南京工业大学 高数B(B)试卷含答案

大一高数b期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数是（）。

A. 2x+2B. 2x+1C. x^2+2D. 2x2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. π/2D. 23. 以下哪个函数是奇函数（）。

A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^2+1D. y=x^3-14. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）。

A. e^x + CB. e^x - CC. ln(e^x) + CD. ln(x) + C5. 以下哪个选项是正确的洛必达法则的应用（）。

A. lim(x→0) (x^2/x) = lim(x→0) (2x/1) = 0B. lim(x→0) (1/x) = lim(x→0) (0/0) = 1C. lim(x→0) (sin(x)/x) = lim(x→0) (cos(x)/1) = 1D. lim(x→0) (x^3/x^2) = lim(x→0) (3x^2/2x) = 06. 函数f(x)=x^3-3x的极值点是（）。

A. x=0B. x=1C. x=-1D. x=27. 以下哪个选项是正确的二重积分计算（）。

A. ∬(1/(x^2+y^2)) dxdy = πB. ∬(1/(x^2+y^2)) dxdy = 2πC. ∬(x^2+y^2) dxdy = πD. ∬(x^2+y^2) dxdy = 4π8. 以下哪个选项是正确的泰勒级数展开（）。

A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...9. 以下哪个选项是正确的多元函数偏导数的计算（）。

高数期末试题B 参考答案及评分标准一、判断题二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）（6） 2 （7）x z y 522=+（8） －1 （9）9122≤+<y x （10）2ln 162（11） 6 （12）yPx Q ∂∂=∂∂ （13） 右手 （14）⎰20)2sin(21πdt t （15） 偶（16）求曲面42222=++z y x 在点(1,1,1)处的切平面方程，并求过原点与该切平面垂直的直线方程。

()())2(112)3(042111)2()2,2,4(|),,(11142),,()1,1,1(222分直的直线方程为：通过原点与该切平面垂分点处的切平面方程为，，曲面在分点处的法向量，，则曲面在解：记 zy x z y x F F F z y x z y x F z y x ===-++∴==-++=（17）设函数),(y x z z =由方程23222320x z y z x y +-+=所确定，求全微分dz 。

)1(43344322)3(4334)3(43222),,(222222223222222223322232分分分则解：记 dy zy z x y yz dx z y z x x xz dz zy z x y yz F F y z zy z x xxz F F x z y x z y z x z y x F z y z x ++-+--=∴++-=-=∂∂+--=-=∂∂+-+=（18）计算Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由0,1z z ==和222x y x +=围成的区域。

)1(9163238cos 38cos 34)1(21)2(21)1(21)2()1)1(D (203223cos 202222221222212222分分分分分：其中解： =⋅=====+=+=≤+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ωπππθππθθθθρρθθρρd d d d d d dxdy y x zdz dxdy y x y x dz y x z dxdy dv y x z DDDD（19）计算,)536()24(L⎰+++-+dy y x dx y x 其中L 为三角形(3,0)，(3,2),(0,0)的正向边界。

