南京工业大学高等数学B 试卷(A)卷(闭)

南京工业大学 高等数学B 试题（B ）卷（闭）2011--2012学年第一学期 使用班级 浦生工等 班级 学号 姓名一、填空题（共18分，每小题3分）1. 1．设()()则,12xx x f += ()=∞→x f x lim2．设()x f 在1=x 处可导，且 ()21='f ，则 ()()=-+→hf h f h 121lim3．设函数()x y 是由方程 3=+xy e y所确定，则 ='|y4．如 ()422++=x x x f ，则适合等式 ()()()()0202-'=-ξf f f 的=ξ5．如()()=+=⎰x f C edx x xf x则,6．()⎰-=+113cosdx x x x二、选择题（共12分，每小题2分）1．当0→x 时，下列无穷小中与 x cos 1-等价的是（ ）A.xB. x 21 C. 2x D 221x .2.设 ()()⎩⎨⎧>+<+=0,0,1ln x a e x x x f x，是连续函数，则 ,a 满足:（ ）A.a 为任意实数，B.1-=aC. ,0=aD.1=a3.若()()(),R x x f x f ∈--= ，且在 ()∞,0内()(),0,0>''>'x f x f 则()x f 在()0,∞-内必有：（ ） A.()()0,0<''<'x f x f B.()()0,0>''<'x f x f C.()()0,0<''>'x f x f D.()()0,0>''>'x f x f4.在下列极限中，正确的是:( )A.22sin lim 0=→x x xB.1arctan lim =+∞→xx x C .e x xx =+→0lim D.∞=--→24lim22x x x 5.定积分 =⎰dx x π20sin （ ）A. 0B. 4C. 2D. 16.直线L 与x 轴平行，且与曲线 xe x y -=相切，则切点坐标是（ ）A.()1,1B.()1,1-C.()1,0-D.()1,0三、计算题（共48分，每小题6分）1.xe x x 1lim 20-→ 2.设 2222++=x x y ,求 y '3.设有参数方程()0sin 322>⎩⎨⎧=++=t tt y t t x ，求 dx dy4.()dx x x ⎰+1215.dx xx ⎰+1316.设 ()()⎰+=13sin dx x f x x x f ，求()x f 的表达式。

南京工业大学 高等数学B 试题（A ）卷（闭）2011--2012学年第一学期 使用班级 浦生工等 班级 学号 姓名一、填空题（共18分，每小题3分）1.设()()则,211x x x f += ()=→x f x 0lim2．设()x f 在2=x 处可导，且 ()12='f ，则 ()()=+-+→hh f h f h 2232lim3．设函数()x y 是由方程 xy e e xy=-所确定，则 ='=0|x y4．如 ()4322++=x x x f ，则适合等式 ()()()()2424-'=-ξf f f 的=ξ5．设2()d x f x x e C -=+⎰, 则()f x '=______________6．()⎰-=+1110sin dx x x x二、选择题（共12分，每小题2分）1．当0→x 时，下列无穷小中与 x 2cos 1-等价的是（ ）A.xB.x 21C. 2xD.22x 2. 设 221arctan 0() , 0x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩　当 当0()x a ==在处连续，则 A.0B. ∞C. 1D.2π3. 设函数0)(=x x f 在的某个邻域内具有二阶连续导数，且'"(0)(0)0,f f ==则( )A. 的拐点为)())0(,0(x f y f =B. 当为拐点时“))0(,0(,1sin )(lim0f x x f x =→C. 当为拐点时“))0(,0(,1cos )(lim0f xx f x =→ D. 0)0(=f 4. 在下列极限中，正确的是:( )A.22sin lim =∞→x x xB.1arctan lim =+∞→xx x C .1lim 0=+→xx x D.024lim22=--→x x x 5. []()()()d ()()()xaf x a b F x f t t a x b F x f x =≤≤⎰设在，连续，　，则是( )A. []a b 在，上的定积分B. [] a b 在，上的积分与一个常数之差C. 原函数一般表示式D. 一个原函数 6.直线L 与x 轴平行，且与曲线 xe x y -=相切，则切点坐标是（ ） A.()1,1 B.()1,1- C.()1,0- D.()1,0三、计算题（共48分，每小题6分）1.3sin lim x xx x -→2.设 2222+++=xxx x y ,求 y '3.设有参数方程()()0arctan 1ln 2>⎩⎨⎧=+=t ty t x ，求 dx dy4.()dx x x ⎰+2115.dx xx ⎰+1416.设 ()()⎰++=13211dx x f x x x f ，求()x f 的表达式。

