河北省张家口市宣化区宣化第一中学2021届高三上学期阶段测数学试卷(一)含答案

数学试卷一､选择题1. 全集U =R ，{}2019|log (1)A x y x ==-，{}2|48B y y x x ==++，则()U AC B =（ ） A. ()1,2 B. (]1,2C. [)1,2D. []1,2【答案】A 【解析】 【分析】分别解出集合A 和B ，再结合交集的概念和补集的概念得到结果. 【详解】{}{}22|48|(2)42B y y x x y y x ==++==++≥{}|2U C B y y =<，{}{}2019|log (1)|1A x y x x x ==-=> ()()1,2.U AC B =故答案为A.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的概念，属于基础题. 2. 已知复数z 满足(1＋2i )z ＝－3＋4i ，则|z |＝（ ） A. 2B. 5C.5D.52【答案】C 【解析】 【分析】利用复数模的运算性质及其计算公式即可得出. 【详解】∵(1＋2i)z ＝－3＋4i ， ∴|1＋2i|·|z |＝|－3＋4i|， 则|z |＝2222(3)412-++＝5.故选：C.【点睛】本题主要考查的是复数的四则运算，以及复数模的求法，是基础题.3. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与直线3y x =重合，且sin 0α<，又()P m n ,是角α终边上一点，且10OP =(O 为坐标原点)，则m n -等于（ ）A. 2B. 2-C. 4D. 4-【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得0,3m n m <=，根据10OP =，求得,m n 的值，即可求解m n -得值，得到答案. 【详解】由题意，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与直线3y x =重合， 且sin 0α<，所以α为第三象限角.又()P m n ,是角α终边上一点，所以0,3m n m <=， 再根据2210(3)10OP m m m ==+=（O 为坐标原点）， 所以1,3m n =-=-，则2m n -=， 故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及其应用，其中解答熟练应用三角函数的定义，列出方程求得m 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4. 已知等比数列{}n a 中，2854a a a ⋅=，等差数列{}n b 中，465b b a +=，则数列{}n b 的前9项和9S 等于（ ） A. 9 B. 18 C. 36 D. 72【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得2825a a a ⋅=，求得54a =，得到464b b +=，再由等差数列的前n 项和，即可求解，得到答案.【详解】在等比数列{}n a 中，满足2854a a a ⋅=，由等比数列的性质可得2825a a a ⋅=，即2554a a ⋅=，所以54a =，又由465b b a +=，所以464b b += 所以数列{}n b 的前9项和194699()9()9418222b b b b S ++⨯====， 故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5. 已知()ln f x x =，217()(0)22g x x mx m =++<，直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ，则m 的值为( ) A. 2- B. 3- C. 4- D. 1-【答案】A 【解析】 【分析】先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果. 【详解】1()f x x'=， 直线l 是函数()f x lnx =的图象在点(1,0)处的切线，∴其斜率为k f ='（1）1=，∴直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图象相切，∴211722y x y x mx =-⎧⎪⎨=++⎪⎩，消去y ，可得219(1)022x m x +-+=，得△2(1)902(4m m m =--=⇒=-=不合题意，舍去）， 故选A【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6. 在[6,9]-内任取一个实数m ，设2()f x x mx m =-++，则函数()f x 的图象与x 轴有公共点的概率等于（ ） A.215B.715C.35D.1115【答案】D 【解析】()2f x x mx m =-++的图象与x 轴有公共点，240,4m m m ∴∆=+>∴<-或0,m >∴在[]6,9-内取一个实数m ，函数()f x 的图象与x 轴有公共点的概率等于()()4690119615-++-=+，故选D.7. 已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A. －16 B. －6C. -83D. 6【答案】B 【解析】【详解】由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3z ，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.8. 设向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=1,12a b ⋅=-,0,60a c b c --=,则|c |的最大值等于（ ） A. 1 B.2C.3D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据,a b 的模，和12a b ⋅=-，可求得,a b 两个向量的夹角为120，结合,60a c b c --=，作出图象，由图象可求得c 的最大值为2.【详解】由于11,cos θcos θ2a b a b a b ==⋅=⋅⋅==-，故,a b 两个向量的夹角为120，结合,60a c b c --=，画出图象如下图所示.111,,O A a O B b OC c ===，四边形对角互补的话，该四边形是圆的内接四边形，故当1O C 为直径时，c 取得最大值.由于直径所对的角为直角，故122OC O A ==，即c 取得最大值为2.故选D .【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，考查圆的内接四边形对角互补等知识.在思考本题的时，先根据两个向量的模和数量积的结果，求得,a b 两个向量的夹角，这个时候可以画出对应的图象，注意到,CA CB的夹角为60，故1O ABC为圆的内接四边形，可知当1O C为直径时，长度最长.9. 已知函数21,2()3, 2.1x xf xxx⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩若方程()0f x a-=有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A. (0,1)B. (0,2)C. (0,3)D. (1,3)【答案】A【解析】【分析】根据函数()f x的解析式，作出函数()f x的图象，方程()0f x a-=有三个不同的实数根即为函数()y f x=的图象与y a=的图象有三个不同的交点，结合函数的图象即可求得实数a的取值范围.【详解】21,2 ()3,21x xf xxx⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，∴图象如图：方程()0f x a -=有三个不同的实数根即为函数()y f x =的图象与y a =的图象有三个不同的交点，由图象可知：a 的取值范围为(0,1). 故选：A【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，考查了分段函数的图象，函数与方程的关系，考查了数形结合与转化化归的思想.10. 已知数列{a n }的首项a 1＝3，前n 项和为S n ，a n +1＝2S n +3，n ∈N *，设b n ＝log 3a n ，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n 的范围（ ） A. 1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 13,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 13,44⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得n a ，求得1()3n n n b n a =⋅，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得n T ，判断{}n T 为递增数列，可得所求范围． 【详解】解：首项13a =，前n 项和为n S ，*123,n n a S n +=+∈N ， 可得21123239a S a =+=+=，2n 时，123n n a S -=+，又123n n a S +=+，两式相减可得11222n n n n n a a S S a +--=-=， 则13n n a a +=， 可得23n a a =23n n -=， 上式对1n =也成立，则3nn a =，*n N ∈，33log log 3n n b a ==n n =，1()3n n n b n a =， 则前n 项和1111123()39273nn T n =⋅+⋅+⋅+⋯+⋅，111111123()3927813n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅， 相减可得1211111()()3392733n n n T n +=+++⋯+-⋅ 111(1)133()1313n n n +-=-⋅-，化简可得323443n nn T +=-⋅， 由111325323104434433n n n n n n n n T T ++++++-=--+=>⋅⋅，可得{}n T 为递增数列， 可得113n T T =，而23043n n +-<⋅，可得34nT <， 综上可得1334n T <， 故选：C ．【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查数列的错位相减法求和，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．11. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，设函数()f x 的导函数为()'f x ，若对任意0x >都有2()()0f x xf x '+>成立，则（ ）．A. 4(2)9(3)f f -<B. 4(2)9(3)f f ->C. 2(3)3(2)f f >-D. 3(3)2(2)f f -<-【答案】A 【解析】设()()()()()()()()22'2'20g x x f x g x xf x x f x x f x xf x g x ⎡⎤=⇒=+=+>⇒⎣⎦' 在[)0,+∞上是增函数，易得()g x 是偶函数()()()()()4222393f g g g f ⇒-=-=<=，故选A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数与方程、函数与不等式、导数的应用，涉及函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先()()()()()()()()22'2'20x x f x g x xf x x f x x f x xf x g x ⎡⎤=⇒=+=+>⇒⎣⎦' 在[)0,+∞ 上是增函数，易得()g x 是偶函数()()()()()4222393f g g g f ⇒-=-=<=，故选A.12. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，,A B 是圆222()4x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（ ）A.273+ B.473+ C.3174+ D.5174+ 【答案】C 【解析】连接12,BF AF ,由双曲线的定义可得:212AF AF a -=, 122BF BF a -=,由112BF AF c ==,可得2222,22AF a c BF c a =+=-,在12AF F ∆中,可得()2222212244222cos 2?2?22c c a c c ac a AF F c cc+-+--∠==,在12BF F ∆中,可得()()222214224cos 2?2?222c c a c c aBF F c c a c+---∠==-,由12//F A F B ，可得2112BF F AF F π∠+∠=,即有2112cos cos 0BF F AF F ∠+∠=,可得22222c ac a c --+02c ac -=,化为22230c ac a --=,得22310e e --=,解得e =3174+ ,负值舍去,故选C. 点睛:本题考查双曲线的定义与离心率,属于中档题目.解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题,其关键是确立一个关于,,a b c 的方程或者不等式,再根据,,a b c 的等量关系消掉b 得到,a c 的关系式即可,建立方程或者不等式,要充分利用椭圆或双曲线的几何性质,点的坐标的范围等.二､填空题13. 已知样本122019,,,x x x 的平均数和方差分别是1和4，若(1,22019)i i y a x b i =+=的平均数和方差也是1和4，则b a =__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据平均数与方差的线性变换先去计算a b 、的值，然后计算b a 的值. 【详解】因为122019,,,x x x 的平均数为1，所以(1,22019)i i y a x b i =+=的平均数为11a b ⨯+=；因为122019,,,x x x 的方差为4，所以(1,22019)i i y a x b i =+=的方差为244a =；所以211a ab ⎧=⎨+=⎩，解得：10a b =⎧⎨=⎩或12a b =-⎧⎨=⎩，所以1b a =. 【点睛】本题考查平均数与方差的线性变换，难度一般.已知12,,,n x x x 的平均数与方差为：A B 、，那么 (1,2)i i y a x b i n =+=的平均数与方差为：2aA b a B +、.14. 设函数()()sin (0)122f x x ππωϕωϕ=+>-<<，，给出以下四个论断：①()f x 的周期为π； ②()f x 在区间06π⎛⎫-⎪⎝⎭，上是增函数； ③()f x 的图象关于点03π⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ④()f x 的图象关于直线12x π=对称.以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______⇒______(只需将命题的序号填在横线上). 【答案】 (1). ①④ (2). ②③ 【解析】 【分析】若②论断作为条件是不确定性与其它三个论断中的任意一个作为条件无法得出,ωϕ的值；若以③④论断作为条件，无法确定周期，所以只可能①④或①③作为条件，分别求出,ωϕ，再验证两个论断是否成立.【详解】解：依题意②论断是不确定性不能作为条件， 若以③④论断作为条件，无法确定周期， 所以只可能①④或①③作为条件， 若①④作为条件：由①()f x 的周期为π，则2ω=，函数()()sin 2f x x ϕ=+. 又由()f x 的图象关于直线12x π=对称，则2,,1223k k k Z πππϕπϕπ⨯+=+=+∈，又122ππϕ-<<，3πϕ∴=此时，()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 若0,2(0,)633x x πππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭，，此时()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭单调递增，即②成立； 当3x π=时，2sin 0333f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 函数()f x 的图象关于点03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，即③成立；；故由①④⇒②③成立； 若①③作为条件：由①()f x 的周期为π，则2ω=，函数()()sin 2f x x ϕ=+，又由③得图象关于点03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称， 22,,,33k k k Z πϕπϕππ+==-∈又122ππϕ-<<，3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 若0,2(0,)633x x πππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭，，此时()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭单调递增，即②成立； 当12x π=时，sin 11263f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，即④成立；所以①③⇒②④；故答案为：①④⇒②③；或 ①③⇒②④.【点睛】本题考查正弦函数的对称性，三角函数的周期性与求法，确定出函数的解析式，是解题的关键，属于中档题.15. 已知椭圆221112211:1(0,0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点12F F 、，P 点是曲线1C 与2C 的一个公共点，12,e e 分别是1C 和2C 的离心率，若12PF PF ⊥，则22124e e +的最小值为__________．【答案】92【解析】 【分析】设焦距为2c ，椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，令P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义求得22212222a a c +=，由此可求得22124e e +的最小值，得到答案.【详解】由题意，设焦距为2c ，椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ， 令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得1222-=PF PF a ，由椭圆的定义可得1212+=PF PF a ， 两式平方相加，可得2222121222PF PF a a +=+ 又由12PF PF ⊥，则222124PF PF c +=，所以22212224a a c +=，所以222222222222121221211222222222121212124()224555942222222a a a a a a a a c c e e a a a a a a a a +++=+=+=++≥+⋅=+=，当且仅当122a a =时等号成立，所以22124e e +的最小值为92. 【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的离心率的最值问题，其中解答中熟练应用椭圆的定义，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 16. 已知三棱锥P ABC-的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足6BA BC ==，2ABC π∠=，若该三棱锥体积的最大值为3．