［知识能否忆起］、平面的基本性质 名称图示文子表示 付号表示公理1如果一条直线上的两 点在一个平面内，那么 这条直线在此平面内 A € l , B € l ，且 A €a,B € 0? 1? a公理2过不在一条直线上的 三点，有且只有一个平面\公理3如果两个不重合的平 面有一个公共点，那么 它们有且只有一条过该点的公共直线P € a ，且 P € 3? aCl 3 =l ，且 P € l二、空间直线的位置关系 1. 位置关系的分类相交直线：同一平面内, ｛共面直线|平行直线：同一平面内,•异面直线：不同在任何一个平面内, 2. 平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3. 等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4. 异面直线所成的角(或夹角)(1) 定义：设a, b 是两条异面直线，经过空间中任一点 0作直线a '// a, b '// b ，把a ' 与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角.I U I空间点、直线、平面间的位置关系基础知iR 襄打牟11 C H U Z H I $ H I Y A 0 A L A 0强取基 固本源 得募础分I 事覆程廈有且只有一个公共点;没有公共点；没有公共点(2)范围:三、直线与平面的位置关系/亠护¥方位置大糸图示付号表示公共点个数直线1在平面a内1? a无数个直线l与平面a相交八/l Cl a= A一个直线l与平面a平行Z / 1 〃a0个四、平面与平面的位置关系/亠护¥方位置大糸图示付号表示公共点个数两个平面平行\Aall 30个7两个平面相交aC 3= l无数个(这些公共点均在交线1上)1•三个公理的作用(1) 公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内.(2) 公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件.(3) 公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线.2. 异面直线的有关问题(1) 判定方法：①反证法；②利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图.(2) 所成的角的求法：平移法.師吾点］学技法］得拔高分| 拿握狸度i**-平面的基本性质及应用■典题导入［例1］（2012湘潭模拟）如图所示，在正方体ABCD —A i B i C i D i中，E为AB的中点，F 为A i A的中点，求证：CE , D i F, DA三线共点.［自主解答］•EF 綊qCD i,•••直线D i F和CE必相交.设D i F n CE = P,••P Pi F 且D i F?平面AA i D i D,••P € 平面AA i D i D.又P €EC且CE?平面ABCD ,••P € 平面ABCD ,即P是平面ABCD与平面AA i D i D的公共点.而平面ABCD n平面AA i D i D = AD.••P 3D.•CE、D i F、DA三线共点.本例条件不变试证明E , C, D i, F四点共面.证明：••E, F分别是AB和AA i的中点，i•'EF 綊2A i B.又A i D i 綊B i C i 綊BC. •四边形A i D i CB为平行四边形. ••A i B CD i，从而EF CD i.•'EF与CD i确定一个平面. ••E, C i, F, D四点共面.占由题悟法i. 证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上.2•证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余线（或点）均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合.3以题试法1. （1）（2012江•西模拟）在空间中，下列命题正确的是（）A .对边相等的四边形一定是平面图形B .四边相等的四边形- -定是平面图形C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形D .有一组对角相等的四边形一定是平面图形⑵对于四面体ABCD，下列命题正确的是 __________ （写出所有正确命题的编号）.①相对棱AB与CD所在直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△ BCD三条高线的交点；③若分别作△ ABC和厶ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.解析：（1）由“两平行直线确定一个平面”知C正确.（2）由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；由顶点A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时,其垂足是厶BCD的三条高线的交点，故②错误；当DA = DB , CA= CB时，这两条高线共面，故③错误；设AB , BC, CD , DA的中点依次为E, F, M , N,易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故④正确.答案：（1）C （2）①④异面直线的判定由典题导入[例2] （2012金华模拟）在图中，G, N , M, H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH , MN是异面直线的图形有___________ .