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第五讲 有限元

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第五讲空间问题有限元分析-

第五讲空间问题有限元分析-

(20)
其中任意结点i上的结点载荷
Q ie Q i e x Q i e y Q i e zT N iq d A
(21)
式中， qqx
qy
T
qz
是作用在单元e单位面积上的表面力。
3·体积力的等效结点载荷
P e P i eT P j e T
eT
P m
eT T P n
e 6
6
v
e 6
2)坐标变换
x
8
N i r, s,t xi
y
i1 8
N i r, s,t y i
i1
z
8
N i r, s,t zi
i1
w
e 2
2
v
e 2
u
e 2
图2
w
e 5
5
v
e 5
u
e 5
w
e 7
w
e 1
7
u
e 7
1
v
e 1
u
e 1
z
xy
w
e 8
8
u
e 8
v
e 8
v
e 7
w
e 4
4
v
eT
F m
eT T F n
(18)
其中任意结点i上的结点载荷
F i eF ix e F iy e F iz eTN icG
(19)
式中，G G x Gy G z T是作用在单元e上的集中力； (Ni)c
是形函数Ni在集中力作用点处的取值。
返回
2 ·表面力的等效结点载荷
Q e Q i eT Q j e T Q m eT Q neT T
A 1drcsA 2crds

有限元课程PPT第5章

有限元课程PPT第5章

基函数矩阵
形变列阵（广义应变列阵）
（5-17）
写成5块 其中
（5-18）
2．单元刚度矩阵和单元荷载向量 虚功方程 （5-19） 左半中 ，
单元刚度阵
（ 5-20 ）
其中
称为单元刚度矩阵元素（块） （5-21）
（具体表达式可见华东水利学院弹性力学问题的有限单元 法（1974版）） 虚功方程右半
在三个方向的分量，左上标 为初始态， 这里 为
表示壳单元状态,
为最终态。
方向余弦的增量， （5-66）
分量
能通过节点K处的旋转来表达，一个有效的方法 的单位向量 （5-67） 和 ：
是定义两个正交于
其中ey为y方向的单位向量（对于特殊情形 可简单地用 ）这样得 （5-68） 令 和 和 为关于 为小角度 （5-69） 将式（5-56）代入（5-52），得到 和 的正交向量 ，
（5-46） 据假定,可认为
（5-47）
（5-48）
总势能
（5-49） K为剪应力非均匀修正系数，将式（5-35）、（5-34）代 入（5-36）中，可得
（5-50） 其中 （5-51）
（5-52）
，是独立的，能如等参元那样求解。 变分， （5-53） （5-54） 例： 如图, 4节点的板，根据四节点等参元坐标转换关系
Int. J. Num Mech. Eng V.5,N2, 277~288,1972）一文中建议 对单元曲率修匀。 修匀只要对形函数的导数进行修匀即可，形函数 阶导数 的二
在角点上往往有奇异性，只有采取高阶数值积
分才能有较好的收敛性。为了得到计算既简单，收敛性又 好的单元，可用修匀后的导数， 代替 ， 是组系统代替薄壳。 （一）局部坐标系中的单元刚度阵 特点是薄壳应力状态是平面应力状态+弯曲应力状态的 组合，刚度阵也可由此组合，局部坐标系x，y轴取在单元 所在平面内 组合后的单元节点位移和节点力分别 为（第i点）

有限元分析 第五讲

有限元分析 第五讲

自动安装文件
三. Ansys9.0的安装方法 Ansys9.0的安装方法 1. 关闭所有防病毒软件.将crack文件夹复制到计算机 如桌面 关闭所有防病毒软件. 文件夹复制到计算机(如桌面 文件夹复制到计算机 如桌面) 2. 运行"自动安装文件"——AutoExec.exe,弹出下列对话框.点 运行"自动安装文件" ,弹出下列对话框. 最下一行,弹出一个信息窗. 最下一行,弹出一个信息窗.
输入关键点号和坐标值, 输入关键点号和坐标值,按"Apply". 所有关键点数据输完后按 . "OK",屏幕上即显示上述关键点的位置和序号.然后用直线连接 ,屏幕上即显示上述关键点的位置和序号. 这些点,组成桁架. 这些点,组成桁架.
操作 Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Lines >in Active CS, 弹出下示对话框. 弹出下示对话框.
§5.2 Ansys9.0的界面简介 Ansys9.0的界面简介
应用菜单——包含例如文件管理,选择,显示控制,参数设置等功能. 包含例如文件管理,选择,显示控制,参数设置等功能 应用菜单 包含例如文件管理 输入——显示提示信息,输入ANSYS命令 输入 显示提示信息,输入 命令 显示提示信息 .
图形 显示由ANSYS 显示由 创建或传递到 ANSYS的图形 的图形. 的图形 主菜单——包 包 主菜单 含ANSYS的 的 主要功能, 主要功能,分 为前处理, 为前处理,求 解,后处理等 .
拾取
用光标点1, 点 连成直结, 用光标点 ,2点,连成直结,点"Apply";用光标点 ,3点,连成直 ;用光标点1, 点 结,点"Apply"; ……;所有点连完后,点"OK".屏幕上显示桁架 ; ;所有点连完后, . 的图形.然后点: 在弹出的对话框中输入文件名(1.db), 的图形.然后点:File>Save as…,在弹出的对话框中输入文件名 在弹出的对话框中输入文件名 点"OK",保存已建好的桁架图形.若要调入以前已建好的图形,则 ,保存已建好的桁架图形.若要调入以前已建好的图形, 点:File>Resume from…. .

