大数定律及中心极限定理 应用题

大数定律与中心极限定理 应用题1． 设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为0.5kg ，标准差为 0.1kg, 问（ 1）5000 只零件的总质量超过 2510kg 的概率是多少？ (2)如果用一辆载重汽车运输这 5000 只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于 0.975？解 设第 i 只零件重为 X i ， i1,2,...,500 ，则 EX i 0.5 ， DX i 0.125 0 0设XX i ，则 X 是这些零件的总重量i1EX0.5 50002500 ， DX0.125000 50a由中心极限定理X 2500~ N (0, 1)50（1） P(X2510) = P( X 2500 2510 2500 )50501 0 (1 0.9213=0.0787 2 ) =(2) 设 汽车载重量为 a 吨P( Xa) = P(X2500 a 2500 )0 (a 2500) 0.95505050查表得a2500 1.6450计算得 a 2511.59因此汽车载重量不能低于 2512 公斤 2． 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m ，先从这批木柱中随机的取 100 根，求其中至少有 30 根短于 3m 的概率？ 解设 X 是长度小于 3m 的木柱根数，则 X ~ b(100, 0.2)a由中心极限定理X ~ N (20, 16)P( X30) =P(X20 30 20)161610 (2.5) =1 0.9938 =0.00623． 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种蛋糕的价格是随机变量，它取 1 元， 1.2 元， 1.5 元的概率分别为 0.3， 0.2，0.5.若售出 300 只蛋糕，（1）求收入至少 400 元的概率 （2）售价为 1.2 元蛋糕售出多于 60 只的概率。

解 设第 i 只蛋糕的价格为 X i ， i 1,2,...,300 ，则 X i 有分布律：X i1 1.2 1.5P0.30.20．5由此得E( X i ) 1.29E( X i 2 ) 1.713故 D( X i )EX i 2( EX i )20.0489300（ 1） 设 X 是这一天的总收入，则 XX ii 1300EXEX i300 1.29i 1300DXDX i300 0.0489i 1a由中心极限定理X ~ N(300 1.29, 300 0.0489)P( X400) = P(X300 1.29 400 300 1.29)300 0.0489300 0.04891 0 (3.39) =1 0.9997 =0.0003（ 2） 以 Y 记 300 只蛋糕中售价为 1.2 元的蛋糕只数，于是 Y ~ b(300,0.2)Y 300 0.2 a~ N ( 0,1)300 0.2 0.8P(Y 60) = PY 300 0.2 60 6010 (0) 0.53000.2 0.8484.设某种商品第 n 天的价格为 Yn ，令 Xn=Yn+1-Yn ，Xn 独立同分布， 且 Xn 期望是 0，方差是 2，若该商品第一天价格是 100，则第 19 天价格在 96 到 104 之间的概率是多少？解：X 1 Y 2 Y 1， X 2 Y 3 Y 2，X 3 Y 4 Y 3，X n Y n 1 Yn18所以X n Y19Y1Y19100n1181818E X n0 ， D X n DX n36n 1n 1n 1由中心极限定理，P 96Y19104P Y19100418181818X n E X n4= P X n E X n4P n1n 166n 1n 1221=0.497235.（ 10）一枚均匀硬币至少要抛多少次，才能使正面出现的频率与概率之间的差的绝对值不小于 0.05 的概率不超过 0.01？请分别用（1）切比雪夫不等式，与（2）中心极限定理给出估计。