（填上所有正确答案的序号）①②③④［自主解答］图①中，直线GH /MN ;图②中，G , H , N三点共面，但M?面GHN ,因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG, GM /HN，因此GH与MN共面；图④中，G , M , N共面，但H?面GMN ,因此GH与MN异面.所以图②④中GH与MN异面.［答案］②④石由题悟法1•异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面. 此法在异面直线的判定中经常用到.2.客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.&以题试法2. 已知m, n, I为不同的直线，a, B为不同的平面，有下面四个命题：①m, n为异面直线，过空间任一点P, —定能作一条直线I与m, n都相交.②m, n为异面直线，过空间任一点P, —定存在一个与直线m, n都平行的平面.③a丄B, aA 3= I, m? a, n? 3, m, n与I都斜交，则m与n—定不垂直；④m, n是a内两相交直线，则a与3相交的充要条件是m, n至少有一条与3相交.则四个结论中正确的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选B①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；②错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论；③正确，否则，若m丄n,在直线m上取一点作直线a丄I，由a丄3得a丄n.从而有n丄a,贝U n丄I :④正确.LI 典题导入［例3］ （2012大纲全国卷）已知正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，E , F 分别为BB i , CC i 的 中点，那么异面直线 AE 与D 1F 所成角的余弦值为 ___________ .［自主解答］连接DF ，则AE/DF , •••D 1FD 即为异面直线 AE 与D 1F 所成的角. 设正方体棱长为a ,则 D 1D = a , DF = ~25a , D 1F = ~25a ,… 3 ［答案］5-由题悟法求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下： （1） 一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角; ⑵二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；（3）三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角, 如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.初以题试法3. （2012唐山模拟）四棱锥P — ABCD 的所有侧棱长都为.5,底面ABCD 是边长为2的 正方形，则CD 与PA 所成角的余弦值为（）D.；解析：选B 如图所示，因为四边形ABCD 为正方形，故CD // AB ,则CD 与PA 所成的角即为 AB 与FA 所成的角/ PAB ，在△ FAB 内，FB = FA = ■.5, AB = 2,利用余弦定理可知:PA 2+ AB 2- PB 2_ 5+ 4— 5 _近 2X FA X AB 2X 2八 55［小题能否全取］A. 2 *5 5B.cos / FAB =1.（教材习题改编）已知a, b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（）A .异面B.相交C.不可能平行D.不可能相交解析：选C 由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b // c,贝U a// b.与a, b是异面直线相矛盾.2. （2012东北三校联考）下列命题正确的个数为（）①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选C ①④错误，②③正确.3. 已知空间中有三条线段AB, BC和CD，且/ ABC =Z BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（）A. AB / CDB. AB与CD异面C. AB与CD相交D. AB / CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：选D 若三条线段共面，如果AB, BC, CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线.4. （教材习题改编）如图所示，在正方体ABCD —A i B i C i D i中，E,F分别是AB , AD的中点，则异面直线B i C与EF所成的角的大小为解析：连接B i D i, D i C,则B i D i/EF,故ZDi B i C 为所求，又B i D i= B i C= D i C,••』i B i C= 60 °答案：60°5. （教材习题改编）平行六面体ABCD —A i B i C i D i中既与AB共面又与CC i共面的棱的条数为________ .解析：如图，与AB和CC i都相交的棱有BC;与AB相交且与CC i平行的棱有AA i,BB i；与AB平行且与CC i相交的棱有CD , C1D1,故符合条件的棱共有5条.答案：5基础MliR靈扫年J I C H U Z H D S H I YAOIRALAO［知识能否忆起］一、直线与平面平行1. 判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平—面内的一条直线平行, 则直线与此平面平行—a?a、b? a b //a」^ ? a / a2.