南京工业大学高等数学试题

南京工业大学 高等数学B 试题（B ）卷（闭）2011--2012学年第一学期 使用班级 浦生工等 班级 学号 姓名一、填空题（共18分，每小题3分）1. 1．设()()则,12xx x f += ()=∞→x f x lim2．设()x f 在1=x 处可导，且 ()21='f ，则 ()()=-+→hf h f h 121lim3．设函数()x y 是由方程 3=+xy e y所确定，则 ='|y4．如 ()422++=x x x f ，则适合等式 ()()()()0202-'=-ξf f f 的=ξ5．如()()=+=⎰x f C edx x xf x则,6．()⎰-=+113cosdx x x x二、选择题（共12分，每小题2分）1．当0→x 时，下列无穷小中与 x cos 1-等价的是（ ）A.xB. x 21 C. 2x D 221x .2.设 ()()⎩⎨⎧>+<+=0,0,1ln x a e x x x f x，是连续函数，则 ,a 满足:（ ）A.a 为任意实数，B.1-=aC. ,0=aD.1=a3.若()()(),R x x f x f ∈--= ，且在 ()∞,0内()(),0,0>''>'x f x f 则()x f 在()0,∞-内必有：（ ） A.()()0,0<''<'x f x f B.()()0,0>''<'x f x f C.()()0,0<''>'x f x f D.()()0,0>''>'x f x f4.在下列极限中，正确的是:( )A.22sin lim 0=→x x xB.1arctan lim =+∞→xx x C .e x xx =+→0lim D.∞=--→24lim22x x x 5.定积分 =⎰dx x π20sin （ ）A. 0B. 4C. 2D. 16.直线L 与x 轴平行，且与曲线 xe x y -=相切，则切点坐标是（ ）A.()1,1B.()1,1-C.()1,0-D.()1,0三、计算题（共48分，每小题6分）1.xe x x 1lim 20-→ 2.设 2222++=x x y ,求 y '3.设有参数方程()0sin 322>⎩⎨⎧=++=t tt y t t x ，求 dx dy4.()dx x x ⎰+1215.dx xx ⎰+1316.设 ()()⎰+=13sin dx x f x x x f ，求()x f 的表达式。

南京工业大学 高等数学 B 试卷（A ）卷（闭）学院 班级 学号 姓名一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将正确答案填在题后的横线上）1、方程132=-'-''y y y 的一个特解为2、设yoz 平面上曲线12222=-cz b y 绕z 轴旋转所得到的旋转面方程为 .3、设a x x a y D ≤≤-≤≤0,0:22，由二重积分的几何意义知⎰⎰=--Ddxdy y x a 222 .4、已知向量c 与(1,1,1)a =,(2,1,3)b =-都垂直，且向量a ，b ，c 构成右手系则c = . 5、曲面04x 8z xy 3x :2=--+-∑在)2,3,1(-P 处的切平面的法向量是 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将正确答案填在题后的括号内）1、下列微分方程中（ ）可以被称为是关于y 的贝努里微分方程（A ）xyy x dx dy 23+= （B ）22y )1x (dxdy+= （C ）x e xy dxdy=- （D ）222xy x dx dy += 2、设有直线22z 11y 11x :L 1-=-=--及41z 52y 33x :L 2+=+=-则21L ,L 的位置关系为（ ）.（A ）异面 （B ）平行 （C ）垂直 （D ）相交3、对二元函数)y ,x (fz =在点)y ,x (P 000处的下列叙述中正确的是（ ） （A ） 若在0P 处的偏导数)y ,x (f 00x ，)y ,x (f 00y 存在，则)y ,x (f在0P 处连续 （B ） 若)y ,x (f 00x ，)y ,x (f 00y 存在，则+=dx )y ,x (f dz 00x dy )y ,x (f 00y （C ） 若)y ,x (f 在0P 处不连续，，则在0P 处的偏导数必不存在 （Ｄ）若)y ,x (f在0P 处的两个偏导数连续，则)y ,x (f 在0P 处必可微分4、若区域D 为)1,1(，)1,1(--，)1,1(-三点围成的区域，1D 是D 在第一象限的部分，则dxdy y x D2⎰⎰＝（ ）)(A dxdy y x 21D 2⎰⎰ )(B dxdy y x 41D 2⎰⎰ )(C ０ )(D dxdy y x 1D 2⎰⎰5、下列关于数项级数的叙述中正确的是( ).)(A 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+1n 100n u 收敛 )(B 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛)(C 若1u u limn1n n <ρ=+∞→，则∑∞=1n n u 收敛 )(D 若)u u (1n 1n n ∑∞=++收敛，则∑∞=1n n u 收敛 三、计算与解答题（本部分共有７小题，５５分，注意每小题的分数不完全相同）1、（７分）求微分方程5)1x (1x y2dx dy +=+-的通解。