有限元分析第五章(第二部分

有限元分析第五章(第二部分

§5-5数值积分１、问题的提出在上一节中对等参元进行单元分析时要进行下列积分： (i) 单元刚度矩阵(ii)体积力的等效结点力(iii)边界力的等效结点力(iv)温升载荷的等效结点力式（5-4-5）~（5-4-8）分别归结为计算以下两种形式的积分对于上述积分仅在单元的形状十分规则的情况下才能得到解析的结果（精确值），一般情况只能用数值积分方法（主要是高斯求积法）求近似值。

虽然数值积分是“被迫“采用的，但后来发现：有选择地控制积分点的个数和位置，可以方便地实现我们的某些特殊意图。

这样一来，数值积分就成为有限元分析的一个重要组成部分，以至本来可以精确积分的三角形单元也常常采用数值积分。

２、数值积分的基本概念任何积分工作取决于三个要素：给定的积分区间，给定的被积函数，具体的积分方法。

下面以一维情况为例介绍数值积分的基本概念 (i) 梯形法函数()x f 在区间(a,b)的积分可以表达为 ()()ini ibax f W dx x f I ∑⎰=≈=1⎰⎰⎰---111111),()(dxdxy x f dx x f 、　[][][][][][][]ηξd d J t B E B tdxdyB E B k T Te det 1111⎰⎰⎰⎰--=={}[][]ηξσd d J t f f N td f f N r y x T y x T eV det 1111⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎰⎰⎰⎰--{}[]{}ηξσγd Jd t B T det 01111T ⎰⎰--={}[]()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎰⎰⎰--dy y f dx x f tds q p N r T 1111,ΓΓ(5-4-5) (5-4-8) (5-4-7) (5-4-6)i W ：权系数； i x ：积分样点；()i x f ：积分样点的函数值。

梯形法的求积公式为其中，1--=n ab h ，而a b W ni i -=∑=1(ii) 当被积函数为n-1次多项式P n-1(x )时，则由n 个样点及其样点值（x i , P n-1(x i ),i=1,n ）可以精确重构这个多项式，从而可以得到精确解。

