大数定律及其应用

概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用作者：信计1301班王彩云130350119摘要：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。

概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。

概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。

大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。

本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。

关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。

在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。

比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。

偶然之中包含着必然。

从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。

这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。

深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。

概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。

然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。

概率论中的大数定律的解读与应用概率论作为一门重要的数学分支，研究的是随机事件的规律性和不确定性。

在概率论中，大数定律是一条非常重要的定律，它描述了随机事件在重复试验中的长期平均行为。

本文将对大数定律进行解读，并探讨其在实际应用中的意义。

首先，我们来了解一下大数定律的基本概念。

大数定律是指在独立重复试验的条件下，随着试验次数的增加，随机事件的频率将趋于其概率。

换句话说，如果我们进行足够多次的试验，那么事件发生的频率将接近于事件发生的概率。

这个定律的重要性在于它揭示了随机事件的长期规律性，使我们能够对未知的随机事件进行预测和分析。

大数定律有两种主要形式，即辛钦大数定律和伯努利大数定律。

辛钦大数定律又称为弱大数定律，它指出当试验次数趋于无穷大时，随机事件的频率将收敛于其概率。

伯努利大数定律又称为强大数定律，它要求试验序列必须是独立同分布的，并且当试验次数趋于无穷大时，随机事件的频率几乎必定收敛于其概率。

大数定律在实际应用中有着广泛的意义和应用价值。

首先，大数定律提供了一种有效的方法来估计随机事件的概率。

通过进行足够多次的试验，我们可以计算事件发生的频率，并将其作为事件概率的估计值。

这种方法在统计学中被广泛应用，可以用来估计样本的均值、方差等参数。

其次，大数定律在风险管理和金融领域中也有着重要的应用。

在金融市场中，价格的波动和变动往往是随机的，无法准确预测。

然而，通过大数定律，我们可以根据历史数据和试验结果，对未来的价格走势进行一定程度的预测和分析。

这对于投资者和风险管理者来说，具有重要的参考价值。

此外，大数定律还可以用来解释一些看似随机的现象。

例如，赌场中的赌博游戏，尽管每一局都是随机的，但通过进行足够多的试验，我们可以发现赌场总是能够赚取利润。

这是因为赌场利用了大数定律，确保了长期的盈利。

类似地，大数定律也可以解释为什么在大规模的抽奖活动中，中奖者总是符合一定的概率分布。

总之，概率论中的大数定律是一条重要的定律，它揭示了随机事件的长期规律性。

概率论中的大数定律与中心极限定理概率论是数学中的重要分支，研究随机现象的规律性。

在概率论中，大数定律和中心极限定理是两个基本定理，它们对于理解和应用概率论具有重要意义。

一、大数定律大数定律是概率论中的一项重要成果，它研究的是随机事件重复进行时，随着试验次数的增加，事件的频率趋于稳定的现象。

大数定律的核心思想是：随机事件的频率会趋于其概率。

大数定律有多种形式，其中最著名的是弱大数定律和强大数定律。

弱大数定律指出，当随机事件重复进行时，事件的频率会接近其概率，但不一定完全相等。

而强大数定律则更加严格，它指出，当随机事件重复进行时，事件的频率几乎必定会趋于其概率。

大数定律的应用非常广泛。

例如，在赌场中，赌徒们常常利用大数定律来制定自己的投注策略。

他们相信，通过多次下注，最终能够获得稳定的胜率。

另外，在统计学中，大数定律也是重要的理论基础。

通过对大量样本的观察，我们可以得出对总体的推断。

二、中心极限定理中心极限定理是概率论中的另一个重要定理，它研究的是随机变量的和的分布趋于正态分布的现象。

中心极限定理的核心思想是：随机变量的和趋于正态分布的程度与随机变量的分布无关，只与样本容量有关。

中心极限定理有多种形式，其中最著名的是中心极限定理的拉普拉斯形式和莫尔根-拉普拉斯形式。

中心极限定理的拉普拉斯形式适用于二项分布和泊松分布，而莫尔根-拉普拉斯形式适用于任意分布。

中心极限定理的应用广泛而深入。

在实际生活中，我们常常遇到一些随机现象，如测量误差、人口统计等。

通过应用中心极限定理，我们可以对这些随机现象进行更准确的分析和预测。

三、大数定律与中心极限定理的关系大数定律和中心极限定理是概率论中两个相互关联的定理。

它们都是研究随机现象的规律性，但侧重点不同。

大数定律研究的是随机事件的频率趋于稳定的现象，它关注的是事件本身的概率。

而中心极限定理研究的是随机变量的和的分布趋于正态分布的现象，它关注的是随机变量的分布。

大数定律和中心极限定理的关系可以从两个方面来理解。

依概率收敛大数定律中心极限定理依概率收敛、大数定律和中心极限定理是概率论中重要的三个定理，它们在统计学、经济学、物理学等领域有着广泛的应用。

本文将分别介绍这三个定理的定义、原理和应用。

一、依概率收敛1.1 定义依概率收敛是指，对于一组随机变量序列X1,X2,...,Xn,...，如果对于任意给定的正数ε>0，都有：lim P(|Xn-X|≥ε)=0(n→∞)其中，X为常数，则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于X。

1.2 原理依概率收敛是弱收敛的一种形式。

它表示当样本容量趋近于无限大时，样本均值与总体均值之间的差距会越来越小，并最终趋于零。

1.3 应用依概率收敛在经济学和金融学中有着广泛的应用。

例如，在股票市场上，当投资者持有股票时，他们通常希望股票价格能够稳定增长。

而依概率收敛则可以帮助投资者预测股票价格的未来趋势，从而制定出更为科学合理的投资策略。

二、大数定律2.1 定义大数定律是指，对于一组独立同分布的随机变量序列X1,X2,...,Xn,...，如果E(Xi)=μ，则对于任意给定的正数ε>0，都有：lim P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|≥ε)=0(n→∞)其中，μ为总体均值，则称随机变量序列{Xn}满足大数定律。

