2017年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷(3)

浙江省宁波市镇海区2017年高中数学竞赛模拟试题（三）一、填空题，每题8分11.设，则sin x cos x sin3x cos3x22.设i为虚数单位，化简(i1)2016(i1)20163.已知等差数列的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则a a a11,2,1000a4. 集合x2x3x x R1,2,,100共有个元素，其中x表示不超过x的最大整数。

5.若关于x的方程x2ae x有三个不同的实根，则实数a的取值范围是16.在如图所示的单位正方体 中，设 为正方体的中心，点 分别在棱ABCD A B C DOM , N1 1 1 1A 1D 1,CC 11 2上，,则四面体的体积等于A M,CN OMNB1123D1 M C1 B1A1NDC OAB7.已知抛物线 P 以椭圆 E 的中心为焦点， P 经过 E 的两个焦点，并且 P 与 E 恰有三个交点， 则 E 得离心率等于二、 简答题2a3a 928.已知数列满足，。

用数学归纳法证明：aa1,a5,an 1 n 12nn1n2an2a n2n2329.证明：对任意的实数a,b,c都有a2ab b2a2ac c23a2(a b c)2并求等号成立的充分必要条件。

10.求满足1m n n m mn的所有正整数对(m,n)32017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案三、 填空题，每题 8分11.设，则sin x cos xsin 3 x cos 3 x2113sin x cos x1 2sin x cos xsin x cos x解 答 ： 由， 可 得， 故 ， 从 而24813 11sin x cos xxx2xx x2 x33(sincos )(sin cos sin cos ) (1 )2 8 162.设i 为虚数单位，化简 (i 1)2016(i 1)2016解 答 ： 由 (i1)2 2i ， 可 得 (i 1)201621008 ， 同 理 可 得 (i1)201621008 故(i 1)2016 (i1)2016210093.已知等差数列 的前 100项之和为 100，最后 100项之和为 1000，则a 1,a 2,a 1000 a1解答：设等差数列的公差为 d ，则有 ，解得100a4950d 100 100a94950d 100011a 10.5054. 集合x 2x 3xx R1, 2,,100共有个元素，其中x表示不超过 x 的最大整数。

2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（3）姓名_______一、填空题，每题8分 1.设1sin cos 2+=x x ，则33sin cos +=x x2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i3.已知等差数列121000,,a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a4. 集合[][][]{}{}231,2,,100++∈x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的最大整数。

5.若关于x 的方程2=xx ae 有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是6. 在如图所示的单位正方体1111-ABCD A BC D 中，设O 为正方体的中心，点,M N 分别在棱111,A D CC 上，112,23==AM CN ,则四面体1OMNB 的体积等于7. 已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于二、简答题8.已知数列{}n a 满足2110122391,5,2-----===n n n n a a a a a a ，2≥n 。

用数学归纳法证明：223+=-n n a9.证明：对任意的实数,,a b c ≥并求等号成立的充分必要条件。

10.求满足1≤-≤n m m n mn 的所有正整数对(,)m n2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案一、填空题，每题8分1.设1sin cos 2+=x x ，则33sin cos +=x x 解答：由1sin cos 2+=x x ，可得112s i n c o s 4+=xx ，故3sin cos 8=-x x ，从而33sin cos +=x x 221311(sin cos )(sin cos sin cos )(1)2816+-+=+=x x x x x x 2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i 解答：由2(1)2+=i i ，可得20161(1)2+=i ，同理可得20161(1)2-=i 故201620161009(1)(1)2++-=i i3.已知等差数列121000,,a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a解答：设等差数列的公差为d ，则有11004950100+=a d ，1100949501000+=a d 解得10.505=a4. 集合[][][]{}{}231,2,,100++∈x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的最大整数。

2017届镇海中学高考模拟卷数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 柱体的体积公式P (A +B )= P (A )+ P (B )V =Sh如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A •B )= P (A )•P (B )锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么n V =13Sh 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.P n (k )=(1)(0,1,2,,)k kn k nC p p k n --= 球的表面积公式 台体的体积公式S =4πR 2V =13(S 1+S 2) h 球的体积公式 其中S 1、S 2表示台体的上、下底面积，h 表示棱 V =43πR 3台的高.其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|21,R},{|02,}A x x x x B x x x x R =<->∈=<>∈或或，则()R C A B 是（ ）A ．(2,0)-B ．](2,0-C ．[)2,0-D ．R2，则z 的虚部是（）A.B. C. D. 3．对于两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面αβ，，以下结论正确的是（ ） A. 若m α⊂，n ∥β，m ，n 是异面直线，则αβ，相交 B. 若m α⊥，m β⊥，n ∥α，则n ∥β C. 若m α⊂，n ∥α，m ，n 共面于β，则m ∥nD. 若m α⊥，n ⊥β，α，β不平行，则m ，n 为异面直线 4．关于周期函数，下列说法错误的是（ ） A．函数()f x =. B. 函数1()sinf x x=不是周期函数.C ．函数()sin ||f x x =不是周期函数.D. 函数()|sin ||cos |f x x x =+的最小正周期为π.A. 5B. 10-C. 32-D. 42-6.若变量x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，且3z a x y =+的最小值为7，则a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2- D. -17．已知函数()f x 在()1,-+∞上单调, 且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称, 若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且()()5051f a f a =, 则{}n a 的前100项的和为( )A. 200-B. 100-C. 0D. 50-8.已知错误！未找到引用源。

