弹性力学：04 应力和应变的关系

材料力学中的应力与应变关系材料力学是研究材料在受力作用下的力学行为和性能的学科，应力与应变关系是其中的核心内容之一。

本文将讨论材料力学中的应力与应变的概念及其数学表示，以及应力与应变之间的线性关系与非线性关系。

一、应力的概念及表示应力是指材料单位面积上的内部力，常用符号σ表示。

根据受力情况的不同，可以分为正应力、切应力和体积应力。

正应力是指与作用力方向垂直的内部力，常用符号σ表示；切应力是指与作用力方向平行的内部力，常用符号τ表示；体积应力是指作用在体积内的内部力，常用符号p表示。

正应力的数学表示为σ = F/A，其中F为作用力的大小，A为受力面积。

切应力的数学表示为τ = F/A，其中F为切力的大小，A为受力面积。

体积应力的数学表示为p = F/V，其中F为体积力的大小，V为受力体积。

二、应变的概念及表示应变是指材料在受力作用下产生的形变程度，常用符号ε表示。

根据变形方式的不同，可以分为线性应变和体积应变。

线性应变是指在受力作用下，材料产生的长度或角度发生变化，常用符号ε表示；体积应变是指在受力作用下，材料产生的体积发生变化，常用符号η表示。

线性应变的数学表示为ε = ΔL/L0，其中ΔL为长度变化量，L0为原始长度。

体积应变的数学表示为η = ΔV/V0，其中ΔV为体积变化量，V0为原始体积。

三、应力与应变的线性关系在一定范围内，应力与应变之间可以表现为线性关系。

根据胡克定律（Hooke's Law），线性弹性材料的应力与应变之间满足σ = Eε，其中E为弹性模量。

弹性模量是材料刚度的度量，表示材料单位应力产生的单位应变。

常见的弹性模量有杨氏模量、剪切模量和泊松比。

杨氏模量的数学表示为E = σ/ε，其中σ为应力，ε为线性应变。

剪切模量的数学表示为G = τ/γ，其中τ为切应力，γ为切应变。

泊松比的数学表示为ν = -εv/εh，其中εv为垂直方向的线性应变，εh为水平方向的线性应变。

弹性力学基本概念弹性力学是力学的一个分支领域，研究材料在受力时的弹性变形和恢复变形的行为规律。

本文将介绍弹性力学的基本概念，包括应力、应变、胡克定律和杨氏模量等。

一、应力和应变在弹性力学中，应力和应变是两个基本的物理量，用来描述物体在受力时的变形情况。

应力是单位面积上的力，通常用希腊字母σ表示。

应力可以分为正应力和剪应力两种。

正应力是指垂直于受力面的力，它可以通过力的大小和受力面的面积计算得到。

正应力的单位是帕斯卡（Pa），1Pa等于1牛顿/平方米。

剪应力是指平行于受力面的力，它也可以通过力的大小和受力面的面积计算得到。

剪应力的单位也是帕斯卡（Pa）。

应变是物体由于受力而发生的变形程度，通常用希腊字母ε表示。

应变可以分为线性应变和剪切应变两种。

线性应变是指物体在受力下发生的长度变化与原长度之比。

线性应变的计算公式为：ε = ΔL / L，其中ΔL表示长度变化，L表示原长度。

剪切应变是指物体在受到剪应力时，各层之间相对位置的变化。

剪切应变的计算公式为：γ = Δx / h，其中Δx表示位置变化，h表示物体的厚度。

二、胡克定律胡克定律是弹性力学的基本定律之一，描述了材料的应力和应变之间的关系。

胡克定律可以用公式表示为：σ = Eε，其中σ表示应力，E表示杨氏模量，ε表示应变。

杨氏模量是衡量材料硬度和刚度的重要物理量，表示单位应力下材料的单位应变。

杨氏模量的单位是帕斯卡（Pa）。

胡克定律表明，当材料处于弹性变形状态时，应力和应变之间成正比。

杨氏模量越大，材料的刚度越高，抵抗变形的能力也越强。

三、弹性常数除了杨氏模量，弹性力学还有其他一些描述材料力学性质的常数。

泊松比是描述材料在受到正应力时，在垂直方向上的应变情况的比值。

泊松比的计算公式为：ν = -ε_2 / ε_1，其中ε_1表示垂直方向上的线性应变，ε_2表示平行方向上的线性应变。

弹性体模量是描述材料在受力时的刚度的物理量，定义为单位体积的材料在受力时所发生的应变与应力之比。

工程力学中的应力和应变分析工程力学是应用力学原理解决工程问题的学科，它研究物体受外力作用下的力学性质。

应力和应变是工程力学中的重要概念，它们对于分析材料的强度和变形特性具有重要意义。

本文将就工程力学中的应力和应变进行详细分析。

一、应力分析应力是指物体单位面积上的内部分子间相互作用力。

根据作用平面的不同，可以分为法向应力和剪切应力两种。

1. 法向应力法向应力是指力作用垂直于物体某一截面上的应力。

根据物体受力状态的不同，可以分为拉应力和压应力两种。

- 拉应力拉应力是指作用于物体截面上的拉力与截面面积的比值。

拉应力的计算公式为：σ = F/A其中，σ表示拉应力，F表示作用力，A表示截面面积。

- 压应力压应力是指作用于物体截面上的压力与截面面积的比值。

压应力的计算公式与拉应力类似。