概率与数理统计第5章大数定律及中心极限定理习题及答案第一篇：概率与数理统计第5章大数定律及中心极限定理习题及答案第 5 章大数定律与中心极限定理一、填空题：1.设随机变量{ EMBED Equation.3 |E(ξ)=μ，方差，则由切比雪夫不等式有.2.设是n个相互独立同分布的随机变量，对于，写出所满足的切彼雪夫不等式，并估计.3.设随机变量相互独立且同分布, 而且有, , 令, 则对任意给定的, 由切比雪夫不等式直接可得.解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量满足：与都存在, 则对任意给定的, 有 , 或者由于随机变量相互独立且同分布, 而且有所以4.设随机变量X满足：, 则由切比雪夫不等式, 有.解：切比雪夫不等式为：设随机变量X满足, 则对任意的, 有由此得5、设随机变量，则.6、设为相互独立的随机变量序列，且服从参数为的泊松分布，则.7、设表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，是事件A在每次试验中出现的概率，则.8.设随机变量, 服从二项分布, 其中, 那么, 对于任一实数x, 有0.9.设为随机变量序列,为常数, 则依概率收敛于是指1 ,或 0。

10.设供电站电网有100盏电灯, 夜晚每盏灯开灯的概率皆为0.8.假设每盏灯开关是相互独立的, 若随机变量X为100盏灯中开着的灯数, 则由切比雪夫不等式估计, X落在75至85之间的概率不小于.解：, 于是二．计算题：1、在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A发生的次数在450至550次之间的概率.解：设表示1000次独立试验中事件A发生的次数，则2、一通信系统拥有50台相互独立起作用的交换机.在系统运行期间, 每台交换机能清晰接受信号的概率为0.90.系统正常工作时, 要求能清晰接受信号的交换机至少45台.求该通信系统能正常工作的概率.解：设X表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数, 则由此 P(通信系统能正常工作)3、某微机系统有120个终端, 每个终端有5%的时间在使用, 若各终端使用与否是相互独立的, 试求有不少于10个终端在使用的概率.解：某时刻所使用的终端数7 由棣莫弗－拉普拉斯定理知4、某校共有4900个学生, 已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1, 问阅览室要准备多少个座位, 才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位.解：设去阅览室学习的人数为, 要准备k个座位.查分布表可得要准备539个座位,才能以99%的概率保证每个去阅览室学习的学生都有座位.5．随机地掷六颗骰子，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9且不超过33点的概率。

1．[一] 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。

解：设第i 只寿命为X i ，（1≤i ≤16），故E (X i )=100，D (X i )=1002(l=1,2,…,16).依本章定理1知÷÷÷÷÷øöçççççèæ£-=÷÷÷÷÷øöçççççèæ´-£´-=£ååå===8.040016001001616001920100161600)1920(1616161i i i i i i X P X P X P.7881.0)8.0(=F =从而.2119.07881.01)1920(1)1920(161161=-=£-=>åå==i ii iXP XP3．[三] 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 解：（1）设取整误差为X i （L ,2,1=i ，1500），它们都在（－0.5, 0.5）上服从均匀分布。

于是： 025.05.0)(=+-==p X E i 12112)]5.0(5.0[)(2=--=i X D18.111251211500)(,0)(==´==i i X nD X nE þýüîí죣--=ïþïýüïîïíì£-=ïþïýüïîïíì>ååå===1515115115150011500115000i i i i i i X P X P X P ïïþïïýüïïîïïí죣--=å=18.111518.1118.1115115001i i X P1802.0]9099.01[2)]34.1(1[2)]34.1()34.1([1=-´=F -=-F -F -=8．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。

5.第五章：⼤数定律与中⼼极限定理第五章练习题１.⼀复杂的系统由100个相互独⽴起作⽤的部件所组成,在整个运⾏期间每个部件损坏的概率为0.10,为了使整个系统起作⽤,⾄少必须有85个部件正常⼯作,求整个系统起作⽤的概率.2.⼀复杂的系统由n个相互独⽴起作⽤的部件所组成,每个部件的可靠性为0.90,且必须⾄少有80%的部件⼯作才能使整个系统正常⼯作,问n⾄少为多⼤时才能使系统的可靠性不低于0.95?3.对敌⼈的防御地段⽤炮⽕进⾏100次射击,每次射击的炮弹命中数的数学期望为2,均⽅差为1.5,求当射击100次时有180颗到220颗炮弹命中⽬标的概率的近似值.(已知(1.33)=0.9082, (1.5)=0.9332,(2)=0.9772).4.某种电⼦元件使⽤寿命服从λ=0.1（单位（⼩时）的指数分布.⼀个元件损坏后,第⼆个接着使⽤.求100个这类元件总计使⽤时间超过900⼩时的概率.5.设某车间有200台同型机床，⼯作时每台车床60%的时间在开动, 每台开动时耗电1千⽡.问应供给该车间多少千⽡电⼒才能有0.999的把握保证正常⽣产？6.⽤切⽐雪夫不等式确定，当掷⼀均匀铜币时，需投多少次，才能保证正⾯出现的频率在0.4与0.6之间的概率不⼩于90%？并⽤正态逼近计算同⼀问题。

