2020高考数学艺考生冲刺第九章解析几何第26讲直线与方程课件

解：如图，因为 kAP＝12－ －01＝1，
kBP＝ 03－－10＝－ 3， 所以 k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)． 故填(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．
2019年5月30日
你是我心中最美的云朵
18
类型二 求直线方程
根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为 1100； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为 5.
2019年5月30日
你是我心中最美的云朵
13
类型一 直线的倾斜角和斜率
(1)设直线 2x＋my＝1 的倾斜角为 α，若 m∈(－∞， －2 3)∪[2，＋∞)，则角 α 的取值范围是________．
解：据题意知 tanα＝－m2 ，因为 m<－2 3或 m≥2.
所以 0<tanα< 33或－1≤tanα<0.
(3)过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 ①若 x1＝x2，且 y1≠y2 时，直线垂直于 x 轴，方程为____________； ②若 x1≠x2，且 y1＝y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为____________； ③若 x1＝x2＝0，且 y1≠y2 时，直线即为 y 轴，方程为____________； ④若 x1≠x2，且 y1＝y2＝0，直线即为 x 轴，方程为____________．
x＝
，

y＝
.
2019年5月30日
你是我心中最美的云朵
4
2．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴____________与 直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴________或________ 时，我们规定它的倾斜角为 0°.因此，直线的倾斜角 α 的取值范围为 __________________． (2)斜率：一条直线的倾斜角 α 的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母 k 表示，即 k＝______(α≠______)．当直线平行于 x 轴或者与 x 轴重合时，k______0； 当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为 ______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示 直线的倾斜程度．

突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
直线与方程 结 束
2．斜率公式 (1)定义式：直线 l 的倾斜角为 α≠π2，则斜率 k＝__ta_n__α_. (2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，
y2－y1 则 l 的斜率 k＝_x_2_－__x_1 .
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
直线与方程 结 束
(3)已知两直线的一般方程 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2 ＝0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论．
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
直线与方程 结 束
[例 1] (1)直线 xsin α＋y＋2＝0 的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π) C．0，π4
B．0，π4∪34π，π D．0，π4∪π2，π
[解析] (1)因为直线 xsin α＋y＋2＝0 的斜率 k＝－sin α，又 －1≤sin α≤1，所以－1≤k≤1.设直线 xsin α＋y＋2＝0 的倾斜 角为 θ，所以－1≤tan θ≤1，而 θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
直线与方程 结 束
6. [考点二] (2016·苏北四市一模)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6
＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为_____．
解析：由两直线平行可得，a(b－3)－2b＝0，
即2b＋3a＝ab，2a＋3b＝1.

所以“α>π3”是“k> 3”的必要不充分条件，故选 B.
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， )3为端点的线段有公共点，则 直线l斜率的取值范围为 (－∞，－ 3]∪[1，＋∞.) 答案 解析
几何画板展示
如图， 1－0
∵kAP＝2－1＝1， 3－0
kBP＝ 0－1 ＝－ 3， ∴k∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞).
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为 1100； 解答 由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.
设倾斜角为 α，则 sin α＝ 1100(0<α<π)，
从而 cos α＝±31010，则 k＝tan α＝±13.
故所求直线方程为 y＝±13(x＋4). 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
例4 已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时， 直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实 数a的值. 解答
由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线 l2在x轴上的截距为a2＋2， 所以四边形的面积 S＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4 ＝a－122＋145， 当 a＝12时，面积最小.
跟 踪 训 练 1 (2017·南 昌 月 考 ) 已 知 过 定 点 P(2,0) 的 直 线 l 与 曲 线2－yx＝2 相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大
值时，直线l的倾答斜案角为解析 几何画板展示 A.150° B.135° C.120° D.不存在
题型二 求直线的方程 例 2 根据所给条件求直线的方程：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

【解析】 (1)由题意知，直线的斜率存在， 设倾斜角为 α，则 sinα＝ 1100(α∈[0，π))， 从而 cosα＝±31010，则 k＝tanα＝±13. 故所求直线的方程为 y＝±13(x＋4)，即 x±3y＋4＝0. (2)由题意可设直线方程为xa＋yb＝1.
则a2a＋＋b1b＝＝61，，解得 a＝b＝3，或 a＝4，b＝2. 故所求直线方程为 x＋y－3＝0 或 x＋2y－4＝0.
【解析】 方法一：(数形结合法) 如图，kMP＝ 3，kMQ＝－12， ∴k∈(－∞，－12]∪[ 3，＋∞)．
方法二：设 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y－2＝k(x＋1)， 即 kx－y＋k＋2＝0， 若 l 与线段 PQ 恒相交，则 P，Q 或者有一点在 l 上，或者在 l 的两侧． ∴[(－1－ 3)k－(－1)＋k＋2]·(3k＋k＋2)≤0， 即(－ 3k＋3)·(4k＋2)≤0，∴( 3k－3)·(2k＋1)≥0， ∴k≤－12或 k≥ 3. 【答案】 k≤－12或 k≥ 3
答案 2x＋ 3y＋3 3－4＝0
6．已知直线 l：ax＋y－2－a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，
则 a 的值是( )
A．1
B．－1
C．－2 或－1
D．－2 或 1
答案 D
授人以渔
题型一 直线的倾斜角与斜率
(1)直线 xsinα＋y＋2＝0 的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π )
第九章 解 析 几 何
第1课时 直 线 方 程
…2019 考纲下载… 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜 率的计算公式． 2．掌握确定直线位置的几何要素． 3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了 解斜截式与一次函数的关系．