有限元的基本原理

有限元的基本原理

有限元的基本原理
有限元方法是一种数值计算方法，常用于求解工程问题中的连续介质力学问题。

其基本原理是将复杂的连续介质分割成有限数量的简单几何形状的子域，称为有限元，然后利用数学方法和计算机技术对每个有限元进行离散化处理。

基于有限元原理，我们可以得到以下步骤：
1. 离散化：将连续的物理问题离散化为有限个由节点和单元组成的网格，在每个单元上选择适当的方程形式。

2. 建立本构方程：根据材料的力学性质，建立适当的本构关系表达式，将其转化为数学方程。

3. 单元形函数：在每个有限元上选择适当的单元形函数，将物理问题转换为离散问题。

4. 求解：对离散化后的方程进行求解，得到节点的未知位移。

5. 后处理：根据得到的位移信息，计算相应的应力和应变，以及其他感兴趣的物理量。

有限元方法的精度和收敛性与网格的划分有关，更精细的网格可以得到更准确的结果，但也会增加计算量。

因此，有限元方法是一个权衡计算效率和精度的方法。

有限元方法广泛应用于结构力学、流体力学、电磁场等领域的
建模和仿真中，可以有效地分析和解决各种工程问题。

其应用范围涉及机械、航空航天、汽车、建筑、电子等多个工程领域，为工程设计和优化提供了有力的工具。

第五课 三个常见案例以及单元问题——【有限元分析 精品讲义】

第五课 三个常见案例以及单元问题——【有限元分析 精品讲义】

UX
电
ROTX
流体
磁场
自由度 位移 温度 电位 压力 磁位
空间一点的结构自由度
实体的形状 杆梁单元、壳单元和实体单元
Element Support for Material Models
再次感谢大家对本视频的关注， 感谢鱼儿课堂给大家的技术交流
提供平台！
目录 1. 普通焊接问题 2. 桌上放置物体问题 3. 水杯问题 4. 单元选择问题
问题一：普通焊接问题
分析实例：转子 问题描述：考察转子在10rad/s转速下的应力情况。利用Simulation求解模型，比较兼容网格 和不兼容网格对结果的影响。 材料：Alloy Steel
转子底部固定是为什 么？
兼容网格 不兼容网格
研究焊接特性是研究所和高等院校的任 务，对于企业来说，企业的目标不是研究焊 接特性，而是保证焊接不失效，这两者之间 具有本质区别。
这就和医生治病的道理一样，医生治疗 流感根本不需要知道流感病毒的特性，他只 要知道怎么对流感问题对症下药即可，而学 者却要从各个角度对流感病毒进行研究。也 许我们目前的科学技术对流感病毒并不了解， 但是这不妨碍我们去治疗流感问题。
问题二：桌上放置物体问题
分析实例：桌面放置物体 问题描述：考察桌子上放置不同大小的物体，考察桌子的变形情况 材料：物体 合金钢 桌子 ABS
207.9kg
2310kg
5197.5kg
2037.42N
22638N
50935.5N
简化后的分析结果
如何确定这个结果是否简化正确？
简
化
前
后
结 果
பைடு நூலகம்
多数时候我们认为的经验并不是
这样的边界条件该如何约束才是正确的？

有限元方法5

有限元方法5

12EI / l3
6EI / l2
6EI / l2 4EI / l 6EI / l2 2EI / l
12EI / l3 6EI / l2 12EI / l3 6EI / l2
6EI / l2
2EI / l
6EI / l2
4EI / l
§1.6 其它平面杆件单元的单刚
EA/l
0
0 EA/l 0
EA/ l
二、不计轴变的弯曲单元
0 12EI / l3 6EI /l2
0 12EI / l3 6EI /l2
0 6EI / l2
1 2
e
FF12
e
2EI /l 0
3 4
F3
F4
6EI
/
l
2
5
F5
4EI / l 6 F6
12EI / l3
k e
6EI / l2
梁
e 3
e 1
e 2
a
/ 3
/ 1
/ 2
e 6
l
e 5e 4x/ 6l/ 5
/ 4
墙
柱
1 1 2 2 3 a 3 3
4 4 5 5 6 6
1 0 0 0 0 0
0 1 a 0 0 0
/
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
00 e
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
/ 2
l
/ 5
/ 4
F4 F4/ , F5 F5/ , F6 F6/
1 0 0 0 0 0
1 1 2 2 3 a 3 3 4 4 5 5 6 6
1 0 0 0 0 0 0 1 a 0 0 0

有限元与数值方法-讲稿5-1变分原理简介

有限元与数值方法-讲稿5-1变分原理简介

小位移假设下的真实应变与真实位移满足：
6
利用微分推导变分问题的欧拉方程
固定边界最简泛函的欧拉方程
min y x2 F x, y(x), y(x)dx
y(x)
x1
y(x1) y1, y(x2 ) y2
计算 y y y
y(x)+δy(x)
y(x) 1
δy(x) 2
(y y) (y)
( y y) f ( ) x1 F(x, y y, y y)dx x0
广义变分原理可以从由变分方法推出；Lagrange乘子的物 理意义
13
固体力学中的变分原理
1. 虚位移原理（虚功原理）
微分方程：
(u
) ij
x j
fi0xi源自 nj Pi x Sui ui x Su
满足位移边界条件及连续性条件的任意无限小位移称 为许可位移
14
固体力学中的变分原理
ui
(y y) f (1) ( y) f (0)
f ( ) f (0) df (0) d
f ( ) f (0) df (0) d
7
利用微分推导变分问题的欧拉方程
Lagrange的泛函变分定义为
(y) y(x) y(x)
0
( y)
df
d
0
d
d
x2 x1
F
(
x,
y
y,
y
有限元与数值方法第五讲
5.1 变分原理与变分法
授课教师：刘书田
Tel：84706149； Email：stliu@ 教室：综合教学楼 351 时间：2013年4月12日：8：00—10：20
1
基于变分法的求解方法
对于微分方程E u x 0及边界条件Bu x 0，有时可找到一个 一个标量J u x（ 称为泛函），该泛函的极值条件 J u x 0等价于 E u x 0和Bu x 0。

有限元课件第5讲结构单元

有限元课件第5讲结构单元

对于弯曲引起的挠度，采用经典梁的三次多项式插值函数：
vb(x) Nbqbe
qbe

vv112bb

2
1

dv1b dx
参见经典梁的表达形式
2

dv2b dx
对于剪切引起的附加挠度，采用线性插值函数：
位移插值函数 节点位移条件

v v
( (
0) L)
dx
共同点：平面假定
dv dx
不同点： 经典梁理论——截面变形后仍垂直中心线 考虑剪切变形的梁理论——截面变形后不再垂直中心线
经典梁单元(细长梁)
y d 2v dx2
M y I
v1
q
e


v
1 2

2
F1
P
e


要使该式在梁单元内恒成立，不仅常数项为零，还必须
一次项为零，因此要求 1 2
从而
(x)1L x L x 12 12
这意味着梁不能发生弯曲，与真实情况相违背，这种现 象称为剪切锁死(shear locking)。
关于剪切锁死
在剪切应变的表达式中， d v 和 的函数表达式
第5讲 结构单元
第5讲 结构单元
5.1 结构力学问题 5.2 杆件单元
轴力杆单元 弯曲梁单元 一般杆件单元
5.3 板壳单元
板单元 壳单元
5.1 结构力学问题
杆件和板壳结构在工程中广泛应用。 特点：
杆件——两个方向的尺度比其它方向小得多 板壳——一个方向的尺度比其它方向小得多

