江苏省苏州中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题 含答案

2020-2021学年江苏省苏州中学高三（上）调研数学试卷（10月份）试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={x|x2-x-2≤0}.B={x|y= √x} .则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤2}B.{x|0≤x≤2}C.{x|x≥-1}D.{x|x≥0}2.（单选题.5分）已知sin(α−π4)=35. α∈(0，π2) .则cosα=（）A. √210B. 3√210C. √22D. 7√2103.（单选题.5分）若b＜a＜0.则下列不等式：① |a|＞|b|；② a+b＜ab；③ a2b＜2a−b中.正确的不等式的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个4.（单选题.5分）函数f（x）=ax2+bx（a＞0.b＞0）在点（1.f（1））处的切线斜率为2.则8a+bab的最小值是（）A.10B.9C.8D. 3√25.（单选题.5分）Logistic模型是常用数学模型之一.可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）= K1+e−0.23(t−53).其中K为最大确诊病例数．当I（t*）=0.95K时.标志着已初步遏制疫情.则t*约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.696.（单选题.5分）已知函数f(x)={xlnx，x＞0xe x，x≤0则函数y=f（1-x）的图象大致是（）A.B.C.D.7.（单选题.5分）若定义在R上的奇函数f（x）满足对任意的x∈R.都有f（x+2）=-f（x）成立.且f（1）=8.则f（2019）.f（2020）.f（2021）的大小关系是（）A.f（2019）＜f（2020）＜f（2021）B.f（2019）＞f（2020）＞f（2021）C.f（2020）＞f（2019）＞f（2021）D.f（2020）＜f（2021）＜f（2019）8.（单选题.5分）地面上有两座相距120m的塔.在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α.在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α2.且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角.则两塔的高度分别为（）A.50m.100mB.40m.90mC.40m.50mD.30m.40m9.（多选题.5分）等腰直角三角形直角边长为1.现将该三角形绕其某一边旋转一周.则所形成的几何体的表面积可以为（ ） A. √2π B. (1+√2)π C. 2√2π D. (2+√2π)10.（多选题.5分）关于x 的不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0的解集中恰有3个整数.则a 的值可以为（ ） A.2 B.1 C.-1 D. −1211.（多选题.5分）声音是由物体振动产生的声波.其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y=Asinωt .我们听到的声音是由纯音合成的.称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数 f (x )=sinx +12sin2x .则下列结论正确的是（ ） A.2π是f （x ）的一个周期 B.f （x ）在[0.2π]上有3个零点 C.f （x ）的最大值为3√34D.f （x ）在 [0，π2] 上是增函数12.（多选题.5分）对于具有相同定义域D 的函数f （x ）和g （x ）.若存在函数h （x ）=kx+b （k.b 为常数）对任给的正数m.存在相应的x 0∈D 使得当x∈D 且x ＞x 0时.总有 {0＜f (x )−ℎ(x )＜m 0＜ℎ(x )−g (x )＜m.则称直线l ：y=kx+b 为曲线y=f （x ）和y=g （x ）的“分渐近线”．下列定义域均为D={x|x ＞1}的四组函数中.曲线y=f （x ）和y=g （x ）存在“分渐近线”的是（ ） A.f （x ）=x 2.g （x ）= √x B.f （x ）=10-x +2.g （x ）= 2x−3xC.f （x ）=x 2+1x .g （x ）= xlnx+1lnxD.f（x）= 2x2x+1.g（x）=2（x-1-e-x）13.（填空题.5分）若二次函数f（x）=-x2+2ax+4a+1有一个零点小于-1.一个零点大于3.则实数a的取值范围是___ ．14.（填空题.5分）在整数集Z中.被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”.记为[k].即[k]={5n+k|n∈Z}.k=0.1.2.3.4．给出如下四个结论：① 2014∈[4]；② -3∈[3]；③ Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④ 整数a.b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．其中.正确的结论是___ ．15.（填空题.5分）已知sinθ+cosθ= 713.θ∈（0.π）.则tanθ=___ ．16.（填空题.5分）已知A、B、C是平面上任意三点.BC=a.CA=b.AB=c.则y=ca+b +bc的最小值是___ ．17.（问答题.10分）已知集合A={x|y=log2（-4x2+15x-9）.x∈R}.B={x||x-m|≥1.x∈R}．（1）求集合A；（2）若p：x∈A.q：x∈B.且p是q的充分不必要条件.求实数m的取值范围．18.（问答题.12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π2）的部分图象如图所示.其中点P（1.2）为函数图象的一个最高点.Q（4.0）为函数图象与x轴的一个交点.O为坐标原点．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位得到y=g（x）的图象.求函数h（x）=f（x）•g（x）图象的对称中心．19.（问答题.12分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形.点O为AC中点.平面AA1C1C⊥平面ABC．（1）证明：A1O⊥平面ABC；（2）求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值．20.（问答题.12分）已知函数f（x）=x2+（x-1）|x-a|．（1）若a=-1.解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增.求实数a的取值范围；（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立.求a的取值范围．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy中.已知椭圆x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B.焦距为2.直线l与椭圆交于C.D两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时.四边形ACBD的面积为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线AC.BD的斜率分别为k1.k2．① k2=3k1.求证：直线l过定点；② 若直线l过椭圆的右焦点F.试判断k1k2是否为定值.并说明理由．22.（问答题.12分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）.其中a∈R. （Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数.并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0.f（x）≥0成立.求a的取值范围．2020-2021学年江苏省苏州中学高三（上）调研数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）已知集合A={x|x2-x-2≤0}.B={x|y= √x} .则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤2}B.{x|0≤x≤2}C.{x|x≥-1}D.{x|x≥0}【正确答案】：C【解析】：推导出集合A.B.由此能求出A∪B．【解答】：解：∵集合A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}.B={x|y= √x}={x|x≥0}.∴A∪B={x|x≥-1}．故选：C．【点评】：本题考查并集的求法.考查并集定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（单选题.5分）已知sin(α−π4)=35. α∈(0，π2) .则cosα=（）A. √210B. 3√210C. √22D. 7√210【正确答案】：A【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（α- π4）的值.进而根据α=（α- π4）+π4.利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．【解答】：解：因为sin(α−π4)=35. α∈(0，π2) .所以α- π4∈（- π4.- π4）.可得cos（α- π4）= √1−sin2(α−π4) = 45.则cosα=cos[（α- π4）+ π4]=cos（α- π4）cos π4-sin（α- π4）sin π4= 45× √22- 35×√22= √210．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式.两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用.考查了计算能力和转化思想.属于基础题．3.（单选题.5分）若b＜a＜0.则下列不等式：① |a|＞|b|；② a+b＜ab；③ a2b＜2a−b中.正确的不等式的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：C【解析】：利用不等式的性质逐一判断.即可得结论．【解答】：解：若b＜a＜0.则|b|＞|a|.故① 错误；若b＜a＜0.则a+b＜0.ab＞0.∴a+b＜ab.故② 正确；a2 b -（2a-b）= a2−2ab+b2b= (a−b)2b.由（a-b）2＞0.b＜0.∴ (a−b)2b ＜0.即a2b＜2a−b .故③ 正确．故正确的不等式有2个．故选：C．【点评】：本题主要考查不等式的基本性质.及作差法比较大小的应用.属于基础题．4.（单选题.5分）函数f（x）=ax2+bx（a＞0.b＞0）在点（1.f（1））处的切线斜率为2.则8a+bab的最小值是（）A.10B.9C.8D. 3√2【正确答案】：B【解析】：求出原函数的导函数.由f′（1）=2a+b=2.得a+b2=1 .把8a+bab变形为8b+1a后整体乘以1.展开后利用基本不等式求最小值．【解答】：解：由f（x）=ax2+bx.得f′（x）=2ax+b.又f（x）=ax2+bx（a＞0.b＞0）在点（1.f（1））处的切线斜率为2. 所以f′（1）=2a+b=2.即a+b2=1．则8a+bab = 8b+1a=(a+b2)(8b+1a)=8ab+b2a+5≥2√8ab•b2a+5=9．当且仅当{2a+b=28ab=b2a.即{a=13b=43时“=”成立．所以8a+bab的最小值是9．故选：B．【点评】：本题考查了导数的运算.考查了利用基本不等式求最值.考查了学生灵活变换和处理问题的能力.是中档题．5.（单选题.5分）Logistic模型是常用数学模型之一.可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）= K1+e−0.23(t−53).其中K为最大确诊病例数．当I（t*）=0.95K时.标志着已初步遏制疫情.则t*约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69【正确答案】：C【解析】：根据所给材料的公式列出方程K1+e−0.23(t∗−53)=0.95K.解出t即可．【解答】：解：由已知可得K1+e−0.23(t∗−53) =0.95K.解得e-0.23（t*-53）= 119.两边取对数有-0.23（t*-53）=-ln19.解得t*≈66.故选：C．【点评】：本题考查函数模型的实际应用.考查学生计算能力.属于中档题6.（单选题.5分）已知函数f(x)={xlnx，x＞0xe x，x≤0则函数y=f（1-x）的图象大致是（）A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：利用导数分析出f（x）的单调性.进而得到f（x）图象示意图.再根据f（1-x）图象与f（x）图象的关系即可进行判断【解答】：解：当x＞0时.f（x）=xlnx.则令f′（x）=lnx+1=0.解得x= 1e.所以当0＜x＜1e 时.f（x）单调递减.x＞1e时.f（x）单调递增.当x≤0时.f（x）= xe x .则令f′（x）= 1−xe x≥0.所以当x≤0时.f（x）单调递增.作出函数f（x）的图象如图：又因为f（1-x）的图象时将f（x）图象先关于y轴对称.再向右移动一个单位得到的.故根据f（x）图象可值f（1-x）图象为故选：B．【点评】：本题考查函数图象的变换.涉及导数判断函数单调性.数形结合思想.属于中档题．7.（单选题.5分）若定义在R上的奇函数f（x）满足对任意的x∈R.都有f（x+2）=-f（x）成立.且f（1）=8.则f（2019）.f（2020）.f（2021）的大小关系是（）A.f（2019）＜f（2020）＜f（2021）B.f（2019）＞f（2020）＞f（2021）C.f（2020）＞f（2019）＞f（2021）D.f（2020）＜f（2021）＜f（2019）【正确答案】：A【解析】：根据题意.分析可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x）.即函数f（x）是周期为4的周期函数.由此结合函数的奇偶性可得f（2019）、f（2020）和f（2021）的值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.函数f（x）满足对任意的x∈R.都有f（x+2）=-f（x）成立.则有f（x+4）=-f（x+2）=f（x）.即函数f（x）是周期为4的周期函数.f（2020）=f（0+4×505）=f（0）=0.f（2021）=f（1+4×505）=f（1）=8.f（2019）=f（-1+4×505）=f（-1）=-f（1）=-8.故有f（2019）＜f（2020）＜f（2021）.故选：A．【点评】：本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用.注意分析函数的周期.属于基础题． 8.（单选题.5分）地面上有两座相距120m 的塔.在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α.在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为 α2.且在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角.则两塔的高度分别为（ ） A.50m.100m B.40m.90m C.40m.50m D.30m.40m 【正确答案】：B【解析】：由题意如图所示.分别在两个三角形中求出AB.CD 用α的表示的代数式.再由在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角.可得OA⊥OC .可得tan∠AOB•tan∠COD=1.进而可得AB.CD 的关系.求出AB.CD 的值【解答】：解：设AB.CD 分别为两个塔.BD=120m.O 为BD 的中点. 由题意如图所示：可得AB=BD•tan α2 =120•tan α2 . CD=BD•tanα=120•tanα=120 •2tanα21−tan 2α2.因为在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角.可得OA⊥OC . tan∠AOB•tan∠COD=1. 即 AB 12BD•CD 12BD=1.所以 AB•CD12×120×12×120=1.即AB•CD=602. 而AB•CD=120•tan α2 •120 •2tan α21−tan 2α2. 所以1=8tan 2α21−tan 2α2.tan α2 ＞0.解得tan α2 = 13 .所以AB=120×tan α2 =40. CD=120×2tanα21−tan 2α2=90.故选：B ．【点评】：本题考查正切的二倍角公式的应用及互相垂直的直线的应用.属于中档题．9.（多选题.5分）等腰直角三角形直角边长为1.现将该三角形绕其某一边旋转一周.则所形成的几何体的表面积可以为（）A. √2πB. (1+√2)πC. 2√2πD. (2+√2π)【正确答案】：AB【解析】：分两个情况绕的边为直角边和斜边讨论.当绕的边是直角边是.所形成的几何体的表面积为底面面积加侧面面积.当绕斜边时扇形面积既是所形成的几何体的表面积.而扇形面积等于12×c底面周长×l母线长.进而求出所形成的几何体的表面积．【解答】：解：若绕一条直角边旋转一周时.则圆锥的底面半径为1.高为1.所以母线长l= √2 .这时表面积为12•2π•1•l+π•12=（1+ √2）π；若绕斜边一周时旋转体为两个底对底的圆锥组合在一起.且由题意底面半径为√22.一个圆锥的母线长为1.所以表面积S=2 •12 2 π•√22•1= √2π .综上所述该几何体的表面积为√2π .（1+ √2）π.故选：AB．【点评】：考查旋转体的表面积.属于中档题．10.（多选题.5分）关于x的不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0的解集中恰有3个整数.则a的值可以为（）A.2B.1C.-1D. −12【正确答案】：CD【解析】：利用已知条件判断a的符号.求出不等式对应方程的根.然后列出不等式求解即可．【解答】：解：关于x的不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0的解集中恰有3个整数.所以a＜0.因为a≥0时.不等式的解集中的整数有无数多个．不等式（ax-1）（x+2a-1）＞0.对应的方程为：（ax-1）（x+2a-1）=0.方程的根为：1a和1-2a；由题意知. 1a＜0.则1-2a≤3.解得a≥-1；当a=-1时.不等式的解集是（-1.3）.解集中含有3个整数：0.1.2；满足题意．当a=- 12时.不等式的解集是（-2.2）.解集中含有3个整数：-1.0.1；满足题意．当a∈（-1.- 12）时.不等式的解集是（1a.1-2a）.解集中含有4个整数：-1.0.1.2；不满足题意．当a∈（- 12 .0）时.不等式的解集是（1a.1-2a）.解集中含有整数个数多于4个.不满足题意．综上知.a的值可以是-1和12．故选：CD．【点评】：本题主要考查了一元二次不等式的解法与应用问题.也考查了分类讨论思想.是中档题．11.（多选题.5分）声音是由物体振动产生的声波.其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y=Asinωt.我们听到的声音是由纯音合成的.称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+12sin2x .则下列结论正确的是（）A.2π是f（x）的一个周期B.f（x）在[0.2π]上有3个零点C.f（x）的最大值为3√34D.f（x）在[0，π2]上是增函数【正确答案】：ABC【解析】：求出函数y=sinx与y= 12sin2x的周期.取最小公倍数求原函数的周期判断A；求出函数的零点个数判断B；利用导数求最值判断C；举例说明D错误．【解答】：解：∵y=sinx的周期为2π.y= 12sin2x的周期为π.∴ f(x)=sinx+12sin2x的周期为2π.故A正确；由 f (x )=sinx +12sin2x =0.得sinx+sinxcosx=0.得sinx=0或cosx=-1. ∵x∈[0.2π].∴x=0.x=π.x=2π.则f （x ）在[0.2π]上有3个零点.故B 正确； 函数 f (x )=sinx +12sin2x 的最大值在[0. π2 ]上取得.由f′（x ）=cosx+cos2x=2cos 2x+cosx-1=0.可得cosx= 12.当x∈（0. π3）时.cosx 单调递减.原函数单调递增.当x∈（ π3 . π2 ）时.cosx 单调递减.原函数单调递减.则当x= π3 时.原函数求得最大值为sin π3 +12sin 2π3 = 3√34.故C 正确；∵f （ π4 ）=sin π4 + 12sin π2 = √2+12 ＞1.f （ π2 ）=sin π2+ 12sinπ =1.∴f （x ）在 [0，π2] 上不是增函数.故D 错误． 故选：ABC ．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用.考查三角函数的图象与性质.训练了利用导数求最值.属难题．12.（多选题.5分）对于具有相同定义域D 的函数f （x ）和g （x ）.若存在函数h （x ）=kx+b （k.b 为常数）对任给的正数m.存在相应的x 0∈D 使得当x∈D 且x ＞x 0时.总有 {0＜f (x )−ℎ(x )＜m 0＜ℎ(x )−g (x )＜m.则称直线l ：y=kx+b 为曲线y=f （x ）和y=g （x ）的“分渐近线”．下列定义域均为D={x|x ＞1}的四组函数中.曲线y=f （x ）和y=g （x ）存在“分渐近线”的是（ ） A.f （x ）=x 2.g （x ）= √x B.f （x ）=10-x +2.g （x ）= 2x−3xC.f （x ）=x 2+1x .g （x ）= xlnx+1lnxD.f （x ）= 2x 2x+1.g （x ）=2（x-1-e -x ）【正确答案】：BD【解析】：本题从大学数列极限定义的角度出发.仿造构造了分渐近线函数.目的是考查学生分析问题、解决问题的能力.考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时.f （x ）-g （x ）→0进行作答.是一道好题.思维灵活.要透过现象看本质．【解答】：解：f （x ）和g （x ）存在分渐近线的充要条件是x→∞时.f （x ）-g （x ）→0． f （x ）=x 2.g （x ）= √x .当x ＞1时便不符合.所以A 不存在；对于B.f （x ）=10-x +2.g （x ）= 2x−3x肯定存在分渐近线.因为当时.f （x ）-g （x ）→0； 对于C.f （x ）= x 2+1x .g （x ）= xlnx+1lnx . f (x )−g (x )=1x −1lnx .设λ（x ）=x-lnx. λn (x )=1x 2 ＞0.且lnx ＜x.所以当x→∞时x-lnx 越来愈大.从而f （x ）-g （x ）会越来越小.不会趋近于0. 所以不存在分渐近线； 对于D.f （x ）= 2x 2x+1 .g （x ）=2（x-1-e -x ）.当x→+∞时. f (x )−g (x )=−21+1x+2+2e x →0 .故选：BD ．【点评】：本题较难.涉及到部分大学内容.属于拓展类题目13.（填空题.5分）若二次函数f （x ）=-x 2+2ax+4a+1有一个零点小于-1.一个零点大于3.则实数a 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1] (45，+∞)【解析】：利用二次函数根的分布问题即可求解．【解答】：解：根据二次函数根的分布思想.要满足题意只需： {f (−1)＞0f (3)＞0 .即 {−1−2a +4a +1＞0−9+6a +4a +1＞0 .解得 {a ＞0a ＞45 .即a ＞45 .故答案为：（ 45，+∞ ）．【点评】：本题考查了二次函数根的分布问题.考查了学生对二次函数图象的掌握熟练度.属于基础题．14.（填空题.5分）在整数集Z 中.被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”.记为[k].即[k]={5n+k|n∈Z}.k=0.1.2.3.4．给出如下四个结论：① 2014∈[4]； ② -3∈[3]； ③ Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④ 整数a.b 属于同一“类”的充要条件是“a -b∈[0]”． 其中.正确的结论是___ ． 【正确答案】：[1] ① ③ ④【解析】：根据“类”的定义.逐一进行判断即可；对于 ① .看2014除以5的余数即可；对于 ② .将-3表示成5×（-1）+2即可判断；对于 ③ .被5除所得余数有且只有五类；对于 ④ .根据定义分析即可．【解答】：解： ① ∵2014÷5=402…4.∴2014∈[4].故 ① 正确； ② ∵-3=5×（-1）+2.∴-3∉[3].故 ② 错误；③ 因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类.故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4].故 ③ 正确；④ ∵整数a.b 属于同一“类”.∴整数a.b 被5除的余数相同.从而a-b 被5除的余数为0. 反之也成立.故“整数a.b 属于同一“类”的充要条件是“a -b∈[0]”．故 ④ 正确． 故答案为： ① ③ ④【点评】：本题考查命题的真假性判断.读懂题目中的新定义是关键.属于中档题． 15.（填空题.5分）已知sinθ+cosθ= 713 .θ∈（0.π）.则tanθ=___ ． 【正确答案】：[1]- 125【解析】：利用同角三角函数的基本关系求得2sinθcosθ=- 120169 .可得θ为钝角.tanθ＜0；再根据2sinθcosθ= 2tanθtan 2θ+1 =- 120169 .求得tanθ的值．【解答】：解：∵sinθ+cosθ= 713 .∴1+2sinθcosθ= 49169 .∴2sinθcosθ=- 120169 ＜0. 结合θ∈（0.π）.可得θ为钝角.∴tanθ＜0． 再根据2sinθcosθ= 2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ = 2tanθtan 2θ+1 =- 120169 .∴tanθ=- 125.故答案为：- 125．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用.属于基础题． 16.（填空题.5分）已知A 、B 、C 是平面上任意三点.BC=a.CA=b.AB=c.则 y =ca+b +bc 的最小值是___ ．【正确答案】：[1] √2−12【解析】：先将函数变形.并化简.再利用基本不等式.即可求得结论．【解答】：解：依题意.得b+c≥a .