高中数学 1.4算法案例课时作业 苏教版必修3

1、4算法案例课时目标通过三种算法案例：孙子剩余左理. 辗转相除法、利用二分法求方程的近似解，进一步体会算法的思想，提高逻辑思维能力与算法设计水平、1、 “孙子问题”就是求关于為y, z 的一次不左方程组__________________________________ .2、 欧几里得辗转相除法求两个正整数a, b 的最大公约数的步骤就是: _______________3、 利用“二分法”求方程f(x)= 0在区间［a,刃上的近似解的步骤为:S1 ____________________________________________________________________ :一、填空题1、 对于下列等式：①Int(10. 01) =10;®Int (一 1) = 一 1； @Int (一5・ 2) = —5.其中正确的有 _________ 个、2、 对下列不等式:①Mod (2, 3) =3;®Mod(3, 2) =2：③Mod (2,3) =1;④Mod (3,2〉=1.成立的有 __________ (写岀成立的等式的序号).若一若若若3 S3、Int (0、35) — __________ , Int( —0. 01) = __________ ・ Int (0) =~ __________ 、4、1 037与425的最大公约数就是_________ >5、如果a, b就是整数，且a〉b>0, r=Mod(a, b)9则a与&的最大公约数与下面的__________ 相等、(填写正确答案的序号)®r；②£>：®b~rx④b与r的最大公约数、6、已知a=333」=24,则使得a=bq+r (^,r均为自然数，且0WXb)成立的q与厂的值分别为________ 、7、下面的说法：①若f(a) f(b)<0QHb),则方程f (x) =0在区间(a,b)上一泄有根；②若f(a) f ( b) >0 (aHR,则方程fU)= 0在区间Q, b)上一定没有根、③连续不间断的函数y=f(x),若f(&)f(b)〈O(aHb),则方程fd) =0在区间Q」) 上只有一个根、其中不正确的说法有________ 个、8、用二分法求方程空一2=0的近似根(误差不超过0、001)的一个算法补充完整：S1 令r(;v)=Y-2,因为f (1X0, /(2) >0t 所以设山=1,疋=2;S2令加= _____________ ，判断fS)就是否为0,若f(m)= 0,则b即为所求;若否，则判断__________ 的符号：S3若_____________ ,则及F否则x：-m;S4判断______________ <0. 001就是否成立,若就是，则w血之间的任意值均为满足条件的近似根，若否，________ 、二、解答题9、用辗转相除法求204与85的最大公约数、10、设计求被6除余4,被10除余8,被9除余4的最小正整数的算法，画出流程图，写出伪代码、能力提升11、读入50个正整数凸，比，…，乐，统计出其中奇数的个数，用伪代码表示解决这个问题的算法、12、在平而直角坐标系中作岀函数/（X）=错误!与 g =lg -Y的图象，根据图象判断方程lg%=错误!的解的范用，再将用二分法求这个方程的近似解（误差不超过0、001）的算法用伪代码表示、1、求两个正整数的最大公约数时，用辗转相除法进行设讣的关键就是:将“辗转”的过程用循环语句表示、2、由于为了避免求循环次数（对两个具体的正整数，循环次数可以求出，但会使程序更为复杂），最好使用"While"语句、3、用二分法求方程近似解，必须先判断方程在给左区间上就是否有解、4、二分法的过程就是一个多次重复的过程，故可用循环结构处理、5、二分法过程中需要对中点（端点）处函数值的符号进行判左，故实现算法需用选择结构，即用条件语句进行分支选择、答案知识梳理1、错误!的正整数解2.计算出aFb的余数“若r=0,则b即为a, b的最大公约数: 若rHO,则把前面的除数b作为新的被除数，把余数r作为新的除数，继续运算，直到余数为0,此时的除数即为/ b的最大公约数3、取b b］的中点x°=错课！(a+b), 将区间一分为二f(X。

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4 算法案例（3）教学目标：1．了解这种方法是求方程近似解的一般方法，能利用计算器求精确到0．01的实数解．2．理解二分法求方程近似解的算法，进一步理解函数与方程的关系．3．能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的二分法求方程近似解的流程图并写出其伪代码．4．培养学生利用计算工具的能力．教学重点：1．利用二分法求给定精确度的方法近似解．2．能写出二分法求方程近似解的流程图和伪代码．教学难点：1．利用二分法求方程的近似解．2．二分法求方程近似解的流程图和伪代码．教学方法:1．通过模仿二分法求方程近似解，体会古人计算构思的巧妙．2．通过二分法求方程近似解的方法与步骤,了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算计算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用．教学过程:一、问题情境在前面一节课中，我们已经学习了一些简单的算法，如不定方程的解、欧几里得辗转相除法求两个正整数的最大公约数等问题，对算法已经有了较为深刻的了解，下面，我们还将通过一个具体的算法案例，继续体会算法的思想．这就是我们本节课所要研究的问题—二分法求方程近似解．二、学生活动写出用区间二分法求解方程310x x --=在区间[1,1.5]内的一个近似解（误差不超过0．001)的一个算法．（1）算法设计思想:如图，如果估计出方程()0f x =在某区间[,]a b 内有一个根*x ,就能用二分法搜索求得符合误差限制c 的近似解．（2）算法步骤可以表示为：1S 取[,]a b 的中点20b a x +=，将区间一分为二； 根*x 在0x 的左2S 若0()0f x =，则0x 就是方程的根，否则判断侧还是右侧；若0()()0f a f x >，则*0(,)x x b ∈,以0x 代替a ;若0()()0f a f x <，则*0(,)x a x ∈，以0x 代替b ;转1S ．3S 若||a b c -<,计算终止，此时*0x x ≈，否则三、建构教学伪代码1:R ea d a ，b ，c02a b x +← 结束 开始While ||a b c -≥ And 30010x x --≠If 3(1)a a --⨯300(1)x x --〈0 Then0b x ←Else0a x ←End If 02a bx +←End WhilePrint 0x伪代码2：Read ,,a b c0()2a b x +←3()1f a a a ←--3000()1f x x x ←--If 0()0f x = ThenGoTo 120If 0()()0f a f x < Then0b x ←Else0a x ←End IfIf ||a b c -≥ ThenGoTo 20Printx二分搜索的过程是一个多次重复的过程，故可以用循环结构来处理（代码1），课本解法是采用GoTo语句实现的（代码2)．四、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．二分法的算法和用伪代码表示该算法；2．GoTo语句的使用；3．解决实际问题的过程：分析－画流程图－写伪代码．。