性质定理文字语言图形语言付号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a/ a '卜？ a // baCl 6= b j二、平面与平面平行直线、平面平行的判定及性质1.判定定理判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行a? a 、 b? aa Ab = P » ? a// a / 3 b / 3' 32.两平面平行的性质定理文字语言图形语言付号语言性质定理如果两个平行平面同时 和第三个平面相交，那 么它们的交线平行a// 3、aA Y a * ? a // b 3A Y b J7，心/IX1.平行问题的转化关系:2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化， 即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反， 但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3•辅助线（面）是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有 关平行性质的应用.由典题导入[例1] （2011福建高考）如图，正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，AB = 2, 点E 为AD 的中点，点F 在CD 上•若EF //平面ABQ ,则线段EF 的长 度等于 _______________ .线//线判定判定 ------------- 判定 -------------- 性质 |线/面—质勺面/面性质［自主解答］ 因为直线 EF //平面AB i C , EF?平面ABCD ，且平面 AB i C Q 平面ABCD = AC ,所以EF /AC.又因为点E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得 EF1=2AC.又因为在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，AB = 2,所以AC = 2 2•所以EF = 2.［答案］,2本例条件变为“ E 是AD 中点，F , G , H , N 分别是AA i , A i D i , DD i 与D i C i 的中点,解：如图,••G N //平面AA i C i C , EG //平面 AA i C i C , 又 GN n EG = G ,•••平面EGN //平面AA i C i C.•••当M 在线段EG 上运动时，恒有 MN //平面AA i C i C.呂由题悟法解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：(i)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽 视.⑵结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断. (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.&以题试法i . (i)(20i2浙江高三调研)已知直线I //平面a, P € a,那么过点P 且平行于直线I 的直 线() A •只有一条，不在平面 a 内 B .有无数条，不一定在平面 a 内C .只有一条，且在平面 a 内D .有无数条，一定在平面a 内解析：选C 由直线I 与点P 可确定一个平面 3,且平面a, B 有公共点，因此它们有若M 在四边形EFGH 及其内部运动”，则M 满足什么条件时，有 MN //平面A i C i CA.一条公共直线,设该公共直线为m ,因为I // a,所以I // m ,故过点P且平行于直线I的直线只有一条，且在平面a内.(2)(2012潍坊模拟)已知m, n, l i, I2表示直线，a, B表示平面.若m? a, n? a, l i? B, 12? B IE 12= M,贝U all B的一个充分条件是()A. m l B且l i l a B • m // B且n// BC. m l B 且n l I2 D . m l l i 且n l I2解析：选D 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知al B-直线与平面平行的判定与性质[例2] (2012辽宁高考)如图，直三棱柱ABC —A' B ' C', / BAC= 90° AB= AC =羽，AA' = 1,点M , N 分别为A' B 和B' C'的中点.(1) 证明：MN l 平面A' ACC ';1(2) 求三棱锥A' —MNC的体积.(锥体体积公式V = §Sh,其中S为底面面积，h为高)［自主解答］(1)证明：法一：连接AB'、AC '，因为点M , N 分别是A' B和B' C'的中点，所以点M为AB'的中点.又因为点N为B ' C'的中点,所以MN /AC'又MN?平面A' ACCAC' ?平面A' ACC',因此MN l平面A' ACC'.法二：取A' B '的中点P.连接MP.而点M, N分别为AB '与B ' C'的中点，所以MP/AA ' , PN/A ' C '.所以MP l 平面A ' ACC ' , PN l 平面A ' ACC ' •又MP n PN= P,因此平面MPN l平面A ' ACC ' •而MN?平面MPN ,因此MN //平面A ' ACC(2)法一：连接 BN ，由题意得 A ' N IB ' C '，平面 A B ' C 'Q 平面 B ' BCC '=B 'C '，所以A ' N 丄平面NBC. 