于是 y =ca+b +bc = ca+b +b+c c−1= ca+b +b+c+b+c2c −1≥ ca+b +a+b+c2c−1 = ca+b+a+b2c−12≥ √2−12其中.等号当且仅当b+c=a且ca+b =a+b2c.即a= 1+√22c .b= −1+√22c时成立．所以.所求最小值为√2−12故答案为：√2−12【点评】：本题考查基本不等式的运用.解题的关键是化简函数.并利用基本不等式求最值.属于中档题．17.（问答题.10分）已知集合A={x|y=log2（-4x2+15x-9）.x∈R}.B={x||x-m|≥1.x∈R}．（1）求集合A；（2）若p：x∈A.q：x∈B.且p是q的充分不必要条件.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据条件可知集合A即求y=log2(−4x2+15x−9) .故可表示出A=(34，3) .（2）由题得B=[m+1.+∞）∪（-∞.m-1].根据p是q的充分不必要条件可知A是B的真子集.根据集合包含关系即可求出m取值范围．【解答】：解：（1）集合A即为函数y=log2(−4x2+15x−9)定义域.即需-4x2+15x-9＞0.即（x-3）（4x-3）＜0.解得A=(34，3)；（2）由|x-m|≥1⇔x-m≥1或x-m≤-1.即x≥m+1或x≤m-1.则B=[m+1.+∞）∪（-∞.m-1].因为p是q的充分不必要条件.所以A是B的真子集.则m+1≤34或3≤m−1 .解得m≤−14或m≥4 .所以实数m的取值范围是(−∞，−14]∪[4，+∞)．【点评】：本题考查命题及其关系.涉及函数求定义域.集合的包含关系等知识点.属于中档题．18.（问答题.12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π2）的部分图象如图所示.其中点P（1.2）为函数图象的一个最高点.Q（4.0）为函数图象与x轴的一个交点.O为坐标原点．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位得到y=g（x）的图象.求函数h（x）=f（x）•g（x）图象的对称中心．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意得振幅A.周期T.利用周期公式可求ω.将点P（1.2）代入解析式.结合范围0＜φ＜π2.可求φ.即可得解函数解析式．（Ⅱ）利用三角函数的图象变换可得g（x）=2sin π6x.利用三角函数恒等变换可求h（x）=1+2sin（π3 x- π6）.由π3x−π6=kπ .即可得解对称中心．【解答】：（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由题意得振幅A=2.周期T=4×（4-1）=12.又2πω =12.则ω= π6…（2分）将点P（1.2）代入f（x）=2sin（π6x+φ）.得sin（π6x+φ）=1.∵0＜φ＜π2.∴φ= π3.…（4分）故f（x）=2sin（π6 x+ π3）…（5分）（Ⅱ）由题意可得g（x）=2sin[ π6（x-2）+ π3]=2sin π6x…（7分）∴h（x）=f（x）•g（x）=4sin（π6 x+ π3）•sin π6x=2sin2π6x+2 √3 sin π6x•cos π6x=1-cos π3x+√3 sin π3x=1+2sin（π3 x- π6）…（10分）由π3x−π6=kπ .得：x=3k+12(k∈Z)．∴y=h（x）图象的对称中心为：(3k+1，1)(k∈Z)…（12分）2【点评】：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式.函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换.三角函数恒等变换的应用.正弦函数的图象和性质的应用.考查了转化思想.属于中档题．19.（问答题.12分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形.点O为AC中点.平面AA1C1C⊥平面ABC．（1）证明：A1O⊥平面ABC；（2）求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）证明A1O⊥AC.通过平面AA1C1C⊥平面ABC.推出A1O⊥平面ABC．（2）如图.以O为原点.OB.OC.OA1为x.y.z轴.建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标.求出平面A1BC1的法向量为n⃗=(x，y，z) .设直线AB与平面A1BC1所成角为α.利用空间向量的数量积求解即可．【解答】：（1）证明：∵AA1=A1C.且O为AC的中点.∴A1O⊥AC.又∵平面AA1C1C⊥平面ABC.且交线为AC.又A1O⊂平面AA1C1C.∴A1O⊥平面ABC；（2）解：如图.以O为原点.OB.OC.OA1为x.y.z轴.建立空间直角坐标系．由已知可得O （0.0.0）A （0.-1.0） ，B(√3，0，0) ，A 1(0，0，√3) C 1(0，2，√3) . A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，0，−√3) . AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，1，0) ，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，0) 平面A 1BC 1的法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) . 则有 {2y =0√3x −√3z =0.所以 n ⃗ 的一组解为 n ⃗ =(1，0，1) . 设直线AB 与平面A 1BC 1所成角为α. 则sinα= |cos ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|又∵ cos ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •n⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |= √32√2 = √64 . 所以直线AB 与平面A 1BC 1所成角的正弦值： √64 ．【点评】：本题考查直线与平面所成角的求法.平面与平面垂直的判断定理的应用.考查空间想象能力以及计算能力．20.（问答题.12分）已知函数f （x ）=x 2+（x-1）|x-a|． （1）若a=-1.解方程f （x ）=1；（2）若函数f （x ）在R 上单调递增.求实数a 的取值范围；（3）若a ＜1且不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x∈R 恒成立.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）取a=-1把函数分段.然后分段求解方程f （x ）=1； （2）分x≥a 和x ＜a 对函数分段.然后由f （x ）在R 上单调递增得到不等式组 {a+14≤aa +1＞0.求解不等式组得到实数a 的取值范围；（3）写出分段函数g （x ）.不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x∈R 恒成立.等价于不等式g （x ）≥0对一切实数x∈R 恒成立.然后求出函数在不同区间段内的最小值.求解不等式得答案．【解答】：解：（1）当a=-1时.f （x ）=x 2+（x-1）|x+1|. 故有 f (x )={2x 2−1， x ≥−11， x ＜−1.当x≥-1时.由f （x ）=1.有2x 2-1=1.解得x=1或x=-1． 当x ＜-1时.f （x ）=1恒成立． ∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}； （2） f (x )={2x 2−(a +1)x +a ， x ≥a (a +1)x −a ，x ＜a.若f （x ）在R上单调递增.则有 {a+14≤aa +1＞0.解得 a ≥13 ．∴当 a ≥13时.f （x ）在R 上单调递增； （3）设g （x ）=f （x ）-（2x-3）.则 g (x )={2x 2−(a +3)x +a +3，x ≥a(a −1)x −a +3， x ＜a.不等式f （x ）≥2x -3对一切实数x∈R 恒成立.等价于不等式g （x ）≥0对一切实数x∈R 恒成立． ∵a ＜1.∴当x∈（-∞.a ）时.g （x ）单调递减.其值域为（a 2-2a+3.+∞）. 由于a 2-2a+3=（a-1）2+2≥2. ∴g （x ）≥0成立．当x∈[a .+∞）时.由a ＜1.知 a ＜a+34.g （x ）在x=a+34处取得最小值. 令 g (a+34)=a +3−(a+3)28≥0 .解得-3≤a≤5.又a ＜1. ∴-3≤a ＜1． 综上.a∈[-3.1）．【点评】：不同考查了函数恒成立问题.考查了二次函数的性质.体现了数学转化思想方法.考查了不等式的解法.是压轴题．21.（问答题.12分）在平面直角坐标系xOy 中.已知椭圆 x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 、B.焦距为2.直线l 与椭圆交于C.D 两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l 过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时.四边形ACBD 的面积为6． （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线AC.BD 的斜率分别为k 1.k 2． ① k 2=3k 1.求证：直线l 过定点；② 若直线l 过椭圆的右焦点F.试判断 k1k 2是否为定值.并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意焦距为2.设点C （1.y 0）.代入椭圆 x 2a2 + y 2b2 =1（a ＞b ＞0）.解得 y 0=±b 2a .从而四边形ACBD 的面积6=2 S △ABC =2a •b 2a=2b 2.由此能求出椭圆的标准方程． （2） ① 由题意AC ：y=k 1（x+2）.联立直线与椭圆的方程 x 24+y 23=1 .得（3+4k 12）x 2+16k 12-12=0.推导出C （- 8k 12−63+4k 12 . 12k 13+4k 12 ）.D （ 8k 22−63+4k 22 .- 12k 23+4k 22）.由此猜想：直线l 过定点P（1.0）.从而能证明P.C.D 三点共线.直线l 过定点P （1.0）． ② 由题意设C （x 1.y 1）.D （x 2.y 2）.直线l ：x=my+1.代入椭圆标准方程： x 24+y 23=1.得（3m 2+4）y 2+6my-9=0.推导出y 1+y 2=- 6m 3m 2+4 .y 1y 2=- 93m 2+4 .由此推导出 k 1k 2= y 1x 1+2y 2x 2−2= y 1(x 2−2)y 2(x 1+2) = y 1(my 2−1)y 2(my 1+3) = my 1y 2−y 1my 1y 2+3y 2 = 13（定值）．【解答】：解：（1）由题意焦距为2.可设点C （1.y 0）.代入椭圆 x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）.得 1a 2+y 02b 2=1.解得 y 0=±b 2a .∴四边形ACBD 的面积6=2 S △ABC =2a •b 2a=2b 2. ∴b 2=3.a 2=4.∴椭圆的标准方程为 x 24+y 23=1．证明：（2） ① 由题意AC ：y=k 1（x+2）. 联立直线与椭圆的方程 x 24+y 23=1 .得（3+4 k 12 ）x 2+16k 12-12=0.∴-2x 1= 16k 12−123+4k 12 .解得x 1= 6−8k 123+4k 12 .从而y 1=k 1（x 1+1）= 12k13+4k 12 .∴C （- 8k 12−63+4k 12 . 12k 13+4k 12 ）.同理可得D （ 8k 22−63+4k 22 .- 12k23+4k 22 ）.猜想：直线l 过定点P （1.0）.下证之： ∵k 2=3k 1.∴k PC -k PD =12k 13+4k 12−8k 12−63+4k 12−1 -−12k 23+4k 228k 22−63+4k 22−1= 4k11−4k 12+12k 24k22−9= 4k 11−4k 12 + 36k 136k 12−9 = 4k 11−4k 12 - 4k 11−4k 12 =0. ∴P .C.D 三点共线.∴直线l 过定点P （1.0）． 解： ② k1k 2为定值.理由如下：由题意设C （x 1.y 1）.D （x 2.y 2）.直线l ：x=my+1. 代入椭圆标准方程： x 24+y 23=1.得（3m 2+4）y 2+6my-9=0. ∴y 1.2=−6m±√36m 2+36(3m 2+4)2(3m 2+4). ∴y 1+y 2=- 6m3m 2+4 .y 1y 2=- 93m 2+4 .∴ k 1k 2= y 1x 1+2y 2x 2−2 = y 1(x 2−2)y 2(x 1+2) = y 1(my 2−1)y 2(my 1+3) = my 1y 2−y 1my 1y 2+3y 2 = −9m 3m 2+4−(−6m3m 2+4−y 2)−9m3m 2+4+3y 2 =−3m3m 2+4+y 2−9m3m 2+4+3y 2= −3m3m 2+4+y 2−9m3m 2+4+3y 2 = 13 （定值）．【点评】：本题考查椭圆标准方程的求法.考查直线过定点的证明.考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法.考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识.考查运算求解能力.考查化归与转化思想.是中档题．22.（问答题.12分）设函数f （x ）=ln （x+1）+a （x 2-x ）.其中a∈R . （Ⅰ）讨论函数f （x ）极值点的个数.并说明理由； （Ⅱ）若∀x ＞0.f （x ）≥0成立.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）.其中a∈R.x∈（-1.+∞）．f′(x)=1x+1+2ax−a = 2ax2+ax−a+1x+1．令g（x）=2ax2+ax-a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时.此时f′（x）＞0.即可得出函数的单调性与极值的情况．（2）当a＞0时.△=a（9a-8）．① 当0＜a≤89时.△≤0. ② 当a ＞89时.△＞0.即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当a＜0时.△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．（II）由（I）可知：（1）当0≤a ≤89时.可得函数f（x）在（0.+∞）上单调性.即可判断出．（2）当89＜a≤1时.由g（0）≥0.可得x2≤0.函数f（x）在（0.+∞）上单调性.即可判断出．（3）当1＜a时.由g（0）＜0.可得x2＞0.利用x∈（0.x2）时函数f（x）单调性.即可判断出；（4）当a＜0时.设h（x）=x-ln（x+1）.x∈（0.+∞）.研究其单调性.即可判断出【解答】：解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）.其中a∈R.x∈（-1.+∞）．f′(x)=1x+1+2ax−a = 2ax2+ax−a+1x+1．令g（x）=2ax2+ax-a+1．（1）当a=0时.g（x）=1.此时f′（x）＞0.函数f（x）在（-1.+∞）上单调递增.无极值点．（2）当a＞0时.△=a2-8a（1-a）=a（9a-8）．① 当0＜a≤89时.△≤0.g（x）≥0.f′（x）≥0.函数f（x）在（-1.+∞）上单调递增.无极值点．② 当a ＞89时.△＞0.设方程2ax2+ax-a+1=0的两个实数根分别为x1.x2.x1＜x2．∵x1+x2= −12.∴ x1＜−14 . x2＞−14．由g（-1）＞0.可得-1＜x1＜−14．∴当x∈（-1.x1）时.g（x）＞0.f′（x）＞0.函数f（x）单调递增；当x∈（x1.x2）时.g（x）＜0.f′（x）＜0.函数f（x）单调递减；当x∈（x2.+∞）时.g（x）＞0.f′（x）＞0.函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（3）当a＜0时.△＞0．由g（-1）=1＞0.可得x1＜-1＜x2．∴当x∈（-1.x2）时.g（x）＞0.f′（x）＞0.函数f（x）单调递增；当x∈（x2.+∞）时.g（x）＜0.f′（x）＜0.函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时.函数f（x）有一个极值点；时.函数f（x）无极值点；当0≤a ≤89时.函数f（x）有两个极值点．当a ＞89（II）由（I）可知：时.函数f（x）在（0.+∞）上单调递增．（1）当0≤a ≤89∵f（0）=0.∴x∈（0.+∞）时.f（x）＞0.符合题意．＜a≤1时.由g（0）≥0.可得x2≤0.函数f（x）在（0.+∞）上单调递增．（2）当89又f（0）=0.∴x∈（0.+∞）时.f（x）＞0.符合题意．（3）当1＜a时.由g（0）＜0.可得x2＞0.∴x∈（0.x2）时.函数f（x）单调递减．又f（0）=0.∴x∈（0.x2）时.f（x）＜0.不符合题意.舍去；＞0．（4）当a＜0时.设h（x）=x-ln（x+1）.x∈（0.+∞）.h′（x）= xx+1∴h（x）在（0.+∞）上单调递增．因此x∈（0.+∞）时.h（x）＞h（0）=0.即ln（x+1）＜x.可得：f（x）＜x+a（x2-x）=ax2+（1-a）x.时.当x＞1−1aax2+（1-a）x＜0.此时f（x）＜0.不合题意.舍去．综上所述.a的取值范围为[0.1]．【点评】：本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值.考查了分析问题与解决问题的能力.考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力.属于难题．。

高三（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B=．2．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）3．计算：=．4．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=．5．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为．6．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则实数a的取值范围为．7．若方程2x+x=4的解所在区间为[m，m+1]（m∈Z），则m=．8．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为．9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是．10．设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m2﹣m，则m的取值范围是．11．已知1+2x+4x•a＞0对一切x∈（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是．12．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是．13．设方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，函数f （x）=（x+p）（x+q）+2，则f （2），f （0），f （3）的大小关系为．14．设方程|ax﹣1|=x的解集为A，若A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是．二、解答题15．已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=，（1）当a=2时，求A∩B；（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．17．设函数．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）最新年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？19．已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B={0，1} ．【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即B=[0，1]，∵A={0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故答案为：{0，1}2．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，则（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要3．计算：=11．【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：=+3+（0.5）﹣2=4+3+4=11．故答案为：11．4．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=2．【考点】幂函数的性质．【分析】把幂函数y=xα的图象经过的点（2，）代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数解析式，从而求得f（4）的值．【解答】解：∵已知幂函数y=xα的图象过点（2，），则2α=，∴α=，故函数的解析式为f（x）=x，∴f（4）=4=2，故答案为：2．5．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．【考点】复合函数的单调性．【分析】由真数大于0求出函数的定义域，进一步得到内函数的减区间，然后由复合函数的单调性得答案．【解答】解：由2x2﹣3＞0，得x或x．∵内函数t=2x2﹣3在（﹣）上为减函数，且外函数y=lnt为定义域上的增函数，∴函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．故答案为：（﹣）．6．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则实数a的取值范围为（﹣1，3）．【考点】特称命题．【分析】命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则命题“∀x∈R，x2+（a ﹣1）x+1＞0”是真命题，可得△＜0，解出即可得出．【解答】解：命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则命题“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1＞0”是真命题，则△=（a﹣1）2﹣4＜0，解得﹣1＜a＜3．则实数a的取值范围为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．7．若方程2x+x=4的解所在区间为[m，m+1]（m∈Z），则m=1．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】方程2x+x=4的解转化为函数f（x）=2x+x﹣4的零点问题，把区间端点函数值代入验证即可．【解答】解：令f（x）=2x+x﹣4，由y=2x和y=x﹣4均为增函数，故f（x）=2x+x﹣4在R上为增函数，故f（x）=2x+x﹣4至多有一个零点，∵f（1）=2+1﹣4＜0f（2）=4+2﹣4＞0∴f（x）=2x+x﹣4在区间[1，2]有一个零点，即方程方程2x+x=4的解所在区间为[1，2]，故m=1，故答案为：18．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为﹣e．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx0+1）x﹣x0，对照已知直线列出最新x0、m的方程组，解之即可得到实数m的值．【解答】解：设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数，得∴切线的斜率k=lnx0+1，故切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），整理得y=（lnx0+1）x﹣x0，与y=2x+m比较得，解得x0=e，故m=﹣e．故答案为：﹣e9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【考点】函数的值域．【分析】f（x）是分段函数，在每一区间内求f（x）的取值范围，再求它们的并集得出值域；由f（x）的值域为R，得出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=，当x＞2时，f（x）=2x+a，在（2，+∞）上为增函数，f（x）∈（4+a，+∞）；当x≤2时，f（x）=x+a2，在（﹣∞，2]上为增函数，f（x）∈（﹣∞，2+a2]；若f（x）的值域为R，则（﹣∞，2+a2]∪（4+a，+∞）=R，则2+a2≥4+a，即a2﹣a﹣2≥0解得a≤﹣1，或a≥2，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．10．设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m2﹣m，则m的取值范围是（﹣1，2）．【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性．【分析】根据f（x）为奇函数且周期为3便可得到f（2）=﹣f（1），这便得到f （1）=﹣m2+m，根据f（1）＞﹣2即可得到﹣m2+m＞﹣2，解该不等式即可得到m的取值范围．【解答】解：根据条件得：f（2）=f（2﹣3）=f（﹣1）=﹣f（1）=m2﹣m；∴f（1）=﹣m2+m；∵f（1）＞﹣2；∴﹣m2+m＞﹣2；解得﹣1＜m＜2；∴m的取值范围为（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．11．已知1+2x+4x•a＞0对一切x∈（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是（﹣，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】分离出参数a后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．【解答】解：1+2x+4x•a＞0可化为a＞，令t=2﹣x，由x∈（﹣∞，1]，得t∈[，+∞），则a＞﹣t2﹣t，﹣t2﹣t=﹣在[，+∞）上递减，当t=时﹣t2﹣t取得最大值为﹣，所以a＞﹣．