[A 级 基础达标]1．Int(83)＝________. 解析：Int(83)表示不超过83的最大整数， ∴Int(83)＝2. 答案：22．求567与405的最大公约数为________．解析：567＝405×1＋162，405＝162×2＋81，162＝81×2，所以最大公约数为81.答案：813．自然数1426和1581的最小公倍数为________．解析：先利用辗转相除法得两数的最大公约数为31，再计算1426×158131即得最小公倍数． 答案：727264．方程x 3－x －1＝0在[1,1.5]内实数解有________．解析：设f (x )＝x 3－x －1，∵f (1)＝1－1－1＝－1＜0，f (1.5)＝1.53－1.5－1＞0，∴f (1)·f (1.5)＜0，∴f (x )在[1,1.5]内至少有一个解．答案：至少一个解5．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数是________．解析：第一步除2，得147,42,147－42＝105,105－42＝63,63－42＝21,42－21＝21.∴共做4次减法．答案：46．用更相减损术求63和98的最大公约数．解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，如下所示：98－63＝35,63－35＝28,35－28＝7,28－7＝21,21－7＝14,14－7＝7，所以98和63的最大公约数是7.7．有甲、乙、丙三种溶液，质量分别为147 g 、343 g 、133 g ，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同且都能装满．问每瓶最多装多少克溶液？解：每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数．先求147与343的最大公约数.343－147＝196,196－147＝49,147－49＝98,98－49＝49.所以147与343的最大公约数是49.再求49与133的最大公约数.133－49＝84,84－49＝35,49－35＝14,35－14＝21,21－14＝7，14－7＝7，所以147,343,133的最大公约数是7.∴每瓶最多装7 g 溶液．[B 级 能力提升]8．(2012·南京调研)如图所示的流程图最后输出的n 值为________．解析：由流程图可知Mod(8251,6105)＝2146，Mod(6105,2146)＝1813，Mod(2146,1813)＝333，Mod(1813,333)＝148，Mod(333,148)＝37，Mod(148,37)＝0，故最后输出的n＝37.答案：379．(2012·盐城质检)m是一个正整数，对两个正整数a，b，如果a－b是m的倍数，则称a，b对模m同余，用符号a≡b(mod m)表示，则下列各式中：①12≡7(mod5)；②21≡10(mod3)；③34≡20(mod2)；④47≡7(mod40)．正确的有________．(填写正确命题前面的序号)解析：逐一验证，由题意，对于①12－7＝5是5的倍数；对于②21－10＝11不是3的倍数；对于③34－20＝14是2的倍数；对于④47－7＝40是40的倍数．故①③④正确．答案：①③④10．用辗转相除法与更相减损术求324,243,270三个数的最大公约数．解：用辗转相除法：324＝243×1＋81，243＝81×3＋0，则324与243的最大公约数为81.又270＝81×3＋27，81＝27×3＋0，则324,243,270的最大公约数为27.用更相减损术：324－243＝81,243－81＝162,162－81＝81.∴324与243的最大公约数为81，又270－81＝189,189－81＝108，108－81＝27,81－27＝54，54－27＝27.∴324,243,270的最大公约数为27.11．(创新题)有一大堆桃子不知其数目，猴子第一天吃掉一半，又多吃了一个，第二天又将剩下的桃子吃了一半，又多吃了一个，天天如此．到第十天，猴子发现只有一个桃子了．请问这堆桃子原来有多少个？写出解决问题的伪代码．解：根据题意，若设第n天剩余a n个，第n＋1天剩余a n＋1个，则a n＝2(a n＋1＋1)，根据此类关系，设置计数变量i(天数)和x(桃子数)来写伪代码．算法的伪代码如下：x←1For i From1To9x←2(x＋1)End ForPrint x。

1.4算法事例（2）【新知导读】1. 欧几里得展转相除法的思想精华是什么?2.什么是更相减损术 ?它和展转相除法的思想有什么关系?【典范点睛】例 1：写出用更相减损术求256 与 28 两数的最大条约数的算法.思路点拨 :算法剖析：比较两个数的大小，较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数. 持续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大条约数.【课外链接】1.现有长度为 360cm 和 780cm 两种规格的钢筋若干 . 要焊接一批正方形模型 . 问如何才能保证正方体体积最大且不浪费 ?思路点拨 : 正方体的全部棱长都相等, 故一定将钢筋剪裁成长度相等的钢筋条; 又一定不浪费,这就说明一定剪后无节余. 于是为了保证正方体的体积最大, 故剪的钢筋的最大长度为360cm 和 780cm的最大条约数 , 可用更相减损术求最大条约数.方法评论 : 若用代数方法求解, 则思想不太清楚, 而用更相减损术则能很快求解.【随堂操练】1.整数 143 和 65 的最大条约数为 ( )A.13B.11C.5D.92. 假如a,b是整数 , 且a b0, r mod( a, b) ,则 a 与b的最大条约数为( )A. rB.bC. b rD. b 与r的最大条约数3．计算11111232L2102值的一个流程图是（）29A．开始B．开始C．开始 D．开始S← 0S ← 0S ←0S ← 0 I← 1I← 1I← 1I← 14.用展转相除法求 85 和 51 的最大条约数时 , 需要做除法的次数为 __________5.分别用展转相除法和更相减损法求91 和 49 的最大条约数 .6.依据更相减损法的思想，设计求两个整数 a,b(a b) 的最大条约数的算法过程，并画出流程图，写出伪代码。

1.4 算法事例（ 2）【新知导读】1.关于给定的两个数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数组成新的一对数，持续上边的除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小的数就是本来两个数的最大条约数 2. 对角给定的两个数，以两数中较大的数减去较小的数，而后将差和较小的数组成一对新数，再用较大的数减去较小的数，频频直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为本来两数的最大条约数。