南京工业大学 高等数学A-1期中 试题解答2014 - 2015 学年第1学期 使用班级 江浦2014级本科生一、填空题（本题共4小题，每小题2分，满分8分，请将正确答案填在题后的横线上） 1、极限1sin 3lim(2sin)x x x x x→∞+= 2_ . 2、作直线运动的质点的运动规律为233t t S -=，则它速度开始增加的时刻=t 1_ . 3、设常数0k >，函数()ln xf x x k e=-+在(0,)+∞内零点的个数为__2___ . 4、函数 ()y f x =在点x 处可导，且()2f x '=,则当0 x ∆→时，无穷小dy 与x ∆的比较结果是__ 同阶但不等价的无穷小量_.二、求下列函数或数列的极限（每题7分，共28分）（1）200221sin cos lim sin ()cos ]22x x x x xxx →→+-=2220021sin cos sin sin lim 2lim 4()cos ]2x x x x xx x xx x x →→+-+=== （2）tan sin sin tan sin 00(1)lim 1[ln(1)]2x x x x x x x e e x x x -→→-=+-0tan sin tan (1cos )2lim2lim [ln(1)][ln(1)]x x x x x x x x x x x x →→--==+-+- 222122lim21[()]2x x x x x x ο→==--+-（3） 2111lim (sin cos )lim [cos (12sin )]x xx x x x x x→∞→∞+=+211lim (cos )(12sin )x x x e x x→∞=+= 注：0211lim (cos )1,lim(12sin )x x x x e e x x→∞→∞==+=.本题也可利用对数转化求2121ln(sin cos )ln(sin cos )lim lim xx x x xx x x ee→∞++→∞=.（4）1lim(1)n n n n→∞++. 11(123)n n n n n n nn nn n n n=≤++++≤=ln 11limlim 1,lim lim 1x xxxnx nn x ee n →+∞→+∞→∞→∞===∴==由夹逼准则知原极限1lim(1)1n n n n→∞+=.三、求下列函数的导数或微分（每题6分，共24分）（1）设2arctan ln(1)x t y t =⎧⎨=+⎩，求dy dx ，22d ydx . 解：2222[ln(1)]12,1[arctan ]1tdy t t t dx t t '++==='+2221()(2)22(1)d y d d y d t t dt dx dx dx dxdx====+.（2）设tan 1xxy e=+，求dy . 解：22(1)sec tan (1)x xx e x x e dy dx e =+-⋅+.（3）2cos2y x x =，求()100y .解：利用Leibnize 公式：()()()()1001009998212221001001002(cos 2)(cos 2)()(cos 2)()2[cos 2100sin 22475cos 2]y x x C x x C x x x x x x x '''=⋅+⋅+⋅=+-注：.本题利用()(cos 2)2cos(2)2n n n x x π=+. （4）求由方程1sin 02x y y -+=所确定的隐函数的二阶导数22d ydx.解：方程1sin 02x y y -+=两边分别对x 求导，得 11cos 02y y y ''-+⋅=，解得2322(sin )4sin ,2cos (2cos )(2cos )y y yy y y y y '-⋅'''===----.四、解答下列各题（1）（8分）求函数23()x x y x x x -=-的间断点及其类型. 解：函数在0x =及1x =处无定义，故其间断点为0x =及1x =; 0x =处：230001lim ()lim lim ,()(1)x x x x x f x x x x x x +++→→→-===∞-+所以0x =是无穷间断点（第二类） 1x =处：2311111lim ()lim lim ,()(1)2x x x x x f x x x x x x →→→-===-+所以1x =是可去间断点（第一类） （2）（12分）问a 为何值时，函数1sin ,0()0,0ax x f x xx ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩在(),-∞+∞上 （i ）连续； （ii ）可导； （iii ）一阶导数连续.解：本题只需考查函数在0x =处的性质即可（i ）由题意0lim ()(0)x f x f →=，即01lim sin 0a x x x+→=，此时0a >.（ii ）100()(0)1(0)limlim sin 0a x x f x f f x x x -→→-'==-,该极限存在，此时1a >,(0)0f '=. （iii ）当1a >时，1211sin cos ,0()0,0a a ax x x f x x xx --⎧->⎪'=⎨⎪≤⎩欲使0lim ()(0)x f x f →''=，即12011lim (sin cos )0a a x ax x x x+--→-=，此时2a >. （3）（10分）设数列{}n x 满足12x π=，1sin n n x x +=，1,2,3,...n =，（i ）试证明此数列极限存在，并求出lim n n x →∞； （ii ）试求211lim()n x n n nx x +→∞.（i ）证明：由归纳假设知，01,1,2,3,...n x n <≤=，又1sin ,n n n x x x +=≤由单调有界准则可知此数列极限存在；令lim ,n n a x →∞=则由1sin n n x x +=，得sin ,a a =故lim 0n n x a →∞==；（ii ）解：220sin ln()111sin cos 11lim limlim1360sin sin lim()lim()lim()x x x n n xx x x x x x n n x x xxn n x nn x x x e e e e x x x →→→---+→∞→∞→======.（4）（10分）以下两题任选其一（仅做一题）（i ）设()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，(0)0f =，(1)(2)0f f +=，证明：至少 存在(0,2)ξ∈，使得()()f f ξξ'=。

