；（3）(1)xdx ydy x y dz Γ+++-?，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的⼀段直线；（4）dx dy ydz Γ-+?，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这⾥A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.计算()()Lx y dx y x dy ++-?，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的⼀段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的⼀段弧。