2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（2）姓名_______1. 若集合，，，则集合（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依题意，，．由，知；，知或．所以，或，即．故选D；2. 若函数（，且）的值域为，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】当时，函数的值域为，当时，，即时，，且时恒成立．∴，的取值范围为．故选A；3. 如图，在四面体中，已知两两互相垂直，且．则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如图，设(在上，在上，在上)．由，，知，，．∴在面内与点距离为的点形成的曲线段(图中弧) 长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．所以，该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为．故选B．点睛：想象出在每个截面上的弧线是一个个圆弧，找到相应的圆弧的圆心角，和半径，弧长就求出来了；4. 中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理可得，在中，“”则，则，由倍角公式可得，可得，反之也成立，所以在中，“”是“”的充分必要条件，故选C.考点：正弦定理与倍角公式.5. 已知函数，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，则函数为奇函数且在实数上为增函教，不等式转化为故选D．6. 记为三个数中的最小数，若二次函数有零点，则的最大值为（）A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】可以不妨设，因为，所以，故所以，，所以（当且仅当时取等号)故选B．二、填空题（每小题8分，共64分）7. 数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌．”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是__________．【答案】小乐，小强，小明．【解析】其一，若小明得金牌，则小乐一定不得金牌，不合题意；其二，小明得银牌时，再以小乐得奖情况分析，若小乐得金牌，小强得铜牌，不合提议，若小乐得铜牌小强得金牌，也不合题意；其三，若小明得铜牌，仍以小乐得奖情况分类，若小乐得金牌，小强得银牌，则老师才对一个合题意，若小乐得银牌，小强得金牌，则老师对了俩；不合题意，综上，小明得铜牌，小乐得金牌，小强得银牌．8. 省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人．若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有__________种．【答案】42;【解析】分两类(1) 甲、乙同一天值班，则只能排在1号，有种排法；(2) 甲、乙不在同一天值班，有种排法，故共有42 种方法．故结果为42．9. 已知函数，若对于任意的，存在，使得成立，则的取值范围为__________．【答案】;【解析】函数视作为的函数问题等价于对于，由于，所以所以问题等价于，即，所以．故结果为．点睛：双变元问题，先看成函数视作为的函数，求出最值；再看成x的函数求最值．10. 已知，则的取值范围为__________．【答案】;【解析】由及有，所故结果为．11. 已知是偶函数，时， (符号表示不超过的最大整数)，若关于的方程恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围为__________．学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...【答案】;【解析】作出函数与的草图(如图所示)．易知直线恒过点，是方程的一个根．从图像可知，当，即时，两个函数的图像恰有三个不同的交点．∴的取值范围为．点睛：方程的根转化为函数的零点，图像的交点问题，且发现直线过定点；根据图像得到结果．12. 已知点为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于两点(点在轴的上方)，且，则直线的斜率为__________．【答案】;【解析】极点在右焦点的极坐标方程为，所以，，从而，可得，，所以直线的斜率为．13. 方程的正整数解为______________（写出所有可能的情况)．【答案】;【解析】．∴，∴，．由，知，因此，．∴，若，则，，．将，代入题中方程，得．若，则，．由知，不存在．若，则．以，，又，因此，．经验证只有符合．将代入题中方程，得．∴符合条件的正整数解有或．14. 一个有限项的数列满足：任何3 个连续项之和都是负数，且任何4个连续项之和都是正数，则此数列项数的最大值为__________．【答案】5;【解析】一方面可以构造5 项的数列：符合题设；另一方面，证明满足条件的数列不超过5项．否则取出前6 项，作出如下排列：由每行的和为负数，知这12 个数之和为负数；由每列的和为正数，知这12 个数之和为正数．矛盾．故结果为5．三、解答题（共56分）15. 已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）当方程有两个不等实根时，求的取值范围；（Ⅲ）设，，，求证，，．【答案】(1)；(2)的取值范围为；（3）见解析．【解析】试题分析：（1）点的坐标为；点在上，则（2）方程的根转化为图像的交点；（3）裂项求和．（Ⅰ）函数的图像恒过定点，点的坐标为又因为点在上，则即，∴（Ⅱ）即，∴由图像可知：，故的取值范围为．（Ⅲ），∴，．点睛：主要考查函数零点，方程的根，图像的交点可等价；再就是数列裂项求和问题．16. 如图，椭圆的离心率，短轴的两个端点分别为，焦点为，四边形的内切圆半径为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点的直线交椭圆于两点，交直线于点，设，，试证为定值，并求出此定值．【答案】（1）；（2）为定值.【解析】试题解析：（1）设四边形F1B1F2B2的内切圆与边B1B2的切点为G，连接OG，则|OG|=由S△OB2F2=|OB2||OF2|=|B2F2||OG|，|OB2|=b，|OF2|=c，|B2F2|=a，得bc= a又∵e=解得a=2，b=故椭圆方程为：（2）设直线MN的方程为y=k（x+1）代入椭圆方程，整理得（3+4k2）x2+8k2x+4（k2-3）=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=又P（-4，-3k），F2（-1，0）由，得，∴∵∴为定值考点：本题考查椭圆的几何性质向量共线点评：解决本题的关键是利用向量共线，求出即可17. 已知函数，直线为曲线的切线．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．【答案】(1) 的值为1；(2) 实数的取值范围是．【解析】试题分析：（1）先求导，然后利用导数等于求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得；（2）设与交点的横坐标为，利用导数求得，从而，然后利用求得的取值范围为.试题解析：（1）对求导得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分设直线与曲线切于点，则，解得，所以的值为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）记函数，下面考察函数的符号，对函数求导得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分当时，恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当时，，从而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴在上恒成立，故在上单调递减．，∴，又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使．∴；，，∴，从而，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．①当时，在上恒成立，即在上恒成立，记，则，当变化时，变化情况列表如下：∴，故“在上恒成立”只需，即．②当时，，当时，在上恒成立，综合①②知，当时，函数为增函数．故实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：函数导数与不等式.【方法点晴】函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略，先求得的表达式，然后再求得的表达式，我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了.11。

浙江省宁波市镇海区2017年高中数学竞赛模拟试题（三）一、填空题，每题8分1.设，则2.设为虚数单位，化简3.已知等差数列的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则4. 集合共有个元素，其中表示不超过x的最大整数。

5.若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是6.在如图所示的单位正方体中，设为正方体的中心，点分别在棱上，,则四面体的体积等于7.已知抛物线以椭圆的中心为焦点，经过的两个焦点，并且与恰有三个交点，则得离心率等于二、简答题8.已知数列满足，。

用数学归纳法证明：9.证明：对任意的实数都有并求等号成立的充分必要条件。

10.求满足的所有正整数对2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案三、填空题，每题8分1.设，则解答：由，可得，故，从而2.设为虚数单位，化简解答：由，可得，同理可得故3.已知等差数列的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则解答：设等差数列的公差为d，则有，解得4. 集合共有个元素，其中表示不超过x的最大整数。

解答：设则有，当时，的所有可能值为0,1,2,3.由此得值域,个元素。

5.若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是解答：设，则当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，，，当时因此，有三个不同的实根当且仅当6.在如图所示的单位正方体中，设为正方体的中心，点分别在棱上，,则四面体的体积等于解答：以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则有由此四面体的体积7.已知抛物线以椭圆的中心为焦点，经过的两个焦点，并且与恰有三个交点，则得离心率等于解答：不妨设椭圆的方程为，经过的两个焦点，，与恰有三个交点，所以，则得离心率等于四、简答题8.已知数列满足，。