南京工业大学2012-2013高等数学期末试卷A 及答案一、填空题（每小题3分，共36分）1.=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→x y x xy 11lim ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→∞→∞→⋅∞→∞→01lim111lim 11lim e xy xy yxyy x yxy y x y x 1 .2.函数),(y x z z =由方程0sin =+x y e xz 确定，则=-=-=∂∂xz z y xe x y x F F y z cos 1xz ex x y 2cos - . 3.设函数222lnz y x u ++=，则它在点)1,1,1(0-M 处的方向导数的最大值为33. 4.设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a 5-.5.空间曲线x z x y -==1,222在点)22,1,21(处的切线方程为 212211121--=-=-z y x .6.改变积分次序：==⎰⎰-dy y x f dx I x x 22020),(dx y x f dy y y ⎰⎰-+--2211111),( .7.设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则=⋅=⋅=+⎰⎰π2221211)(LLds ds y x π . 8.设∑为曲面22y x z +=在10≤≤z 的部分，则⎰⎰∑=xdS 0 .9.设,0,10,)(⎩⎨⎧<≤<≤-=-ππx x e x f x 则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于)1(21πe + . 10.设321,,y y y 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个不同的解，且≠--3221y y y y 常数，则微分方程的通解为 1322211)()(y y y C y y C +-+- .11.函数x x f -=21)(展开为x 的幂级数的形式为)2,2(2101-∈∑∞=+x x nn n .12.微分方程x xe y xy =-'1的通解为 x xe Cx + . 二、计算下列各题（每小题6分，共18分）1.设),(xye xy f z =，)(x y ϕ=，其中ϕ,f 均为一阶可微函数，求dxdz . 解：)(221y x y e f xy x y f dx dz xy'+⋅'+-'⋅'= ))()(()()(221x x x e f xx x x f xyϕϕϕϕ'+⋅'+-'⋅'= 2.求曲面)(21422y x z +-=与平面2=z 所围立体的体积.解：所围立体在xoy 面的投影域4:22≤+y x D ，所围立体的体积 dxdy y x dxdy dxdy y x V D DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=)(2122)](214[2222 πππθππ4482122202202=-=-⨯=⎰⎰rdr r d3.在曲面6632222=++z y x 上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面1=++z y x 平行.解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为),,(z y x M ，令=),,(z y x F 6632222-++z y x ，则切平面的法向量)6,4,2(),,(z y x F F F n M z y x ==, 已知平面1=++z y x 的法向量)1,1,1(1=n依题意1//n n，即令t z y x ===161412 代入曲面方程中解的2,3,6===z y x ，即切点坐标为)2,3,6(M . 三、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设Ω是由锥面22y x z +=与半球面221y x z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，求曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz .解：已知x z y x P =),,(，y z y x Q =),,(，z z y x R =),,(，由高斯公式有dv zR y Q x P zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∂∂+∂∂+∂∂=++)(dr r d d dv ϕϕθππsin 33122040⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ωππ)22(31)221(23-=⨯-⨯⨯= 2.写出级数++++43227252321的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和. 解：该数项级数的通项为nn n u 212-=；级数为正项级数，由于 21121221lim lim1=-+⋅=∞→+∞→n n u u n nn n ，由比值审敛法知该级数收敛.令)1,1()()(22)12()(211111-∈-=-=-=∑∑∑∞=∞=-∞=x x s x xs x xn x x n x s n n n n nn ，则xxx dt ntdt t s n xn n n x-===∑⎰∑⎰∞=∞=-1)(1111， 于是2011)1(1)()(x dtt s dx d x s x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰， 又xxx x s n n -==∑∞=1)(12， 所以)1,1()1(1)1(2)(222-∈-+=---=x x x x x x x x x s ，于是3)1(21)12()21(21221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-==∞=∑x n n x x x n s .3.求微分方程x e y y y 223=+'-''的通解.解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程0232=+-r r 的特征根为2,121==r r ，x e x f 2)(=的1=λ为特征方程的单根，则原方程的特解为x Axe y =*，代入原方程中得2-=A ,齐次线性微分方程的通解为x x e C e C Y 221+=,所以原方程的通解为=+=*y Y y x x x xe e C e C 2221-+.四、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.解：由于x y x f x 24),(-=，y y x f y 24),(--=，令,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f yx 得驻点,22⎩⎨⎧-==y x 又 2),(-==y x f A xx ，0),(==y x f B xy ，2),(-==y x f C yy ，及4)()2,2(2-=--AC B ， 则点)2,2(-位极大值点，极大值为8)2(2)]2(2[4)2,2(22=-----=-f .2.求幂级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛半径及收敛域. 解：令 1-=x t ，则 nn nn n n t n n x ∑∑∞=∞==-11212)1(，由于 212)1(2lim lim 11=+=+∞→+∞→n n n nn n n n a a ， 则收敛半径2=R .又当2-=t 时，级数∑∞=-1)1(n nn 收敛，当2=t 时，级数∑∞=11n n 发散，所以)2,2[-∈t ，即级数的收敛域为)3,1[-.3.设),()sin(y x x xy z ϕ+=，其中),(v u ϕ具有二阶偏导数，求yx z∂∂∂2.解：),(1),()cos(21yxx y y x x xy y x z ϕϕ'+'+=∂∂，)(),(1),(1)(),()sin()cos(222222122yxy x x y y x x y y x y x x xy xy xy y x z -⋅''+'--⋅''+-=∂∂∂ϕϕϕ五、（本题5分）求函数2),(22+-=y x y x f 在椭圆域}14|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解：由于x y x f x 2),(=，y y x f y 2),(-=，令,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f y x 在D 内求得驻点)0,0(.在D 的边界上，设)14(2),,(2222-+++-=y x y x y x F λλ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+==+-==+=)3(014),,()2(0212),,()1(022),,(22y x y x F y y y x F x x y x F y x λλλλλλ当0≠x ，由（1）得1-=λ，代入（2）得0=y ，在代入（3）得⎩⎨⎧=±=01y x ；同理当0≠y 得⎩⎨⎧±==20y x ；由于2)0,0(=f ， 3)0,1(=±f ， 2)2,0(-=±f ，所以最大值为3，最小值为2-.六、（本题5分）设在上半平面}0|),{(>=y y x D 内，函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f t ty tx f -=，证明对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.解：由格林公式，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，⎰⎰⎰----±=-1)],(),(),(),([),(),(D y xLdxdyy x yfy x f y x xf y x f dyy x xf dx y x yf .dxdy y x yf y x xf y x f y D x )],(),(),(2[1---±=⎰⎰ （*）由于函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f t ty tx f -=，即),(),(2ty tx f y x f t =上式两端对t 求导有),(),(),(221ty tx f y ty tx f x y x tf '+'= 特取1=t 得),(),(),(2y x yf y x xf y x f y x += 由（*）式既有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L。