南京工业大学 线 性 代 数 试题（A ）卷（闭）班级 学号 姓名一、填空题（每题3分，共15分）1、已知2111320=z y x，则=------111542653z y x 。

2、已知n m ⨯阶矩阵A 的秩为r ， 则矩阵TA 的秩为 。

3、如向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321α、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22a β是属于某实对称矩阵不同特征值的特征向量，则=a 。

4、设三阶矩阵A 的行列式为31，则*)3(2--A A 5、设u 为n 维单位列向量，则n 阶矩阵Tuu E H -=的n 个特征值分别为 。

二、选择题（每题3分，共15分） 1、如21321,,,,ββααα都是四维列向量，且4阶行列式m =1321βααα，n =3221αβαα，则4阶行列式)(21123ββααα+等于( )（A ）n m + （B ）m n - （C ）)(n m +- （D ）n m -2、设C B A 、、是三个同阶方阵、E 为同阶单位矩阵，且E ABC =。

下列等式：E ACB =;E BAC =;E BCA =;E CAB =;E CBA =。

其中正确的个数有( ) （A ） 2个 (B) 1个 (C ) 3个 (D) 4个3、如矩阵A 的秩为r ，则以下结论正确的是( )(A) A 中所有r 阶子式均不为零 (B) A 中所有1-r 子式均不为零 (C) A 中只有一个r 阶子式不等于零 (D) A 中所有1+r 阶子式均为零4、设三阶矩阵A 的特征值分别为201、、-，则E A -4的特征值为( ) （A ）－1、0、2 (B) －5、－1、0 (C)－5、－1、7 (D)－2、4、11 5、以下论述中不可对角化的矩阵为（ ）(A) 实对称矩阵 (B) 有n 个线性无关特征向量的n 阶方阵 （C ）不足n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵 (D) 有n 个不同特征值的n 阶方阵三、（11分）计算n 阶行列式xy y y y xyyyy x yy y yx四、(12分)求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13211α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11232α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12223α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11324α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=02555α的秩及其一个极大无关组并将其余的向量由该极大无关组线性表示。