则其外接球的体积为________.【答案】323π【解析】 【分析】画出示意图，利用体积最大时P 所处的位置，计算出球的半径从而算出球的体积. 【详解】如图所示：设球心为O ，ABC 所在圆面的圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ；因为6BA BC ==，2ABC π∠=，所以ABC 是等腰直角三角形，所以1O 是AC 中点；所以当三棱锥体积最大时，P为射线1O O 与球的交点，所以113p ABC ABC V PO S -=⋅⋅；因为16632ABCS=⋅⋅=，设球的半径为R ，所以2221113PO PO OO R R AO R R =+=+-=+-，所以()213333R R ⋅+-⋅=，解得：2R =，所以球的体积为：343233R ππ=.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的相关计算，难度较难.处理球的有关问题时要充分考虑到球本身的性质，例如：球心与小圆面圆心的连线垂直于小圆面.三､解答题17. 已知,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且满足： ()(sin sin sin )sin a b c B C A b C +++-=. (1)求角A 的大小；(2)设3a =，S 为ABC ∆的面积，求3cos cos S B C +的最大值.【答案】（1）23A π=； （2）3. 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理可得b 2+c 2﹣a 2＝﹣bc ，再由余弦定理计算可得所求角；（2）运用正弦定理求得b ，c ，由三角形的面积公式可得S ，再由两角差的余弦公式和余弦函数的值域，即可得到所求最大值．【详解】(1)∵()()sin sin sin sin a b c B C A b C +++-=，∴根据正弦定理，知()()a b c b c a bc +++-=，即222b c a bc +-=-.∴由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==-.又()0πA ∈，，所以23A π=. (2)根据3a =，23A π=及正弦定理 得32sin sin sin 32b c a B C A====， ∴2sin ,2sin b B c C ==.∴113sin 2sin 2sin 3sin sin 222S bc A B C B C ==⨯⨯⨯=. ∴3cos cos 3sin sin 3cos cos S B C B C B C +=+ ()3cos B C =-. 故当6B C π==时，3cos cos S B C +取得最大值3.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及余弦函数的值域，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18. 如图，在四棱锥E-ABCD 中，AE ⊥DE ，CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，CD=DA=6，AB=2，DE=3.（I ）求棱锥C-ADE 的体积； （II ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（III ）在线段DE 上是否存在一点F ，使AF ∥平面BCE ？若存在，求出EFED的值；若不存在，说明理由.【答案】(Ⅰ)93；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)存在，13. 【解析】 【分析】（I ）在Rt ADE △中，22AE AD DE =-，可得12ADESAE DE =⋅，由于CD ⊥平面ADE ，可得13C ADE ADEV CD S -=⋅；（II ）由CD ⊥平面ADE ，可得CD AE ⊥，进而得到AE ⊥平面CDE ，即可证明平面ACE ⊥平面CDE ；（III ）在线段DE 上存在一点F ，使AF 平面BCE ，13EF ED =．设F 为线段DE 上的一点，且13EF ED =，过F 作FM CD 交CE 于点M ，由线面垂直的性质可得：CD AB ．可得四边形ABMF 是平行四边形，于是AFBM ，即可证明AF 平面BCE【详解】（I ）在Rt △ADE 中，2233AE AD DE =-=，因为CD ⊥平面ADE ，所以棱锥C-ADE 的体积为1193332C ADE ADE AE DEV S CD CD -∆⋅=⋅=⋅⋅=. （II ）因为CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥.又因为AE DE ⊥，CD DE D ⋂=，所以AE ⊥平面CDE ，又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE.（III ）在线段DE 上存在一点F ，且13EF ED =，使AF 平面BCE . 解：设F 为线段DE 上一点，且13EF ED =，过点F 作//FM CD 交CE 于M ，则13FM CD =. 因为CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，所以//CD AB ，又因为3CD AB = 所以MF AB =，//FM AB ，所以四边形ABMF 是平行四边形，则//AF BM . 又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE .点睛：本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，证明线面平行的几种常见形式：1、利用三角形中位线得到线线平行；2、构造平行四边形；3、构造面面平行.19. 前些年有些地方由于受到提高GDP 的影响，部分企业只重视经济效益而没有树立环保意识，把大量的污染物排放到空中与地下，严重影响了人们的正常生活，为此政府进行强制整治，对不合格企业进行关闭、整顿，另一方面进行大量的绿化来净化和吸附污染物.通过几年的整治，环境明显得到好转，针对政府这一行为，老百姓大大点赞.（1）某机构随机访问50名居民，这50名居民对政府的评分如下表：分数 [70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]频数231114119请在答题卡上作出居民对政府的评分频率分布直方图：（2）当地环保部门随机抽测了2018年11月的空气质量指数，其数据如下表：空气质量指数（AQI）0-50 50-100 100-150 150-200 天数 2 18 8 2用空气质量指数的平均值作为该月空气质量指数级别，求出该月空气质量指数级别为第几级？（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）（相关知识参见附表）（3）空气受到污染，呼吸系统等疾病患者最易感染，根据历史经验，凡遇到空气轻度污染，小李每天会服用有关药品，花费50元，遇到中度污染每天服药的费用达到100元.环境整治前的2015年11月份小李因受到空气污染患呼吸系统等疾病花费了5000元，试估计2018年11月份（参考（2）中表格数据）小李比以前少花了多少钱的医药费？附：>空气质量指数（AQI）0-50 50-100 100-150 150-200 200-300 300空气质量指数级别ⅠⅡⅢⅣⅤⅥ空气质量指数优良轻度污染中度污染重度污染严重污染【答案】（1）见解析（2）指数为第Ⅱ级，属于良（3）相比2015年11月份，小李少花费了4400元医药费【解析】【分析】（1）由题可计算出频率/组距的值分别为0.008，0.012，0.044，0.056，0.044，0.036，然后画图．<，）指数为第Ⅱ级，属于良（2）由题计算得该月空气质量指数平均值为91.667100（3）2018年11月份轻度污染有8天，中度污染有2天，则可计算该月的药费，从而得到答案． 【详解】解：（1）由评分表可知，相应区间频率/组距的值分别为0.008，0.012，0.044，0.056，0.044，0.036，其频率分布直方图如图所示：（2）由题得，该月空气质量指数平均值为22518758125217591.66710030⨯+⨯+⨯+⨯≈<.对照表格可知，该月空气质量指数为第Ⅱ级，属于良. （3）2018年11月份轻度污染有8天，中度污染有2天， 所以小李花费的药费为8502100600⨯+⨯=元. 又50006004400-=元，所以相比2015年11月份，小李少花费了4400元的医药费. 【点睛】本题由图表计算即可，属于简单题．20. 已知两点()20A -，､()20B ，，动点P 满足14PA PB k k ⋅=-. （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）是曲线E 与y 轴正半轴的交点，曲线E 上是否存在两点M ､N ，使得HMN △是以H 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()22104x y y +=≠；（2）存在，有3个. 【解析】 【分析】（1）设点P 的坐标为()()0x y y ≠，，求P A ､PB 的斜率，利用14PA PB k k ⋅=-，化简可得动点P 的轨迹E 的方程；（2）设能构成等腰直角三角形HMN ，其中H 为01，，由题意可知，直角边HM ，HN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设HM 所在直线的方程为1(y kx =+，不妨设0)k >则HN 所在直线的方程为11y x k=-+，确定交点M ､N 的坐标，求出HN ､HM 的长，利用HM HN =，即可求得结论. 【详解】解：（1）设点P 的坐标为()()0x y y ≠，，则0022PA PB y y k k x x --==+-，， 114224PA PBy y k k x x ⋅=-∴⋅=-+-，，化简得2214x y +=，∴动点P 的轨迹E 的方程为()2210.4x y y +=≠（2）设能构成等腰直角三角形HMN ，其中H 为01，， 由题意可知，直角边HM ，HN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设HM 所在直线的方程为1(y kx =+，不妨设0)k >则HN 所在直线的方程为11y x k =-+，由22144y kx x y =+⎧⎨+=⎩求得交点222881(1414k k M k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭，，另一交点()01)H ，22222228881()()141414k k k k HM k k k+∴=-+-=+++，用1k -代替上式中的k ，得22814k HN k+=+， 由HM HN =，得()22414k kk+=+，()()32244101310k k k k k k ∴-+-=⇒--+=，解得：1k =或352k ±=， 当HM 斜率1k =时，HN 斜率1-；当HM 斜率352k +=时，HN 斜率352-+；当HM 斜率352k -=时，HN 斜率352--， 综上述，符合条件的三角形有3个.【点睛】本题考查轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出HN ､HM 的长，利用HM HN =进行求解，属于中档题.21. 已知函数2()ln (21)f x a x x a x =-+-，其中a R ∈. （Ⅰ）当a=1时，求函数()f x 的单调区间： （Ⅱ）求函数()f x 的极值；（Ⅲ）若函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）单调减区间为（1，+∞） ，增区间为（0,1）; （Ⅱ）见解析（Ⅲ）a>1 【解析】 【分析】（Ⅰ）当a=1, f ′（x ）=12x 1x-+,解f ′（x ）<0和f ′（x ）>0确定单调区间；（Ⅱ）f ′（x ）()()2x 1x a x+-=-，讨论a ≤0和a ＞0时f ′（x ）的符号，确定单调性和极值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知当 a ≤0时，f(x)至多有一个零点，舍去；当a ＞0时，函数的极小值为f(a)=alna a 1+-，设函数g(x)=lnx+x-1，求导确定g （x ）：当0<x<1时，g(x)<0;x>1时，g(x)>0，分情况讨论：当0<a ≤1,f(a)=ag(a) ≤0，f(x)至多有一个零点，不符合题意；当a>1时，由零点存在定理确定（1,a e）和（a,3a-1）各有一个零点，则a 可求【详解】（Ⅰ）当a=1时,()2f x ?lnx x x =-+, f ′（x ）=()()2x 1x 112x 1x x+--+=- 当f ′（x ）<0时，x>1; f ′（x ）>0时，0<x<1∴函数()f x 的单调减区间为（1，+∞） ，增区间为（0,1） （Ⅱ）f （x ）的定义域是（0，+∞）， f ′（x ）()()()2x 1x a a2x 2a 1x x+-=-+-=-， 若a ≤0，则f ′（x ）＜0，此时f （x ）在（0，+∞）递减，无极值 若a ＞0，则由f ′（x ）＝0，解得：x ＝a ，当0＜x ＜a 时，f ′（x ）>0，当x ＞a 时，f ′（x ）<0， 此时f （x ）在（0，a ）递增，在（a ，+∞）递减；∴当x=a 时，函数的极大值为f(a)=a lna a 1)+-（，无极小值 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知当 a ≤0时，f （x ）在（0，+∞）递减，则f(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去； 当a ＞0时，函数的极小值为f(a)=a lna a 1)+-（， 令g(x)=lnx+x-1(x>0) ∵()110,g x x+>'=∴g(x)在（0，+∞）单调递增，又g(1)=0, ∴0<x<1时，g(x)<0;x>1时，g(x)>0 (i) 当0<a ≤1,f(a)=ag(a) ≤0,则函数f(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去； (ii) 当a>1时，f(a)=ag(a)>0 ∵21211f 10a e e e e⎛⎫⎛⎫=---< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴函数f(x)在（1,a e ）内有一个零点，∵f(3a-1)=aln(3a-1)-()()()()()23121313131a a a a ln a a ⎡⎤-+--=---⎣⎦ 设h(x)=lnx-x(x>2) ∵()110,h x x-<'=∴h(x)在（2，+∞）内单调递减，则h(3a-1)<h(2)=ln2-2<0 ∴函数f （x ）在（a,3a-1）内有一个零点.则当a>1时，函数f(x)恰有两个零点 综上，函数()f x 有两个不同的零点时，a>1【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的零点个数的判断，函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力．22. 在平而奁角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3344x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为220cos 960ρρθ++=，曲线3C 的极坐标方程为220cos 990ρρθ-+=（1）求曲线12C C ，和3C 的直角坐标方程；（2）已知点()(0)P x y x >，是曲线1C 上一点､M ，N 分别是2C 和3C 上的点，求PM PN -的最大值.【答案】（1）1C ：2213664x y-=，2C ：22(10)4x y ++=，3C ：22(10)1x y -+=；（2）15. 【解析】 【分析】（1）由曲线1C 参数方程消去参数可得曲线1C 普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线2C 和3C 的直角坐标方程.（2）由双曲线的定义可得1212PF PF -=，由点(),(0)P x y x >是曲线1C 上一点、,M N 分别是2C 和3C 上的点，得到11PM PF MF ≤+，22PN PF NF ≥-，即可求解PM PN -的最大值.【详解】（1）由曲线1C 的方程为3344x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），消去参数可得曲线1C 的方程为2213664x y -=， 由曲线2C 的极坐标方程为220960cos ρρθ++=，曲线3C 的极坐标方程220990cos ρρθ-+=， 根据极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，且222x y ρ+=， 可得曲线2C 直角坐标方程为()22104x y ++=，曲线3C 的直角坐标方程为()22101x y -+=.（2）由（1）知1C 双曲线2213664x y -=，则6a =，8b =，可得2210c a b =+=， 所以()110,0F -，()210,0F ，由双曲线的定义，可得12212PF PF a -==，因为点(),(0)P x y x >是曲线1C 上一点、,M N 分别是2C 和3C 上的点， 可得11PM PF MF ≤+，22PN PF NF ≥-， 所以1PM PN PF -≤+12215MF PF NF -+=， 所以PM PN -的最大值为15.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及双曲线的定义和圆的性质的应用，着重考查了推理与运算能力，圆锥曲线的定义的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.23. 设函数()|2||3|f x x x x =-+--，若1,4()x R m f x m∀∈+-≥恒成立． （1）求实数m 的取值范围；（2）求证：(1)(2)log (2)log (3)m m m m +++>+．【答案】（1）0m >;（2）证明见解析.【解析】【分析】 （1）利用零点分段讨论求解()|2||3|4g x x x x =-+--+的最大值，然后解不等式可得； （2）利用换底公式转化为证明2lg(1)lg(3)lg (2)m m m +⋅+<+，结合基本不等式可证.【详解】（1）因为1,4()x R m f x m ∀∈+-≥恒成立， 所以1|2||3|4m x x x m+-+--+恒成立， 令33,2()2341,235,3x x g x x x x x x x x +<-⎧⎪=-+--+=--≤≤⎨⎪-+>⎩所以函数()g x 在(),3-∞为增函数，在()3,+∞为减函数，所以max ()(3)2g x g ==，所以max 1()2m g x m+=， 即22121(1)200m m m m m m m-+-+-≥⇒=，所以0m >.（2）证明：由0m >，知3211m m m +>+>+>，所以要证(1)(2)log (2)log (3)m m m m +++>+ 只需证lg(2)lg(3)lg(1)lg(2)m m m m ++>++ 即证2lg(1)lg(3)lg (2)m m m +⋅+<+， 而22lg(1)lg(3)[lg(1)(3)]lg(1)lg(3)24m m m m m m +++++⎡⎤+⋅+<=⎢⎥⎣⎦()222lg 44lg (2)4m m m ⎡⎤++⎣⎦<=+. 所以(1)(2)log (2)log (3)m m m m +++>+.【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及不等式的证明，含有绝对值的不等式一般是利用零点分段讨论的方法去掉绝对值，不等式的证明，等价转化是证明的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.。

