一笔画问题是图论中一个著名的问题

一笔画的由来可以追溯到1736年，当时大数学家欧拉研究解决了一笔画问题。

欧拉通过分析图中的偶数点和奇数点，以及线的连接方式，找出了能够一笔画出的图形规律。

一笔画的基本规律包括以下几点：
1. 欧拉回路：一个图形中，任意两个点之间都有且仅有一条路径，则该图形被称为欧拉回路。

一笔画问题就是要找到一个欧拉回路，使得该回路的起点和终点重合。

2. 奇偶性：对于任意一个图形，其顶点可以分为奇数顶点和偶数顶点两类。

如果一个图形有偶数个顶点，则该图形可以一笔画出；如果一个图形有奇数个顶点，则该图形需要两笔画出。

3. 欧拉函数：欧拉函数是指将一个图形分解为若干个不相交的子图，使得每个子图都是一笔画出的图形，且每个子图的顶点个数不超过4个。

欧拉函数可以帮助我们判断一个图形是否可以一笔画出。

在实际应用中，一笔画问题可以应用于很多领域，如地图着色、电路设计、物流规划等。

同时，一笔画问题也是图论中的一个重要研究方向，对于理解图的结构和性质具有重要的意义。

浅谈一笔画问题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]浅谈一笔画问题摘要：一笔画问题是一个几何问题，传统意义上的几何学是研究图形的形状大小等性质，而存在一些几何问题，它们所研究的对象与图形的形状和线段的长短没关系，而只和线段的数目和它们之间的连接关系有关，比如一笔画问题就是如此。

一笔画问题是一个简单的数学游戏，即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复例如汉字‘日’和‘中’字都可以一笔画的，而‘田’和‘目’则不能。

关键词:一笔画规律原理早在18世纪，瑞士的着名数学家欧拉就找到了一笔画的规律。

欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。

连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的．但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。

能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。

一笔画问题是图论中一个着名的问题。

一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。

数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题，也提出了一笔画定理，顺带解决了一笔画问题。

一般认为，欧拉的研究是图论的开端。

与一笔画问题相对应的一个图论问题是哈密顿问题。

一、一笔画规律数学家欧拉找到一笔画的规律是：（一）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

（二）凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起，，另一个奇点终点。

（三）其他情况的图都不能一笔画出。

（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成）比如附图：（a）为（1）情况，因此可以一笔画成；（b）（c）（d）则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。

补充：相关名词的含义◎顶点与指数：设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指数。

◎奇顶点：指数为奇数的顶点。

◎偶顶点：指数为偶数的顶点。

一笔画问题是图论中一个著名的问题。

一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。

数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题，也提出了一笔画定理，顺带解决了一笔画问题[1]。

一般认为，欧拉的研究是图论的开端。

与一笔画问题相对应的一个图论问题是哈密顿问题。

目录[隐藏]1 问题的提出2 一笔画定理2.1 定理一2.2 定理二3 例子3.1 七桥问题3.2 一个可以一笔画的例子4 一笔画问题与哈密顿问题5 参见6 参考来源[编辑] 问题的提出一笔画问题是柯尼斯堡问题经抽象化后的推广，是图遍历问题的一种。

在柯尼斯堡问题中，如果将桥所连接的地区视为点，将每座桥视为一条边，那么问题将变成：对于一个有着四个顶点和七条边的连通图G(S,E)，能否找到一个恰好包含了所有的边，并且没有重复的路径。