南京工业大学2012-2013高等数学期末试卷A 及答案一、填空题（每小题3分，共36分）1.=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→x y x xy 11lim ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→∞→∞→⋅∞→∞→01lim111lim 11lim e xy xy yxyy x yxy y x y x 1 .2.函数),(y x z z =由方程0sin =+x y e xz 确定，则=-=-=∂∂xz z y xe x y x F F y z cos 1xz ex x y 2cos - . 3.设函数222lnz y x u ++=，则它在点)1,1,1(0-M 处的方向导数的最大值为33. 4.设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a 5-.5.空间曲线x z x y -==1,222在点)22,1,21(处的切线方程为 212211121--=-=-z y x .6.改变积分次序：==⎰⎰-dy y x f dx I x x 22020),(dx y x f dy y y ⎰⎰-+--2211111),( .7.设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则=⋅=⋅=+⎰⎰π2221211)(LLds ds y x π . 8.设∑为曲面22y x z +=在10≤≤z 的部分，则⎰⎰∑=xdS 0 .9.设,0,10,)(⎩⎨⎧<≤<≤-=-ππx x e x f x 则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于)1(21πe + . 10.设321,,y y y 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个不同的解，且≠--3221y y y y 常数，则微分方程的通解为 1322211)()(y y y C y y C +-+- .11.函数x x f -=21)(展开为x 的幂级数的形式为)2,2(2101-∈∑∞=+x x nn n .12.微分方程x xe y xy =-'1的通解为 x xe Cx + . 二、计算下列各题（每小题6分，共18分）1.设),(xye xy f z =，)(x y ϕ=，其中ϕ,f 均为一阶可微函数，求dxdz . 解：)(221y x y e f xy x y f dx dz xy'+⋅'+-'⋅'= ))()(()()(221x x x e f xx x x f xyϕϕϕϕ'+⋅'+-'⋅'= 2.求曲面)(21422y x z +-=与平面2=z 所围立体的体积.解：所围立体在xoy 面的投影域4:22≤+y x D ，所围立体的体积 dxdy y x dxdy dxdy y x V D DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=)(2122)](214[2222 πππθππ4482122202202=-=-⨯=⎰⎰rdr r d3.在曲面6632222=++z y x 上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面1=++z y x 平行.解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为),,(z y x M ，令=),,(z y x F 6632222-++z y x ，则切平面的法向量)6,4,2(),,(z y x F F F n M z y x ==, 已知平面1=++z y x 的法向量)1,1,1(1=n依题意1//n n，即令t z y x ===161412 代入曲面方程中解的2,3,6===z y x ，即切点坐标为)2,3,6(M . 三、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设Ω是由锥面22y x z +=与半球面221y x z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，求曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz .解：已知x z y x P =),,(，y z y x Q =),,(，z z y x R =),,(，由高斯公式有dv zR y Q x P zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∂∂+∂∂+∂∂=++)(dr r d d dv ϕϕθππsin 33122040⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ωππ)22(31)221(23-=⨯-⨯⨯= 2.写出级数++++43227252321的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和. 解：该数项级数的通项为nn n u 212-=；级数为正项级数，由于 21121221lim lim1=-+⋅=∞→+∞→n n u u n nn n ，由比值审敛法知该级数收敛.令)1,1()()(22)12()(211111-∈-=-=-=∑∑∑∞=∞=-∞=x x s x xs x xn x x n x s n n n n nn ，则xxx dt ntdt t s n xn n n x-===∑⎰∑⎰∞=∞=-1)(1111， 于是2011)1(1)()(x dtt s dx d x s x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰， 又xxx x s n n -==∑∞=1)(12， 所以)1,1()1(1)1(2)(222-∈-+=---=x x x x x x x x x s ，于是3)1(21)12()21(21221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-==∞=∑x n n x x x n s .3.求微分方程x e y y y 223=+'-''的通解.解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程0232=+-r r 的特征根为2,121==r r ，x e x f 2)(=的1=λ为特征方程的单根，则原方程的特解为x Axe y =*，代入原方程中得2-=A ,齐次线性微分方程的通解为x x e C e C Y 221+=,所以原方程的通解为=+=*y Y y x x x xe e C e C 2221-+.四、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.解：由于x y x f x 24),(-=，y y x f y 24),(--=，令,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f yx 得驻点,22⎩⎨⎧-==y x 又 2),(-==y x f A xx ，0),(==y x f B xy ，2),(-==y x f C yy ，及4)()2,2(2-=--AC B ， 则点)2,2(-位极大值点，极大值为8)2(2)]2(2[4)2,2(22=-----=-f .2.求幂级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛半径及收敛域. 解：令 1-=x t ，则 nn nn n n t n n x ∑∑∞=∞==-11212)1(，由于 212)1(2lim lim 11=+=+∞→+∞→n n n nn n n n a a ， 则收敛半径2=R .又当2-=t 时，级数∑∞=-1)1(n nn 收敛，当2=t 时，级数∑∞=11n n 发散，所以)2,2[-∈t ，即级数的收敛域为)3,1[-.3.设),()sin(y x x xy z ϕ+=，其中),(v u ϕ具有二阶偏导数，求yx z∂∂∂2.解：),(1),()cos(21yxx y y x x xy y x z ϕϕ'+'+=∂∂，)(),(1),(1)(),()sin()cos(222222122yxy x x y y x x y y x y x x xy xy xy y x z -⋅''+'--⋅''+-=∂∂∂ϕϕϕ五、（本题5分）求函数2),(22+-=y x y x f 在椭圆域}14|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解：由于x y x f x 2),(=，y y x f y 2),(-=，令,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f y x 在D 内求得驻点)0,0(.在D 的边界上，设)14(2),,(2222-+++-=y x y x y x F λλ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+==+-==+=)3(014),,()2(0212),,()1(022),,(22y x y x F y y y x F x x y x F y x λλλλλλ当0≠x ，由（1）得1-=λ，代入（2）得0=y ，在代入（3）得⎩⎨⎧=±=01y x ；同理当0≠y 得⎩⎨⎧±==20y x ；由于2)0,0(=f ， 3)0,1(=±f ， 2)2,0(-=±f ，所以最大值为3，最小值为2-.六、（本题5分）设在上半平面}0|),{(>=y y x D 内，函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f t ty tx f -=，证明对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.解：由格林公式，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，⎰⎰⎰----±=-1)],(),(),(),([),(),(D y xLdxdyy x yfy x f y x xf y x f dyy x xf dx y x yf .dxdy y x yf y x xf y x f y D x )],(),(),(2[1---±=⎰⎰ （*）由于函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f t ty tx f -=，即),(),(2ty tx f y x f t =上式两端对t 求导有),(),(),(221ty tx f y ty tx f x y x tf '+'= 特取1=t 得),(),(),(2y x yf y x xf y x f y x += 由（*）式既有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L。