2.2 原理大数定律是概率论中最基本也是最重要的一条定理。

它表明当样本容量越来越大时，样本均值会越来越接近总体均值。

换句话说，当样本容量充分大时，样本均值就可以代表总体均值。

2.3 应用大数定律在统计学中有着广泛的应用。

例如，在进行人口普查或调查时，如果样本容量太小，则无法准确地反映总体情况。

而通过应用大数定律可以帮助我们确定一个合适的样本容量范围，并保证调查结果的准确性和可靠性。

三、中心极限定理3.1 定义中心极限定理是指，对于一组独立同分布的随机变量序列X1,X2,...,Xn,...，如果E(Xi)=μ，Var(Xi)=σ²，则随机变量序列：Zn=(X1+X2+...+Xn-μn)/σ√n近似服从标准正态分布，则称随机变量序列{Xn}满足中心极限定理。

概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用作者：信计1301班王彩云 130350119摘要：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。

概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。

概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。

大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。

本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。

关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。

在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。

比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。

偶然之中包含着必然。

从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。

这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。

深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。

概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。

然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。

概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用作者：信计1301班王彩云130350119摘要：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。

概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。

概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。

大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。

本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。

关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。

在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。

比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。

偶然之中包含着必然。

从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。

这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。

深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。

概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。

然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。

大数定律及其应用
摘要：大数定律顾名思义就是指当样本数据量很大的时候，然后某一变量就会呈现出某种规律性这一呈现出规律性的变量就是我们经常说的平均值，即当样本数据量很大的时候，平均结果将稳定于某一稳定值。

大数定律在概率论中的重要性不言而喻。

本文介绍了几种常见大数定律：马尔科夫大数定律，切比雪夫大数定律，泊松大数定律，伯努利大数定律和辛欣大数定律及它们的比较与关系。

关键词：大数定律数据量应用
引言：大数定律(law of large numbers)，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。

但是注意到，大数定律并不是经验规律，而是在一些附加条件上经严格证明了的定理，它是一种自然规律因而通常不叫定理而是大数“定律”。

而我们说的大数定理通常是经数学家证明并以数学家名字命名的大数定理，如伯努利大数定理。

正文：几种常见的大数定律
1.马尔科夫大数定律。

大数定律与中心极限定理的实际应用1. 引言在今天的讨论中，我们将深入探讨大数定律与中心极限定理在实际应用中的重要性和影响。

这两个概念是统计学中非常重要的原理，它们不仅对于理论研究有着重要意义，更在现实世界中的各种领域有着广泛的应用。

通过本文的探讨，我们将了解这两个概念的实际意义，并且深入探讨它们在现实中的具体应用。

2. 大数定律的实际应用大数定律是统计学中最重要的定律之一，它表明在独立随机变量的大量观察中，其平均值趋近于总体期望。

这个理论在实际应用中有着广泛的运用，尤其在金融领域。

举个例子，假设我们在股市中观察某只股票的收益率，根据大数定律，随着观察次数的增加，这只股票的平均收益率将会趋近于其总体收益率。

这种理论在风险管理和投资决策中起着至关重要的作用，投资者可以通过大数定律来对市场的波动进行合理的估计，并做出相应的投资策略。

3. 中心极限定理的实际应用中心极限定理是统计学中另一个非常重要的原理，它表明在独立同分布的随机变量加和后，当样本容量足够大时，其分布将接近于正态分布。

这个理论在实际应用中有着广泛的运用，尤其在质量控制和生产过程中。

在工厂生产线上对产品的重量进行抽样检测，根据中心极限定理，这些样本的平均重量将会呈现出接近正态分布的特性，生产线的稳定性和产品质量就可以通过这个理论进行合理的评估和控制。