欧拉将这个问题推广为：对于一个给定的连通图，怎样判断是否存在着一个恰好包含了所有的边，并且没有重复的路径？这就是一笔画问题。

用图论的术语来说，就是判断这个图是否是一个能够遍历完所有的边而没有重复。

这样的图现称为欧拉图。

这时遍历的路径称作欧拉路径（一个圈或者一条链），如果路径闭合（一个圈），则称为欧拉回路[1]。

一笔画问题的推广是多笔画问题，即对于不能一笔画的图，探讨最少能用多少笔来画成。

[编辑] 一笔画定理对于一笔画问题，有两个判断的准则，它们都由欧拉提出并证明[1]。

[编辑] 定理一有限图G 是链或圈的充要条件是：G为连通图，且其中奇顶点的数目等于0或者2。

有限连通图G 是圈当且仅当它没有奇顶点[2]。

证明[2][3]：必要性：如果一个图能一笔画成，那么对每一个顶点，要么路径中“进入”这个点的边数等于“离开”这个点的边数：这时点的度为偶数。

要么两者相差一：这时这个点必然是起点或终点之一。

注意到有起点就必然有终点，因此奇顶点的数目要么是0，要么是2。

充分性：如果图中没有奇顶点，那么随便选一个点出发，连一个圈C1。

浅谈一笔画问题摘要：一笔画问题是一个几何问题，传统意义上的几何学是研究图形的形状大小等性质，而存在一些几何问题，它们所研究的对象与图形的形状和线段的长短没关系，而只和线段的数目和它们之间的连接关系有关，比如一笔画问题就是如此。

一笔画问题是一个简单的数学游戏，即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复？例如汉字‘日’和‘中’字都可以一笔画的，而‘田’和‘目’则不能。

关键词:一笔画规律原理早在18世纪，瑞士的著名数学家欧拉就找到了一笔画的规律。

欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。

连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的．但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。

能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。

一笔画问题是图论中一个著名的问题。

一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。

数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题，也提出了一笔画定理，顺带解决了一笔画问题。

一般认为，欧拉的研究是图论的开端。

与一笔画问题相对应的一个图论问题是哈密顿问题。

一、一笔画规律数学家欧拉找到一笔画的规律是：（一）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

（二）凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起，，另一个奇点终点。

（三）其他情况的图都不能一笔画出。

（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成）比如附图：（a）为（1）情况，因此可以一笔画成；（b）（c）（d）则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。

补充：相关名词的含义◎顶点与指数：设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指数。

◎奇顶点：指数为奇数的顶点。

◎偶顶点：指数为偶数的顶点。

二、一笔画原理(一)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；(二)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；(三)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；(四)奇点个数超过两个的图形不是一笔画利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。

一笔画问题2014-7-15一笔画问题简单学习总结今天学的还是图论的内容——一笔画问题。

一笔画就是把一个无向图（或有向图）所有的边都遍历一遍且不重复走同样的边。

这个新知识的算法都是建立在几个数学性质上面的，分别如下：1、这个有向图（或无向图）必须是连通的。

这是最基本的条件。

2、每个点之间度的要求：无向图：满足①所有点的度数为偶数或者②有两个点度数为奇数，其他点度数为偶数，且这两个奇数点必须为一笔画中的开端和结尾。

有向图：满足①所有点出入度相等或者②有一个点出度比入度大1，另一个点入度比出度大1，其他点的出入度相等，且出度大的点为一笔画开端，入度大的点为一笔画结尾。

数学简单证明还是比较容易的，如果一个点度数为奇数，那么从该点出发，去到的无非就两种情况：偶点或奇点，偶点我们总可以绕一个圈回到该偶点重新出发。

奇点就到达终点了。

（圈套圈的思路）对于无向边，有一个特殊处理：无向边路过一条边后，要把它的反向边去掉。

这个过程可以用指针实现，用一个指针指向它的反向边。

或者，如果用数组来储存边时，因为反向边是同时申请的，所以它们的下标一定是相邻的，可以用异或操作得到。

下面介绍几种算法：1、圈套圈算法算法思想：每次在某个点随便找一条边，一直走，如果找到环，那么就相应地插入到一笔画的顺序中，环中若有嵌套环，那么同样地找下去。

算法实现：可以用链表实现插入之类的操作，但若用深搜回溯写的话，程序会非常简单。

就是从奇点（或任意点）出发，任意地深度遍历，如果当前点已经不能往下搜，那么就回溯看祖先节点是否有其他可以遍历的点，按回溯的顺序弹出的边，在无向图里面正反顺序都是一笔画正确解法，有向图里需要取反顺序。