南京工程学院(08/09)高等数学BII 试卷(A)一、单项选择题 (本大题共5小题, 每小题3分, 满分15分)1. 对于二元函数z = f (x , y ) 以下说法中不正确的是( ) A. 函数z = f (x , y ) 在点),(00y x 处连续是它在该点可微的必要条件;B. 函数z = f (x , y ) 在点),(00y x 处可微是它在该点偏导数存在的充分条件;C. 函数z = f (x , y ) 在点),(00y x 处连续是它在该点偏导数存在的无关条件;D. 函数z = f (x , y ) 在区域D 内二阶偏导数存在，是二阶混合偏导数2z x y ∂∂∂与2z y x∂∂∂相等的充分条件. 2. 向量a⨯ b 与两向量a 与b的位置关系是 ()A. 共面;B. 共线;C. 垂直;D. 斜交.3. 级数111113355779++++⨯⨯⨯⨯ ( ) A. 发散; B. 收敛且和为1/2; C. 收敛且和为1; D. 收敛且和为2.4. 改变积分次序= () A. ; B.C ．; D. .5、微分方程y ”-4y=0的特征根为（ ）Ａ0和4 B. 0和-4 C -2和2 D.-2i 和2i二、填空题 (本大题共7小题, 每小题3分, 满分21分)1. 点M(2, 3, 5)到平面5x-3y+2z-10=0的距离为 .2. 曲线x = 1-sin t , y = 2 -e 2t , z = ln(1+t ) 在t = 0处的切线方程为 .3. 已知方程222230x y z z ++--=则zx ∂∂= .4. 幂级数11n n nx ∞-=∑在(-1, 1)上的和函数为 .5. 设L 为曲线y = x 2 上从点A(1, 1)到B(0, 0)的一段弧, 则d L x y ⎰= __________ .6. 当是由｜x+y ｜=1及｜x-y ｜=1所围成的闭区域，则 = __________7.微分方程y ′=еx-2y 的通解__________三、解答题 (本大题共5小题, 每小题8分, 满分40分)1. 设z = x y ，求d z 和2zx y ∂∂∂.2. 求过点M (1, 2, -1)且与直线L : 2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程.3. 计算I =(32)d d Dx y x y +⎰⎰, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围的闭区域.4. 将函数21()54f x x x =++展开成x +5的幂级数.5. 计算32()d (e )d y L I y x x x y y =-++⎰ , 其中L 为圆弧x 2+y 2 =a 2且为逆时针方向.四、综合应用题(本大题共3小题, 满分24分)1. (本题满分8分)求由方程x 2+y 2+z 2-2x+2y-4z-10=0所确定的函数z=f(x,y)的极值2、（本题满分10分）设f (x)连续且满足f (x)，求f (x)3. (本题满分6分) 判断级数1ns n a n ∞=∑ (a >0, s >0) 的敛散性.。

南京工业大学复变函数试题(A)卷（闭）2009――2010学年第 1 学期 使用班级 电子、通信08级班级 学号 姓名 得分一、判断题（每题2分，计10分）1、 如果0z 是)(z f 的奇点，那么)(z f 在0z 处不可导 （ ）2、 设)(z f 在单连通区域B 内处处解析且不为零，C 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分0)()('=⎰dz z f z f c（ ） 3、 设u 和v 都是调和函数，如果v 是u 的共轭调和函数，则u 也是v 的共轭调和函数（ ）4、 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 （ ）5、 如果0z 是)(z f 的m 级极点，那么0z 就是)(1z f 的m 级零点 （ ）二、填空题（每空3分，计24分）1、复数z 满足：12≤-i z ，则______)min(arg ______,)max(arg ==z z 。