张家口市第一中学2020-2021学年高三年级期中考试化学试卷（满分：100分，测试时间：90分钟）第Ⅰ卷（选择题，共40分）可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 S 32 P31 Cl 35.5 Ca 40 Fe 56 Cu 64一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

每小题只有一个选项符合题意。

1. 新型冠状病毒肺炎威胁着人们的身体健康，以下是人们在面对“新型冠状病毒”时的一些认识，你认为符合科学的是（）A. 选用95%酒精溶液消毒的效果最好B. 外出归来，应立即向外套喷洒高浓度的84消毒液C. 为使消毒效果更好，可以将酒精和84消毒液混合使用D. 医用酒精可用于皮肤消毒，其原因是医用酒精可以使病毒和细菌体内的蛋白质变性【答案】D【解析】【详解】A．浓度为95%的酒精可使细胞壁上形成一层膜，阻止酒精的渗入，则75%的酒精消毒效果好，A 项不符合题意；B．高浓度的84消毒液的腐蚀性较强，且具有漂白性，不能直接用来喷洒消毒衣物，B项不符合题意；C．84消毒液和酒精一起使用，可能会产生一些对人体有害物质，且降低杀菌消毒效果，所以84消毒液不可与其他洗涤剂或消毒液混合，C项不符合题意；D．医用酒精可用于皮肤消毒，其可以使病毒和细菌体内的蛋白质变性，D项符合题意；故选D。

2. 下列实验操作与现象不相匹配的是A. AB. BC. CD. D【答案】A【解析】【详解】A.向盛有Ba(NO3)2溶液的试管中通入CO2，相当于讨论H2CO3与Ba(NO3)2复分解反应能不能发生？用弱酸不能制强酸，不反应无现象，A项实验操作与现象不相匹配，A项错误；B.向盛有KI溶液的试管中滴加氯水和CCl4液体，Br2+2KI =I2+2KBr，I2易溶于CCl4显紫红色，B项操作与现象相匹配，B项正确；C由于硫代硫酸根离子水解溶液呈碱性，滴入酚酞溶液先变红，然后滴加盐酸溶液，发生反应Na2S2O3+2HCl=SO2↑+S↓+2NaCl+H2O，反应后溶液呈中性，红色褪去，C项操作与现象相匹配，C项正确；D.向盛有FeCl3溶液的试管中先加入足量锌粉，发生反应：Zn+2FeCl3═2FeCl2+ZnCl2，三价铁变二价铁溶液，溶液黄色逐渐消失，加K3[Fe(CN)6]溶液产生深蓝色沉淀，D项操作与现象相匹配，D项正确；答案选A。

河北省张家口市宣化县第一中学2020-2021学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等比数列{a n}中，a4=4，则等于（）A．4 B．8 C．16 D．32参考答案：答案：C2. 在中，“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：3. 已知直线平面，直线平面，有下面四个命题：①∥⊥m；②⊥∥m；③∥m⊥；④⊥m∥其中正确的两个命题是（）A.①②B.③④C.②④D.①③参考答案：D4. 在中，，M为AC中点，则的值为（）A. 0B. 1C.D. 2参考答案：A5. 已知变量满足约束条件，则的最大值为（A）（B）（C）（D）参考答案：B6. 如下图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数记为，则（）A、 B、 C、D、参考答案：B7. 设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C=（A）{2}（B）{1，2，4}（C）{1，2，4，6}（D）{x∈R|－1≤x≤5}参考答案：B,选B.8. 在下面的程序框图中，输出的数（）（A）25 （B）30 （C）55 （D）91参考答案：C9. 已知一几何体三视图如右，则其体积为（）A．B．C．1 D．2参考答案：A由三视图可知该几何体如图其中ABCD为边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，且ED=2，故体积，选A.10. 已知，为虚数单位,若,则实数（）A． B． C．D．参考答案：B 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线在点处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为__________．参考答案：∵，∴，故切线的斜率为，可得切线方程为，即，令，得，令，可得，∴切线与坐标轴围成的三角形面积，故答案为.点睛：此题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题；欲求切线与两坐标轴所围成的三角形面积，关键是求出在点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决.12. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若，且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是.参考答案：5设，，则，又为等差数列，所以，整理得，代入整理得，，解得，所以双曲线的离心率为。

