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一笔画的由来可以追溯到1736年，当时大数学家欧拉研究解决了一笔画问题。
欧拉通过分析图中的偶数点和奇数点，以及线的连接方式，找出了能够一笔画出的图形规律。
一笔画的基本规律包括以下几点：
1. 欧拉回路：一个图形中，任意两个点之间都有且仅有一条路径，则该图形被称为欧拉回路。
一笔画问题就是要找到一个欧拉回路，使得该回路的起点和终点重合。
2. 奇偶性：对于任意一个图形，其顶点可以分为奇数顶点和偶数顶点两类。
如果一个图形有偶数个顶点，则该图形可以一笔画出；如果一个图形有奇数个顶点，则该图形需要两笔画出。
3. 欧拉函数：欧拉函数是指将一个图形分解为若干个不相交的子图，使得每个子图都是一笔画出的图形，且每个子图的顶点个数不超过4个。
欧拉函数可以帮助我们判断一个图形是否可以一笔画出。
在实际应用中，一笔画问题可以应用于很多领域，如地图着色、电路设计、物流规划等。
同时，一笔画问题也是图论中的一个重要研究方向，对于理解图的结构和性质具有重要的意义。
浅谈一笔画问题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]浅谈一笔画问题摘要：一笔画问题是一个几何问题，传统意义上的几何学是研究图形的形状大小等性质，而存在一些几何问题，它们所研究的对象与图形的形状和线段的长短没关系，而只和线段的数目和它们之间的连接关系有关，比如一笔画问题就是如此。
一笔画问题是一个简单的数学游戏，即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复例如汉字‘日’和‘中’字都可以一笔画的，而‘田’和‘目’则不能。
关键词:一笔画规律原理早在18世纪，瑞士的着名数学家欧拉就找到了一笔画的规律。
欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。
连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的．但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
一笔画问题是图论中一个着名的问题。
一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。
数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题，也提出了一笔画定理，顺带解决了一笔画问题。
一般认为，欧拉的研究是图论的开端。
与一笔画问题相对应的一个图论问题是哈密顿问题。
一、一笔画规律数学家欧拉找到一笔画的规律是：（一）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
（二）凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起，，另一个奇点终点。
（三）其他情况的图都不能一笔画出。
（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成）比如附图：（a）为（1）情况，因此可以一笔画成；（b）（c）（d）则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。
补充：相关名词的含义◎顶点与指数：设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指数。
◎奇顶点：指数为奇数的顶点。
◎偶顶点：指数为偶数的顶点。
一笔画问题是图论中一个著名的问题。
一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。
数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题，也提出了一笔画定理，顺带解决了一笔画问题[1]。
一般认为，欧拉的研究是图论的开端。
与一笔画问题相对应的一个图论问题是哈密顿问题。
目录[隐藏]1 问题的提出2 一笔画定理2.1 定理一2.2 定理二3 例子3.1 七桥问题3.2 一个可以一笔画的例子4 一笔画问题与哈密顿问题5 参见6 参考来源[编辑] 问题的提出一笔画问题是柯尼斯堡问题经抽象化后的推广，是图遍历问题的一种。