倾斜角α 锐角 0° 钝角
90°
2.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝
tan α的单调性，如图所示：
(1)当α取值在
0，π2
内，由0增大到
π 2
α≠π2
时，k由0增大并趋向于正无穷大；
(2)当α取值在π2，π内，由π2α≠π2增大到π(α≠π)时，k由负无 穷大增大并趋近于0.
解决此类问题，常采用数形结合思想．
[易错提醒]
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函 数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分 0，π2 与 π2，π 两种情况讨论．由正切函数图象可以看 出，当α∈ 0，π2 时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝ π2 时，斜率 不存在；当α∈π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．
两直线的位置关系
解析：设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3.由题图易知 0<α3<α2<90°<α1<180°，∴tan α2>tan α3>0>tan α1， 即k2>k3>k1. 答案：k2>k3>k1
(3)已知直线l1：x＝－2，l2：y＝
1 2
，则直线l1与l2的位置关系
是________．
答案：垂直
(4)已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2， 则实数a的值为________． 解析：由题意，得a－a 3＝－2，解得a＝2. 答案：2
讲练区 研透高考· 完成情况
[全析考法]
直线的倾斜角与斜率
1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具 体如下：
斜率k k＝tan α>0 k＝0 k＝tan α<0 不存在

π 所以“α>3”是“k> 3”的必要不充分条件，故选 B.
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， 3 )为端点的线段有公共点， 则直线l斜率的取值范围为 (－∞，－ 3]∪[1，＋∞) . 答案 如图，
解析
几何画板展示
1－0 ∵kAP＝ ＝1， 2－1
3－0 kBP＝ ＝－ 3， 0－1
x y ＋ ＝ 1 a b
适用范围 不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线
不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1
(y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) _______________________
平面直角坐标系内的直线都适用
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( × ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( × ) (4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × ) (6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－ y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( √ )
几何画板展示
考点自测
1.(2016· 天津模拟)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的 值为 A.1 C.1或3
答案 解析
B.4 D.1或4
m－4 依题意得 ＝1，解得 m＝1. －2－m
2.(2016· 合肥一六八中学检测)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范 围是

例2(1)若直线经过点A(-5,2),且在x轴上截距等于在y轴上截距2倍,
则该直线方程为
.
(2)若直线经过点 A(-√3,3),且倾斜角为直线√3x+y+1=0 的倾斜
角的一半,则该直线的方程为
.
(3)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC中点M在y轴上,BC中点N
在x轴上,则直线MN方程为
.
关闭
思索直线方程与圆方程相结合问题常看法法是什么?
由题意可得直线 OA 的方程为 y=x,与半圆方程联立得 A(1,1),
即可得 H(1,0),则直线 HB 的方程为 y=x-1,与半圆方程联立得
B
1+√3 -1+√3
,
2
2
.
故直线 AB 的方程为
-1
-1
=
1+
-1+
3
√3x+y-√3-1=0
)
(4)若直线在x轴,y轴上截距分别为m,n,则方程可记为xm+yn=1.(
)
(5)经过任意两个不一样点P1(x1,y1),P2(x2,y2)
直线都能够用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(
(6)直线截距即是直线与坐标轴交点到原点距离.(
(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×
是[0,π) .
(2)直线斜率
①定义:若一条直线倾斜角为α(α≠90°),斜率k就是这条直线倾斜
角α正切值,即k=tan α.倾斜角是90°直线斜率不存在.
②直线斜率公式:过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)直线斜率
-
k= 2 1 .