2. 剪切应力剪切应力是指作用在物体截面上切向方向上的力与截面面积的比值。

剪切应力的计算公式为：τ = F/A其中，τ表示剪切应力，F表示作用力，A表示截面面积。

二、应变分析应变是指物体由于外力的作用而产生的形变程度。

根据变形情况，可以分为线性弹性应变和非线性应变。

1. 线性弹性应变线性弹性应变是指物体在小应力下，应变与应力成正比，且随应力消失而恢复原状的应变现象。

线性弹性应变的计算公式为：ε = ΔL/L其中，ε表示线性弹性应变，ΔL表示物体的长度变化，L表示物体的原始长度。

2. 非线性应变非线性应变是指物体在较大应力下，应变与应力不再呈线性关系的应变现象。

非线性应变的计算公式较为复杂，需要根据具体情况进行分析。

三、应力和应变的关系应力和应变之间存在一定的关系，常用的关系模型有胡克定律和杨氏模量。

1. 胡克定律胡克定律是描述线性弹性材料的应力和应变之间关系的基本模型。

根据胡克定律，拉应力和拉应变之间的关系可以表示为：σ = Eε其中，σ表示拉应力，E表示弹性模量，ε表示拉应变。

2. 杨氏模量杨氏模量是描述材料抵抗拉伸或压缩变形能力的物理量。

我所认识的应力与应变的关系机械与动力工程学院我所认识的本构关系可以从三个不同的受力条件下进行分析，第一是在弹性变形下的应力与应变的关系，第二是在屈服条件下的应力与应变的关系，第三是在塑性条件下的应力与应变的关系，而对应力与应变的关系的研究也可以归结为对本构关系的研究。

首先，弹塑性力学分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡方程的和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。

但仅仅依靠平衡方程和几何方程来解决实际中的工程问题是不够的。

由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的关系，所以平衡方程与几何方程式两类完全相互独立的方程，他们之间还缺乏必要的联系。

对于所求解的问题来讲，因为您未知量的数目多于任何一类方程的个数，所以无法利用这两类方程求的全部未知量。

平衡方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222000t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ （1） 几何方程：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=x w z u z w z v y w y v y u x v x u zx z yz y xy x γεγεγε （2） 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即所谓的本构关系。

本构关系反映可变形体材料的固有特此那个，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即所谓的本构方程。

本构方程实际上就是一组反映可变形体材料应力和应变之间关系的方程。

在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单。

4 应力应变关系4.1弹性变形时应力和应变的关系当材料所受应力小于其线弹性极限时，材料应力应变间的关系服从广义Hooke 定律，即1()1()1()111222x x y z y yx zz z x yxy xy yz yz zx zxE E E G G G εσνσνσεσνσνσεσνσνσετετετ⎧=--⎪⎪⎪=--⎪⎨⎪=--⎪⎪⎪===⎩，， （4.1） 式中，E 为拉压弹性模量，G 为剪切模量，ν为泊松比，对于各向同性材料，三个常数之间满足()21E G ν=+关系。

由上式可得11212()()33m x y z x y z m E E ννεεεεσσσσ--=++=++= （4.2） 于是11()'2x m x m x E G νεεσσσ+-=-= 或1112''22x m x x m G G Eνεεσσσ-=+=+ 类似地可以得到1112''22y m y y m G G E νεεσσσ-=+=+ 1112''22z m z z m G G Eνεεσσσ-=+=+于是，方程（4.1）可写成如下形式1212'00'0000'x xy xz x xy xz m v yx y yz yx y yz m G E m zx zy z zx zy z εγγσττσγεγτστσσγγεττσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即'1122ij ij m ij ij m G Eνεεεσδσ-'=+=+ （4.3）显然，弹性变形包括体积改变的变形和形状改变的变形。