南京工业大学 高等数学B 试卷（A ）(参考答案)2011--2012学年 第 二 学期 使用班级 浦江学院11级一、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）1、31y -= 2、1c z b y b x 222222=-+ 3、361a π 4、)3,1,4(-- 5、)1,3,3(-二、选择题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）1、(A)2、(A )3、(D)4、(A )5、(A)三、计算与解答题（本部分基本是书上例题，如有错误，请各位查书） 1、(本题7分)解：解：因1x 2)x (P +-=⇒积分因子⎰dx )x (P e=2dx 1x 2)1x (1e +=⎰+- 方程两边乘2)1x (1+得到，212252)1x ()1x (1)1x ()y )1x (1(+=++='+， 两边积分： dx )1x (y )1x (1212+=+⎰= C )1x (3223++通解为： ]C )1x (32[)1x (y 232+++=，-----------------------7分2、解：)y 2x sin(y xz--=∂∂ y x z 2∂∂∂=)xz(x ∂∂∂∂=)y 2x cos(21-+-------------------- 7分 3、解：平面法向量)4,2,3(n -=。

由平面的点法式方程可知，所求的平面方程为0)1z (4)3y (2)1x (3=++---⇒07z 4y 2x 3=++------------------------------------7分4、解：原式=⎰⎰yy 102dx yysin dy= =⎰-10dy )y sin y y (sin =⎰10ydy sin -⎰10ydy sin y=1sin 1-------------------------------------------------------------------7分5、解：因)x (u )x (u lim n 1b n +∞→ =x x 1n 1x 2n 1lim 1n 2n n =++++∞→所以，当1x <，即1x 1<<-时，幂级数绝对收敛当1x -=时，级数为∑∞=+-0n 1n 1，此时发散；当1x =时，级数为∑∞=+-0n n1n 1)1(，此时收敛，所以收敛域为]1,1(---------------------------------------------------------------4分 设∑∞=++-=0n 1n n1n x )1()x (s 1x 1≤<-，)1n x ()1()x (s 0n 1n n'+-='∑∞=+=x 11x )1(0n n n +=-∑∞= 1x 1<<-，所以⎰⎰+='x0xdx x 11dx )x (s 1x 1≤<-⇒)x 1ln()0(s )x (s+=- ⇒)x 1ln()x (s +=-------------------5分6、解：设=)z ,y ,x (G )xzy ,y z x (F ++则 )xz(F F G 221x -+=，221y F )y z (F G +-=，x 1F y 1F G 21z += 所以z x G G x z -=∂∂=21221F x1F y 1F x z F +--，z y G G y z -=∂∂=21212F x 1F y 1F F y z ++--dz =dx F x1F y 1F x zF 21221+--dy F x 1F y 1F F y z 21212++----------------------------------9分 （若用其他方法解，自己掌握）7、解：令p y ='，则 dx dp y =''，方程化为 2x1xp2dx dp += 分离变量并两边积分得到 12C ln )x 1ln(p ln ++= ⇒)x 1(C y 21+='---------------------------------------------------5分231C )x 31x (C y ++= ---------------------------------------9分 四、应用题（8分）解：设长方体的长、宽、高分别为z ,y ,x 则表面积为yz 2xz 2xy 2++，体积为xyz V =设乘数函数： )a yz 2xz 2xy 2(xyz )z ,y ,x (F 2-++λ+= 则 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+λ+==+λ+==+λ+=2z y x a yz 2xz2xy 20)y x (2xy F 0)z x (2xz F 0)z y (2yz F ⇒唯一驻点6a z y x ===由实际问题可知，体积的最大值确实存在，因此当长方体的长宽高都为6a 时，可使体积最大五、（本题7分）解法一：利用极坐标计算：令θ=θ=sin r y ,cos r x ，则⎰⎰+D222dxdy y x x =⎰⎰θθD222rdrd r cos r =⎰⎰θθπa 0220rdr cos d =⎰πθθ+20a02d r 2122cos 1=2a 2π---------------------------4分解法二：利用对称性：⎰⎰+D222dxdy y x x =⎰⎰+D 222dxdy yx y ，因此，⎰⎰+D222dxdy y x x =21【⎰⎰+D 222dxdy y x x +⎰⎰+D222dxdy y x y 】 =21⎰⎰++D2222dxdy yx y x =2a 2π-------------------------------3分。

南京工业大学 高等数学A-2试卷（A ）解答2012--2013学年 第 二 学期 使用班级 江浦12级一、选择题(本大题共5小题, 每小题3分, 总计15分)1、)(C2、()A3、)(B4、()D5、)(B 二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分，总计15分) 1、221x x y -+= ⒉、 1 3、2π 4、43-5、 2π 三、解答下列各题(本大题共4小题，每小题7分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)1、设函数6),,(+---++=z y x yz zx xy z y x f ，问在点)0,4,3(P 处沿怎样的方向l ，f 的变化率最大？并求其最大的变化率。

解:)6,2,3()1,1,1()0,4,3(=-+-+-+=P y x z x z y gradff 沿方向(3,2,6)l =的变化率最大； ……4分其最大的变化率为(3,4,0)7Pf gradf l∂==∂。

……3分2、设22(,)y z f x y x =+，其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数，求x z∂∂、yx z ∂∂∂2。

解:1222z yx f f x x∂''=⋅-⋅∂， ……3分2111222122221112(2)(2)z y x yf f f yf f x y x x x x∂'''''''''=+--+∂∂ 22111222223142(1)y yf xyf f f x x x'''''''=-++-- ……4分 3、计算二次积分11sinxxdx y dy y⎰⎰。

解：111000sinsin y xx xdx y dy dy y dx y y=⎰⎰⎰⎰（交换积分顺序） ……2分120(1cos1)y dy =-⎰……3分1(1cos1)3=- ……2分 4、计算Lxds ⎰，其中L 为由直线y x =及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界。

南京工业大学高等数学（下）期中考试试卷班级___________ 学号___ ______姓名_______________成绩 ____（请考生注意：本试卷共 4 页）大题 一 二 三 四 五 六得分一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)1、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(222y x y x y x y x y x f 在（0，0）点（）。

（A ）极限不存在 （B ）不连续 （C ）可微分（D ）均存在)0,0(),0,0(y x f f2、椭球面163222=++z y x 上点)3,2,1(--处的切平面与平面1=z 的夹角为（ ）。

（A ）4π（B ）223arccos （C ） 227arccos （D ）167arccos3、z x y x (,)000=和z x y y (,)000=是函数z z x y =(,)在点(,)x y 00处取得极大值或极小值的（ ）。