用数学归纳法证明：证明：从而对成立。

当时假设，由递推公式可得由此，对一切成立。

9.证明：对任意的实数都有并求等号成立的充分必要条件。

证明方法一：两边平方移项合并两边平方展开可得移项合并不等式成立的必要是当不等式等号成立等价于，当时不等式等号成立。

一、填空题1、已知函数1)1(ln )(22+-+=ax x a x f )0(>a ，则=+)1(ln )(ln af a f ____________.2、A ,B 两点分别在抛物线x y 62=和1)2(:⊙22=+-y x C 上，则AB 的取值范围是____________.3、若⎪⎭⎫⎝⎛<≤<=20tan 3tan παβαβ，则βα-的最大值为____________.4、已知△ABC 等腰直角三角形，其中∠C 为直角，AC =BC =1，过点B 作平面ABC 的垂线DB ，使得DB =1，在DA 、DC 上分别取点E 、F ，则△BEF 周长的最小值为____________.5、已知函数x x x f 3)(3+=，对任意的[]2,2-∈m ，0)2()8(<+-xf mx f 恒成立，则正实数．．．x 的取值范围为____________.6、已知向量,,满足)(3::2||:||:||*N k k c b a ∈=，且)(2b c a b -=-，若α为,的夹角，则αcos 的值为____________.7、现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为____________.8、将10个小球（5个黑球和5个白球）排场一行，从左边第一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为____________.二、解答题9.(本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c ，向量()B C A sin ,sin sin +=p ，向量),(a b c a --=q ，且满足q p ⊥.(Ⅰ)求△ABC 的内角C 的值；(Ⅱ)若c =2，2sin2A +sin(2B +C )=sin C ，求△ABC 的面积.10.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：n n n a a ,a a 22211+==+. (1)求证：数列{})1lg(+n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式; (2)若211++=n n n a a b ，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1<n S .11.(本小题满分14分)设a ax e x f x--=)(.（e 是自然对数的底数） (Ⅰ)若0)(≥x f 对一切1-≥x 恒成立，求a 的取值范围；(Ⅱ)求证：211008)20162015(-<e .12.(本小题满分15分)设正数x ,y 满足y x y x -=+33，求使122≤+λy x 恒成立的实数λ的最大值.13.(本小题满分15分)已知椭圆12:22=+y x C 及点)21,1(P ，过点P 作直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作C 的切线交于点Q .(1)求点Q 的轨迹方程；(2)求△ABQ 的面积的最小值.2017年高中数学竞赛模拟试卷（1）答案1.【解析】22)1ln(2)1ln()1ln()()(22222222=+-+=++++-+=-+x a x a ax x a ax x a x f x f . 2.【解析】由于1-=AC AB ，则只需要考虑AC 的范围.，故又2,0,3)1(426)2()2(min 222222=≥++=++=+-=+-=AC x x x x x x y x AC 故AB 的取值范围为[)∝+，1.3.【解析】()6tan 33tan 3tan 12tan 31tan 2tan tan 1tan tan tan 2πβββββαβαβ=≤+=+=+-=-α .2020παπαβ<-≤∴≤≤≤β， .6π=-∴βα4.【解析】由题意可知，4π=∠CDB ，且∠BDA 与∠CDA 之和为2π.如图，将侧面BDA 和侧面CDB 分别折起至面DA B 1和DC B 2，且与侧面ADC 位于同一个平面上.则△BEF 周长的最小值即面C DB AB 21上两点21,B B 之间的线段长. 由前面的分析可知，43422121πππCDB ADC DA B DB B =+=∠+∠+∠=∠， 由余弦定理可得，.DB B D B D B D B D B B B 2222211cos 22121222121+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+=∠⋅⋅-+= 所以，△BEF 周长的最小值为22+.5.【解析】x x x f 3)(3+=为奇函数且为增函数0)2()8(<+-xf mx f 等价于)2()2()8(xxf f mx f -=-<-即x mx 28-<-即082<-+xmx 对任意的[]2,2-∈m 成立即⎪⎩⎪⎨⎧<-+-<-+08220822xxx x ，所以⎩⎨⎧<<<<4020x x ，即0<x <26.【解析】由)(2b c a b -=-得c a b 3231+=所以c a c a b ⋅++=949491222，又3::2||:||:||k c b a =，所以]964,916[cos 9249402∈+=αk ，又*N k ∈，所以k =2，所以αcos 的值为61-.正四面体的一条棱长就应该是4倍的小球的半径加上2倍的球心到四面体顶点的距离到棱长上的射影的长度，又球心到顶点的距离为3，正四面体的高和棱所成角的余弦值为36，故容器棱长的最小值为62436324+=⨯⨯+. 8.【解析】法1：如果只有2个小球（1黑1白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为21；如果只有4个小球（2黑2白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为31；如果只有6个小球（3黑3白），则黑球的个数总不少于白球个数的概率为41；以此类推，可知将10个小球（5个黑球和5个白球）排成一行，从左边第一个小球开始向右数小球.无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为61；法2：直接从10个小球入手分类讨论.9.【解析】(Ⅰ)由题意q p ⊥，所以，()()()0sin sin sin =-++-B a b C A c a . 由正弦定理，可得()()()0=-++-b a b c a c a .整理得ab b c a =+-222.由余弦定理可得，212cos 222=-+=ab c b a C ，又()π，C 0∈，所以，3πC = ……6分 (Ⅱ)由()C C B A sin 2sin 2sin 2=++可得，()()A B A πB A A +=-++sin sin cos sin 4. 整理得，()()A B A B A B A A cos sin 2sin sin cos sin 4=-++=.12【解析】由正数x ,y 满足y x y x -=+33，知0>>y x .令1>=yt .不等式122≤+λy x 等价于y x y x λy x -+≤+3322，等价于 yx y y x x y x y x λy -+=--+≤322332，等价于()232y y x y y x λ-+≤等价于 112222-+=-+≤t t y xy y x λ.因为22212)1(2212)1(211)(2+=-⋅-+≥-+-+=-+=t t t t t t t f ，等号仅当11-=-t t ，即21+=t 时成立， 所以，实数λ的最大值为222+. ……15分 13.【解析】(1)设),(),,(),,(002211y x Q y x B y x A ，则12:11=+y y x x QA 过Q ，有120101=+y y x x ；……①12:22=+y y xx QB ，有120202=+y y x x ，……②故直线12:00=+y y x x AB 过点)21,1(P ，则有21220000=+⇒=+y x y x ……③故Q 的轨迹方程为 x +y =2.……5分 (2)对直线AB ，当斜率不存在时，即为x =1，此时)0,2(),2,1(),2,1(Q B A - 其次就要决心作一个有用的人才。

2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（4） 姓名_______一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上）1．若函数()3cos()sin()63f x x x ππωω=+--（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为 。

2．已知集合{}2320A x x x =-+≤，13B x a x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 。

3．函数22()ln 2f x x x x =+-零点的个数为 。

4．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，二面角1B AC D --的大小为 。

5．在空间四边形ABCD 中，已知2AB =，3BC =，4CD =，5DA =，则AC BD ⋅=uu u r uu u r。

6．已知直线l 过椭圆C ：2212x y +=的左焦点F 且交椭圆C 于A 、B 两点。

O 为坐标原点，若OA OB ⊥，则点O 到直线AB 的距离为 。

7．已知z C ∈，若关于x 的方程23204x zx i -++=（i 为虚数单位）有实数根，则复数z 的模z的最小值为 。

C 1B 1D 1C A BD A 1BD C A8．将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为 。

（用数字作答）9．()f x 是定义在R 的函数，若(0)1008f =，且对任意x R ∈，满足(4)()2(1)f x f x x +-≤+，(12)()6(5)f x f x x +-≥+，则(2016)2016f = 。