4. 个人观点和理解对于大数定律与中心极限定理的实际应用，我个人深有体会。

作为一名统计学研究者，我对这两个概念的重要性有着深刻的认识。

在我自己的研究过程中，我经常会利用这两个概念来分析数据，并且在实际应用中取得了非常好的效果。

在我看来，大数定律与中心极限定理不仅是理论工具，更是现实世界中解决问题的重要指导，它们的应用将为各行各业带来更加严谨有效的决策和管理方式。

5. 总结通过本文的探讨，我们了解了大数定律与中心极限定理的实际应用，深入探讨了它们在金融和生产领域的重要性，并且共享了个人对于这两个概念的观点和理解。

大数定律与中心极限定理的介绍与应用大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中两个重要的理论。

它们被广泛地应用于各个领域，如自然科学、社会科学、工程技术等。

本文将介绍这两个定理的基本概念、原理以及应用。

一、大数定律的介绍与应用大数定律，又称为大数法则，指的是在独立重复的随机试验中，随着试验次数的增加，样本均值将趋近于总体均值的概率性结果。

大数定律分为弱大数定律和强大数定律两种。

1. 弱大数定律弱大数定律是指在一定条件下，随机变量的平均值会接近于其数学期望。

这一定律为我们提供了在实际问题中进行概率估计的理论依据。

例如，在投资领域中，通过对股票市场的历史数据进行分析，可以利用弱大数定律估计未来的收益率。

2. 强大数定律强大数定律是指随机变量的平均值几乎肯定收敛于其数学期望。

这个定律在实际问题中具有更强的适用性。

在制造业中，通过对生产过程中的采样数据进行分析，可以利用强大数定律对产品的质量进行评估和控制。

二、中心极限定理的介绍与应用中心极限定理是指在一定条件下，大量独立随机变量的和的分布趋近于正态分布。

中心极限定理具有广泛的适用性和重要的理论意义。

1. 林德贝格-莱维中心极限定理林德贝格-莱维中心极限定理是最早被发现的中心极限定理之一。

它表明，当样本容量很大时，随机变量的和的分布近似于正态分布。

这一定理在统计学中被广泛应用，能够帮助我们进行统计推断和参数估计。

2. 中心极限定理在抽样调查中的应用在市场调研和民意调查中，通常会通过抽样调查的方式来获取数据。

根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。

因此，我们可以通过样本均值的分布来进行推断总体均值的区间估计和假设检验。

三、大数定律与中心极限定理的联系与差异大数定律和中心极限定理都涉及随机变量的分布性质，但它们的应用场景和概念有所不同。

1. 联系大数定律和中心极限定理都属于概率论与数理统计的基本理论，都是描述随机变量的分布性质的定理。

……………………. ………………. …………………xx 大学 毕 业 论 文 题目： 大数定律及其应用院 部 信息科学与工程学院专业班级 信息与计算科学1班届 次 x 届学生姓名 xx学 号 xx指导教师 xxx二O 一一 年 六 月 十 日装 订线 ……………….……. …………. …………. ………大数定律及其应用Law of large numbers and its application专业Speciality信息与计算科学Information and Computing Science学生Undergraduate xx xx指导教师Supervisorxxxx xxx大学xx年六月xxx UniversityJune, xx摘要对于随机现象而言,其统计规律性只有在基本相同的条件下进行大量的重复试验才能显现出来.本文主要是通过大数定律来讨论随机现象最根本的性质——平均结果稳定性的相关内容.大数定律,描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律,是随机现象统计规律性的具体表现.本文首先介绍了大数定律涉及的一些基础知识,以便于对文中相关知识的理解.通过比较,就不同条件下存在的大数定律做了具体的分析,介绍了几种较为常见的大数定律和强大数定律,总结了大数定律的应用,主要有大数定律在数学分析中的应用,大数定律在生产生活中的应用,大数定律在经济如：保险、银行经营管理中的应用等等,将理论具体化,将可行的结论用于具体的数学模型中,使大家对大数定律在实际生活中的应用价值有了更深的认识.关键词：大数定律；强大数定律；数学分析；经济.AbstractTo random phenomemon, its statisticses law just can present when a great deal of repeated test are carried on under the basic same condition. This text mainly is pass law of large numbers to talk about random phenomenon’s most basic quality------related contents of average result stability .Law of large numbers presents the law of probability quality when test the number of times is very big.This text firstly introduces some basics which are involved in law of large numbers in order to make it easier to understand the corresponding knowledge in this paper.Through comparison, this article analyzes some conditions of the law of large numbers, introduces several kinds of more familiar law of large numbers and strong law of large numbers,tallying up application of law of large numbers,mainly including application of law of large numbers in mathematical analysis, application of law of large numbers in production and living,application of law of large numbers in economy,such as insurance, bank management and so on.It makes mathematical theory concretely,considers some viable conclusions in concrete mathematical model.Thus we can have deeper understanding on the law of large numbers in the real life.Key words:Law of large numbers,strong law of large numbers,mathematical analysis,economy.