在柯尼斯堡问题中，如果将桥所连接的地区视为点，将每座桥视为一条边，那么问题将变成：对于一个有着四个顶点和七条边的连通图G(S,E)，能否找到一个恰好包含了所有的边，并且没有重复的路径。
欧拉将这个问题推广为：对于一个给定的连通图，怎样判断是否存在着一个恰好包含了所有的边，并且没有重复的路径？这就是一笔画问题。
用图论的术语来说，就是判断这个图是否是一个能够遍历完所有的边而没有重复。
这样的图现称为欧拉图。
这时遍历的路径称作欧拉路径（一个圈或者一条链），如果路径闭合（一个圈），则称为欧拉回路[1]。
一笔画问题的推广是多笔画问题，即对于不能一笔画的图，探讨最少能用多少笔来画成。
[编辑] 一笔画定理对于一笔画问题，有两个判断的准则，它们都由欧拉提出并证明[1]。
[编辑] 定理一有限图G 是链或圈的充要条件是：G为连通图，且其中奇顶点的数目等于0或者2。
有限连通图G 是圈当且仅当它没有奇顶点[2]。
证明[2][3]：必要性：如果一个图能一笔画成，那么对每一个顶点，要么路径中“进入”这个点的边数等于“离开”这个点的边数：这时点的度为偶数。
要么两者相差一：这时这个点必然是起点或终点之一。
注意到有起点就必然有终点，因此奇顶点的数目要么是0，要么是2。
充分性：如果图中没有奇顶点，那么随便选一个点出发，连一个圈C1。
浅谈一笔画问题摘要：一笔画问题是一个几何问题，传统意义上的几何学是研究图形的形状大小等性质，而存在一些几何问题，它们所研究的对象与图形的形状和线段的长短没关系，而只和线段的数目和它们之间的连接关系有关，比如一笔画问题就是如此。
一笔画问题是一个简单的数学游戏，即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复？例如汉字‘日’和‘中’字都可以一笔画的，而‘田’和‘目’则不能。
关键词:一笔画规律原理早在18世纪，瑞士的著名数学家欧拉就找到了一笔画的规律。
欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。
连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的．但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
一笔画问题是图论中一个著名的问题。
一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。
数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题，也提出了一笔画定理，顺带解决了一笔画问题。
一般认为，欧拉的研究是图论的开端。
与一笔画问题相对应的一个图论问题是哈密顿问题。
一、一笔画规律数学家欧拉找到一笔画的规律是：（一）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
（二）凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起，，另一个奇点终点。
（三）其他情况的图都不能一笔画出。
（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成）比如附图：（a）为（1）情况，因此可以一笔画成；（b）（c）（d）则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。
补充：相关名词的含义◎顶点与指数：设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指数。
◎奇顶点：指数为奇数的顶点。
◎偶顶点：指数为偶数的顶点。
二、一笔画原理(一)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；(二)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；(三)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；(四)奇点个数超过两个的图形不是一笔画利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。
