江苏省徐州市高二数学《2.2 椭圆的标准方程》学案1

江苏省泰兴中学高二数学讲义（7）椭圆及其标准方程[目标要求]1、掌握椭圆的定义及椭圆标准方程的推导.2、会求椭圆的标准方程.[重点难点]1、重点：求椭圆的标准方程2、难点：理解椭圆的定义、轨迹方程的求法[典例剖析]例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 两个焦点的坐标分别是(3,0),(3,0)-，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10.（2）已知椭圆上任一点到两焦点距离之和为10，且焦距为8.（3）经过点)3,2(),0,4(.（4）化简方程8)3()3(2222=-++++y x y x例2、已知1162422=++-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围.变题：若表示焦点在y 轴上的椭圆, 求k 的取值范围.例3、已知圆A ：25)2(22=++y x 与圆B ：22(2)1x y -+=，动圆C 与圆A 内切,且与圆B 外切，试求动圆圆心C 的轨迹方程.[学习反思]1．求椭圆标准方程的基本方法是（1）定义法（2）待定系数法2．求椭圆的标准方程时，要先“定位”，再“定量”3．方程 122=+ny m x 表示椭圆的充要条件是：n m n m ≠>>且0,0. [巩固练习]1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）,1,4==b a 焦点在x 轴上____________________；（2）15,4==c a ，焦点在y 轴上____________________；（3）52,10==+c b a ________________________2．椭圆192522=+y x 的焦点坐标是 3．若方程1162522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 4．若方程125222=+y ax )5(>a ，21F F 为椭圆焦点，12F F =8，弦AB 过1F ，则三角形2ABF 的周长为5．已知)4,0(),4,0(C B -，且三角形ABC 的周长等于18，则顶点A 的轨迹方程江苏省泰兴中学高二数学课后作业（7）班级: 姓名: 学号：【A 组题】1．椭圆1422=+y m x 的焦距是2，则m 的值为 2．已知椭圆的标准方程为1162522=+y x ，M 为椭圆上的点，则点(4,2.4)M 与焦点的距 离分别是________,，_________；3．三角形ABC 的三边AB ，BC ，AC 的长度成等差数列，且AB AC >，B 、C 坐标分别为)0,1(),0,1(-.则顶点A 的轨迹方程为4．经过两点)3,54(),4,53(--Q P 的椭圆的标准方程是____________________. 5．AB 是过椭圆左焦点F 的一弦，C 是椭圆的右焦点，已知4,90AB AC BAC ==∠=︒，则椭圆的标准方程为____________________.6.已知椭圆的焦点是)0,1(),0,1(21F F -，P 为椭圆上一点，且21F F 是21PF PF 和 的等差中项，求椭圆的方程7．已知P 为椭圆14522=+y x 上一点，以点P 及焦点21F F 为顶点的三角形面积等于1，求P 的坐标.【B 组题】1．)2,0(πα∈，方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为2．已知椭圆的两个焦点12,F F 在x 轴上，以12F F 为直径的圆与椭圆的一个交点为（3， 4），求椭圆的标准方程3．已知12,F F 是椭圆22194x y +=的焦点，P 为椭圆上的一点.若12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，且12PF PF ，求12PF PF 的值.。

椭圆及其标准方程（第1课时）导学案一．【学习目标】：1、知识与技能：理解椭圆定义、掌握标准方程及其推导。

2、过程与方法：通过教师和学生共同协作完成教学试验、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归 纳问题的能力.3、情感、态度和价值观：在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数形美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于创新和锲而不舍的精神。