又 A ' N = 1B ' C ' = 1 ,吕由题悟法利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过 已知直线作一平面找其交线.畐以题试法2. (2012淄博模拟)如图，在棱长为2的正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，E , F 分别是BD , BB 1的中点.(1) 求证：EF //平面 A 1B 1CD ; (2) 求证：EF 丄 AD 1.解：(1)在正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，连接B 1D , 在平面BB 1D 内，E , F 分别为BD , BB 1的中点, ••EF BD.又•••B 1D?平面 A 1B 1CD. EF?平面 A 1B 1CD , ••EF //平面A 1B 1CD.⑵'-ABCD — A 1B 1C 1D 1 是正方体,•'AD 1 ^A 1 D , AD 1 JA 1B 1. 又 A 1D n A 1B 1 = A 1, ••AD 1 丄平面 A 1B 1D.故 V A ' - MNC = V N -A ' MC = 2V N -A ' BC = gV A '—NBC = 16.法二：V A ' -MNC = V A-NBC —V M — NBC =1V A '— NBC =••AD1I B1D.又由(1)知,EF B1D , /-EF_LAD1.平面与平面平行的判定与性质i典题导入［例3］如图，已知ABCD —A i B i C i D i是棱长为3的正方体，点E 在AA i 上，点 F 在CC i 上，G 在BB i 上，且AE = FC i = B i G= 1, H 是B i C i的中点.⑴求证：E, B, F , D i四点共面；⑵求证：平面A i GH //平面BED i F.5［自主解答］(i)在正方形AA i B i B中，'•AE = B i G= i,••BG = A i E= 2,••BG 綊A i E.•四边形A i GBE是平行四边形.•■AiG /BE.又C i F 綊B i G,•四边形C i FGB i是平行四边形.••FG 綊C i B i 綊D i A i.•四边形A i GFD i是平行四边形.• A i G 綊D i F.•D i F 綊EB.故E, B, F, D i四点共面.3⑵--H是B i C i的中点，• B i H = 2厂B i G 2又B i G= i, /B1H= 3.又EC = f,且/FCB = /GB i H = 90 ° BC 3•••△i HG s/CBF.•••启i GH = ZCFB = ZFBG.••HG /FB.••GH ?面FBED i, FB?面FBED i ,「GH //面BED i F.由⑴知A i G/BE, A i G?面FBED i, BE?面FBED i,AG //面BED i F.且HG A A i G = G ,•平面A i GH //平面BED i F.占由题悟法常用的判断面面平行的方法(1) 利用面面平行的判定定理；(2) 面面平行的传递性(all 3,训Y all Y；⑶利用线面垂直的性质(I丄a, I丄3? a// 3 .血以题试法3. (20i2北京东城二模)如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN 所在的平面互相垂直，MB // NC , MN丄MB.(1) 求证：平面AMB //平面DNC ;(2) 若MC丄CB，求证：BC丄AC.证明：(i)因为MB /NIC , MB?平面DNC , NC?平面DNC ,所以MB //平面DNC.又因为四边形AMND为矩形，所以MA /DN.又MA?平面DNC, DN?平面DNC.所以MA //平面DNC.又MA A MB = M，且MA, MB?平面AMB ,所以平面AMB //平面DNC.(2)因为四边形AMND是矩形，所以AM丄/IN.因为平面AMND丄平面MBCN，且平面AMND A平面MBCN = MN ,所以AM丄平面MBCN.因为BC?平面MBCN ,所以AM JBC.因为MC _LBC, MC A AM = M , 所以BC丄平面AMC.因为AC? 平面AMC，所以BC JAC.[ 小题能否全取]1．（教材习题改编）下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是（）A •一个平面内的一条直线平行于另一个平面B .一个平面内的两条直线平行于另一个平面C. 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D •一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：选D 由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确.2. 已知直线a, b,平面a,则以下三个命题:①若a// b, b? a,贝U a// a;②若 a / b, a // a,贝U b // a;③若a/ a, b// a,贝U all b.其中真命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选A 对于命题①，若a// b, b? a ,贝U应有a// a或a? a,所以①不正确;对于命题②，若a// b , a// a ,则应有b// a或b? a,因此②也不正确;对于命题③，若a//a, b // a,则应有a // b或a与b相交或a与b异面，因此③也不正确.3. （教材习题改编）若一直线上有相异三个点A , B , C到平面a的距离相等，那么直线I与平面a的位置关系是（）A . I // a B. I 丄aC. I与a相交且不垂直D. I // a或I? a解析：选D 由于I上有三个相异点到平面a的距离相等，贝U I与a可以平行，I? a时也成立.4. ___________________________________________________________ 平面a//平面3, a? a, b? 3,则直线a, b的位置关系是______________________________________________ 解析：由a//3可知，a, b的位置关系是平行或异面.