前者与球应力分量成正比，即12m m E νεσ-= （4.4）后者与偏差应力分量成正比，即''12''12''12111222x x m x G y y m y G z z m z G xy xy yz yz zx zxG G G εεεσεεεσεεεσετετετ⎧=-=⎪=-=⎪⎨=-=⎪⎪===⎩，，或简写为2ij ij G σε''= （4.5）此即为广义Hooke 定律。

工程力学中的应变与应力分析工程力学是研究物体静力学和动力学的一门学科，它在工程设计和结构力学分析中起着重要的作用。

在工程力学中，应变与应力是两个基本概念，也是进行结构分析和材料力学计算的关键参数。

本文将从应变和应力的定义、计算公式、应变与应力的关系等方面进行介绍与分析。

一、应变的概念与计算应变是物体在受到力的作用下，发生形变的程度的度量。

应变可分为线性应变和切变应变两种。

1. 线性应变线性应变是指物体在受力作用下，其形变呈现线性关系。

常见的线性应变有拉伸应变和压缩应变。

拉伸应变是指物体在拉伸力作用下的伸长变化程度，压缩应变是指物体在压缩力作用下的压缩变化程度。

线性应变的计算公式如下：ε = ΔL / L其中，ε表示线性应变，ΔL表示长度变化量，L表示物体的初始长度。

2. 切变应变切变应变是指物体在受到剪切力作用下，产生的剪切变形程度。

切变应变的计算公式如下：γ = θ * r其中，γ表示切变应变，θ表示切变角度，r表示物体上两点间的距离。

二、应力的概念与计算应力是物体内部受力作用下单位面积上的力的大小。

常见的应力有拉应力、压应力和剪应力等。

应力的计算公式如下：1. 拉应力和压应力拉应力是指垂直于物体横截面的拉力作用下，单位面积上的力的大小，压应力是指垂直于物体横截面的压力作用下，单位面积上的力的大小。

拉应力和压应力的计算公式如下：σ = F / A其中，σ表示应力，F表示作用力的大小，A表示物体的横截面积。

2. 剪应力剪应力是指平行于物体横截面的剪切力作用下，单位面积上的力的大小。

剪应力的计算公式如下：τ = F / A其中，τ表示剪应力，F表示作用力的大小，A表示物体的横截面积。

三、应变与应力的关系应变与应力有着密切的关系，可以通过应变与应力的计算公式来解析他们之间的关系。

1. 杨氏模量杨氏模量是一种材料的特性参数，它是应力与应变之间的比值。

杨氏模量的计算公式如下：E = σ / ε其中，E表示杨氏模量，σ表示应力，ε表示应变。

第四章应力与应变关系§4-1 应力和应变的最一般关系式§4-2 弹性体变形过程中的功和能§4-3 各向异性弹性体§4-4 各向同性弹性体§4-5 弹性常数的测定§4-6 各向同性体应变能密度的表达式显然有5225C C =同理可证nmmn C C =这样就证明了极端各向异性体，只有6+30/2=21个独立的弹性常数。

⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧xy xz yz z y x xy xzyz z y x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ66564636266156554535255146454434244 136353433233 126252423222 16 15 14 13 12 111②具有一个弹性对称面的各向异性弹性体如果物体内的每一点都具有这样一个平面，关于该平面对称的两个方向具有相同的弹性，则该平面称为物体的弹性对称面，而垂直于弹性对称面的方向，称为物体的弹性主方向。

这样，物体的弹性常数从21个变为13个。

若Oyz 为弹性对称面，则（可用坐标变换公式得到）⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧xy xz yz z y x xy xzyz z y x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ665656554434244 13433233 1242322214 13 1211100000000000000如果互相垂直的3个平面中有2个式弹性对称面，则第3个平面必然也是弹性对称面。

第四章应力和应变关系一. 内容介绍前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。

由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。

应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。

对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。

这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。

对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。

分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。

本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。

二. 重点1. 应变能函数和格林公式；2. 广义胡克定律的一般表达式；3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系；4. 各向同性材料的本构关系；3. 材料的弹性常数。

知识点应变能原理应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式广义胡克定理一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。

同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。

借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。

本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。

根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。

探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。

如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。

因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。