概率论大数定律及其应用

概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用作者：信计1301班王彩云130350119摘要：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。

概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。

概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。

大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。

本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。

关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。

在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。

比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。

偶然之中包含着必然。

从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。

这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。

深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。

概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。

然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。

概率论中的大数定律的解读与应用概率论作为一门重要的数学分支，研究的是随机事件的规律性和不确定性。

在概率论中，大数定律是一条非常重要的定律，它描述了随机事件在重复试验中的长期平均行为。

本文将对大数定律进行解读，并探讨其在实际应用中的意义。

首先，我们来了解一下大数定律的基本概念。

大数定律是指在独立重复试验的条件下，随着试验次数的增加，随机事件的频率将趋于其概率。

换句话说，如果我们进行足够多次的试验，那么事件发生的频率将接近于事件发生的概率。

这个定律的重要性在于它揭示了随机事件的长期规律性，使我们能够对未知的随机事件进行预测和分析。

大数定律有两种主要形式，即辛钦大数定律和伯努利大数定律。

辛钦大数定律又称为弱大数定律，它指出当试验次数趋于无穷大时，随机事件的频率将收敛于其概率。

伯努利大数定律又称为强大数定律，它要求试验序列必须是独立同分布的，并且当试验次数趋于无穷大时，随机事件的频率几乎必定收敛于其概率。

大数定律在实际应用中有着广泛的意义和应用价值。

首先，大数定律提供了一种有效的方法来估计随机事件的概率。

通过进行足够多次的试验，我们可以计算事件发生的频率，并将其作为事件概率的估计值。

这种方法在统计学中被广泛应用，可以用来估计样本的均值、方差等参数。

其次，大数定律在风险管理和金融领域中也有着重要的应用。

在金融市场中，价格的波动和变动往往是随机的，无法准确预测。

然而，通过大数定律，我们可以根据历史数据和试验结果，对未来的价格走势进行一定程度的预测和分析。

这对于投资者和风险管理者来说，具有重要的参考价值。

此外，大数定律还可以用来解释一些看似随机的现象。

例如，赌场中的赌博游戏，尽管每一局都是随机的，但通过进行足够多的试验，我们可以发现赌场总是能够赚取利润。

这是因为赌场利用了大数定律，确保了长期的盈利。

类似地，大数定律也可以解释为什么在大规模的抽奖活动中，中奖者总是符合一定的概率分布。

总之，概率论中的大数定律是一条重要的定律，它揭示了随机事件的长期规律性。

四种大数定律一、大数定律简介大数定律是概率论的基本定理之一，用于描述当随机试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于一个确定的数值。

大数定律在很多领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。

下面将介绍四种常见的大数定律。

二、辛钦定律辛钦定律是大数定律的一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的绝对值超过一个常数时，其频率趋于无穷时，事件发生的概率趋于零。

这个定律的应用非常广泛，例如在赌场中，当一个人连续多次下注时，他的输赢金额会趋向于一个常数。

三、伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在相互独立的重复试验中，当试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于其概率。

例如在抛硬币的实验中，当抛硬币次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将接近0.5。

四、中心极限定理中心极限定理是大数定律的又一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的标准化差异趋近于一个正态分布时，频率趋于无穷时，随机事件的分布将趋于正态分布。

这个定理在统计学中有广泛的应用，例如在抽样调查中，样本均值的分布将趋于正态分布。

五、泊松大数定律泊松大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在独立随机事件发生的频率固定的条件下，当试验次数趋于无穷时，事件发生的频率会趋于一个常数。

这个定律在队列论、信号处理等领域有广泛的应用，例如在电话交换系统中，电话呼叫的到达率和服务率满足一定条件时，系统中正在服务的电话数的平均值将趋于一个常数。

六、总结大数定律是概率论中的重要定理，用于描述随机事件发生的频率趋于一个确定值的现象。

本文介绍了四种常见的大数定律，包括辛钦定律、伯努利大数定律、中心极限定理和泊松大数定律。

这些定律在不同领域有广泛的应用，如赌场、统计学、经济学等。

了解和应用大数定律可以帮助我们更好地理解和分析随机事件的发生规律，对于决策和预测具有重要的参考价值。

概率与统计中的大数定律与中心极限定理的应用概率与统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象的规律性，并通过数学模型来描述和分析这些现象。