目录引言 (1)1大数定律 (2)1.1 大数定律的定义 (2)1.2常用的大数定律 (2)1.2.1 伯努利大数定律 (2)1.2.2 泊松大数定律 (3)1.2.3 切比雪夫大数定律 (3)1.2.4 马尔可夫大数定律 (3)1.2.5 辛钦大数定律 (4)1.3强大数定律 (4)1.3.1博雷尔强大数定律 (5)1.3.2 科尔莫戈罗夫强大数定律 (5)1.4几个大数定律的关系及适用场合 (6)1.4.1各个大数定律之间的关系 (6)1.4.2大数定律适用条件的分析 (7)1.4.3几个大数定律的应用场合分析 (7)2大数定律的应用 (11)2.1大数定律在数学分析中的应用 (11)2.1.1 在积分方面的应用 (11)2.1.2 证明一致收敛 (12)2.1.3 在极限中的应用 (13)2.2大数定律在生产生活中的应用 (15)2.2.1 误差方面的应用 (15)2.2.2 估计数学期望和方差 (16)2.3大数定律在经济中的应用 (16)2.3.1 大数定律在保险中的应用 (16)2.3.2 大数定律在银行经营管理中的应用 (18)参考文献 (21)致谢 (22)ContentsIntroduction (1)1 Law of large numbers (2)1.1 Definition of law of large numbers (2)1.2 Common law of large numbers (2)1.2.1 Bernoulli’s Law of Large Numbers (2)1.2.2 Poisson Law of Large Numbers (3)1.2.3 Chebyshev Law of Large Numbers (3)1.2.4 Markov Law of Large Numbers (3)1.2.5 Khintchine Law of Large Numbers (4)1.3 Strong Law of Large Numbers (4)1.3.1 Borel Strong Law of Large Numbers (5)1.3.2 Kolmogorov Strong Law of Large Numbers (5)1.4 Relationship and occasions of several law of large numbers (6)1.4.1 Relationship between the various law of large numbers (6)1.4.2 Analysis of the conditions of the law of large number (7)1.4.3 Several application occations of the law of large number (7)2 Application of law of large numbers (11)2.1 Application of law of large numbers in mathematical analysis (11)2.1.1 Application of the integral (11)2.2.2 Proof of uniform convergence (12)2.2.3 Application of limiton (13)2.2 Law of large numbers of application in the production and living (15)2.2.1 Application of error (15)2.2.2 Mathematical expectation and variance estimation (16)2.3 Law of large numbers of applications in the economy (16)2.3.1 Application of law of large numbers in insurance (16)2.3.2 Application of law of large numbers in bank management (18)Reference (21)Acknowledgement (22)引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律.大数定律是概率论中一个非常重要的课题,而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带.大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性,证明了在大样本条件下,样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论,通俗地说,这个定理就是在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率以概率为稳定值.在现实生活中,经常可以见到这一类型的数学模型,比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们向上抛硬币的次数足够多时,达到上万次甚至几十万几百万次之后,我们会发现,硬币向上的次数约占总次数的二分之一,偶然中包含着必然.又如：在分析天平上称重量为a 的物品,若以12,,x x 3,...,n x x 表示n 次重复称量的结果,经验告诉我们,当n 充分大时,它们的算术平均值11ni i X n =∑与a 的偏差就越小.这种思想,不仅在整个概率论中起着重要00作用,而且在其他数学领域里面也占据着相当重要的地位.大数定律的发展与研究也经历了很长一段时间,伯努利是第一个研究这一问题的数学家,他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.现在,大数定律的相关模型已经被国内外广大学者所研究,特别是应用在实际生活中,如保险业得以存在并不断发展壮大的两大基石的一个就是大数定律.许多学者也已经在此领域中研究出了许多有价值的成果,讨论了在统计,信息论,分析、数论等方面的应用.在许多数学领域中,广大学者对某些具有特定类型的数学模型,都能利用大数定律的思考方式总结其代表性的性质及结论,使得这些类型的数学模型在进行讨论的时候大大简化了繁琐的论证过程,方便了研究.大数定律作为概率论的重要内容,其理论成果相对比较完善,这方面的文章较多,结果也比较完美,但对大数定律的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对大数定律的理解,而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中.下面文中就通过对大数定律的讨论,给出了各大数定律之间的关系,归结出一般性结论.最后列举了一些能用大数定律来解决的实例,希望能通过这些实例,来进一步阐明大数定律在各个分支学科中的重要作用,以及在实际生活中的应用价值,加深大家对大数定律的理解.1大数定律1.1 大数定律的定义大数定律使用极限方法研究大量随机现象的统计规律性.人们在长期的实践中发现,频率以及大量测量值的算术平均值具有稳定性,也就是说,无论个别测量值如何,其平均结果实际上与个别测量值的特征无关,几乎不再是随机的了.这种稳定性问题如何从理论上给出解释？这正是大数定律要解决的问题.阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一系列定理都称为大数定律.