(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.
思维升华
在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适 用条件.若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜 式，应先考虑斜率不存在的情况.
跟踪训练2 求适合下列条件的直线方程： (1)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数； 解 当直线过原点时，方程为 y＝32x，即 3x－2y＝0. 当直线 l 不过原点时，设直线方程为ax－ay＝1. 将P(2,3)代入方程，得a＝－1， 所以直线l的方程为x－y＋1＝0. 综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.
(2)斜率的两种求法
①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan
α求斜率.
②公式法：若已知直线上两点
A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式
k＝y2－y1 x2－x1
(x1≠x2)求斜率.
(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y＝tan α的单调性.
化直线方程为 y＝ 3x＋a，∴k＝tan α＝ 3.
∵0°≤α<180°，∴α＝60°.
D.120°
Байду номын сангаас
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
123456
6.过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面 积为2，则直线m的方程为 x－2y＋2＝0或x＝2 .
解析 ①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；
②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意； ③若直线 m 的斜率 k≠0，设其方程为 y－2＝k(x－2)，令 y＝0，得 x＝2－2k， 依题意有12×2－2k×2＝2，即1－1k＝1，解得 k＝12，所以直线 m 的方程为 y －2＝12(x－2)，即 x－2y＋2＝0. 综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.

【迁移探究1】 若将例1(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取
值范围.
解 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.
∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，
∴(2k－1＋k)(－ 3＋k)≤0，
即(3k－1)(k－ 3)≤0，解得13≤k≤ 3.
以看出，直线 l 的倾斜角的取值范围为π6，π2 .
答案 B
考点二 直线方程的求法 【例2】 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍； (3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. 解 (1)设直线l在x，y轴上的截距均为a， 若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)， 所以 l 的方程为 y＝14x，即 x－4y＝0. 若 a≠0，则设 l 的方程为ax＋ay＝1，
(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按_逆___ _时__针__方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角； (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为____0___； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是___[_0_，__π_) __.
有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为________.
解析 (1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α， 因为 α∈π6，π3，所以12≤cos α≤ 23， 因此 k＝2cos α∈[1， 3].
设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ∈[1， 3]. 又 θ∈[0，π)，所以 θ∈π4，π3， 即倾斜角的取值范围是π4，π3.

不含直线 x＝x0 不含垂直于 x 轴的直线
两点式 两点(x1，y1)，(x2， y2)
截距式
截距 a 与 b
___yy_2－_－_y_y11___＝xx2－－xx11 ax＋by＝1
不含直线 x＝x1(x1＝x2)和直线 y＝y1(y1＝y2)
不含垂直于坐标轴和过原点
的直线
栏目索引
一般式பைடு நூலகம்
Ax＋By＋C＝0 平面直角坐标系内的直线都
观想象的核心素养
种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次
栏目索引
函数的关系
第九章 平面解析几何
栏目导航
01 基础整合 自测纠偏 02 重难突破 能力提升
03 追踪命题 直击高考 04
配套训练
高考备考指南
数学 系统复习用书
1
第九章 平面解析几何
基础整合 自测纠偏
栏目索引
高考备考指南
数学 系统复习用书
∈[0，π)，所以 θ∈π4，π3，即倾斜角的取值范围是π4，π3. (2)如图所示，因为 kAP＝12－ －01＝1，kBP＝ 03－－10＝－ 3，所以
直线 l 的斜率 k∈(－ 3，1)．
栏目索引
【答案】(1)B (2)(－ 3，1)
第九章 平面解析几何
高考备考指南
数学 系统复习用书
【解析】(1)直线 2xcos α－y－3＝0 的斜率 k＝2cos α，因为 α∈π6，π3，所以12≤cos
α≤ 23，因此 k＝2·cos α∈[1， 3]．设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ∈[1， 3]．又 θ
栏目索引
(2)计算公式：若由 A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于 x 轴，则 k＝yx22－ －yx11.

2y 4k
0
课后思考题
可知 y1
y2
2 k
,
y1
y2
4
直线 BM, BN 的斜率之和为
kBM 将 x1
kBN y1
k
y1 x1
2, x2
2
y2 yk2x2 2及2 y1
x2
y1 x1 y2 2( y1 y2 ) . (x1 2)( x2 2)
y2 , y1 y2 的表达式代入
考点聚焦
１. B:由两直线垂直,得a2+(b+2)(b-2)=0,即a2+b2=4. 因为a2+b2=4≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,所以ab的最大值为2.
２.解：设 A(a,0), B(0,b)(a 0,b 0). 设直线 l 的方程 为
x y 1, 则 1 1 1, 所以 | OA| | OB | a b (a b) ( 1 1)
① ① 式分子，
可得
x2
y1
x1 y2
2(
y1
y2
)
2
y1 y2
4k( k
y1
y2
)
8 k
8
0.
所以 kBM kBN 0, 可知 直线BM, BN的倾斜角互补，
所以 ABM ABN. 综上 ABM ABN. -23-
课后作业：
高考数学第二轮专题复习《解析几何》之
直线方程
高考命题规律把握
直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中常与其他知识 结合直线方程的综合应用考查主要有以下三个命题角度： (1)与基本不等式相结合求最值问题； (2)由直线方程解决参数问题； (3)直线与圆、圆锥曲线的位置关系的考查常以压轴题的形式 出现，其命题形式常与向量结合，重在考查圆锥曲线的性质，另定 点、定值问题、最值问题依然是考查的热点问题．