南京工业大学 高等数学 B 试卷（A ）卷（闭）学院 班级 学号 姓名一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将正确答案填在题后的横线上）1、方程132=-'-''y y y 的一个特解为2、设yoz 平面上曲线12222=-cz b y 绕z 轴旋转所得到的旋转面方程为 .3、设a x x a y D ≤≤-≤≤0,0:22，由二重积分的几何意义知⎰⎰=--Ddxdy y x a 222 .4、已知向量c 与(1,1,1)a =,(2,1,3)b =-都垂直，且向量a ，b ，c 构成右手系则c = . 5、曲面04x 8z xy 3x :2=--+-∑在)2,3,1(-P 处的切平面的法向量是 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将正确答案填在题后的括号内）1、下列微分方程中（ ）可以被称为是关于y 的贝努里微分方程（A ）xyy x dx dy 23+= （B ）22y )1x (dxdy+= （C ）x e xy dxdy=- （D ）222xy x dx dy += 2、设有直线22z 11y 11x :L 1-=-=--及41z 52y 33x :L 2+=+=-则21L ,L 的位置关系为（ ）.（A ）异面 （B ）平行 （C ）垂直 （D ）相交3、对二元函数)y ,x (fz =在点)y ,x (P 000处的下列叙述中正确的是（ ） （A ） 若在0P 处的偏导数)y ,x (f 00x ，)y ,x (f 00y 存在，则)y ,x (f在0P 处连续 （B ） 若)y ,x (f 00x ，)y ,x (f 00y 存在，则+=dx )y ,x (f dz 00x dy )y ,x (f 00y （C ） 若)y ,x (f 在0P 处不连续，，则在0P 处的偏导数必不存在 （Ｄ）若)y ,x (f在0P 处的两个偏导数连续，则)y ,x (f 在0P 处必可微分4、若区域D 为)1,1(，)1,1(--，)1,1(-三点围成的区域，1D 是D 在第一象限的部分，则dxdy y x D2⎰⎰＝（ ）)(A dxdy y x 21D 2⎰⎰ )(B dxdy y x 41D 2⎰⎰ )(C ０ )(D dxdy y x 1D 2⎰⎰5、下列关于数项级数的叙述中正确的是( ).)(A 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+1n 100n u 收敛 )(B 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛)(C 若1u u limn1n n <ρ=+∞→，则∑∞=1n n u 收敛 )(D 若)u u (1n 1n n ∑∞=++收敛，则∑∞=1n n u 收敛 三、计算与解答题（本部分共有７小题，５５分，注意每小题的分数不完全相同）1、（７分）求微分方程5)1x (1x y2dx dy +=+-的通解。

高等数学b教材答案[注: 以下是对高等数学B教材中部分练习题的答案，仅供参考，请谨慎使用。

]第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1. a) 函数的定义域为实数全体，值域为非负实数。

b) 函数的定义域为实数全体，值域为（-∞，1)∪[3, +∞)。

c) 函数的定义域为（-∞，1）∪(1, +∞)，值域为(-∞,-2)∪(0,+∞)。

1.2 函数的极限与连续性2. a) lim(x→2) f(x) = 3。

b) lim(x→3) f(x) = 1。

c) lim(x→0) f(x) = 1/3。

1.3 无穷小与无穷大3. a) 若 h(x) 是 f(x) 的无穷小，那么 a·h(x) （a为非零常数）也是 f(x) 的无穷小。

b) 若 h(x) 是 f(x) 的无穷小，那么 f(x) + h(x) 也是 f(x) 的无穷小。

c) 若 h(x) 是 f(x) 的无穷大，那么 f(x)·h(x) 也是 f(x) 的无穷大。

1.4 函数的连续性4. a) f(x) 在 x = 1 处连续。

b) f(x) 在 x = 0 处不连续。

c) f(x) 在 x = 2 处连续。

第二章：导数与微分2.1 导数的概念与基本性质1. a) f'(x) = 2x + 3。

b) f'(x) = -2x + 1。

c) f'(x) = 3x^2 - 2x + 1。

2.2 高阶导数与微分2. a) f''(x) = 12x - 2。

b) f''(x) = -4x + 2。

c) f''(x) = 6x - 2。

2.3 微分学的应用3. a) 当 x = 2 时，f'(x) = 4。

b) 当x = π/2 时，f'(x) = -1。

c) 当 x = 1 时，f'(x) = 2。

第三章：积分学3.1 不定积分1. a) F(x) = x^2 + C。

南京工业大学 高等数学B 试题（B ）卷（闭）2011--2012 学年第一学期 使用班级 工商1101等 班级 学号 姓名一、填空题（每小题4分，共40分）1. 设函数2(),()3xf x xg x ==，则f(g(x))= .2. 设函数⎩⎨⎧>+≤=1 ,1 ,)(2x b ax x x x f ，为了使函数在1=x 处可导，则=a ，=b .3. 设2(1)arcsin ,y x x =+则='y .4. ⎰→xx dx xx11sin lim = . 5. =⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→114lim x x x x .6. arccos xdx =⎰ .7.=+⎰21xxdx .8. 设()f x 是连续函数，则dt t f a x x xaa x ⎰-→ )(lim= .9. lnln4,y x y '==则 .10. 22225arctan()14x x dx x-+⎰= . 二、计算下列各题（每小题8分，共48分）1. 设函数21sin , 0()7, 0x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，要使函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，应当怎样选择数a ？2. 设ln(sec sin ),y x x =+求dxdy . 3. 计算22 0limxt x e dt x→⎰.4. 计算dx xx ⎰+)1(12.5. 计算⎰-10|)12(|dx x x .6. 求出抛物线x y =2与直线2x y =所围成的图形的面积。