在概率与统计的理论中，大数定律和中心极限定理是两个基本定理，在实际应用中具有广泛的意义和重要性。

一、大数定律的应用大数定律是概率论中的一个重要定理，它描述了大样本下随机现象的平均值趋于期望值的稳定性。

具体而言，大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两种形式。

在实际应用中，大数定律被广泛运用于统计学、经济学、生物学等领域。

以统计学为例，当我们对一个总体进行抽样调查时，根据大数定律可以知道，样本的平均值会趋于总体的平均值。

通过对样本数据的分析，可以推断和预测总体的特征。

另外，大数定律还可以用于对概率分布进行估计。

例如，在投掷硬币的实验中，我们可以统计投掷n次后正面朝上的频率，根据大数定律可以得到正面出现的概率接近0.5。

二、中心极限定理的应用中心极限定理是概率论中的另一个经典定理，它描述了独立随机变量和的和的分布在一定条件下逼近正态分布。

中心极限定理不仅在理论中有重要意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用。

在实际应用中，中心极限定理可以用来估计总体的分布以及参数。

例如，在企业的市场调研中，我们可以通过对一定数量的样本进行调查，根据中心极限定理对总体的特征进行估计。

这对于制定营销策略、定价和产品开发等具有重要意义。

此外，中心极限定理还被广泛应用于信号处理、通信工程、金融学等领域。

以信号处理为例，当我们对信号进行采样和处理时，根据中心极限定理可以知道，经过处理后的信号近似服从正态分布，这对于信号的分析和处理具有指导意义。

总结起来，概率与统计中的大数定律和中心极限定理是两个基本定理，在实际应用中具有重要的意义和价值。

大数定律揭示了大样本下随机现象的规律性，可以用于参数估计和预测；中心极限定理描述了独立随机变量和的和的分布的特性，在总体分布的估计和分析中具有重要作用。

对于从事概率与统计相关工作的人员来说，熟练掌握大数定律和中心极限定理的应用，能够更好地理解和解决实际问题。

大数定律在概率论中的应用概率论是数学的一个重要分支，它研究的是随机现象和概率规律。

在概率论的发展过程中，大数定律是一个十分重要的概念。

大数定律指出，当试验次数足够多时，随机事件的频率将接近于其概率。

本文将重点探讨大数定律在概率论中的应用，并展示它在实际问题中的重要性。

一、大数定律概述大数定律是概率论的核心内容之一，它主要研究随机试验次数足够多时，事件发生频率的稳定性。

大数定律包括弱大数定律和强大数定律两类，其中弱大数定律是指事件发生频率的期望值可以逼近其概率值，而强大数定律则是指事件发生频率的几乎必然收敛于其概率值。

二、大数定律的应用1. 投资收益率大数定律在金融领域中有广泛的应用。

比如，当投资者进行大量投资时，根据大数定律，投资收益率的均值将逐渐接近投资组合的期望收益率。

这对于评估投资风险和预测未来收益具有重要意义。

2. 统计调查在统计调查中，大数定律可以保证样本的代表性和可信度。

通过采集足够多的样本，可以使样本统计量接近总体参数，从而得到对总体的准确推断。

这在社会调查、市场研究等领域中具有重要应用价值。

3. 数字模拟数字模拟是一种通过计算机模拟随机实验的方法，用于分析复杂系统的行为。