（A ）必要条件但非充分条件 （B ）充分条件但非必要条件（C ）充要条件 （D ）既非必要条件也非充分条件 4、曲线积分ds y x c⎰+)(22，其中c 是圆心在原点、半径为a 的圆周，则积分为（ ）。

（A ）22a π （B ）3a π （C ） 32a π（D ）π5、曲线积分,422⎰++-=c y x xdy ydx I 其中c 是椭圆1422=+y x ，并取正向，则I 为（ ）。

（A ）π （B ）π2 （C ）π2- （D ）0二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)1、设函数zy x u 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，则)1,1,1(du = ____________________________.2、曲面3=++xy z e z在点)0,1,2(M 处的切平面方程是______________________. 3、交换积分次序⎰⎰--=1112______________________________),(x x dy y x f dx4、设则I =_______________.5、设),(y x F 为可微函数，则曲线积分)(),(xdy ydx y x F AB+⎰与路径无关的充要条件是______________________________.三、解答下列各题(本大题共5小题，总计44分) 1、(本小题10分)求函数222222cz b y a x u ++=在点),,(z y x P 处沿此点的向径},,{z y x r = 的方向导数；在什么条件下，此方向导数等于u grad ？2、(本小题10分)(1)设),,ln (2y x y x f z -=f 具有二阶连续偏导数，求,x z ∂∂yx z∂∂∂2。