2L

1L L3

有限元第五讲 平面问题(二)——离散化、三角形单元分析

有限元第五讲 平面问题(二)——离散化、三角形单元分析
N i x Bi 0 N i y 0 N i y N i x
该式建立了用单元节点位移表 达单元上应变分布的关系。
B 称为应变矩阵，其一个子块的计算式为：
(i l , m, n)
•
对简单三角形单元，应变矩阵为：
上面求出的待定系数 a1
~ a6 代回位移多项式，得到：
al 1 y bl 2 cl am bm cm a n ul bn um u cn n
u 1 x
ul 1 al bl x cl y am bm x cm y an bn x cn y um 2 u n ul N l N m N n um N l ul N mum N nun N i ui i l , m , n u n
xl xn yl ym yn
am bm cm
an ul bn um u cn n
2 1 xm
为三角形面积
节点坐标行列式
ak , bk , ck 分别是节点坐标行列式 的第k (k l，m，n)行第1， 2， 3个 元素的代数余子式，均为常数。
~ a3 : yl a1 ym a2 a yn 3
1
a1 1 xl a2 1 xm a 1 x n 3
其中：
yl ym yn
1 1
ul al 1 bl um u 2 c n l
yl ym yn
1
vl al 1 bl vm v 2 c n l

第5讲 曲线梁桥空间有限元分析方法—单梁法

第5讲 曲线梁桥空间有限元分析方法—单梁法

半径为R=50m 。0#、3#墩为双柱墩，设抗扭支座；1#、2#墩为独柱墩，墩顶支
座设置偏心；桥墩高度均为H=10m，桥墩为直径D=2.30m的圆形截面。主梁宽 为8.5米。
主要材料参数如下：主梁混凝土标号为 C40，桥墩混凝土标号为 C30，混凝土容重取 26 kN / m 3 ； 二期恒载参数如下：桥面铺装为 8cm 的水泥混凝土+10cm 沥青混凝土，其中沥青混凝土的容重为
8
1
ELEMENTS SEP 26 2006 08:55:20
湖南大学土木工程学院桥梁工程系
Y Z X
主梁、桥塔、桥墩采用BEAM4单元模拟； 斜拉索采用LINK10单元模拟； 基础刚度采用combine14弹簧单元模拟。 图2 鄂东长江公路大桥有限元模型
9
湖南大学土木工程学院桥梁工程系
3.曲线梁桥空间有限元分析的单梁法
10
湖南大学土木工程学院桥梁工程系
（4）指定单元类型、实常数、物理参数，生成单元；
（5）设定边界条件、施加荷载； （6）静力求解； （7）提取计算数据，查看计算结果。
11
湖南大学土木工程学院桥梁工程系
3.3 预应力混凝土连续曲线梁桥空间有限元分析的单梁法实例
某预应力混凝土曲线连续梁桥，跨径组合为30+40+30m、桥梁中心轴线曲率
24 K N / m ；防撞护栏（单侧） 0 . 4 26 10 . 4 kN / m 。 ：
12
湖南大学土木工程学院桥梁工程系
e=1.25m
图1 跨径布置为30m+40m+30m的曲线梁桥布置图 （单位：cm）
13
湖南大学土木工程学院桥梁工程系
介绍曲线梁空间有限元分析单梁法分析的命令流