大数定律在数字模拟中扮演着重要的角色，通过大量的模拟实验，可以得到收敛准确的近似解。

这在工程设计、风险评估等领域中被广泛使用。

4. 股票市场分析大数定律在股票市场分析中有着重要的应用。

通过分析历史数据并进行足够多的交易，可以根据大数定律，得到股票价格的趋势和波动范围，从而指导投资决策。

5. 生物统计学在生物统计学中，大数定律可用于描述生物学实验结果的稳定性。

通过重复实验并取得足够多的样本，可以保证实验结果的可靠性，为疾病治疗、药品研发等提供科学依据。

三、大数定律的重要性大数定律在概率论中的应用广泛且重要。

它为我们理解和分析随机事件提供了可靠的数学基础，有助于我们从大量试验中总结规律，并为实际问题的解决提供准确的依据。

概率论大数定律一、引言概率论大数定律是概率论中的重要理论之一，它描述了在独立随机变量序列的情况下，随着样本数量的增加，样本均值趋向于总体均值的现象。

本文将对概率论大数定律进行深入探讨，并介绍其应用。

二、大数定律的历史背景大数定律最早可以追溯到17世纪的拉普拉斯和伯努利，他们通过模拟实验观察到了大数定律的现象。

之后，克拉美导数、切比雪夫和伯努利等数学家对大数定律进行了进一步的研究和证明。

三、大数定律的表述大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两种形式。

3.1 弱大数定律弱大数定律又称为大数定律的矛盾形式，它表述了当样本数量趋向于无穷大时，样本均值与总体均值之间的差异趋向于零。

数学表达式如下：P(|X n−μ|<ε)=1limn→∞其中，X n表示样本均值，μ表示总体均值，ε表示一个足够小的正数。

3.2 强大数定律强大数定律表述了当样本数量趋向于无穷大时，样本均值几乎必然等于总体均值。

数学表达式如下：P(limX n=μ)=1n→∞四、大数定律的证明大数定律的证明可以通过数学推导和概率论方法进行。

4.1 切比雪夫不等式的应用切比雪夫不等式是大数定律证明中常用的工具之一。

它将样本均值与总体均值之间的差异与样本数量的关系联系起来，从而得出大数定律的结论。

4.2 独立随机变量序列的性质大数定律的证明需要利用独立随机变量序列的性质。

独立性保证了样本观测之间的相互独立性，使得样本均值可以准确地逼近总体均值。

4.3 极限定理的应用极限定理是大数定律证明的另一个重要工具。

通过使用中心极限定理和大数定律的关系，可以推导出大数定律的结论。

五、大数定律的应用大数定律在概率论和统计学中有着广泛的应用，它能够帮助我们理解和解释实验结果的规律性。

5.1 抽样理论大数定律为抽样理论提供了坚实的理论基础。

它告诉我们，通过抽取足够数量的样本，可以准确地估计总体的特征。

5.2 统计推断大数定律在统计推断中扮演着重要的角色。

通过大数定律，我们可以通过样本均值来推断总体均值，从而做出关于总体的统计推断。

概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用作者：信计1301班王彩云 130350119摘要：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。