南京工业大学2010-2011学年第二学期期末试卷及解答一.填空题(每小题3分, 满分15分)1. 过直线122:232x y z L -+-==-且垂直于平面325x y z +-=的平面方程是_________．【解】应填：81390x y z --+=．直线L 的方向向量{2,3,2}s =-．已知平面的法向量1{3,2,1}n =-，设所求平面的法向量为n ，由题意知n s ⊥且1n n ⊥，故可取1n s n =⨯232{1,8,13}321i j k=-=--，由条件知，所求平面过点0(1,2,2)-P ，于是所求平面方程为(1)8(2)13(2)0x y z --+++-=，即81390x y z --+=．2. 设221zx xy y ze +++=，则(0,1)dz = ．【解】应填：2dx dy --．由221z x xy y ze +++=，两边求全微分，得222(1)0z xdx ydx xdy dy z e dz +++++=，当0,1x y ==时，代入原方程得0z =，所以(0,1)2dzdx dy =--．3. 椭圆抛物面∑：222=+z x y 在点0(1,1,3)P -处的法线方程是___________. 【解】应填：113421x y z -+-==--. 曲面∑在点0(1,1,3)P -处的法向量可取为{}{}(1,1,3)4,2,14,2,1-=-=--n x y ，于是曲面∑在点0(1,1,3)P -处的法线方程为113421x y z -+-==--.4. 曲面z =与22z x y =+所围立体的体积为 ．【解】应填：6π． 22106rrV dv d rdr dz ππθΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰．5. 设L 为上半圆周y =()22-+⎰Lxxy y ds =____________．【解】应填：π．由对称性，代入技巧及几何意义可得()220-+=+=⎰⎰LLxxy y ds ds π二.选择题(每小题3分, 满分15分)1．方程32123'''-+=+-x y y y x e 的特解形式为（ ）． (A)()x ax b e + (B) ()x ax b xe + (C) xax b ce ++ (D) xax b cxe ++ 【解】选（D ）2.设(1)=-nn u ，则级数（ ）． （A ）1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛 （B ）1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散（C ）1nn u∞=∑收敛，而21nn u∞=∑发散 （D ）1nn u∞=∑发散，而21nn u∞=∑收敛【解】选（C ）3．二元函数(),f x y 的两个偏导数(),x f x y ¢，(),y f x y ¢在点()000,P x y 处都连续是(),f x y 在点()000,P x y 处可微分的（ ） (A) 充分条件 (B) 必要条件(C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件【解】若(),x f x y ¢，(),y f x y ¢在点()000,P x y 都连续，则(),f x y 在点()000,P x y 处可微分，选(A) 4.211xdx =⎰⎰（ ）（A ）)112（B ）)113（C （D【解】 原积分1dy =⎰)2111123==⎰． 选（B ）5. 设20()0x x f x x x πππ⎧-≤<=⎨-≤<⎩，则周期为2π的函数()f x 的傅立叶级数在2x π=处收敛于 ． （A ）2-π（B ）-π （C ）0 （D ）2π【解】选(A)三. (10分) 设)(),(xyg y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求yx z∂∂∂2．【解】根据复合函数求偏导公式得1221()z y f y f g x y x∂'''=⋅+⋅+⋅-∂,122111122212222211122223323221()111[()][()]11z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x xx⎛⎫∂∂∂⎛⎫'''==⋅∂∂∂''+⋅+⋅- ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭'''''''''''''='''''''+---++⋅--++⋅--⋅-⋅-=四. (10分) 求22),(y x y x f z -==在闭区域D ：1422≤+y x 上的最大值和最小值．【解】在D 的内部，20(0,0)20x yf x f y '==⎧⇒⎨'=-=⎩为驻点，且(0,0)0f = 在D 的边界上，由22222221151(22)444x z x y y x x x y =-=--≤=⇒=-≤+⇒5002dz x x dx ==⇒=，此时，1,y =±，则有(0,1)1,(2,0)4±=-±=f f比较上述函数值知，函数22),(y x y x f z -==在D 上的最大值为4,最小值为-1．五. (10分) 求微分方程'''=+x y y xe x的通解. 【解】不显含y ，故令,'=y p 则'''=y p ，代入原方程得1'-=x p p xe x， 利用通解公式求得通解为1()=+x p x e C ，积分得原方程通解为2121(1)2=-++x y x e C x C ．六. (12分)（Ⅰ）试确定可导函数()f x ，使在右半平面内，[2()]()y f x dx xf x dy -+为某函数(,)u x y 的全微分,其中(1)2f =； （Ⅱ）求(,)u x y ； 【解】（Ⅰ）[2()]P y f x =-，()Q xf x =．因为[2()]()y f x dx xf x dy -+是函数(,)u x y 的全微分，所以有 Q Px y∂∂=∂∂， 即()()2()f x xf x f x '+=-，故()2()2xf x f x '+=． 