10．当x ，y ，z 为正数时，2224xz yzx y z+++的最大值为 。

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。

要求写出解题过程） 11．已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-（*n N ∈）。

浙江省镇海中学2017-2018学年高三 模拟考试文数试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{1,2,3,4,0}U =----，集合{1,2,0}A =--，{3,4,0}B =--，则()U C A B =（ ）A ．{0}B ．{3,4}--C ．{1,2}--D ．φ 【答案】B考点：集合的运算. 2.若sin 20α>，则（ ）A ．cos 0α>B ．tan 0α>C ．sin 0α>D ．cos 20α> 【答案】B 【解析】试题分析：因为sin 20α>,故0tan 0cos sin >⇒>ααα,故应选B. 考点：二倍角公式及运用.3.设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ） A ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβ B ．若,m n αα⊥⊥，则//m n C ．若//,//m n αα，则//m n D ．若//,//m m αβ，则//αβ【答案】B 【解析】试题分析：由线面角定义及,m n αα⊥⊥可得n m //,容易验证其它答案都是错误的,故应选B.考点：空间直线与平面的位置关系及运用. 4.下列说法正确的是（ ）A ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题B ．命题“已知,A B 为一个三角形的两内角，若A B >，则sin sin A B >” 的逆命题为真命题C ．“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b <，则221a b<-”D ．“1a =”是“直线10x ay -+=与直线20x ay +-=互相垂直”的充要条件 【答案】B考点：正弦定理及命题的真假的判定和运用.5.函数()()f x x R ∈是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩， 则1741()()46f f +=（ ） A ．716 B ．916 C ．1116D ．1316【答案】C 【解析】 试题分析：因为21)67()67()678()641(,1634341)41()417(=-=-=-==⨯==f f f f f f ,故161121163)641()417(=+=+f f 2≥,故应选C. 考点：函数的周期性和奇偶性及运用.6.已知,x y满足不等式组1221x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y a=-+（a为常数）的最大值为2，则z的最小值为（）A．12B．12- C．76-D．7 6【答案】D【解析】考点：线性规划的知识及运用.【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的范围问题,解答时先构建平面直角坐标系,准确的画出满足题设条件的不等式组1221x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域,然后再依据题设条件目标函数结合图形可知当动直线2z x y a =-+经过点)31,34(P 时,取得最大值2,即23138=-+a ,解之得31-=a ,当动直线z a x y -+=2经过定点)21,1(P 时,z 取最小值为6731212min =--=z .7.已知圆22:2C x y +=，直线:240l x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上，若存在圆C 上的点Q ，使得045OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围为（ ）A ．6[0,]5 B ．8[0,]5 C ．8[1,]5D ．6[1,]5【答案】B考点：直线与圆的位置关系及运用.【易错点晴】本题以直线与圆的位置关系等有关知识为背景,考查的是直线与圆的位置关系的实际应用问题,同时检测运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.本题在求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用题直线与已知圆相交,则圆心距不大于圆的半径可得245sin ||0≤OP ,即42020≤+y x ,又2400-=x y ,所以44168402020⨯≤+-+x x x ,即085020≤-x x ,解此不等式可得5800≤≤x . 8.设,k b 均为非零常数，给出如下三个条件： ①{}n a 与{}n ka b +均为等比数列；②{}n a 为等差数列，{}n ka b +为等比数列； ③{}n a 为等比数列，{}n ka b +为等差数列， 其中一定能推导出数列{}n a 为常数列的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 【答案】D 【解析】试题分析：当{}n a 与{}n ka b +均为等比数列时,则))(()(112b ka b ka b ka n n n ++=++-,即)(2)(111122+-+-++=+n n n n n n a a kb a a k kba ka ,注意到112)(+-=n n n a a a ,故有)(211+-+=n n n a a kb kba ,也即112+-+=n n n a a a ,所以{}n a 既是等比数列也是等差数列, 故①是常数数列,因此①是正确的. 当{}n a 是等差数列,{}n ka b +为等比数列时,则))(()(112b ka b ka b ka n n n ++=++-,即)(2)(111122+-+-++=+n n n n n n a a kb a a k kba ka ,注意到112+-+=n n n a a a ,故有)(211+-+=n n n a a kb kba ,也即112+-=n n n a a a ,所以{}n a 既是等比数列也是等差数列, 故②是常数数列.当{}n a 是等比数列,{}n ka b +为等差数列时,则b ka ka b ka n n n 22211++=++-,即)(211+-+=n n n a a k ka ,即112+-+=n n n a a a ,注意到112)(+-=n n n a a a ,故③是常数数列,所以应选D.考点：等差数列等比数列的定义及性质的综合运用.【易错点晴】本题以等差数列和等比数列的有关知识为背景,考查的是归纳猜想和推理论证的能力,及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用等差数列和等比数列的定义,逐一验证和推算所给四个命题的正确性,最后通过推理和论证推知命题题①②③都是正确的.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共4小题，9～12小题每题6分，其它小题每题4分，满分36分．）9.函数()f x =的值域是 . 的值是 . 【答案】[0,)+∞ 1考点：指数对数的知识及运用．10.若函数()sin())44f x a x x ππ=++-是偶函数，则实数a 的值为 ；单调增区间为 .【答案】3- [2,2]k k k Z πππ+∈ 【解析】试题分析:由题设可得)4()4(ππf f =-,即3-=a ;此时x x f cos 62)(-=,因此其单调递增区间是[2,2]k k k Z πππ+∈,应填3-，[2,2]k k k Z πππ+∈. 考点：三角函数的图象和性质的运用．11.一个几何体的三视图如图所示，（单位：cm ）则该几何体的体积是 3cm ；表面积是2cm .【答案】160332+考点：三视图的识读与几何体的体积的运用． 12.已知正数,x y 满足3x yxy x y-=+，则y 的最大值为 ，当且仅当 . 【答案】131x = 【解析】试题分析:由题设可得0)13(22=+-+y x y yx ,故04)13(222≥--=∆y y ,解之得310≤<y ,此时1=x ,故应填1,13x =. 考点：二次不等式和二次方程的解法及运用．13.若函数()|ln |31||f x x =-在定义域的某个子区间(1,1)k k -+上不具有单调性，则实数k 的取值范围为 . 【答案】213k -<≤-或4533k ≤≤考点：对数函数的图象和性质及运用． 14.在ABC ∆中，34AE AB =，23AF AC =，设,BF CE 交于点P ，且EP EC λ=， FP FB μ=(,)R λμ∈，则λμ+的值为 .【答案】75【解析】试题分析:由题设可得⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=)()(μλ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=)32(32)43(43μλ,也即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=μμλλ)1(32)1(43,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-λμμλ)1(32)1(43,解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3121μλ,故65=+μλ,应填65.