概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。

概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。

大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。

本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。

关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。

在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。

比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。

偶然之中包含着必然。

从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。

这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。

深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。

概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。

然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。

大数定律和中心极限定理的证明及应用大数定律和中心极限定理是概率论中的两个重要定理，它们在实际应用中具有重要的作用。

随着21世纪的到来，计算机科学的发展和人工智能技术的不断突破，这些定理在数据分析、机器学习等领域中的应用也越来越广泛。

大数定律是概率论中的一条非常重要的定理，它描述了重复实验的结果会越来越接近于总体的平均值。

具体而言，如果我们对某个随机事件进行了N次实验，并对N个数据点求平均值，那么这个平均值在N变得越来越大时，会趋近于总体的期望值。

在实际中，大数定律可以用于各种数字数据的分析。

例如，我们可以在股市交易中使用大数定律，以预测股市的长期结果。

我们可以通过对每天的股票价格进行记录并验证大数定律是否成立，从而得到预测指数。

另外，在物理学中，大数定律也有重要的应用。

例如，我们可以使用大数定律来确定大量粒子的平均位置。

这种方法可以在许多物理领域中找到应用，如计算电磁场的平均值。

大数定律的证明比较复杂。

一种常用的证明方法是通过上极限和下极限来证明。

上极限和下极限分别代表了随着实验次数增加，平均值逐渐趋向于总体期望值的上限和下限。

根据大数定律的规定，这两个极限应该相等。

证明的核心是要建立一个独立的同分布序列，通过样本与总体一致性的性质，尽可能接近于总体。

中心极限定理是另一个与大数定律相关联的概率论定理。

它描述了当N次独立实验的结果之和趋近于一个标准正态分布时，经过N次标准化后的分布会趋向于一个正态分布。

中心极限定理在实际中的应用非常广泛。

例如，在医学研究中，我们可以使用中心极限定理来估计医疗样本的均值和标准偏差。

我们还可以使用该定理来评估航空公司的航班订购量。

通过使用中心极限定理来计算航班预订量的分布，我们就可以确定需要多少飞机来完成航班任务。

与大数定律的证明相比，中心极限定理的证明相对简单。

它使用了矩母函数和生成函数等概率论方法，通过对傅里叶变换的应用，将一些信息从时域转移到了频域，实现了由多个随机事件的组合到高斯分布的转化。

学号：20100401179信阳师范学院华锐学院本科毕业论文系数学与计算机科学专业数学与应用数学年级2010级姓名潘方方论文题目全概率公式在实际问题中的应用指导教师任园园职称讲师2014年5月6日目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key Words (1)前言 (1)1.全概率公式 (2)1.1全概率公式 (2)1.2 Bayes公式 (2)1.3全概率公式的内涵剖析 (3)2.全概率公式在实际中的应用 (3)2.1在摸彩模型下的应用 (3)2.2在医疗领域中的应用 (4)2.3在敏感问题调查中的应用 (5)2.4在抽检次品类型问题中的应用 (5)2.5在商品销售问题中的应用 (6)2.6 在系统可靠性问题中的应用 (7)2.7在生物研究中的应用 (8)3.小结 (9)参考文献 (11)致谢词 (12)全概率公式在实际问题中的应用学生姓名：潘方方学号：20100401179数学与计算机科学系数学与应用数学专业指导教师：任园园职称：讲师摘要：在概率论中，概率计算是一个重要的问题.而全概率公式是概率计算中应用较多的公式之一.本文介绍了全概率公式的定义及内涵，并给出了它在摸彩模型、医疗领域、敏感问题调查、抽检次品、商品销售、系统可靠性、生物研究等问题中的应用.