河北省张家口市宣化区宣化第一中学2021届高三数学上学期第一次联考试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.全集，，，则A. B. C. D.2.己知复数z满足，则A. B. 5 C. D.3.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，又是角终边上一点，且为坐标原点，则等于A. 2B.C. 4D.4.已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前9项和等于A. 9B. 18C. 36D. 725.已知，，直线l与函数、的图象都相切，且与图象的切点为，则A. B. C. D.6.在内任取一个实数m，设，则函数的图象与x轴有公共点的概率等于A. B. C. D.7.已知x，y满足条件为常数，若目标函数的最大值为8，则A. B. C. D. 68.设向量，，满足，，，，则的最大值等于A. B. 1 C. 2 D.9.已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是A. B. C. D.10.已知数列的首项，前n项和为，，，设，数列的前n项和的范围A. B. C. D.11.已知函数是定义在R上的偶函数，设函数的导函数为，若对任意都有成立，则A. B.C. D.12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，是圆与C位于x轴上方的两个交点，且，双曲线C的离心率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知样本，，，的平均数和方差分别是1和4，若的平均数和方差也是1和4，则______．14.设函数，给出以下四个论断：的周期为；在区间上是增函数；的图象关于点对称；的图象关于直线对称．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________只需将命题的序号填在横线上．15.已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，点P是两曲线的一个公共点，，分别是两曲线的离心率，若，则的最小值为______．16.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为则其外接球的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足．求角A的大小；设，S为的面积，求的最大值．18.如图，在四棱锥中，，平面ADE，平面ADE，，，．Ⅰ求棱锥的体积；Ⅱ求证：平面平面CDE；Ⅲ在线段DE上是否存在一点F，使平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19.前些年有些地方由于受到提高GDP的影响，部分企业只重视经济效益而没有树立环保意识，把大量的污染物排放到空中与地下，严重影响了人们的正常生活，为此政府进行强制整治，对不合格企业进行关闭、整顿，另一方面进行大量的绿化来净化和吸附污染物．通过几年的整治，环境明显得到好转，针对政府这一行为，老百姓大大点赞．某机构随机访问50名居民，这50名居民对政府的评分满分100分如表：分数频数 2 3 11 14 11 9请在答题卡上作出居民对政府的评分频率分布直方图；当地环保部门随机抽测了2021年11月的空气质量指数，其数据如表：空气质量指数天数 2 18 8 2用空气质量指数的平均值作为该月空气质量指数级别，求出该月空气质量指数级别为第几级？同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率相关知识参见附表空气受到污染，呼吸系统等疾病患者最易感染，根据历史经验，凡遇到空气轻度污染，小李每天会服用有关药品，花费50元，遇到中度污染每天服药的费用达到100元．环境整治前的202X年11月份小李因受到空气污染患呼吸系统等疾病花费了5000元，试估计2021年11月份参考中表格数据小李比以前少花了多少钱的医药费？附：空气质量指数空气质量指数级ⅠⅡⅢⅣⅤⅥ别空气质量指数好良好轻度污染重度污染重度污染严重污染20.已知两点、，动点P满足．求动点P的轨迹E的方程；是曲线E与y轴正半轴的交点，曲线E上是否存在两点M、N，使得是以H为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．21.已知函数，其中．Ⅰ当时，求函数的单调区间；Ⅱ求函数的极值；Ⅲ若函数有两个不同的零点，求a的取值范围．22.在平而奁角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为求曲线，和的直角坐标方程；已知点是曲线上一点、M，N分别是和上的点，求的最大值．设函数，若，恒成立．求m的取值范围；求证：数学试卷答案和解析1.【答案】A【解析】解：；；．故选：A．可求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，配方法求二次函数值域的方法，以及交集、补集的运算．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了复数模的运算性质及其计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数模的运算性质及其计算公式即可得出．【解答】解：，则．故选C．3.【答案】A【解析】解：角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，为第三象限角．又是角终边上一点，，，再根据为坐标原点，，，则，故选：A．由题意可得，，再根据且，求得m、n的值，可得则的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：数列是等比数列，，又，，解得．．数列是等差数列，数列的前9项和．故选：B．由等比数列的性质结合已知求得，代入，进一步代入等差数列的求和公式得答案．本题考查了等比数列和等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．5.【答案】D【解析】解：由题意得，，，与图象的切点为的切线l的斜率，且，所以切点为，直线l的方程为：，直线l与的图象也相切，此方程组只有一解，即只有一解，，解得或舍去．故选D．先求出，求出即其切线l的斜率和切点，代入点斜式求出切线l方程，利用l与的图象也相切，连立两个方程，则此方程组只有一解，再转化为一个方程一解，等价于判别式，进而求出m的值．本小题主要考查直线的斜率与导数的几何意义的关系、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，易错点直线l与两个函数图象相切时切点不同．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查几何概型概率的计算，二次函数，属于简单题．利用的图象与x轴有公共点，可得或，根据几何概型即可求解．【解答】解：的图象与x轴有公共点，，或，在内任取一个实数m，函数的图象与x轴有公共点的概率等于．故选：D．7.【答案】B【解析】解：画出x，y满足的为常数可行域如下图：由于目标函数的最大值为8，可得直线与直线的交点，使目标函数取得最大值，将，代入得：．故选B．由目标函数的最大值为8，我们可以画出满足条件为常数的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值．如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程组，代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．8.【答案】C【解析】解：，且，的夹角为，设，则，如图所示，则；，O，B，C四点共圆，，，．由三角形的正弦定理得外接圆的直径，当OC为直径时，最大，最大为2．故选：C．由已知利用向量的数量积求出的夹角，利用向量的运算法则作出图形，结合图形可知O，B，C，A四点共圆．通过正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理等知识，属中档题．9.【答案】D【解析】解：由题意可知：函数的图象如下：由关于x的方程有三个不同的实数解，可知函数与函数有三个不同的交点，由图象易知：实数a的取值范围为．故选：D．结合方程有三个不同的实数解，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，进而结合函数的图象即可获得解答．此题考查的是方程的根的存在性以及根的个数问题．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、数形结合的思想．10.【答案】C【解析】解：数列的首项，前n项和为，，，可得，时，可得，又，相减可得，即，可得，当时，也成立，则，，，，前n项和，，相减可得，化简可得，由，可得数列递增，即有，且，可得，故选：C．运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得，，，，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得，判断单调性，即可得到所求范围．本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，同时考查数列的错位相减法，考查化简运算能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：根据题意，令，其导数，又由对任意都有成立，则当时，有成立，即函数在上为增函数，又由函数是定义在R上的偶函数，则，则有，即函数为偶函数，则有，且，则有，即有；故选：A．根据题意，令，求其求导分析可得当时，有成立，即函数在上为增函数，结合题意分析函数为偶函数，进而有，转化为分析可得答案．本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数的奇偶性、单调性的综合应用，关键是构造函数，并分析函数的单调性．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．连接，，由双曲线的定义，可得，，在中，和中，运用余弦定理求得，，由，可得，即有，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：连接，，由双曲线的定义，可得，，由，可得，，在中，可得，在中，可得，由，可得，即有，可得，化为，得，解得负的舍去，故选：C．13.【答案】1【解析】解：样本，，，的平均数和方差分别是1和4，的平均数和方差也是1和4，，解得或，当时，；当时，．则．故答案为：1．由样本，，，的平均数和方差分别是1和4，的平均数和方差也是1和4，得到，由此能求出．本题考查代数式求值，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】【解析】解：若的周期为，则，函数．若再由的图象关于直线对称，则取最值，又，，此时，，成立，故由可以推出成立．故答案为：，．若的周期为，则函数，若再由，可得，，显然能推出成立．本题考查正弦函数的对称性，三角函数的周期性与求法，确定出函数的解析式，是解题的关键．15.【答案】【解析】解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，由椭圆定义，又，，，得，将代入，得，．当且仅当时取等号故答案为：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出，由此能求出的最小值．本题考查的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．16.【答案】【解析】解：是等腰直角三角形，为截面圆的直径，外接球的球心O在截面ABC中的射影为AC的中点D，当P，O，D共线且P，O位于截面同一侧时棱锥的体积最大，棱锥的最大高度为PD，，解得，设外接球的半径为R，则，，在中，，由勾股定理得：，解得．外接球的体积．故答案为：．求出棱锥的最大高度，利用勾股定理计算外接圆的半径，从而得出球的体积．本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：Ⅰ，由正弦定理可得，即，即为，由余弦定理可得，由，可得；Ⅱ，由正弦定理可得：，可得，，则，，当时，的最大值为．【解析】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及余弦函数的值域，考查化简整理的运算能力，属于中档题．运用正弦定理可得，再由余弦定理计算可得所求角；运用正弦定理求得b，c，由三角形的面积公式可得S，再由两角差的余弦公式和余弦函数的值域，即可得到所求最大值．18.【答案】解：在中，，平面ADE，．证明：平面ADE，，又，，平面CDE，又平面ACE，平面平面CDE；解：在线段DE上存在一点F，使平面BCE，．下面给出证明：设F为线段DE上的一点，且．过F作交CE于点M，则，平面ADE，平面ADE，又，，四边形ABMF是平行四边形，，又平面BCE，平面BCE．平面BCE．【解析】在中，，可得由于平面ADE，可得．由平面ADE，可得，进而得到平面CDE，即可证明平面平面CDE；在线段DE上存在一点F，使平面BCE，设F为线段DE上的一点，且过F作交CE于点M，由线面垂直的性质可得：可得四边形ABMF是平行四边形，于是，即可证明平面BCE．本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：由频率分布表可知，相应区间的值分别为，，，，，其频率分布直方图如图所示．由题意得，该月空气质量指数平均值为．对照表格可知，该月空气质量指数为第Ⅱ级，属于良．年11月份轻度污染的有8天，中度污染的有2天，所以小李花费的医药费为元．又元．所以相比202X年11月份，小李少花费了4400元的医药费．【解析】本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，属于基础题．根据频率分布表的数据，得到各相应区间的，画出频率分布直方图即可．以各组数据的中点为代表值，加权平均即可得到该月空气质量指数平均值，查表即可得到该月空气质量指数，根据2021年11月份轻度污染和中度污染的天数，计算小李的医药费，与202X年11月份比较即可．20.【答案】解：设点P的坐标为，则，，，，化简得，动点P的轨迹E的方程为注：如果未说明，扣分．设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为，由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于x轴，故可设HM所在直线的方程为，不妨设则HN所在直线的方程为，由求得交点，另一交点，用代替上式中的k，得，由，得，，解得：或，当HM斜率时，HN斜率；当HM斜率时，HN斜率；当HM斜率时，HN斜率，综上述，符合条件的三角形有3个．【解析】设点P的坐标为，求PA、PB的斜率，利用，化简可得动点P的轨迹E的方程；设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为，由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于x轴，故可设HM所在直线的方程为，不妨设则HN所在直线的方程为，确定交点M、N的坐标，求出HN、HM的长，利用，即可求得结论．本题考查轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出HN、HM的长，利用进行求解．21.【答案】解：Ⅰ当时，，函数的定义域为．．当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减．函数的单调增区间为；单调递减区间为；Ⅱ．当时，恒成立，函数在内单调递减，无极值；当时，令，得．当时，，当时，，当时，函数取得极大值；Ⅲ由Ⅱ知，当时，函数在内单调递减，则至多有一个零点，不符题意，舍去；当时，函数取得极大值，令，，在内单调递增，又，时，，时，．当时，，则至多有一个零点，不合题意；当时，．．函数在内有一个零点；，设，，在内单调递减，则．．函数在内有一个零点．当时，函数恰有两个不同零点．综上，当函数有两个不同的零点时，a的取值范围是．【解析】Ⅰ当时，，求其导函数，由导函数在不同区间内的符号可得原函数的单调性；Ⅱ当时，恒成立，函数在内单调递减，无极值；当时，令，得由单调性可得当时，函数取得极大值；Ⅲ由Ⅱ知，当时，函数在内单调递减，则至多有一个零点，不符题意，舍去；当时，函数取得极大值，令，讨论的单调性，再分和分析函数的零点情况，可得当函数有两个不同的零点时，a的取值范围是．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．曲线的直角坐标方程为中，，，．所以，，根据定义，由于，，所以，则的最大值为15．【解析】利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．直接利用圆锥曲线的定义的应用，建立不等式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，圆锥曲线的定义的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：，恒成立，，令，则在上是增函数，上是减函数，，，；证明：，可得，则，，，．【解析】由，恒成立，可得，求出右边的最大值，即可求m的取值范围；利用对数的性质及基本不等式，即可证明结论．本题考查恒成立问题，考查函数的最值，考查对数的性质、基本不等式的运用，属于中档题．。