一笔画问题2014-7-15一笔画问题简单学习总结今天学的还是图论的内容——一笔画问题。
一笔画就是把一个无向图（或有向图）所有的边都遍历一遍且不重复走同样的边。
这个新知识的算法都是建立在几个数学性质上面的，分别如下：1、这个有向图（或无向图）必须是连通的。
这是最基本的条件。
2、每个点之间度的要求：无向图：满足①所有点的度数为偶数或者②有两个点度数为奇数，其他点度数为偶数，且这两个奇数点必须为一笔画中的开端和结尾。
有向图：满足①所有点出入度相等或者②有一个点出度比入度大1，另一个点入度比出度大1，其他点的出入度相等，且出度大的点为一笔画开端，入度大的点为一笔画结尾。
数学简单证明还是比较容易的，如果一个点度数为奇数，那么从该点出发，去到的无非就两种情况：偶点或奇点，偶点我们总可以绕一个圈回到该偶点重新出发。
奇点就到达终点了。
（圈套圈的思路）对于无向边，有一个特殊处理：无向边路过一条边后，要把它的反向边去掉。
这个过程可以用指针实现，用一个指针指向它的反向边。
或者，如果用数组来储存边时，因为反向边是同时申请的，所以它们的下标一定是相邻的，可以用异或操作得到。
下面介绍几种算法：1、圈套圈算法算法思想：每次在某个点随便找一条边，一直走，如果找到环，那么就相应地插入到一笔画的顺序中，环中若有嵌套环，那么同样地找下去。
算法实现：可以用链表实现插入之类的操作，但若用深搜回溯写的话，程序会非常简单。
就是从奇点（或任意点）出发，任意地深度遍历，如果当前点已经不能往下搜，那么就回溯看祖先节点是否有其他可以遍历的点，按回溯的顺序弹出的边，在无向图里面正反顺序都是一笔画正确解法，有向图里需要取反顺序。
算法优化：由于系统栈的空间局限性，在朴素的递归算法里面不能支持较大数据范围的题目，可以改成用stack栈模拟递归的操作，这样就不再会爆栈。
2、弗罗莱算法算法思想：首先在奇点出发，尽量先不走桥（若去掉该边图不连通，则该边为桥），先走环路。
一笔画问题知识要点：所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点；(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．例1：我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？奇点：E J G D例2：一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？解析：8个定点都是奇点，所以至少需要4笔．多画长和高能保证总路程最长，为A－B－G－H－A－D－C－F－E－D总长为6×4＋5×4 ＋4×1＝48分米．知识点巩固：1. 判断下面的图形能不能一笔画？为什么？A B C D2. 下面的图形都是不能一笔画成的，你能不能去掉一条线，使他们变成一笔画？3. 下面是一座公园的道路设计图，问能不能一次不重复的把所有小路都走遍？要从哪里开始？4、小明要把四个三角形和一个正方形一次性从纸上剪下来，他能做到吗？5、平安小镇上有两个邮递员，甲邮递员喜欢从A 点出发开始送信，乙邮递员喜欢从B点出发开始送信，他们俩都选择最优路线，谁能更快的跑遍多有的街道呢？6. 幸福乡有四个村庄，幸福河从村庄间流过，村民们在河上一共建了5座桥，问来到幸福乡的人能不能一次不重复地走遍所有的桥。
欧拉回路性质与应用探究湖南师大附中 仇荣琦【摘要】欧拉回路，又称“一笔画”，是图论中可行遍性问题的一种。
本文首先介绍了欧拉回路的相关理论知识，以及求欧拉回路的算法。
然后通过几个实例，介绍了与欧拉回路相关的几类典型问题。
最后对欧拉回路的模型进行了总结，指出其特点和具备的优势。
【关键词】欧拉回路 欧拉路径【正文】一 引言欧拉回路问题是图论中最古老的问题之一。
它诞生于十八世纪的欧洲古城哥尼斯堡。
普瑞格尔河流经这座城市，人们在两岸以及河中间的两个小岛之间建了七座桥（如图1）。
市民们喜欢在这里散步，于是产生了这样一个问题：是否可以找到一种方案，使得人们从自己家里出发，不重复地走遍每一座桥，然后回到家中？这个问题如果用数学语言来描述，就是在图2中找出一条回路，使得它不重复地经过每一条边。
这便是著名的“哥尼斯堡七桥问题”。