故答案为：（﹣，+∞）．12．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（3，+∞）．【考点】对数函数的值域与最值；对数的运算性质．【分析】画出函数f（x）的图象，则数形结合可知0＜a＜1，b＞1，且ab=1，再将所求a+2b化为最新a的一元函数，利用函数单调性求函数的值域即可【解答】解：画出y=|lgx|的图象如图：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1∴﹣lga=lgb即ab=1∴y=a+2b=a+，a∈（0，1）∵y=a+在（0，1）上为减函数，∴y＞1+=3∴a+2b的取值范围是（3，+∞）故答案为（3，+∞）13．设方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，函数f （x）=（x+p）（x+q）+2，则f （2），f （0），f （3）的大小关系为f（3）＞f（2）=f（0）．【考点】二次函数的性质．【分析】把两个方程分别看作指数函数与直线y=﹣x﹣2的交点B和对数函数与直线y=﹣x﹣2的交点A的横坐标分别为p和q，而指数函数与对数函数互为反函数则最新y=x对称，求出AB的中点坐标得到p+q=﹣2；然后把函数f（x）化简后得到一个二次函数，对称轴为直线x=﹣=1，所以得到f（2）=f（0）且根据二次函数的增减性得到f（2）和f（0）都小于f（3）得到答案．【解答】解：如图所示：，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0可以分别看作方程方程2x=﹣x﹣2和方程log2x=﹣x﹣2，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，即分别为函数y=2x与函数y=﹣x﹣2的交点B横坐标为p；y=log2x与y=﹣x﹣2的交点C横坐标为q．由y=2x与y=log2x互为反函数且最新y=x对称，所以BC的中点A一定在直线y=x 上，联立得，解得A点坐标为（﹣1，﹣1），根据中点坐标公式得到=﹣1即p+q=﹣2，则f（x）=（x+p）（x+q）+2=x2+（p+q）x+pq+2为开口向上的抛物线，且对称轴为x=﹣=1，得到f（0）=f（2）且当x＞1时，函数为增函数，所以f（3）＞f（2），综上，f（3）＞f（2）=f（0）故答案为：f（3）＞f（2）=f（0）．14．设方程|ax﹣1|=x的解集为A，若A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是a=﹣1或﹣≤a≤1或a≥．【考点】其他不等式的解法．【分析】将绝对值不等式转化为不等式组，然后解之．【解答】解：∵A⊂≠[0，2]，方程两边平方得a2x2﹣2ax+1=x2，整理得（a2﹣1）x2﹣2ax+1=0，当a=1时，方程为|x﹣1|=x，解得x=，A={}，满足题意；当a=﹣1时，方程为|x+1|=x，解得x=﹣，A=∅，满足题意；当a2﹣1≠0时，方程等价于[（a+1）x﹣1][（a﹣1）x﹣1]=0，要使A⊂≠[0，2]，①两根为正根时，只要0≤≤2并且0≤≤2，解得a ≥且a≥，所以a≥；②当＞0并且＜0时，只要0≤≤2，解得﹣≤a＜1；所以A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是﹣≤a≤1或a≥；故答案为：a=﹣1或﹣≤a≤1或a≥．二、解答题15．已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=，（1）当a=2时，求A∩B；（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）把a的值分别代入二次不等式和分式不等式，然后通过求解不等式化简集合A，B，再运用交集运算求解A∩B；（2）把集合B化简后，根据集合A中二次不等式对应二次方程判别式的情况对a进行分类讨论，然后借助于区间端点值之间的关系列不等式组求解a的范围．【解答】解：（1）当a=2时，A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}={x|x2﹣9x+14=0}=（2，7），B=={x|}=（4，5），∴A∩B=（4，5）（2）∵B=（2a，a2+1），①当a＜时，A=（3a+1，2）要使B⊆A必须，此时a=﹣1，②当时，A=∅，使B⊆A的a不存在．③a＞时，A=（2，3a+1）要使B⊆A，必须，此时1≤a≤3．综上可知，使B⊆A的实数a的范围为[1，3]∪{﹣1}．16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】通过p为真，求出实数m的取值范围；通过q为真，利用判别式小于0，即可求实数m的取值范围，通过p或q为真，p且q为假，分类讨论求出求实数m的取值范围．【解答】解：p：方程有负根m=﹣=﹣（x+）≥2；q：方程无实数根，即△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，∴p、q一真一假，当p为真q为假时，解得m≥3，当p为假q为真时，，解得1＜m＜2，∴1＜m＜2或m≥3，所以实数m的取值范围为1＜m＜2或m≥3．17．设函数．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断函数f（x）不是奇函数；（2）根据奇函数的性质建立方程即可求a与b的值；（3）根据函数单调性的定义或性质证明函数f（x）的单调性，并利用单调性的性质解不等式．【解答】解：（1）当a=b=2时，，∵，f（1）=0，∴f（﹣1）≠﹣f（1），∴函数f（x）不是奇函数．（2）由函数f（x）是奇函数，得f（﹣x）=﹣f（x），即对定义域内任意实数x都成立，整理得（2a﹣b）•22x+（2ab﹣4）•2x+（2a﹣b）=0对定义域内任意实数x都成立，∴，解得或经检验符合题意．（3）由（2）可知易判断f（x）为R上的减函数，证明：∵2x+1在定义域R上单调递增且2x+1＞0，∴在定义域R上单调递减，且＞0，∴在R上单调递减．由，不等式，等价为f（x）＞f（1），由f（x）在R上的减函数可得x＜1．另解：由得，即，解得2x＜2，∴x＜1．即不等式的解集为（﹣∞，1）．18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）最新年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=x2+10x （万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+﹣1450，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=﹣+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=；（2）①当0＜x＜80时，L（x）=﹣+40x﹣250=﹣+950，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中得到切点的坐标，利用导数求出直线切线，即可求出切线方程；（Ⅱ）求出f′（x）=0时x的值，分0＜a≤2和a＞2两种情况讨论函数的增减性分别得到f（﹣）和f（）及f（﹣）和f（）都大于0，联立求出a的解集的并集即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，∴f（2）=3；∵f′（x）=3x2﹣3x，∴f′（2）=6．所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），即y=6x﹣9；（Ⅱ）解：f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=．以下分两种情况讨论：（1）若0＜a≤2，则；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣，0）0（0，）f′（x）+0﹣f（x）增极大值减当时，f（x）＞0，等价于即．解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；（2）若a＞2，则当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：0（0，）（，）x（﹣，0）f′（x）+0﹣0+f（x）增极大值减极小值增当时，f（x）＞0等价于即解不等式组得或．因此2＜a＜5．综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．。

江苏省苏州中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知A ＝{﹣1，0，1，6}，B ＝{x |x ≤0}，则A ∩B ＝_____2．复数z 满足12iz i =+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为____________. 3．命题“1x ∀>，x 2≥3”的否定是________．4．“1x >”是“2x x >”的____________条件（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）5．若2(2)31f x x =+，则函数()f x =6．函数y _____7．函数()Inx f x x=的单调递增区间是__________. 8．函数y ＝3x 3﹣9x +5在[﹣2，2]的最大值与最小值之差为_____9．水波的半径以0.5m/s 的速度向外扩张，当半径为2.5m 时，圆面积的膨胀率是____________.10．设函数y ＝f （x ）为R 上的偶函数，且对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0]均有[f （x 1）﹣f （x 2）]．（x 1﹣x 2）≤0，则满足f （x +1）＜f （2x ﹣1）的实数x 的范围是_____11．已知()22201900x x f x ax x ⎧≥=⎨⎩，，＜是奇函数且f （3t ﹣a ）+4f （8﹣2t ）≤0，则t 的取值范围是_____12．若f （x ）＝|x ﹣2018|+2020|x ﹣a |的最小值为1，则a ＝_____13．若方程23220222b bcosx sin x x ππ⎛⎫⎡⎤---=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，有两个不同的实数解，则b 的取值范围是_____14．在直角三角形ABC 中，682A AB AC π∠===，，，过三角形ABC 内切圆圆心O的直线l 与圆相交于E 、F 两点，则AE BF ⋅的取值范围是_____．二、解答题15．已知函数()21f x x =+，()41g x x =+，的定义域都是集合A ，函数()f x 和()g x的值域分别为S 和T ，（1）若{}1,2A =，求S T（2）若[]0,A m =且S T =，求实数m 的值（3）若对于集合A 的任意一个数x 的值都有()()f x g x =，求集合A .16．已知α，β∈(0，π)，且tanα＝2，cosβ． (1)求cos2α的值；(2)求2α－β的值． 17．经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量（单位：百件）和价格（单位：元）均为时间t （单位：天）的函数，且销售量近似地满足60,160()1150,611002t t f t t t +≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩()t N ∈，价格为()200g t t =-(1100,)t t N ≤≤∈.（1）求该种商品的日销售额()h t 与时间t 的函数关系；（2）求t 为何值时，日销售额最大.18．已知函数()11f x x=-，（x ＞0）． （1）当0＜a ＜b ，且f （a ）＝f （b ）时，求证：ab ＞1；（2）是否存在实数a ，b （a ＜b ），使得函数y ＝f （x ）的定义域、值域都是[a ，b ]，若存在，则求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由．（3）若存在实数a ，b （a ＜b ），使得函数y ＝f （x ）的定义域为[a ，b ]时，值域为[ma ，mb ]（m ≠0），求m 的取值范围．19．已知函数()()32111323a f x x a x x =-++-. （1）若函数()f x 的图象在点()()22f ,处的切线方程为90x y b -+=，求实数a ，b 的值；（2）若0a ≤，求()f x 的单调减区间；（3）对一切实数()0,1a ∈，求()f x 的极小值函数()g a ，并求出()g a 的最大值. 20．数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称数列{a n }为S 数列．（1）S数列的任意一项是否可以写成其某两项的差？请说明理由．（2）①是否存在等差数列为S数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．②是否存在正项递增等比数列为S数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．参考答案1．{﹣1，0}【解析】【分析】根据集合的交集运算，求解即可.【详解】由集合的交集运算，容易知：A ∩B={}1,0-.故答案为：{}1,0-.【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题.2．-1【分析】先求出2z i =-，再指出其虚部即可.【详解】解：由12iz i =+， 则221222i i i z i i i++===-， 所以z 的虚部为-1.故答案为：-1.【点睛】本题考查了复数的除法运算，重点考查了复数的虚部，属基础题.3．1x ∃>，23x <【解析】全称命题的否定是特称命题，∴该命题的否定为“1x ∃>，23x <”．点睛：命题的否定主要考察全称命题和特称命题的否定，掌握其方法：全称的否定是特称，特称的否定是全称，命题否定是条件不变，结论变．4．充分不必要【分析】先求出“2x x >”的充要条件为“1x >或0x <”，再结合“1x >”是“1x >或0x <”的充分不必要条件即可得解.【详解】解：由“2x x >”的充要条件为“1x >或0x <”，又“1x >”是“1x >或0x <”的充分不必要条件，则“1x >”是“2x x >”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查了二次不等式的解法，重点考查了充分必要条件的判断，属基础题.5．2314x + 【分析】设2t x =，则2t x =，求得()2314t f t =+，从而可得结果. 【详解】设2t x =，则2t x =， 因为()2231f x x =+，所以()22331124t t f t ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭， 所以()2314x f x =+，故答案为2314x +. 【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.6．[﹣7，1]【分析】由被开方数是非负数，求解一元二次不等式即可得结果.【详解】要使得函数有意义，则2760x x --≥，分解因式可得()()710x x +-≤解得[]7,1x ∈-.故答案为：[﹣7，1].【点睛】本题考查具体函数的定义域，涉及被开方数是非负数.7．()0,e【分析】求出函数的定义域，以及导函数，根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可写出单调增区间.【详解】因为()Inx f x x =，则其定义域为()0,+∞， ()21lnx f x x-'=，令()0f x '>， 即可得10lnx ->，解得x e <， 结合函数定义域可知，函数()f x 的单调增区间为()0,e .故答案为：()0,e .【点睛】本题考查利用导数求解函数单调性，属基础题；本题的易错点是没有注意到函数的定义域. 8．12【分析】对该函数进行求导，判断单调性，根据单调性求解函数在区间上的最值.【详解】因为y ＝3x 3﹣9x +5，故()()299911y x x x =-=+-'，令0y '>，又[]2,2x ∈-，解得[)2,1x ∈--和(]1,2， 故函数在[)2,1--和(]1,2上单调递增；令0y '<，又[]2,2x ∈-，解得()1,1x ∈-,故函数在()1,1-单调递减. 则函数在[]22-,上的最大值 ()()(){}{}max 2,1max 11,1111max f x f f =-==；则函数在[]22-,上的最小值 ()()(){}{}min min 2,1max 1,11f x f f =-=--=-；故该函数的最大值与最小值的差为()11112.--=故答案为：12.【点睛】本题考查由导数求函数的最值，属导数应用基础题.9．2.5π【分析】先建立圆的面积关于时间的函数，再结合导数的物理意义求解即可.【详解】解：设水波向外扩张的时间为t ，此时面积为S ，则有()220.50.25S t t ππ==，则'0.5S t π=，当半径为2.5m 时，5t =. 所以5' 2.5t S π==，故答案为：2.5π.【点睛】本题考查了导数的物理意义，重点考查了基本初等函数导数的求法，属基础题. 10．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【分析】由函数的单调性和奇偶性，将不等式转化为121x x +<-，求解即可.【详解】因为函数是偶函数，且由题可知其为（﹣∞，0]上的减函数，则该函数在()0,+∞为增函数，故f （x +1）＜f （2x ﹣1） 等价于121x x +<-.两边平方整理得()20x x ->解得()(),02,x ∈-∞⋃+∞.故答案为：()(),02,-∞⋃+∞.【点睛】本题考查利用函数单调性以及奇偶性求解抽象函数不等式，属函数性质综合基础题. 11．[2035，+∞）【分析】由()f x 是奇函数，可解得参数a ，再分类讨论求解不等式..【详解】因为函数()f x 是奇函数，故可解的2019a =-；（1）当320190,?82t t +<-<0时， 即673t <-,且4t >此时无解，t ∈∅；（2）当320190,?82t t +>->0 即()673,4t ∈-，此时()()320190,820f t f t +>->显然f （3t +2019）+4f （8﹣2t ）≤0不可能，故舍去；（3）当320190,?820t t +>-< 即4t >时，此时f （3t +2019）+4f （8﹣2t ）≤0等价于()()2035720030t t -+≥解得t 2035≥或20037t ≤-, 故此时不等式解集为[)2035,+∞ （4）当320190,?820t t +- 即673t <-时，不等式等价于()()222320191640t t +--≤ 解得200320357t -≤≤ 故此时不等式无解.（5）当320190t +=或当820t -=时，不等式显然不成立.综上所述：[)2035,t ∈+∞故答案为：[)2035,+∞.【点睛】本题考查由函数奇偶性求参数，以及解不等式.12．2017或2019【分析】对该函数进行分类讨论，在不同的情况下，寻找函数的最值，进而求解.【详解】 当2018a >时，()202120182020,201920182020,2018202120182020,2018x a x a f x x a x a x a x -->⎧⎪=--+≤≤⎨⎪-++<⎩此时可知()()20181min f x f a a ==-=，解得2019a =；当2018a =时，()20212018f x x =-，函数最小值为0，不符合题意；当2018a <时，()202120182020,2018201920182020,2018202120182020,x a x f x x a a x x a x a -->⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-++<⎩此时()()20181min f x f a a ==-=，解得2017a =；综上所述，2017a =或2019a =.故答案为：2017或2019.【点睛】本题考查双绝对值函数，涉及分类讨论及分段函数的最值.13．1b =或6,25b ⎛⎤∈⎥⎝⎦【分析】利用同角三角函数关系，将方程化为含有cosx 的二次型，将方程根的个数问题，转化为一元二次方程根的分布问题，进而求解参数范围.【详解】 232202b bcosx sin x ---= 等价于22cos 2102b x bcosx -+-=， 令[],0,1cosx t t =∈， 则222102b t bt -+-=. 其()()421b b =+-，（1）当0<时，方程无根，显然不满足题意； （2）当0=时，解得1b =或2b =-，当1b =时，方程等价于212202t t -+=，解得12t = 此时12cosx =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有两个不同的实数根，满足题意； 当2b =-时，方程等价于22420t t ++=，解得1t =-此时1cosx =-在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦没有实数根，故舍去. （3）当0>时，解得1b >或2b <-，要满足题意，只需方程222102b t bt -+-=的一个根在[)0,1， 另一个根不等于1，且不在区间[)0,1.令()22212b f x t bt =-+- 若要保证方程222102b t bt -+-=的一个根在()0,1 此时()()010f f ⋅<，即513022b b ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 解得6 ,25b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭满足题意 而当方程的一个根为0时，解得2b =，方程的两根分别为t=0和t=2，此时0cosx =和2cosx =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有两个实数根， 故满足题意. 综上所述：1,b =或6,25b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为1b =或6,25b ⎛⎤∈⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查方程根的分布问题，对方程根的讨论是其中的难点.14．[﹣20，4]【分析】建立直角坐标系，求出圆心及半径，写出圆方程，根据直线方程及圆方程，通过韦达定理，将AE BF ⋅转化为函数，求函数的范围即可.【详解】根据题意，建立如图直角坐标系：容易知()()()0,0,0,6,8,0A B C设内切圆半径为r ，根据等面积法可求得：()1122AB BC AC r AB AC ++⋅=⋅ 求得2r =，解得圆心坐标为()2,2，故内切圆方程为()()22224x y -+-=；若过圆心的直线没有斜率，解得()()2,0,2,4E F ，或()()2,4,2,0E F容易知4AE BF ⋅=，或20AE BF ⋅=-若过圆心的直线存在斜率，不妨设直线方程为：()22y k x -=-联立圆方程可得()()222214140k x k x k +-++=设()()1122,,,E x y F x y 则：21212244,1k x x x x k +==+， ()()()2221212122222y y k x x k k x x k =+-++-则121216AE BF x x y y y ⋅=+-将上述结果代入即可得：146AE BF y ⋅=-，又()10,4y ∈故()20,4AE BF ⋅∈-.综上所述：[]20,4AE BF ⋅∈-故答案为：[﹣20，4].【点睛】本题考查直线与圆的问题，涉及圆方程的求解，以及韦达定理，函数的最值，属圆与直线综合基础题.15．（1）{}5；（2）4；（3）{}0或{}4或{}0,4【分析】（1）先由已知条件求出集合,S T ，再求其交集即可；（2）由函数()21f x x =+，()41g x x =+都在区间[]0,m 为增函数，再求出其值域，然后利用集合相等列方程求解即可；（3）由已知列方程2141m m +=+求解即可.【详解】解：（1）若{}1,2A =，则函数()21f x x =+的值域是{2,5}S =，()41g x x =+的值域{5,9}T =，故{}5S T =；（2）若[]0,A m =，函数()21f x x =+，()41g x x =+均为增函数，则21,1S m ⎡⎤=+⎣⎦，[]1,41T m =+ 由S T =得2141m m +=+，解得4m =或0m =（舍去），故4m =；（3）若对于A 中的每一个x 值，都有()()f x g x =，即2141x x +=+，所以24x x =，解得4x =或0x =，∴满足题意的集合是{}0或{}4或{}0,4.【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的值域的求法，重点考查了二次方程的解法，属基础题. 16．（1）－35（2）－4π 【解析】解：(1)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2222cos sin sin cos αααα-+＝221tan 1tan αα-+＝1414-+＝－35． (2)因为α∈(0，π)，且tanα＝2，所以α∈(0，2π)． 又cos2α＝－35<0，故2α∈(2π，π)，sin2α＝45． 由cosβ＝－10，β∈(0，π)， 得sinβ，β∈(2π，π)． 所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝45×(－10)－(－35)×10＝－2． 又2α－β∈(－2π，2π)，所以2α－β＝－4π． 17．(1)2214012000,(160,),()125030000,(61100,).2t t t t N h t t t t t N ⎧-++≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩； (2)t 为60时，日销售额最大.【解析】试题分析：（1）根据销售额等于销售量乘以售价得S 与t 的函数关系式，此关系式为分段函数； （2）求出分段函数的最值即可．试题解析：(1)由题意知，当160t ≤≤，t N ∈时，2()()()(60)(200)14012000h t f t g t t t t t =⋅=+⋅-=-++， 当61100t ≤≤，t N ∈时，211()()()(150)(200)2503000022h t f t g t t t t t =⋅=-⋅-=-+， 所以，所求函数关系为2214012000,(160,),()125030000,(61100,).2t t t t N h t t t t t N ⎧-++≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩ (2) 当160t ≤≤，t N ∈时，22()14012000(70)16900h t t t t ==-++=--+， 所以，函数()h t 在[1,60]上单调递增，故max ()(60)16800h t h ==（百元），当61100t ≤≤，t N ∈时，2211()25030000(250)125022h t t t t =-+=--， 所以，函数()h t 在[61,100]上单调递减，故max ()(61)16610.5h t h ==（百元）， 因为16610.516800<所以，当t 为60时，日销售额最大.