河北省张家口市宣化区宣化第一中学2021届高三数学上学期阶段测试题（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数为纯虚数虚数单位，则实数A. 1B.C. 2D.2.已知集合，，则A. B. C. D.3.已知，则A. B. C. D.4.掷一枚均匀的硬币3次，出现正面向上的次数恰好为两次的概率为A. B. C. D.5.若双曲线的虚轴长为4，则该双曲线的焦距为A. B. C. D.6.已知实数x，y满足，则的最大值是A. 2B. 4C. 6D. 87.函数的部分图象如图所示，如果，且，则A. B. C. D.8.已知函数，给出下列两个命题：命题p：，方程有实数解；命题q：当时，，则下列命题为真命题的是A. B. C. D.9.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为参考数据：，，A. 12B. 24C. 36D. 4810.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某一几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为A. ；B. ；C. ；D.11.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的上下顶点分别为A，B，右顶点为C，右焦点为F，延长BF与AC交于点P，若O，F，P，A四点共圆，则该椭圆的离心率为A. B. C. D.12.已知函数，若函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知为单位向量，若，则 ______ ．14.已知为等差数列，公差为1，且是与的等比中项，则______．15.如图所示，在正方体中，，M，N分别为棱，的中点，过点B的平面平面AMN，则平面截该正方体所得截面的面积为______ ．16.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在直角坐标系xOy中，直线，曲线的参数方程是为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求的极坐标方程和的普通方程；把绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线，与交于A，B两点，求．18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．求B的大小；若的面积为，求a，b，c的值．19.已知数列为等差数列，，，其前n项和为，且数列也为等差数列．．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．20.在高三一次数学测验后，某班对选做题的选题情况进行了统计，如表．坐标系与参数方程不等式选讲人数及均分人数均分人数均分男同学14 8 6 7女同学8 12Ⅰ求全班选做题的均分；Ⅱ据此判断是否有的把握认为选做坐标系与参数方程或不等式选讲与性别有关？Ⅲ已知学习委员甲女和数学科代表乙男都选做不等式选讲若在不等式选讲中按性别分层抽样抽取3人，记甲乙两人被选中的人数为，求的数学期望．参考公式：，．下面临界值表仅供参考：21.如图几何体中，四边形ABCD为矩形，，，，，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且．Ⅰ证明：面BDG；Ⅱ证明：面面BFC；Ⅲ求三棱锥的体积V．22.已知函数，，且直线和函数的图象相切．Ⅰ求实数k的值；Ⅱ设，若不等式对任意恒成立为的导函数，求m的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：为纯虚数，，，，故选：B．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，，解得，，由N中，得到，即，则．故选：C．求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.【答案】C【解析】解：，则，故选：C．利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题．根据题意，进行求解即可．【解答】解：掷一枚均匀的硬币3次，共有8种不同的情形：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，其中满足条件的有3种情形：正正反，正反正，反正正，故所求的概率．故选A．5.【答案】A【解析】解：根据题意，双曲线的方程为：，变形可得，又由其虚轴长为4，则有，即，则双曲线的标准方程为：，其中，则双曲线的焦距，故选A．根据题意，将双曲线的方程变形可得，由双曲线的几何性质，分析可得，代入双曲线的方程可得双曲线的标准方程，计算可得c的值，由焦距的定义即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程，求出m的值．6.【答案】D【解析】解：如图所示，不等式组所表示的区域为图中阴影部分：其中，，，，故选：D．画出约束条件的可行域，求出三角形的顶点坐标，代入目标函数求解即可．本题考查线性规划的应用，交点代入法，是解答线性规划的有效防范之一，考查数形结合以及计算能力．7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，属于中档题．利用函数的周期求出，再利用五点作图法求出的值，再利用函数图象的对称性，求得，可得的值．【解答】解：由函数的部分图象，可得，．再根据五点法作图可得：，，因此在上，且，则，，．故选：A．8.【答案】B【解析】解：函数，当时，，不存在满足的x值；当时，时，，故命题p为假命题．当时，命题q为真命题，故命题，，均为假命题，为真命题，故选B．根据已知中的分段函数，分别判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，分段函数的图象和性质，难度中档．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查程序框图的应用，考查了计算能力，属于基础题．列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：，，不满足条件，，，不满足条件，，，满足条件，退出循环，输出n的值为24．故选B．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间几何体的三视图，球的表面积，简单组合体及其特征，属基础题．把四棱锥补成长方体，利用长方体与四棱锥外接球相同，根据长方体性质，求出对角线长，进而得到外接球半径，然后代入球的表面积公式计算．【解答】解：由三视图知该几何体为四棱锥，底面为正方形，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，把四棱锥补成长方体，则长方体的长宽高分别为2，2，4，长方体的外接球就是四棱锥的外接球，外接球的直径，，外接球的表面积．故选D．11.【答案】C【解析】解：如图所示，，F，P，A四点共圆，，，即，，，，，，故选C．由O，F，P，A四点共圆得，即，，，本题考查了椭圆的离心率，运用平面几何知识及椭圆定义是解题关键，属于基础题．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，属于较难题．画出函数的图象，分类讨论，当直线与曲线相切于点时，求出a 的值，再讨论直线与函数的图象的交点情况；当直线与曲线相切时，求出切点，然后判断求解a的取值范围．【解答】解：函数的图象如下图所示：当直线与曲线相切于点时，，故当或时，直线与函数的图象恰有一个交点．当时，直线与函数的图象恰有两个交点，当直线与曲线相切时，设切点为，则，，解得，或，．当时，直线与函数的图象恰有一个交点．当或时，直线与函数的图象恰有两个交点．当时，直线与函数的图象恰有三个交点．故选C．13.【答案】【解析】解：根据条件，由得：；；；．故答案为：．可对两边平方，然后进行数量积的运算，便可得出，这样由向量为单位向量即可求出的值．考查单位向量的概念，以及数量积的运算及计算公式．14.【答案】【解析】解：是与的等比中项，，，解得．故答案为：．由是与的等比中项，可得，，解出即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的相同公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】18【解析】解：如图所示，截面为等腰梯形BDPQ，故截面的面积为．故答案为：18．如图所示，截面为等腰梯形BDPQ，即可求出平面截该正方体所得截面的面积．本题考查平面截该正方体所得截面的面积，考查学生的计算能力，确定截面图形是关键．16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数的基本关系，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题．由已知及正弦定理可求，结合，可求出sin C，利用同角三角函数的基本关系可求出cos C，利用余弦定理即可求出a，b，c的值，进而利用三角形面积公式计算即可．【解答】解：由正弦定理及，得，又，，为锐角三角形，，，即，由余弦定理得，，，，．故答案为．17.【答案】解：直线，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是为参数，消去参数，得曲线的普通方程为．把绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线，的极坐标方程为，化为直角坐标方程为．圆的圆心到直线：的距离：．．【解析】由直线的直角坐标方程能求出直线的极坐标方程，曲线的参数方程消去参数，能求出曲线的普通方程．把绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线的极坐标方程为，化为直角坐标方程为求出圆的圆心到直线：的距离，由此利用勾股定理能求出．本题考查直线的极坐标方程的求法，考查曲线的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：．由正弦定理可得：，又，可得．，又，的面积为，，解得：，由可得：，【解析】利用正弦定理化简已知可得，结合，可得，由余弦定理可求cos B，结合范围，即可得解B的值．利用已知及三角形面积公式可求c的值，结合即可求得b，a的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为，，，，成等差数列，则，解得：，，则，数列为等差数列，；Ⅱ由Ⅰ，，，，设数列的前n项和为，则．【解析】Ⅰ设等差数列的公差为，由数列也为等差数列可得，由此求出等差数列的公差，验证数列也为等差数列，则等差数列的通项公式可求；Ⅱ把Ⅰ中求得的通项公式与前n项和公式代入，利用裂项相消法求得数列的前n项和．本题考查数列的求和，训练了裂项相消法求数列的前n项和，属中档题．20.【答案】解：Ⅰ根据表中数据，计算全班选做题的平均分为．Ⅱ由表中数据计算观测值：，所以，据此统计有的把握认为选做坐标系与参数方程或不等式选讲与性别有关．Ⅲ学习委员甲被抽取的概率为，设不等式选讲中6名男同学编号为乙，1，2，3，4，5；从中随机抽取2人，共有15种抽法：乙与1，乙与2，乙与3，乙与4，乙与5，1与2，1与3，1与4，1与5，2与3，2与4，2与5，3与4，3与5，4与5，数学科代表乙被抽取的有5种：乙与1，乙与2，乙与3，乙与4，乙与5，数学科代表乙被抽取的概率为，甲乙两人均被选中的概率为．【解析】Ⅰ根据表中数据，计算全班选做题的平均分即可；Ⅱ由表中数据计算观测值，对照临界值表得出结论；Ⅲ计算学习委员甲被抽取的概率和数学科代表乙被抽取的概率，从而得出甲乙两人均被选中的概率．本题考查了对立性检验和列举法计算古典概型的概率问题，是基础题目．21.【答案】解：Ⅰ连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG点G为CF中点，为的中位线，面BDG，面BDG，面BDG，Ⅱ连接FM，，G为CF的中点，，，ABCD为矩形，，又，为平行四边形，为正三角形，，，面BGM，面BFC，面面BFC．Ⅲ，，三棱锥的体积．【解析】Ⅰ首先，连接AC交BD于O点，得到OG为的中位线，从而得到，命题得证；Ⅱ先连接FM，证明，然后，证明为正三角形，从而得到面BGM，从而命题得证；Ⅲ转化成三棱锥和三棱锥的体积之和，它们的体积之和就是以FC为高，以BMG为底的三棱锥的体积，从而得到结果．本题重点考查了面面垂直、线面平行、空间几何体的体积等知识，本题属于中档题．22.【答案】解：Ⅰ设切点的坐标为，由求导得，切线方程为，即，由已知和为同一条直线，，，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，当且仅当时等号成立，，，Ⅱ由于，，，，，令，，，令，，，在单调递增，且，，在上存在唯一零点，设此零点为，且，当时，，当时，，，由，，，又，，的最大值为2．【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．Ⅰ设出切点坐标，根据函数的单调性求出k的值即可；Ⅱ由，，问题转化为，令，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出m的最大值即可．。