上述微分方程的通解为2()1Cf x x =+.由(1)2f =得1C =, 所以21()1f x x =+． （Ⅱ）在右半平面内取00(,)(1,0)x y =，则10(,)(,0)(,)xyu x y P x dx Q x y dy =+⎰⎰011()()yx dy y x x x=+=+⎰．七. (12分) 求幂级数1(1)nn n n x∞=+∑的收敛域及和函数．【解】易求得其收敛域为(1,1)-，令1()(1)nn S x n n x ∞==+∑11(1)n n x n n x∞-==+∑1()x S x =⋅， 其中 111()(1)n n S x n n x ∞-==+∑，两边积分1101()(1)xxn n S x dx n n xdx ∞-==+∑⎰⎰1(1)n n n x ∞==+∑，再积分101(())(1)x xxnn S x dx dx n x dx ∞==+∑⎰⎰⎰2111n n x xx∞+===-∑． 因此2132()()1(1)x S x x x ''==--，故原级数的和32()(1)xS x x =-，(1,1)x ∈-．八. (12分) 计算积分()(2)I y z dzdx x z dxdy∑=-++⎰⎰，其中∑是抛物面22z x y =+(01)z ≤≤，取下侧．【解】补220:1(1),z x y S =+ 取上侧,设∑与0∑围成空间区域Ω, Ω及0∑在xOy 平面上的投影区域22:1xy D x y +≤. 由Gauss 公式，()(2)()(2)I y z dzdx x z dxdy y z dzdx x z dxdy ∑+∑∑=-++--++⎰⎰⎰⎰[()(2)]()(2)y z x z dv y z dzdx x z dxdy y z Ω∑∂∂=-++--++∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 03()(2)dv y z dzdx x z dxdy Ω∑=--++⎰⎰⎰⎰⎰.因为0∑垂直于zOx 平面，0∑在zOx 平面上的投影区域面积为零， 所以()0y z dzdx ∑-=⎰⎰.221223[][2()]+=-++⎰⎰⎰⎰⎰xyxyx yD D I dz dxdy x x y dxdy212220(355)(35)=--=-⎰⎰⎰⎰xyD x y dxdy d r rdr πθ.2π=九. (4分) 设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Lyx xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数．证明：对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cyx xydydx y ϕ；【证明】将C 分解为：21l l C +=，另作一条曲线3l 围绕原点且与C 相接，则=++⎰Cyx xydydx y 4222)(ϕ-++⎰+314222)(l l y x xydydx y ϕ022)(3242=++⎰+l l yx xydydx y ϕ．。

南京工业大学 高等数学A-1期中考试试题（闭）所在院（系） 班级 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分一．填空（每空2分，计14分）1、已知221)1(x x x x f +=+，则=-)1(xx f2、=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→24244...2211lim n n nn n n 3、已知3ln sin +=xxy ，则=dy 4、曲线53523++-=x x x y 的拐点为5、曲线x bx x a y ++=2ln 在2,121==x x 处取得极值，则=a ，=b6、曲线x x y +=3在1=x 处的曲率半径=R二．选择题（每题3分，计15分）1、⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤=2,sin 0,cos )(00πx x x x x x x f 当当 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上连续，则0x （ ） A 等于21B 等于4πC 等于21D 不存在2、下列结论正确的是（ ）A 无穷多个无穷小之和仍为无穷小B 无穷多个无穷小之积仍为无穷小C 无穷多个无穷大之和仍为无穷大D 无穷小与有界量之积为无穷小 3、设函数)2008)...(2)(1()(---=x x x x x f ，则=')1(f （ ）A !2008-B !2008C !2007-D !20074、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则（ ）A 极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值B 极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值C 极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值D 极大值必大于极小值 5、若在),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ，则函数)(x f 在此区间内（ ）A 单调减少，曲线是凹的B 单调减少，曲线是凸的C 单调增加，曲线是凹的D 单调增加，曲线是凸的三、计算下列极限（每题5分，计20分）1、⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x2、xx x x x 20sin sin tan lim -→3、()111sinlim -∞→-n n n n nn 4、xx x tan 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→五、计算下列导数或微分（每题5分，计20分）1、x x y 3arcsin 912-=，求y '。