2、)(i Ln -的主值为______________。

3、沿从原点到i +1的直线段，计算积分⎰++i dz z 102)1(的值为_____________________。

4、级数∑∞=-13)1(n nn z 的收敛半径=R _______________。

5、0=z 为函数41)(ze zf z -=的___________级极点。

6、=++⎰dz z z c 4412____________,其中1:=z C 。

7、=]0,[Re 1z e s _________________。

三、设)(2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定n m l ,,的值。

（8分四、函数z1=ω将z 平面上的曲线1=x 映成ω平面上怎样的曲线。

（8分） 五、沿指定曲线正向计算下列积分：（1、2每题6分，3题8分，计20分） 1、,)2(21dz z i z c ⎰+）－（其中1:=z C 。

2、,)1(122dz z z z c ⎰--其中2:=z C 。

南京工业大学线性代数B试卷南京工业大学线性代数B 试题（A ）卷（闭）2016-2017学年第二学期使用班级 16级计算机等专业班级学号姓名符号说明：A A 表示矩阵A 的转置，A (A )表示矩阵A 的秩，|A |表示方阵A 的行列式，A *表示方阵A 的伴随矩阵。

一、选择题(每题3分，共12分)1. 设A 为4阶方阵，且5A =，则()15T A -=（）A. 55B. 35C.5-5D. 3-52. 设A 为m n ?阶矩阵，m n ≠，则齐次线性方程组0Ax =只有零解的充分必要条件是A 的秩（）A. 小于mB. 等于mC. 小于nD. 等于n3.设向量组12,,,r ααα(Ⅰ)和向量组12,,,sβββ（Ⅱ）均线性相关，且(Ⅰ)可由（Ⅱ）线性表示，则一定有（）A. (Ⅰ)的秩≤（Ⅱ）的秩B. (Ⅰ)的秩 >（Ⅱ）的秩C. r s ≤D. r s >4.已知111213212223313233a a a A a a a a a a ?? ?= ? ,111213212223313233333a a a B a a a a a a ?? ?= ? ，100030001P ?? ?= ?，100310001Q ?? ?= ?，则 B =（） A. PA B. AP C. QA D. AQ二、填空题 (每题3分，共18分)1. ,3211-=A 则A 的伴随矩阵A *= . 2. 设A 为3阶方阵，如果对任意一个3维向量()T 321,,x x x X =都是AX=0解向量，则A= .3. 设3阶方阵A 有特征值1，-1，2，E A B 232-=，则B 的特征值为= .4. 设321ααα，，为3阶方阵A 的列向量组，且|A|=3，则22312-2αααα，，= .5. 设有m 个n 维向量, 且m>n ，则该向量组必线性 .6. 向量组(1, 0 ,1) T , (2, 3, 4) T 单位正交化为T ??? ??21021，，、 . 三、(8分)求行列式D=12 2 2 2212222 21222221222221.四、(10分)设????? ??=????? ??--=100012,2113402-03B A ，且AX-2X=B, 求X .五、(12分)已知向量组()T 10231，，，=α，()T 23-1407，，，=α，()T 3101-2，，，=α，()T 42615，，，=α，()T 5141-2，，，=α.(1). 求该向量组的秩。

南京工业大学近些年线代期末考试卷及答案包括以下六份试卷1南京工业大学线性代数课程考试试卷（A）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)2南京工业大学线性代数课程考试试卷（B）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)3南京工业大学线性代数试题（B）卷（闭）2007--2008学年第一学期使用班级江浦各专业本科生4南京工业大学线性代数试题（A）卷（闭）2008--2009学年第一学期使用班级江浦各专业本科生5南京工业大学线性代数试题（B）卷（闭）2008--2009学年第一学期使用班级江浦各专业本科生6南京工业大学线性代数试题（A）卷（闭）2008--2009学年第二学期使用班级计软0801－3南京工业大学线性代数课程考试试卷（A）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)所在系(院) 班级学号姓名一． 填空题(每空3分，共15分)1、 若n 阶方阵A 满足02=+-E A A (E 为单位阵)，则A 的逆矩阵=-1A ____________.2、设矩阵B 是由矩阵A 划去某一列所得, 则秩(B )________秩(A ).3、若1111320=z y x, 则=---222431111z y x ________..4、若向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112k α 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110k β 正交，则=k ________.5、已知三阶矩阵A 的特征值为,2,1,1-设,223A AB -=则B 的三个特征值为________.二． 单项选择题(每题3分，共15分)1、齐次线性方程组0=x A 的一个基础解系为123212131,,100010001ααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则A 的秩为 （ ）5)()(=A R A 4)()(=A R B 3)()(=A R C 2)()(=A R D 2、设有m 个n 维向量)(n m >，则 （ ）)(A 必线性相关 )(B 必线性无关 )(C 不一定 )(D 无法确定3、设A 为n 阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是 （ ）()A A A '- ()B CAC ' （C 为任意n 阶方阵） ()C AA ' ()()D AA B ' （B 为任意n 阶方阵）4、设A 与B 均为n 阶方阵，若A 与B 相似，则下面论断错误的是 （ ）)(A 存在M ，且0M ≠，并有AM MB = )(B A 与B 有相同的特征值B E A EC -=-λλ)( )(D A 与B 均可对角化5、若向量组321,,ααα 线性无关，向量组421,,ααα线性相关, 则 （ ）)(A 4α 必不可由321,,ααα 线性表示 )(B 4α必可由321,,ααα 线性表示 )(C 2α 必不可由431,,ααα 线性表示 )(D 2α必可由431,,ααα 线性表示三. (12分) 求n 阶行列式:)1(10000220000111321------n n n n。