7.某公司有200名员⼯参加⼀种资格证书考试，按往年经验，该考试通过率为0.8.试⽤中⼼极限定理计算这200名员⼯⾄少有150⼈通过考试的概率.8.欲测量两地之间的距离,限于测量⼯具,将其分成1200段进⾏测量.设每段测量误差(单位:千⽶)相互独⽴,且均服从区间(-0.5,0.5)上的均匀分布,试求总距离测量误差的绝对值不超过20千⽶的概率.（⽤中⼼极限定理）9.某宿舍有学⽣900⼈,每⼈在傍晚⼤约有10%的时间要占⽤⼀个⽔龙头,设每⼈需⽤⽔龙头与否是相互独⽴的,问该宿舍⾄少需要安装多少⽔龙头,才能以95%以上的概率保证⽤⽔需要.(已知(1.645) = 0.95, (1.28) = 0.90,(1.96)=0.975).10.已知⼀本书有500页，每⼀页的印刷错误的个数服从泊松分布P(0.2).各页有没有错误是相互独⽴的，求这本书的错误个数多于88个的概率.11.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表⽰在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.求被盗索赔户不⼩于14户且不多于30户的概率近似值.(利⽤棣莫弗--拉普拉斯定理近似计算.)12.某品牌家电三年内发⽣故障的概率为0.2,且各家电质量相互独⽴.某代理商发售了⼀批此品牌家电,三年到期时进⾏跟踪调查：（1）抽查了四个家电⽤户,求⾄多只有⼀台家电发⽣故障的概率；（2）抽查了100个家电⽤户,求发⽣故障的家电数不⼩于25的概率((2)利⽤棣莫弗--拉普拉斯定理近似计算.)证明题1. 利⽤中⼼极限定理证明:2.设随机变量X～f(x)=,其中n为正整数.证明：P{0＜x＜2(n+1)}≥如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