试题点睛：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力．理解函数的最值及其几何意义的能力． 18．（1）证明见详解；（2）不存在适合条件的实数a ，b ，证明见详解；（3）104m ＜＜． 【分析】 （1）根据函数单调性，初步判断,a b 与1的大小关系，根据f （a ）＝f （b ）得到,a b 等量关系，用均值不等式进行处理；（2）对,a b 与1的大小关系进行分类讨论，寻找满足题意的,a b ；（3）对,a b 的取值进行分类讨论，利用函数的单调性，进行求解.【详解】（1）证明：∵x ＞0，∴()111110 1.x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，，＜＜ ∴f （x ）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．由0＜a ＜b ，且f （a ）＝f （b ），可得 0＜a ＜1＜b 和1111a b -=-， 即112a b+=． ∴2ab ＝a +b ＞1，即ab ＞1．（2）不存在满足条件的实数a ，b ．若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y ()11f x x==-的定义域、值域都是[a ，b ]，则a ＞0，()111110 1.x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，，＜＜ ①当a ，b ∈（0，1）时，()11f x x=-在（0，1）上为减函数． 故()().f a b f b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111.b a a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得a ＝b ． 故此时不存在适合条件的实数a ，b ．②当a ，b ∈[1，+∞）时，()11f x x=-在（1，+∞）上是增函数． 故()().f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111.a a b b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 此时a ，b 是方程x 2﹣x +1＝0的根，此方程无实根．故此时不存在适合条件的实数a ，b ．③当a ∈（0，1），b ∈[1，+∞）时，由于1∈[a ，b ]，而f （1）＝0∉[a ，b ]，故此时不存在适合条件的实数a ，b ．综上可知，不存在适合条件的实数a ，b ．（3）若存在实数a ，b （a ＜b ），使得函数y ＝f （x ）的定义域为[a ，b ]时，值域为[ma ，mb ]．则a ＞0，m ＞0．①当a ，b ∈（0，1）时，由于f （x ）在（0，1）上是减函数， 故1111.mb a ma b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩． 此时得a ，b 异号，不符合题意，所以a ，b 不存在．②当a ∈（0，1）或b ∈[1，+∞）时，由（ 2）知0在值域内，值域不可能是[ma ，mb ]所以a ，b 不存在．故只有a ，b ∈[1，+∞）．∵()11f x x=-在[1，+∞）上是增函数， ∴()().f a ma f b mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111.ma a mb b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ∴a ，b 是方程mx 2﹣x +1＝0的两个根，即关于x 的方程mx 2﹣x +1＝0有两个大于1的实根．设这两个根为x 1，x 2，则x 1+x 21m =，x 1•x 21m=． ∴()()()()12120110110.x x x x ⎧⎪-+-⎨⎪--⎩＞＞＞，即140120.m m -⎧⎪⎨-⎪⎩＞＞ 解得104m ＜＜． 故m 的取值范围是104m ＜＜． 【点睛】本题考查分段函数的单调性，定义域和值域，所使用的方法是分类讨论，对学生的思辨能力要求较高，属函数综合较难题目.19．（1）5,15a b ==-；（2）()1,,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（3）()211316224g a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，最大值为124. 【分析】（1）先求函数的导函数，再结合切线方程求解即可；（2）分别讨论当0a =时，0a <时，求解()0f x '<的解集即可；（3）解含参二次不等式，从而求出函数的单调性及极值，再求最值即可得解.【详解】解：（1）由函数()()32111323a f x x a x x =-++-， 则()()()()21111f x ax a x ax x '=-++=--又()29f '=，则5a =，则()511286423323f =⨯-⨯⨯+-=， 则9230b ⨯-+=，即15b =-；（2）当0a =时，由（1）得()1fx x '=-， 令()0f x '<，解得：1x >，即函数的减区间为()1,+∞；当0a <时，由（1）得()()11f x a x x a '⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 令()0f x '<，解得：1x >或1x a <， 即函数的减区间为()1,+∞和1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 故当0a =时，函数的减区间为()1,+∞；当0a <时，函数的减区间为()1,+∞和1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； （3）当()0,1a ∈时，()()11f x a x x a '⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 令()0f x '<，解得： 11x a <<，令()0f x '>，解得：1x <或1x a>， 即函数()f x 的增区间为(),1-∞和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，减区间为11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即()f x 的极小值为1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则()2111316224g a f a a ⎛⎫⎛⎫==--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故当132a =，即23a =时，()g a 取最大值124. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了利用导数研究函数的单调性及极值，属中档题. 20．（1）S 数列的任意一项都可以写成其某两项的差；证明见详解（2）①存在a 1＝kd ，k ∈Z ，k ≥﹣1满足题意；②不存在，证明见详解.【分析】（1）根据对新数列的定义，利用1n n n a S S -=-进行计算证明；（2）①假设存在等差数列，根据数列的公差进行分类讨论即可；②用反证法证明，假设存在满足题意的数列，结合数列{}1n S +的单调性，推出矛盾.【详解】（1）∵数列{a n }是S 数列，∴对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，∴n ≥2时，()1n p S a p N ⋅-=∈，∴S n ﹣S n ﹣1＝a m ﹣a p ，即a n ＝a m ﹣a p ，而n ＝1时，S 2＝a q ，则a 1＝a q ﹣a 2，故S 数列的任意一项都可以写成其某两项的差；（2）①假设存在等差数列为S 数列，设其首项为a 1，公差为d ，（i ）当d ＝0时，若a 1≠0，则对任意的正整数n ，不可能存在正整数m ，使得S n ＝a m ，即na 1＝a 1；（ii ）当d ＝0且a 1＝0时，显然满足题意；（iii ）当d ≠0时，由S n ＝a m 得，()()11112n n na d a m d -+=+-，故()()()()111112112n n n a d n n a m n Z d d --+--==-+∈， ∵()12n n Z -∈，n ＝1时显然存在m ＝1满足上式，n ＝2时，110a d+≥， ∴111a a Z d d ≥-∈，，此时()()()()()11112110222n n n n n n a n n d -----+≥-++=≥符合题意， 综上，存在a 1＝kd ，k ∈Z ，k ≥﹣1满足题意；②假设存在正项递增等比数列为S 数列，则a 1＞0，q ＞0，∴对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ， ∵()()()11111111111111n n n n n n n n a q q q q S q q S q q a q q+++--+---===---- ()2111111n q q q q q q q q q q q--=++=+-=+--＜， ∴21n n S q q S +＜＜，即21m n m a q S a q +＜＜， 即a m +1＜S n +1＜a m +2，∵S n +1∈{a n }且{a n }单调递增，显然当n ＞log q （q +1）﹣1时，不存在t ∈N •，使得S n +1＝a t ，这与S 数列的定义矛盾．故不存在正项递增等比数列为S 数列．【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及等差数列和等比数列，数列的单调性，属数列综合困难题.。

2020-2021学年江苏省淮安市某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 向量a →=(1,−2)，b →=(2,−1)，则a →⋅b →=( ) A.5 B.3 C.4 D.−52. 集合A ={x|−1<x <3} ，B ={x|x 2+x −6<0,x ∈Z }，则A ∩B =( ) A.(−1,2) B.(−3,3) C.{0,1} D.{0,1,2}3. α=30∘是sin α=12的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4. 函数f (x )=ln x −2x +1的零点所在的大致区间是( ) A.(2,e ) B.(1,2) C.(e,3) D.(3,+∞)5. 函数f(x)=sin (2x +π3)，若x 1x 2<0，且f(x 1)+f(x 2)=0，则|x 2−x 1|的取值范围为( ) A.(π6,+∞) B.(π3,+∞)C.(2π3,+∞)D.(4π3,+∞)6. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (3,4)，则cos (2α+β)cos β+sin (2α+β)sin β的值是( ) A.−925B.725C.−725D.9257. 已知函数f(x)=sin ωx +√3cos ωx(ω>0)，x 1，x 2为函数f(x)的两个极值点，若|x 1−x 2|的最小值为π2，则( ) A.f(x)在(−5π12,π12)上单调递减B.f(x)在(−5π12,π12)上单调递增 C.f(x)在(−2π3,π3)上单调递减 D.f(x)在(−2π3,π3)上单调递增8. 已知函数f (x )={e −x +2mx +m, x <0,e x (x −1), x ≥0, (e 为自然对数的底)，若F (x )=f (x )+f (−x )且F (x )有四个零点，则实数m 的取值可以( ) A.1 B.2 C.e D.2e二、多选题已知向量a →=(2,−1)，b →=(−3,2)，c →=(1,1)，则( ) A.a →//b →B.(a →+b →)⊥c →C.a →+b →=c →D.c →=5a →+3b →下列函数中，存在极值点的是( ) A.y =x −1x B.y =2|x| C.y =−2x 3−x D.y =x ln x在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC =60∘, ∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =√3. 则下列说法正确的是( ) A.ac 的最小值是4B.ac 的最大值是4C.a +2c 的最小值是2+2√2D.a +2c 的最小值是3+2√2设函数f(x)=sin (ωx −π6)(ω>0)，已知f(x)在[0, π]有且仅有3个零点，下列结论正确的是( )A.在(0, π)上存在x 1，x 2，满足f(x 1)−f(x 2)=2B.f(x)在(0, π)有且仅有1个最小值点C.f(x)在(0,π2)单调递增D.ω的取值范围是[136,196]三、填空题等腰直角三角形ABC 中， ∠C =90∘,CA =CB =√2，则有CA →⋅AB →=________.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则bc=________.设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知(b +c)sin (A +C)=(a +c)(sin A −sin C)，设D 是BC 边的中点，且△ABC 的面积为√3，则AB →⋅(DA →+DB →)等于________.已知函数f(x)=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)是偶函数，将y =f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为y =g (x )．已知y =g (x )的图象相邻对称中心之间的距离为2π，则ω=________，若y =g (x )的图象在其某对称轴处对应的函数值为−2，则g(x)在[0,π]上的最大值为________． 四、解答题已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos C(a cos C +c cos A)+b =0. (1)求角C 的大小；(2)若b =2，c =2√3 ，求△ABC 的面积.如图，在△ABC 中，∠BAC =π3，AD →=2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →=mAC →+12AB →，若△ABC 的面积为2√3.(1)求m 的值；(2)求|AP →|的最小值．已知函数f(x)=log 121−ax x−1的图像关于原点对称，其中a 为常数．(1)求a 的值；(2)若当x ∈(1, +∞)时，f(x)+log 12(x −1)<m 恒成立，求实数m 的取值范围．如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =c(sin B +cos B)．(1)求∠ACB 的大小；(2)若∠ACB =∠ABC ，点A ，D 在BC 的异侧，DB =2,DC =1，求平面四边形ABDC 面积的最大值．某市近郊有一块大约500m ×500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S 平方米．(1)分别用x 表示y 及S 的函数关系式，并给出定义域；(2)请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值．已知函数f(x)=12x2−a ln x+1(a∈R).(1)若函数f(x)在[1,2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若−2≤a<0，对任意x1,x2∈[1，2]，不等式|f(x1)−f(x2)|≤m|1x1−1x2|恒成立，求实数m的取值范围.参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省淮安市某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题 1.【答案】 C【考点】平面向量数量积的运算 【解析】根据平面向量数量积的坐标运算公式求解即可. 【解答】解：由题意得a →⋅b →=1×2+(−2)×(−1)=4. 故选C . 2. 【答案】 C【考点】 交集及其运算 【解析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义求解即可得结果. 【解答】解：因为B ={x |−3<x <2,x ∈Z }={−2,−1,0,1}， 所以A ∩B ={0,1}. 故选C . 3.【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】“α=π6”⇒“sin α=12”，反之不成立，例如α=5π6．即可判断出结论．【解答】解：“α=30∘”⇒“sin α=12”，反之不成立，例如α=150∘．因此“α=30∘”是“sin α=12”的充分不必要条件． 故选B ． 4. 【答案】 B函数零点的判定定理【解析】根据函数的单调性，零点的存在性定理求解特殊函数值即可判断．【解答】解：∵函数f(x)=ln x−2x+1在(0, +∞)上连续且单调递增，且f(1)=0−2+1=−1<0，f(2)=ln2−1+1=ln2>0，∴f(1)f(2)<0，∴根据函数零点的存在性定理得出：零点所在区间是(1, 2).故选B.5.【答案】B【考点】正弦函数的对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x1)+f(x2)=0⇔f(x1)=−f(x2)，|x2−x1|可视为直线y=m与函数y=f(x)、函数y=−f(x)的图象的交点的横坐标的距离，作出函数y=f(x)与函数y=−f(x)的图象如图所示，设A，B分别为直线y=m与函数y=f(x)、函数y=−f(x)的图象的两个相邻交点，因为x1x2<0，且当直线y=m过y=f(x)的图象与y轴的交点(0,√32)时，直线为y=√32，|AB|=π3，所以当直线y=m向上移动时，线段AB的长度会增加，当直线y=m向下移动时，线段AB的长度为π2，所以|x2−x1|>π3．故选B．6.C【考点】任意角的三角函数二倍角的正弦公式两角和与差的余弦公式【解析】.【解答】解：由题意，角α终边经过点P(3,4)，则由三角函数定义可求出sinα=45，cosα=35，于是由二倍角公式可求出cos2α=925−1625=−725，而cos(2α+β)cosβ+sin(2α+β)sinβ=cos[(2α+β)−β]=cos2α，所以cos(2α+β)cosβ+sin(2α+β)sinβ=−725.故选C.7.【答案】B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的单调性【解析】利用辅助角公式将函数f(x)化简为f(x)＝2sin(ωx+π3)，由题可知，最小正周期T＝π，从而求得ω的值和f(x)的解析式，再根据正弦函数的单调性即可得解．【解答】解：函数f(x)=sinωx+√3cosωx=2sin(ωx+π3)，由题意可知，T2=π2⇒T=π，即2πω=π，∴ω=2，∴f(x)=2sin(2x+π3)．令2x+π3∈(2kπ−π2, 2kπ+π2)，k∈Z，则函数f(x)的单调递增区间为(kπ−5π12, kπ+π12)，k∈Z，当k=0时，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(−512π,π12)，即B正确；令2x +π3∈(2kπ+π2, 2kπ+3π2)，k ∈Z ，则函数f(x)的单调递减区间为(kπ+π12, kπ+7π12)，k ∈Z ， 选项A 和C 的单调递减区间均不符合题意． 故选B . 8.【答案】 D【考点】利用导数研究函数的单调性 导数的几何意义函数的零点与方程根的关系 函数奇偶性的判断【解析】根据定义域为R ，且F (−x )=F (x )，可知函数F(x)是偶函数．所以只需研究x >0时函数F(x)有两个零点即可，然后再转化为两个函数图象交点的问题，结合导数研究函数的切线等，即可解决问题． 【解答】解：∵ 函数的定义域为R ，且F (−x )=f (−x )+f (x )=F (x )， ∴ 函数F (x )是偶函数，∵ f(x)={e −x +2mx +m ，x <0，e x (x −1)，x ≥0，（e 为自然对数的底），∴ f (−x )={e −x (−x −1)， x ≤0，e 2−2mx +m ， x >0，又因为F (x )有四个零点，所以只需研究x >0时函数F (x )=0有两个不等根即可，即e 2(x −1)+e x −2mx +m =0在(0,+∞)上有两个互异根， 即x e 2=2m (x −12) 在(0,+∞)上有两个根，令H (x )=x e 2，L (x )=2m (x −12)过定点(12,0),∵ H ′(x )=e x (x +1)>0，所以H (x )在(0,+∞)上是增函数， 下面求H (x )过(12,0)的切线斜率． 设切点为Q (t,t e t )，t >0， 则切线斜率为k =e t (t +1)，故切线为y −t e t =e t (t +1)(x −t )， 将(12,0)代入得：−t e t =e t (t +1)(12−t)， 即2t 2−t −1=0，解得：t =1或t =−12（舍），此时切线斜率k =2e ，作出H (x )与L (x )图象：可见，当L (x )与H (x )相切，即2m =2e 时，只有一个公共点； 当m >e 时，就会有两个交点．故m 的值可以为2e ． 故选D .二、多选题【答案】 B,D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算平面向量共线（平行）的坐标表示 平面向量的坐标运算 平行向量的性质【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力． 【解答】解：a →+b →=(−1,1)， (a →+b →)⋅c →=−1+1=0， 故(a →+b →)⊥c →．设c →=λ1a →+λ2b →(λ1,λ2∈R )，则(1,1)=λ1(2,−1)+λ2(−3,2)=(2λ1−3λ2,−λ1+2λ2)， 则{2λ1−3λ2=1,−λ1+2λ2=1,所以{λ1=5,λ2=3, 所以c →=5a →+3b →．故选BD . 【答案】 B,D【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】逐项根据极值的定义以及导数符号可得．【解答】解：A求导得，y′=1+1x2>0，函数在(−∞, 0)和(0, +∞)上单调递增，所以函数无极值点；B中x=0是函数的极小值点；C求导得，y′=−6x2−1<0恒成立，函数在R上递减，所以函数无极值点；D求导得，y′=1+ln x，当x∈(0, 1e)时，y′<0，当x∈(1e, +∞)时，y′>0，x=1e时，y′=0，所以x=1e是函数的极小值点.故选BD.【答案】A,D【考点】解三角形基本不等式在最值问题中的应用【解析】首先利用条件构造得到a×c=c+a，再由基本不等式求解即可. 【解答】解：由题意，BD为∠ABC的平分线，则由S△ABC=S△ABD+S△BCD，可知12AB⋅BC⋅sin60∘=12AB⋅BD⋅sin30∘+12BD⋅BC⋅sin30∘，化简得√3AB⋅BC=AB⋅BD+BC⋅BD，∵BD=√3，∴AB⋅BC=AB+BC，即a⋅c=c+a，则由基本不等式可知a+c≥2√ac，解得ac≥4，所以ac的最小值为4，故A正确，B错误；而由a⋅c=c+a可知a=cc−1，其中c>1，于是由基本不等式可知：a+2c=cc−1+2c=1+1c−1+2c=3+1c−1+2(c−1)≥3+2√2，当且仅当1c−1=2(c−1)，即c=1+√22时取等号，故D正确，C错误.故选AD.【答案】A,B【考点】正弦函数的周期性正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】由题意根据f(x)在区间[0, π]有3个零点画出大致图象，可得区间长度π介于周期[T+ |OA|, 32T+|OA|)，再用ω表示周期，得ω的范围．【解答】解：当x=0时，y=sin(−π6)=−12,又∵ω>0，∴画出函数f(x)=sin(ωx−π6)大致图象如图所示：又ω>0，所以x>0时f(x)在y轴右侧第一个最大值区间内单调递增，∵函数在[0, π]仅有3个零点时，∴(π，0)的位置在C∼D之间（包括C，不包括D），令f(x)=sin(ωx−π6)=0，则ωx−π6=kπ，解得：x=(π6+kπ)⋅1ω(k∈Z)，∴f(x)图象在y轴右侧与x轴的第一个交点横坐标为π6ω，最小正周期T=2πω，∴π6ω+T≤π<π6ω+32T，即π6ω+2πω≤π<π6ω+32⋅2πω，解得136≤ω<196，故D错误；可知在区间[0, π]上，函数f(x)达到最大值和最小值，∴ 存在x 1，x 2，满足f(x 1)−f(x 2)=2，故A 正确；由大致图象得，f(x)在(0, π)内有且只有1个最小值，故B 正确；∵ ω最小值为136，∴ 0<x <π2时，−π6<ωx −π6<17π12，又∵ 17π12∉(−π2, π2)， ∴ x ∈(0, π2)时，函数f(x)不单调递增，故C 错误．故选AB .三、填空题【答案】−2【考点】平面向量数量积的运算【解析】可画出图形，根据题意CA →⊥CB →，且|CA →|=√2，从而可得出CA →⋅AB →=CA →⋅(CB →−CA →)=−CA →2,进而求得结果.【解答】解：如图，可知CA →⊥CB →，且|CA →|=|CB →|=√2，∴ CA →⋅CB →=0，∴ CA →⋅AB →=CA →⋅(CB →−CA →)=CA →⋅CB →−(CA →)2=0−2=−2．故答案为：−2．【答案】6【考点】余弦定理正弦定理【解析】利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．【解答】解：∵ △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，∴ 由余弦定理、正弦定理可得{a 2−b 2=4c 2，cos A =b 2+c 2−a 22bc =−14， 解得3c 2=12bc ，∴ b c =6．故答案为：6.【答案】2【考点】解三角形平面向量数量积的性质及其运算律余弦定理正弦定理【解析】先根据正余弦定理求出A =2π3，bc ＝4，再将DA →，DB →化为AB →，AC →后用数量积可得． 【解答】解：∵ (b +c)sin (A +C)=(a +c)(sin A −sin C)，∴ (b +c)sin B =(a +c)(sin A −sin C)，∴ (b +c)b =(a +c)(a −c)，即b 2+c 2−a 2=−bc ，∴ cos A =b 2+c 2−a 22bc =−12， ∴ A =2π3，∴ S △ABC =12bc sin A ，即√3=12bc ×√32， ∴ bc =4，∴ AB →⋅(DA →+DB →)=AB →⋅[−12(AB →+AC →)+12CB →]=AB →⋅[−12(AB →+AC →)+12(AB →−AC →)] =−AB →⋅AC →=−bc ⋅cos A=−4×(−12) =2.