有限元基本原理

有限元基本原理

有限元基本原理
有限元基本原理是一种数值分析方法，用于解决连续介质力学问题。

它将连续物体离散化为有限数量的小单元，通过对这些小单元的力学行为进行建模和分析，来推导出整体结构的力学特性。

有限元分析的步骤如下：
1. 离散化：将结构或物体分割成有限数量的小单元，例如三角形或四边形。

这些小单元被称为有限元素。

2. 建立数学模型：在每个有限元素内，选择适当的数学表达式来描述变形和应力分布。

这些表达式通常基于线性弹性理论或非线性材料模型。

3. 形成刚度矩阵：通过将每个有限元素的刚度矩阵组合起来，形成整体系统的刚度矩阵。

刚度矩阵描述了结构在受力作用下的刚度和变形响应。

4. 施加边界条件：给定结构的边界条件，例如约束和载荷。

这些条件可用于限制结构的自由度和模拟外部加载。

5. 求解方程：将边界条件应用到刚度矩阵上，并求解得到结构的位移和应力分布。

6. 分析结果：利用位移和应力分布，评估结构的强度、刚度、变形等力学特性。

这些结果可以帮助设计师优化结构并预测其
行为。

有限元基本原理的核心思想是将复杂的力学问题转化为小单元内的简单数学表达式，并通过组合这些单元的行为来推导整体结构的力学性能。

这种方法具有广泛的应用领域，包括结构分析、流体力学、热传导等。

有限元分析与应用 第5讲、空间问题有限元法

有限元分析与应用 第5讲、空间问题有限元法

(4)
1− 2v 2(1− v) 0
四面体常应变单元
最简单的空间单元一四面体单元如图所示,i , j , k , m为四个结 点,为使单元体积不出现负值,结点的编号按下规定:在右手坐标系 中,当右手螺旋按i—j—k转向时,拇指指向m.
位移函数
单元变形时,各结点都有沿x ,y ,z的三项位移,单元有四个结点,共有12 项结点位移,合起来以列阵表示:
1 (ai + bi x + ci y + d i z ) 6V
()
式中[I]为三阶单位矩阵,而各结点的形函数可按下式计算得到,即
Ni =
(i, j, k , m)
1 xi 1 x [Λ] = j 1 xk 1 xm
yi yj yk ym
zi zj zk zm
空间问题(三维) 空间问题(三维)有限元分析
空间三维应力状态
一般的实际物体都是立体的,弹性体受力作用后,其内部各点将 沿,X,Y,Z三个坐标的方向发生位移,是三维问题.如各点沿X,Y,Z方 向的位移以μ,ν,ω表示,这些位移一般应为各点坐标的函数,即: u = u (x , y , z ) v = v (x , y , z ) ω = ω (x , y , z ) 弹性体一般变形情况下,有三个方向的线应变 ε x，ε y，ε z 和三对剪应变 γ xy = γ yx，γ yz = γ zy，γ zx = γ xz 由弹性力学可知,应变与位移间的几何关系是:
u = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 z v = α5 + α 6 x + α 7 y + α8 z
(5)
ω = α 9 + α10 x + α11 y + α12 z

有限元基本概念ppt课件

有限元基本概念ppt课件

i1
i1
其中： Hi( xj )δij H'i(xj )0
'
Hi( xj )0 Hi( xj )δij
1 i j δij 0 i j
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵 的感觉 器官， 可很多 孩子对 眼睛的 重要性 不重视 。在每 学期的 视力测 查中情 况都不 容乐观
经推导：
n
n
P 2 n - 1 ( x ) 1 2 W i 'x ix x i W i2 x u ix - x iW i2 x u i '
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵 的感觉 器官， 可很多 孩子对 眼睛的 重要性 不重视 。在每 学期的 视力测 查中情 况都不 容乐观
• 有限元方法的分类
依据求解问题的路径不同，有限元方法大致可分为： 位移法：以位移为基本未知量 力法：应力为基本未知量 混合法：部分以位移；部分以应力为基本未知量
• 有限元位移法的基本概念
几何矩阵的一般表达形式：
其中：
ε
B
e
δ
x
0
0
0
y
0
0
B
y
0
x
z
0
N
0
0
1
0 N1 0
0 0 N1
N2 0 0
0 N2 0
0
0
N 2
0
z y
z
0
x
眼睛是心灵的窗户，是人体中最宝贵 的感觉 器官， 可很多 孩子对 眼睛的 重要性 不重视 。在每 学期的 视力测 查中情 况都不 容乐观
ji ji
i,j0,1,2, n
可令：
Ni
x
C x x 0 x x 1 x x i - 1 x x i + 1 x x n

4第四讲和第五讲 基于微分方程的有限元解

4第四讲和第五讲 基于微分方程的有限元解
2
2
x xe x xe 3 2 l l 2 x xe x xe x xe l l
3
w x 1 w1 2 1 3 w2 4 2 u j je
K 111
K12 1、2、 3 K 22 对
1
K13 1、 3 K 23 1、 、4 3 K 33
1
0 2 K 24 0 K 44 称
2
0 K 25 3、4 K 35
2 2、 3
K 45 2、 、4 3 K 55
0 0 4 K 36 0 4 K 56 4 K 66
第四讲 基于微分方程的有限元解
以杆件轴向受力的一维有限元问题为例
基本微分方程
有限元模型的建立

将求解域离散化为单元 单元方程的推导 单元方程的集合 引入边界条件 求解方程式 解的后处理
1、将求解域离散化为单元
材料属性不同的点必须是结点 截面变化点必须是结点

2、单元方程的推导
6 3l 2 EI 6 l 3 3l 0 0
3l 6 2l 2 3l 3l 66 l 2 3l 3l 0 6 0 3l
U 1 =0, R 1 =F L U 2=0, R 2= M L w 1= u 1 θ 1 =u 2
3l l2 3l 3l 2l 2 2l 2 3l l2
五、解的结果
U 3 U 3 4 l 2 U U 5 2 EI U 6
有限元解