关键词：概率计算；全概率公式；应用Abstract：In probability theory, probability calculation is an important question. The total probability formula is one of the more formula used in the calculation of probability. In this article, we describe the definition and connotation of the total probability formula and give its application in the lucky model, the medical field, sensitive issues survey, sampling defective, merchandise sales, system reliability, biological research and so on.Key Words：Probability calculation; The total probability formula; Applications前言概率论的基本概念是学习概率论的基础，其中心任务是阐明概率的意义和概率统计的重要法则.乘法公式、全概率公式和Bayes公式等反映了解决问题的正确思路，同时也体现了互不相容、独立和条件概率等重要概念的应用.而全概率公式作为概率论中的一个重要公式，它的基本思想就是把一个复杂的事件分解为若干个互不相容的简单事件，再通过分别计算这些简单事件的概率，最后利用概率的可加性得到最终结果.它为我们计算复杂事件的概率提供了一条简单有效的途径.全概率公式的提出，不仅推动了概率学的发展，也在学科和实际应用中起着重要的作用．随着概率论的不断发展，全概率公式也越来越广泛地应用于各个领域，成为实际生活中不可缺少的基本理论.本文首先介绍了全概率公式的定义及内涵，其次给出了全概率公式在摸彩模型、医疗领域、敏感问题调查、抽检次品、商品销售、系统可靠性、生物研究等问题中的应用,灵活使用全概率公式会给我们的解题带来很大的便利，是我们解决复杂问题的有效工具.1.全概率公式1.1全概率公式定义1.1.1 设n B B B ,,,21 为样本空间Ω的一个分割，即12,,,n B B B 互不相容，且1ni i B ==Ω ，如果()n i B P i ,,2,1,0 =>，则对任一事件A 有()()()i ni i B A P B P A P ∑==1.证明 因为()11n ni i i i A A A B AB ==⎛⎫=Ω== ⎪⎝⎭ 且12,,,n AB AB AB 互不相容,所以由可加性得()()()11n ni i i i P A P AB P AB ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑ ，再将()()(),1,2,,i i i P AB P B P A B i n == ，代入上式即可得到()()()i ni i B A P B P A P ∑==1.如果事件12,,,n B B B 互不相容，且1ni i B ==Ω ，则称12,,,n B B B 是完备事件组.这时()()()i ni i B A P B P A P ∑==1对任何事件A 成立.B 和B 总构成完备事件组，所以()()()()()P A P B P A B P B P A B =+.这是一个最常用的公式. 1.2 Bayes 公式定义1.2.1 设12,,,n B B B 是样本空间Ω的一个分割，即12,,,n B B B 互不相容，且1ni i B ==Ω ，如果()0P A >，()0i P B >，1,2,,i n = ，则()()()()i i i P B P A B P B A P A =.若将它与全概率公式结合起来, 就是Bayes 公式的以下的常用形式()()()()()1i i i njjj P B P A B P B A P B P A B ==∑,1,2,,i n = .一般求解概率问题都是在试验之前进行的，其结论也称为“先验概率”，而实际应用中人们往往想要得知在“结果”发生的情况下，“原因”发生的可能性大小，也就是“后验概率”.而事实上Bayes 公式就是计算后验概率的公式.利用Bayes 公式可求得后验概率并以此对先验概率进行修正.这种方法在经济分析、药物临床检验、投资等各种领域有很大的实用价值. 1.3全概率公式的内涵剖析从公式()()()i ni i B A P B P A P ∑==1中可以悟出：“全”部概率()P A 被分解成许多部分之和.它的理论和实际意义在于：在比较复杂的情况下直接算()P A 不易，但A 总是伴随着某个i B 出现，适当去构造这一组i B 往往可以简化计算.这一公式也可以从另一个角度去理解，把i B 看成导致事件A 发生的一种可能途径.对不同途径，A 发生的概率即条件概率()P A B 可能各不相同，而采取哪个途径却是随机的.直观上可理解为：在这种机制下，A 的综合概率()P A 应在最小的()i P A B 和最大的()i P A B 之间，它也不一定是所有()P A B 的算术平均，因为各途径被使用的机会()i P B 各不相同，正确的答案如所预期，应是各个()i P A B ，1,2,,i n = ，以()i P B ，1,2,,i n = 为权的加权平均值.一个形象的例子如下：某中学有若干个毕业班，各班升学率不同.其总升学率是各班升学率的加权平均，其权与各班学生数成比例.2.全概率公式在实际中的应用2.1在摸彩模型下的应用例1 设在n 张彩票中有一张奖券，求第二人摸到奖券的概率是多少？解 设i A 表示事件“第i 人摸到奖券”，1,2,,i n = .现在目的是求()2P A .因为1A 是否发生直接关系到2A 发生的概率，即()()212110,1P A A P A A n ==-. 而1A 与1A 是两个概率大于0的事件：()()1111,n P A P A n n-==. 于是由全概率公式得()()()()()2121121111101n P A P A P A A P A P A A n n n n -=+=⋅+⋅=-.