无数热衷于此的人试图解决这个问题，但均以失败告终。
问题传到了欧拉（Leonhard图2图1Euler, 1707-1783）那里，立即引起了这位大数学家的重视。
经过悉心研究，欧拉终于在1736年发表了论文《哥尼斯堡的七座桥》，不但成功地证明了“七桥问题”无解，而且找到了对于一般图是否存在这类回路的充要条件。
后人为了纪念欧拉这位伟大的数学家，便将这类回路称为欧拉回路。
欧拉回路问题在信息学竞赛中有着广泛的应用，近年来在各类比赛中出现了许多与之相关的试题。
本文将介绍欧拉回路的相关理论知识，并通过几道例题分析欧拉回路的实际应用。
二 相关知识首先介绍相关概念和定理。
设),(E V G =是一个图。
欧拉回路 图G 中经过每条边一次并且仅一次的回路称作欧拉回路。
欧拉路径 图G 中经过每条边一次并且仅一次的路径称作欧拉路径。
欧拉图 存在欧拉回路的图称为欧拉图。
半欧拉图 存在欧拉路径但不存在欧拉回路的图称为半欧拉图。
在以下讨论中，假设图G 不存在孤立点1；否则，先将所有孤立点从图中删除。
显然，这样做并不会影响图G 中欧拉回路的存在性。
一笔画练习题一笔画练习题是一种有趣而具有挑战性的智力游戏。
它要求玩家在不抬笔、不重复线段，且必须将所有点连接起来的条件下来画出一个特定的图形。
这种练习题既可以锻炼我们的空间想象力，又能提高我们的逻辑思维和解决问题的能力。
本文将对一笔画练习题的原理进行解析，并提供一些经典的练习题供读者挑战。
一笔画练习题的原理是利用图论中的欧拉图和哈密顿图的概念。
欧拉图是指一种只有0个或2个奇数度顶点的连通图。
换言之，如果一个图中存在奇数度顶点的个数大于2，那么这个图就不可能被一笔画出。
相反，如果一个图中所有顶点的度数都是偶数，那么这个图就可以被一笔画出。
哈密顿图是指一种包含每个顶点且不重复经过每条边的图。
如果在一笔画的过程中，我们能够遍历每个点恰好一次，并且每条线段都恰好被经过一次，那么这个题目就可以被正确解答。
接下来，我们来看几个经典的一笔画练习题。
1. 五个点的一笔画题目题目要求：画出一个正五边形，五个顶点依次为A、B、C、D、E。
解答：根据欧拉图的原理，五个顶点都是偶数度，因此可以一笔画出。
首先，我们可以从A点开始，按照顺时针或逆时针的方向连接四个线段分别到达B、C、D、E五个顶点，最终回到A点，形成一个正五边形。
2. 六个点的一笔画题目题目要求：画出一个六边形，六个顶点依次为F、G、H、I、J、K。
解答：根据欧拉图的原理，六个顶点中有两个顶点的度数为奇数，所以不可能一笔画出。
这也是六个点的一笔画题目中常见的例子，可以提醒我们在做一笔画题时要注意图的结构。
3. 七个点的一笔画题目题目要求：画出一个正方形，七个顶点依次为L、M、N、O、P、Q、R。
解答：根据欧拉图的原理，七个顶点中有一个顶点的度数为奇数，所以不可能一笔画出。
我们可以设想，从任意一个顶点开始，我们无法回到这个顶点，因为每次画线段都必须经过一个未访问的点，而这个未访问的点最后不能回到起点。
因此，无论从哪个点开始，都无法满足条件。
通过以上的例子，我们可以看出在一笔画练习题中，图的结构对是否能够一笔画出影响很大。
一笔画欧拉定理一笔画欧拉定理：连接世界的线条一笔画欧拉定理，也被称为欧拉路径定理或七桥问题，是数学中一项经典的问题。
该问题的核心是，是否可能通过一个图中的每条边恰好经过一次，且不重复，最终回到起点。
这个问题源于18世纪瑞士的柯尼斯堡市，柯尼斯堡市由七座桥连接着两岸，人们思考着如何能够一次性地经过每座桥一次。
欧拉定理的解决，引领了图论的发展，并为后世的研究提供了重要的启示。
它不仅仅是一项数学问题，更是一种思维方式，代表着人类对于连接和探索的渴望。
首先，让我们来了解一下欧拉定理的基本概念。
在图论中，图是由节点（也称为顶点）和边组成的一种抽象结构。
一笔画问题中，节点表示地点，而边则表示连接这些地点的路径。
而所谓“一笔画”，就是通过一条线条将所有的节点连接起来，而且每个节点只经过一次。
欧拉定理告诉我们，一个图能够一笔画的条件是：只有零个或两个节点的度数是奇数，其余节点的度数都是偶数。
度数是指与一个节点相连的边的数量。
这个定理的证明是基于欧拉路径的存在性以及其特点的推导。
那么，为什么欧拉定理如此重要呢？首先，欧拉定理为图论提供了一个重要的研究基础。