精确解
fl 6 3l 0 3l l 2 6 3l F0 fl 2 3l 2l 2 M 0 fl 2 12 5l 2 F 3lM 17 fl 2 0 0 4 l 9lF 6M 7 fl 2 0 0 6 EI 2 2 16l F0 12lM 0 12 fl 12lF0 12M 0 8 fl 2 0 12 0 4l 2 6 3l 2 3l l

第05讲-有限元分析方法及工程常用单元类型、单元选择

第05讲-有限元分析方法及工程常用单元类型、单元选择

=0时，6个自由度（3D） =2时，3个线位移自由度（3D） =3时，UX,UY,ROTZ共3个自由度（2D） =4时，UX,UY共2个自由度（2D）
5-23
Mass21单元
• Mass21单元实参数也需要根据单元自由度数量的多少进行确定 （Keyout（3）的值而定）。 Mass21无单元结果数据输出，位移结果包含在整体位移结果当中。 质量单元不适应在静力分析中。除非具有加速度或旋转加载时、或 者惯性解除时（IRLF）。
• • • LINK8 可用于不同工程领域的应用，例如桁架、杆件、弹簧等结构。该 单元为三维空间并承受轴向的拉力及压力，不考虑弯矩。 每个节点具有X、Y、Z位移方向的三个自由度。 实参数输入： 面积：AREA - Cross-sectional area 初应变：ISTRN - Initial strain（受拉为正） 荷载：节点荷载、温度 输出：单元轴向应力、轴向力。 与LINK1 基本一致。
5-12
单元形函数(续)
二次曲线的线性逼近 (不理想结果) DOF值二次分布
.
1
节点 单元 线性近似 (更理想的结果)
.
2
真实的二次曲线
.
节点 单元
真实的二次曲线
.
二次近似 (接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果)
.. . . .
3
5-13
.
4
节点 单元
.
节点
单元
单元形函数(续)
遵循原则: • DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情 况吻合得很好。 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如，结构应力，热梯度）。 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好地得到导出数据，因为 这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。 当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元 形函数。 在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有足够数量的单元 和节点来精确描述所要求解的问题。

有限元基础理论教程 lecture05 ppt课件.ppt

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A
bi
Axc
ci
Ayc ]
A
1 2A
(ai
bi xc
ci
yc )
1 3
A
Ryi
1 3
qy At
Ryj
1 3
q
y
At
Rym
1 3 qy At
三角形中的一点P可以用子三角形面 积定义的自然坐标来确定。面积坐 标定义为，
Li
Ai A
Lj
Aj A
Lm
Am A
点P表示为，P(Li , Lj , Lm )
面积坐标在三角形全面积上的积分为
2）体力的移置
令单元所受的均匀分布体力为，
{q}
qx
q
y
虚功相等，
{ *}e T{R}e { *}e T [N]T{q}tdxdy
{R}e [N]T {q}tdxdy
(2-17)
例题2.4、设有均质等厚的三角形单元ijm，受 到沿y方向的均布载荷qy的作用。求均布体力 移置到各结点的载荷。
Rxi Ni
Ryi
0
Rxj Ryj
s
Nj 0
Rxm
N
m
Rym 0
0
Ni
0 N
j
q0x
tds
0
Nm
取局部坐标s，在i点s=0，在j点s=l，L为ij边的长度。
在ij边上，以局部坐标表示的插值函数为，
Ni
1
s L
s Nj L
载荷为
qx
q
s L
Nm 0
Rxi
cr bs
cr cs
1
2
br bs
0 cs tA bs

有限元 第五讲

有限元 第五讲

第四章 空间问题有限单元法
一、空间问题常用单元
3. 形函数构造方法： 1）广义坐标法：仅用在常应变单元 2）试凑法：在自然坐标下直接写出形函数 四面体单元的自然坐标是体积坐标
4. 构造曲面单元
等参元：利用规则单元作母元，通过等参变换构造曲 面单元
第四章 空间问题有限单元法
二、常应变四面体单元
1. 基本变量
二、常应变四面体单元
2. 单元位移插值函数： 将结点坐标代入u(x,y,z)，得结点x方向位移:
u1 1 2 x1 3 y1 4 z1 u2 1 2 x2 3 y2 4 z2 u3 1 2 x3 3 y3 4 z3 u4 1 2 x4 3 y4 4 z4
（四个方程、四个未知量）
1 y4 z4
x2 1 z2 ci1 c1 (1)i1 x3 1 z3
x4 1 z4
x2 di1 d1 (1)i1 x3
x4
y2 1 y3 1 y4 1
1 x1 y1 z1 V 1 1 x2 y2 z2
6 1 x3 y3 z3 1 x4 y4 z4
按1、2、3、4的顺序变换下2v2
N3u3 N4u4 N3v3 N4v4
w N1w1 N2w2 N3w3 N4w4
或： f N e （由结点位移表示的单元内位移）
N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4 0 0
N
0
N1
0
0 N2 0
0 N3 0
0
N4
0
0 0 N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4
形函数矩阵
第四章 空间问题有限单元法
二、常应变四面体单元
3. 单元几何方程： 由结点位移求单元内应变