第四章 大数定理与中心极限定理典型题解1．计算器在进行时，将每个加数舍入，最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在)5.0,5.0(-上服从均匀分布，将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？解 设第k 个加数的舍入误差为),1500,,2,1( =k X k 已k X 在)5.0,5.0(-上服从均匀分布，故知121)(,0)(==k k X D X E ．记∑==15001k k X X ，由中心极限定理，当n 充分 时有近似公式)(}121150001500{x x X P Φ≈≤⨯-，于是{15}1{15}1{1515}11[1[21]2(1.342)2[10.9099]0.1802.P x P x P X P >=-≤=--≤≤=-≤≤≈-Φ-Φ=-Φ=Φ=-= 即误差总和的绝对值超过15的概率近似地为1802.0．2．有一批建筑房屋用的木柱，其中%80的长度不小于m 3，现在从这批木柱中地取100根，求其中至少有30根短于m 3的概率． 解 以X 记被抽取的100根木柱长度短于m 3的根数，则)2.0,100(~b X ．于是由中心极限定理得{30}{30}()1(2.5)10.99380.0062.P X P X P ≥=≤<∞=≤<=Φ∞-Φ=-Φ=-= 3．将一枚硬币投掷49次，（I ）求至多出现28次正面的概率；（II ）求出现20-25次正面的概率．解 以X 表示49次投掷中出现正面的次数，则有)21,49(~b X ． （I ）由中心极限定理得8413.0)1()212149214928(}28{=Φ=⨯⨯⨯-Φ≈≤X P ； （II ）由中心极限定理得112549204919{2025}()()770.55570.09850.4572.P X -⨯-⨯≤≤≈Φ-Φ=Φ-Φ-=-= 4．某厂有同号机器100台，且独立工作，在一段时间内每台正常工作的概率为8.0．求正常工作的机器超过85台的概率．解 设ξ为100台中正常工作的机器数，则)8.0,100(~B ξ，且16 ,80====ξξD npq E np ．由中心极限定理可得所求概率为080808580{85}1{085}1{}4441[(1.25)(20)]0.1056.P P P ξξξ--->=-≤≤=-≤≤≈-Φ-Φ-= 5．一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的．假设每箱平均重50kg ，标准差5kg ．若用最大载重量5t 的汽车承运最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977．解 设n 为每辆车所装的箱数，),,2,1(n i i =ε是装运的第i 箱的重量，且25,50==i i D E εε．n 箱的总重量 n εεεε+++= 21有n D n E 25,50==εε，由中心极限定理ε近似服从正态分布)25,50(n n N ．现求使下面不等式成立的:n977.0)101000(}5505000550{}5000{>-Φ≈-≤-=≤nn n nn nP P εε 查正态分布表得 2101000>-n n，从而0199.98<n ，即最大可以装98箱．6．设一大批产品中一级品率为%10，现从中任取500件，这500件中一件级品的比例与%10之差的绝对值小于%2的概率．解 设ξ为所取500件中的一级品数，则)1.0,500(~B ξ且45 ,50==ξξD E由中心极限定理得{0.10.02}{5010}5002(1.49)10.8638.P P P ξξ-<=-<=<≈Φ-=7．设一袋味精的重量是随机变量，平均值100g,标准差2g ．求100袋味精的重量超过10.05kg 的概率．解 设i i i 第)100,2,1( =ξ袋味精的重量，100袋的总重量10021ξξξξ+++= ，而4,100==i i D E ξξ，所以所求概率为{10050}1{010050}11[(2.5)(500)]10.993790.00621.P P P ξξ>=-≤≤=-≤≤≈-Φ-Φ-=-= 8．一本200页的书，每页上的错误数服从参数为0.1的泊松分布，求该书的错误数大于15个的概率．解 设ξ为该书的总错误数，则20=ξE ，20=ξD ,于是所求概率为{15}1{015}11[( 1.12)( 4.47)]0.8686.P P P ξξ>=-≤≤=-≤≤=-Φ--Φ-=9．某射手打靶，得10分，9分，8分，7分，6分的概率分别为0.5,0.3,0.1,0.05,0.05．现射击100次，求总分多于880分的概率．解 设ξ为100次射击的总分数，依题意，915,122.75E D ξξ==．根据中心极限定理得{880}1{0915}11( 3.16)0.9992.P P P ξξ>=-≤≤=-≤≤≈-Φ-=10．一生产过程的次品率为12%，随机地自这一生产过程生产的产品中取出120只，求次品不多余15只的概率．解 以120~(120,0.12)X X B 记只产品中的次品数，则．所需求的概率为{15}(0.17)0.5675.P X P ≤=≤≈Φ=11．某种难度很大的心脏手术成功率为0.9，对100个病人进行这种手术，以X 记手术成功的人数．求{8495}P X ≤≤．解 依题意有{8495}(1.67)(2)0.95250.977210.9297.P X ≤≤≈Φ-Φ=Φ-Φ-=+-=12．在一零件商店中，其结帐柜台替各顾客服务的时间（以分计）是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1.求对100位顾客的总服务时间不多余2小时的概率．解 以(1,2,,100)i X i = 记对第i 位顾客的服务时间．按题设需求概率为1001001100 1.5{120}120150()(3)0.0013.10ii X P X P =-⨯≤=≤-≈Φ=Φ-=∑13．某种电子元件的寿命服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互独立，随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率．解 设X 为100只元件的寿命之和，则()200,()400E X D X ==，则所求概率为{180)1{0180}11[(1)(10)]0.8413.P X P X >=-≤≤=-≤≤≈-Φ--Φ-=14．某工厂有200台同类型的机器，每台机的实际工作时间只占全部工作时间的75%，各台机器是否工作是相互独立的，求一时刻有144至160台机器正在工作的概率．解 设随机变量Y 表示任一时刻正在工作的机器的台数，则Y 服从二项分布(200,0.75)B ．所以所求概率为{144160}(1.63)(0.98)0.7849.P Y ≤≤≈Φ-Φ=Φ-Φ-=15．在次品率为16的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用中心极限定理计算抽取的产品中次品书在40~60之间的概率．解 设X 为300件产品中次品的件数，依题意知1250~(300,),()50,()66X B E X D X ==， 利用中心极限定理得(4060)(1.55)( 1.55)2(1.55)10.8788.P X P <<=<<≈Φ-Φ-=Φ-=。