考点：向量的几何运算及待定系数法的运用．【易错点晴】平面向量是高中数学中较为重要的知识点和考点.本题以三角形的线段所在向量之间的关系为背景精心设置了一道求其中参数μλ,的和的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,综合运用向量的三角形法则,巧妙构造方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=μμλλ)1(32)1(43,然后运用待定系数法建立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-λμμλ)1(32)1(43,然后通过解方程组使得问题巧妙获解.15.某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2221x y +=的左顶点为A ，过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于,B C ，…”②解：“设AB 的斜率为k ，…点222122(,)1212k kB k k-++，5(,0)3D -，…” 据此，请你写出直线CD 的斜率为 .（用k 表示） 【答案】2324kk +考点：类比推理与直线椭圆等相关知识的综合运用．【易错点晴】合情推理中的类比推理和归纳推理是高中数学中较为重要的知识点和考点.本题以椭圆为背景精心设置了一道求直线的斜率的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,综合运用直线与椭圆的位置关系,巧妙借助题设过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于,B C 两条直线的斜率的数量关系之积为2,进行类比推理和巧妙代换,从而算得点)84,88(222++-k k k k C .然后运用斜率公式可得4233588842222+=++-+=k k k k k k k CD. 三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本题满分14分）在ABC ∆中，|2BC AB AC =∙=. （1）求ABC ∆三边的平方和；（2）当ABC ∆的面积最大时，求cos B 的值. 【答案】(1)16；(2)1030.（2）由（1）知：2210AB AC +=，所以2252AB AC AB AC +∙≤=，当且仅当AB AC =时取“=”号， 因为cos 2AB AC A ∙∙=，所以2cos A AB AC=∙，从而sin A ==.ABC ∆的面积11sin 22S AB AC A AB AC =∙∙=∙==， 当且仅当AB AC =时取“=”号.因为2210AB AC +=，所以当AB AC =时，AB AC ==故2cos10BCBAB===.考点：三角形的面积公式及余弦定理等有关知识的综合运用．17.（本题满分15分）等差数列{}na的前n项和为nS，已知162,22a S==.（1）求nS，并求nS的最小值；（2）若从{}na中抽取一个公比为q的等比数列{}nka，其中11k=，且12nk k k<<<<，*nk N∈，当q取最小值时，求{}nk的通项公式.【答案】(1)2；(2)1322nnk-=⨯-.（2）因为数列{}na是正项递增等差数列，所以数列{}nka的公比1q>，若22k=，则由283a=，得2143aqa==，此时324322()39ka=⨯=，由322(2)93n=+，解得*103n N=∉，所以22k>，同理23k>；若24k=，则由44a=，得2q=，此时122nnka-=∙，另一方面，2(2)3nk na k=+，所以2(2)23nnk+=，即1322nnk-=⨯-，所以对任何正整数n，nka是数列{}na的第1322n-⨯-项，所以最小的公比2q=.所以1322nnk-=⨯-.考点：等差数列的通项及前n 项和不等式等有关知识的综合运用． 18.（本题满分15分）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，已知11AD AA ==，2AB =，点E 是AB 的中点. （1）求证：11D E A D ⊥；（2）求直线1B C 与平面1DED 所成角的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)030. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件线面垂直的性质定理推证；(2)借助题设运用线面角的定义探求. 试题解析：（1）连结1AD ，因为11A ADD 是正方形，所以11AD A D ⊥， 又AE ⊥面11ADD A ，1A D ⊂面11ADD A ， 所以1AE A D ⊥， 又1AD AE A =，1,AD AE ⊂平面1AD E ，所以1A D ⊥平面1AD E ， 而1D E ⊂平面1AD E ， 所以11D E A D ⊥.考点：线面位置关系的推证和线面角的求解和计算等有关知识的综合运用． 19.（本题满分15分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，定点(2,3)M 与点F 在抛物线E 的两侧，抛物线E 上的动点P 到点M 的距离与到其准线l （1）求抛物线E 的方程； （2）设直线12y x b =+与圆229x y +=和抛物线E 交于四个不同点，从左到右依次为,,,A B C D ，且,B D是与抛物线E 的交点，若直线,BF DF 的倾斜角互补，求||||AB CD +的值.【答案】(1)212y x =；(2)5536. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)借助题设运用直线与抛物线的位置关系建立方程探求. 试题解析：（1）过P 作1PP l ⊥于1P ，则1||||||||||PM PP PM PF MF +=+≥， 当,,P M F 共线时，1||||PM PP +取最小值||MF ==. 解得6p =或2p =.当6p =时，抛物线E 的方程为212y x =，此时，点M 与点F 在抛物线E 同侧，这与已知不符. ∴2p =，抛物线E 的方程为24y x =.（2）(1,0)F ，设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由2124y x b y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得22(416)40x b x b +-+=， 所以24164x x b +=-，2244x x b =，且由0∆>得2b <. 因为直线,BF DF 的倾斜角互补，所以0BF DF k k +=， ∵2424422424(1)(1)11(1)(1)BF DF y y y x y x k k x x x x -+-+=+=----， ∴2442(1)(1)0y x y x -+-=，即244211()(1)()(1)022x b x x b x +-++-=，24241()()202x x b x x b +--=，214()(164)202b b b b +---=，12b =，由2211229y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得252350x x +-=，所以1325x x +=-，2143||||))AB CD x x x x +=--24132())2255x x x x =+--=+=. 考点：抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题重在考查圆锥曲线中的代表曲线抛物线与直线的位置关系等有关知识的综合运用问题.求解时要充分利用题设中所提供的信息,先运用题设中的条件建立方程求出抛物线的方程为212y x =.第二问再借助直线与抛物线的位置关系的弦长公式分别求出2143||||))AB CD x x x x +=--,进而求出其值为5536,从而使得使问题获解.20.（本题满分15分）已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(0)0f =，对于任意x R ∈都有()f x x ≥，且11()()22f x f x -+=--，令()()|1|(0)g x f x x λλ=-->.（1）求函数()f x 的表达式；（2）函数()g x 在区间(0,1)上有两个零点，求λ的取值范围.【答案】(1)2()f x x x =+；(2)3λ>.（2）①当02λ<≤时，可知函数()g x 在区间(0,1)上单调递增，又(0)10g =-<，(1)2|1|0g λ=-->，故函数()g x 在区间(0,1)上只有一个零点，②当2λ>时，则1112λ<<，而(0)10g =-<，2111()0g λλλ=+>，(1)2|1|g λ=--， （ⅰ）若23λ<≤，由于1112λλ-<≤，且22111(1)()()(1)1102224g λλλλλ----=+-∙+=-+≥，此时，函数()g x 在区间(0,1)上只有一个零点； （ⅱ）若3λ>，由于112λ->且(1)2|1|0g λ=--<，此时，函数()g x 在区间(0,1)上有两个不同的零点，综上所述，当3λ>时，函数()g x 在区间(0,1)上有两个不同的零点. 考点：二次函数的图象和性质及分类整合思想等有关知识的综合运用．【易错点晴】二次函数是高中数学中的基本初等函数之一,也是解答许多数学问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先运用题设条件求出二次函数的解析表达式2()f x x x =+.然后再借助题设函数()g x 在区间(0,1)上有两个零点,运用分类整合思想求出满足题设条件的参数λ的取值范围,从而使得问题获解.。