2021-2022学年上学期宣化一中高三期初考试数学试卷1.已知复数，设复数，则w的虚部是A. B. 1 C. i D.2.已知a，b为非零实数，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.在中，，，，则A. B. 1 C. 2D. 34.棱长为a的正方体中，点E，F，G分别为棱AB，，的中点，则过E，F，G三点的平面截正方体所得截面面积为A. B. C. D.5.若为锐角，，则A. B. C. D.6.将正整数12分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解当是正整数n的最佳分解时，我们定义函数，例如，则A. B. C. D.7.过点作倾斜角为的直线与抛物线C：交于两点A，B，若，则的值为A. 4B.C.D.8.已知，，且，则下列结论一定正确的是A. B. C. D.9.已知函数图象的一条对称轴为，且在内单调递减，则以下说法正确的是A. 是其中一个对称中心B.C. 在单调递增D.10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，将分别绕边a，b，c所在的直线旋转一周，形成的几何体的体积分别记为，，，侧面积分别记为，，，则A. B. C. D.11.设集合S，T，，，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：对于任意x，，若，都有；对于任意x，，若，则；下列命题正确的是A. 若S有4个元素，则有7个元素B. 若S有4个元素，则有6个元素C. 若S有3个元素，则有5个元素D. 若S有3个元素，则有4个元素12.甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛记甲赢得比赛的概率为，则A. B. C. D. 的最大值为13.已知，，则______ ．14.根据下面的数据：x1234y32487288求得y关于x的回归直线方程为，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为______注：残差是指实际观察值与估计值之间的差．15.斜率为的直线l与椭圆C：相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，则椭圆C的离心率等于______．16.“韩信点兵”问题在我国古代数学史上有不少有趣的名称，如“物不知数”“鬼谷算”“隔墙算”“大衍求一术”等，其中孙子算经中“物不知数”问题的解法直至1852年传由传教士传入至欧洲，后验证符合由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”原文如下：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是一个已知某数被3除余2，被5除余3，被7除余2，求此数的问题满足条件的数中最小的正整数是______ ；1至2021这2021个数中满足条件的数的个数是______ ．17.内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．证明：a：b：：3：4；若，求的周长．18.设等差数列的前n项和为，已知，且．求和；是否存在等差数列，使得对成立？并证明你的结论．19.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发关于加强中小学生手机管理工作的通知，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，现对我校80名学生调查得到统计数据如下表，记A为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；B为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件A的频率是事件B的频率的2倍．不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数a12学习成绩不优秀人数b26合计运用独立性检验思想，判断是否有的把握认为中学生使用手机对学习成绩有影响？采用分层抽样的方法从这80名学生中抽出6名学生，并安排其中3人做书面发言，记做书面发言的成绩优秀的学生数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：，其中．20.如图，四棱柱中，面面ABCD，面面ABCD，点E、M、N分别是棱、BC、CD的中点．证明：面ABCD．若四边形ABCD是边长为2的正方形，且，面面直线l，求直线l与所成角的余弦值．已知双曲线E：过点，且该双曲线的虚轴端点与两顶点，的张角为．求双曲线E的方程；过点的直线1与双曲线E左支相交于点M，N，直线DM，DN与y轴相交于P，Q 两点，求的取值范围．21.已知函数在处的切线方程为．求a的值；若方程有两个不同实根、，证明：．2021-2022学年上学期宣化一中高三期初考试数学试卷答案和解析1.【答案】A【解析】解：复数，复数，则w的虚部是，故选：A．利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：设，则为偶函数且在上为增函数，，是的充要条件，故选：C．构造函数，利用函数的奇偶性和单调性判断即可．本题考查了充要条件的判定，利用构造函数的性质是关键，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：因为，所以点D为BC的中点，因为，所以，即，所以．故选：C．由题意可得点D为BC的中点，由向量的线性运算可得，从而可得，即可求得的值．4.【答案】B【解析】解：取中点M，连结MG、ME，则，且，四边形EFGM是平行四边形，过E，F，G三点的平面截正方体所得截面为四边形EFGM，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，，，a，，，，，，四边形EFGM是矩形，，过E，F，G三点的平面截正方体所得截面面积为：．故选：B．取中点M，连结MG、ME，推导出四边形EFGM是平行四边形，从而过E，F，G三点的平面截正方体所得截面为四边形EFGM，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出过E，F，G三点的平面截正方体所得截面面积．本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】B【解析】解：为锐角，，又，，，，．故选：B．由为锐角，，运用三角函数的同角公式，可得，进而可得的值，再结合正切函数的两角差公式，即可求解．本题考查了三角函数的同角公式，以及正切函数的两角差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：当时，，当i4时，，，所以n为偶数时，；当时，，当时，，，所以i为奇数时，，所以．故选：C．n为偶数时，；n为奇数时，，把数列的前2021项和转化为等比数列求和即可．本题考查数列的求和，注意讨论n为奇数和偶数得到规律，考查推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：由题意可得，直线AB的方程为，联立直线与抛物线方程，整理可得，设，，由韦达定理可得，，，又，，，点，，，．故选：A．由题意可得，直线AB的方程为，联立直线与抛物线方程，整理可得，再结合韦达定理和两点之间的距离公式，即可求解．本题主要考查了直线与抛物线的综合应用，需要学生熟练掌握两点之间的距离公式，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：令，，，可得时，函数单调递增，，，且，，，，，因此B正确；，不一定成立，因此A不正确；，因此C不正确；因此不一定成立，因此不正确．故选：B．令，，利用导数研究函数的单调性即可判断出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的性质、指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：由题意可得关于对称，且在内单调递减，，，故B选项错误，，，是其中一个对称中心，故A选项正确，，，当时，在上单调递增，故C选项错误，，故D选项正确，故选：AD．分别根据三角函数对称轴、对称中心、单调性的性质，以及将代入，即可求解．本题主要考查了三角函数的性质，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：如图所示，过点C作，垂足为D，设，则，．由题意可得：，，，，因此A正确；，，，因此C正确．侧面积分别记为，，．，因此B正确；，，，，因此D不正确．故选：ABC．如图所示，过点C作，垂足为D，设，则分别计算出体积，，，侧面积，，通过作差即可比较出大小关系．本题考查了圆锥的体积与侧面积计算公式、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的基本运算，元素与集合的关系，利用特殊集合排除选项是选择题常用方法，属于拔高题．利用特殊集合排除选项，推出结果即可．【解答】解：取：2，，则4，，2，4，，4个元素，排除C；4，，则16，，4，8，16，，5个元素，排除D；4，8，，则16，32，64，，4，8，16，32，64，，7个元素，排除B；故选：A．12.【答案】CD【解析】解：若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，，故A错误；若甲、乙比赛6局甲获胜，则甲在6局比赛中至少胜4局，，故B错误；在2n局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为局，，故C正确；，当时，取最大值，故D正确．故选：CD．若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，利用相互独立事件概率乘法公式能求出；若甲、乙比赛6局甲获胜，则甲在6局比赛中至少胜4局，利用相互独立事件概率乘法公式能求出；在2n局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为局，利用相互独立事件概率乘法公式得；由，知当时，取最大值．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】4【解析】解：，，所以，因为，所以．故答案为：4．由已知代入可得，然后代入即可求解．本题主要考查了函数值的求解，解题的关键是发现的规律．14.【答案】【解析】解：将，2，3，4代入回归方程可得的值依次为，，，，所以残差分别为：，，，，则残差的平均数为0，所以残差的方差为．故答案为：．先求出估计值，然后求出残差，求出残差的平均数，利用方差的计算公式求解即可．本题考查了方差的求解，解题的关键是正确理解残差的定义，掌握方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设，，则，，因为是线段AB的中点，所以，，因为直线AB的方程为，所以，两式相减可得，所以，所以，所以有，所以，所以，故答案为：．利用点差法，结合是线段BA的中点，斜率为，即可求出椭圆C的离心率．本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．16.【答案】2320【解析】解：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70，用15乘以为最终结果除以7的余数，用21乘以为最终结果除以5的余数，同理，用70乘以为最终结果除以3的余数，然后把三个乘积相加，即，用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，同理可得余下的数前后两个数的差为将1至2017这2017个数中满足条件的数依次为：23，128，233，338，443，548，653，758，863，968，1073，1178，1283，1388，1493，1598，1703，1808，1913，2018共有20个，故答案为：23，20．推导出满足条件的一个数为，用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，由此求出将1至2021这2021个数中满足条件的数．本题考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．17.【答案】解：证明：，，A为锐角，，，由正弦定理可得，得证．由知，，，设，，，则，解得，的周长为．【解析】利用同角三角函数基本关系式可求sin B，cos A，利用两角和的正弦公式可求sin C 的值，进而根据正弦定理即可证明．由利用两角和的余弦公式可求cos C的值，将已知等式平方，设，，，利用平面向量数量积的运算即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式，正弦定理，两角和的余弦公式，平面向量数量积的运算在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：设数列的公差为d，则，解得，，，，；设，由可得，由可得，故存在等差数列满足条件，其中，，下面用数学归纳法证明：当时，对成立，当时，由上面过程可知，等式成立，假设时等式成立，即，则当时，，，即当时等式成立，由可知，其中对成立．【解析】根据等差数列的通项公式和求和公式即可求出首项和公差，可得通项公式和求和公式；存在等差数列满足条件，其中，，用数学归纳法证明即可．本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，是中档题．19.【答案】解：由题意可知，，解得，，所以列联表如下：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数28 1240学习成绩不优秀人数14 2640合计 423880所以，故有的把握认为中学生使用手机对学习有影响；根据题意，由分层抽样可知，抽取成绩优秀的学生3名，成绩不优秀的学生3名，所以X的可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以X的分布列为：X 01 23P故E．【解析】根据所给的数据补全列联表，再由列联表中的数据，计算的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案；先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了列联表的应用以及独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】证明：在面ABCD内，过点C作于P，作于Q，面面ABCD，面面，面，，同理可得，，，CP、平面ABCD，面ABCD．解：设，连接EF，，平面EMN，平面EMN，即平面EMN，同理平面，直线EF即为直线l，，∽，，以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，2，，0，，3，，2，，3，，，，直线l与所成角的余弦值为．【解析】在面ABCD内，过点C作于P，作于Q，再结合面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理和判定定理，得证；设，连接EF，可证直线EF即为直线l，再以A为原点建立空间直角坐标系，由，，得解．本题考查空间中线与面的垂直关系，异面直线夹角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理或性质定理，以及利用空间向量求异面直线夹角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：由已知可得，结合，解得，故双曲线E的方程；．设直线方程，，，直线DM的方程为，可得，直线DN的方程为，可得，联立，消去y，整理可得，则，可得，，又，的取值范围是【解析】由已知可得，结合，解得a，b即可；设直线方程，，，由直线DM的方程和直线DN的方程可得P，Q的坐标，，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理即可求解．本题考查了双曲线方程，考查了直线与双曲线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题．22.【答案】解：，，；证明：有唯一实根，时，，递减，时，，递增，故两根分别在与内，不妨设，设，，则，时，，递减，时，，递增，有最小值，即恒成立，，，又因为函数在处的切线方程为，同上可证得恒成立，，，于是．【解析】求出函数的导数，计算，得到关于a的方程，解出即可；根据函数的单调性分别求出以及，证明结论成立即可．本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查不等式的证明以及转化思想，是难题．。

河北省张家口市宣化区宣化第一中学2021届上学期高三年级第一次联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共分）1全集，，，则A B C D满足，则A B 5 C D3已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，又是角终边上一点，且为坐标原点，则等于A 2BC 4 D4已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前9项和等于A 9B 18C 36D 725已知，，直线l与函数、的图象都相切，且与图象的切点为，则A B C D，设，则函数的图象与轴有公共点的概率等于A B C D，y满足条件为常数，若目标函数的最大值为8，则A B C D 68设向量，，满足，，，，则的最大值等于A B 1 C 2 D9已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是A B C D10已知数列的首项，前n项和为，，，设，数列的前n项和的范围A B C D上的偶函数，设函数的导函数为，若对任意都有成立，则A BC D12已知双曲线的左、右焦点分别为，，是圆与C位于轴上方的两个交点，且，双曲线C的离心率为A B C D二、填空题（本大题共4小题，共分）13已知样本，，，的平均数和方差分别是1和4，若的平均数和方差也是1和4，则______．14设函数，给出以下四个论断：的周期为；在区间上是增函数；的图象关于点对称；的图象关于直线对称．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________只需将命题的序号填在横线上．15已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，点的取值范围；求证：参考答案一、选择题1【答案】A【解析】解：；；．故选：A．可求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，配方法求二次函数值域的方法，以及交集、补集的运算．2【答案】C【解析】本题考查了复数模的运算性质及其计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数模的运算性质及其计算公式即可得出．【解答】解：，则．故选C．3【答案】A【解析】解：角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，为第三象限角．又是角终边上一点，，，再根据为坐标原点，，，则，故选：A．由题意可得，，再根据且，求得m、n的值，可得则的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4【答案】B【解析】解：数列是等比数列，，又，，解得．．数列是等差数列，数列的前9项和．故选：B．由等比数列的性质结合已知求得，代入，进一步代入等差数列的求和公式得答案．本题考查了等比数列和等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．5【答案】D【解析】解：由题意得，，，与图象的切点为的切线l的斜率，且，所以切点为，直线l的方程为：，直线l与的图象也相切，此方程组只有一解，即只有一解，，解得或舍去．故选D．先求出，求出即其切线l的斜率和切点，代入点斜式求出切线l方程，利用l与的图象也相切，连立两个方程，则此方程组只有一解，再转化为一个方程一解，等价于判别式，进而求出m的值．本小题主要考查直线的斜率与导数的几何意义的关系、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，易错点直线l与两个函数图象相切时切点不同．6【答案】D【解析】本题考查几何概型概率的计算，二次函数，属于简单题．利用的图象与轴有公共点，可得或，根据几何概型即可求解．【解答】解：的图象与轴有公共点，，或，在内任取一个实数m，函数的图象与轴有公共点的概率等于．故选：D．7【答案】B【解析】解：画出，y满足的为常数可行域如下图：由于目标函数的最大值为8，可得直线与直线的交点，使目标函数取得最大值，将，代入得：．故选B．由目标函数的最大值为8，我们可以画出满足条件为常数的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数的方程组，消参后即可得到的取值．如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程组，代入另一条直线方程，消去，y后，即可求出参数的值．8【答案】C【解析】解：，且，的夹角为，设，则，如图所示，则；，O，B，C四点共圆，，，．由三角形的正弦定理得外接圆的直径，当OC为直径时，最大，最大为2．故选：C．由已知利用向量的数量积求出的夹角，利用向量的运算法则作出图形，结合图形可知O，B，C，A四点共圆．通过正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理等知识，属中档题．9【答案】D【解析】解：由题意可知：函数的图象如下：由关于的方程有三个不同的实数解，可知函数与函数有三个不同的交点，由图象易知：实数a的取值范围为．故选：D．结合方程有三个不同的实数解，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，进而结合函数的图象即可获得解答．此题考查的是方程的根的存在性以及根的个数问题．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、数形结合的思想．10【答案】C【解析】解：数列的首项，前n项和为，，，可得，时，可得，又，相减可得，即，可得，当时，也成立，则，，，，前n项和，，相减可得，化简可得，由，可得数列递增，即有，且，可得，故选：C．运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得，，，，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得，判断单调性，即可得到所求范围．本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，同时考查数列的错位相减法，考查化简运算能力，属于中档题．11【答案】A【解析】解：根据题意，令，其导数，又由对任意都有成立，则当时，有成立，即函数在上为增函数，又由函数是定义在R上的偶函数，则，则有，即函数为偶函数，则有，且，则有，即有；故选：A．根据题意，令，求其求导分析可得当时，有成立，即函数在上为增函数，结合题意分析函数为偶函数，进而有，转化为分析可得答案．本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数的奇偶性、单调性的综合应用，关键是构造函数，并分析函数的单调性．12【答案】C【解析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．连接，，由双曲线的定义，可得，，在中，和中，运用余弦定理求得，，由，可得，即有，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：连接，，由双曲线的定义，可得，，由，可得，，在中，可得，在中，可得，由，可得，即有，可得，化为，得，解得负的舍去，故选：C．二、填空题13【答案】1【解析】解：样本，，，的平均数和方差分别是1和4，的平均数和方差也是1和4，，解得或，当时，；当时，．则．故答案为：1．由样本，，，的平均数和方差分别是1和4，的平均数和方差也是1和4，得到，由此能求出．本题考查代数式求值，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14【答案】【解析】解：若的周期为，则，函数．若再由的图象关于直线对称，则取最值，又，，此时，，成立，故由可以推出成立．故答案为：，．若的周期为，则函数，若再由，可得，，显然能推出成立．本题考查正弦函数的对称性，三角函数的周期性与求法，确定出函数的解析式，是解题的关键．15【答案】【解析】解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，令的取值范围；利用对数的性质及基本不等式，即可证明结论．本题考查恒成立问题，考查函数的最值，考查对数的性质、基本不等式的运用，属于中档题．。