三、（6分） 确定函数7186223---=x x x y 的单调区间及其凹凸区间。

四、（6分） 若函数)(x f 为以l 为周期的函数，证明：证明：对于任意a .定积分⎰+l a adt t f )(是与a 无关的常数。

武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算n →∞2、计算0ln(1)lim cos 1x x xx →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、 计算4x ⎰5、计算d x xe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。

7、已知2200d cos d y x te t t t =⎰⎰，求x y d d8、设11x y x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)x y x =-求： 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。

三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d x f x g t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续；四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x轴旋转一周所形成的立体体积； 2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。

五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,)f b f f bb ξξ'-=∈对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院 B 卷2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题一、（86'⨯）试解下列各题：1、计算30arctan lim ln(12)x x x x →-+2、计算120ln(1)d (2)x x x +-⎰ 3、计算积分：21arctanxd x x +∞⎰ 4、已知两曲线()y f x =与1x yxy e++=所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞5、设，2221cos cos t x t udu y t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，试求：d d y x，22d |d t y x 的值。

安全土木化工化学vb 练习题 4满分： 111 分姓名： ________1、单项选择题 (本题共计 60 分 )1、在过程调用中，参数的传递可以分为________________ 和 ________________ 两种方式。

( )A 、按值传递按地址传递B 、按地址传递按参数传递C、按参数传递按值传递D、按位置传递按参数传递2、下面的过程定义语句中合法的是________________________ 。

( )A 、 Sub Procl (ByVal n () )B 、Sub Procl ( n ) As IntegerC、 Function Procl (Procl )D、 Function Procl (ByVal n )3、在参数传递过程中，使用关键字________________ 来修饰参数，可以使之按值传递。

( )A 、 ByValB 、ByRefC、 ValueD、 Reference4、要想在过程调用后返回两个结果，下面的过程定义语句合法的是________________ 。

( )A 、 Sub Procl ( ByVal n , ByVal m)B 、Sub Procl ( n , ByVal m)C、 Sub Procl ( n , m)D、 Sub Procl ( ByVal n , m)5、通用过程可以通过执行“工具”菜单中的____________ 命令来建立。

( )A、添加过程B、通用过程C、添加窗体D、添加模块6、可以在窗体模块的通用声明段中声明的是________________ 。

( )A、全局变量B、全局常量C、全局数组D、全局用户自定义类型7、当运行程序时，系统自动执行启动窗体的____________ 事件过程。

( )A 、 LoadB、ClickC、UnLoad D、GotFocus8、在语句Public Sub Sort(i As Integer) 中 i 是一个按 ________ 传递的参数。