图论是一门研究节点和边之间关系的数学学科，它在计算机科学、电子工程、通信网络等领域有广泛的应用。
欧拉定理为图论的发展提供了一个重要的起点，为后续的研究奠定了基础。
其次，欧拉定理的解决也启发了人们对于连接和探索的思考。
在欧拉定理的背后，我们看到了人类对于连接世界的渴望。
人类历史上，无论是地理探险、交通建设还是互联网的发展，都在不断地寻求连接的方式。
欧拉定理的解决，让我们明白了连接并不仅仅是一种物理的行为，更是一种思维方式和哲学观念。
欧拉定理还启发了我们对于问题解决的思考方式。
在解决欧拉路径问题时，我们需要不断地观察、分析和推理，找到一种满足条件的解决方案。
这种思考方式在现实生活中同样适用，我们可以借鉴欧拉定理的思想，通过观察、分析和推理来解决各种复杂的问题。
此外，欧拉定理的应用也不仅仅局限于数学领域。
揭秘数学中的魔法：一笔成画的神秘理论在数学的世界里，有一种令人着迷的理论，它能让一条连续的线条在纸面上自由穿梭，最终形成一幅美丽的图案。
这种理论被称为“一笔成画”，它不仅是数学家的宠儿，也吸引了无数艺术爱好者和探索者的目光。
今天，就让我们一起走进这个神秘的世界，揭开一笔成画的神秘面纱吧！一、一笔成画的起源与定义一笔成画，顾名思义，就是用一笔连续不断地画出整个图形。
这种绘画方式看似简单，实则蕴含着深刻的数学原理。
在数学上，一笔成画被称为“一笔画问题”，它是图论中的一个重要分支。
一笔画问题的研究起源于著名的哥尼斯堡七桥问题，当时的人们试图找到一种方法，能够不重复、不遗漏地走过城市的七座桥。
这个问题最终由数学家欧拉解决，他通过将实际问题抽象为图形，并运用数学方法进行分析，为一笔画问题奠定了坚实的基础。
二、一笔成画的原理与分类一笔成画的原理主要基于图论中的“欧拉路径”和“欧拉回路”概念。
简单来说，如果一个图形中的每个节点（即交叉点或端点）都有偶数条边相连，那么这个图形就可以一笔画成，且起点和终点相同，这种路径被称为欧拉回路；如果一个图形中有且仅有两个节点具有奇数条边相连，那么这个图形也可以一笔画成，但起点和终点不同，这种路径被称为欧拉路径。
根据欧拉路径和欧拉回路的原理，我们可以将一笔成画的图形分为两类：封闭图形和开放图形。
封闭图形是指起点和终点重合的图形，如圆形、正方形等；开放图形是指起点和终点不重合的图形，如直线、折线等。
这两种图形在一笔成画的过程中有着不同的特点和规律。
三、一笔成画的技巧与实例掌握了一笔成画的原理后，我们就可以尝试运用一些技巧来画出各种美丽的图案。
首先，我们需要选择合适的起点和终点，以确保图形能够一笔画成。
其次，我们需要合理规划线条的走向和交叉点的位置，以使得最终形成的图案既美观又符合数学原理。
例如，我们可以尝试用一笔画出一个五角星。
首先，我们选择一个合适的起点，然后沿着五角星的轮廓连续不断地画出线条，直到回到起点。
要想提高别人，请先提高自己兴隆镇中心小学乔飞自从踏上教学之路，我始终在高年级从事数学教学。
有时候，也手托着下巴沉思：自己如果教一年级的孩子，会是个什么样子？正好今年我所教的六年级毕业班，有一些孩子跟不上六年级的课程教学，主要是他们的根基太差，知识衔接存在断层，从而使我突发奇想，不行就从一年级试一把，给学生们补习一下知识。
这一补才知道自己都存在一些问题，看来补是正确的选择。
第一个问题：一笔画的问题读书过程中，虽然接触过此类问题，但一时自己却有些淡忘了。
当学生突然间把教科书中：‚‘田’字一笔画能行吗？‛提出来之后，我还是迟疑了。
我只记得是数学家欧拉提出的著名问题；于是上网一搜，不得了，自己不但回忆起一笔画的问题，还学到了新的知识：哈密顿问题。
我首先是这样看到的：一笔画问题是图论中一个著名的问题。
一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。
数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题，也提出了一笔画定理，顺带解决了一笔画问题。
一般认为，欧拉的研究是图论的开端。
一笔画的概念是讨论某图形是否可以一笔画出。
图形中任何端点根据所连接线条数被分为奇点、偶点。
只有所有点为偶点的图形和只有两个奇点的图形可以一笔画。
只有偶点的图形不限出发点，只有两个奇点必然从其中一点出发到另一点结束。
在任何图形中，奇点都是成对出现的，没有奇数个奇点的图形。