增强主动与他人合作与交流的意识。

二．【学习重点】：掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想。

三．【学习难点】：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用。

四．【学习过程】：（一）探究一: 椭圆的定义1．创设问题情景：观察生活中的椭圆图片，演示椭圆形成过程．2．动手实验:学生分组画椭圆.思考：1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？实验结果:若将常数记为2a ，两定点21,F F 间的距离记为2c ，椭圆定义： 椭圆的定义用集合语言叙述为： ①当||221F F a >时，其轨迹为 ， ②当||221F F a =时，其轨迹为 ，③当||221F F a <时，其轨迹 . 探究二：椭圆标准方程的推导1.回顾：求曲线方程的一般步骤：2.思考：如何建系，使求出的椭圆方程最简单？3.推导过程：① 建系：② 设点：③ 列方程：④ 化简：讨论与思考：1.在图中，请你从中找出表示2.如果以21,F F 所在直线为y 轴，线段21F F 的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是 ，椭圆的标准方程是 ．3.如何由椭圆标准方程判断椭圆焦点位置？（二）学以致用【思考辨析 判断正误】1.已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆.( )2.已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.( )3.平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.( )【求椭圆的标准方程】例1：已知椭圆两个焦点的坐标分别是()0,2-，()0,2，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23-25，，求它的标准方程.想一想：你还能用其它方法求它的标准方程吗？解题小结：【变式练习】1.如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一焦点2F 的距离是 .2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）轴上；焦点在x b a ,1,4==（2）.,15,4轴上焦点在y c a ==例2 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12的椭圆的标准方程.解题小结：（三）学习小结：（四）巩固检测：1、已知椭圆的方程为22218x ym+=，焦点在x轴上，则其焦距为（）（A）（B）C）（D）2、若△ABC的两个顶点坐标是A（-4,0），B（4,0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是（）（A）221259x y+=（B）221259y x+=(C)221(0)169y xy+=≠(D)221(0)259x yy+=≠3、已知点（3,4）是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上的一点，F1，F2是椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，求椭圆的方程。

高二数学学案【题目】2.2.2椭圆的几何性质学案2.2.2 椭圆的几何性质 第1课时 椭圆的几何性质学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a ，b ，c 的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．知识点一 椭圆的几何性质知识点二 椭圆的离心率1．椭圆的焦距与长轴长的比e ＝ca称为椭圆的离心率．2．因为a ＞c ，故椭圆离心率e 的取值范围为(0,1)，当e 越近于1时，椭圆越扁，当e 越近于0时，椭圆越圆．【编辑】 李静升 【审核】 孟德厚【使用时间】 2019/8/221．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是a .( × )2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.( × )4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF |的最大值为a ＋c (c 为椭圆的半焦距)．( √)题型一 椭圆的几何性质例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m ＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 由已知得x 21m 2＋y 214m 2＝1(m ＞0)，∵0＜m 2＜4m 2， ∴1m 2＞14m 2， ∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距c ＝32m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m ， 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.反思感悟 从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质．跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1.性质如下：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e ＝35.题型二 椭圆几何性质的简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解 (1)由题意知，2c ＝8，c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由已知得⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.反思感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a ，b .跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6. 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆的标准方程为x 213＋y 252＝1.故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，c ＝6，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求椭圆的标准方程为x 272＋y 236＝1.命题角度2 最值问题例3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程．解 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵b a＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12，∴a ＝2b . ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.设椭圆上点M (x ，y )到点P ⎝⎛⎭⎫0，32的距离为d ， 则d 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝4b 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＋y 2－3y ＋94＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3， 令f (y )＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3. (1)当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝4b 2＋3＝7， 解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)当－12<－b ，即0<b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7， 解得b ＝7－32>12，与b <12矛盾．综上所述，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.反思感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等． 跟踪训练3 已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2 答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C. 题型三 求椭圆的离心率例4 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵F 1(－c,0)，∴P (－c ，y p )，代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2p b 2＝1，∴y 2p ＝b 4a2， ∴|PF 1|＝b 2a ＝|F 1F 2|，即b 2a＝2c ，又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2a＝2c ，∴e 2＋2e －1＝0，又0＜e ＜1，∴e ＝2－1.反思感悟 求解椭圆的离心率，其实质就是构建a ，b ，c 之间的关系式，再结合b 2＝a 2－c 2，从而得到a ，c 之间的关系式，进而确定其离心率．跟踪训练4 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12 D.33答案 D解析 由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.椭圆几何性质的应用典例 神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d 1，最远距离为d 2，地球的半径为R ，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )A ．d 1＋d 2＋RB ．d 2－d 1＋2RC ．d 2＋d 1－2RD ．d 1＋d 2考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 D解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，半焦距为c ，两焦点分别为F 1，F 2，飞行中的航天员为点P ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧d 1＋R ＝a －c ，d 2＋R ＝a ＋c ，则2a ＝d 1＋d 2＋2R ，故传送神秘信号的最短距离为|PF 1|＋|PF 2|－2R ＝2a －2R ＝d 1＋d 2.[素养评析] 将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系．利用椭圆的几何性质来解决航空航天问题，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力.1．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 答案 B解析 由已知得c ＝5，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 故椭圆的标准方程为y 26＋x 2＝1.2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12 答案 B解析 由2x 2＋3y 2＝m (m >0)，得x 2m 2＋y 2m 3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m 6，∴e 2＝13，∴e ＝33.3．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 答案 B解析 由题意有2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 答案 [4－23，4＋23]解析 因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3， 所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．5．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．答案(0，±69)解析由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．1．可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．2．椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用．3．利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题．4．椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.。