故答案为：2.【答案】1,√3【考点】余弦函数的周期性由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换余弦函数的对称性【解析】利用函数为偶函数，求出φ=π2，根据三角函数平移变换规律得到g(x)=A cos(12ωx+ωπ6)，再利用周期性和最大最小值求出ω，A，求出g(x)解析式，再利用余弦函数性质求解即可．【解答】解：y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为偶函数，则φ=π2+kπ(k∈Z)，又0<φ<π，∴ φ=π2，∴ f(x)=A sin(ωx+π2)=A cosωx．由题意得：g(x)=A cos(12ωx+ωπ6)，且y=g(x)相邻对称中心之间距离为2π，则T=4π，∴2π12ω=4π，∴ ω=1，∴ g(x)=A cos(12x+π6)．由g(x)在某对称轴处对应的函数值为−2，可得A=2．∴ g(x)=2cos(12x+π6)．∵ x∈[0,π]，则12x+π6∈[π6,2π3]，∴cos(12x+π6)∈[−12,√32]．∴ g(x)∈[−1,√3]．∴g(x)在[0,π]上的最大值为√3.故答案为：1；√3．四、解答题【答案】解：(1)△ABC中，∵2cos C(a cos C+c cos A)+b=0，由正弦定理可得2cos C(sin A cos C+sin C cos A)+sin B=0，∴2cos C sin(A+C)+sin B=0，即2cos C sin B+sin B=0.又0∘<B <180∘，∴ sin B ≠0，∴ cos C =−12，即C =120∘．(2)由余弦定理可得，(2√3)2=a 2+22−2×2a cos 120∘=a 2+2a +4，又a >0，∴ 解得a =2，∴ S △ABC =12ab sin C =√3，∴ △ABC 的面积为√3．【考点】两角和与差的正弦公式三角形的面积公式余弦定理正弦定理【解析】（1）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos C sin B +sin B =0, 可得cos C =12，即可得解C 的值．（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：(1) △ABC 中，∵ 2cos C (a cos C +c cos A )+b =0，由正弦定理可得2cos C (sin A cos C +sin C cos A )+sin B =0，∴ 2cos C sin (A +C )+sin B =0，即2cos C sin B +sin B =0.又0∘<B <180∘，∴ sin B ≠0，∴ cos C =−12， 即C =120∘．(2)由余弦定理可得，(2√3)2=a 2+22−2×2a cos 120∘=a 2+2a +4，又a >0，∴ 解得a =2，∴ S △ABC =12ab sin C =√3，∴ △ABC 的面积为√3．【答案】解：(1)AP →=AC →+CP →=AC →+kCD →=AC →+k(AD →−AC →)=AC →+k(23AB →−AC →) =2k 3AB →+(1−k )AC → =mAC →+12AB →，得到1−k =m ，2k 3=12， ∴ m =14．(2)结合△ABC 的面积为2√3，得到12|AC →|⋅|AB →|⋅√32=2√3， 得到|AC →|⋅|AB →|=8，∴ |AB →|=8|AC →|， ∴ |AP →|=√116|AC →|2+14|AB →|2+18⋅|AC →|⋅|AB →| =√1+116|AC →|2+16|AC →|2≥√3， 当且仅当116|AC →|2=16|AC →|2时等号成立， ∴ |AP →|的最小值为√3．【考点】解三角形基本不等式在最值问题中的应用向量的加法及其几何意义向量的模【解析】【解答】解：(1)AP →=AC →+CP →=AC →+kCD →=AC →+k(AD →−AC →)=AC →+k(23AB →−AC →) =2k 3AB →+(1−k )AC →=mAC →+12AB →，得到1−k =m ，2k 3=12， ∴ m =14． (2)结合△ABC 的面积为2√3，得到12|AC →|⋅|AB →|⋅√32=2√3， 得到|AC →|⋅|AB →|=8，∴ |AB →|=8|AC →|， ∴ |AP →|=√116|AC →|2+14|AB →|2+18⋅|AC →|⋅|AB →| =√1+116|AC →|2+16|AC →|2≥√3， 当且仅当116|AC →|2=16|AC →|2时等号成立， ∴ |AP →|的最小值为√3．【答案】解：(1)由题意可得，函数图像关于原点对称 ∴ f(x)为奇函数，∴ f(−x)=−f(x)，即log 121−ax x−1=−log 121+ax −x−1，化简得：1−a 2x 21−x 2=1，a 2x 2=x 2，在函数定义域内恒成立，∴ a 2=1，∴ a =±1，当a =1时，1−ax x−1=−1不合题意；当a =−1时，f (x )=log 121+x x−1，定义域是(−∞,−1)∪(1,+∞)，符合题意． ∴ a =−1.(2)∵ a =−1，∴ f(x)=log 121+x x−1，∵ 当x ∈(1, +∞)时，f(x)+log 12(x −1)<m 恒成立， ∴ log 121+x x−1+log 12(x −1)=log 12(1+x)<m 恒成立，而在(1,+∞)上，g(x)=log12(x+1)是减函数，g(1)=log12(1+1)=−1，∴g(x)<−1，∴m≥−1，即m的取值范围是[−1,+∞).【考点】函数恒成立问题对数函数的单调性与特殊点对数函数的值域与最值对数函数的定义域对数及其运算奇函数【解析】（1）根据奇函数性质和对数的运算性质即可解得（2）根据对数函数的单调性即可求出【解答】解：(1)由题意可得，函数图像关于原点对称∴f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，即log121−axx−1=−log121+ax−x−1，化简得：1−a 2x21−x2=1，a2x2=x2，在函数定义域内恒成立，∴a2=1，∴a=±1，当a=1时，1−axx−1=−1不合题意；当a=−1时，f(x)=log121+xx−1，定义域是(−∞,−1)∪(1,+∞)，符合题意．∴a=−1.(2)∵a=−1，∴f(x)=log121+xx−1，∵当x∈(1, +∞)时，f(x)+log12(x−1)<m恒成立，∴log121+xx−1+log12(x−1)=log12(1+x)<m恒成立，而在(1,+∞)上，g(x)=log12(x+1)是减函数，g(1)=log12(1+1)=−1，∴g(x)<−1，∴m≥−1，即m的取值范围是[−1,+∞).【答案】解：(1)在△ABC中，∵a=c(sin B+cos B)，∴sin A=sin C(sin B+cos B)，∴sin(π−B−C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin(B+C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin B cos C+cos B sin C=sin C sin B+sin C cos B，∴sin B cos C=sin C sin B.又∵B∈(0, π)，故sin B≠0，∴cos C=sin C，即tan C=1．又∵C∈(0, π)，∴∠ACB=π4．(2)在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22−2×1×2×cos D=5−4cos D．又∠ABC=∠ACB=π4，∴△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC=12×BC×12×BC=14BC2=54−cos D.又∵S△BDC=12×BD×DC×sin D=sin D，∴S ABDC=54−cos D+sin D=54+√2sin(D−π4)，∴当D=3π4时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为54+√2．【考点】两角和与差的正弦公式诱导公式三角形的面积公式三角函数的最值解三角形余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系三角函数值的符号【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在△ABC中，∵a=c(sin B+cos B)，∴sin A=sin C(sin B+cos B)，∴sin(π−B−C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin(B+C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin B cos C+cos B sin C=sin C sin B+sin C cos B，∴sin B cos C=sin C sin B.又∵B∈(0, π)，故sin B≠0，∴cos C=sin C，即tan C=1．又∵C∈(0, π)，∴∠ACB=π4．(2)在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22−2×1×2×cos D=5−4cos D．又∠ABC=∠ACB=π4，∴△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC=12×BC×12×BC=14BC2=54−cos D.又∵S△BDC=12×BD×DC×sin D=sin D，∴S ABDC=54−cos D+sin D=54+√2sin(D−π4)，∴当D=3π4时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为54+√2．【答案】解：(1)由已知xy=3000，∴y=3000x，其定义域是(6, 500)．S=(x−4)a+(x−6)a=(2x−10)a，∵2a+6=y，∴a=y2−3=1500x−3，∴S=(2x−10)(1500x −3)=3030−(15000x+6x)，其定义域是(6, 500)．(2)S=3030−(15000x+6x)≤3030−2√6x⋅15000x=3030−2×300=2430，当且仅当15000x=6x，即x=50∈(6, 500)时，等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．【考点】基本不等式在最值问题中的应用根据实际问题选择函数类型【解析】（1）总面积为xy＝3000，且2a+6＝y，则y=3000x ，a=y2−3=1500x−3（其中6<x<500），从而运动场占地面积为S＝(x−4)a+(x−6)a，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积S＝3030−6x−15000x =3030−(6x+15000x)，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．【解答】解：(1)由已知xy=3000，∴y=3000x，其定义域是(6, 500)．S=(x−4)a+(x−6)a=(2x−10)a，∵2a+6=y，∴a=y2−3=1500x−3，∴S=(2x−10)(1500x −3)=3030−(15000x+6x)，其定义域是(6, 500)．(2)S=3030−(15000x+6x)≤3030−2√6x⋅15000x=3030−2×300=2430，当且仅当15000x=6x，即x=50∈(6, 500)时，等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．【答案】解：(1)易知f(x)不是常值函数，因为f(x)=12x2−a ln x+1在[1,2]上是增函数，所以f′(x)=x−ax≥0恒成立，所以a≤x2，只需a≤(x2)min=1.(2)因为−2≤a<0,由(1)知，函数f(x)在[1,2]上单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，则|f(x1)−f(x2)|≤m|1x1−1x2|，可化为f(x2)+mx2≤f(x1)+mx1，设ℎ(x)=f(x)+mx =12x2−a ln x+1+mx，则ℎ(x1)≥ℎ(x2)，所以ℎ(x)为[1,2]上的减函数，即ℎ′(x)=x−ax −mx2≤0在[1,2]上恒成立，等价于m≥x3−ax在[1,2]上恒成立，设g(x)=x3−ax，所以m≥g(x)max，因为−2≤a<0，所以g′(x)=3x2−a>0，所以函数g(x)在[1,2]上是增函数，所以g(x)max=g(2)=8−2a≤12（当且仅当a=−2时等号成立）.所以m≥12，即m的最小值为12.【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)易知f(x)不是常值函数，因为f(x)=12x2−a ln x+1在[1,2]上是增函数，所以f′(x)=x−ax≥0恒成立，所以a≤x2，只需a≤(x2)min=1.(2)因为−2≤a<0,由(1)知，函数f(x)在[1,2]上单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，则|f(x1)−f(x2)|≤m|1x1−1x2|，可化为f(x2)+mx2≤f(x1)+mx1，设ℎ(x)=f(x)+mx =12x2−a ln x+1+mx，则ℎ(x1)≥ℎ(x2)，所以ℎ(x)为[1,2]上的减函数，即ℎ′(x)=x−ax −mx2≤0在[1,2]上恒成立，等价于m≥x3−ax在[1,2]上恒成立，设g(x)=x3−ax，所以m≥g(x)max，因为−2≤a<0，所以g′(x)=3x2−a>0，所以函数g(x)在[1,2]上是增函数，所以g(x)max=g(2)=8−2a≤12（当且仅当a=−2时等号成立）. 所以m≥12，即m的最小值为12.。

2020-2021学年江苏省淮安市某校高三（上）10月第一学期第二次月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={−1,2}，B ={x|ax =1}，若B ⊆A ，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为( ) A.{1,12} B.{−1,12}C.{−1,0,12}D.{0,1,12}2. 函数f (x )=ln x +√x−1的定义域为（ ）A.[1,+∞)B.(0,+∞)C.(−∞,1)D.(1,+∞)3. 若sin (75∘+α)=√23，则cos (30∘−2α)=( )A.−59 B.−49C. 59D.494. 如图，已知点C 为△OAB 边AB 上一点，且AC =2CB ，若存在实数m ，n ，使得OC →=mOA →+nOB →，则m −n 的值为( )A.−13B.0C.13D.235. 《九章算术⋅衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中错误的是( ) A.甲付的税钱最多B.乙、丙两人付的税钱超过甲C.乙应出的税钱约为32D.丙付的税钱最少6. 函数f (x )=(x −1x )cos x 在其定义域上的图像大致是（ ）A.B.C.D.7. 设向量a →=(1, 1)，b →=(−1, 3)，c →=(2, 1)，且(a →−λb →)⊥c →，则λ=( ) A.3 B.2 C.−2 D.−38. 函数f (x )=ln x −2x −1x 的单调减区间为（ ）A.(1,+∞)B.(0,1)C.(−12,1)D.(−∞,−12)和(1,+∞)二、多选题在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2√3，c =3，A +3C =π，则下列结论正确的是( ) A.cos C =√33B.sin B =√23C.a =3D.S △ABC =√2关于函数f(x)=sin 2x −cos 2x ，下列命题中为真命题的是( ) A.函数y =f(x)的周期为πB.直线x =π4是y =f(x)的一条对称轴C.点(π8, 0)是y =f(x)的图象的一个对称中心D.将y =f(x)的图象向左平移π8个单位，可得到y =√2sin 2x 的图象已知向量a →=(2,1)，b →=(1,−1)，c →=(m −2,−n)，其中m ，n 均为正数，且(a →−b →)//c →，下列说法正确的是( )A.a →与b →的夹角为钝角 B.向量a →在b →方向上的投影为√55 C.2m +n =4 D.mn 的最大值为2定义在R 上的奇函数f (x )满足f (1−x )=f (1+x )，则（ ） A.函数f (x )的图象关于原点对称 B.函数f (x )的图象关于直线x =1对称C.函数f (x )是周期函数且对于任意x ∈R ， f (x +2)=f (x )成立D.当x ∈(0,1]时， f (x )=e x −1，则函数f (x )在区间[1+4k,3+4k ](k ∈Z )上单调递减（其中e 为自然对数的底数） 三、填空题在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60∘，a2=bc，则sin B sin C=________.函数f(x)=cos(ωx−π3)(ω>0)的图象关于直线x=π2对称，则ω的最小值为________．已知条件p:|x+1|>2，条件q:|x|>a，且q是p的必要不充分条件，则实数a的范围是________.已知函数f(x)={2x,x≤a，x2,x>a.①若a=1，则不等式f(x)≤2的解集为________；②若存在实数b，使函数g(x)=f(x)−b有两个零点，则a的取值范围是________．四、解答题在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且√3ac =2−cos Asin C.(1)求角A的大小；(2)若cos(B+π6)=14，求cos C的值.已知函数f(x)={−x2+2x，x≥0，ax2+bx，x<0为奇函数．(1)求a−b的值；(2)若函数f(x)在区间[−1, m−2]上单调递增，求实数m的取值范围．函数f(x)=6cos2ωx2+√3sinωx−3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x 0)=8√35，且x 0∈(−103,23)，求f(x 0+1)的值．已知a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，其中a →=(1, 2)． (1)若c →=(−2, k)，且c → // a →，求c →的坐标；(2)若|b →|=√52，且a →+2b →与2a →−b →垂直，求a →与b →的夹角θ．某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器.(1)若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；(2)当容器的高为多少米吋，制造该容器的侧面用料最省？已知函数f(x)=ln x +ax +1，a ∈R ．(1)若函数f(x)在x =1处的切线为y =2x +b ，求a ，b 的值；(2)记g(x)=f(x)+ax ，若函数g(x)在区间(0,12)上有最小值，求实数a 的取值范围；参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省淮安市某校高三（上）10月第一学期第二次月考数学试卷一、选择题 1.【答案】 C【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论，分别求出a 的范围，即可得出结果． 【解答】解：A ={−1,2}，B ={x|ax =1}， B ⊆A ， 若B 为空集，则方程ax =1无解，此时a =0； 若B 不为空集，则a ≠0， 由ax =1解得x =1a ，∴ 1a =−1或2， 解得a =−1或a =12，综上，由实数a 的所有可能的取值组成的集合为{−1,0,12}.故选C . 2.【答案】 D【考点】函数的定义域及其求法 【解析】直接利用对数的真数为正数，根号下为非负数，分母不为零，构造不等式组即可解出. 【解答】解：由题意得：{x >0，x −1>0，解得x >1，所以函数f (x )的定义域为(1,+∞). 故选D . 3.【答案】 A【考点】 诱导公式三角函数的恒等变换及化简求值同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ sin (75∘+α)=√23， ∴ cos [90∘−(75∘+α)]=cos (15∘−α)=√23， ∴ cos (30∘−2α)=cos 2(15∘−α) =2cos 2(15∘−α)−1 =2×(√23)2−1 =−59.故选A . 4.【答案】 A【考点】平面向量的基本定理 【解析】结合已知及向量的线性表示可先利用OA →，OB →表示OC →，结合已知即可求解． 【解答】解：因为AC =2CB ，易得OC →=13OA →+23OB →，所以m −n =−13． 故选A . 5.【答案】 B【考点】 分层抽样方法 【解析】求出抽样比例，再计算乙应交的关税值． 【解答】解：根据分层抽样原理，可知甲付的税钱最多，丙付的税钱最少， 故A,D 正确；乙、丙两人付的税钱占总税钱的53109<12，不超过甲， 故B 错误；乙应付的税钱为100560+350+180×350≈32(钱)， 故C 正确. 故选B .6.【答案】 C【考点】 函数的图象 【解析】首先利用奇偶性排除选项，再利用正负分布排除选项. 【解答】解：因为f(−x)=(−x +1x )cos (−x)=−(x −1x )cos x =−f(x)， 所以函数f (x )为奇函数，故排除AD ；x −1x在(0,1)为负数，在(1,2π)为正数，而cos x 在(π2,3π2)为负数，在(0,π2)∪(3π2,2π)为正数，所以函数f (x )在(0,1)为负数，(1,π2)为正数，(π2,3π2)为负数，(3π2,2π)为正数，故排除B ， 故选C .7.【答案】 A【考点】平面向量的坐标运算数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】利用(a →−λb →)⊥c →，列出含λ的方程即可． 【解答】解：因为a →−λb →=(1+λ, 1−3λ)，(a →−λb →)⊥c →， 所以(1+λ, 1−3λ)⋅(2, 1)=2+2λ+1−3λ=0， 解得λ=3. 故选A . 8. 【答案】 A【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】直接求导，令导数小于零，即可解出单调减区间. 【解答】解：∵ f(x)=ln x −2x −1x (x >0)， ∴ f ′(x )=1x −2+1x 2=−2x 2+x+1x 2=−(2x+1)(x−1)x 2，令f ′(x )<0，解得：x <−12或x >1，又x>0，所以x>1，所以函数f(x)的减区间为(1,+∞).故选A.二、多选题【答案】A,D【考点】余弦定理正弦定理三角函数中的恒等变换应用同角三角函数间的基本关系【解析】直接利用已知条件，利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出结果．【解答】解：由于A+3C=π，则：A+B+C=A+3C，解得：B=2C．由于b=2√3，c=3，利用正弦定理：bsin B =csin C，则：bsin2C =csin C，整理得：2√32sin C cos C =3sin C，解得：cos C=√33，故A正确；故sin C=√63，所以sin B=sin2C=2sin C cos C=2√23，故B错误；由c2=a2+b2−2ab cos C，得a2−4a+3=0，解得：a=1或a=3，若a=c=3，则A=C=π4，可得B=π2，可得b=√a2+c2=√2c=3√2，矛盾，故C错误，则a=1.则S△ABC=12ab sin C=12×1×2√3×√63=√2．故D正确．故选AD.【答案】A,C,D【考点】两角和与差的正弦公式正弦函数的周期性正弦函数的对称性【解析】根据和差角公式化简函数f(x)的解析式，进而根据三角函数的图象和性质，逐一判断四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：∵ f(x)=sin 2x −cos 2x =√2sin (2x −π4)，∴ ω=2，故T =2π2=π，故A 为真命题；当x =π4时，2x −π4=π4终边不在y 轴上，故直线x =π4不是y =f(x)的一条对称轴，故B为假命题；当x =π8时，2x −π4=0，终边落在x 轴上，故点(π8, 0)是y =f(x)的图象的一个对称中心，故C 为真命题；将y =f(x)的图象向左平移π8个单位，可得到y =√2sin [2(x +π8)−π4]=√2sin 2x 的图象，故D 为真命题； 故选ACD . 【答案】 C,D【考点】 向量的投影基本不等式在最值问题中的应用 平面向量数量积的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：A ，a →⋅b →=2×1+1×(−1)=1>0， 故a →，b →的夹角为锐角，A 错误； B ，向量a →在b →方向上的投影为：a →⋅b →|b →|=√12+(−1)2=√22，B 错误； C ，a →−b →=(1,2)，由(a →−b →)//c →，得1×(−n)−2×(m −2)=0， 即2m +n =4，C 正确；D ，由基本不等式得4=2m +n ≥2√2mn ，即mn ≤2， 当且仅当2m =n =2时取等号， 因此mn 的最大值为2，D 正确． 故选CD ． 【答案】 A,B,D 【考点】函数的对称性函数的周期性函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】利用函数的单调性，逐个判断即可.【解答】解：因为函数f (x )在R 为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确；又f(1−x)=f(1+x)，故函数f (x )关于x =1对称，故B 正确；则f (−x )=f (2+x )，f (−x )=−f (x )，所以f (x +2)=−f (x )，故C 错误；所以f (x +2)=−f (x )=f (x −2)，即f (x )=f (x +4)，故函数f (x )是周期为4的函数，设x ∈(1,2]，则2−x ∈(0,1]，所以f (x )=f (2−x )=e 2−x −1，为减函数，此时f (x )min =f (2)=1−1=0，设x ∈(2,3]，则x −2∈(0,1]，所以f (x )=−f (x −2)=−e x−2+1，为减函数，此时f (x )max =0，所以函数f (x )在区间[1,3]为减函数，又周期为4，所以函数f (x )在区间[1+4k,3+4k](k ∈Z )为单调递减，故D 正确.故选ABD .三、填空题【答案】34【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ A =60∘ ，a 2=bc ，∴ 由正弦定理，得sin B sin C =sin 2A =(√32)2=34. 