■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
■⒊其他情况的图都不能一笔画出。
(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成）然后，与之相关的知识点出现了：一笔画问题与哈密顿问题。
一笔画问题讨论的是能否不重复地遍历一个图的所有边，至于其中有否顶点的遍历或重复经过则没有要求。
哈密顿问题讨论的则是顶点的遍历：能否不重复地遍历一个图的所有顶点？哈密顿问题由哈密顿在1856年首次提出，至今尚未完全解决。
一笔画问题(欧拉图)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2010-10-18 17:32 by EricZhang(T2噬菌体), 3556 visits, 网摘, 收藏, 编辑关于一笔画问题的数学分析（对一道面试题的总结与扩展思考）摘要前几天参加了一个公司的面试，其中被问到了一个题。
面试官在纸上画了一个图形（具体图形见下文），问我能不能一笔画出这个图形，要求每条边必须只走一次，并且画的过程中笔不能离开纸。
当时我没有试着去画，而是凭着自己图论方面的知识在几秒钟之内告诉面试官不可能做到，然后简单说了一下理由。
面试结束后我翻阅了图论相关的资料，发现当时自己虽然给出了正确答案，但理由并不完全正确。
昨天我花了几个小时仔细研究了一下相关的理论，总结了一下这类问题的类型和解法，写成此文，分享给大家。
问题的提出当时面试官给我出的问题是这样的：对于下面这个图形，让我一笔画出，要求每条边必须只走一次，并且画的过程中笔不能离开纸。
面试时我给出的回答是不可能做到，面试结束后我也从数学上证明了这个这个回答。
当然有兴趣的朋友可以试着画画看。
这个问题其实就是我们小时候会玩到的一笔画游戏。
这类问题看似简单直观，但是仔细研究下来却蕴含了很多东西，而且涉及了图论中一个非常重要的研究课题——欧拉迹。
而且这类问题可以扩展出很多东西，例如任意给一个图可不可以完成一笔画且最后回到起始点？再如到底什么样的图可以一笔画出来？什么样的图一笔画不出来？如果一个图可以一笔画出来，那么应该如何画？有没有对一切可一笔画图形的通用解法？下面我们将这个问题抽象成一般问题，然后从图论角度寻找上述疑问的答案。
图论中的一些概念因为在下文论述过程中需要用到一些图论的基本概念，为了照顾在这方面不熟悉的朋友，我先将要用到的定义和概念列出来，如果您对图论的基本内容已经了然于胸，可以跳过这一节。
一笔画的数学原理一笔画是一种经典的解谜游戏，游戏规则是在不重复经过已经画出的线条的情况下，连接所有的点。
这看起来非常简单，但实际上涉及到了很多数学原理。
首先，我们可以从图论的角度来看待这个问题。
将每个点看做图中的一个节点，将连接两个点的线条看做图中的一条边。
那么，一笔画的问题就转化成了在图中找到一条欧拉回路。
欧拉回路是指通过每条边恰好一次，回到起点的路径。
如果图中有一条欧拉回路，那么就可以通过一笔画将所有点相连。
但是，并不是所有的图都存在欧拉回路。
欧拉回路存在的条件是：图中所有节点的度数都是偶数或者只有两个点的度数是奇数，其余节点的度数都是偶数。
因此，如果我们想要确定一个图是否可以通过一笔画连接所有点，就需要先判断它是否满足欧拉回路的条件。
此外，如果一个图不是连通的，也就是说其中存在两个及以上的子图，那么每个子图都需要满足欧拉回路的条件，才能通过一笔画连接所有点。
除了图论，数学中的拓扑学也与一笔画有关。
拓扑学研究的是空间形态的不变性，而一笔画也是在二维平面上进行的空间变换。
因此，一笔画问题被认为是拓扑学中的一个经典问题。
最后，值得一提的是，一笔画问题还涉及到了数学中的图染色问题。
如果我们将每个点看做一个节点，将通过线条相连的节点看做相邻节点，那么我们可以给每个节点染上一种颜色。
如果图中不存在相邻两点颜色相同的情况，那么这个图就是二分图。
而二分图可以通过一笔画将每种颜色的节点连接起来。
综上所述，一笔画问题是一个非常有趣的数学问题，它涉及到了图论、拓扑学和图染色等多个数学分支。
通过研究一笔画问题，我们可以深入了解这些数学原理，并能够更好地理解数学中的空间形态问题。
一笔画问题是图论中一个著名的问题。
一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。