浙江省镇海中学2017-2018学年高三 模拟考试理数试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{|12}M x x =-≤<，2{|log 0}N x x =>，则MN =（ ）A ．[1,)-+∞B ．(1,)+∞C ．(1,2)-D ．(0,2) 【答案】A考点：对数不等式的解法及集合的运算. 2.下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．{}n a 为等比数列，则“123a a a <<”是“45a a <”的既不充分也不必要条件C ．0(,0)x ∃∈-∞，使0034x x<成立D ．“若tan α≠3πα≠”是真命题【答案】D 【解析】试题分析：对于答案A ，“若1a >，则21a >”的否命题是“若1≤a ，则21a ≤”；对于答案B ，若“123a a a <<”则“45a a <”成立；对于答案C ，0(,0)x ∃∈-∞，使0034x x<不成立；对于答案D ，“若tan α≠3πα≠”是真命题成立,故应选D.考点：命题的真假及充分必要条件的等知识的综合运用.3.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题为真的是（ ）A ．若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥B ．若//,//m n αβ，且//αβ，则//m nC ．若,m n αβ⊥⊂，且m n ⊥，则αβ⊥D ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβ 【答案】A 【解析】试题分析：由线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理可得答案A 是正确的,其余答案都是错误的.故应选A.考点：空间的线面位置关系的判定与性质的运用. 4.已知sin (1,)sin(2)A ααβ+，sin (2,1)sin(2)B ααβ--，且0OA OB ∙=，sin 0β≠，sin cos 0k αβ-=，则k =（ ）A． C．以上都不对 【答案】C考点：三角变换的有关公式及综合运用.5.过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为（ ）A ．10B ．1920C ．910D ．12【答案】C 【解析】试题分析：因为009020<<α,而OP OP r 12sin==α,所以OP 最大时, 2sin α最小, 2α最小.结合图象可知点)2,4(--M ,故OP 的最大值为52416=+=PM ,则10910112sin 21cos 2=-=-=αα,应选C. 考点：线性规划、二倍角的余弦等有关知识的综合运用.6.在数列{}n a 中，若存在非零整数T ，使得m T m a a +=对于任意的正整数m 均成立，那么称数列{}n a为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期，若数列{}n x 满足11||(2,)n n n x x x n n N +-=-≥∈，如121,x x a ==（,0a R a ∈≠），当数列{}n x 的周期最小时，该数列的前2016项的和是（ ） A ．672 B ．673 C ．1342 D ．1344 【答案】D考点：周期数列的性质与求和．【易错点晴】本题以数列的有关知识为背景,考查的是归纳猜想的合情推理等知识的综合运用所学知识的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用题设观察出⋅⋅⋅-=====-===,1,,1,1,,136514321a x x a x x x a x a x x 这些数的特征和规律,然后再计算出2321=++x x x ,而67232016=÷,进而利用数列的周期性求出数列{}n x 的前2016项和的值为13442672=⨯.7.在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点P ，椭圆内一点Q 在2PF 的延长线上，满足1QF QP ⊥，若15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率取值范围是（ ）A ．1(5B ．C ．1(5D ． 【答案】D考点：椭圆的定义余弦定理与基本不等式等知识的综合运用.【易错点晴】本题考查的是椭圆的几何性质与函数方程的数学思想的范围问题,解答时先运用余弦定理建立131224222⨯-+=mn n m c ,再借助椭圆的定义将其等价转化为)13121(24422+-=mn a c ,然后再运用基本不等式22)2(a n m mn =+≤将其转化为不等式2222)(2552a c a <-,最后通过解该不等式将该椭圆的离心率求出2,从而获得答案.8.已知函数22,0()3||,0x x f x x a a x ⎧->=⎨-++<⎩的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a 的取值范围是（ ）A ．17(,2)8--B ．17(,2]8--C ．17[1,)16 D ．17(1,)16【答案】D 【解析】试题分析：当2-=a 时,函数⎩⎨⎧<--->-=0,2|2|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案B 不正确. 当1=a 时,函数⎩⎨⎧<++->-=0,1|1|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案C 也不正确. 当1612-=a 时,函数⎪⎩⎪⎨⎧<--->-=0,1612|1612|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案A 也不正确.故应选D.考点：分段函数的图象和性质及综合运用.【易错点晴】本题考查的是分段函数的图象和性质与数形结合的数学思想的范围问题,解答时运用排除法逐一分情况代入检验特殊值1,2,1612--=a ,求出分段函数的解析式分别为⎪⎩⎪⎨⎧<--->-=0,1612|1612|30,2)(2x x x x x f ,⎩⎨⎧<--->-=0,2|2|30,2)(2x x x x x f ,⎩⎨⎧<++->-=0,1|1|30,2)(2x x x x x f ,分别作出这些函数的图象,并对每个函数的图象进行分析,逐一检验图象是否满足题设中的条件,排除不满足的函数的图象的情况和不满足题设条件的答案和选择支最后选答案.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分．） 9.函数()sin()(0,0,)f x A x A R ωϕωϕ=+>>∈的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后得到()g x ，得到的函数图象对称轴为 ，函数()g x 解析式为.【答案】()32k x k Z ππ=+∈ sin(2)6y x π=- 【解析】试题分析:由题设可知6121143,1ππ-==T A ,即π==T A ,1,所以22==ππω,所以)2sin()(ϕ+=x x f ,又因为1)3sin()6(=+=ϕππf ,解之得223πππϕ+=+k ,故62ππϕ+=k ,所以)62sin()(π+=x x f ,将其向右平移6π可得)62sin(]6)6(2sin[)(πππ-=+-=x x x g ,故其对称轴方程满足262πππ+=-k x ,即)(32Z k k x ∈+=ππ,对应的表达式为)62sin()(π-=x x g .应填()32k x k Z ππ=+∈,sin(2)6y x π=-.考点：三角函数的图象和性质的运用．10.已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为'(1,1)P b a +-，则圆22:620C x y x y +--=关于直线l对称的圆'C 的方程为 ；圆C 与圆'C 的公共弦的长度为 .【答案】22(2)(2)10x y -+-=考点：直线与圆的方程及运用．11.已知某几何体的三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的表面积是 ；体积是 .【答案】64+1603【解析】试题分析:由题设三视图中所提供的信息可知该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥的组合体,如图其全面积232644242124)84(214)84(21442184+=⨯⨯+⨯++⨯++⨯⨯+⨯=S ,其体积为31604)8421(314]4)84(21[31=⨯⨯⨯+⨯⨯+=V ,故应填64+1603.448考点：三视图的识读与几何体的体积的运用．12.已知函数223,0()log ||,0x x f x x x x ⎧+≥=⎨∙<⎩，则1(())2f f -= ，若()1f x ax =-有三个零点，则a 的取值范围是 .【答案】1344a>考点：分段函数的求值与数形结合思想的运用．13.设P是函数2(0)y x xx=+>的图象上任意一点，过点P分别向直线y x=和y轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ∙的值是 . 【答案】1-考点：向量的数量积公式及运用． 14.已知方程组222x y z yz x μμ-=-⎧⎨=⎩，对此方程组的每一组正实数解{,,,}x y z u ，其中z y ≥，都存在正实数M ，且满足zM y≤，则M 的最大值是 .【答案】6+【解析】试题分析:因为yz x x z y 42222=≥+=+μμ,所以y z y z 42≥+,令1>=t yz,则242≥-t t ,所以2)2(2≥-t ,即22+≥t ,所以246+≥yz,则246+≤M ,应填6+考点：多元方程组的解法及基本不等式的综合运用．【易错点晴】本题以多元方程组222x y z yz x μμ-=-⎧⎨=⎩的解),,,(μz y x 满足的条件z y ≥为背景,借助题设条件与基本不等式建立不等关系式yz x x z y 42222=≥+=+μμ,然后通过换元1>=t yz建立关于t 的不等式242≥-t t .最后通过解不等式242≥-t t ,从而求得22+≥t ,所以246+≥y z ,由于zM y≤,因此246+≤M ,M 的最大值是6+15.如图，在平面四边形ABCD 中，已知,,,E F G H 分别是棱,,,AB BC CD DA 的中点，若22||||1EG HF -=，设||,||,||,||1AD x BC y AB z CD ====，则228x yz ++的最大值是.