人教B版高中数学选修2-1《2.2.1椭圆的标准方程》教学设计
教材说明：人教B版普通高中课程标准实验教科书（选修2-1）
课题：2.2.1 椭圆的标准方程
课型：新授课
课时：1课时
教学目标：
知识目标：使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程。

能力目标：通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析探索能力，熟练掌握解决解析几何问题的方法——坐标法。

情感目标：通过椭圆定义及标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答，体会运
动变化、对立统一的思想。

教学重点与教学难点：
教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。

教学难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因。

教学方法：从学生的认知规律出发进行启发、诱导、探索，运用讲授法、讨论法，等充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用。

在讲授过程中要善于解疑、设疑、激疑。

教学过程设计：
取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的两点，
平面上到两定点，
以过两定点，的直线为
，.
焦点是（
a=4,c= -2，。

椭圆的标准方程(说课稿)一、教材分析1、地位及作用圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。

同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材。

推导椭圆的标准方程的方法对双曲线、抛物线方程的推导具有直接的类比作用，为学习双曲线、抛物线内容提供了基本模式和理论基础。

因此本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容。

2、教学内容与教材处理椭圆的标准方程共两课时，第一课时所研究的是椭圆标准方程的建立及其简单运用，涉及的数学方法有观察、比较、归纳、猜想、推理验证等，我将以课堂教学的组织者、引导者、合作者的身份，组织学生动手实验、归纳猜想、推理验证，引导学生逐个突破难点，自主完成问题，使学生通过各种数学活动，掌握各种数学基本技能，初步学会从数学角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的愿望和兴趣。

3、教学目标根据教学大纲和学生已有的认知基础,我将本节课的教学目标确定如下：1.知识目标①建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程，②能根据已知条件求椭圆的标准方程，③进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法，体会数形结合的数学思想。

2.能力目标①让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力，②培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力，③提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

3.情感目标①亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶，②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

4、重点难点基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为：①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法，②难点：椭圆的标准方程的推导。

二、教法设计在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。

以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。

椭圆的标准方程（1）教学目标了解的定义。

1， 掌握根据已知的条件，求椭圆的标准方程或由标准方程解答各种相关的问题，注意确定标准方程的类型，并能有机结合定义或待定系数法。

2， 熟记三个量a, b, c 之间的关系。

教学重点根据已知条件求椭圆的标准方程由标准方程解答各种相关的问题。

教学难点椭圆的定义以及a, b, c 之间的关系。

课前预习1， 椭圆：焦距：2，的标准方程： ，3，椭圆的标准方程中a 表示 b 表示 c 表示 且a, b, c,构成一个直角三角形的三边有2a = 。

4，的标准方程可以判断其焦距的位置，方法是 。

5用待定系数法求标准方程时关键是要解出待定系数，其焦点的位置不确定时，可设)(1222n m ny m x ≠=+，也可设),0,0(122B A B A By Ax ≠>>=+ 典型例题例1：已知一个贮油罐横截面的外轮廓是一个椭圆，它的焦距为2.4米，外轮廓上的点到两个焦点的距离的和为3米，求的标准方程。

例2：将圆422=+y x 的点的横坐标保持不变，纵坐标的变为原来的一半，求所得的曲线方程，并说明它是什么样的曲线？例3：（1）已知的两个焦点为)0,3(),0,3(21F F -，且经过点P 的（），（3225-，求该椭圆的标准方程。

（2）求经过点P （)1,23(321Q ），（-的标准方程。

课堂练习1， 求下列的焦点的标准方程（1） a=4,b=3,焦点在x 轴。

（2） b=1,c=15,焦点在y 轴上（3） 两个焦点分别是)0,2(),0,2(21F F -并且过点P ），（2325-（4） 经过点P （-2，0）和Q （0，-3）课堂小结。