1.4 算法案例一、填空题1．Mod(m ，n)＝2的含义是________．【解析】 Mod(m ，n)的含义为求余数，即Mod(m ，n)的含义为m 被n 除后余2.【答案】 m 被n 除后余22．(2013·沈阳高一检测)480与288的最大公约数为________．【解析】 480＝288×1＋192，288＝192×1＋96，192＝96×2，∴480与288的最大公约数为96.【答案】 963．Int(212)＋Mod(80,3)的值为________． 【解析】 ∵Int(212)＝10,80＝26×3＋2，Mod(80,3)＝2 ∴Int(212)＋Mod(80,3)＝12. 【答案】 124．方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4＝m 2y ＋1＝m 的整数解有________组． 【解析】 方程组中的两方程相减并化简整理得：x ＋1＝23y ，当y 取3的整数倍时，x 就可以取到相应的整数，原方程组的整数解有无数组．【答案】 无数5．用二分法求方程log 2x ＝3－x 在区间[a ，b]内的一个近似解(误差不超过0.001)时，利用循环语句“Do…End Do”编写伪代码，其循环的终止条件是________．【解析】 由二分法的求解过程知终止条件是|a －b|<0.001.【答案】 |a －b|<0.0016．下面伪代码的算法目的是________．【解析】 伪代码表示的是先求x ，y 的最大公约数n ，然后再求x×y n，显然是求x ，y 的最小公倍数．【答案】 求x ，y 的最小公倍数7．下面伪代码是求1 000以内被3除余数为2，被7除余数为3的所有自然数之和，请补充完整．【解析】 被3除余数为2，被7除余数为3是本算法的约束条件，所以条件语句的判断条件为Mod(i,3)＝2 And Mod(i,7)＝3；题目要求所求自然数之和，所以为s←s ＋i.【答案】 Mod(i,3)＝2 And Mod(i,7)＝3 s←s ＋i8．已知一个班的学生人数在30至56之间，现按3人一排，多出1人；按5人一排，多出3人；按7人一排，多出1人，则该班人数为________．【解析】 设此班有m 人，问题转化为解关于x 、y 、z 的不定方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1＝m ，5y ＋3＝m ，7z ＋1＝m ，又m ∈(30,56)可知m 的值为43.【答案】 43 二、解答题9．求两个正整数8 251和6 105的最大公约数．【解】 8 251＝6 105×1＋2146，6 105＝2 146×2＋1 813，2 146＝1 813×1＋333，1 813＝333×5＋148，333＝148×2＋37，148＝37×4＋0.则37为8 251与6 105的最大公约数．10．公元5世纪末，我国古代数学家张丘建在《算经》中提出了“百鸡问题”，若将其更换为“鸡母一，值钱三，鸡翁一，值钱二，鸡雏二，值钱一，百钱买百鸡；问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”试用伪代码解决此问题．【解】 设鸡母、鸡翁、鸡雏各I 、J 、K 只．则问题转化为解不定方程：⎩⎪⎨⎪⎧3I ＋2J ＋0.5K ＝100，I ＋J ＋K ＝100， 运用循环语句让计算机实现逐一试值的过程．伪代码为：11．写出用区间二分法求方程x3－2x－3＝0在区间[1,2]内的一个近似解(误差不超过0.001)的一个算法及伪代码．【解】它的算法步骤可表示为：。

1.4 算法案例1、如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A ．34B ．55C ．78D ．892、用秦九韶算法计算多项式()654323456781f x x x x x x x =++++++当0.4x =时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是( )A.6,6B.5,6C.5,5D.6,53、三位四进制数中的最大数等于十进制数的( )A.63B.83C.189D.2524、执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )A.2B.4C.8D.165、执行下面的程序框图,如果输入的x ,t 均为2,则输出的S = ( )A.4B.5C.6D.76、执行如图所示的程序框图,输出的T =( )A.29B.44C.52D.627、我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石8、下列各数可能为五进制数的是( )A.45B.107C.3124D.789、(2)(2)101010+的值是( )A. (2)1011B. (2)1100C. (2)1101D. (2)100010、把389化为四进制数后末位为( )A.1B.2C.3D.011、下列伪代码的运行结果是__________.12、若k 进制数()123k 与38相等,则k =__________.13、用秦九韶算法计算65432()934681f x x x x x x x =++++++当3x =时的值时,需要进行__________次乘法计算和__________次加法计算.14、利用秦九韶算法求当23x =时,多项式3273511y x x x =+-+的值.(1) 1:23;S x =322:73511;S y x x x =+-+3:S 输出.y(2) 1:23;S x =322:73511;S y x x x =+-+3:S 输出.y(3) 算6次乘法和3次加法.(4) 算3次乘法和3次加法.以上描述正确的为__________.15、用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：2答案及解析：答案：A解析：由秦九韶算法知: ()654323456781f x x x x x x x =++++++()54323456781x x x x x x =++++++()4323456781x x x x x ⎡⎤⎣=++++⎦++(){}{}{}3456781x x x x x x ⎡=+++++⎣⎦+⎤∴需要做6次加法运算,6次乘法运算3答案及解析：答案：A解析：本题主要考查算法案例中进位制的原理,三位四进制数中的最大数为()4333,则21()43333434363.++⨯⨯==4答案及解析：答案：C解析：0,1k S ==;循环1122,2S k =⋅==;循环2228,3S k =⋅==;停止,输出8S =,所以答案为C.5答案及解析：答案：D解析：1k =,1221M =⨯=,235S =+=; 2k =,2222M =⨯=,257S =+=; 3k =,3t >,∴输出7S =,故选D.6答案及解析：答案：A解析：由题意可知，第一次循环，336,2,2328S n T =+===+⨯=，不满足2T S >；第二次循环，639,3,83317,1718S n T =+===+⨯=<,不满足2T S >；第三次循环，9312,4,173429,29212S n T =+===+⨯=>⨯，即满足2T S >，结束，∴29T =7答案及解析：答案：B解析：设这批米内夹谷的个数为x ,则由题意并结合简单随机抽样可知, 282541534x =,即281534169254x =⨯≈,故应选B .8答案及解析：答案：C解析：k进制的数,其各数位上的数字一定小于k,故答案为C.9答案及解析：答案：B解析：二进制数进行加法计算时,同十进制数加法类似,要逢2进1.10答案及解析：答案：A解析：用除4取余法进行计算可求出.11答案及解析：答案：12解析：此伪代码的功能是求两个正整数的最大公约数.a,b的值依次是:(120,252)→(120,132)→(120,12)→(108,12)→(96,12)→(84,12)→(72,12)→(60,12)→(48,12)→(36,12)→(24,12)→(12,12),∴输出12.12答案及解析：答案：5解析：13答案及解析：答案：6; 6解析：14答案及解析：答案：(2)(4)解析：15答案及解析：答案：可用辗转相除法:324243181=⨯+,2438130=⨯+,则324与243的最大公约数为81.又13581154=⨯+,8154127=⨯+,542720=⨯+,则81与135的最大公约数为27.所以,三个数324,243,135的最大公约数为27.也可用更相减损术:32424381-=,24381162-=,1628181-=,,则324与243的最大公约数为81. 1358154-=,815427-=,542727-=,则81与135的最大公约数为27.所以,三个数324,243,135的最大公约数为27.解析：由Ruize收集整理。

