高一数学教案：复合函数
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第1页 共3页 第4课时 复合函数
教学目标：
使学生掌握与复合函数有关的各类问题.
教学重点：
复合的含义.
教学难点：
复合函数的讨论.
教学过程：
[例1]已知f（x）＝x2－x＋7，求f（2x－1）
解：f（2x－1）＝（2x－1）2－（2x－1）＋7
＝4x2－6x＋9
[例2]已知f（x＋1）＝x2＋3x＋4，求f（x）
解法一：令t＝x＋1，则x＝t－1
有：f（t）＝（t－1）2＋3（t－1）＋4
＝t2＋t＋2
即：f（x）＝x2＋x＋2
解法二：f（x＋1）＝（x＋1）2＋x＋3
＝（x＋1）2＋（x＋1）＋2
∴ f（x）＝x2＋x＋2
练习：
1．已知f（x＋1x ）＝x2＋1x2 ，求f（x）
2．已知f（x－1）＝x2－3x＋4，求f（2x－3）
［例3］(1)已知函数f（x）的定义域为(0，1)，求f（x2）的定义域.
(2)已知函数f（2x＋1）的定义域为(0，1)，求f（x）的定义域.
(3)已知函数f（x＋1）的定义域为[－2，3]，求f（2x2－2）的定义域.
分析：(1)求函数定义域就是求自变量x的取值范围，求f（x2）的定义域就是求x的范围，而不是求x2的范围，这里x与x2的地位相同，所满足的条件一样.
(2)应由0＜x＜1确定出2x＋1的范围，即为函数f（x）的定义域.
(3)应由－2≤x≤3确定出x＋1的范围，求出函数f（x）的定义域进而再求f（2x2－2）的定义域.它是(1)与(2)的综合应用.
解：(1)∵f（x）的定义域为(0，1)
∴要使f（x2）有意义，须使0＜x2＜1，即－1＜x＜0或0＜x＜1∴函数f（x2）的定义域为{x｜－1＜x＜0或0＜x＜1}
(2)∵f（2x＋1）的定义域为（0，1），即其中的函数自变量x的取值范围是0＜x＜1，令t＝2x＋1，∴1＜t＜3，∴f（t）的定义域为1＜x＜3 ∴函数f（x）的定义域为{x｜1＜x＜3}
(3)∵f（x＋1）的定义域为－2≤x≤3，∴－2≤x≤3
令t＝x＋1，∴－1≤t≤4
∴f（t）的定义域为－1≤t≤4
即f(x)的定义域为－1≤x≤4，要使f（2x2－2）有意义，须使－1≤2x2－2≤4，
第2页 共3页 ∴－3 ≤x≤－22或22≤x≤3
函数f（2x2－2）的定义域为{x｜－3 ≤x≤－22或22≤x≤3 }
评述：（1）对于复合函数f [ｇ（x）]而言，如果函数f（x）的定义域为A，则f [ｇ（x）]的定义域是使得函数ｇ（x）∈A的x取值范围.
（2）如果f [ｇ（x）]的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数ｇ(x)的值域.
[例4]已知f（x）＝2x－1 x≥0－x＋3 x＜0 ，求f（x2－1）
解：f（x2－1）＝2（x2－1）－1 x2－1≥0－（x2－1）＋3 x2－1＜0
＝2x2－3 x≥1或x≤－1－x2＋4 －1＜x＜1
[例5]已知f（f（x））＝2x－1，求一次函数f（x）
解：设f（x）＝kx＋b，则：
f（f（x））＝k f（x）＋b＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝2x－1
∴k2＝2kb＋b＝－1 得：k＝2 ，b＝1－2 或k＝－2 ，b＝2 ＋1
∴f（x）＝2 x＋1－2 或f（x）＝－2 x＋2 ＋1
[例6]已知函数满足2f（x）＋f（ 1x ）＝x，求f（x）
解：令t＝ 1x ，则有2f（ 1t ）＋f（t）＝1t
即：2f（ 1x ）＋f（x）＝1x
∴f（x）＝2x2－13x
课后作业：
1．已知f（x ＋1）＝x＋2x ，求f(x)的解析式.
分析：此题目中的“f”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用.即：求出f及其定义域.
解：设t＝x ＋1≥1，则x ＝t－1，
∴x＝（t－1）2
∴f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1）
∴f（x）＝x2－1（x≥1）
2．（1）已知函数y＝f（x）的定义域为[0，1]，求f（x－1）的定义域.
解：∵f（x）中0≤x≤1
∴0≤x－1≤1，即1≤x≤2
（2）已知函数y＝f（x－1）的定义域为[0，1]，求f（x）的定义域.
解：函数y＝f（x－1）中0≤x≤1
∴－1≤x－1≤0
第3页 共3页 即：y＝f（x）的定义域为[－1，0]
（3）已知函数y＝f（x－2）的定义域为[1，2]，求y＝f（x＋3）的定义域.
3．已知函数f（x）是一次函数，且满足关系式3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f(x)的解析式.
解：设f（x）＝ax＋b则
3f（x＋1）－2f（x－1）
＝3ax＋3a＋2b＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17
∴a＝2，b＝7
∴f（x）＝2x＋7