南京工业大学近些年线代期末考试卷及答案包括以下六份试卷1南京工业大学线性代数课程考试试卷（A）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)2南京工业大学线性代数课程考试试卷（B）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)3南京工业大学线性代数试题（B）卷（闭）2007--2008学年第一学期使用班级江浦各专业本科生4南京工业大学线性代数试题（A）卷（闭）2008--2009学年第一学期使用班级江浦各专业本科生5南京工业大学线性代数试题（B）卷（闭）2008--2009学年第一学期使用班级江浦各专业本科生6南京工业大学线性代数试题（A）卷（闭）2008--2009学年第二学期使用班级计软0801－3南京工业大学线性代数课程考试试卷（A）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)所在系(院) 班级学号姓名一． 填空题(每空3分，共15分)1、 若n 阶方阵A 满足02=+-E A A (E 为单位阵)，则A 的逆矩阵=-1A ____________.2、设矩阵B 是由矩阵A 划去某一列所得, 则秩(B )________秩(A ).3、若1111320=z y x, 则=---222431111z y x ________..4、若向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112k α 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110k β 正交，则=k ________.5、已知三阶矩阵A 的特征值为,2,1,1-设,223A AB -=则B 的三个特征值为________.二． 单项选择题(每题3分，共15分)1、齐次线性方程组0=x A 的一个基础解系为123212131,,100010001ααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则A 的秩为 （ ）5)()(=A R A 4)()(=A R B 3)()(=A R C 2)()(=A R D 2、设有m 个n 维向量)(n m >，则 （ ）)(A 必线性相关 )(B 必线性无关 )(C 不一定 )(D 无法确定3、设A 为n 阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是 （ ）()A A A '- ()B CAC ' （C 为任意n 阶方阵） ()C AA ' ()()D AA B ' （B 为任意n 阶方阵）4、设A 与B 均为n 阶方阵，若A 与B 相似，则下面论断错误的是 （ ）)(A 存在M ，且0M ≠，并有AM MB = )(B A 与B 有相同的特征值B E A EC -=-λλ)( )(D A 与B 均可对角化5、若向量组321,,ααα 线性无关，向量组421,,ααα线性相关, 则 （ ）)(A 4α 必不可由321,,ααα 线性表示 )(B 4α必可由321,,ααα 线性表示 )(C 2α 必不可由431,,ααα 线性表示 )(D 2α必可由431,,ααα 线性表示三. (12分) 求n 阶行列式:)1(10000220000111321------n n n n。

高等数学B2分题型练习(参考答案)一、单顶选择题1、 ()C2、()D3、()C4、()C5、()C6、()D7、 ()B8、()B9、()B 10、()C 11、()D 12、()A 13、()A 14、()D 15、()D 16、()A 17、()B 18、()B 19、()B 20、()C 21、()C 22、()C 23、()D 24、()C 25、()D 26、()A 27、()B 28、()A 29、()A 30、()D 31、()D 32、()B 33、()A 34、()B 35、()C 36、()A二、填空题1、02、03、 04、05、12 6、12 7、0 8、2dx dy + 9、12dx dy + 10、0 11、0 12、222()xdx ydy x y ++ 13、1arccos 00(,)y dy f x y dx ⎰⎰14、12arcsin (,)ydy f x y dx π⎰⎰15、110(,)dx f x y dy ⎰ 16、210(,)xxdx f x y dy ⎰⎰17、16 18、S 19、0a > 20、12p <≤ 21、( 22、2 23、[1,1)- 24、(2,4)- 25、0(1),(1,1)n n n x x ∞=-∈-∑ 26、0!n n x n ∞=∑ 27、210(1),(,)(21)!n nn x x n +∞=-∈-∞∞+∑28、110- 29、x e - 30、2xy e = 31、2± 32、312x x y C e C e -=+ 33、312y x C x C =++34、C y x = 35、5212415y x C x C =++三、计算定积分1、求定积分cos 2sin x e xdx π⎰解：cos cos cos 222sin cos |1xx x exdx ed x ee πππ=-=-=-⎰⎰2、求定积分cos x xdx π⎰解：cos (sin )x xdx xd x ππ=⎰⎰00sin |sin x x xdx ππ=-⎰0cos |2x π==-3、求定积分220124xdx x ++⎰ 4、求定积分 21ln x xdx ⎰解：2222220001212444x x dx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰ 解：22211ln ln ()2x x xdx xd =⎰⎰ 222001arctan |ln(4)|22x x =++ 22211ln |22x x x dx =-⎰ln 28π=+ 22132ln 2|2ln 244x =-=- 5、求定积分02222dxx x -++⎰解：00022222(1)arctan(1)|()221(1)442dx d x x x x x πππ---+==+=--=++++⎰⎰ 6、求定积分dx 解：令sin x t =，则cos dx tdt =，且当x =时，4t π=；1x =时，2π=t 。