一般的大数定律都涉及一个随机变量序列{n X },为此我们给出如下定义.定义1.1.1 设有一随机变量序列{n X },假如对任意的0ε>,有 1111lim ()1n ni i n i i P X E X n n ε→+∞==⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑∑ (1.1.1) 的性质,则称该随机变量序列{n X }服从大数定律.1.2 常用的大数定律不同的大数定律的差别只是对不同的随机变量序列{}n X 而言,有的是相互独立的随机变量序列,有的是相依的随机变量序列,有的是同分布的随机变量序列,有的是不同分布得随机变量序列等等.1.2.1 伯努利大数定律定理1.2.1(伯努利大数定律)设n μ为n 重伯努利试验中事件A 发生的次数,p 为每次试验中A 出现的概率,则对任意的0ε>,有 lim 1n n P p n με→+∞⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭. 伯努利大数定律说明：随着n 的增大,事件A 发生的频率nn μ与其频率p 的偏差np n μ-大于预先给定的精度ε的可能性愈来愈小,小到可以忽略不计.这就是频率稳定于概率的含义,或者说频率依概率收敛于概率.譬如,抛一枚硬币出现正面的概率p=0.5.若把这枚硬币连抛10次,则因为n 较小,发生大偏差的可能性有时会大一些,有时会小一些.若把这枚硬币连抛n 次,当n很大时,由切比雪夫不等式知：正面出现的概率与0.5的偏差大于预先给定的精度ε（若取精度ε=0.01）的可能性0.50.01n P n μ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭20.50.50.01n ⨯≤4104n = 当n=510时,大偏差发生的可能性小于12.5%40=.当n=610时,大偏差发生的可能性小于10.25%400=.可见试验次数愈多,偏差发生的可能性愈小.伯努利大数定律提供了用频率来确定概率的理论依据.譬如要估计某种产品的不合格品率p,则可从该种产品中随机抽取n 件,当n 很大时,这n 件产品中的不合格品的比例可作为不合格品率p 的估计值.1.2.2 泊松大数定律定理1.2.2(泊松大数定律)设1,,n X X 是相互独立的随机变量{}{},,10n n n n P X p P X q ====,(1)n n p q =-其中则{n X }服从大数定律．泊松大数定律是伯努利大数定律的推广,伯努利大数定律证明了事件在完全相同条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性；而泊松定理表明,当独立进行的随机试验的条件变化时,频率仍然具有稳定性：随着n 的无限增大,在n 次独立试验中,事件A 的频率趋于稳定在各次试验中事件A 出现概率的算术平均值附近.1.2.3 切比雪夫大数定律定理1.2.3 (切比雪夫大数定律)设{n X }为一列两两不相关的随机变量序列,若每个i X 的方差存在,且有共同的上界,即()i Var X c ≤,i=1,2,…,则{n X }服从大数定律,即对任意的0ε>,（1.1.1）式成立.注意,切比雪夫大数定律只要求{n X }互不相关,并不要求它们是同分布的.假如{n X }是独立同分布的随机变量序列,且方差有限,则{n X }必定服从大数定律.1.2.4 马尔可夫大数定律定理1.2.4 (马尔可夫大数定律)设随机变量序列{n X }满足条件：对任意的n ≥1,有1n i i Var X =⎛⎫<∞ ⎪⎝⎭∑,且211lim 0n i n i Var X n →∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ （1.3.1） 则{n X }服从大数定律.马尔可夫大数定律的重要性在于：对{n X }已经没有任何同分布、独立性、不相关的假定.切比雪夫大数定律显然可由马尔可夫大数定律推出.1.2.5 辛钦大数定律我们已经知道,一个随机变量的方差存在,则其数学期望必定存在；但反之不成立,即一个随机变量的数学期望存在,则其方差不一定存在.以上几个大数定律均假设随机变量序列{n X }的方差存在,以下的辛钦大数定律去掉了这一假设,仅设每个i X 的数学期望存在,但同时要求{n X }为独立同分布的随机变量序列.伯努利大数定律仍然是辛钦大数定律的特例.定理1.2.5 (辛钦大数定律)设{n X }为一独立同分布的随机变量序列,若i X 的数学期望存在,则{n X }服从大数定律,即任意的0ε>,（1.1.1）式成立.辛钦大数定律提供了求随机变量数学期望E （X ）的近似值的方法.设想对随机变量X 独立重复地观察n 次,第k 次观察值为k X ,则1,,n X X 应该是相互独立的,且它们的分布应该是与X 的分布相同.所以,在E （X ）存在的条件下,按照辛钦大数定律,当n 足够大时,可以把平均观察值11ni i X n =∑作为E （X ）的近似值.这样做法的一个优点是我们可以不必去管X 的分布究竟是怎样的,我们的目的只是寻求数学期望.事实上,用观察值的平均去作为随机变量的均值在实际生活中是常用的方法,譬如,用观察到的某地区5000个人的寿命作为该地区的人均寿命的近似值是合适的,这样做法的依据就是辛钦大数定律.1.3 强大数定律定义1.3.1（依概率收敛）设{}n X 为一随机变量序列,X 为一随机变量.如果对任意的0ε>,有{}n lim 1n P X X ε→+∞-<=则称{}n X 依概率收敛于X,记作P n X X −−→. 定义1.3.2（以概率1收敛）对任意的0ε>,成立()()()10n k n k P w w ξξε∞∞==⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭（1.3.1） 则称(){}n w ξ以概率1收敛于()w ξ,记作(){}()..a s n w w ξξ−−→.我们以前讨论的大数定律只要求依概率收敛,若把收敛性要求提高到为以概率1收敛,则得到的大数定律为强大数定律.若强大数定律成立,则通常的大数定律也一定成立,反之不然.有时为区别起见,把依概率收敛意义下的大数定律称为弱大数定律.1.3.1 博雷尔强大数定律定理1.3.1(博雷尔强大数定律)设n μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数,在每次试验中事件A 出现的概率均为p,那么当n →∞时,1n P p n μ⎧⎫→=⎨⎬⎩⎭我们一直期待,当试验次数无限增加时,频率将趋于概率,博雷尔强大数定律正给出了这个结果.从伯努利大数定律并不能引申出这个结论,它只断言一个不等式np nμε-<成立的概率可以大于1η-,不论η是什么正数；但是事件122,,...,, (1)22n n np p p n n nμμμεεε++-≥-≥-≥++中至少有一个发生仍是可能的,因为它是可列个事件之并,而我们只知道每个事件的概率很小,但博雷尔强大数定律则断言np nμ-以概率1变得很小,而且保持很小.虽然从逻辑上讲,在投硬币时每次都出现正面是可能的,这时1nnμ=,因而np nμ→并不成立,但是强大数定律断言了这种事件发生的概率为0. 1.3.2 科尔莫戈罗夫强大数定律下面讨论更一般的强大数定律,定义如下： 设{}n X 是独立随机变量序列,若()11lim 01n i i n i P X EX n →∞=⎧⎫-==⎨⎬⎩⎭∑则称它满足强大数定律.