1.4 算法案例基础巩固1．高二年级两个班的学生一起排队出操，如果9人排一行，多出一个人；如果10人排一行，同样多出一个人．已知每个班人数不超过50，这两个班共有________人．解析：如果将两个班的人数减少1人，则9人一排或10人一排都正好排完没有剩余，所以两班人数减1是9和10的公倍数，又因为每个班人数不超过50，可以求出9和10的最小公倍数，然后再加上1.所以，这两个班共有9×10＋1＝91(人)．答案：912．把几十个苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个，每份4个余3个．这堆苹果至少有________个．解析：依题意知，这堆苹果总个数添进1个苹果后，正好是9，8，4的倍数．因为9，8，4的最小公倍数是9×8＝72，所以这堆苹果至少有9×8－1＝71(个)．答案：713．294和84的最大公约数为________．解析：294＝84×3＋42，84＝42×2＋0.答案：424．两个整数490和910的最小公倍数是________．解析：910＝490×1＋420，490＝420×1＋70，420＝70×6＋0.∴490与910的最大公约数是70.∴490与910的最小公倍数是：(490×910)÷70＝6 370.答案：6 3705．求方程x3－2x＝0的近似解，要先将它近似地放在某两个连续整数之间，最好应放在________之间．答案：1和26．用辗转相除法和更相减损术求80和36的最大公约数．解析：用辗转相除法：80＝36×2＋8，36＝8×4＋4，8＝4×2＋0.故80和36的最大公约数是4.用更相减损术：80－36＝44，44－36＝8，36－8＝28，28－8＝2020－8＝12，12－8＝4，8－4＝4.∴80和36的最大公约数是4.7．写出用二分法求方程x3－2x－3＝0在区间[1，2]内的一个近似根(误差不超过0.001)的一个算法伪代码．解析：算法伪代码如下： a ←1b ←2c ←0.001Dox 0←a ＋b2f (a )←a 3－2a －3f (x 0)←x 03－2x 0－3If f (x 0)＝0 Then Exit DoIf f (a )f (x 0)<0 Then b ←x 0Elsea ←x 0End IfUntil |a －b |<cEnd DoPrint x 0能力升级8．现有长度为2.4 m 和5.6 m 两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问怎样设计，才能保证正方体体积最大，且不浪费材料？解析：要焊接正方体，就是将两种规格的钢筋裁成长度相等的钢筋条，为了保证不浪费材料，应使每一种规格的钢筋裁剪后无剩余，因此裁剪的长度应是2.4和5.6的公约数，要使正方体的体积最大，亦即棱长最长，就要使正方体的棱长为2.4和5.6的最大公约数．用欧几里得辗转相除法求得2.4和5.6的最大公约数：5.6＝2.4×2＋0.8，2.4＝0.8×3＋0，即2.4和5.6的最大公约数为0.8.因此将正方体的棱长设为0.8 m时，体积最大且不浪费材料．9．(2014·武汉调考)分别用辗转相除法和更相减损术求(1)98和63；(2)8 251和6 105的最大公约数，从中你有什么发现？解析：辗转相除法是做两个数的带余除法，更相减损术是做两个数的减法．(1)用辗转相除法：S1 98＝63×1＋35，S2 63＝35×1＋28，S3 35＝28×1＋7，S4 28＝4×7.∴98和63的最大公约数是7.用更相减损术：S1 98－63＝35，S2 63－35＝28，S3 35－28＝7，S4 28－7＝21，S5 21－7＝14，S6 14－7＝7，∴98和63的最大公约数为7.(2)用辗转相除法：S1 8 251＝6 105×1＋2 146，S2 6 105＝2 146×2＋1 813，S3 2 146＝1 813×1＋333，S4 1 813＝333×5＋148，S5 333＝148×2＋37，S6 148＝37×4.∴8 251和6 105的最大公约数为37.用更相减损术：S1 8 251－6 105＝2 146，S2 6 105－2 146＝3 959，S3 3 959－2 146＝1 813，S4 2 146－1 813＝333，S5 1 813－333＝1 480，S6 1 480－333＝1 147，S7 1 147－333＝814，S8 814－333＝481，S9 481－333＝148，S10 333－148＝185，S11 185－148＝37，S12 148－37＝111，S13 111－37＝74，S14 74－37＝37，∴8 251和6 105的最大公约数为37.发现：辗转相除法和更相减损术在本质上是一致的，但在实际操作中，用辗转相除法比用更相减损术的计算步骤要少，但计算量相对较大，因而二者各有千秋．10．用辗转相除法或更相减损术求三个数135，243，324的最大公约数．解析：方法一(辗转相除法)：∵324＝243×1＋81，243＝81×3＋0，∴324与243的最大公约数为81.又∵135＝81×1＋54，81＝54×1＋27，54＝27×2＋0，∴81与135的最大公约数为27.∴三个数135，243，324的最大公约数为27.方法二(更相减损术)：∵324－243＝81，243－81＝162，162－81＝81；135－81＝54，81－54＝27，54－27＝27.∴三个数135，243，324的最大公约数为27.11．有甲、乙、丙三种溶液，分别重416 kg 、334 kg 、229kg.现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同．问每瓶最多装多少？解析：416＝256＝15036；334＝154＝13536；229＝209＝8036；15036－13536＝1536；13536－1536＝12036；12036－1536＝10536；10536－1536＝9036；9036－1536＝7536；7536－1536＝6036；6036－1536＝4536；4536－1536＝3036；3036－1536＝1536； 即416、334的最大公约数是1536. 8036－1536＝6536；6536－1536＝5036；5036－1536＝3536；3536－1536＝2036；2036－1536＝536；1536－536＝1036；1036－536＝536. 即416、334、229的最大公约数是536. 因此每瓶最多装536kg.12．甲、乙、丙三种溶液分别重147 g 、343 g 、133 g ，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同，问每瓶最多装多少？解析：由题意，每个小瓶应装的溶液的重量是三种溶液重量的最大公约数．先求147与343的最大公约数：343＝147×2＋49，147＝49×3＋0.所以147与343的最大公约数是49.再求49与133的最大公约数：133＝49×2＋35，49＝35×1＋14，35＝14×2＋7，14＝7×2＋0.所以147，343，133的最大公约数是7.因此每瓶最多装7 g.13．相传一片远古森林栖息着凤凰，麒麟和九头鸟，凤凰有1个头，2只脚，麒麟有1个头，4只脚，九头鸟有9个头，2只脚，它们这3种动物的头共有100个，脚共有100只．问森林中3种动物各有多少只？试设计一个算法并写出伪代码．解析：设森林中有凤凰x只，麒麟y只，九头鸟z只．本题的关键是如何考虑x、y、z 三个变量之间的关系．由题意可知算法如下：S1 当凤凰x＝1时，变量麒麟y的取值可以从1到24；S2 让变量y从1开始取值(例如：y的值为1)；S3 通过表达式(100－x－y)/9，计算z的值；S4 完成上述步骤后，x、y、z三个变量都取到了自己相应的值，但是这三个值是否是正确的呢？我们必须通过以下的两个条件来判断：x＋y＋9z＝100且2x＋4y＋2z＝100；S5 如果两个条件全部满足，就输出x、y、z的值，如果不满足，就让y值加1，然后重复S2到S4，直至y的取值超过24.然后让x的取值加1后，重复S1到S5的操作，直至x的取值超过50为止，此时退出算法．伪代码如下：For x From 1 To 50For y From 1 To 24z←(100－x－y)/9If 2x＋4y＋2z＝100 Andx＋y＋9z＝100 ThenPrint x，y，zEnd IfEnd ForEnd For14．古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有这样一首诗：这里是一座古墓，里面安葬着丢番图．“请你告诉我，丢番图寿数几何？”“他的童年占去一生的六分之一，接着十二分之一是少年时期，又过了七分之一的时光，他找到了终身伴侣．五年之后，婚姻之神赐给他一个儿子．可是儿子命运不济，只活到父亲寿数的一半，就匆匆而去．这对父亲是一个沉重的打击．整整四年，为失去爱子而悲伤，终于告别数学，离开人世．”试写出其算法分析及流程图与伪代码．解析：可设丢番图的寿数为x ，则x 为正整数，并且依题意可有 16x ＋112x ＋17x ＋5＋12x ＋4＝x .其算法为：S1 x ←1.S2 判断16x ＋112x ＋17x ＋5＋12x ＋4＝x 是否成立．如果成立，则输出x ，转至S3；如果不成立，则x ←x ＋1，转S2.S3 结束．其流程图与相应的伪代码如下．x ←1If x /6＋x /12＋x /7＋5＋x /2＋4＝x ThenPrint xElsex ←x ＋1End If。