算法优化：由于系统栈的空间局限性，在朴素的递归算法里面不能支持较大数据范围的题目，可以改成用stack栈模拟递归的操作，这样就不再会爆栈。

2、弗罗莱算法算法思想：首先在奇点出发，尽量先不走桥（若去掉该边图不连通，则该边为桥），先走环路。

一笔画问题知识要点：所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点；(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．例1：我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？奇点：E J G D例2：一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？解析：8个定点都是奇点，所以至少需要4笔．多画长和高能保证总路程最长，为A－B－G－H－A－D－C－F－E－D总长为6×4＋5×4 ＋4×1＝48分米．知识点巩固：1. 判断下面的图形能不能一笔画？为什么？A B C D2. 下面的图形都是不能一笔画成的，你能不能去掉一条线，使他们变成一笔画？3. 下面是一座公园的道路设计图，问能不能一次不重复的把所有小路都走遍？要从哪里开始？4、小明要把四个三角形和一个正方形一次性从纸上剪下来，他能做到吗？5、平安小镇上有两个邮递员，甲邮递员喜欢从A 点出发开始送信，乙邮递员喜欢从B点出发开始送信，他们俩都选择最优路线，谁能更快的跑遍多有的街道呢？6. 幸福乡有四个村庄，幸福河从村庄间流过，村民们在河上一共建了5座桥，问来到幸福乡的人能不能一次不重复地走遍所有的桥。

欧拉回路性质与应用探究湖南师大附中 仇荣琦【摘要】欧拉回路，又称“一笔画”，是图论中可行遍性问题的一种。

本文首先介绍了欧拉回路的相关理论知识，以及求欧拉回路的算法。

然后通过几个实例，介绍了与欧拉回路相关的几类典型问题。

最后对欧拉回路的模型进行了总结，指出其特点和具备的优势。

【关键词】欧拉回路 欧拉路径【正文】一 引言欧拉回路问题是图论中最古老的问题之一。

它诞生于十八世纪的欧洲古城哥尼斯堡。

普瑞格尔河流经这座城市，人们在两岸以及河中间的两个小岛之间建了七座桥（如图1）。

市民们喜欢在这里散步，于是产生了这样一个问题：是否可以找到一种方案，使得人们从自己家里出发，不重复地走遍每一座桥，然后回到家中？这个问题如果用数学语言来描述，就是在图2中找出一条回路，使得它不重复地经过每一条边。

这便是著名的“哥尼斯堡七桥问题”。

无数热衷于此的人试图解决这个问题，但均以失败告终。

问题传到了欧拉（Leonhard图2图1Euler, 1707-1783）那里，立即引起了这位大数学家的重视。

经过悉心研究，欧拉终于在1736年发表了论文《哥尼斯堡的七座桥》，不但成功地证明了“七桥问题”无解，而且找到了对于一般图是否存在这类回路的充要条件。

后人为了纪念欧拉这位伟大的数学家，便将这类回路称为欧拉回路。

欧拉回路问题在信息学竞赛中有着广泛的应用，近年来在各类比赛中出现了许多与之相关的试题。

本文将介绍欧拉回路的相关理论知识，并通过几道例题分析欧拉回路的实际应用。

二 相关知识首先介绍相关概念和定理。

设),(E V G =是一个图。

欧拉回路 图G 中经过每条边一次并且仅一次的回路称作欧拉回路。

欧拉路径 图G 中经过每条边一次并且仅一次的路径称作欧拉路径。

欧拉图 存在欧拉回路的图称为欧拉图。

半欧拉图 存在欧拉路径但不存在欧拉回路的图称为半欧拉图。

在以下讨论中，假设图G 不存在孤立点1；否则，先将所有孤立点从图中删除。

显然，这样做并不会影响图G 中欧拉回路的存在性。