有限元方法-第五章--平面三角形单元

有限元方法-第五章--平面三角形单元

1 um ym
1 xm um
其中
1 xi yi
2 1 x j y j
1 xm ym
(c) (d) (5-8)
从解析几何可知，式中的 就是三角形i、j、m的面积。
为保证求得的面积为正值，节点i、j、m的编排次序必须是逆 时针方向，如图5-2所示。
y
vj (Vj )
j
uj (Uj )
um (Um )
0
(b)
Ni xm
,
ym
1 2
ai
bi xm
ci ym
0
(c)
类似地有
N j xi , yi 0 , N j x j , y j 1 , N j xm , ym 0 (d) Nm xi , yi 0 , Nm x j , y j 0 , Nm xm , ym 1
式中 1、2、…6是待定常数。因三角形单元共有六个
自由度，且位移函数u、v在三个节点处的数值应该等于 这些点处的位移分量的数值。假设节点i、j、m的坐标分 别为（xi , yi ）、（xj , yj ）、（xm , ym ），代入 (b) 式， 得：
ui 1 2 xi 3 yi
, v j 4 5xi 6 yi
cj 和am 、bm 、cm 分别是行列式2的第一行、第二行和第 三行各元素的代数余子式，我们有
⒈ 形函数在各单元节点上的值，具有“本点是1、它 点
为在节零点”i的上性，质，即
Ni xi
,
yi
1 2
ai
bi xi
ci ym
1
(a)
在节点j、m上，
Ni x j , y j
1 2
ai bi x j ci y j
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2 F ① 1 ③ ②
60 o
④ ⑤
4
⑧ ⑦ ⑨
6 ⑾ ⑩ 7
60 o
3.118m
⑥ 3 3.6m 5
3.6m
3.6m
前处理
1. 指定分析标题目 为分析的问题起一个名。 Utility Menu>File>Change Title 在弹出对 话框中输出：Bridge Truss (意为:桥梁桁架), 按“OK”
实体建模方式——在计算机上建几何边界和实体,由Ansys生成节 点和单元。能处理非节点载荷。适用于较复杂的模型。
直接生成方式——在建模以前，由人工确定节点的位置、单元大小。 适用于小型简单的模型。
2. 设置求解控制。定义分析类型、设置一般分析选项、指定载荷步选 项等。 3. 施加载荷和约束。
4. 求解。
§5.1 Ansys 安装
一. 计算机系统要求 1. 硬件
CPU: x86及以上; 内存: 最好256M以上(128M也可以); VGA显卡; 网卡(既使不上网也必须要); 鼠标, 键盘等。
2. 操作系统 WindowsXP, Windows2000,WindowsNT
二. Ansys9.0的内容
Ansys 9.0 版： 压缩文件夹共１8项，共计472(411)M 其中：CRACK文件夹中含破解文件
同理，用相同的办法在3、5、7点施加载荷
选择FY,表示Y方向加载荷 输入-280000,表示载荷为 280000N,方向与Y正向相反
红色箭头线表示施加 的载荷
11. 求解
Main Menu>Solution>Solve>Current LS, 弹出对话框, 点“OK ” 。
表示已计算完成，以后是后处理工作。显示计算结果
6. 定义网格的尺寸
即确定单元的尺寸大小。本列中，每条直线代表一根杆，每根杆 就是一个单元。
操作 Main Menu>Preprocessor>Meshing>Size Cntrls>Manual Size>Lines>All lines, 弹出对话框。在NDIV项中输入1
7. 划分单元网格
即确定具体的单元。本列中只有一种单元, 每条直线即为一个单元。 操作 Main Menu>Preprocessor>Meshing>Mesh>>Lines 弹出 对话框, 单击“Pick All”
用户命名
绘内力云图
Main Menu>General Postproce>Element Table>Plot Element,弹 出对话框, 选刚才定义的AXEL，点“OK”
输出内力数据
Main Menu>General Postproce>Element Table>List Elem Table, 弹出对话框, 选刚才定义的AXEL，点“OK”,显示内力表格
单击
8. 定义分析类型
操作 Main Menu>Solution>AnalysisType>New Analysis 弹出 对话框, 选择“static”, “OK”
9. 施加位称约束 操作 Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structual Displacement>On Keypoints 弹出对话框。用光标点击关键点 1，“OK ” ,双弹出对话框。选“All DOF” ,VALUE 栏中输入 0 (即定义1点水平、垂直方向位移为0)
2. 建立7个关键点, 形成单元。
先要确定各杆单元节点的坐标, 然后用直线联接起来, 组成杆件。 （Ansys中数据都无单位，故用户要自已确定单位）
序号 1 2 3 4 5 6 7
X 坐标(mm) 0 1800 3600 5400 7200 9000 10800
Y 坐标(mm) 0 3118 0 3118 0 3118 0
拾取
用光标点1，2点，连成直结，点“Apply”；用光标点1，3点，连成直 结，点“Apply”； ……；所有点连完后，点“OK”。屏幕上显示桁架 的图形。然后点：File>Save as…,在弹出的对话框中输入文件名(1.db), 点“OK”，保存已建好的桁架图形。若要调入以前已建好的图形，则 点：File>Resume from…。