第五章 大数定律及中心极限定理练习题1. 在每次试验中，事件A 发生的概率为0.5 ,利用切比雪夫不等式估计：在1000次独立试验中，事件A 发生的次数X 在600~400之间的概率.2. 每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为25.1，求在100次独立射击中有180发到220发炮弹命中目标的概率．3．设有30个同类型的电子器件3021,,,D D D ，若)30,,2,1( =i D i 的使用寿命服从参数为1.0=λ的指数分布，令T 为30个器件各自正常使用的总计时间，求}350{>T P ．4．在天平上重复称量一件物品,设各次称量结果相互独立且服从正态分布2(,0.2)N μ， 若以n X 表示n 次称量结果的平均值，问n 至少取多大，使得 {||0.1}0.05n P X μ-≥<．5．由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率都为90% ．为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件在正常工作，求整个系统能正常运行的概率．6．某单位设置的电话总机，共有200门电话分机，每门电话分机有5%的时间要用外线通话，假设各门分机是否使用外线通话是相互独立的，问总机至少要配置多少条外线，才能以90%的概率保证每门分机要使用外线时，有外线可供使用．7．计算机在进行加法运算时，对每个加数取整(取为最接近于它的整数). 设所有的取整误差相互独立且都服从区间)5.0,5.0(-上的均匀分布.(1) 求在1500个数相加时，误差总和的绝对值超过15的概率.(2) 欲使误差总和的绝对值小于10的概率不小于%90，最多能允许几个数相加？8．设某公路段过往车辆发生交通事故的概率为0.0001, 车辆间发生交通事故与否相互独立, 若在某个时间区间内恰有10万辆车辆通过, 试求在该时间内发生交通事故的次数不多于15次的概率的近似值..9．设某学校有1000名学生, 在某一时间区间内每个学生去某阅览室自修的概率是0.05, 且设每个学生去阅览室自修与否相互独立. 试问该阅览室至少应设多少座位才能以不低于0.95的概率保证每个来阅览室自修的学生均有座位？。

滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题第五章 大数定律及中心极限定理一、填空题1．设某种电气元件不能承受超负荷试验的概率为0.05．现在对100个这样的元件进行超负荷试验，以X 表示不能承受试验而烧毁的元件数，则根据中心极限{}≈≤≤105X P ．2．设试验成功的概率p=20%，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16和32次之间的概率Q ≈ ．3．将一枚均匀对称的硬币接连掷10000次，则正面恰好出现5000次的概率≈α ．4．将一枚色子重复掷n 次，则当∞→n 时，n 次掷出点数的算术平均值n X 依概率收敛于 ．5．随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2, 方差分别为1和4, 而相关系数为-0.5, 则根据切比雪夫不等式≤≥+)6|(|Y X P ．6．已知随机变量X 的数学期望为10，方差DX 存在且1.0)4020(≤<<-X P ，则≥DX ．7．设 ，n X X X ,,,21为独立同分布的随机变量序列，且),2,1( =i X i 服从参数为2的指数分布，则∞→n 当时，∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于 ． 8．设 ，n X X X ,,,21为独立同分布的随机变量序列，且),2,1( =i X i 服从参数为0>λ的泊松分布，若∑==ni i X n X 11，则对任意实数x ，有≈<)(x X P ． 二、选择题1．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立，n n X X X S +++= 21，则根据列维-林德伯格中心极限定理，当n 充分大时n S 近似服从正态分布，只要n X X X ,,,21 （ ）．(A) 有相同期望和方差； (B) 服从同一离散型分布；(C) 服从同一指数分布； (D) 服从同一连续型分布．2．下列命题正确的是（ ）．(A) 由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律；(B) 由切比雪夫大数定律可以得出辛钦大数定律；(C) 由切比雪夫大数定律可以得出伯努利大数定律；(D) 由伯努利大数定律可以得出切比雪夫大数定律．3．设随机变量X 的方差为2, 则根据切贝雪夫不等式有估计{}≤≥-2||EX X P （ ）．（A ）21； （B ）31； （C ）41； （D ）81． 4．设随机变量 ，n X X X ,,,21独立同分布，其分布函数为 ∞<<∞-+=x b x a x F ,arctan 1)(π，0≠b 则辛钦大数定律对此序列（ ）． （A ）适用； （B ）当常数a 和b 取适当数值十适用；（C ）不适用； （D ）无法判别．5．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立, n n X X X S +++= 21, 则根据列维-林德伯格(Levy-Lindeberg)中心极限定理, 当n 充分大时, n S 近似服从正态分布, 只要nX X X ,,,21 （ ）．(A)有相同的数学期望； (B)有相同的方差；(C)服从同一指数分布； (D)服从同一离散型分布．6．设 ，n X X X ,,,21为独立同分布的随机变量序列，且),2,1( =i X i 服从参数为1≠λ的指数分布，则（ ）．（A ）)()(lim 1x x n n X P n i i n Φ=≤-∑=+∞→λ； （B ）)()(lim 1x x nn X P n i i n Φ=≤-∑=+∞→；（C ）)()(lim 1x x n X P n i i n Φ=≤-∑=+∞→λλ； （D ）)()(lim 1x x n X P n i i n Φ=≤-∑=+∞→λλ． 三、解答题1．设n ν是n 次伯努利试验成功的次数，p(0<p<1)是每次试验成功的概率，n f n n ν=是n次独立重复试验成功的频率，设n 次独立重复试验中，成功的频率f n 对概率p 的绝对偏差不小于Δ的概率{}α=∆≥-p f n P ． 试利用中心极限定理，(1) 根据∆和n 求α的近似值； (2) 根据α和n 估计∆的近似值； (3) 根据α和∆估计n ．2．假设某单位交换台有n 部分机，k 条外线，每部分机呼叫外线的概率为p ．利用中心极限定理，解下列问题：(1) 设n =200，k =30，p =0.12，求每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率α的近似值；(2) 设n =200，p =0.12，问为使每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率α≥95%，至少需要设置多少条外线？