南京工业大学2010-2011学年第二学期期末试卷及解答一.填空题(每小题3分, 满分15分)1. 过直线122:232x y z L -+-==-且垂直于平面325x y z +-=的平面方程是_________．【解】应填：81390x y z --+=．直线L 的方向向量{2,3,2}s =-．已知平面的法向量1{3,2,1}n =-，设所求平面的法向量为n ，由题意知n s ⊥且1n n ⊥，故可取1n s n =⨯232{1,8,13}321i j k=-=--，由条件知，所求平面过点0(1,2,2)-P ，于是所求平面方程为(1)8(2)13(2)0x y z --+++-=，即81390x y z --+=．2. 设221zx xy y ze +++=，则(0,1)dz = ．【解】应填：2dx dy --．由221z x xy y ze +++=，两边求全微分，得222(1)0z xdx ydx xdy dy z e dz +++++=，当0,1x y ==时，代入原方程得0z =，所以(0,1)2dzdx dy =--．3. 椭圆抛物面∑：222=+z x y 在点0(1,1,3)P -处的法线方程是___________. 【解】应填：113421x y z -+-==--. 曲面∑在点0(1,1,3)P -处的法向量可取为{}{}(1,1,3)4,2,14,2,1-=-=--n x y ，于是曲面∑在点0(1,1,3)P -处的法线方程为113421x y z -+-==--.4. 曲面z =与22z x y =+所围立体的体积为 ．【解】应填：6π． 22106rrV dv d rdr dz ππθΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰．5. 设L 为上半圆周y =()22-+⎰Lxxy y ds =____________．【解】应填：π．由对称性，代入技巧及几何意义可得()220-+=+=⎰⎰LLxxy y ds ds π二.选择题(每小题3分, 满分15分)1．方程32123'''-+=+-x y y y x e 的特解形式为（ ）． (A)()x ax b e + (B) ()x ax b xe + (C) xax b ce ++ (D) xax b cxe ++ 【解】选（D ）2.设(1)=-nn u ，则级数（ ）． （A ）1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛 （B ）1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散（C ）1nn u∞=∑收敛，而21nn u∞=∑发散 （D ）1nn u∞=∑发散，而21nn u∞=∑收敛【解】选（C ）3．二元函数(),f x y 的两个偏导数(),x f x y ¢，(),y f x y ¢在点()000,P x y 处都连续是(),f x y 在点()000,P x y 处可微分的（ ） (A) 充分条件 (B) 必要条件(C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件【解】若(),x f x y ¢，(),y f x y ¢在点()000,P x y 都连续，则(),f x y 在点()000,P x y 处可微分，选(A) 4.211xdx =⎰⎰（ ）（A ）)112（B ）)113（C （D【解】 原积分1dy =⎰)2111123==⎰． 选（B ）5. 设20()0x x f x x x πππ⎧-≤<=⎨-≤<⎩，则周期为2π的函数()f x 的傅立叶级数在2x π=处收敛于 ． （A ）2-π（B ）-π （C ）0 （D ）2π【解】选(A)三. (10分) 设)(),(xyg y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求yx z∂∂∂2．【解】根据复合函数求偏导公式得1221()z y f y f g x y x∂'''=⋅+⋅+⋅-∂,122111122212222211122223323221()111[()][()]11z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x xx⎛⎫∂∂∂⎛⎫'''==⋅∂∂∂''+⋅+⋅- ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭'''''''''''''='''''''+---++⋅--++⋅--⋅-⋅-=四. (10分) 求22),(y x y x f z -==在闭区域D ：1422≤+y x 上的最大值和最小值．【解】在D 的内部，20(0,0)20x yf x f y '==⎧⇒⎨'=-=⎩为驻点，且(0,0)0f = 在D 的边界上，由22222221151(22)444x z x y y x x x y =-=--≤=⇒=-≤+⇒5002dz x x dx ==⇒=，此时，1,y =±，则有(0,1)1,(2,0)4±=-±=f f比较上述函数值知，函数22),(y x y x f z -==在D 上的最大值为4,最小值为-1．五. (10分) 求微分方程'''=+x y y xe x的通解. 【解】不显含y ，故令,'=y p 则'''=y p ，代入原方程得1'-=x p p xe x， 利用通解公式求得通解为1()=+x p x e C ，积分得原方程通解为2121(1)2=-++x y x e C x C ．六. (12分)（Ⅰ）试确定可导函数()f x ，使在右半平面内，[2()]()y f x dx xf x dy -+为某函数(,)u x y 的全微分,其中(1)2f =； （Ⅱ）求(,)u x y ； 【解】（Ⅰ）[2()]P y f x =-，()Q xf x =．因为[2()]()y f x dx xf x dy -+是函数(,)u x y 的全微分，所以有 Q Px y∂∂=∂∂， 即()()2()f x xf x f x '+=-，故()2()2xf x f x '+=． 上述微分方程的通解为2()1Cf x x =+.由(1)2f =得1C =, 所以21()1f x x =+． （Ⅱ）在右半平面内取00(,)(1,0)x y =，则10(,)(,0)(,)xyu x y P x dx Q x y dy =+⎰⎰011()()yx dy y x x x=+=+⎰．七. (12分) 求幂级数1(1)nn n n x∞=+∑的收敛域及和函数．【解】易求得其收敛域为(1,1)-，令1()(1)nn S x n n x ∞==+∑11(1)n n x n n x∞-==+∑1()x S x =⋅， 其中 111()(1)n n S x n n x ∞-==+∑，两边积分1101()(1)xxn n S x dx n n xdx ∞-==+∑⎰⎰1(1)n n n x ∞==+∑，再积分101(())(1)x xxnn S x dx dx n x dx ∞==+∑⎰⎰⎰2111n n x xx∞+===-∑． 因此2132()()1(1)x S x x x ''==--，故原级数的和32()(1)xS x x =-，(1,1)x ∈-．八. (12分) 计算积分()(2)I y z dzdx x z dxdy∑=-++⎰⎰，其中∑是抛物面22z x y =+(01)z ≤≤，取下侧．【解】补220:1(1),z x y S =+ 取上侧,设∑与0∑围成空间区域Ω, Ω及0∑在xOy 平面上的投影区域22:1xy D x y +≤. 由Gauss 公式，()(2)()(2)I y z dzdx x z dxdy y z dzdx x z dxdy ∑+∑∑=-++--++⎰⎰⎰⎰[()(2)]()(2)y z x z dv y z dzdx x z dxdy y z Ω∑∂∂=-++--++∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 03()(2)dv y z dzdx x z dxdy Ω∑=--++⎰⎰⎰⎰⎰.因为0∑垂直于zOx 平面，0∑在zOx 平面上的投影区域面积为零， 所以()0y z dzdx ∑-=⎰⎰.221223[][2()]+=-++⎰⎰⎰⎰⎰xyxyx yD D I dz dxdy x x y dxdy212220(355)(35)=--=-⎰⎰⎰⎰xyD x y dxdy d r rdr πθ.2π=九. (4分) 设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Lyx xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数．证明：对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cyx xydydx y ϕ；【证明】将C 分解为：21l l C +=，另作一条曲线3l 围绕原点且与C 相接，则=++⎰Cyx xydydx y 4222)(ϕ-++⎰+314222)(l l y x xydydx y ϕ022)(3242=++⎰+l l yx xydydx y ϕ．。