定理1.3.2(科尔莫戈罗夫强大数定律) 设k p p =,1,2,...i =是独立随机变量序列,且21nn VarX n ∞=<∞∑,则成立 ()11lim 01n i i n i P X EX n →∞=⎧⎫-==⎨⎬⎩⎭∑ 1.4 几个大数定律的关系及适用场合 1.4.1 各个大数定律之间的关系1.伯努利大数定律是泊松大数定律的特例.在泊松大数定律的条件中,如果n p p =,则泊松大数定律也就是伯努利大数定律.伯努利大数定律证明了事件在完全相同条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性；而泊松大数定律表明,当独立进行的随机试验的条件变化时,频率仍然具有稳定性；随着n 的无限增大,在n 次独立试验中,事件A 的频率趋于稳定在各次试验中A 出现的概率的算术平均值附近.2.泊松大数定律是切比雪夫大数定律的特例.在泊松大数定律的条件中()n Var X 1n n p q =≤,因此也满足切比雪夫大数定律的条件.3.切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.事实上,在切比雪夫大数定律的条件中()1,Var X c ≤()2,Var X c ≤...,(),n Var X c ≤...由随机变量序列的两两不相关性可知：211n i i Var X n =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑()211ni i Var X n==∑0,n c n→∞≤−−−→ 从而也满足马尔可夫大数定律的条件.因此,伯努利大数定律、泊松大数定律也都是马尔可夫大数定律的特例. 4.伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情形：因为在伯努利大数定律中可定义随机变量i X =1i A 0i A ⎧⎨⎩，第次试验中事件发生；，第次试验中事件不发生，i=1,2,…n,….则{}i X 独立同分布,都服从伯努利分布：{}1,i P X p =={}0,i P X q ==且()i E X p =,故满足辛钦大数定律的条件.但是辛钦大数定律不是泊松大数定律和切比雪夫大数定律的推广,因为辛钦大数定律必须要求同分布. 1.4.2 大数定律适用条件的分析辛钦大数定律和伯努利大数定律都要求随机变量序列有独立性、同分布和有限的数学期望.泊松大数定律和切比雪夫大数定律对条件有所放松,不要求同分布,但要求有某种独立性.马尔可夫大数定律对题设条件作了进一步放宽,它不要求同分布,也不要求独立性.只要求满足一种关于二阶矩即方差的条件.在这些大数定律中,只有辛钦大数定律不要求方差存在的条件.并且,所给出条件中满足条件的一定服从大数定律.但是不满足这些条件的并不一定就不服从大数定律,我们可以根据各种不同的数学模型,利用大数定律收敛的思想,得到许多类似于这些大数定律的结论,方便更多的数学研究. 1.4.3 几个大数定律的应用场合分析伯努利大数定律只适用于伯努利试验（掷硬币模型的一般化）,讲的是频率收敛于概率.泊松大数定律适用于泊松试验（会磨损的掷硬币模型）,在该试验中,每次还是出两种结果之一,但概率会发生变化.切比雪夫大数定律适用于两两不相关的序列（真正常用的独立序列）,并且具有有界方差,比起前两种特殊试验,应用范围大为扩展.马尔可夫大数定律则扩展到一般序列,只要满足马尔可夫条件,非常一般化,因此遇到证明大数定律的题目,答题时最直接的思路就是验证马尔可夫条件.辛钦大数定律适用于独立同分布场合,经常用于数理统计当中. 例1 设{}n X 是相互独立的随机变量序列,且{1n P X n ==,{}201n P X n==-,2,3,...n = 证明：{}n X 服从大数定律.证明 {}(211010,n E X n n n ⎛⎫=⨯-++⨯= ⎪⎝⎭()()()22n n n Var X E X E X =-⎡⎤⎣⎦211012n n n n n ⎛⎫=⨯-+⨯+⨯= ⎪⎝⎭{}n X 满足切比雪夫大数定律条件,所以{}n X 服从大数定律（注：直接从验证切比雪夫大数定律的条件入手） 例2 设{}n X 是独立的随机变量序列,且{12n P X ==1,2,3,...n = 证明：{}n X 服从大数定律.证明 由于 ()0,k E X = ()()2ln ,k k Var X E X k ==()11n nk k k k Var X Var X ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑ 1ln ln ,nk k n n ==≤⨯∑故 211ln 0.n n k k n Var X n n →∞=⎛⎫≤−−−→ ⎪⎝⎭∑所以满足马尔可夫条件,由马尔可夫大数定律可知,{}n X 服从大数定律.（注：直接从验证马尔可夫条件入手） 例3 设{}k X 是相互独立的随机变量序列,且{}11,22k P X k αα⎛⎫=±=< ⎪⎝⎭1,2,3,...k =证明：{}k X 服从大数定律.证明 ()110,22k E X k k αα=⨯-⨯=()()()222212k k Var X E X k k k ααα==+=当0α≤时,()21,k Var X k α=≤故{}k X 服从切比雪夫大数定律；当102α<<时,2221111n nk k k Var X kn nα==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑()2221111nk k n nnαα-+=⎛⎫=⎪⎝⎭∑, 而 2120111lim ,21nn k k x dx n n ααα→∞=⎛⎫== ⎪+⎝⎭∑⎰ 由于()2210α-+>,所以有211lim 0.n k n k Var X n →∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑故{}k X 满足马尔可夫条件,从而服从大数定律.（注：这个对称的两点分布在讨论大数定律成立条件时是最重要的例子之一.当12α<时,马尔可夫条件成立；而12α≥时,马尔可夫条件不成立.） 例4 设{}n X 是独立同分布的随机变量序列,且221,2k k k P X k ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭ 1,2,3,...k =试问：{}n X 是否服从大数定律.解 由条件可知 ()2211211,2k n k k k E X k k∞∞===⋅=<+∞∑∑即()n E X 存在,由辛钦大数定律知：{}n X 服从大数定律.（注：独立同分布的随机变量序列,直接验证其数学期望是否存在,然后利用辛钦大数定律即可得出.）例 5 设在随机变量序列{}n X 中n X 仅与1n X -及1n X +有关,而与其他的随机变量都不相关,且对一切n,一致地有()n Var X C ≤（C 为常数）,证明：{}n X 服从大数定律.证明 由条件知(),0,k j Cov X X = 1k j ->当时； (),0,k j Cov X X ≠ =1k j -当时. 