答案：平行或异面5. （2012衡阳质检）在正方体ABCD —A1B1C1D1中，E是DD 1的中点，则BD i与平面ACE 的位置关系为_________解析：如图.连接AC, BD交于O点，连接OE,因为OE /BD1,而OE?平面ACE,BD1?平面ACE，所以BD1 /平面ACE.答案：平行基础知MW1 I C M U Z H I S H I Y A 0［知识能否忆起］一、直线与平面垂直1. 直线和平面垂直的定义直线I与平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线I与平面a互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言付号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直1心k a, b? a] a A b = O.r ? I 丄a1丄aI丄b 」推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面ab7 a / b、\? b丄aa丄a_直线、平面垂直的判定与性质3.直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言付号语言性质定理垂直于冋一个平面的两条直线平行a匚—b7a丄ab丄a€ a// b、平面与平面垂直1.平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言付号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直□a 丄3l丄aa j2.平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言付号语言性质定理a_L 3 、》？ 1丄a ad 3= a1丄a」两个平面垂直，则一个平面内垂直于父线的直线垂直于另一个平面L71•在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件. 同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即:线血垂百线线垂直、一…厂：面面垂直-------- 性质---------------2•在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理.3•几个常用的结论：(1) 过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(2) 过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直.垂直关系的基本问题高频考点3EIB美GAOP1N K.AOI>IAN YAOLI典题导入［例1］（2012襄州模拟）若m, n为两条不重合的直线，a, B为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m，n都平行于平面a,则m，n—定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面a,贝U m, n—定是平行直线；③已知a, B互相垂直，m, n互相垂直，若m丄a,则n丄④m,n在平面a内的射影互相垂直，则m,n互相垂直.其中的假命题的序号是________________ .［自主解答］①显然错误，因为平面a//平面平面a内的所有直线都平行所以3内的两条相交直线可同时平行于a；②正确；如图1所示，若aCl 3= I,且n/,当m丄a时，mln,但n//3,所以③错误；如图2显然当m' Jn'时，m不垂直于n,所以④错误.［答案］①③④-由题悟法解决此类问题常用的方法有：①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；②否定命题时只需举一个反例. ③寻找恰当的特殊模型（如构造长方体）进行筛选.初以题试法1. （2012长春模拟）设a, b是两条不同的直线，a, 3是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a丄b, a丄a, b? a,贝U b // a；②若a // a, a丄3贝U a丄3；③若a丄3, a丄3,贝U a// a或a? a；④若a丄b ,a丄a, b丄3,贝U a丄3-其中正确命题的个数为()A. 1B.2C. 3D.4解析：选D对于①,由b不在平面a内知，直线b或者平行于平面a,或者与平面相交，若直线b与平面a相交，则直线b与直线a不可能垂直，这与已知"a丄b”相矛盾, 因此①正确.对于②，由 a // a知，在平面a内必存在直线a1 // a,又a丄3,所以有a j丄3, 所以a丄3,②正确.对于③，若直线a与平面a相交于点A,过点A作平面a 3的交线的垂线m,则m丄3,又a丄3,则有a / m,这与"直线a、m有公共点A”相矛盾，因此③正确.对于④，过空间一点O分别向平面a、3引垂线a1、b1 ,则有a // a1 , b / B ,又a丄b , 所以a1丄b1 ,所以a丄3,因此④正确•综上所述，其中正确命题的个数为 4.