故答案为：34. 【答案】23【考点】余弦函数的对称性【解析】根据函数的对称性建立方程关系，求出ω的表达式，进行求解即可．【解答】解：∵ f(x)=cos (ωx −π3)(ω>0)的图象关于直线x =π2对称，∴ π2ω−π3=kπ+π，即ω=2k +83， ∵ ω>0，∴ 当k =−1时，ω取得最小值为−2+83=23.故答案为：23.【答案】a ≤1【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】利用q 是p 的必要不充分条件求解即可．【解答】解：∵ p:|x +1|>2，∴ x >1 或 x <−3.①当 a ≥0 时，q:|x|>a ⇒x >a 或 x <−a ；②当 a <0 时，q:|x|>a ⇒x ∈R ，∵ q 是 p 的必要不充分条件，∴ p ⫋q ,∴ a <0 或 {a ≥0,a ≤1,−a ≥−3⇒0≤a ≤1，即 a ≤1．故答案为：a ≤1.【答案】(−∞, √2],(−∞, 2)∪(4, +∞)【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】第一空：将a ＝1代入可得f(x)解析式，进而可解得f(x)≤2的解析；第二空：分类讨论a 的情况即可．【解答】解：①当a =1时，f(x)={2x ,x ≤1，x 2,x >1，则令f(x)≤2，即有2x ≤2或x 2≤2，解得x ≤1或1<x ≤√2，故f(x)≤2的解集为(−∞, √2]；②由函数g(x)=f(x)−b 只有一个零点时，2x =x 2时，x =2或x =4，当a =2时，f(x)={2x ,x ≤2，x 2,x >2， 此时g(x)=f(x)−b 只有一个零点；结合图象可得2<a <4时最多有一个零点；当a <2时，g(x)有2个零点；同理当a=4时，f(x)={2x,x≤4，x2,x>4，g(x)=f(x)−b只有一个零点；当a>4时，有2个零点.故可得a的取值范围是(−∞, 2)∪(4, +∞). 故答案为：(−∞, √2]；(−∞, 2)∪(4, +∞).四、解答题【答案】解：(1)由正弦定理asin A =bsin B=csin C，且√3ac =2−cos Asin C，得√3sin Asin C =2−cos Asin C，则有√3sin A=2−cos A，即√3sin A+cos A=2，2sin(A+π6)=2,则sin(A+π6)=1，因为A∈(0,π)，则A+π6∈(π6,7π6),则A+π6=π2，即A=π3.(2)在△ABC中，因为A=π3，则B∈(0,2π3)，B+π6∈(π6,5π6),则sin(B+π6)>0.又因为cos(B+π6)=14，则sin(B+π6)=√1−cos2(B+π6)=√154.又在△ABC中，A+B+C=π，所以cos C=cos(π−A−B)=−cos(A+B)=−cos(B+π3)=−cos[(B+π6)+π6]=−cos(B+π6)cosπ6+sin(B+π6)sinπ6=−√32×14+12×√154=√15−√38.【考点】三角函数的化简求值正弦定理运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由正弦定理a sin A =b sin B =c sin C ， 且√3a c =2−cos A sin C ， 得√3sin Asin C =2−cos A sin C， 则有√3sin A =2−cos A ，即√3sin A +cos A =2，2sin (A +π6)=2,则sin (A +π6)=1， 因为A ∈(0,π)，则A +π6∈(π6,7π6),则A +π6=π2，即A =π3.(2)在△ABC 中，因为A =π3，则B ∈(0,2π3)， B +π6∈(π6,5π6),则sin (B +π6)>0. 又因为cos (B +π6)=14，则sin (B +π6)=√1−cos 2(B +π6)=√154. 又在△ABC 中，A +B +C =π，所以cos C =cos (π−A −B)=−cos (A +B)=−cos (B +π3) =−cos [(B +π6)+π6] =−cos (B +π6)cos π6+sin (B +π6)sin π6=−√32×14+12×√154 =√15−√38. 【答案】解：(1)令x <0，则−x >0，则f(x)=−f(−x)=−[−x 2−2x]=x 2+2x ，∴ a =1，b =2，∴ a −b =−1．(2)f(x)={−x 2+2x ，x ≥0,x 2+2x ，x <0,即有f(x)在[−1, 1]上递增，由于函数f(x)在区间[−1, m −2]上单调递增，∴ [−1, m −2]⊆[−1, 1]，∴ {m −2>−1,m −2≤1解得，1<m ≤3． 【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】（1）令x <0，则−x >0，运用已知解析式，结合奇函数的定义，即可得到a ，b 的值，进而得到a −b ；（2）求出f(x)的单调增区间，由区间的包含关系，得到不等式，解出即可．【解答】解：(1)令x <0，则−x >0，则f(x)=−f(−x)=−[−x 2−2x]=x 2+2x ，∴ a =1，b =2，∴ a −b =−1．(2)f(x)={−x 2+2x ，x ≥0,x 2+2x ，x <0,即有f(x)在[−1, 1]上递增，由于函数f(x)在区间[−1, m −2]上单调递增，∴ [−1, m −2]⊆[−1, 1]，∴ {m −2>−1,m −2≤1解得，1<m ≤3． 【答案】解：(1)由已知可得，f(x)=6cos 2ωx 2+√3sin ωx −3 =3cos ωx +√3sin ωx=2√3sin (ωx +π3)， 由于△ABC 为正三角形，∴ △ABC 的高为2√3，从而BC =4，∴ 函数f(x)的最小正周期T =4×2=8，即2πω=8，ω=π4， ∴ 函数f(x)的值域为[−2√3, 2√3]．(2)∵ f(x 0)=8√35， 由(1)得f(x 0)=2√3sin (π4x 0+π3)=8√35， 即sin (π4x 0+π3)=45，由x 0∈(−103,23)，知π4x 0+π3∈(−π2, π2)， ∴ cos (π4x 0+π3)=√1−(45)2=35．∴ f(x 0+1)=2√3sin (π4x 0+π4+π3)=2√3sin [(π4x 0+π3)+π4] =2√3[sin (π4x 0+π3)cos π4+cos (π4x 0+π3)sin π4] =2√3(45×√22+35×√22) =7√65． 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值正弦函数的定义域和值域【解析】(Ⅰ)将f(x)化简为f(x)＝2√3sin (ωx +π3)，利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f(x)的值域；(Ⅱ)由x 0∈(−103,23)，知π4x 0+π3∈(−π2, π2)，由f(x 0)=8√35，可求得即sin (π4x 0+π3)=45，利用两角和的正弦公式即可求得f(x 0+1)．【解答】解：(1)由已知可得，f(x)=6cos 2ωx 2+√3sin ωx −3 =3cos ωx +√3sin ωx=2√3sin (ωx +π3)，由于△ABC 为正三角形，∴ △ABC 的高为2√3，从而BC =4，∴ 函数f(x)的最小正周期T =4×2=8，即2πω=8，ω=π4，∴ 函数f(x)的值域为[−2√3, 2√3]．(2)∵ f(x 0)=8√35， 由(1)得f(x 0)=2√3sin (π4x 0+π3)=8√35， 即sin (π4x 0+π3)=45，由x 0∈(−103,23)，知π4x 0+π3∈(−π2, π2)， ∴ cos (π4x 0+π3)=√1−(45)2=35．∴ f(x 0+1)=2√3sin (π4x 0+π4+π3)=2√3sin [(π4x 0+π3)+π4] =2√3[sin (π4x 0+π3)cos π4+cos (π4x 0+π3)sin π4]=2√3(45×√22+35×√22) =7√65． 【答案】解：(1)∵ a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，a →=(1, 2)，c →=(−2, k)，且c → // a →，∴ −21=k 2，解得k =−4，∴ c →的坐标为(−2, −4)．(2)∵ |b →|=√52，且a →+2b →与2a →−b →垂直， ∴ (a →+2b →)⋅(2a →−b →)=2a →2+3a →⋅b →−2b →2=0，∵ |a →|=√12+22=√5，∴ 2×5+3a →⋅b →−2×54=0， 整理，得a →⋅b →=−52，∴ cos θ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−1，∵ θ∈[0, π]，∴ θ=π．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】（1）由向量平行的性质，能求出k ．（2）由向量垂直得(a →+2b →)•(2a →−b →)=0，由此能求出a →与b →的夹角θ．【解答】解：(1)∵ a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，a →=(1, 2)，c →=(−2, k)，且c → // a →，∴ −21=k 2，解得k =−4，∴ c →的坐标为(−2, −4)．(2)∵ |b →|=√52，且a →+2b →与2a →−b →垂直， ∴ (a →+2b →)⋅(2a →−b →)=2a →2+3a →⋅b →−2b →2=0，∵ |a →|=√12+22=√5，∴ 2×5+3a →⋅b →−2×54=0， 整理，得a →⋅b →=−52，∴ cos θ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−1，∵ θ∈[0, π]，∴ θ=π．【答案】解：设圆锥形容器的底面半径为r 米，高为ℎ米，母线为l 米，侧面积为S 平方米，容积为V 立方米，则V =36π.(1)由r =6，得V =13πr 2ℎ=36π，得ℎ=3， 所以S =πrl =πr√r 2+ℎ2=6π√62+32=18√5π，又底面积为πr 2=36π（平方米）.故该容器的表面积为(18√5π+36π)=18(2+√5)π平方米.答:该容器的表面积为18(2+√5)π平方米.(2)因为V =13πr 2ℎ=36π，得r 2=3×36ππℎ=108ℎ，其中ℎ>0， 所以S =πrl =πr√r 2+ℎ2=π√r 4+r 2ℎ2=π√1082ℎ2+108ℎℎ2 =π√1082ℎ2+108ℎ =π√108√108ℎ2+ℎ. 记f(ℎ)=108ℎ2+ℎ，令f ′(ℎ)=−216ℎ3+1=ℎ3−216ℎ3=0，得ℎ=6.当ℎ∈(0,6)时，f ′(ℎ)<0，f(ℎ)在(0,6)上单调递减；当ℎ∈(6,+∞)时，f ′(ℎ)>0, f(ℎ)在(6,+∞)上单调递增.所以，当ℎ=6时，f(ℎ)最小，此时S 最小.答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省.【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积利用导数研究函数的最值柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：设圆锥形容器的底面半径为r 米，高为ℎ米，母线为l 米，侧面积为S 平方米，容积为V 立方米，则V =36π.(1)由r =6，得V =13πr 2ℎ=36π，得ℎ=3， 所以S =πrl =πr√r 2+ℎ2=6π√62+32=18√5π， 又底面积为πr 2=36π（平方米）.故该容器的表面积为(18√5π+36π)=18(2+√5)π平方米. 答:该容器的表面积为18(2+√5)π平方米.(2)因为V =13πr 2ℎ=36π，得r 2=3×36ππℎ=108ℎ，其中ℎ>0， 所以S =πrl =πr√r 2+ℎ2=π√r 4+r 2ℎ2=π√1082ℎ2+108ℎℎ2 =π√1082ℎ2+108ℎ =π√108√108ℎ2+ℎ. 记f(ℎ)=108ℎ2+ℎ， 令f ′(ℎ)=−216ℎ3+1=ℎ3−216ℎ3=0，得ℎ=6.当ℎ∈(0,6)时，f ′(ℎ)<0，f(ℎ)在(0,6)上单调递减； 当ℎ∈(6,+∞)时，f ′(ℎ)>0, f(ℎ)在(6,+∞)上单调递增. 所以，当ℎ=6时，f(ℎ)最小，此时S 最小.答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省.【答案】解：(1)f ′(x)=1x −a x 2，则f ′(1)=1−a =2，解得a =−1，则f(x)=ln x −1x +1，此时f(1)=ln 1−1+1=0，则切点坐标为(1,0)，代入切线方程，得b =−2，所以a =−1，b =−2.(2)g(x)=f(x)+ax =ln x +a x +ax +1,g ′(x)=1x −a x 2+a =ax 2+x−a x 2. ①当a =0时，g ′(x)=1x >0，则g(x)在区间(0，12)上为增函数，则g(x)在区间(0，12)上无最小值.②当a ≠0时，方程ax 2+x −a =0的判别式Δ=1+4a 2>0，则方程有两个不相等的实数根，设为x 1,x 2， 由韦达定理得x 1x 2=−1，则两根一正一负，不妨设x 1<0<x 2. 设函数m(x)=ax 2+x −a(x >0).(i)若a >0.若x 2∈(0，12)， 则m(0)=−a <0，m(12)=a 4+12−a >0. 解得0<a <23，此时x ∈(0，x 2)时，m(x)<0，则g(x)递减； x ∈(x 2，12)时，m(x)>0，则g(x)递增. 当x =x 2时，g(x)取极小值，即为最小值. 若x 2≥12，则x ∈(0,12), m(x)<0， 则g(x)在(0，12)单调减，无最小值. (ii)若a <0，x ∈(0,x 2)时，m(x)>0，则g(x)递增； x ∈(x 2，+∞)时，m(x)<0，则g(x)递减. 在区间(0，12)上，g(x)不会有最小值.所以a <0不满足条件.综上，当0<a <23时，g(x)在区间(0，12)上有最小值.【考点】利用导数研究函数的最值根与系数的关系利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f ′(x)=1x −a x 2，则f ′(1)=1−a =2，解得a =−1，则f(x)=ln x −1x +1， 此时f(1)=ln 1−1+1=0，则切点坐标为(1,0)， 代入切线方程，得b =−2，所以a =−1，b =−2.(2)g(x)=f(x)+ax =ln x +a x +ax +1, g ′(x)=1x −a x 2+a =ax 2+x−a x 2.试卷第21页，总21页 ①当a =0时，g ′(x)=1x >0， 则g(x)在区间(0，12)上为增函数，则g(x)在区间(0，12)上无最小值. ②当a ≠0时，方程ax 2+x −a =0的判别式Δ=1+4a 2>0， 则方程有两个不相等的实数根，设为x 1,x 2，由韦达定理得x 1x 2=−1，则两根一正一负，不妨设x 1<0<x 2. 设函数m(x)=ax 2+x −a(x >0).(i)若a >0.若x 2∈(0，12)，则m(0)=−a <0，m(12)=a 4+12−a >0. 解得0<a <23，此时x ∈(0，x 2)时，m(x)<0，则g(x)递减；x ∈(x 2，12)时，m(x)>0，则g(x)递增.当x =x 2时，g(x)取极小值，即为最小值.若x 2≥12，则x ∈(0,12), m(x)<0，则g(x)在(0，12)单调减，无最小值.(ii)若a <0，x ∈(0,x 2)时，m(x)>0，则g(x)递增； x ∈(x 2，+∞)时，m(x)<0，则g(x)递减.在区间(0，12)上，g(x)不会有最小值. 所以a <0不满足条件.综上，当0<a <23时，g(x)在区间(0，12)上有最小值.。

高中数学试卷解读之新实2020-2021学年高一第一学期10月份月考试卷(试卷版)新实2020-2021学年高一第一学期10月份月考试卷(试卷版)一、单选题（每题5分，共40分）1.若0a b c ++=,且a b c <<,则下列不等式一定成立的是( ) A.22ab b c <B.ab ac <C.ac bc <D.ab bc <2.设集合{}2=|1,M y R y x x R ∈=-∈,{=|N x R y ∈,则M N ⋂等于( )A.⎡⎣B.{}(C.{}2,1-D.{-3.若集合{}=|2,P x x k k Z =∈,{}|21,Q x x k k Z ==+∈,{}=|41,M x k k Z +∈,且a P ∈,b Q ∈,则一定有( ) A.a b P +∈B.a b Q +∈C.a b M +∈D.a b +不属于P ，Q ,M 中的任意一个 4. 函数()f x ( ) A. (]1,2-B. [)2+∞，C.()[),11,-∞-⋃+∞D.()[),12,-∞-⋃+∞5.设a ,b R ∈,则“0ab >,且a b >”是“11a b<”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知命题:P x R ∀∈,210ax ax ++>为真命题,则实数a 的取值范围是( ) A.(],0-∞ B.[)0,4C.(]4+∞，D.()0,47. 若两个正实数x ,y 满足3xy x y =++,且不等式235xy m m >-+恒成立,则实数m 的取值范围( ) A.{}|41m m -<<B.{}|14m m m <->或C.{}|14m m -<<D.{}|03m m m <>或8. 对于任意两个正整数m ,n ,定义某种运算⊕：当m ,n 都为偶数或者奇数时，m ⊗n m n =+；当m ,n 中一个为奇数，另一个为偶数时,m ⊗n mn =在上述定义下,集合(){}=,|36,,M x y x y x N y N ⊗=∈∈中的元素的个数( ) A.48 B.41 C.40 D.39二、多选题（每题5分，共20分） 9. 下列说法错误的有( ) A.不等式21131x x ->+的解集是12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.“5a <”是“3a <”的充分条件C.:p x R ∀∈,20x >，其否定为x R ∃∈：,20x <D.“1a >,1b >”是“1ab >”的充分条件10. 下列各组函数表示的是同一个函数的是( )A.()f x ()g x =B.()f x x =与()g xC.()f x ()g xD.()xf x x=与()0g x x = 11. 若0a >,0b >，且4a b +=,则下列不等式恒成立的是( ) A.114ab ≥ B.111a b+≥ 2 D.22118a b ≤+ 12. 《几个原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理成定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有图形如图所示,C 为线段AB 上的点,且AC a =,BC b =，O 为AB 的中点,以AB 为直径作半圆,过点C 作AB 的垂线交半圆于D ,连接OD ,AD ，BD ,过点C 作OD 的垂线,垂足为E ,则该图形可以完成的无字证明有( )A.)002a ba b +>>，B.()2220,0a b ab a b +≥>>C.()20,011ab a b b b≥>>+ D.()220,022a b a ba b ++≥>> 三、填空题（每题5分，共20分）13. 已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}|26x x <<,则不等式20cx bx a ++<的解集为.14.若函数()2222,0,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()2f f a =,则a =. 15.已知集合{}=2,0,1,9A ,{}2|2,2B k k R k A k A =∈-∈-∉，,则集合B 中所有的元素之和为.16. 已知0a b >>,则()264a b a b +-的最小值为,取最小值时b 的值为 .四、解答题（共6题，共70分） 17.(本题满分10分)用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假（需说明理由）： (1) 任意实数的平方大于0； (2)存在整数x ,y ,使得43x y +=.18.(本题满分12分)已知集合[]1,21P a a =++，[]=2,5Q -.(1) 若3a =,求()R C P Q ⋂；(2) 若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.19.(本题满分12分)已知x ,y 为实数,求证：x y <是()()()()22222x y x y x y x y +-<-+的充要条件.20.(本题满分12分)两县城A 和B 相距20km,现计划在县城外以AB 为直径的半圆弧AB (不含AB 两点)上选择一点C 建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比,比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比,比例系数为为K ,对城市A 和城市B 的总影响度为城市A 和城市B 的影响度之和,记C 点到城市A 的距离为x ,建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ,统计调查表明：当垃圾处理厂建在AB 的中点时,对城A 和城B 的总影响度为0.065. (1)将y 表示成x 的函数；(2)判断弧AB 上是否存在一点,使得建在此处的垃圾处理厂对城市A 和城B 的总信影响度最小？若存在,求出该点到城A 的距离；若不存在,说明理由.21.(本题满分12分)设函数()22f x ax ax a =-+-.(1) 设对于任意[]1,2x ∈,()3f x ≤恒成立,求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()1f x a x >--.22.(本题满分12分)设a ,b ,c ,d 不全为0,给定函数()2f x bx cx d =++,()32g x ax bx cx d =+++.若()f x ,()g x 满足① ()f x 有零点；②()f x 的零点均为()()g f x 的零点；③()()g f x 的零点为()f x 的零点,则称()f x ,()g x 为一对“K 函数”.(1)当1a c d ===,0b =时,验证()f x ,()g x 是否为一对“K 函数”,并说明理由；(2)若()f x ,()g x 为任意一对“K 函数”,求d 的值；(3)若1,a =()10f =,且()f x ,()g x 为一对“K 函数”,求c 的取值范围.。

江苏省苏州星海中学2021届高三数学上学期10月月考试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{﹣1，0}，则A B ＝ ． 答案：{﹣1，0，1} 考点：集合间的运算解析：因为集合A ＝{0，1}，B ＝{﹣1，0}，所以A B ＝{﹣1，0，1}．2．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 ． 答案：(﹣1，1)(1，+∞)考点：函数的另一与 解析：由题意，得1010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得x ＞﹣1，且x ≠1，所以原函数的定义域是(﹣1，1)(1，+∞)．3．“a ＞1”是“()cos f x ax x =+在R 上单调递增”的 条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”） 答案：充分不必要条件考点：常用的逻辑用语（充要条件）解析：因为()cos f x ax x =+，所以()sin f x a x '=-．当a ＞1时，()sin f x a x '=-＞0恒成立，所以()f x 在R 上单调递增成立；当()cos f x ax x =+在R 上单调递增，则()sin f x a x '=-≥0恒成立，则a ≥1．故“a ＞1”是“()cos f x ax x =+在R 上单调递增”的充分不必要条件．4．在△ABC 中，若a ＝2，b ＝B ＝3π，则角A 的大小为 ． 答案：6π 考点：正弦定理解析：由正弦定理，得sin A sin Ba b =，即2sin A sin 3=，解得sinA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝6π或56π，当A ＝56π时，A ＋B ＞π，不符题意，所以A ＝6π．5．已知α∈(0，π)，cos α＝45-，则tan()4πα+＝ ． 答案：17考点：同角三角函数关系式，两角和与差的正切公式 解析：由cos α＝45-以及22sin cos 1αα+=，得29sin 25α=，又α∈(0，π)，则sin α＞0，所以sin α＝35，tan 3sin 354cos 45ααα===--，则tan tan 4tan()41tan tan 4παπαπα++=- 3114371()14-+==--⨯．6．设n S 是首项不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列，则21a a ＝ ． 答案：1或3考点：等差数列与等比数列解析：因为n S 是首项不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，所以11S a =，212S a d =+，4146S a d =+，又1S ，2S ，4S 成等比数列，则2214S S S =⋅， 即2111(2)(46)a d a a d +=+，化简得0d =或12d a =，所以2111a da a =+＝1或3． 7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一共7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 ． 答案：3考点：等比数列的前n 项和解析：设第n 层塔的灯数为n a ，n 层塔共有灯数为n S ，可知{}n a 以2为公比的等比数列，则717(21)38121a S -==-，求得1a ＝3． 8．在曲线331y x x =-+的所有切线中，斜率最小的切线的方程为 ． 答案：31y x =-+考点：导数的几何意义解析：因为331y x x =-+，所以233y x '=-，当x ＝0时，斜率有最小值为﹣3，此时切点坐标为(0，1)，故此时切线方程为31y x =-+．9．若函数62()3log 2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩，，(a ＞0且a ≠1)的值域是[4，+∞)，则a 的取值范围是 ．答案：(1，2] 考点：函数的值域解析：当x ≤2时，y ＝﹣x ＋6≥4，要使()f x 的值域是[4，+∞)，则y ＝3log a x +的最小值要大于或等于4，所以13log 24a a >⎧⎨+≥⎩，解得1＜a ≤2．10．