椭圆及其标准方程1高中二班级教案教学目标1．把握椭圆的定义，把握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；2．能依据条件确定椭圆的标准方程，把握运用待定系数法求椭圆的标准方程；3．通过对椭圆概念的引入教学，培育同学的观看力量和探究力量；4．通过椭圆的标准方程的推导，使同学进一步把握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的力量；5．通过让同学大胆探究椭圆的定义和标准方程，激发同学学习数学的乐观性，培育同学的学习爱好和创新意识．教学建议教材分析1．学问结构2．重点难点分析重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式．难点是椭圆标准方程的建立和推导．关键是把握建立坐标系与根式化简的方法．椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程．椭圆是圆锥曲线这一章所要争辩的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的争辩放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中稳固和应用．先讲椭圆也与第七章的圆的方程连接自然．学好椭圆对于同学学好圆锥曲线是格外重要的．〔1〕对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以比照圆的定义来理解．另外要留意到定义中对“常数〞的限定即常数要大于．这样规定是为了防止消灭两种特殊状况，即：“当常数等于时轨迹是一条线段；当常数小于时无轨迹〞．这样有利于集中精力进一步争辩椭圆的标准方程和几何性质．但讲解椭圆的定义时留意不要忽视这两种特殊状况，以保证对椭圆定义的精确性．〔2〕依据椭圆的定义求标准方程，应留意下面几点：①曲线的方程依靠于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应当留意的地方．应让同学观看椭圆的图形或依据椭圆的定义进行推理，发觉椭圆有两条相互垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简洁，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁．②设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最终得到的方程形式整齐、简洁，要让同学认真领悟．③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是同学的难点．要留意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项．④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证明，〞方程的解为坐标的点都在椭圆上〞．这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求．〔3〕两种标准方程的椭圆异同点中心在原点、焦点分别在轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：，．它们的相同点是：外形相同、大小相同，都有，．不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同．椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大．另外，形如中，只要，，同号，就是椭圆方程，它可以化为．〔4〕教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法．例3有三个作用：第一是教给同学利用中间变量求点的轨迹的方法；其次是向同学说明，假如求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使同学知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆．教法建议〔1〕使同学了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发同学的学习爱好．为激发同学学习圆锥曲线的爱好，体会圆锥曲线学问在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要争辩的问题，使同学对所要争辩的内容心中有数，如书中所给的例子，还可以启发同学查找身边与圆锥曲线有关的例子。