又由协方差的性质知：()1,k k Cov X X +≤所以 ()()1112,n nk k k j k k k j n Var X Var X Cov X X ==≤<≤⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑∑()()11112,nn k k k k k Var X Cov X X -+===+∑∑()1112nn k k k Var X -==≤+∑()21nC n C ≤+-()32.n C =-因此 ()22111320.n n k k Var X n C n n→∞=⎛⎫≤-−−−→ ⎪⎝⎭∑{}n X 满足马尔可夫条件,故{}n X 服从大数定律.（注：进入讨论相关序列,这时只有验证马尔可夫条件一条直路.）例6 设{}n X 是相互独立的随机变量序列,且具有有限方差,证明：如果()21,k k Var X k ∞=<∞∑则必有()211lim 0.nkn k Var X n →∞==∑证明 因为()21,k k Var X k ∞=<∞∑故对任意给定的0ε>,存在N,使当n N >时,有 ()21nk k N Var X k ε=+<∑.因此,当n N >时,有 ()()()2211111n N nk k k k k k N Var X Var X Var X n n ===+⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭∑∑∑ ()()22111Nnk k k k N Var X Var X nk ==+≤+∑∑ ()211Nkk Var X nε=<+∑因为()1Nk k Var X =∑为定数,令n →∞,可得()2110nkk Var X n =→∑（注：()21,k k Var X k ∞=<∞∑是科尔莫戈罗夫给出的强大数定律成立条件,本题说明它比马尔可夫条件更强.）例7 设{}n X 是独立同分布的随机变量序列,且k X 的概率分布为 {}2ln 22,n n n n P X --== 1,2,3,...n = 证明：{}n X 服从大数定律.证明 ()2ln ln 111224n nnn nn n E X ∞∞--===⋅=∑∑, 为讨论这个级数的收敛性,从对数的底数出发,设4p e =,则ln 41p =>,且有()ln ln 1114n n pp n e == 故有 ln 11114n p n n n∞∞===∑∑收敛,即(){}n E X 存在且有限,同时{}n X 独立同分布,由辛钦大数定律可知,{}n X 服从大数定律.（注：在独立同分布场合,用辛钦大数定律.）2大数定律的应用2.1大数定律在数学分析中的应用 2.1.1 在积分方面的应用求多重积分时,用普通的近似方法往往无法实现,因为这时所需的运算次数是非常惊人的.而用大数定律作理论基础,可获得n 重积分（n 很大时）的近似值.例1 假设()2111,,:,0,,12nn n i n i nG x x x x x =⎧⎫=≤≤≤⎨⎬⎩⎭∑,求其极限解 假设随机变量在[0,1]上有均匀分布,而且相互独立,有()112Var ξ=,2112E ξ= 易见： 1......nn G dx dx ⎰⎰(){}1,,n n P G ξξ=∈221...2n n P ξξ⎧⎫=++≤⎨⎬⎩⎭()22111...2n P nξξ⎧⎫=++≤⎨⎬⎩⎭()2221111...6n P E nξξξ⎧⎫=++-≤⎨⎬⎩⎭2211116n i i P E n ξξ=⎧⎫≥-≤⎨⎬⎩⎭∑由1,...,n ξξ独立同分布,可见221,...,...n ξξ独立同分布.根据辛钦大数定律知：221111lim 16n i n i P E n ξξ→∞=⎧⎫-≤=⎨⎬⎩⎭∑ 从而, 12lim ......1nn G n dx dx dx →∞=⎰⎰例2 计算定积分()baJ g x dx =⎰的近似值．为了解这种近似计算的依据,先进行如下分析： 若令()x ϕ为均匀分布的概率密度函数,即()1a xb x b aϕ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩ 则 ()()()J b a g x x dx ϕ+∞-∞=-⎰而函数g(x)的数学期望E[g(x)]()()g x x dx ϕ+∞-∞=⎰1b a=- 根据大数定律应用(3),可对该数学期望值进行估计,即()11n pi i J g n b aξ=−−→-∑, 样本： ()11n n i i J g x n b a =−−−−→-∑估计较大,故可用 ()()11n i i b a g x J n =-−−−→∑估计这种近似计算的具体过程如下：欲计算定积分()ba J g x dx =⎰的近似值,则应：先取样本数列{}k x →求函数序列()k x →求出()()1ni i g x b a n =-∑,即作为J 的近似值. 2.1.2 证明一致收敛例3 用概率方法证明维尔斯特拉斯[weierstrass]定理.假定f(x)在闭区间[a,b]上是连续的,那么,存在一列多项式()()12,,...,B x B x 一致收敛于函数(),f x [],x a b ∈证明 不妨设a=0,b=1.可以引入新的变量():u x b a u a =-+使[]0,1u ∈这样,假设(),f x []0,1x ∈是连续函数,那么f(x)在[0,1]上是一致连续并且有界 .对于任意的0ε>,[]120,0,1x x ≤∈存在0δ>,使()()122f x f x ε-<,只要12x x ε-<.此外,对于一切 01x ≤≤,有()()f x k ≤常数 现在建立一多项式：()nn B x Ef nξ⎛⎫= ⎪⎝⎭=()01n n m m mn m m f x c x n -=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑其中n ξ服从二项分布,参数为1n ≥,而[]0,1x ∈,显然()()00n B f =,()()11n B f =由伯努利大数定律知： ()lim,nn x P nξ→∞=[]0,1x ∈现在证明()nn B x f nξ⎛⎫= ⎪⎝⎭一致收敛于(),f x []0,1x ∈.由于()011,nn m m mn m x c x -=-=∑ 可见 ()()n B x f x -()()0[]1nn m m mn m m f f x x c x n -=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑由此可得： ()()n B x f x -()()01nn m m mn m m f f x x c x n -=⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭∑()()=1n m m mn mx nm f f x x c x n δ--<⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑()()1n m m mn mx nm f f x x c x n δ--≥⎛⎫+-- ⎪⎝⎭∑()212n mm m n mx nkx c x δε--<<+-∑22n kp x n ξεδ⎧⎫=+-≥⎨⎬⎩⎭由于对任意的[]0,1x ∈,p nx nξ−−→,可见存在N ,使当n N ≥时,4n p x n kξεδ⎧⎫-≥≤⎨⎬⎩⎭ 从而,当n N ≥时,对于一切[]0,1x ∈,有：()()n B x f x -224k kεε<+⋅22εεε=+=即()n B x 关于[]0,1x ∈一致收敛于()f x 2.1.3 在极限中的应用在数学分析中,极限的证明通常也是比较困难的.方法较多,在这里,我们同样可以运用概率的方法,根据所求的极限构造适当的概率模型,利用大数定律证明较为复杂的极限,同样能取得较好的结果.