如图，平面四边形ABCD 中，若AC ＝5，BD ＝2，则(AB DC)(AC BD)+⋅+＝答案：1考点：平面向量数量积解析：取BD 中点O ，则(AB DC)(AC BD)(OB OA OC OD)(AC BD)+⋅+=-+-⋅+ ＝2222(DB AC)(AC BD)AC BD (5)21++=-=-=．11．设()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()0f x xf x '+>，则不等式(1)f x +>21(1)x x --的解集为 ．答案：[1，2)考点：利用导数研究函数的单调性解析：令()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>，所以()()g x xf x =单调递增 1)f x +>21(1)x x --11)x x ++>221(1)x x --即2(1)(1)g x g x +>-，根据()()g x xf x =单调递增，可得如下不等式组：21010xx⎧+≥⎪-≥⎨>，解得1≤x＜2，故原不等式的解集为[1，2)．12．若正数a，b满足21a b+=，则224a b++的最大值为．答案：1716考点：基本不等式解析：22214(2)4414a b a b ab ab++=+-=-=⋅-211171()14216+≤⨯+=，当且仅当21164a bab+=⎧⎪⎨=⎪⎩时，取“＝”．13．已知函数21()221xe x a xf xx ax x⎧--≥-⎪=⎨-+<-⎪⎩，，(e是自然对数的底数)恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．答案：[32-，）考点：函数与方程解析：当a＝0时，x＜﹣1时，2()20f x x=+>，而()xf x e x=-，最多两个零点，即有()f x不可能有三个零点；当a＞0时，x＜﹣1时，22()2()f x a x a=-+-递减，且()(1)320f x f a>-=+>，而()xf x e x=-，最多两个零点，即有()f x不可能有三个零点；当a＜0时，x＜﹣1时，由于()f x的对称轴为x＝a，可得顶点为(a，2﹣a2)，若2﹣a2＞0，不满足题意；若2﹣a2＜0，3＋2a≥0，110ae---<，解得32a-≤<，满足()f x恰有三个零点；若2﹣a2＝0，3＋2a＞0，110ae---≥，解得a∈∅，不满足题意；综上可得a的范围是[32-，）．14．已知△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满足111cos A cos B cos C1sin A sin B sinC ===，则称△A 1B 1C 1是△ABC的一个“友好”三角形．若等腰△ABC 存在“友好”三角形，则其底角的弧度数为 ． 答案：38π考点：三角函数与解三角形 解析：1cos A 1A sin A =⇒∈(0，2π)，11(A A )(A A )022ππ+---=，存在友好⇔B ＋C ﹣A ＝2π（循环）在锐角△ABC 中， 等腰△ABC 存在友好⇒底＋底﹣顶＝2π⇒底＝38π． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且sin 2C sin Bc b=． （1）求角C 的值； （2）若3sin(B )35π-=，求cosA 的值．16．（本小题满分14分）已知函数()2cos(3sin)222xxxf x ωωω=-(ω＞0)的最小正周期为2π．（1）求函数()f x 的表达式；（2）设θ∈(0，2π)，且6()35f θ=，求cos θ的值．17．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，且1a ，25a +，3a 成等差数列．（1）求1a ，2a 的值； （2）求证：数列{}2nn a +是等比数列，并求数列{}na 的通项公式．18．（本小题满分16分）如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB 的长为4.5 km ，且跑道所在的直线与海岸线l 的夹角为60度（海岸线可以看做是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B 到海岸线的距离BC ＝43km ．D 为海湾一侧海岸线CT 上的一点，设CD ＝x (km )，点D 对跑道AB 的视角为θ．（1）将tan θ表示为x 的函数；（2）求点D 的位置，使θ取得最大值．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，1=1a ，2=a a ，且12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若12k =，且18171S =，求a ； （2）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项m a ，1m a +，2m a +按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若12k =-，求n S （用a ，n 表示）．20．（本小题满分16分）已知函数1()ln f x a x x=+，a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当x ∈[1，2]时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值；（3）试问过点P(0，2)可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．附加题21．A．已知点A在变换T：xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦→xy'⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝2x yy+⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B，若点B坐标为(﹣3，4)，求点A的坐标．B ．求曲线C 1：222121x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩被直线l ：12y x =-所截得的线段长．22．如图，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的萎形，∠ABC ＝45°，OA ⊥平面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．（1）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（2）求平面OAB 与平面OCD 所成二面角的余弦值．23．设数列{}n t 满足101t <<，1sin n n n t t t +=-．（1）求证：101n n t t +<<<；（2）若112t =，求证：2112n n t -≤．。

2 2 4 5 2 江苏省苏州中学 2020-2021 学年第一学期调研考试 高三数学一、 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分．1．已知集合 A = {x | x 2- x - 2 ≤ 0}， B = {x | y = x }，则 A B = （）A. {x | -1 ≤ x ≤ 2}B. {x | 0 ≤ x ≤ 2}C. {x | x ≥ -1}D. {x | x ≥ 0}⎛ π ⎫ 3 ⎛ π ⎫2．已知sin α - ⎪ = ,α ∈ 0, ⎪， 则 cos α = ( )⎝ ⎭ ⎝ ⎭A.B.1010C.D.2103 若 b < a < 0 ，则下列不等式：① a > b ；② a + b < ab ；③ ab正确的不等式的有( ) < 2a - b 中，A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个4 若函数 f (x ) = ax 2 + bx (a > 0,b > 0) 的图象在点(1,f (1)) 处的切线斜率为 2 ， 8a + b 则的最小值是( )abA ．10B ． 9C ．8D ． 35 Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I (t ) （t 的单位：天）的 Logistic 模型： I (t )= K1 + e -0.23(t -53) ，其中 K 为最大确诊病例数．当 I (t * ) = 0.95K 时，标志着已初步 遏制疫情，则 t * 约为( ) (ln19 ≈ 3) A ． 60B ． 63C ． 66D ． 693 2 7 2 22⎨ ,⎧x l n x , 6 已知函数 f (x ) = ⎪x ⎪⎩ e xx > 0 x ≤ 0 则函数 y = f (1- x ) 的图象大致是( )A.B.C.D.7 若定义在 R 上的奇函数 f (x )满足对任意的 x ∈R ，都有 f (x ＋2)＝－f (x )成立， 且 f (1)＝8，则 f (2 019)，f (2 020)，f (2 021)的大小关系是( ) A ．f (2 019)<f (2 020)<f (2 021) B ．f (2 019)>f (2 020)>f (2 021) C ．f (2 020)>f (2 019)>f (2 021)D ．f (2 020)<f (2 021)<f (2 019)8 地面上有两座相距 120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为 α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α 2，且在两塔底连线的中点 O 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( )A. 50 m ，100 mB. 40 m ，90 mC. 40 m ，50 mD. 30 m ，40 m二、 多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．9 等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( ) B. (1 + 2)πC. 2 2πD. (2 +2π)A.2π－ 210 关于 x 的不等式(ax -1)(x + 2a -1) > 0 的解集中恰有 3 个整数，则 a 的值可以为 ( ) A ．2B ．1C ．－1D ． 111 声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y = A sin ωt ,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学 模型是函数 f (x ) = sin x + 1sin 2x ,则下列结论正确的是（ ）2A. 2π 是 f ( x ) 的一个周期B. f ( x ) 在 0, 2π 上有3 个零点C. f ( x )最大值为3 3 D. f (x ) 在⎡0, π ⎤上是增函数4⎢⎣ 2 ⎥⎦12 对于具有相同定义域 D 的函数 f (x ) 和 g (x ) ，若存在函数 h (x ) = kx + b （ k ，b为常数），对任给的正数 m ，存在相应的 x 0 ∈ D ，使得当 x ∈ D 且 x > x 0 时，总有⎧0 < f (x ) - h (x ) < m⎨0 < h (x ) - g (x ) < m 则称直线l : y = kx + b 为曲线 y = f (x ) 与 y = g (x ) 的“分⎩， 渐近线”. 给出定义域均为 D= {x x > 1} 的四组函数, 其中曲线 y = f (x ) 与y = g (x ) 存在“分渐近线”的是( )A. f (x ) = x 2 ， g (x ) =B. f (x ) = 10- x+ 2 ， g (x ) =2x - 3xC. f (x ) = x 2 +1x， g (x ) =x ln x +1 ln xD. f (x ) = 2x 2x +1， g (x ) = 2(x -1- e - x )二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13 若二次函数 f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1 有一个零点小于－1，一个零点大于 3， 则实数 a 的取值范围是_ ．x14 在整数集Z 中，被5 除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k 丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2020∈[0]；②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]④“整数a,b 属于同一“类”的充要条件是“a -b ∈[0]”.其中正确结论有（填写正确结论标号）．15 已知sin θ＋cos θ＝7，θ∈(0，π)，则tan θ＝.1316 A、B、C 是平面上任意不同三点，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则y＝c＋b a +b c的最小值是．四、解答题：本题共6 小题，第17 题为10 分，第18-22 题每题12 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合A＝{x|y＝log2(－4x2＋15x－9)，x∈R}，B＝{x||x－m|≥1，x∈R}．(1)求集合A；(2)若p：x∈A，q：x∈B，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18.已知函数f (x)＝A sin(ωx＋φ)⎛A>0，ω>0，0<φ<π⎫的部分图象如图所示，其中点⎝2⎭P(1,2)为函数f(x)图象的一个最高点，Q(4,0)为函数f(x)的图象与x轴的一个交点，O 为坐标原点．(1)求函数f (x)的解析式；(2)将函数y＝f (x)的图象向右平移2 个单位长度得到y＝g(x)的图象，求函数h(x)＝f (x)·g(x)的图象的对称中心．19.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC 和△AA1C 均是边长为2 的等边三角形，点O 为AC 中点，平面AA1C1C⊥平面ABC.(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求直线AB 与平面A1BC1所成角的正弦值．20.已知函数f (x)＝x2＋(x－1)|x-a|．(1)若a＝－1，解方程f (x)＝1；(2)若函数f (x)在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a<1，且不等式f (x)≥2x－3 对一切实数x∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．21 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别为 A、B，焦距为 2，直线 l 与椭圆交于 C，D 两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l 过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为6．(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线AC, BD 的斜率分别为k1 , k2 ．①若k2 = 3k1，求证：直线l 过定点；②若直线l 过椭圆的右焦点F，试判断k1是否为定值，并说明理由．k222 设函数f (x)= ln (x + 1)+a (x2-x )，其中a ∈R ．(1)讨论函数f (x)极值点的个数，并说明理由；(2)若∀x > 0, f (x)≥ 0 成立，求a 的取值范围．。

2019-2020学年江苏省苏州中学园区校高三（上）10月月考数学试卷一、填空题1. 已知A={−1, 0, 1, 6}，B={x|x≤0}，则A∩B=________.【答案】{−1, 0}【考点】交集及其运算【解析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵A={−1, 0, 1, 6}，B={x|x≤0}，∴A∩B={−1, 0}.故答案为：{−1,0}.2. 若复数z满足i⋅z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的虚部为________．【答案】−1【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i⋅z=1+2i，得z=1+2ii =(1+2i)(−i)−i2=2−i，∴z的虚部为−1．故答案为：−1.3. 命题“∀x>1，x2≥3”的否定是________．【答案】∃x>1，x2<3【考点】命题的否定【解析】全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x>1，x2≥3”的否定是：∃x>1，x2<3.故答案为：∃x>1，x2<3.4. “x>1”是“x2≥x”的________条件．（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）【答案】【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】先解不等式“x2≥x”可得：x<0或x>1，再判断“x>1”与“x2≥x”的充要性即可．【解答】解：不等式“x2≥x”可得：x≤0或x≥1，又因为”x>1”能推出“x≤0或x≥1”，“x≤0或x≥1”不能推出”x>1”，即“x>1”是“x2≥x”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 若f(2x)=3x2+1，则函数f(x)的解析式是________．【答案】f(x)=34x2+1【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】直接利用配凑法求解函数的解析式即可．【解答】解：f(2x)=3x2+1=34(2x)2+1，可得f(x)=34x2+1．故答案为：f(x)=34x2+1．6. 函数y=√7−6x−x2的定义域是________.【答案】[−7, 1]【考点】函数的定义域及其求法【解析】由函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：由函数y=√7−6x−x2，令7−6x−x2≥0，即x2+6x−7≤0，解得−7≤x≤1，所以函数y=√7−6x−x2的定义域是[−7, 1]．故答案为：[−7, 1].7. 函数f(x)=ln xx的单调递增区间是________．【答案】(0, e)利用导数研究函数的单调性【解析】求出函数f(x)=ln xx的导数为y′的解析式，令y′>0求得x的范围，即可得到函数f(x)=ln xx的单调递增区间．【解答】解：由于函数f(x)=ln xx 的导数为y′=1−ln xx2，令y′>0可得ln x<1，解得0<x<e，故函数f(x)=ln xx的单调递增区间是(0, e).故答案为：(0, e).8. 函数y=3x3−9x+5在[−2, 2]的最大值与最小值之差为________.【答案】12【考点】利用导数研究函数的最值【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值和最小值，求和即可．【解答】解：∵y=3x3−9x+5，∴y′=9x2−9=0，解得：x1=1，x2=−1，令y′>0，解得：x>1或x<−1，令y′(x)<0，解得：−1<x<1，∴函数在[−2, −1)递增，在(−1, 1)递减，在(1, 2]递增，∴x=−1时，y取极大值，极大值是11，x=1时，y取极小值，极小值是−1，而x=−2时，y=−1，x=2时，y=11，函数的最大值为：11，最小值为：−1，故函数的最大值与最小值之差是12.故答案为：12.9. 水波的半径以0.5m/s的速度向外扩张，当半径为2.5m时，圆面积的膨胀率是________m2/s.【答案】2.5π【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据水波的速度，写出水波对于时间的函数表示式，求出导函数，计算水波半径是2.5时的时间，求出对应的导数即可．【解答】解：水波的半径以v=0.5m/s的速度向外扩张，则水波的面积为s =πr 2=π(vt)2=0.25πt 2，又水波面积的膨胀率为s ′=0.5πt ，所以当半径为2.5m 时，t =2.50.5=5(s)，此时s ′=0.5π×5=2.5π，即半径为2.5m 时，水波面积的膨胀率是2.5πm 2/s ．故答案为：2.5π.10. 设函数y =f(x)为R 上的偶函数，且对任意的x 1，x 2∈(−∞, 0]均有[f(x 1)−f(x 2)]⋅(x 1−x 2)≤0，则满足f(x +1)<f(2x −1)的实数x 的范围是________.【答案】(−∞, 0)∪(2, +∞)【考点】一元二次不等式的解法函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】根据条件判断函数的单调性，结合函数单调性和奇偶性的关系进行转化求解即可．【解答】解：对任意的x 1，x 2∈(−∞, 0]均有[f(x 1)−f(x 2)]⋅(x 1−x 2)≤0，则当x ≤0时，函数f(x)为减函数，∵ f(x)是偶函数，∴ f(x)在[0, +∞)上是增函数，则f(x +1)<f(2x −1)等价为f(|x +1|)<f(|2x −1|)，即|x +1|<|2x −1|，平方得x 2+2x +1<4x 2−4x +1，即3x 2−6x >0，得x(x −2)>0，∴ x >2或x <0，即x 的取值范围是(−∞, 0)∪(2, +∞).故答案为：(−∞, 0)∪(2, +∞).11. 已知f(x)={2019x 2,x ≥0，ax 2,x <0是奇函数且f(3t −a)+4f(8−2t)≤0，则t 的取值范围是________.【答案】[2035, +∞)【考点】分段函数的应用【解析】解：因为当x ≥0时，f(x)＝2019x 2单调递增；且知f(x)={2019x 2,x ≥0ax 2,x <0 是奇函数且在x ＝0处连续；所以整个函数都是增函数；根据f(−x)＝−f(x)求解a 的值，由题意不难发现4f(x)＝f(2x)，那么4f(2t −8)＝f(4t −16)，利用单调性即可求解．【解答】解：因为当x ≥0时，f(x)=2019x 2单调递增，且知f(x)={2019x 2,x ≥0，ax 2,x <0是奇函数且在x =0处连续， 所以整个函数都是增函数.令x <0，−x >0，f(−x)=2019(−x)2=2019x 2，∵ f(x)是奇函数，∴ f(−x)=−f(x)，∴ f(x)=−2019x 2，∴ a =−2019，∴ f(3t −a)+4f(8−2t)≤0⇒f(3t −a)≤−4f(8−2t)=4f(2t −8)=f(4t −16)，∴ 3t +2019≤4t −16，解得：t ≥2035．故答案为：[2035,+∞).12. 若f(x)=|x −2018|+2020|x −a|的最小值为1，则a =________.【答案】2017或2019【考点】函数的最值及其几何意义【解析】由绝对值的几何意义|x −a|表示数轴上x 到a 的距离．【解答】解：由f(x)的几何意义为：在数轴上有三点，A 点坐标为−a ，B 点坐标为2018，X 点坐标为x ，f(x)表示X 到B 的距离加上2020倍X 到A 距离，即：f(x)=BX +2020AX ，当X 点与A 点重合时，取得最小值，此时f(x)min =|a −2018|=1，∴ a =2017或2019，即x =2017或2019时，两个距离之和最小为1.故答案为：2017或2019.13. 若方程3−b 2−2b cos x −2sin 2x =0(x ∈[−π2,π2])有两个不同的实数解，则b 的取值范围是________.【答案】45<b ≤2 【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】将化为2cos 2x −2b cos x +1−b 2=0，设cos x ＝t ∈[0, 1]，进一步将方程化为方程转化为 t 2−2bt +1−b 2=0 t ∈[0, 1]的根的问题；当x ∈[−π2,π2]，则 t ∈[0, 1]；而t ∈(0, 1)时，一个t 对应两个x ，转化为 t 2−2bt +1−b 2=0 t ∈(0, 1)只有一个实根，端点再单独讨论．【解答】解：方程3−b 2−2b cos x −2sin 2x =0在x ∈[−π2,π2]上有两个不同的实根可转化为： 方程2cos 2x −2b cos x +1−b 2=0有两个不同的实根.设t =cos x ，(x ∈[−π2,π2])，则 t ∈[0, 1]，方程转化为 t 2−2bt +1−b 2=0，t ∈[0, 1]的根的问题，若t =0，则b =2，此时方程的另一个根为t =2>1，b =2满足条件，若t =1显然不满足条件，若t ∈(0, 1)，则方程 t 2−2bt +1−b 2=0 在t ∈(0, 1)只有一个实数根， 所以 (1−b 2)(2−5b 2)<0，即 45<b <2. 故答案为:45<b <2.14. 在直角三角形ABC 中，∠A =π2,AB =6,AC =8，过三角形ABC 内切圆圆心O 的直线l 与圆相交于E ，F 两点，则AE →⋅BF →的取值范围是________．【答案】[−20, 4]【考点】点的极坐标不唯一平面向量数量积的性质及其运算律余弦函数的定义域和值域【解析】如图所示建立直角坐标系，A(0, 0)，B(6, 0)，C(0, 8)，通过面积求出r ＝2，圆心坐标(2, 2)，由圆的参数方程设E ，F 坐标，进而分析取值范围．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，A(0, 0)，B(6, 0)，C(0, 8)， 在Rt △ABC 中，BC =√AC 2+AB 2=√62+82=10，设内切圆的半径为r ，则S △ABC =12×AC ×AB =12(AC +AB +BC)×r ，所以12×6×8=12×(6+8+10)×r ，所以r =2，圆心坐标(2, 2)，圆的参数方程为{x =2+2cos θ,y =2+2sin θ,设E(2+2cos θ, 2+2sin θ)，F(2−2cos θ, 2−2sin θ)，(0≤θ<2π)，AE →⋅BF →=(2+2cos θ, 2+2sin θ)⋅(−4−2cos θ, 2−2sin θ)=−8−12cos θ (0≤θ<2π)，∴ AE →⋅BF →∈[−20, 4].故答案为：[−20,4].二、解答题已知函数f(x)=x 2+1，g(x)=4x +1的定义域都是集合A ，函数f(x)和g(x)的值域分别为S 和T .(1)若A =[1, 2]，求S ∩T ；(2)若A =[0, m]且S =T ，求实数m 的值；(3)若对于集合A 的任意一个数x 的值都有f(x)=g(x)，求集合A ．【答案】解：(1)若A =[1, 2]，则函数f(x)=x 2+1的值域是S =[2, 5]，g(x)=4x +1的值域T =[5, 9]，∴ S ∩T ={5}；(2)若A =[0, m]，则S =[1, m 2+1]，T =[1, 4m +1]，由S =T 得m 2+1=4m +1，解得m =4或m =0（舍去）；(3)若对于A 中的每一个x 值，都有f(x)=g(x)，即x 2+1=4x +1，∴ x 2=4x ，解得x =4或x =0，∴ 满足题意的集合是{0}，或{4}或{0, 4}．