数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题，也提出了一笔画定理，顺带解决了一笔画问题[1]。
一般认为，欧拉的研究是图论的开端。
与一笔画问题相对应的一个图论问题是哈密顿问题。
目录[隐藏]
1 问题的提出
2 一笔画定理
2.1 定理一
2.2 定理二
3 例子
3.1 七桥问题
3.2 一个可以一笔画的例子
4 一笔画问题与哈密顿问题
5 参见
6 参考来源
[编辑] 问题的提出
一笔画问题是柯尼斯堡问题经抽象化后的推广，是图遍历问题的一种。
在柯尼斯堡问题中，如果将桥所连接的地区视为点，将每座桥视为一条边，那么问题将变成：对于一个有着四个顶点和七条边的连通图G(S,E)，能否找到一个恰好包含了所有的边，并且没有重复的路径。
欧拉将这个问题推广为：对于一个给定的连通图，怎样判断是否存在着一个恰好包含了所有的边，并且没有重复的路径？这就是一笔画问题。
用图论的术语来说，就是判断这个图是否是一个能够遍历完所有的边而没有重复。
这样的图现称为欧拉图。
这时遍历的路径称作欧拉路径（一个圈或者一条链），如果路径闭合（一个圈），则称为欧拉回路[1]。
一笔画问题的推广是多笔画问题，即对于不能一笔画的图，探讨最少能用多少笔来画成。
[编辑] 一笔画定理
对于一笔画问题，有两个判断的准则，它们都由欧拉提出并证明[1]。
[编辑] 定理一
有限图G是链或圈的充要条件是：G为连通图，且其中奇顶点的数目等于0或者2。
有限连通图G是圈当且仅当它没有奇顶点[2]。
证明[2][3]：
必要性：如果一个图能一笔画成，那么对每一个顶点，要么路径中“进入”这个点的边数等于“离开”这个点的边数：这时点的度为偶数。
要么两者相差一：这时这个点必然是起点或终点之一。
注意到有起点就必然有终点，因此奇顶点的数目要么是0，要么是2。
充分性：
如果图中没有奇顶点，那么随便选一个点出发，连一个圈C1。
如果这个圈就是原图，那么
结束。
如果不是，那么由于原图是连通的，C1 和原图的其它部分必然有公共顶点s1。
从这一点出发，在原图的剩余部分中重复上述步骤。
由于原图是有限图，经过若干步后，全图被分为一些圈。
由于两个相连的圈就是一个圈，原来的图也就是一个圈了。
如果图中有两个奇顶点u 和v，那么加多一条边将它们连上后得到一个无奇顶点的有限连通图。
由上知这个图是一个圈，因此去掉新加的边后成为一条链，起点和终点是u 和v。
[编辑] 定理二
如果有限连通图G有2k 个奇顶点，那么它可以用k 笔画成，并且至少要用k 笔画成[2]。
证明[2][3]：将这2k 个奇顶点分成k 对后分别连起，则得到一个无奇顶点的有限连通图。
由上知这个图是一个圈，因此去掉新加的边后至多成为k 条链，因此必然可以用k 笔画成。
但是假设全图可以分为q 条链，则由定理一知，每条链中只有两个奇顶点，于是。
因此必定要k 笔画成。
[编辑] 例子
图一：无法一笔画
图二：尽管按照中文书写习惯“串”字不止一笔，但它可以一笔写成。
[编辑] 七桥问题
右图一是七桥问题抽象化后得到的模型，由四个顶点和七条边组成。
注意到四个顶点全是奇顶点，由定理一可知无法一笔画成。
[编辑] 一个可以一笔画的例子
图二是中文“串”字抽象化后得到的模型。
由于只有最上方和最下方的顶点是奇顶点，由定理一知它可以一笔画成。
[编辑] 一笔画问题与哈密顿问题
一笔画问题讨论的是能否不重复地遍历一个图的所有边，至于其中有否顶点的遍历或重复经过则没有要求。
哈密顿问题讨论的则是顶点的遍历：能否不重复地遍历一个图的所有顶点？[4]哈密顿问题由哈密顿在1856年首次提出，至今尚未完全解决[2]。
[编辑] 参见
柯尼斯堡七桥问题
哈密尔顿问题
树(图论)
中国邮递员问题
[编辑] 参考来源
^ 1.0 1.1 1.2 Janet Heine Barnett, Early Writings on Graph Theory: Euler Circuits and The KÄonigsberg Bridge Problem
^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 熊斌，郑仲义，《图论》，第四章，38-46，华东师范大学出版社。
^ 3.0 3.1 详细的证明
^ 欧拉图和哈密顿图。