例4 假设()f x 和()g x 是[a,b]上的连续函数,并且满足条件：存在常数c>0,使()()0,f x cg x ≤<[),x a b ∈,试证明：()()111lim 1ni i nn i i f n g n ξξ=→∞=∑∑()()ba b af x dxg x dx=⎰⎰ ()P证 假设123,,,......ξξξ是在[a,b]上均匀分布的独立随机变量,令()11n n i i f n ηξ==∑()11,nn i i g n ξξ==∑ 1n ≥那么由大数定律知：()1pn Ef ηξ−−→()1baf x dx b a =-⎰ , ()1pn Eg ξξ−−→()1bag x dx b a =-⎰ . 现证明：(),nn n nh ηηξξ=依概率收敛于()00,,h y z 其中 ()01y Ef ξ= , ()01z Eg ξ= .由于 ()()0f x g x c>≥ 可见 ()010,z Eg ξ=> 故(),h y z 在点()00,y z 连续：对任意的0ε>,存在0δ>,当0y y δ-<和0z z δ-<时,()()00,,h y z h y z ε-<.因此, ()()11n n Ef P Eg ξηεξξ⎧⎫⎪⎪-<⎨⎬⎪⎪⎩⎭()(){}00,,n n P h h y z ηξε=-<()(){}11,nn P Ef Eg ηξδξξδ≥-<-<(){}(){}111n n P Ef P Eg ηξδξξδ≥--≥--≥由此可见： ()()11lim 1n n n Ef P Eg ξηεξξ→∞⎧⎫⎪⎪-<=⎨⎬⎪⎪⎩⎭ ()()111lim 1n i i n n i i f n g n ξξ=→∞=∑∑()()ba b a f x dx g x dx =⎰⎰ ()P 2.2大数定律在生产生活中的应用大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性,它是随机现象统计规律性的具体表现．因此,大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.2.2.1 误差方面的应用解释测量(随机)误差．根据大数定律,对于随机误差1,......n δδ ,应有110n p i i n δ=−−→∑． 这说明当测量次数较多时,实测数据的平均值11ni i a n δ=+∑和预测真值a 的差值能以很大概率趋于O,因此,用求样本数据平均值的方法来进行测量是可行的．例l 某种仪器测量已知量A 时,设n 次独立得到的测量数据为1,......n x x ,如果仪器无系统误差,问：当n 充分大时,是否可取211()ni i x A n =-∑作为仪器测量误差的方差的近似值?解 把i x 视作n 个独立同分布的随机变量i x (i=1,2,⋯,n)的观察值,则(),i E x μ=()2=1,2...)i Var x i n σ=，(.仪器第i 次测量的误差i x A -的数学期望和方差分别为：(),i E x A A μ-=-()2=1,2...)i Var x A i n σ-=，(设()2i i Y x A =-,i=l,2,⋯,n,则i Y 也相互独立服从同一分布．在仪器无系统误差时,()0,i E x A -=即有=.A μ()()2i i E Y E x A ⎡⎤=-⎣⎦()2i i E x Ex ⎡⎤=-⎣⎦()2i Var x σ==（i=1,2…n ） 由切比雪夫定律,可得：211lim 1n i n i P Y n σε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑ 即 2211lim ()-1n i n i P x A n σε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑ 从而确定,当n →∞时,随机变量211()ni i x A n =-∑依概率收敛于2σ,即当n 充分大时,可以取211()ni i x A n =-∑作为仪器测量误差的方差. 2.2.2 估计数学期望和方差在分布型未知的情况下估计数学期望()E ξ及方差()Var ξ．若ξ及{}k ξ都是随机变量,则有：()11,n p i i E n ξξ=−−→∑ ()2211,n p i i E n ξξ=−−→∑ 样本： 11n n i i X n =−−−−→∑估计较大()211n n i i E X n ξ=−−−−→∑估计较大()2E ξ 221111n n i i i i n n ξξ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑()()22p E E ξξ−−→-⎡⎤⎣⎦()Var ξ= 样本： 221111n n i i i i X X n n ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑()n Var ξ−−−−→估计较大 2.3大数定律在经济中的应用2.3.1 大数定律在保险中的应用大数定律在经济生活中具有非常重要的作用.此定律在有些领域中的作用已经为人们所熟知并且得到极大地应用,如保险业得以存在且不断发展壮大的两大基 石中的一个就是大数定律.大数定律应用在保险学上,就是保险的赔偿遵从大数定律.其含义是：参加某项保险的投保户成千上万,虽然每一户情况各不相同,但对保险公司来说,平均 每户的赔偿金几乎恒等于一个常数.假如某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险,每人每年付12元保险费,在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡时,其家属可向保险公司领得1000元.试问：平均每户支付赔偿金5.9元至6.1元得概率是多少？保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年利润大于4万的概率是多少？设i X 表示保险公司支付给第i 户的赔偿金,则()6,() 5.964.(1,2...10000),i i E X Var X i ===诸i X 相互独立.则100001110000i i X X ==∑表示保险公司平均对每户的赔偿金, ()()46, 5.96410E X Var X -==⨯由中心极限定理知,()26,0.0244X N则 {}5.9 6.1P X <<5.966.160.02450.0245--⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2 4.091=Φ-0.99996=虽然每一家的赔偿金差别很大（有的是0,有的是1000元）,但保险公司平均对每户的支付几乎恒等于6元,在5.9元至6.1元内的概率接近于1,几乎是必然的.所以,对保险公司来说,只关心这个平均数.保险公司亏本,也就是赔偿金额大于1000*120=12万元,即死亡人数大于120人的概率.设死亡人数为Y ,则()10000,0.006,Y B()()60,59.64E Y Var Y ==由中心极限定理,Y 近似服从正态分布()60,59.64N ,那么{}120P Y >{}1120P Y =-≤()17.770=-Φ=这说明,保险公司亏本的概率几乎等于零.甚至我们可以确定赢利低于3万元的概率几乎等于零（即赔偿人数大于90人的概率也几乎等于零）.。