第3章:椭圆与方程第1课：椭圆的标准方程一．学习目标：理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程. 二．概念梳理.1.平面内 ，叫做椭圆. 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距.2.根据椭圆的定义可知：集合{}a MF MF M P 221=+=，0,0,221>>=c a c F F ，且c a , 为常数.当a F F 221<时，集合P 为_______；当a F F =21时，集合P 为 当a F F 221>时，集合P 为 .3.焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 .焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 .其中c b a ,,满足关系为 . 三．典例分析.例1.求下列椭圆的焦点坐标.(1).13422=+y x (2).14322=+y x (3).13422=+y x (4).123422=+y x例2.已知方程125922=-++my m x . (1) 若上述方程表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围； (2) 若上述方程表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围； (3) 若上述方程表示椭圆，求实数m 的取值范围.例3.(多选题)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地球转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，下列式子正确的是( )A ．a 1＋c 1＝a 2＋c 2B ．a 1－c 1＝a 2－c 2C ．c 1a 2>a 1c 2D ．c 1a 1<c 2a 2例4.求下列椭圆的标准方程1．两个焦点坐标分别为)0,4(),0,4(21F F -,且椭圆上一点P 到两个焦点的距离之和为10； 2.已知椭圆上点)3,2(M ，且两焦点是)0,2(),0,2(21F F -； 3.经过两点)214,1(),2,2(--； 4.与椭圆192522=+y x 有相同焦点，且经过点)15,3(.四．练习题1.椭圆1222=+y m x 与椭圆116822=+y x 的焦距相等，则m 的值是 2.如果方程16222=++a y a x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是_______.3.椭圆12-5122=+-my m x ，焦点在y 轴上，则m 的取值范围是 . 4.椭圆243822=+y x 的焦点坐标为 5.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 两个焦点的坐标分别是(－4，0)和（4，0），且椭圆经过点（5，0）； (2) 中心在原点，且经过点)0,3(P ，b a 3=.第2课：椭圆的焦点三角形初探一．学习目标：掌握椭圆的焦点三角形及常见结论. 二．概念梳理:焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：21F PF ∆中， (1). c F F a PF PF 2||,2||||2121==+. (2). 焦点三角形的周长为.22c a L +=(3).21221cos 12||||PF F b PF PF ∠+=. (4). 焦点三角形的面积为：2tan sin ||||212122121PF F b PF F PF PF S ∠=∠=. ①．当||||21PF PF =，即点P 为短轴端点时，θ最大；②．S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；(5). 假设焦点21F PF ∆的内切圆半径为r ，则r c a S )(+=. 三．典例分析.例1．(多选题)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( ) A ．椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1B ．椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1C ．|PQ |＝233D ．△PF 2Q的周长为43例2.(多选题)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A (离地面最近的点)距地面m 千米，远地点B (离地面最远的点)距地面n 千米，并且F ，A ，B 三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c ，则( )A ．a －c ＝m ＋RB ．a ＋c ＝n ＋RC ．2a ＝m ＋nD ．b ＝(m ＋R )(n ＋R )例3.(1).椭圆12422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，且2||||21=-→→PF PF ，求→→⋅21PF PF .(2).椭圆13422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，且 12021=∠F PF ，则12PF F 的面积为多少？四.练习题.1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1 B ．31C ．34 D ．32 5. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 246．已知椭圆2212516x y +=的两个焦点分别为1F ， 2F ，斜率不为0的直线l 过点1F ，且交椭圆于A ， B 两点，则2ABF 的周长为（ ）． A ．10 B ．16 C ．20 D ．257．(多选题)如图，两个椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，下列四个选项正确的为( )A ．P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值B ．曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称 C ．曲线C 所围区域面积必小于36D ．曲线C 总长度不大于6π8.已知椭圆11625:22=+y x C 内有一点)3,2(M ，1F 、2F 分别为其左右焦点，P 是椭圆上一点，求：(1).||||1PF PM -的最大值与最小值； (2).||||1PF PM +的最大值与最小值.第3课：基于椭圆的轨迹问题研究一．学习目标:能够在不同情境中应用椭圆的定义求出相关的轨迹方程，会用求轨迹的基本方法求解轨迹方程，了解椭圆的第二，三定义.三．典例分析.1.基于第一定义的椭圆轨迹问题.例1.已知C B,是两个定点，8=BC ，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点Ａ的轨迹方程.例2.已知点A 为圆32)2(:22=++y x B 上任意一点，点)0,2(C ，线段AC 的中垂线交AB 于点M ，求动点M 的轨迹方程.例3.已知动圆P 与圆25)3(:22=++y x E 内切，与圆1)3(:22=+-y x F 外切，记圆心P 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程.2.基于第二定义的椭圆轨迹问题.例4.已知曲线M 上的动点(,)P x y 到定点()1,0F 距离是它到定直线:4l x =距离的一半． 求曲线M 的方程.3.基于第三定义的椭圆轨迹问题.例5.在平面直角坐标系中，动点M 分别与两个定点()2,0A -，()2,0B 的连线的斜率之积为12-.求动点M 的轨迹C 的方程.4.相关点法求轨迹.例6.已知A 为圆22:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足2.BP BA =求动点P 的轨迹方程.四.练习题110=为不含根式的形式是（ ）A.2212516x y += B.221259x y += C.2251162x y += D.221925x y +=2．设圆(x ＋1)2＋y 2＋25的圆心为C ＋A (1,0)是圆内一定点＋Q 为圆周上任一点＋线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ＋则M 的轨迹方程为( )A.224412125x y -=B.224412125x y +=C.224412521x y -=D.224412521x y += 3．(多选题)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c ，下列结论正确的是( )A ．卫星向径的取值范围是[a －c ，a ＋c ]B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小4.已知动点(),M x y 与定点()1,0F 的距离和它到直线3x =．求动点M 的轨迹方程C .5.在圆48)22(:221=++yxC内有一点)0,22(P,Q为圆1C上一动点，线段PQ的垂直平分线与QC1的连线交于点C．求点C的轨迹方程．6.设M为圆4:22=+yxC的动点，M在x轴的投影为N，动点P满足→→=MNPN32，动点P的轨迹为E.求E的方程.。

§2.2.1椭圆及其标准方程(1)制作人： 审核人： 使用日期：1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义；3．掌握椭圆的标准方程．3840，文P 32~ P 34找出疑惑之处）复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ．二、新课导学※ 学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？当122a F F =时，其轨迹为 ；当122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >．新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程()222210x y a b a b +=>> 其中222b a c =-若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 ．※ 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a c ==y 轴上；⑶10,a b c +==．变式：方程214x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．※ 动手试试练1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）．A ．B ．6C ．D ．12练2 ．方程219x y m-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．三、总结提升※ 学习小结1. 椭圆的定义：2. 椭圆的标准方程：※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）．A ．椭圆B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）．A ．(0,)+∞B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(0,1)3．如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）．A ．4B ．14C ．12D ．84．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是 ．5．如果点(,)M x y 在运动过程中，10=，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ．1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P-；⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a=；⑶10,4a c a c+=-=．2. 椭圆2214x yn+=的焦距为2，求n的值．。