4上海交通大学2010年矩阵理论试题

上海交通大学2010－2011学年《矩阵理论》试卷

本试卷共四道大题，总分100分，其中*A 表示矩阵A 的共轭转置. 一、单项选择题（每题3分，共15分）

1. 设⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛=00

1001

001A ，则=-199200A A ( ) （A ）E ； （B ）0； （C ）A ； （D ）2A .

2. 下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是( )

（A ） 次数等于)1(≥m m 的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与

多项式的通常乘法；

（B ） Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法； （C ） 平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算

0x x k =⋅，k

是实数，0x 是某一取定向量；

（D ） 投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法. 3. 线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( )

（A ）保持向量的长度不变； （B ）将标准正交基变为标准正交基；

（C ）保持任意两个向量的夹角不变；（D ）在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵.

4. 设A 是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( )

（A ）A 与对角矩阵相似； （B ）A 的特征值只可能是1或者0；

（C ）A A )1sin()sin(=； （D ）幂级数10

)(-∞

=-=∑A E A k k .

5. 设21,V V 是V 的两个线性子空间，则与命题“21V V +的任意元素的分解式唯一”不等价的命题是( )

（A ）{}021=⋂V V ； （B ）2121dim dim )dim(V V V V +=+； （C ）21V V +的零元素的分解式唯一； （D ）V V V =⋃][21. 二、填空题（每空3分，共15分）

设二维线性空间V 的线性变换V V T :1与V V T :2在基21,αα下的矩阵分别为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02

01

,12

01B A . 1、21,T T 的乘积:21T T V V 在基21,αα下的矩阵为 . 2、=)(dim 1T R .

3、)()(21T N T R ⋂的一个基为 .

4、若常数k 使得)(B A k +为幂收敛矩阵，则k 应该满足的条件是 .

5、⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛B B

A 0的Jordan 标准型为 .

三、计算题（12分）

向量空间22⨯R 中的内积通常定义为

.))(,)((,

),(22222

1

2

1

⨯⨯=====

∑∑ij ij i j ij ij

b B a A b a

B A

选取⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=1110,00

11

21A A ，构造子空间],[21A A W =. 1、求⊥W 的一组基；

2、利用已知的W 和⊥W 求22⨯R 的一个标准正交基. 四、计算题（18分） 已知

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-=11

0130

002

A . 1、求矩阵A 的Jordan 标准型J 和可逆矩阵P 使得A 相似于J ； 2、计算矩阵A e ； 3、求下列微分方程组的解

⎪⎩⎪⎨⎧==,)0(,

0x x Ax dt

dx ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=1110x . 五、计算题（10分） 设n

m C

A ⨯∈的秩为r ，A 的奇异值分解为*

UDV A =，

n

m O O

O D ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ

=，

),,(21r s s s diag ，=Λ.求矩阵)(A A B =的奇异值分解和它的Moore-Penrose 广

义逆.

六、计算题（18分）

设多项式空间})({][3322104R a t a t a t a a t f t P i ∈+++==中的线性变换为

3

032

322110)()()()()(t

a a t a a t a a a a t Tf -+-+-+-=.

1、取定一组基，求该线性变换在该基下的矩阵A ；

2、求与A 相关的四个子空间)(),(),(T A R A R A N 和)(T A N ；

3、求线性变换T 的值域的基与维数；

4、求线性变换T 的核的基与维数. 七、证明题（6分）

设n n C A ⨯∈. 证明A 是正定矩阵当且仅当存在一个正定矩阵B ，使得

2

B A =.

八、证明题（6分）

设A 为n 阶矩阵，证明：A 非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式)(λg 使得0)(=A g .