【答案】12【解析】试题分析:由题设可得))((1)()(cos ))((2)()(1cos 22222222222y n x m m n y n x m z n m y n x m y n x m m n n m z ++=-+++-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧++-+++=-+=θθ,运用基本不等式可得式))((12222222y n x m mn mx ny xy mn z n m ++≥-+++-+,从而求得82≤z ;同理可得42≥+y x ,所以228x y z ++的最大值是2184=,故应填12.考点：基本不等式及运用．【易错点晴】本题以平面四边形ABCD 所满足的条件22||||1EG HF -=,1=AD 为背景,精心设置了一道求228x yz ++的最大值的问题.求解时先运用余弦定理并借助题设22||||1EG HF -=建立方程组))((1)()(cos ))((2)()(1cos 22222222222y n x m m n y n x m z n m y n x m y n x m m n n m z ++=-+++-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧++-+++=-+=θθ,然后借助基本不等式建立关系式))((12222222y n x m mnmx ny xy mn z n m ++≥-+++-+,从而求得82≤z ;同理可得42≥+y x ,所以228x y z ++的最大值是2184=. 三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本题满分14分）在ABC ∆中，边,,a b c 的对角分别为,,A B C ，且,,A B C 成等差数列. （1）求a cb+的取值范围；（2）若AC ，求角A 的值. 【答案】(1)(1,2]；(2)6A π=.试题解析：（1）因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，而A B C π++=，所以3B π=.由余弦定理，222b ac ac =+-① 所以2222231()3()()()44b ac ac a c a c a c =+-≥+-+=+， 故2a cb+≤，当且仅当a c =时取等号， 另一方面a c b +>，故1a cb+>， 综上，a c b+的取值范围是(1,2].法二：由正弦定理得sin sin 2sin()sin 3a c A C Ab B π++==+， 因为203A π<<，所以(1,2]a cb+∈.考点：余弦定理及基本不等式等有关知识的综合运用． 17.（本题满分15分）如图，ABC ∆为正三角形，且2BC CD ==，CD BC ⊥，将ABC ∆沿BC 翻折.（1）若点A 的射影在BD 上，求AD 的长；（2）若点A 的射影在BCD ∆内，且AB 与面ACD 所成的角的正弦值为11，求AD 的长.【答案】(1)2AD =；(2)AD =【解析】试题分析：(1)借助题设条件建立空间直角坐标系运用空间向量的知识求解；(2)借助题设运用空间向量的数量积公式探求. 试题解析：（1）取BC 的中点O ，如图以O 为原点建立空间直角坐标系，则(0,1(1,2,0)A D ，则2AD =.考点：空间向量的数量积公式及有关知识的综合运用． 18.（本题满分15分）已知函数2()|1|1()f x x ax a R =---∈.（1）若关于x 的方程2()10f x x ++=在区间(0,2]上有两个不同的解12,x x . （ⅰ）求a 的取值范围； （ⅱ）若12x x <，求1211x x +的取值范围； （2）设函数()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值分别为(),()M a m a ，求()()()g a M a m a =-的表达式.【答案】(1)（i ）7(1,]2；（ii ）(2,4]；(2)222,42,244()1,123,1122,1a a a a g a a a a a a a -≥⎧⎪⎪+≤<⎪⎪=+≤<⎨⎪--≤<⎪-≤-⎪⎪⎩.（ⅰ）作出函数1,0112,12x xy x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩图象，得712a <≤，故a 的取值范围是7(1,]2. （ⅱ）∵12x x <，11a x =，2212a x x =-， 则有212112x x x =-，即212112x x x +=， 又212x <≤，∴212112(2,4]x x x +=∈， 故1211x x +的取值范围是(2,4]. （2）22,01()2,12x ax x f x x ax x ⎧--≤≤=⎨--<≤⎩，当4a ≥时，有0,222a a-<≥，()f x 在[0,2]上为减函数， 则()(0)(2)22g a f f a =-=-. 当24a ≤<时，有0,1222a a -<≤<，()f x 在[0,]2a 上为减函数，在[,2]2a上为增函数， 此时2()()224a a m a f ==--，()max{(0),(2)}0M a f f ==，则2()24a g a =+. 当02a ≤<时，有0,0122a a-<≤<，()f x 在[0,1]上为减函数，在[1,2]上为增函数， 此时，()(1)1m a f a ==--，22,01()max{(0),(2)}0,12a a M a f f a -≤<⎧==⎨≤<⎩，则3,01()22,12a a g a a a -≤<⎧=⎨-≤<⎩.当20a -<<时，有012a <-<，02a <，()f x 在[0,]2a -上为增函数，在[,1]2a-上为减函数，在[1,2]上为增函数，此时1,10()min{(0),(1)}0,21a a m a f f a --<<⎧==⎨-<≤-⎩，()max{(),(2)}222aM a f f a =-=-，则3,10()22,21a a g a a a --<<⎧=⎨--<≤-⎩.当2a ≤-时，有1,022a a-≥<，()f x 在[0,2]上为增函数， 则()(2)(0)22g a f f a =-=-.则222,42,244()1,123,1122,1a a a a g a a a a a a a -≥⎧⎪⎪+≤<⎪⎪=+≤<⎨⎪--≤<⎪-≤-⎪⎪⎩考点：二次函数的图象和性质及不等式的性质等有关知识的综合运用． 19.（本题满分15分）已知抛物线24x y =的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两个动点，且(0)AF FB λλ=>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .（1）证明：FM AB ∙为定值；（2）设ABM ∆的面积为S ，求S 的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2)4.（2）2||4(1),AB k d =+=所以322214(1)4(1)42S k k =⨯+⨯=+≥，所以S 的最小值为4.考点：向量的数量积公式和抛物线的几何性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题重在考查圆锥曲线中的代表曲线抛物线与直线的位置关系等有关知识的综合运用问题.求解时要充分利用题设中所提供的信息,先运用向量的数量积公式求出1212(,)24x x x x M +,再求出222121(,)(2,2)04x x AB FM x x k -∙=-∙-=.第二问借助曲线的弦长公式求得2||4(1),AB k d =+=,进而求得ABM∆的面积322214(114(1)42S kk =⨯++=+≥,即求得面积S 的最小值为4,从而使得使问题获解.20.（本题满分15分） 已知数列{}n a 满足112a =，都有3*112,33n n n a a a n N +=+∈.（1）求证：11*1213()(),2324n n n a n N --∙≤≤∙∈； （2）求证：当*n N ∈时，313124241231231111116[1()]111112n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++----++++≥+++++-----. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.当2n ≥时，132112113()24n n n n a a a a a a a a --=∙∙∙∙≤∙， 且132112112()23n n n n a a a a a a a a --=∙∙∙∙>∙， 又001213()()2324n a ⨯≤≤⨯，∴111213()()2324n n n a --⨯≤≤⨯，*n N ∈. （2）∵11111(1)1(1)3n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++---==+--，又321111(23)(1)(3)33n n n n n n a a a a a a ++=++=+-+，∴3211111111(3)[()3]1332212n n n n a a a a ++=-+≥-+=+.当2n ≥时，13211211113111(1)()111212n n n n a a a a a a a a --++++=+∙∙∙∙≥∙+++，又1113111()212a -+=∙，∴11111(1)()3212n n a -+≥∙. ∴3131242123121111()()1111n n n na a aa a a a a a a a a a a ++----++++-+++---- 121[(1)(1)(1)]3n a a a =++++++1111()1111111112[1()]6[1()]1121212212112nn n --≥+++=∙=-- ∴3131242123121111116[1()]111112n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++----++++≥++++----- 考点：数列的有关知识和不等式的性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一,也是高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,借助题设数列的递推关系式3*112,33n n n a a a n N +=+∈,运用缩放的数学数学思想进行推理论证的思想方法证明了不等式111213()()2324n n n a --⨯≤≤⨯的成立.第二问题中,先运用不等式13211211113111(1)()111212n n n n a a a a a a a a --++++=+∙∙∙∙≥∙+++及有关性质进行推算,进而使用缩放的方法进行推证,从而使得两个不等式获得证明.。