姓名，年级：时间：数学试卷一、选择题(本大题共12小题，共60。

0分）1.A. B。

C。

D.2.已知集合，，则A. B.C. 或D。

或3.已知抛物线C：,则焦点到准线的距离是A。

B. C. 3 D。

4.设，，，则A。

B。

C. D。

5.某学校组织高一和高二两个年级的同学,开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动，利用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目，倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动．现有来自高一年级的4名同学，其中男生2名、女生2名；高二年级的5名同学,其中男生3名、女生2名．现从这9名同学中随机选择4名打扫卫生,则选出的4名同学中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级的概率是A。

B。

C。

D.6.函数的部分图象大致是A。

B。

C。

D。

7.九章算术是我国最重要的数学典籍，曾被列为对数学发展形响最大的七部世界名著之一．其中的“竹九节”问题，题意是：有一根竹子，共九节,各节的容积依次成等差数列已知较粗的下3节共容4升,较瘦的上4节共容3升．根据上述条件，请问各节容积的总和是A. B。

C. D.8.已知的展开式中各项系数的和为128，则该展开式中的系数为A. 15B. 21C. 30D. 359.在以BC为斜边的直角中，，,则A。

3 B。

C。

D. 210.在长方体中，，，点E为棱上的点，且,则异面直线DE与所成角的正弦值为A. B. C. D.11.将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得各点向右平移个单位长度,最后把所得各点纵坐标扩大到原来的2倍，就得到函数的图象,则下列说法中正确的个数是函数的最小正周期为函数的最大值为2，函数图象的对称轴方程为．设，为方程的两个不相等的根，则的最小值为．A。

B。

2 C。

3 D。

412.已知,分别为双曲线C:的左、右焦点,过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点其中点A在第一象限设点H，G分别为,的内心,则的取值范围是A。