换成计算机名
换成网卡号
6. 双击crack文件夹中的keygen.bat文件，此时桌面上应自动生成 “license.dat”文件。
7. 在“控制面板”—“系统”—“高级”—“环境变量”。按“环境变量 ”中的“新建”，“变量名”中输入 “ANSYSLMD_LICENSE_FILE”,“变量值”中输入“1055@计算机 名” 8. 安装Ansys, 全部按默认点击。当第一次出前：“Is this a license server machine?”点“Yes”,接下一个点“No”,其余全点“Yes”.
Crack文件夹
自动安装文件
三. Ansys9.0的安装方法 1. 关闭所有防病毒软件。将crack文件夹复制到计算机(如桌面) 2. 运行“自动安装文件”——AutoExec.exe，弹出下列对话框。点 最下一行，弹出一个信息窗。
计算机名 网卡号
3. 记录下你的“计算机名”和“网卡”名。 4. 用附件中的“记事本”打开桌面上crack文件中的“ansys.dat”文件 5. 用你的计算机名和网卡名替换文件第一行中的 host 和后面的12个0, 然后保存文件
使坐标背景变成白色的方法 在命令行中输入下列命令,Enter
/RGB,INDEX,100,100,100, 0 /RGB,INDEX, 80, 80, 80,13 /RGB,INDEX, 60, 60, 60,14 /RGB,INDEX, 0, 0, 0,15 /REPLOT
点击
选Structural Mass—Link—2D spar 1
4. 确定单元的一些参数 选定单元后，还需要确定单元的一些参数，如截面积等。 操作 Main Menu>Preprocessor>Real Constant>Add/Edit/Delete, 弹出 “Real Constants”对话框。点击“Add”，出现“Element Type for Constants”对话框, 选择LINK1单元类型，点“OK”，弹出对话框，在 AREA框中输入3250 (mm*mm), 点“OK”。
9. 用桌面上的“license.dat”覆盖c:\Program Files\Ansys Inc\Shared Files\Licensing中的\license.dat 10. 重新启动，在“开始”—“程序”—“Ansys9.0”—“Ansys”运行。
§5.2 Ansys9.0的界面简介
应用菜单——包含例如文件管理、选择、显示控制、参数设置等功能. 输入——显示提示信息，输入ANSYS命令 。
14. 查看节点位移 云图显示 Main Menu>General Postproce>Plot Results>Contour Plot>Nodal Solution 弹出对话框, 选DOF Solution和Displacement vector sum，点 “OK”，显示变形后各杆位移情况
列表显示
3. 定义单元类型 Ansys中有100多种单元，应针对具体问题选用相应的单元类型。可充 分利用Ansys的帮助文件，在Element Library中了解各种单元的性质 。 本题为桁架结构，应选“杆单元”，即：LINK1 2-D Spar 单元， 此外还需要确定单元的一些参数。 操作 Main Menu>Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete, 弹出下 示对话框。点击“Add”，弹出“Library of Element Types”对话框
操作 Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints >in Active CS, 弹出下示对话框。
输入关键点号和坐标值，按“Apply”。 所有关键点数据输完后按 “OK”，屏幕上即显示上述关键点的位置和序号。然后用直线连接 这些点，组成桁架。
操作 Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Lines >in Active CS, 弹出下示对话框。
5. 检查分析结果（后处理）。 1). 基本解—节点位移UX，UY，UZ，ROTYX，ROTY，ROTZ)。 2). 导出解—节点和单元应力，节点和单元应变，单元力，节点反力等。
§5.4 Ansys桁架有限元分析实例
求解如图所示桁架的节点位移、支座反力和每根杆内的应力。已知杨 氏模量E＝200000N／mm2，杆的横截面积A＝3250mm2。
同理，用光标点7点 “OK ”， 弹出对话框。选“UY” ,VALUE 栏 中输入0 (即定义7点垂直方向位移为0)
10. 施加载荷 在1、3、5、7点施加Y方向的载荷28000N，方向向下(负值) Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structual >Force/Moment>On Keypoints 弹出对话框。用光标点击关键点1，“OK ”
5. 确定材料的性质
材料性质包括：杨氏模量(弹性模量), 泊松比等
操作 Main Menu>Preprocessor>Material Props>Materia Models, 弹出对话框。双击Structural>Linear>Elastic>isotropic ；在弹 出的对话框中，在EX一栏中输出弹性模量。PRXY为泊松比， 因为桁架分析不需要泊松比，故此项可以不填（默认为0）