南京工业大学 高等数学A-1期中考试试题（闭）所在院（系） 班级 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分一．填空（每空2分，计14分）1、已知221)1(x x x x f +=+，则=-)1(xx f2、=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→24244...2211lim n n nn n n 3、已知3ln sin +=xxy ，则=dy 4、曲线53523++-=x x x y 的拐点为5、曲线x bx x a y ++=2ln 在2,121==x x 处取得极值，则=a ，=b6、曲线x x y +=3在1=x 处的曲率半径=R二．选择题（每题3分，计15分）1、⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤=2,sin 0,cos )(00πx x x x x x x f 当当 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上连续，则0x （ ） A 等于21B 等于4πC 等于21D 不存在2、下列结论正确的是（ ）A 无穷多个无穷小之和仍为无穷小B 无穷多个无穷小之积仍为无穷小C 无穷多个无穷大之和仍为无穷大D 无穷小与有界量之积为无穷小 3、设函数)2008)...(2)(1()(---=x x x x x f ，则=')1(f （ ）A !2008-B !2008C !2007-D !20074、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则（ ）A 极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值B 极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值C 极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值D 极大值必大于极小值 5、若在),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ，则函数)(x f 在此区间内（ ）A 单调减少，曲线是凹的B 单调减少，曲线是凸的C 单调增加，曲线是凹的D 单调增加，曲线是凸的三、计算下列极限（每题5分，计20分）1、⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x2、xx x x x 20sin sin tan lim -→3、()111sinlim -∞→-n n n n nn 4、xx x tan 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→五、计算下列导数或微分（每题5分，计20分）1、x x y 3arcsin 912-=，求y '。