(3) k =30，p =0.12，问为使每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率α≥95%，最多可以容纳多少部分机？3．设n X X X ,,,21 是独立同分布随机变量，n X 是其算术平均值．考虑概率 {}αμ=∆≥-n X P ，其中μ=i EX ()n i .,2,1 =，()0>∆∆和α(0<α<1)是给定的实数．试利用中心极限定理，根据给定的，(1) ∆和n ，求α的近似值；(2) α和n ，求∆的近似值；(3) α和∆，估计n ．4．某保险公司接受了10000电动自行车的保险，每辆每年的保费为12元．若车丢失，则车主得赔偿1000元．假设车的丢失率为0.006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：(1) 亏损的概率α；(2) 一年获利润不少于40000元的概率β；(3) 一年获利润不少于60000元的概率γ．5．假设伯努利试验成功的概率为5%．利用中心极限定理估计，进行多少次试验才能以概率80%使成功的次数不少于5次．6．生产线组装每件产品的时间服从指数分布．统计资料表明，每件产品的平均组装时间为10分钟．假设各件产品的组装时间互不影响．试利用中心极限定理，(1) 求组装100件产品需要15到20小时的概率Q ；(2) 求以概率0.95在16个小时内最多可以组装产品的件数．7．将n 个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入”舍去小数位后化为整数．试利用中心极限定理估计，(1) 试当n =1500时求舍位误差之和的绝对值大于15的概率；(2) 估计数据个数n 满足何条件时，以不小于90%的概率，使舍位误差之和的绝对值小于10的数据个数n ．8．利用列维-林德伯格定理，证明棣莫佛-拉普拉斯定理．9．设X 是任一非负（离散型或连续型）随机变量，已知X 的数学期望存在，而 0>ε是任意实数，证明不等式{}εεXX P ≤≥．10．设事件A 出现的概率为=p 0.5，试利用切比雪夫不等式，估计在1000次独立重复试验中事件A 出现的次数在450到550次之间的概率α．11．设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，(1)利用切比雪夫不等式估计：X 落在以μ为中心，σ3为半径的区间内的概率不小于多少？(2)如果已知),(~2σμN X ，对上述概率，你是否可得到更好的估计？12．利用切比雪夫不等式来确定，当抛掷一枚均匀硬币时，需抛多少次，才能保证正面出现的频率在0.4至0.6之间的概率不小于90%，并用正态逼近去估计同一问题． 13．设 ，n X X X ,,,21为独立同分布的随机变量序列，且 ,2,1,,2===i DX EX i i σμ，令∑=+=n i i n iX n n Y 1)1(2，试证明：μP n Y →． 14．设}{n X 为一列独立同分布的随机变量序列，其概率密度函数为⎩⎨⎧<≥=--ax a x e x f a x 0)()( 令},,,m in{21n n X X X M =，试证：a M Pn →．15．在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时，其家属可向保险公司领取1000元的赔偿费．试求：（1）保险公司没有利润的概率为多大？（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？16．已知生男孩的概率近似地等于0.515，求在10000个婴孩中，男孩不多于女孩的概率．17．某药厂断言，该工厂生产的某种药品对于医治一种疑难的疾病的治愈率为0.8，某医院试用了这种药品进行治疗，该医院任意抽查了100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，医院就接受药厂的这一断言，否则就拒绝这一断言．问：（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.8，那么，医院接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，那么，医院接受这一断言的概率是多少？18．一生产线生产的产品成箱包装, 每箱的重量是随机的, 假设每箱平均重50kg, 标准差为5kg ． 若用最大载重量为5吨的汽车承运, 试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977．(977.0)2(=Φ)．19．一家有800间客房的大宾馆的每间客房内装有一台2kW （千瓦）的空调机，若该宾馆的开房率为70%，试问应供应多少千瓦的电力才能以99%的概率保证有充足的电力开动空调机？20．设有30个电子器件，他们的使用寿命（单位：小时）3021,,,T T T 均服从平均寿命为10小时的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三个立即使用等等． 令T 为30个器件使用的总计时间，求T 超过350小时的概率．。