南京工业大学2010-2011学年第二学期期末试卷及解答一.填空题(每小题3分, 满分15分)1. 过直线122:232x y z L -+-==-且垂直于平面325x y z +-=的平面方程是_________．【解】应填：81390x y z --+=．直线L 的方向向量{2,3,2}s =-．已知平面的法向量1{3,2,1}n =-，设所求平面的法向量为n ，由题意知n s ⊥且1n n ⊥，故可取1n s n =⨯232{1,8,13}321i j k=-=--，由条件知，所求平面过点0(1,2,2)-P ，于是所求平面方程为(1)8(2)13(2)0x y z --+++-=，即81390x y z --+=．2. 设221zx xy y ze +++=，则(0,1)dz = ．【解】应填：2dx dy --．由221z x xy y ze +++=，两边求全微分，得222(1)0z xdx ydx xdy dy z e dz +++++=，当0,1x y ==时，代入原方程得0z =，所以(0,1)2dzdx dy =--．3. 椭圆抛物面∑：222=+z x y 在点0(1,1,3)P -处的法线方程是___________. 【解】应填：113421x y z -+-==--. 曲面∑在点0(1,1,3)P -处的法向量可取为{}{}(1,1,3)4,2,14,2,1-=-=--n x y ，于是曲面∑在点0(1,1,3)P -处的法线方程为113421x y z -+-==--.4. 曲面z =与22z x y =+所围立体的体积为 ．【解】应填：6π． 22106rrV dv d rdr dz ππθΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰．5. 设L 为上半圆周y =()22-+⎰Lxxy y ds =____________．【解】应填：π．由对称性，代入技巧及几何意义可得()220-+=+=⎰⎰LLxxy y ds ds π二.选择题(每小题3分, 满分15分)1．方程32123'''-+=+-x y y y x e 的特解形式为（ ）． (A)()x ax b e + (B) ()x ax b xe + (C) xax b ce ++ (D) xax b cxe ++ 【解】选（D ）2.设(1)=-nn u ，则级数（ ）． （A ）1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛 （B ）1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散（C ）1nn u∞=∑收敛，而21nn u∞=∑发散 （D ）1nn u∞=∑发散，而21nn u∞=∑收敛【解】选（C ）3．二元函数(),f x y 的两个偏导数(),x f x y ¢，(),y f x y ¢在点()000,P x y 处都连续是(),f x y 在点()000,P x y 处可微分的（ ） (A) 充分条件 (B) 必要条件(C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件【解】若(),x f x y ¢，(),y f x y ¢在点()000,P x y 都连续，则(),f x y 在点()000,P x y 处可微分，选(A) 4.211xdx =⎰⎰（ ）（A ）)112（B ）)113（C （D【解】 原积分1dy =⎰)2111123==⎰． 选（B ）5. 设20()0x x f x x x πππ⎧-≤<=⎨-≤<⎩，则周期为2π的函数()f x 的傅立叶级数在2x π=处收敛于 ． （A ）2-π（B ）-π （C ）0 （D ）2π【解】选(A)三. (10分) 设)(),(xyg y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求yx z∂∂∂2．【解】根据复合函数求偏导公式得1221()z y f y f g x y x∂'''=⋅+⋅+⋅-∂,122111122212222211122223323221()111[()][()]11z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x xx⎛⎫∂∂∂⎛⎫'''==⋅∂∂∂''+⋅+⋅- ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭'''''''''''''='''''''+---++⋅--++⋅--⋅-⋅-=四. (10分) 求22),(y x y x f z -==在闭区域D ：1422≤+y x 上的最大值和最小值．