这表明：摸到奖券的机会与先后次序无关.因后者可能处于“不利状况”（前者已摸到奖券），但也可能处于“有利状况”（前者没有摸到奖券，从而增加后者摸到奖券的机会），两种状况用全概率公式综合（加权平均）所得结果（机会均等）即全面又合情理. 用类似的方法可得()()()341n P A P A P A n====. 如果设n 张彩票中有()k n ≤张奖券，则()()()12n k P A P A P A n====. 这说明购买彩票时，不论先买后买，中奖机会是均等的. 2.2在医疗领域中的应用例2 假设有1,2,3,4四个地区爆发了某种传染病，通过对患病人口分布和地理环境调研后发现四个地区感染此病的概率分别为1111,,,6543，现从这四个地区中随机找到一个人，那么此人患病的概率是多少？解 令{}{}A B i ==此人患病，此人来自地区,1,2,3,4i =,由题意可知()()()()123414P B P B P B P B ====，()()()()12341111,,,6543P A B P A B P A B P A B ====.因此由全概率公式得()()()41i i i P A P B P A B ==∑11111111194645444380=⨯+⨯+⨯+⨯=.所以此人患病的概率为1980. 2.3在敏感问题调查中的应用例3 在调查家庭暴力（或婚外恋、服用兴奋剂、吸毒等敏感问题）所占家庭的比例p 时，被调查者往往不愿回答真相，这就使得调查结果失真.为得到实际的p 同时又不侵犯个人隐私，调查人员在袋中放入比例是0p 的红球和比例是001q p =-的白球.被调查者在袋中任取一球窥视后放回，并承诺取到红球就讲真话，取到白球就讲假话.被调查者只需在匿名调查表中选“是”（有家庭暴力）或“否”，然后将表放入投票箱.没人知道被调查者是否讲真话和回答的是什么.如果每个家庭回答“是”的概率是1p ，求p .解 对任选的一个家庭，用B 表示回答“是”，用A 表示取到红球.利用全概率公式得到()()()()()1p P B P B A P A P B A P A ==+ ()001pp p q =+- ()000q p q p =+-. 于是只要00p q ≠，则1000p q p p q -=-. 实际问题中，1p 是未知的，需要经过调查得到.假定调查了n 个家庭，其中有k 个家庭回答“是”，则可以用1ˆkpn=估计1p ，于是可用1000ˆˆp q pp q -=-估计p .其中00p q -越大，得到的结论越可靠.但是00p q -越大，调查方案越不易被调查者接受.2.4在抽检次品类型问题中的应用例4 要验收一批乐器共100件，从中随机取出3件测试，且3件乐器的测试是互相独立的.如果3件中任意一件音乐不纯，则拒绝接受这批乐器.设一件音色不纯的乐器经测试被查出来的概率为0.95，而一件音色纯的乐器经测试被认为不纯的概率为0.01，如果这100件乐器中有4件音色不纯，求这批乐器被接受的概率. 解 设事件i A 为“3件乐器中有i 件音色不纯”()0,1,2,3i =，事件B 为“这批乐器被接受”.0123,,,A A A A 构成完备事件组，要考察B 出现的概率，需要考虑各个i A ()0,1,2,3i =出现的情况下B 的条件概率.由全概率公式，得()()()30i i i P B P A P B A ==∑.由题设知，事件i A 的概率()()349631000,1,2,3i i i C C P A i C -==.事件{}i B A 的含义是：在3件乐器中有i 件音色不纯的情况下这批乐器被接受.这意味着：i 件音色不纯的乐器都查不出来，而()3i -件音色纯的乐器也都不能被误认为不纯，又因为3件乐器的测试是相互独立的，所以()()()()3310.9510.010.050.99iiii i P B A --=-⨯-=⨯ ()0,1,2,3i =，代入上式，得()()()333496301000.050.990.8629i ii ii C C P B C --==⨯⨯=∑.2.5在商品销售问题中的应用例5 假设某段时间内来百货公司的顾客数服从参数为λ的Poisson 分布，而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率为p ，且顾客之间是否购买电视机的事件互相独立，试求这段时间内百货公司售出k 台电视机的概率.解 设k A 表示出售电视机k 台，i B 表示来到百货公司的顾客数为i 人，则(),0,1,2,!ii P B e i i λλ-== ,()()0,0,1,2,,1,1,,1,.i kk i k k ii k P A B C P p i k k -=-⎧⎪=⎨-=+⎪⎩所以，由全概率公式得()()()0k i k i i P A P B P A B +∞==∑()1!ii kk kii kC p p e i λλ+∞--==-∑()()!1!!!ii k ki k i p p e k i k i λλ+∞--==--∑()()()1!!i kki kp p e k i k λλλ-+∞-=-⎡⎤⎣⎦=-∑()()0,1,2,!kpp e k k λλ-== .说明百货公司所售出的电视机数仍服从Poisson 分布，参数为p λ. 2.6 在系统可靠性问题中的应用例6 元件能正常工作的概率称为该元件的可靠性，由多个元件构成的系统能正常工作的概率称为该系统的可靠性.设如图所示（见图1）系统中各元件正常工作的概率均为p ()01p <<，且各元件正常工作与否相互独立，求下列各系统正常工作的概率.