B。

C。

D。

二、填空题（本大题共4小题，共20。

2021届河北省张家口市宣化第一中学高三上学期阶段测试（二）数学试题一、单选题1．已知集合()1222M x y x x⎧⎫⎪⎪==-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}11N x x =-<<，则M N =（ ）A ．[)0,1B ．()0,1C ．(]1,0-D ．()1,0-【答案】A【分析】先求出集合M ，再根据交集定义即可求出.【详解】(){}{}122222002M x y x xx x x x x ⎧⎫⎪⎪==-=-≥=≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭， {}[)010,1M N x x ∴⋂=≤<=.故选：A.【点睛】本题考查交集运算，其中涉及函数定义域的求法，一元二次不等式的解法，属于基础题.2．已知命题:,p x R ∃∈210x x -+≥；命题:q 若22a b <，则a b <.下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝⌝∧【答案】B【分析】根据原命题的描述知p 、q ⌝是真命题、p ⌝、q 是假命题，即可判断选项正误；【详解】命题:,p x R ∃∈210x x -+≥；知：p 是真命题，p ⌝是假命题； 命题:q 若22a b <，则a b <；知：q 是假命题，q ⌝是真命题； ∴p q ⌝∧是真命题. 故选：B【点睛】本题考查了命题的真假性判断，根据原命题的真假性，应用复合命题的真假判断方法，属于简单题；3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()232xf x x xf e '=++，则()2f '的值等于A ．2-B ．222e -C ．22e -D ．222e --【答案】D【分析】求得函数的导数，然后令2x =，求得()'2f 的值.【详解】依题意()()''232x fx x f e =++，令2x =得()()''22432f f e =++，()2'222e f =--，故选D.【点睛】本小题在导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.4．函数2()ln(3)f x x ax =--在(1,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞- B ．(,2)-∞- C ．(,2]-∞ D ．(,2)-∞【答案】A【分析】根据复合函数的同增异减原理，只要保证2()3u x x ax =--在(1,)+∞上单调递增，且满足定义，即可得解.【详解】函数2()ln(3)f x x ax =--为复合函数， 令2()3u x x ax =--，ln y u =为增函数，故只要2()3u x x ax =--在(1,)+∞上为增函数即可，只要：12(1)0a u ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，解得：2a ≤-，故选：A.【点睛】本题考查了复合函数的同增异减原理，同时注意满足定义域，有一定的计算量，属于基础题.5．设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【分析】分别将a ,b 改写为331log 23a =，351log 33b =，再利用单调性比较即可. 【详解】因为333112log 2log 9333ac =<==，355112log 3log 25333b c =>==，所以a c b <<. 故选：A. 【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.6．已知函数()()f x x R ∈满足()11f =，且()f x 的导数()12f x '>，则不等式()22122x f x <+的解集为（ ）A ．(),1-∞-B ．()1,+∞C ．(][),11,-∞-+∞D ．()1,1-【答案】D【分析】构造函数()g x 并判断函数()g x 单调递增，再求得()10g =并转化不等式为()(1)g t g <，最后求不等式的解集.【详解】由题意，令2t x =，221()22x f x <+，即1()22t f t <+，即1()022t f t --<， 令1()()22x g x f x =--，则1()()02g x f x =-'>'，所以()g x 在R 上单调递增， 由因为()11f =，所以()()1111022=--=g f ，所以不等式1()022t f t --<，即为()(1)g t g <，则1t <，即21x <，所以11x -<<， 所以不等式的解集为(1,1)-. 故选：D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性求不等式的解集，是中档题. 7．函数()()22ln 11x f x x +=+的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】函数()()22ln 11x f x x +=+是由函数()22ln xg x x =向左平移1个单位得到的，而()22ln x g x x=是偶函数，所以得()()22ln 11x f x x +=+的图像关于直线1x =-对称，再取值可判断出结果. 【详解】解：因为()()22ln 11x f x x +=+是由()22ln xg x x=向左平移一个单位得到的， 因为()22ln ()(0)()xg x g x x x --==≠-，所以函数()22ln xg x x=为偶函数，图像关于y 轴对称， 所以()f x 的图像关于1x =-对称，故可排除A ，D 选项； 又当2x <-或0x >时，2ln 10x +>，()210x +>， 所以()0f x >，故可排除C 选项 .故选：B .【点睛】此题考查函数图像的识别，利用了平移、奇偶性，函数值的变化情况，属于基础题.8．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60 B ．63C ．66D ．69【答案】C【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 9．对任意实数a ，b 定义运算“”：,1,1b a b ab a a b -≥⎧=⎨-<⎩，设()()()214f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（ ） A ．[)2,1- B ．[]0,1C ．(]0,1D ．()2,1-【答案】A【分析】利用新定义化简()f x 解析式，做出()g x 的函数图象，根据图象即可得出k 的范围.【详解】解：有题意：21(4)1x x --+，解得：2x -或3x ，所以()24,(,2][3,)1,(2,3)x k x f x x k x ++∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-+∈-⎩，令()24,(,2][3,)1,(2,3)x x g x x x +∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-∈-⎩ 画出()g x 的函数图象，如图：因为函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点， 所以()y g x k =+有三个零点， 由图可得：21k -<． 故选：A ．【点睛】本题考查根据零点个数求参数的范围，求解一元二次不等式，是中档题． 10．设函数()21ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,∞+ D ．()(),10,-∞-+∞【答案】B 【详解】()21ln 2f x x ax bx =--,,,由得，()()()1111ax x f x ax a x x+-=-+-=-', 若,由,得,当时,,此时单调递增；1x > 时,,此时单调递减；所以是的极大值点．若,则由,得或．时的极大值点, ,解得．综上：,的取值范围时．故选B ．【点晴】本题是一道关于函数极值的题目,考虑运用导数求函数的极值．对求导,得,由得,将代入到导函数中,可得()()()1111ax x f x ax a x x+-=-+-=-',接下来分和两种情况,结合函数的单调性,分别求出的极大值点,从而建立的不等式求解即可．11．已知定义域为R 的函数2log (1),1()1,12,1x x f x x x +>-⎧⎪==-⎨⎪<-⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞，则()123f x x x b c ++++=（ ）A ．2log 5B ．2log 6C ．3D ．2【答案】A【分析】对每个分段中的函数表达式讨论,即可得11x =-,再根据只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞,可分析得()1,2f x =为2()()0f x bf x c --=的根,进而求得3b =,2c =-．再求()123f x x x b c ++++即可.【详解】当1x >-时．函数()f x 单调递增,则关于x 的方程2()()0f x bf x c --=在(1,)-+∞内至多只有两个解,所以1x =-必为其中一解,即11x =-．故当1x =-时,2()()0f x bf x c --=,此时由函数()1f x =,得10b c --=；①若关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解,则当1x <-时, ()2f x =也一定满足2()()0f x bf x c --=,代入得420b c --=．②联立①②,解得3b =,2c =-．当1x >-时,2()log (1)=+f x x ,由2()()0f x bf x c --=即2()3()20f x f x -+=,得22log 2(1)3log (1)20x x +-++=,解得2log (1)1x +=或2log (1)2x +=,解得21x =或33x =．所以()1232(11332)(4)log 5f x x x b c f f ++++=-+++-==． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用以及复合函数的问题,需要根据题意分析每个根满足的条件与具体值等.属于难题.12．已知函数()2f x x =，函数()g x 与()1ln(2)p x x =+--的图象关于点(1,0)-对称，若12()()f x g x =，则12x x +的最小值为（ ） A ．2B ．ln 212- C ．ln 2 D ．1ln 22【答案】D【分析】设函数()g x 上的动点为(,)x y ,则其关于点(1,0)-对称的点(2,)x y ---在函数()1ln(2)p x x =+--的图象上,由此可得()g x 的解析式,根据12()()f x g x =可得1211ln 22x x =--,进而可得122211ln 22x x x x +=--+,然后构造函数利用导数可求得最小值.【详解】设函数()g x 上的动点为(,)x y ,则其关于点(1,0)-对称的点(2,)x y ---在函数()1ln(2)p x x =+--的图象上,所以1ln[2(2)]y x -=+----,即1ln y x =--,所以()1ln g x x =--,由12()()f x g x =得1221ln x x =--,即1211ln 22x x =--, 所以122211ln 22x x x x +=--+, 令11()ln 22h x x x =--+, 则121()1(0)22x h x x x x-'=-+=>, 由()0h x '<,得102x << ; 由()0h x '>,得12x >, 所以()h x 在1(0,)2上递减,在1(,)2+∞上递增,所以12x =时,()h x 取得最小值1()2g =1111111ln ln ln 22222222--+=-=, 即12x x +的最小值为1ln 22. 故选:D【点睛】本题考查了函数图象的对称性,构造法,利用导数研究函数的最小值,利用对称性求出函数()g x 的解析式是解题关键,本题属于中档题.二、填空题13．已知函数()1ax f x e +=的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为a ，则a 的值为________. 【答案】1-【分析】求得()1ax f x ae +'=，得到()11a f ae +'=，根据题意，得出方程1a ae a +=，即可求解.【详解】由题意，函数()1ax f x e +=，可得()1ax f x ae+'=，所以()11a f ae+'=，因为函数()1ax f x e+=的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为a ，可得1a ae a +=，即11a e +=，所以10a +=，解得1a =-. 故答案为：1-.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟练应用导数的几何意义，列出方程求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.14．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()12f =，则()()()()1232020f f f f ++++=________.【答案】0.【分析】本题先利用函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得()()f x f x -=-且()00f =，再结合(1)(1)f x =f +x -可得函数()f x 是周期为4的周期函数，最后利用赋值法可求得()20f =，()32f =-，()40f =，问题得解. 【详解】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数， 所以()()f x f x -=-且()00f =又(1)(1)f x =f +x -所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦ 所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦ 所以函数()f x 的周期为4，又因为()12f =、()00f =， 在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=- 在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-= 所以()()()()2020(3)(2020)1234505004(1)(2)f f f f +f f f f +++=⨯+++=⨯=⎡⎤⎣⎦故答案为：0.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，是中档题．15．已知函数()2log f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则m n +=________. 【答案】52【分析】先画出函数图像并判断01m n <<<，再根据范围和函数单调性判断2x=m 时取最大值，最后计算得到答案.【详解】如图所示：根据函数2()log x f x =的图象得01m n <<<，所以201m m <<<．结合函数图象，易知当2x=m 时()f x 在2,m n ⎡⎤⎣⎦上取得最大值，所以()222log 2f m m == 又01m <<，所以12m =， 再结合()()f m f n =，可得2n =，所以21522m n +=+=.故答案为：52【点睛】本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法，是中档题.16．已知()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，1()()2f x lnx ax a =->，当(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a =________.【答案】1【分析】根据函数的奇偶性，确定()f x 在(0,2)上的最大值为1-，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得a 的值． 【详解】()f x 是奇函数，(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，()f x ∴在(0,2)上的最大值为1-，当(0,2)x ∈时，1()f x a x'=-， 令()0f x '=得1x a =，又12a >，102a ∴<<，令()0f x '>，则1x a <，()f x ∴在1(0,)a 上递增；令()0f x '<，则1x a>， ()f x ∴在1(a，2)上递减，111()()1max f x f ln aaaa ∴==-=-，10ln a∴=，得1a =． 故答案为：1．【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题17．直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数，0απ<<），曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求||AB 的最小值. 【答案】（1）22y x =；（2）2.【分析】（1）极坐标方程可化为2(sin )2cos ρθρθ=，代入cos ,sin x y ρθρθ==即可求出；（2）将直线l 的参数方程代入22y x =，利用韦达定理可求出.【详解】（1）由22cos sin θρθ=得2(sin )2cos ρθρθ=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入，所以曲线C 的直角坐标方程为22y x =；（2）将直线l 的参数方程代入22y x =，得22sin 2cos 10t t αα--=.设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ， 则1212222cos 1,sin sin t t t t ααα+==-， ()221212122222cos 42||4sin sin sin AB t t t t t t αααα⎛⎫∴=-=+-=+= ⎪⎝⎭， 则当2πα=时，||AB 取最小值2.【点睛】关键点睛：本题考查直线参数的几何意义，解题的关键是利用直线参数的几何意义得出12||AB t t =-.18．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若53132S =，求λ． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1λ=-．【详解】试题分析：（Ⅰ）首先利用公式11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥，得到数列{}n a 的递推公式，即可得到{}n a 是等比数列及{}n a 的通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ），用λ表示前n 项和n S ，结合n S 的值，建立方程可求得λ的值． 试题解析：（Ⅰ）由题意得，故，，. 由，得，即.由，得，所以.因此{}n a 是首项为，公比为的等比数列，于是.（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即.解得1λ=-.【解析】数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系，等比数列的定义、通项公式及前n 项和. 【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明1n na q a +=（常数）；（2）中项法，即证明212n n n a a a ++=．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）12． 【详解】试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+，再根据A B C π++=，即可得到sin sin 2sin A B C +=，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1）2a bc +=，利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得cos C 的最小值. 试题解析：（1）由题意知，sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B+=+， 化简得：2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+ 即2sin()sin sin A B A B +=+，因为A B C π++=，所以sin()sin()sin A B C C π+=-=，从而sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2a b c +=. （2）由（1）知，2a bc +=，所以222222()3112cos ()22842a b a b a b c b a C ab ab a b ++-+-===+-≥，当且仅当a b =时，等号成立，故cos C 的最小值为12. 【解析】三角恒等变换的应用；正弦定理；余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换的应用、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键.20．如图，四棱锥S ABCD -中，ABS 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，点E 是BS 的中点．（1）求证：SD ∥平面ACE ；（2）若平面ABS ⊥平面ABCD ，4AB =，120ABC ∠=︒，求三棱锥E ASD -的体积．【答案】（1）证明见解析 （2）4 【分析】（1）设AC BD O =，利用三角形中位线性质得SD OE ∥，再根据线面平行判定定理得结果；（2）取AB 的中点F ，结合面面垂直性质定理得DF ⊥平面ABS ，再根据等体积法以及利用锥体体积公式求结果. 【详解】（1）连接BD ，设ACBD O =，连接OE ，则点O 是BD 的中点．又因为E 是BS 的中点，所以SD OE ∥， 又因为SD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE 所以SD ∥平面ACE ．（2）因为四边形ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，所以1602ABD ABC ∠=∠=︒．又因为AB AD =，所以三角形ABD 是正三角形．取AB 的中点F ，连接SF ，则DF AB ⊥3DF =又平面ABS ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，平面ABS 平面ABCD AB =，所以DF ⊥平面ABS ．即DF 是四棱锥D AES -的一条高 而1sin 232ASE S SA SE ASE =⋅⋅∠=△所以E ADS D AES V V --=112323433ASE S DF =⋅=⨯△． 综上，三棱锥E ASD -的体积为4.【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直性质定理以及锥体体积公式，考查综合分析论证与求解能力，属中档基础题. 21．设函数2()1ln f x x x =+- （1）求() f x 的单调区间；（2）求函数()()g x f x x =-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．【答案】（1）单调递减区间为20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2⎫+∞⎪⎪⎝⎭；（2）1. 【分析】（1）直接求导，由()0f x '>得单调递增区间即可； （2）判断()g x 的单调性即可求出最值.【详解】解：（1）定义域为(0,)+∞， 1()2f x x x'=-， 由()0f x '>得2 2x >， ∴()f x 的单调递减区间为2⎛ ⎝⎭，单调递增区间为2⎫+∞⎪⎪⎝⎭； （2）2(l )1n x g x x x +-=-1(21)(1)()21x x g x x x x'+-=--=，由()0g x '>得1x >，∴()g x 在1(,1)2上单调递减，在(1,2)上单调递增，∴()g x 的最小值为(1)1g =. 【点晴】此题考利用导数求单调区间和最值，属于简单题.22．函数()2ln xf x ae x x =+-（e 为自然对数的底数），a 为常数，曲线()f x 在1x =处的切线方程为()10e x y +-=. （1）求实数a 的值；（2）证明：()f x 的最小值大于5ln 24+. 【答案】（1）1a =；（2）证明见解析．【分析】（1）求出导函数，利用切线的向量以及切线方程，列出方程，即可求实数a 的值；（2）通过两次求导，利用导函数的符号，判断函数的单调性，转化求解函数的最小值即可证明()f x 的最小值大于524ln +． 【详解】（1）对()f x 求导可得1()2xf x ae x x'=+-，所以f '（1）1ae =+． 由曲线()f x 在1x =处的切线方程为(1)0e x y +-=可知11ae e +=+，故1a =．（2）证明：由（Ⅰ）知2()x f x e x lnx =+-，得1()2xf x e x x'=+-， 又再次求导易知21()20xf x e x=++'>'，所以()'f x 在(0,)+∞上单调递增． 又1142111()40,()120422f e f e ''=+-<=+->， 由零点存在性定理可知存在011(,)42x ∈，使得0()0f x '=，即000120x e x x +-=，即00012x e x x =-． 当00x x <<时，()f x 单调递减；当0x x >时，()f x 单调递增．于是0222000000000011()()2(1)1x f x f x e x lnx x x lnx x lnx x x =+-=-+-=-+--， 易知200001()(1)1f x x lnx x =-+--在11(,)42上单调递减， 所以015()()()224f x f x f ln >=+． 【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，二次导函数的应用，考查计算能力，属于中档题．23．已知函数()|31||31|f x x x =++-，M 为不等式()6f x <的解集. （1）求集合M ；（2）若a ，b M ∈，求证：|1|||ab a b +>+. 【答案】（1）{}11M x x =-<<. （2）见试题解析.【详解】分析：（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x 的范围；（2）由2222(1)()(1)(1)ab a b a b +-+=--，即可证得求证的不等式.详解：（1）()31316f x x x =++-<当13x <-时，()31316f x x x x =---+=-，由66x -<解得1x >-，113x ∴-<<-； 当1133x -≤≤时，()31312f x x x =+-+=，26<恒成立，1133x ∴-≤≤； 当13x >时，()31316f x x x x =++-=由66x <解得1x <，113x ∴<<综上，()6f x <的解集{}11M x x =-<<（2）()()()2222221212ab a b a b ab a b ab +-+=++-++22221a b a b =--+ ()()2211a b =--由,a b M ∈得1,1a b << 2210,10a b ∴-<-< ()()22110a b ∴-->1ab a b ∴+>+.点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明，着重考查了的转化为转化能力和计算能力，属于中档试题，对于绝对值不等式的解法有三种：（1）利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；（2）利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；（3）通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.。