问题1：如何求12与20的最大公约数？ 提示：短除法．一般情况下数字不应过大．问题2：若求6 750与3 492的最大公约数，上述方法还奏效吗？ 提示：数值很大时短除法不方便用．问题3：对于问题1中12与20的最大公约数是4.若用20除以12余8，再用8去除12余4，再用4去除8余数为0，也可求得最大公约数为4.若对较大两数可否用此法求公约数？提示：可以．1．孙子问题(1)问题名称：人们将“韩信点兵——孙子问题”这种问题的通用解法称为“孙子剩余定理”或“中国剩余定理”．(2)问题思想：“孙子问题”相当于求关于x ，y ，z 的不定方程组⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3x ＋2m ＝5y ＋3的正整数解.m ＝7z ＋22．欧几里得辗转相除法(1)含义：公元前3世纪，欧几里得在《原本》第七篇中介绍了求两个正整数a ，b (a ＞b )的最大公约数的方法，这种方法称为“欧几里得辗转相除法”．(2)步骤：计算出a ÷b 的余数r ，若r ＝0，则b 即为a ，b 的最大公约数；若r ≠0，则把前面的除数b 作为新的被除数，把余数r 作为新的除数，继续运算，直到余数为0，此时的除数即为a ，b 的最大公约数．3．两个常用函数(1)Mod(a ，b )表示a 除以b 所得的余数． (2)Int(x )表示不超过x 的最大整数．1．由除法和减法的性质可知，对于任意两个正整数，辗转相除法或更相减损术总可以在有限步之后完成，故总能用这两种方法求出任意两个正整数的最大公约数．2．辗转相除法的理论依据是：由a＝nb＋r⇒r＝a－nb得a、b与b、r有相同的公约数．[例1] 有3个连续的正整数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，画出求满足要求的一组三个连续正整数的流程图，并写出伪代码．[思路点拨] 设这三个数分别为m，m＋1，m＋2，则m满足的条件是Mod(m,15)＝0且Mod(m ＋1,17)＝0且Mod(m＋2,19)＝0.[精解详析] 流程图：伪代码：m←2While Mod(m,15)≠0orMod(m＋1,17)≠0orMod(m＋2,19)≠0m←m＋1End WhilePrint m，m＋1，m＋2[一点通]解决此类问题的方法就是从m＝2开始，对每一个正整数逐一检验，当m满足所有已知条件时，结束循环，输出m.1．如图所示的流程图，输出的结果是________．解析：m ＝10时，不满足条件，则m ←10＋7.m ＝17时，Mod(m,3)＝2且Mod(m,5)＝2成立，故输出17. 答案：172．下面一段伪代码的功能是________．m ←2While Mod(m,2)≠1 orMod(m,3)≠2 or Mod(m,5)≠3m ←m ＋1End While Print m解析：由代码含义可知，m 满足的条件是除以2余1，除以3余2，除以5余3，又m 逐个增大，故输出的m 是满足条件的最小正整数．答案：求关于x 、y 、z 的不定方程组⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2x ＋1m ＝3y ＋2m ＝5z ＋3的最小正整数解[例2] 设计用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数的算法，并画出流程图，写出伪代码．[思路点拨] 按照辗转相除法的步骤设计算法、画流程图，根据流程图，写出伪代码． [精解详析] 算法如下S1 a←8 251；S2 b←6 105；S3 如果Mod(a，b)≠0，那么转S4，否则转S7；S4 r←Mod(a，b)；S5 a←b；S6 b←r，转S3；S7 输出b.流程图与伪代码：a←8 251b←6 105While Mod(a，b)≠0r←Mod(a，b)a←bb←rEnd WhilePrint b[一点通] 辗转相除法是当大数被小数除尽时，结束除法运算，较小的数就是最大公约数．3．下图表示的流程图，输出的结果是________．解析：第一次执行循环体：r＝34，a＝119，b＝34，第二次执行循环体r＝17，a＝34，b＝17.第三次执行循环体r＝0，输出b＝17.答案：174．求三个数168,56,264的最大公约数．解：先求168与56的最大公约数．∵168＝56×3，故168与56的最大公约数是56.再求56与264的最大公约数．∵264＝56×4＋40，56＝40×1＋16，40＝16×2＋8，16＝8×2.故56与264的最大公约数是8.因此168,56,264的最大公约数是8.[例3] (12分)设计用二分法求方程x3－2＝0在区间[1,2]内的近似解(误差不超过0.005)的流程图，写出伪代码．[思路点拨] 根据二分法求方程近似解的步骤画出流程图，然后根据流程图写出算法伪代码．[精解详析] 流程图如图：(6分)伪代码如下：a ←1b ←2c ←0.005Do x 0←2a b＋ f a ←a 3－2f x 0←30x －2If f x 0＝0 ThenExit DoIf f a f x 0<0Thenb ←x 0Elsea ←x 0End If Until |a －b |<c End Do Print x 0(12分)[一点通] 针对这个类型的题目书写伪代码时一定要注意伪代码的具体格式，另外循环语句中一定包含有条件结构的语句．求高次方程近似解时，一定要给出精确度．5．下面的流程图表示的算法的功能是________．答案：用二分法求方程x2－3x＋1＝0在区间[0,1]内的一个近似解(误差不超过0.001) 6．写出用区间二分法求方程x3－2x－3＝0在区间[1,2]内的一个近似解(误差不超过0.001)的算法伪代码，并画出流程图．解：该问题的流程图如图所示．伪代码：Read a ，b ，c Dox 0←a ＋b 2f (a )←a 3－2a －3 f (x 0)←x 30－2x 0－3If f (x 0)＝0 Then Exit DoIf f (a )×f (x 0)＜0Thenb ←x 0 Else a ←x 0 End If Until |a －b |＜c End Do Print x 01．用辗转相除法求两个数最大公约数的操作过程是先用较大的数除以较小的数，得商和余数，再用除数除以余数，重复操作，直到余数为零．这时小数就是要求的最大公约数，终止循环的条件是余数为零．2．用二分法求方程的近似解就是逐步把“解”所在的区间缩短，直到求出近似解或方程的解所在的区间长度小于误差为止．课下能力提升(七)一、填空题1．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是________． 解析：294＝84×3＋42，84＝42×2， 故需要做2次． 答案：22．下列伪代码运行的一个结果是________．m ←2While Mod(m,4)≠2 orMod(m,5)≠3 or Mod(m,7)≠3m ←m ＋1End While Print m解析：此伪代码的功能是求⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4x ＋2，m ＝5x ＋3，m ＝7x ＋3的最小正整数∴m ＝38. 答案： 383．如图所示的流程图，输出的结果是________．解析：由86>68得a ＝18，b ＝68，由68>18得b ＝50，a ＝18；由50>18得b ＝32，a ＝18；由32>18得b ＝14，a ＝18；由18>14得a ＝4，b ＝14；由14>4得b ＝10，a ＝4；由10>4得b ＝6，a ＝4；由6>4得b ＝2，a ＝4；由4>2得a ＝2，b ＝2.满足a ＝b ，输出2.答案：24．84和32的最小公倍数是________． 解析：先求84和32的最大公约数． 84＝32×2＋20 32＝20＋12 20＝12＋812＝8＋48＝4×2.故84和32的最大公约数是4.所以84和32的最小公倍数为84×32÷4＝672.答案：6725．下列伪代码的运行结果是________．a←120b←252While a≠bIf a＞ba←a－bElseb←b－aEnd IfEnd WhilePrint a解析：此伪代码的功能是求两个正整数的最大公约数．a，b的值依次是：(120,252)→(120,132)→(120,12)→(108,12)→(96,12)→(84,12)→(72,12)→(60,12)→( 48,12)→(36，12)→(24,12)→(12,12)，∴输出12.答案：12二、解答题6．已知如图所示的流程图(其中的m、n为正整数)：(1)这个算法的功能是什么？(2)当m＝286，n＝91时，运行的结果是什么？解：(1)这个算法的功能是用辗转相除法求两个正整数的最大公约数．(2)∵286＝91×3＋13,91＝13×7，∴286与91的最大公约数是13.故运行结果为13.7．试写出用二分法求方程x3＋x2－1＝0在[0,1]上的近似解的伪代码(精确度为0.01)．解：伪代码如下：a←0b←1ε←0.01Dox0←(a＋b)/2f(a)←a3＋a2－1f(x0)←x30＋x20－1If f(x0)＝0 Then Exit DoIf f(a)f(x0)>0 Thena←x0Elseb←x0End IfUntil |a－b|<εEnd DoPrint x08．有一堆围棋子，5个5个地数余2,7个7个地数余3,9个9个地数余4，请画出求这堆围棋子共有多少个的流程图，并写出伪代码．解：流程图：伪代码：m←2While Mod(m,5)≠2orMod(m,7)≠3orMod(m,9)≠4m←m＋1End WhilePrint m。