2017 年镇海中学数学比赛模拟试卷（ 1）姓名 _______一、 填空题1、已知函数f ( x) ln ( 1 a 2 x 2ax) 1(a 0)，则f (ln a)f (ln 1____________.)a2 ,y2 6x和 ⊙ C : ( x 2)2 y2 1上，则AB的取值范围是、 A B 两点分别在抛物线____________.3、若 tan3 tan β 0，则 的最大值为 ____________.24、已知△ ABC 等腰直角三角形，此中∠ C 为直角， AC =BC =1，过点 B 作平面 ABC 的垂线 DB ，使得 DB =1，在 DA 、 DC 上分别取点 E 、 F ，则△ BEF 周长的最小值为 ____________.5、已知函数 f ( x)x 3 3x ，对随意的 m2,2 ， f ( mx 8)f (2x ) 0 恒建立，则正．实数 x 的取值范围为 ____________.． ．6、已知向量 a,b,c 知足 | a |:|b |:|c | 2 : k : 3(k N * ) ，且 b a 2( c b) ，若为 a,c 的夹角，则 cos 的值为 ____________.7、现有一个能容纳 10 个半径为 1 的小球的关闭的正四周体容器，则该容器棱长最小值为____________.8、将 10 个小球（ 5 个黑球和 5 个白球）排面一行，从左侧第一个小球开始向右数小球，无 论数几个小球，黑球的个数总许多于白球个数的概率为 ____________.二、 解答题9.(本小题满分14 分)在△ABC 中，内角A ,B ,C 对边的边长分别是a ,b ,c ， 向 量p sin A sin C , sin B ，向量 q(a c,ba) ，且知足 p q .( Ⅰ) 求△ ABC 的内角 C 的值；(Ⅱ)若 c =2， 2sin2 +sin(2 + )=sin，求△的面积 .A B C CABC10.（本小题满分14 分）已知数列a n知足： a1 2,a n 1 a n22a n.(1)求证：数列lg( a n1) 是等比数列，并求a n的通项公式;(2)11b n的前 n 项和为S n，求证：S n 1.若 b na n，且数列a n211.( 本小题满分( Ⅰ) 若f ( x)14 分)设0 对全部xf (x) e x ax1 恒建立，求a .（e是自然对数的底数）a 的取值范围；1(Ⅱ)求证：( 2015)1008e2.201612.( 本小题满分15 分 ) 设正数x, y知足x 3y3x y，求使x22的λy 1恒建立的实数最大值 .13.( 本小题满分15 分 ) 已知椭圆C :x2y2 1 及点 P(1,1) ，过点P作直线l与椭圆C交于22A、 B 两点，过 A、 B两点分别作C的切线交于点Q.(1)求点 Q的轨迹方程；(2)求△ ABQ的面积的最小值.2017 年高中数学比赛模拟试卷（1）答案1.【分析】f ( x) f ( x)ln( 1 a 2 x 2 ax) ln( 1 a 2 x 2 ax) 2 ln(1 a 2 x 2 a 2 x 2 )2 2.2.【分析】因为ABAC 1 ，则只要要考虑 AC 的范围 .2( x 2) 2y 2 ( x 2) 2 6 x 2 2 4 ( x 1)2 3, 又 x 0,故 2，ACx xACmin故 AB 的取值范围为 1， .3.【分析】 tan αtantan2 tan231 tantan1 3 tan 21tan3tan36tanπ0 απα β.β α，.6224.CDB，且∠ BDA 与∠ CDA 之【分析】由题意可知，4和为. 如图，将侧面 BDA 和侧面 CDB 分别折起至面B 1DA 和2 B 2 DC ，且与侧面 ADC 位于同一个平面上 . 则△ BEF 周长的最小值即面 AB 1DB 2C 上两点 B 1, B 2 之间的线段长 .由 前 面 的 分 析 可 知，B 1DB 2 B 1DAADCCDB 2π π 3π24，4由余弦定理可得，B 1 B 2B 1D 2B 2 D 22B 1D B 2 D cos B 1DB 21 1 2222.2因此，△ BEF 周长的最小值为2 2 .5.【 解 析 】 f ( x)x 3 3x 为 奇 函 数 且 为 增 函 数 f (mx 8) f ( 2x ) 0 等 价 于f (mx 8)f (2x )f ( 2x ) 即 mx 82x 即 mx 2x8 0 对随意的 m2,2 成立刻2x 2x 8，因此0 x 2，即 0<x <22x2x80 x46.【分析】由 ba 2(c b) 得 b12 2 1 24 2 4ac 因此 b9 a9ca c ，339又 | a |:|b |:|c |2 : k :3 ，因此 k240 24 cos [ 16 , 64] ，又 k N * ，因此 k =2，因此19 99 9cos α的值为.67.【分析】这 10 个小球成棱锥形来放，第一层1 个，第 2层 3个，第 3 层 6 个，即每一条 棱是 3 个小球，于是正四周体的一条棱长就应当是 4 倍的小球的半径加上2 倍的球心到四周体极点的距离到棱长上的射影的长度，又球心到极点的距离为3，正四周体的高和棱所成角的余弦值为6 ，故容器棱长的最小值为4 2 36 4 2 6 .338.【分析】法 1：假如只有 2 个小球（ 1黑 1 白），则黑球的个数总许多于白球个数的概率为 1；假如只有 4 个小球（ 2 黑 2 白），则黑球的个数总许多于白球个数的概率为1；假如23只有 6 个小球（ 3 黑 3 白）， 黑球的个数 许多于白球个数的概率1；以此 推，可知4将 10 个小球（ 5 个黑球和 5 个白球）排成一行，从左 第一个小球开始向右数小球. 无 数几个小球，黑球的个数 许多于白球个数的概率1 ； 法 2：直接从 10 个小球下手分 .69.【分析】 ( Ⅰ ) 由 意 p q ，因此， ac sin A sin C b a sin B 0 . 由正弦定理，可得a c a cba b 0 . 整理得 a 2c 2 b 2ab .由余弦定理可得，cosCa 2b 2c 210，，因此， Cπ ⋯⋯6分2ab，又 C32( Ⅱ ) 由 2sin 2 A sin 2B Csin C 可得， 4 sin Acos Asin Bπ Asin B A .整理得， 4 sin Acos A sin B A sin B A2 sin B cos A .当 cosA0， Aπ 2 cotπ 2 3. 因此△ABC 的面， 此， b3 32△12 3 当 cosA 0，上式即sin B 2 sin A，有正弦定理可得b =2a ，又S ABCbc32a 2b 2 ab4， 解 之 得 ， a2 3 ， b 4 3 ，因此△ABC 的面33△123 .S ABC ab sin C32上所述，△ ABC 的面 S △ABC1ab sin C 2 3 . ⋯⋯ 14分2 31 210.【分析】 (1) 由已知得 a n 1a n 2 2a n ， a n 1 1 a n ，因 a 12 ，因此 a n 11，两 取 数得 lg 1an 12 lg 1 a n ，即 lg 1an 12 ，故 lg a n1以 lg3 首 ， 2 公比的等比数列，lg 1 a n即 lg a n12n 1 lg 3 ，即 a n 32n 11.⋯⋯5分(2) 法 1：由 a n 1a n 2 2a n 两 取倒数得11 1 a n 12，an 12 a n因此1 12，即bn211，⋯⋯ 10分a n 2 a n an 1a nan 1故S n 21 1，故 S n1.⋯⋯ 14分2 32 n 12 32n 1法 2： b n112(11) ， S n 1 1n1n132n1n 11n2n1 .323232 3212 32111.【分析】 ( Ⅰ )f (x)0 x 1 aeae x1 ，xx1令 h( x)e xxe x，由 h ( x)xe x0 得 x >0.x ， h ( x)( x 1) 2 (x 1)21因此 () 在 0，上 增， ( x ) 在 (-1,0) 减 . 因此 h( x) h(0)1 x1 ，由h xh此得： a 1 . 又 x =-1 ， x 1 a e x 即 0a e 1 ，此 a 取随意 都建立 .上得： a1 . 11 1 ⋯⋯8分2015 )100820151(Ⅱ) (e 2e 2016 1e 2016 .2016 20162016 由( Ⅰ ) 知，当 a =1f (x)0 全部x 恒建立，即 e x x 1( x =0 取等号 ).111取 x1 ，得 1 1 e 2016 . 即 得： ( 2015)1008e 2 .⋯⋯ 14分2016 20162016x12【分析】由正数,足 x 3y 3x y ，知x y 0 . 令 tx y 1.y不等 式x 221等价于x 22 x 3y 3，等价于λyλyx y2x 3 y 3 x 2x 2 y y 3，等价于 λx 2 y y 3λyxyx yxy y2等价于λx 2 y 2t 2 1 t 2 12 (t 1)22 2 (t1)2 2 2，xy y 2t 1 . 因 f (t )t1t21t 1等号 当 t1212 建立，t，即 t1因此， 数的最大 22 2 .⋯⋯ 15分13.【分析】 (1)A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ),Q ( x 0 , y 0 ) ，QA : x 1 xy 1 y 1Q ， 有x 1x 0y 1 y 01 ； ⋯ ⋯ ① QB :x 2xy 2 y1 ， 有222x 2 x 0 y 2 y 0 1，⋯⋯②故直 AB : x 0x y 0 y 1 点 P(1, 1) ， 有2 2 2x 0 y 0 1 x 0 y 0 2 ⋯⋯③故 Q 的 迹方程 x +y =2.⋯⋯5分2 2(2) 直 AB ，当斜率不存在 ，即 x =1，此 A(1, 2 ), B(1, 22 ),Q (2,0)2S △ABQ 1 2 1 22 2斜率存在 ， 直 AB : y 1 k( x 1) y kx 1 k .2 2x 22y 2 2y 得 (2k21)x22k(1 2k) x (2k22k3) 0 . ykx 1 立，消掉 k22x 1x 2 2k(2k1)2k21于是有2k 2 2k3x 1 x 22k 212又① - ②，获得x 0ky 00与③式 立，可解得Q( 4k , 2 ) .⋯⋯ 10分22k 1 1 2k。