直线与平面垂直的判定与性质LI典题导入［例2］(2012广东高考)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，AB 丄平面PAD , AB // CD, PD = AD , E 是PB 的中点，F 是DC1上的点且DF = 2AB, PH PAD中AD边上的高.(1)证明：PH丄平面ABCD ;⑵若PH = 1 , AD = 2, FC = 1,求三棱锥E—BCF的体积;(3)证EF丄平面［自主解答］(1)证明：因为AB丄平面FAD, PH?平面FAD ,所以PH JAB.因为PH为APAD中AD边上的高，所以PH 1AD.因为PH?平面ABCD , AB A AD = A, AB,AD?平面ABCD , 所以PH丄平面ABCD.连接EG.⑵如图，连接BH，取BH的中点G,因为E是PB的中点，所以EG PH ,1 1且EG = -PH = 2.因为PH丄平面ABCD , 所以EG丄平面ABCD.因为AB丄平面PAD , AD?平面PAD,所以AB丄\D.所以底面ABCD为直角梯形.所以V E-BCF = 3S Z SCF EG =1• FC AD EG =鲁.(3) 证明：取PA中点M，连接MD , ME.1 因为E是PB的中点，所以ME綊T^AB.1又因为DF綊^AB,所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF /MID.因为PD = AD，所以MD _LPA.因为AB丄平面PAD，所以MD 1AB.因为PA A AB = A,所以MD丄平面FAB，所以EF丄平面FAB.呂由题悟法证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理.⑵利用判定定理的推论(a// b, a丄a? b丄汰⑶利用面面平行的性质(a丄a, a// 3? a± 3).(4) 利用面面垂直的性质.当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.EJ以题试法2. (2012启东模拟)如图所示，已知PA丄矩形ABCD所在平面, M , N分别是AB, PC的中点.(1) 求证：MN丄CD ;(2) 若/ PDA = 45°求证：MN丄平面PCD.证明：(1)连接AC, AN, BN,••PA丄平面ABCD , /PA1AC,1在Rt△AC 中，N 为PC 中点，••• AN = ^PC.••PA丄平面ABCD，/PAJBC,又BC _1AB,PA A AB= A,••BC 丄平面PAB./BC1PB.从而在RtAPBC中，BN为斜边PC上的中线，1「BN = ?PC.••AN = BN. •△BN为等腰三角形，又M为AB的中点，• MN _LAB,又TAB CD , AMN JCD.⑵连接PM , MC ,Vz PDA = 45 °PAAAD, A AP = AD.• •四边形ABCD 为矩形，• AD = BC,「AP = BC./?又为AB的中点，••• AM = BM.而/PAM = ZCBM = 90°• △AM 也/CBM .•'PM = CM.又N为PC的中点，• MN JPC.由⑴知，MN _LCD , PC A CD = C，/MN 丄平面PCD.面面垂直的判定与性质［例3］ (2012江苏高考)如图，在直三棱柱ABC —A i B i C i中，"B!=A i C i, D, E分别是棱BC, CC i上的点(点D不同于点C),且AD丄DE , F为B iC i的中点.求证：⑴平面ADE丄平面BCC i B i；(2)直线A i F //平面ADE.ti ［自主解答］(i)因为ABC —A i B i C i是直三棱柱，所以CC i丄平面ABC,又AD?平面ABC，所以CC i L AD.又因为AD IDE , CC i, DE?平面BCC i B i,CC i A DE = E,所以AD丄平面BCC i B i.又AD?平面ADE ,所以平面ADE丄平面BCC i B i.⑵因为A i B i= A i C i, F为B i C i的中点，所以A i F _LBi C i.因为CC i丄平面A i B i C i，且A i F?平面A i B i C i,所以CC il A i F.又因为CC i, B i C i?平面BCC i B i, CC i A B i C i= C i,所以A i F丄平面BCC i B i.由⑴知AD 丄平面BCC i B i ，所以A i F/AD. 又AD?平面ADE , A i F?平面ADE , 所以A i F //平面ADE.呂由题悟法1. 判定面面垂直的方法： （i ）面面垂直的定义.⑵面面垂直的判定定理（a 丄B, a? a a 丄2. 在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直. 转化方法：在一个平面内作交线的垂线， 转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.$以题试法3. （20i2泸州一模）如图，在四棱锥P — ABCD 中，底面ABCD 为 菱形，/ BAD = 60° Q 为AD 的中点.⑴若PA = PD ，求证：平面 PQB 丄平面PAD ;⑵若点M 在线段PC 上，且PM = tPC （t>0），试确定实数t 的值, 使得FA //平面MQB.解：（1）因为FA = PD , Q 为AD 的中点，所以 PQ 丄AD. 连接BD ，因为四边形 ABCD 为菱形，/ BAD = 60° 所以AB = BD. 所以BQ 丄\D.因为BQ?平面PQB , PQ?平面PQB , BQ A PQ = Q , 所以AD 丄平面PQB.因为AD?平面PAD ，所以平面 PQB 丄平面PAD.证明如下:连接AC ,设AC n BQ = O ,连接 OM •在△AOQ 与△COB 中， 因为 AD BC ,所以/OQA=ZOBC,ZOAQ = ZOCB. 所以…。