高中数学第一章算法初步1.4 算法案例（1）教案苏教版必修3 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章算法初步1.4 算法案例（1）教案苏教版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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4 算法案例（1）教学目标：1．理解不定方程的算法中蕴含的数学原理,并能根据这些原理进行2．理解不定方程的算法的方法与步骤．3．能根据算法语句与伪代码语句的知识设计完整的流程图并写出伪代码语句算法程序．4．使学生初步掌握不定方程的算法设计和列举法的基本思想．教学重点：解不定方程的基本思想及其流程图的设计．教学难点：解不定方程的流程图设计．教学方法：1．通过讲解中国古代的一个有趣的故事的方法引入新知识，可以使学生容易接受，易于激发学生的求知欲．2．教学中利用探索性教学法,可以加深学生对不定方程的算法的理解，有利于培养学生的理性思维和实践能力．3．通过本节课的学习，使学生进一步体会观察、比较、归纳、分析等一般科学方法的运用．教学过程：一、问题情境情境：韩信是秦末汉初的著名军事家．据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么方法,不要逐个报数，就能知道场上的士兵的人数．韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2个人多余；接着立即下令将队形改为5列纵队，这一改,又多出3人;随后他又下令改为7列纵队,这次又剩下2人无法成整行．在场的人都哈哈大笑，以为韩信不能清点出准确的人数，不料笑声刚落，韩信高声报告共有士兵2333人．众人听了一愣，不知道韩信用什么方法这么快就能得出正确的结果的．同学们，你知道吗？二、学生活动1．同学们想一想，韩信是如何得出正确的人数的?2．类似的问题最早出现在我国的《算经十书》之一的《孙子算经》中原文是：“今有物,不知其数,三三数之，剩二，五五数之,剩三，七七数之，剩二，问物几何？答曰：「二十三」"3．孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之後,以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理．中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位；4．该问题的完整的表述，后来经过宋朝数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”．在中国还流传着这么一首歌诀：三人同行七十稀,五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知．它的意思是说：将某数（正整数）除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加,并逐次减去105，减到差小于105为止．所得结果就是某数的最小正整数值．用上面的歌诀来算《孙子算经》中的问题，便得到算式：2×70＋3×21＋2×15＝233，233－105×2＝23,即所求物品最少是23件．三、建构教学“孙子问题"相当于求关于,,x y z 的不定方程组的325372m x m y m z =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩的正整数解；设所求的数为m ,根据题意m 应该同时满足下列三个条件：①m 被3除后余2，即mod(,3)2m =；②m 被5除后余3,即mod(,5)3m =；③m 被7除后余2，即mod(,7)2m =;用自然语言可以将算法写为：1S 1m ←2S 1m m ←+3S 如果mod(,3)2m =且mod(,5)3m =且mod(,7)2m =则执行4S ，否则执行2S ;4S 输出m伪代码:1m ←DO1m m ←+Loop Until mod(,3)2m =且mod(,5)3m =且mod(,7)2m =Print m流程图为：四、数学运用例题有3个连续的自然数,其中最小的能被15整除，中间的能被17整除,最大的能被19整除,求满足要求的一组三个连续的自然数．伪代码：m¬ 2While Mod (m，15）=0or Mod (m+1,17)=0or Mod (m+2，19）=0m¬m＋1End WhilePrint m， m+1, m+2思考：以下伪代码是否可行？k¬1a¬15kWhile Mod（a＋1，17）≠0 orMod(a＋2，19）≠0k¬k＋1a¬15kEnd WhilePrint a,a＋1,a＋2五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．中国数学在世界数学史上的巨大贡献；2．实际问题的分析和解决问题过程；3．算法的表示及语句的运用．。