南京工业大学 线 性 代 数 试题（A ）卷（闭）2008--2009学年第一学期 使用班级土木0701-04等江浦专业一、填空题（每题3分，共15分）1．设3阶矩阵111123012,025234006A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AB = 。

2．设三阶矩阵A 的特征值为1，－1，3，再设325,B A A =-则B = .。

3．设n 阶矩阵A 的各行元素之和等于零，且A 的秩为1n -，则齐次线性方程组0AX =的通解为 。

4．设向量1(2,,1,0),(0,1,,1)T T k kαβ=-=-为属于实对称矩阵A 的不同特征值的特征向量，则k = 。

5．已知022=--E A A ，则=-1A 。

二、选择题（每题3分，共15分）1．设齐次方程组0AX =的一个基础解系为123212131,,100010001ααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）.5)()(=A R A 4)()(=A R B 3)()(=A R C 2)()(=A R D2．设n 阶矩阵A 有s 个不同的特征值12,,,s λλλ，而且(),i i R E A n r λ-=-1,2,,i s =。

如果A 与对角矩阵相似，则( ).(A)1sii r n =≤∑ ()B 1sii r n =≥∑ (C) 1sii r n ==∑ (D) 1sii r n =≠∑3.若向量组123,,ααα线性无关，向量组124,,ααα线性相关, 则 （ ）.)(A 4α必不可由123,,ααα线性表示 )(B 4α必可由123,,ααα线性表示 )(C 2α必不可由134,,ααα线性表示 )(D 2α必可由134,,ααα线性表示4. 设n m ⨯阶矩阵()R A r =， 则如下结论正确的是（ ）.（A ）()()TR A A R A = (B)()()TR A A R A <(C) ()()TR A A R A > (D) ()()TTR A A R A ≠ 5. 对于矩阵方程AB AC =，以下结论正确的是（ ）.(A) B C = (B)B C ≠ (C)如A 可逆,B C =则 （D ）以上均不正确. 三、(10分)计算下行列式123123123123n n n nx a a a a a x a a a D a a x a a a a a x a++=++四、（10分）设三阶矩阵200450124A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭满足矩阵方程239AX A X E +=+，试求矩阵X .五、（14分）设向量1234(3,2,1,3),(1,3,1,4),(7,1,1,2),(1,1,3,2),αααα==---==---5(0,7,4,3)α=-，求向量组的秩和极大无关组，并把极大无关组以外的向量用极大无关组线性表示. 六、（13分）当,a b 为何值时，线性非齐次方程组12341234234123402331(3)2321x x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪+++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩无解、有唯一解、或有无穷多组解？在有无穷多解时，求出其通解.七、（15分）已知二次型22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++，试回答下列问题 1） 写出此二次型的矩阵A ；2） 利用正交变换QY X =该二次型化为标准型，并给出所使用的正交变换和标准型； 3） 判断该二次型是否具有正定性。