【解】在D 的内部，20(0,0)20x yf x f y '==⎧⇒⎨'=-=⎩为驻点，且(0,0)0f = 在D 的边界上，由22222221151(22)444x z x y y x x x y =-=--≤=⇒=-≤+⇒5002dz x x dx ==⇒=，此时，1,y =±，则有(0,1)1,(2,0)4±=-±=f f比较上述函数值知，函数22),(y x y x f z -==在D 上的最大值为4,最小值为-1．五. (10分) 求微分方程'''=+x y y xe x的通解. 【解】不显含y ，故令,'=y p 则'''=y p ，代入原方程得1'-=x p p xe x， 利用通解公式求得通解为1()=+x p x e C ，积分得原方程通解为2121(1)2=-++x y x e C x C ．六. (12分)（Ⅰ）试确定可导函数()f x ，使在右半平面内，[2()]()y f x dx xf x dy -+为某函数(,)u x y 的全微分,其中(1)2f =； （Ⅱ）求(,)u x y ； 【解】（Ⅰ）[2()]P y f x =-，()Q xf x =．因为[2()]()y f x dx xf x dy -+是函数(,)u x y 的全微分，所以有 Q Px y∂∂=∂∂， 即()()2()f x xf x f x '+=-，故()2()2xf x f x '+=． 上述微分方程的通解为2()1Cf x x =+.由(1)2f =得1C =, 所以21()1f x x =+． （Ⅱ）在右半平面内取00(,)(1,0)x y =，则10(,)(,0)(,)xyu x y P x dx Q x y dy =+⎰⎰011()()yx dy y x x x=+=+⎰．七. (12分) 求幂级数1(1)nn n n x∞=+∑的收敛域及和函数．【解】易求得其收敛域为(1,1)-，令1()(1)nn S x n n x ∞==+∑11(1)n n x n n x∞-==+∑1()x S x =⋅， 其中 111()(1)n n S x n n x ∞-==+∑，两边积分1101()(1)xxn n S x dx n n xdx ∞-==+∑⎰⎰1(1)n n n x ∞==+∑，再积分101(())(1)x xxnn S x dx dx n x dx ∞==+∑⎰⎰⎰2111n n x xx∞+===-∑． 因此2132()()1(1)x S x x x ''==--，故原级数的和32()(1)xS x x =-，(1,1)x ∈-．八. (12分) 计算积分()(2)I y z dzdx x z dxdy∑=-++⎰⎰，其中∑是抛物面22z x y =+(01)z ≤≤，取下侧．【解】补220:1(1),z x y S =+ 取上侧,设∑与0∑围成空间区域Ω, Ω及0∑在xOy 平面上的投影区域22:1xy D x y +≤. 由Gauss 公式，()(2)()(2)I y z dzdx x z dxdy y z dzdx x z dxdy ∑+∑∑=-++--++⎰⎰⎰⎰[()(2)]()(2)y z x z dv y z dzdx x z dxdy y z Ω∑∂∂=-++--++∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 03()(2)dv y z dzdx x z dxdy Ω∑=--++⎰⎰⎰⎰⎰.因为0∑垂直于zOx 平面，0∑在zOx 平面上的投影区域面积为零， 所以()0y z dzdx ∑-=⎰⎰.221223[][2()]+=-++⎰⎰⎰⎰⎰xyxyx yD D I dz dxdy x x y dxdy212220(355)(35)=--=-⎰⎰⎰⎰xyD x y dxdy d r rdr πθ.2π=九. (4分) 设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Lyx xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数．证明：对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cyx xydydx y ϕ；【证明】将C 分解为：21l l C +=，另作一条曲线3l 围绕原点且与C 相接，则=++⎰Cyx xydydx y 4222)(ϕ-++⎰+314222)(l l y x xydydx y ϕ022)(3242=++⎰+l l yx xydydx y ϕ．。