1.4 算法事例（ 3）【新知】1.二分法的理依照是什么 ?【典范点睛】例 1：已知函数y x2和 y2x(1) 由函数像研究两函数像交点的个数;(2) 利用二分法求出(-1,0)上的2x x20 的解 x 的算法(差C)思路点 : 由函数像可知两函数交点个数两个。

方法点：对于二分法，在前方循构中已知解了。

【外接】(美索不达米人的开方算法)求正数 a 的平方根算法以下:1.确立平方根的初次近似: a1 { a能够任取一个正数 };2.由方程 b1a求出 b1; a13.取两者的算均匀a2a1b1第二次近似 ; 24.由方程 b2a求出 b2; a25.取算均匀 a3a2b2作第三次近似 ;2⋯⋯频频行上述步, 直到取足精准度的近似.你能用循构来描绘个算法, 画出相的流程?1?思路点 : 算法原理: x a2, 并a1是个根的初次近似. 由方程表示所求的平方根a22a ,反之亦然.接着,再取两者的算均匀 a2a1b1,b1求出 b1,若 a1 a , b12 a1个近似更靠近所求的平方根.【随堂演】1. 函数f ( x)3x 16 在区[3,5]上()A. 没有根B.有一根C.有两根D.有无数根2.已知 f ( x) 的图像是连续不停的, x 与 f ( x) 的对应值以下表所示:则函数 f x 必定存在根的区间有()A.[1,2] 和 [2,3]B.[2,3]和 [3,4]C.[2,3]和 [4,5]D.[3,4]和 [4,5]3.方程 x 22mx 1 0 有且仅有一根在(0,1) 内, 则实数m的取值范围是 _______4.若 3a0.168, a k, k 1, 则整数k______5.设计算法的程序框图，求方程x 34x 100 在区间 [ 0,2] 内的解.（精准到0.0005）1.4 算法事例（ 3）【新知导读】1. f(x)在区间[a,b]内连续且知足f(a)f(b)<0，那么方程f(x)=0在(a,b)内起码有一个解【随堂操练】1.A2.B3.m>14.35.依据二分法的性质计算即可。

1.4 算法案例第1课时重点难点重点：通过案例分析，体会算法思想，熟练算法设计，进一步理解算法的基本思想，发展有条理的思考和表达能力，提高逻辑思维能力。

难点：在分析案例的过程中设计规范合理的算法学习要求1．理解剩余定理的内涵2．能利用剩余定理解决“韩信点兵—孙子问题”【课堂互动】历史背景：韩信是秦末汉初的著名军事家，据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么办法，不要逐个报数，就能知道场上士兵的人数。

韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2人多余；接着他立刻下令将队形改为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这一次又剩下2人无法成整行。

韩信看此情形，立刻报告共有士兵2 333人。

众人都愣了，不知韩信用什么办法清点出准确人数的。

这个故事是否属实，已无从查考，但这个故事却引出一个著名的数学问题，即闻名世界的“孙子问题”。

这种神机妙算，最早出现在我国《算经十书》之一的《孙子算经》中，原文是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三。

” 所以人们将这种问题的通用解法称为“孙子剩余定理”。

【分析】“孙子问题”相当于求关于x ，y ，z 的不定方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=273523z m y m x m 的正整数解。

根据题意，m 应该满足三个条件：（1）m 被3除后余2，即 2)3,(=m Mod（2）m 被5除后余3，即3)5,(=m Mod（3）m 被7除后余2，即2)7,(=m Mod在自然数中可能存在满足条件的数，首先让m=2开始检验条件，若三个条件中有任何一个不满足，则检验下一个数，即m 递增1，如此循环下去，一直到m 满足三个条件为止。

这种解决问题的方法也称为“穷举法”，这种方法在利用计算机解决问题时非常有效，因为计算机最擅长重复机械的操作。

【流程图】【思考】上述算法只能求出最小的满足条件的数，如果要求出10个满足条件的数，程序要做何修改？你能否用数学上最小公倍数的知识分析出解决该问题的方法吗？可以这样考虑：5和7的公倍数中能被3除余2的最小的公倍数是35；3和7的公倍数中能被5除余3的最小的公倍数是63；3和5的公倍数中能被7除余2的最小的公倍数是30；因此满足条件的其中的一个数就应是35+63+30，为128，若减去3,5,7的最小公倍数105得23，23就是满足题目要求的最小的数。

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1。

4 算法案例3．会用二分法求方程的近似解。

1．孙子剩余定理“韩信点兵—孙子问题"的算法最早出现在我国《算经十书》之一的《孙子算经》中．原文是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何?答曰：二十三．”自从《孙子算经》中提出这个“物不知数”问题之后，它便引起了人们很大的兴趣．南宋数学家秦九韶对此加以推广，又发现了一种新的解法，叫“大衍求一术”．这种解法后来传入欧洲，欧洲学者发现此解法和高斯的解法本质上是一致的，但比高斯早了500余年．所以,人们将这种问题的通用解法称为“孙子剩余定理”或“中国剩余定理”．预习交流1孙子剩余定理的实质是什么问题？ 提示：孙子剩余定理一般解决的是求总数问题，其实质就是利用求余的方法求不定方程（组)的整数解问题．2辗转相除法与更相减损术有何区别与联系？提示：它们虽然来源于西、东方古代数学名著，但二者的算理却是相似的,都突出了“辗转"两字．两者的主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减．它们的步骤虽略有不同，但理论是一致的，都是一个不断地递推过程，两法相比，更相减损术思路更简单,计算更容易．预习交流3(1)下列说法中正确的个数为__________．①辗转相除法也叫欧几里得辗转相除法;②辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数;③求最大公约数的方法，除辗转相除法之外,没有其他方法；④编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．（2)372与684的最大公约数是__________．(3)用辗转相除法求两个正整数a，b（a＞b）的最大公约数时，得到表达式a＝nb＋r(n∈N)，这里r的取值范围是__________．提示：(1)3 （2)12 （3）0≤r＜b一、孙子剩余定理的理解及应用有3个连续的自然数，其中最小的能被15整除,中间的能被17整除，最大的能被19整除，求满足要求的一组3个连续的自然数，画出流程图,并用伪代码表示算法．思路分析：本题其实就是求关于x，y，z的不定方程组错误!的正整数解．解：流程图如图所示：伪代码如下:1．下列各式中正确的个数是________．①Mod(3，2)＝2;②Mod（3,2)＝1；③Mod(2，3)＝1；④Mod（105，7）＝0；⑤Mod（8，3)＝2。

2017-201８学年高中数学第１章算法初步1.4 算法案例教学案苏教版必修3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2017-20１8学年高中数学第１章算法初步 1.4 算法案例教学案苏教版必修３)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.４算法案例问题1：如何求１２与20的最大公约数?提示:短除法．一般情况下数字不应过大.问题2:若求6 750与3 49２的最大公约数,上述方法还奏效吗？提示：数值很大时短除法不方便用．问题3：对于问题1中12与20的最大公约数是4。

若用20除以12余8,再用８去除12余4,再用4去除8余数为0，也可求得最大公约数为4。

若对较大两数可否用此法求公约数?提示:可以.1.孙子问题(1）问题名称:人们将“韩信点兵--孙子问题”这种问题的通用解法称为“孙子剩余定理"或“中国剩余定理”.(2)问题思想:“孙子问题"相当于求关于ｘ,y，z的不定方程组错误!2．欧几里得辗转相除法（1）含义：公元前3世纪,欧几里得在《原本》第七篇中介绍了求两个正整数a,ｂ(a>b)的最大公约数的方法，这种方法称为“欧几里得辗转相除法”.（2)步骤:计算出a÷b的余数ｒ，若r=0，则b即为a，ｂ的最大公约数；若r≠0，则把前面的除数b作为新的被除数,把余数r作为新的除数，继续运算，直到余数为0,此时的除数即为a,ｂ的最大公约数．3.两个常用函数（1)Mod(a，b)表示ａ除以b所得的余数．(２)Ｉnt（ｘ)表示不超过x的最大整数.1.由除法和减法的性质可知,对于任意两个正整数，辗转相除法或更相减损术总可以在有限步之后完成,故总能用这两种方法求出任意两个正整数的最大公约数．2．辗转相除法的理论依据是:由a=nb+r⇒r=ａ-ｎb得ａ、b与b、r有相同的公约数．[例1] 有３个连续的正整数,其中最小的能被1５整除,中间的能被17整除,最大的能被19整除,画出求满足要求的一组三个连续正整数的流程图,并写出伪代码．[思路点拨] 设这三个数分别为ｍ，m+1,m+２,则m满足的条件是Moｄ（ｍ，１5）=０且Ｍｏd（m＋1，17)＝0且Mod(m+２,１9)＝0。