图1：由元件组成的工作系统解 （1）设系统KL 正常工作的概率为KL p ，因为要是系统KL 正常工作，两条串联线路必须至少有一条正常工作，而第一条串联线路正常工作的概率为n p ，不正常工作的概率为1n p -，两条串联线路都不正常工作的概率为()21n p -，因为KLp等于不是两条串联线路都不正常工作的概率，即()()2112n n n KL p p p p =--=-.（2）类似（1），设系统MN 正常工作的概率为MN p ，则()()2112nnn MNp p p p ⎡⎤=--=-⎣⎦. 显然，当1n >时，有MN KL p p >.（3）设系统RS 正常工作的概率为RS p ，以,,,,A B C D E 表示相应元件正常工作，并设事件W 为“系统RS 正常工作”.方法一 因,,,AD ACE BE BCD 4条线路至少有一条正常工作，系统RS 就正常工作，再由加法公式得()RS p P AD ACE BE BCD =()()()()()P AD P ACE P BE P BCD P ACDE =+++-- ()()()()P ADBE P ADBC P ACEB P ACEBD ---- ()()()P BECD P ADCEB P ABCED +++()2P ABCDE 23452252p p p p =+-+. 方法二 由全概率公式和（1）、（2），得()()()()()RS p P W P C P W C P C P W C ==+()()()2222212p p p p p p =⋅-+-⋅-23452252p p p p =+-+.从上面的解题步骤我们可以看出，如果使用通常的解答方法的话，在遇到样本空间庞大，数据复杂的事件时是十分费时费力的.而用全概率公式的话就是非常简洁明了.2.7在生物研究中的应用例7 某实验室在器皿中繁殖成k 个细菌的概率为,0,0,1,2,!kk p e k k λλλ-=>= ,并设所繁殖成的每个细菌为甲类菌或乙类菌的概率相等.求下列事件的概率： （1）器皿中所繁殖的全部是甲类菌； （2）已知全是甲类菌，求恰好有2个甲类菌； （3）求所繁殖的细菌中有i 个甲类菌.解 以事件A 表示“繁殖的细菌全是甲类菌”，k B 表示“繁殖了k 个细菌”，0,1,2,k = ,i A 表示“所繁殖的细菌中有i 个甲类菌”，0,1,2,i = .（1）由全概率公式得()()()12111(1)!2kkk k k k P A P B P A B e e e k λλλλ∞∞--==⎛⎫===- ⎪⎝⎭∑∑.（2）()()()()222222112212!2(1)8(1)e P B P A B P B A P A e e e λλλλλλ--⎛⎫⎪⎝⎭===--. （3）由题意得()()11,!222ik ikk i i k i k k k e i P B P A B C C k λλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由全概率公式得()()()i k i k k iP A P B P A B ∞==∑1!2kkikk ie C k λλ∞-=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑()!!!!2kk ik e k i k i λλ∞-=⎛⎫= ⎪-⎝⎭∑()12!2!k ii k i e i k i λλλ-∞-=⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪-⎝⎭∑ 122!ie i λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭= ()1,2,i = .3.小结本文对全概率公式的定义、内涵及在部分领域的应用做了简单的阐述，仅此就可以看到全概率公式在实际应用中的重要性.事实上这是由全概率公式的思想方法决定的.全概率公式的精髓之处就在于将事件分割，化繁为简、化难为易.因此我们在解答实际问题时只要遇到事件构成复杂、数据量庞大的问题时就可以考虑使用全概率公式及其推广，即使有的问题不能够使用全概率公式,我们也可以利用其思想对问题进行分析研究并求解.全概率公式在以后的科学技术领域、工农业生产及国民经济各部门中会有更加广泛的应用.如保险业务；气象、地震报告；产品的抽样检验；研发新产品中的寻求最佳生产方案；在可靠性工程中进行器件和装置使用可靠性程度和平均寿命的估算等.我们要在熟练掌握基本理论和基本方法的前提下，理论联系实际，不断提高自己分析问题和解决问题的能力.参考文献：[1] 林正炎，苏中根.概率论.[M].杭州：浙江大学出版社，2001.8.[2] 茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程.[M].北京：高等教育出版社，2011.2（2012.5重印）.[3] 顾晓青.全概率公式的应用.[J].沧州师范专科学校学报，2000.6,第16卷,第3期.[4] 陈希孺.概率论与数理统计.[M].合肥：中国科学技术大学出版社，1992.5（2007.8重印）.[5] 王明慈，沈恒范.概率论与数理统计.[M].北京：高等教育出版社，1999（2002重印）.[6] 马晓丽，张亮.全概率公式的推广及其在保险中的应用.[J].高等数学研究，2010.6，第13卷，第1期.[7] 符方健.全概率公式及其应用技巧.[J].高等数学研究，2011.3,第14卷第2期.[8] 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