大数定律和中心极限定理历年真题数学一：1（01，3分）设随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2|)({|X E X P。

数学三：1（88，6分） 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔中被盗索赔户占20%。

以X 表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。

（1） 写出X 的概率分布； （2）利用棣美佛-拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值。

[附表]Φ（x ）是标准正态分布函数。

999.0994.0977.0933.0841.0692.0500.0)(0.35.20.25.10.15.00x x Φ2（89，3分）设X 为随机变量且2,σμ==DX EX 。

则由切比雪夫不等式，有≤≥-}3|{|σμX P。

3（96，6分）设n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本。

已知)4,3,2,1(==k a EXk k，证明当n 充分大时，随机变量∑==n i i n X n Z 121近似服从正态分布，并指出其分布参数。

4（99，3分） 在天平上重复称量一重为a 的物品。

假设各次称量结果相互独立且服从正态分布n X a N n 表示若以).2.0,(2次称量结果的算术平均值，则为使95.0}1.0|{|≥<-a X P nn 的最小值应小于自然数。

5（01，3分）设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式有≤≥+}6|{|Y X P.6（01，8分） 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。

假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。

若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。

（Φ（2）=0.977，其中Φ（x ）是标准正态分布函数。

）数学四：1（01，3分） 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式有P {|X-Y |≥6}≤ 。

大数定律与中心极限定理习题第五章大数定律与中心极限定理习题 1.用切贝谢夫不等式估计下列各题的概率:(1) 废品率为0.03 ，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率。

(2) 200个新生婴儿中，男孩多于80个且少于120个的概率(假定生男孩和生女孩的概率均为佳0.5)。

2(用推论计算上题的概率。

X,X,？,XX12ni3(如果是n个相互独立，同分布的随机变量，E()=μ，n1X,X,iD(X),8ni,1iX(i=1,2,…,n)，对于，写出所满足的切贝谢夫不等式，并估计P(X,,,4)。

4(一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X，估计P{10,X,18}5.袋装茶叶用机器装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为本100g ，标准差为本10g ，一大盒内装200袋，求一盒茶叶净重大于20.5 kg 的改率。

6(用拉普拉斯定理的推论近似计算从一批废品率为0.05 的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率。

7(生产灯泡的合格率为0.6 ,求10000个灯泡中合格灯泡数在5800 ~6200 的概率。

8(从大批发芽率为0.9 的种子中随意抽取1000粒，试估计这1000粒种子发芽率不低于0.88 的概率。

9(某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7 ,假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15 个单位。

问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产。

10(一大批种蛋中，良种蛋占80% ，从中任取500枚，求其中良种蛋率未超过81% 的概率。

11(某商店负责供应某地区1000人商品。

某种商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6 ,假定在这一段时间各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销(假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件)。

12(一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。

大数定律及中心极限定理习题十五 大数定律及中心极限定理一、填空题1．随机变量ΛΛ,,,,21n X X X 相互独立，且它们服从参数为2的指数分布，则当∞→n 时， 211∑=ni i X n 依概率收敛于 。

2．随机变量ΛΛ,,,,21n X X X 相互独立，且它们服从参数为λ的泊松分布，则}{1lim x n n X P n i i n ≤-∑=∞→λλ= 。

3．设n Y 表示n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则≈≤<}{b Y a P n 。

二、选择题1．设ΛΛ,,,,21n X X X 是相互独立的随机变量序列，n X 服从参数为n 的指数分布),2,1(Λ=n 。

则下列选项中不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是（ ）。

A 、 ΛΛ,,,,21n X X X B 、ΛΛ,,,2,2221n X n X XC 、 ΛΛ,1,,21,21n X nX X D 、ΛΛ,,,2,21n nX X X 2．设随机变量ΛΛ,,,,21n X X X 独立同分布，其分布函数为：)0(arctan 1)(≠+=b b x a x F π 则辛钦大数定律对此序列（ ）。

A 、适用B 、当常数a,b 取适当数值时适用C 、不适用D 、无法判断3．设n X X X ,,,21Λ是相互独立的随机变量，∑==n i i n XS 1，则根据独立同分布的中心极限定理，当n 充分大时，n S 近似服从正态分布，只要n X X X ,,,21Λ（ ）。

A 、有相同的数学期望B 、有相同的方差C 、服从同一指数分布D 、服从同一离散型分布三、设某工厂生产的零件的合格品率为90%。

1．如果每箱装100个零件，求其中合格品数不少于95个的概率；2．为了以0.99 的概率保证每箱中的合格品数不少于95个，每箱应装多少个零件？四、设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？五、掷一均匀硬币时，需掷多少次才能保证正面出现的频率在0.4至0.6之间的概率不小于0.9。