【考点】函数的单调性及单调区间函数的值域及其求法交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】①根据函数的定义域分别求出两个奇函数的值域，根据集合的基本运算求S ∩T ． ②根据条件A ＝[0, m]且S ＝T ，建立条件关系即可求实数m 的值．③根据条件f(x)＝g(x)建立条件关系即可求集合A ．【解答】解：(1)若A =[1, 2]，则函数f(x)=x 2+1的值域是S =[2, 5]，g(x)=4x +1的值域T =[5, 9]，∴ S ∩T ={5}；(2)若A =[0, m]，则S =[1, m 2+1]，T =[1, 4m +1]，由S =T 得m 2+1=4m +1，解得m =4或m =0（舍去）；(3)若对于A 中的每一个x 值，都有f(x)=g(x)，即x 2+1=4x +1，∴ x 2=4x ，解得x =4或x =0，∴ 满足题意的集合是{0}，或{4}或{0, 4}．已知α，β∈(0, π)，且tan α=2，cos β=−7√210． (1)求cos 2α的值；(2)求2α−β的值．【答案】解：(1)cos 2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α，因为tan α=2，所以1−tan 2α1+tan 2α=1−41+4=−35，所以cos 2α=−35．(2)因为α∈(0, π)，且tan α=2，所以α∈(0,π2)，又cos 2α=−35，所以2α∈(π2,π)，sin 2α=45. 因为β∈(0, π)，cos β=−7√210． 所以sin β=√210，β∈(π2,π)，所以sin (2α−β)=sin 2αcos β−cos 2αsin β=45×(−7√210)−(−35)×√210=−√22， 又2α−β∈(−π2,π2)，所以2α−β=−π4． 【考点】二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】（1）利用二倍角的余弦函数，通过分母“1＝sin 2α+cos 2α”的代换，然后化简分式2tan α的形式，代入数值全家健康．（2）通过α，β的范围求出sin 2α，sin β，通过二倍角的正弦函数，求出sin (2α−β)的值，结合角的范围求出角的大小即可．【解答】解：(1)cos 2α=cos 2α−sin 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α，因为tan α=2，所以1−tan 2α1+tan 2α=1−41+4=−35，所以cos 2α=−35．(2)因为α∈(0, π)，且tan α=2，所以α∈(0,π2)， 又cos 2α=−35，所以2α∈(π2,π)，sin 2α=45.因为β∈(0, π)，cos β=−7√210． 所以sin β=√210，β∈(π2,π)，所以sin (2α−β)=sin 2αcos β−cos 2αsin β=45×(−7√210)−(−35)×√210=−√22， 又2α−β∈(−π2,π2)，所以2α−β=−π4．经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量（单位：百件）和价格（单位：元）均为时间t （单位：天）的函数，且销售量近似地满足f(t)={60+t,1≤t ≤60,150−12t,61≤t ≤100(t ∈N )，价格为g(t)=200−t(1≤t ≤100, t ∈N )． (1)求该种商品的日销售额ℎ(t)与时间t 的函数关系；(2)求t 为何值时，日销售额最大．【答案】解：(1)由题意知，当1≤t ≤60，t ∈N 时，ℎ(t)=f(t)⋅g(t)=(60+t)⋅(200−t)=−t 2+140t +12000，当61≤t ≤100，t ∈N 时，ℎ(t)=f(t)⋅g(t)=(150−12t)⋅(200−t)=12t 2−250t +30000，所以所求函数关系为ℎ(t)={−t 2+140t +12000,(1≤t ≤60,t ∈N )，12t 2−250t +30000,(61≤t ≤100,t ∈N ). (2)当1≤t ≤60，t ∈N 时，ℎ(t)=−t 2+140t +12000=−(t −70)2+16900，所以，函数ℎ(t)在[1, 60]上单调递增，故ℎ(t)max=ℎ(60)=16800（百元），当61≤t≤100，t∈N时，ℎ(t)=12t2−250t+30000=12(t−250)2−1250，所以函数ℎ(t)在[61, 100]上单调递减，故ℎ(t)max=ℎ(61)=16610.5（百元），因为16610.5<16800，所以当t为60时，日销售额最大．【考点】二次函数在闭区间上的最值根据实际问题选择函数类型分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】（1）利用ℎ(t)＝f(t)⋅g(t)，通过t的范围求出函数的解析式．（2）利用分段函数结合二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：(1)由题意知，当1≤t≤60，t∈N时，ℎ(t)=f(t)⋅g(t)=(60+t)⋅(200−t)=−t2+140t+12000，当61≤t≤100，t∈N时，ℎ(t)=f(t)⋅g(t)=(150−12t)⋅(200−t)=12t2−250t+30000，所以所求函数关系为ℎ(t)={−t2+140t+12000,(1≤t≤60,t∈N)，12t2−250t+30000,(61≤t≤100,t∈N).(2)当1≤t≤60，t∈N时，ℎ(t)=−t2+140t+12000=−(t−70)2+16900，所以，函数ℎ(t)在[1, 60]上单调递增，故ℎ(t)max=ℎ(60)=16800（百元），当61≤t≤100，t∈N时，ℎ(t)=12t2−250t+30000=12(t−250)2−1250，所以函数ℎ(t)在[61, 100]上单调递减，故ℎ(t)max=ℎ(61)=16610.5（百元），因为16610.5<16800，所以当t为60时，日销售额最大．已知函数f(x)=|1−1x|，(x>0)．(1)当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求证：ab>1；(2)是否存在实数a，b(a<b)，使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a, b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．(3)若存在实数a，b(a<b)，使得函数y=f(x)的定义域为[a, b]时，值域为[ma, mb](m ≠0)，求m 的取值范围． 【答案】(1)证明：∵ x >0， ∴ f(x)={1−1x,x ≥1，1x−1,0<x <1.∴ f(x)在(0, 1)上为减函数，在(1, +∞)上是增函数． 由0<a <b ，且f(a)=f(b)，可得 0<a <1<b 和1a −1=1−1b ，即1a +1b =2． ∴ 2ab =a +b >2√ab ． 故√ab >1，即ab >1．(2)解：不存在满足条件的实数a ，b ．若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y =f(x)=|1−1x |的定义域、值域都是[a, b]， 则a >0，f(x)={1−1x ,x ≥1，1x−1,0<x <1.①当a ，b ∈(0, 1)时，f(x)=1x−1在(0, 1)上为减函数， 故{f(a)=b ，f(b)=a ， 即{1a−1=b ，1b −1=a ，解得a =b ． 故此时不存在适合条件的实数a ，b ．②当a ，b ∈[1, +∞)时，f(x)=1−1x 在(1, +∞)上是增函数．故{f(a)=a ，f(b)=b ， 即{1−1a =a ，1−1b=b ，此时a ，b 是方程x 2−x +1=0的根，此方程无实根， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ．③当a ∈(0, 1)，b ∈[1, +∞)时，由于1∈[a, b]，而f(1)=0∉[a, b]， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ． 综上可知，不存在适合条件的实数a ，b ．(3)解：若存在实数a ，b(a <b)，使得函数y =f(x)的定义域为[a, b]时， 值域为[ma, mb]，则a >0，m >0．①当a ，b ∈(0, 1)时，由于f(x)在(0, 1)上是减函数，故{1a −1=mb ，1b−1=ma ，此时刻得a ，b 异号，不符合题意，∴ a ，b 不存在． ②当a ∈(0, 1)或b ∈[1, +∞)时，由(2)知0在值域内， 值域不可能是[ma, mb]，∴ a ，b 不存在， 故只有a ，b ∈[1, +∞)．∵ f(x)=|1−1x |在[1, +∞)上是增函数， ∴ {f(a)=ma ，f(b)=mb ， 即{1−1a =ma ，1−1b =mb ，∴ a ，b 是方程mx 2−x +1=0的两个根，即关于x 的方程mx 2−x +1=0有两个大于1的实根．设这两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2=1m ，x 1⋅x 2=1m ． ∴ {Δ>0，(x 1−1)+(x 2−1)>0，(x 1−1)(x 2−1)>0， 即{1−4m >0，1m−2>0，解得0<m <14．故m 的取值范围是0<m <14． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 函数单调性的判断与证明 函数的值域及其求法 函数的定义域及其求法 【解析】（I ）确定函数解析式，利用函数的单调性，可得1a+1b =2，利用基本不等式，即可得出结论；(II)分类讨论，若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y =f(x)=|1−1x |的定义域、值域都是[a, b]，从而可得结论；(III)分类讨论，若存在实数a ，b(a <b)，使得函数y ＝f(x)的定义域为[a, b]时，值域为[ma, mb]，即可得出结论． 【解答】(1)证明：∵ x >0， ∴ f(x)={1−1x ,x ≥1，1x−1,0<x <1.∴ f(x)在(0, 1)上为减函数，在(1, +∞)上是增函数． 由0<a <b ，且f(a)=f(b)，可得0<a <1<b 和1a −1=1−1b ，即1a +1b =2． ∴ 2ab =a +b >2√ab ． 故√ab >1，即ab >1．(2)解：不存在满足条件的实数a ，b ．若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数y =f(x)=|1−1x |的定义域、值域都是[a, b]， 则a >0，f(x)={1−1x ,x ≥1，1x−1,0<x <1.①当a ，b ∈(0, 1)时，f(x)=1x −1在(0, 1)上为减函数， 故{f(a)=b ，f(b)=a ， 即{1a−1=b ，1b −1=a ，解得a =b ．故此时不存在适合条件的实数a ，b ．②当a ，b ∈[1, +∞)时，f(x)=1−1x 在(1, +∞)上是增函数．故{f(a)=a ，f(b)=b ， 即{1−1a=a ，1−1b=b ，此时a ，b 是方程x 2−x +1=0的根，此方程无实根， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ．③当a ∈(0, 1)，b ∈[1, +∞)时，由于1∈[a, b]，而f(1)=0∉[a, b]， 故此时不存在适合条件的实数a ，b ． 综上可知，不存在适合条件的实数a ，b ．(3)解：若存在实数a ，b(a <b)，使得函数y =f(x)的定义域为[a, b]时， 值域为[ma, mb]，则a >0，m >0．①当a ，b ∈(0, 1)时，由于f(x)在(0, 1)上是减函数，故{1a −1=mb ，1b−1=ma ，此时刻得a ，b 异号，不符合题意，∴ a ，b 不存在．②当a ∈(0, 1)或b ∈[1, +∞)时，由(2)知0在值域内， 值域不可能是[ma, mb]，∴ a ，b 不存在， 故只有a ，b ∈[1, +∞)．∵ f(x)=|1−1x |在[1, +∞)上是增函数， ∴ {f(a)=ma ，f(b)=mb ， 即{1−1a=ma ，1−1b =mb ，∴ a ，b 是方程mx 2−x +1=0的两个根，即关于x 的方程mx 2−x +1=0有两个大于1的实根．设这两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2=1m ，x 1⋅x 2=1m ． ∴ {Δ>0，(x 1−1)+(x 2−1)>0，(x 1−1)(x 2−1)>0， 即{1−4m >0，1m−2>0，解得0<m <14．故m 的取值范围是0<m <14．已知函数f(x)=a3x 3−12(a +1)x 2+x −13．(1)若函数f(x)的图象在点(2, f(2))处的切线方程为9x −y +b =0，求实数a ，b 的值；(2)若a ≤0，求f(x)的单调减区间；(3)对一切实数a ∈(0, 1)，求f(x)的极小值的最大值． 【答案】解：(1)f ′(x)=ax 2−(a +1)x +1(a ∈R )，由f′(2)=9，得a=5，∴f(x)=53x3−3x2+x−13，∴f(2)=3，∴(2, 3)在直线9x−y+b=0上，∴b=−15．(2)①若a=0，f(x)=−12x2+x−13=−12(x−1)2+16，∴f(x)的单调减区间为(1, +∞)．②若a<0，则f′(x)=ax2−(a+1)x+1=a(x−1a)(x−1),x∈R，令f′(x)<0，得(x−1a)(x−1)>0，∴x<1a或x>1，∴f(x)的单调减区间为(−∞,1a)，(1, +∞)．(3)f′(x)=a(x−1)(x−1a)，0<a<1，列表：f(1a)=a3⋅1a3−12(a+1)1a2+1a−13=−16⋅1a2+12⋅1a−13=−16(1a−32)2+124．当a=23时，函数f(x)的极小值f(1a)取得最大值为124．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求导函数，利用函数f(x)的图象在点（2, f(2)）处的切线方程为9x−y+b＝0，即可求实数a，b的值；（2）分类讨论，利用导数小于0，可得f(x)的单调减区间；（3）求导数，确定f(x)的极小值，对一切实数a∈(0, 1)，利用配方法，即可求f(x)的极小值的最大值．【解答】解：(1)f′(x)=ax2−(a+1)x+1(a∈R)，由f′(2)=9，得a=5，∴f(x)=53x3−3x2+x−13，∴f(2)=3，∴(2, 3)在直线9x−y+b=0上，∴b=−15．(2)①若a=0，f(x)=−12x2+x−13=−12(x−1)2+16，∴f(x)的单调减区间为(1, +∞)．②若a<0，则f′(x)=ax2−(a+1)x+1=a(x−1a)(x−1),x∈R，令f′(x)<0，得(x−1a)(x−1)>0，∴x<1a或x>1，∴f(x)的单调减区间为(−∞,1a)，(1, +∞)．(3)f′(x)=a(x−1)(x−1a)，0<a<1，列表：f(1a)=a3⋅1a3−12(a+1)1a2+1a−13=−16⋅1a2+12⋅1a−13=−16(1a−32)2+124．当a=23时，函数f(x)的极小值f(1a)取得最大值为124．数列{a n}的前n项和为S n，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称数列{a n}为S数列．(1)S数列的任意一项是否可以写成其某两项的差？请说明理由．(2)①是否存在等差数列为S数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．②是否存在正项递增等比数列为S数列，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵数列{a n}是S数列，∴对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，∴n≥2时，S n−1=a p(p∈N∗)，∴S n−S n−1=a m−a p，即a n=a m−a p，而n=1时，S2=a q，则a1=a q−a2，故S数列的任意一项都可以写成其某两项的差；(2)①假设存在等差数列为S数列，设其首项为a1，公差为d，(i)当d=0时，若a1≠0，则对任意的正整数n，不可能存在正整数m，使得S n=a m，即na1=a1；(ii)当d=0且a1=0时，显然满足题意；(iii)当d≠0时，由S n=a m得，na1+n(n−1)2d=a1+(m−1)d，故m−1=(n−1)a1+n(n−1)2dd=(n−1)a1d+n(n−1)2∈Z，∵n(n−1)2∈Z，n=1时显然存在m=1满足上式，当n=2时，a1d+1≥0，∴a1d ≥−1,a1d∈Z，此时(n−1)a1d +n(n−1)2≥−n+1+n(n−1)2=(n−1)(n−2)2≥0符合题意，综上，存在a1=kd，k∈Z，k≥−1满足题意；②假设存在正项递增等比数列为S数列，则a1>0，q>0，∴对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，∵S n+1S n =a1(1−q n+1)1−qa1(1−q n)1−q=q n+1−1 q n−1=q(q n−1)+q−1q n−1=q+q−1 q n−1<q+q−1 q+1q−1=q+q(q−1)=q2，∴q<S n+1S n<q2，即a m q<S n+1<a m q2，即a m+1<S n+1<a m+2，∵S n+1∈{a n}且{a n}单调递增，显然当n>logq(q+1)−1时，不存在t∈N∗，使得S n+1=a t，这与S数列的定义矛盾．故不存在正项递增等比数列为S数列．【考点】数列与函数最值问题数列的应用数列递推式【解析】（1）由数列前n项和与通项的关系，结合定义即可得出结论；（2）假设存在，分d＝0且a1≠0，d＝0且a1＝0及d≠0讨论得出结论；（3）运用反证法即可得出结论．【解答】解：(1)∵数列{a n}是S数列，∴对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，∴n≥2时，S n−1=a p(p∈N∗)，∴S n−S n−1=a m−a p，即a n=a m−a p，而n=1时，S2=a q，则a1=a q−a2，故S数列的任意一项都可以写成其某两项的差；(2)①假设存在等差数列为S数列，设其首项为a1，公差为d，(i)当d=0时，若a1≠0，则对任意的正整数n，不可能存在正整数m，使得S n=a m，即na1=a1；(ii)当d=0且a1=0时，显然满足题意；(iii)当d≠0时，由S n=a m得，na1+n(n−1)2d=a1+(m−1)d，故m−1=(n−1)a1+n(n−1)2dd=(n−1)a1d+n(n−1)2∈Z，∵n(n−1)2∈Z，n=1时显然存在m=1满足上式，当n=2时，a1d+1≥0，∴a1d ≥−1,a1d∈Z，此时(n−1)a1d +n(n−1)2≥−n+1+n(n−1)2=(n−1)(n−2)2≥0符合题意，综上，存在a1=kd，k∈Z，k≥−1满足题意；②假设存在正项递增等比数列为S数列，则a1>0，q>0，∴对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，∵S n+1S n =a1(1−q n+1)1−qa1(1−q n)1−q=q n+1−1 q n−1=q(q n−1)+q−1q n−1=q+q−1 q n−1<q+q−1 q+1q−1=q+q(q−1)=q2，∴q<S n+1S n<q2，即a m q<S n+1<a m q2，即a m+1<S n+1<a m+2，∵S n+1∈{a n}且{a n}单调递增，显然当n>logq(q+1)−1时，不存在t∈N∗，使得S n+1=a t，这与S数列的定义矛盾．故不存在正项递增等比数列为S数列．。

江苏省苏州中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}220A x x x =--≤，{B x y ==，则A B =（ ）A ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x ≤≤ C ．{}1x x ≥- D ．{}0x x ≥2．已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ） A．10 B．10C．2D．103．若0b a <<，则下列不等式：① a b >；② a b ab +<；③22a a b b<-中，正确的不等式的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．函数2()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则8a bab+的最小值是（ ） A ．10B ．9C ．8D．5．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．696．已知函数ln ,0(),0e xx x x f x x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若定义在R 上的奇函数()f x 满足对任意的x ∈R ，都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则()2019f ，()2020f ，()2021f 的大小关系是（ ） A ．()()()201920202021f f f << B ．()()()201920202021f f f >> C ．()()()202020192021f f f >>D ．()()()202020212019f f f <<8．地面上有两座相距120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为2α，且在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为（ ） A ．50 m ，100 m B ．40 m ，90 m C ．40 m ，50 m D ．30 m ，40 m二、多选题9．等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为（ ）AB ．(1π+C ．D ．(2π+10．关于x 的不等式()()1210ax x a -+->的解集中恰有3个整数，则a 的值可以为（ ） A ．12-B ．1C ．－1D ．211．声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+,则下列结论正确的是（ ）A ．2π是()f x 的一个周期B ．()f x 在0,2π上有3个零点C ．()f x 的最大值为4D ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 12．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x mh x g x m ⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}|1D x x =>的四组函数，其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）A ．()2f x x =，()g x =B ．()102xf x -=+，()23x g x x-=C ．()21x f x x+=，()ln 1ln x x g x x +=D ．()221x f x x =+，()()21xg x x e -=--三、填空题13．若二次函数()2241f x x ax a =-+++有一个零点小于1-，一个零点大于3，则实数a 的取值范围是____________.14．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5|}k n k n Z =+∈，0,1,2,3,4k =.给出如下四个结论：①[]20200∈； ②[]33-∈； ③[][][][][]01234Z =；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”. 其中正确结论有____________（填写正确结论标号）. 15．已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.四、解答题16．已知A 、B 、C 是平面上任意三点，且BC a =，=CA b ，AB c =.则c by a b c=++的最小值是______. 17．已知集合(){}22|log 4159,A x y x x x ==-+-∈R ，{}|1,B xx m x =-≥∈R ‖ （1）求集合A ；（2）若p ：x A ∈，q ：x B ∈，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 18．已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，其中点(1,2)P 为函数图像的一个最高点，(4,0)Q 为函数图像与x 轴的一个交点，O 为坐标原点．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将函数()y f x =的图像向右平移2个单位得到()y g x =的图像，求函数()()()h x f x g x =⋅图像的对称中心．19．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，△ABC 和△AA 1C 均是边长为2的等边三角形，点O 为AC 中点，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ．（1）证明：A 1O ⊥平面ABC ；（2）求直线AB 与平面A 1BC 1所成角的正弦值． 20．已知函数2()(1)f x x x x a =+--． （1）若1a =-，解方程()1f x =；（2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a <且不等式()23f x x ≥-对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，直线l 与椭圆交于,CD 两点（均异于椭圆的左、右顶点）.当直线l 过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时，四边形ACBD 的面积为6. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线,AC BD 的斜率分别为12,k k . ①若213k k =，求证：直线l 过定点；②若直线l 过椭圆的右焦点F ，试判断12k k 是否为定值，并说明理由.22．设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈.（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若()0,0x f x ∀>≥成立，求a 的取值范围.。