南京工业大学 高等数学A-2 试题（A 、闭）卷2011--2012 学年第 2 学期 使用班级 江浦2011级学院 班级 学号 姓名1）（A ）xOz（B）yOz成（C ）xOz（D ）yOz成2、设z y y x= ）(C)3、设区域是平面上以点)1,1(A 、)1,1(-B 、为顶点的三角形区域，区域1D 是D 在第一象限的部分，则：=+⎰⎰dxdy y x xy D)sin cos (（ ）(A)⎰⎰1)sin (cos 2D dxdy y x(B)⎰⎰12D xydxdy(C)⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xy(D) 04、设∑为曲面222()z x y =-+在xoy 平面上方的部分，则zdS∑=⎰⎰（）（A ）(222202r d r πθ--⎰⎰（B ）(22202d r πθ-⎰⎰（C ）)22002d r rdr πθ-⎰ （D ）22002.d r πθ-⎰5、正项级数(1) ∑∞=1n n u 、(2) ∑∞=13n nu ，则下列说法正确的是（ ）（A ）若（1）发散、则（2）必发散 （B ）若（2）收敛、则（1）必收敛 （C ）若（1）发散、则（2）不确定 （D ）若（1）、（2）敛散性相同二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分，总计15分)1、已知三个单位向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=___________2、函数z xy x u 22+-=在点()1,2,1-处的方向导数的最小值为3、将10(,)y eedy f x y dx ⎰⎰交换积分次序得 __________________4、设∑是母线平行于oz 轴的柱面的部分，它的底是位于xoy 平面上的光滑曲线L ，它的高z 是,x y 的非负函数(,)z f x y =，用曲线积分表示柱面∑的面积A =___________5、设函数21,0(),0x f x x x ππ--<≤⎧=⎨<≤⎩，则其以π2为周期的傅里叶级数在点π=x 处收敛于 _____ 。

南京工业大学2021 2021学年第二学期《高等数学》试卷和参考答案南京工业大学2021-2021学年第二学期《高等数学》试卷和参考答案南京工业大学2022-2022学年第二学期期末论文答辩一.填空题(每小题3分,满分15分)1.穿过直线L:x？1岁？2z？2.垂直于平面3x？2岁？Z5的平面方程是2？32_________．【解】应填：x?8y?13z?9?0．直线l的方向向量s？{2,? 3,2}. 已知平面的法向量N1？{3,2，？1}，设平面的法向量为n，从问题的意义上知道n？S和N？N1，所以这是可取的ijkn?s?n1?2?32?{?1,8,13}，32? 1从条件可知，平面通过点P0（1，±2,2）已获得，因此平面方程为，（x？1）？8（y？2）？13（z？2）？0即十、8岁？13z？9? 0．2.设x?2xy?y?ze?1，则dz【解】应填：?2dx?dy．乘x2？2xy？Y泽兹？1.找到两侧的完整差速器，然后2z(0,1)?．2xdx？2码？2xdy？阿迪？（1？z）ezdz？0当x?0,y?1时，代入原方程得z?0，因此dz(0,1)?? 2dx？迪。

3.椭圆抛物面?：z?2x?y在点p0(1,?1,3)处的法线方程是___________.【解】应填：22x？1岁？1z？3.4.2.1表面？点P0（1，±1,3）处的法向量可作为1N4x，2y，？1.(1,?1,3)?? 4.2.1.于是曲面?在点p0(1,?1,3)处的法线方程为十、1岁？1z？4.2.3.一4.曲面z?x2?y2与z?x2?y2所围立体的体积为．[解决方案]填写：6．vdv?2?0d?1r0rdr?r2dz?6．5.设l为上半圆圆周y？1.X2，那么曲线积分？？x2l？xy？y2？ds=_____________________由对称性，代入技巧及几何意义可得2l？十、xy？y2？ds？？lds？0二.选择题(每小题3分,满分15分)1.方程式y3y？？2岁？1.2倍？3EX的特解形式为（）。