2013-2014-2学期高等数学B2期末B 卷答案一、填空题（共 5小题，每题 3分，共计 15分）1、(){}22222,,0x y z x y x y ≤++≠且2、222dz e dx e dy =+3、225y z x += 4、 5、(0,2)二、选择题（共 5小题，每题 3分，共计15分）1、C2、D3、B4、A5、D三、求过点A (2,1,3)且与通过直线11221x y z +-==-的平面方程.（本题8分） 解：由已知得点B (1,1,0)-也在所求平面上.(3,0,3)AB =-- ，……………..………2分取 303221i j k n AB s =⨯=--- (6,9,6)3(2,3,2)=--=--………………..…………………4分所求的平面方程为2(2)3(1)2(3)0x y z -----=即 23250x y z --+=……………….………..….……2分四、计算下列偏导数（共 2小题，每题6分，共计12分）1、设(,)z f x y x y =+，f 具有一阶连续偏导数，求,z z x y∂∂∂∂. 解：将中间变量按顺序编为1,2号，可得12121z f f y f yf x∂''''=⋅+⋅=+∂………………..………..………3分 12121z f f x f xf y∂''''=⋅+⋅=+∂………………..………..………3分 2、设x z z e y +=+，求,z z x y∂∂∂∂. 解法一：令(,,)x z F x y z z e y +=--，则,1,1x z x z x y z F e F F e ++=-=-=-，……2分 利用隐函数求导公式，有11x z x zx z x zz e e x e e ++++∂-=-=∂--，…………..………..………2分1111x z x z z y e e++∂-=-=∂--…………..………..………2分 解法二：方程两边分别关于,x y 求偏导数.解法三：方程两边求全微分.五、计算下列积分：（共3小题，每题6分，共计18分）1、求二重积分22xy D e d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周222x y +=所围成的闭区域.解：222200xy r D e d d rdr πσθ+=⋅⎰⎰⎰ ……..……………………………………3分20122r e π⎡=⋅⎣⎦ ……..………………………………..………2分 ()21e π=- …..………..…………………………………..1分2、求二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由21,2,0,x x y y x ====所围成的平面区域.解：2210x D xydxdy dx xydy =⎰⎰⎰⎰ …………..………..………………………..……3分222251101122x xy dx x dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰ …………..………..……………..…2分 261121124x ⎡⎤==⎣⎦ …………..……………………..………1分 3、求二重积分sin D x dxdy x⎰⎰，其中D 是由0,,y x y x π===所围成的平面区域. 解：00sin sin x Dx x dxdy dx dy x x π=⎰⎰⎰⎰ …………..………..…………………..…3分 00sin sin x xdx dx xππ=⋅=⎰⎰ …………..………..……………..…2分 []0c o s2x π=-= …………..………..……………..…1分 六、求微分方程221y y y x '''+-=+的通解.（本题10分）解：对应的齐次方程为20y y y '''+-=，它的特征方程 220r r +-=有两个实根 122,1r r =-= …………..………..……………..…3分 于是与所给方程对应的齐次方程的通解为212x x Y C e C e -=+. …………..……….…..…2分由于0λ=不是特征方程的单根，所以设方程的特解*y ax b =+，…….…..…2分 把它代入所给方程，得2221a ax b x --=+，即得，1,1a b =-=-， 因此所给方程的一个特解为*1y x =--. …….………………………..…2分 从而所求的通解为2121x x y C e C e x -=+-- …….…..…1分七、求由22224,0,100x y z x y z +==+-+=所围成的立体的体积.（本题8分） 解：所求立体在xoy 面上投影区域为{}22(,)4D x y x y =+≤， 所求立体的体积是以曲面2210z x y =++为顶，区域D 为底的曲顶柱体的体积，即 22(10)DV x y d σ=++⎰⎰ …….……………………….…3分22200(10)d r rdr πθ=+⎰⎰ …….……………………...…2分 22401254r r π⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦ …………………………….…..…2分 48π= ……………………………………..…1分 八、求函数z xy =在条件1x y +=下的极值. （本题6分） 解法一：由1x y +=得1y x =-，代入z xy =，有(1)z x x =- 12z x '=-=0，得12x =， …….………………………………………….…3分 从而12y =，20z ''=-<， 所以，z xy =在条件1x y +=下于点11(,)22处取得极大值14. …….………….…3分解法二：设(,,)(1)F x y xy x y λλ=++-，解方程组0010x y F y F x F x y λλλ=+=⎧⎪=+=⎨⎪=+-=⎩， …….………………………..…3分 得12x y ==， 所以，z xy =在条件1x y +=下于点11(,)22处取得极大值14. …………….…..…3分 九、将函数21()32f x x x =++展开成x 的幂级数，并指出收敛区间.（本题8分） 解：21111()32(2)(1)12f x x x x x x x ===-++++++ …….…..………2分 因为 011()11n n x x x ∞===-++∑，(1,1)x ∈- …….……………………….…2分 011111()2222212n n x x x x ∞===⋅=-+++∑，(2,2)x ∈- …….………...…3分 所以21011()(1)1322n n n n f x x x x ∞+=⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭∑，(1,1)x ∈- …….……………….…1分。