人教版高一数学教案-复合函数的导数
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§1.2.3複合函數的導數
【學情分析】：
在學習了用導數定義這種方法計算常見函數的導數,而且已經熟悉了導數加減運算法則後.本節將繼續介紹複合函數的求導方法.
【教學目標】：
(1)理解掌握複合函數的求導法則.
(2)能夠結合已學過的法則、公式，進行一些複合函數的求導
(3)培養學生善於觀察事物，善於發現規律，認識規律，掌握規律，利用規律．
【教學重點】：
簡單複合函數的求導法則，也是由導數的定義匯出的，要掌握複合函數的求導法則，須在理解複合過程的基礎上熟記基本導數公式，從而會求簡單初等函數的導數並靈活應用.
【教學難點】：
複合函數的求導法則的導入,複合函數的結構分析,可多配例題, 讓學生對求導法則有一個直觀的瞭解.
【教學過程設計】：
教學環節 教學活動 設計意圖
(1)複習常見函數導數以及四則運算. 作業講評及提問,回憶常見函數的導數公式和導數四則運算,會解釋導數實際意義. 為課題引入作鋪墊.
(2)教科書P16思考題 如何求函數ln(1)yx的導數? 開門見山提出問題.
(3) 複合函數的定義. (1) 複合函數的定義.
(2)比較複合函數與基本初等函數的異同? 直接給出定義,並與基本初等函數相區別和聯繫.
(4)例題選講
例1試說明下列函數是怎樣複合而成的？
(1)32)2(xy；
⑵2sinxy；
⑶cos()4yx
⑷)13sin(lnxy．
例2寫出由下列函數複合而成的函數：
⑴uycos，21xu； 允許討論,
允許提問,
允許爭論,
允許修正,
允許置疑.
老師點評. 說明：討論複合函數的構成時，“內層”、“外層”函數一般應是基本初等函數，如一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數等．
⑵uyln，xuln．
例3.求函數
2(32)yx的導數. (1) 能否用學過四則運算解決問題?
(2)新方法：將函數2(32)yx看作是函數2yu和函數32ux複合函數，並分別求對應變數的導數如下：2()2uyuu，(32)3xux
兩個導數相乘，得
232(32)31812uxyuuxx， 從而有xuxuyy'''
對於一般的複合函數，結論也成立，以後我們求y′x時，就可以轉化為求yu′和u′x的乘積，關鍵是找中間變數，隨著中間變數的不同，難易程度不同.
(3)能否用方法(2)解決(2)教科書P16思考題: 如何求函數ln(1)yx的導數?
(4)學生動手,可板演,可用實物投影儀講評. 兩種方法作對照與比較,體會不同的解決方
法與策略.鼓勵學生模仿並及時修正.
(6)自學教科書P17例4. 學生自學,教師巡堂並答疑. 在摸索中熟悉.
(7)例4:
求y=sin2(2x+3)的導數.
分析: 設u=sin(2x+3)時，求'xu，但此時u仍是複合函數，所以可再設v=2x+3.
解略. 必要時老師應板書詳細過程.
(8) 課堂練習：
1．求下列函數的導數(先設中間變數，再求導).
(1)y=(5x－3)4
(2)y=(2+3x)5
(3)y=(2－x2)3
(4)y=(2x3+x)2
(1)20(5x－3)3
(2) 15(2+3x)4
(3) －6x(2－x2)2
(4) 24x5+16x3+2x
可板演，可小測。
核對答案、講評並小結. 鞏固提高. (10)課堂小結 ⑴複合函數求導，要注意分析複合函數的結構，引入中間變數，將複合函數分解成為較簡單的函數，然後再用複合函數的求導法則求導；
⑵複合函數求導的基本步驟是：分解——求導——相乘——回代.
(11)作業佈置:教科書P18A3,4(6),8,B3
練習與測試:
1．填空：
(1)2222)1() ()1)( ()1(xxxxx；(2)xxxxx222sin4) )(1(sin) ()sin21(
2.求下列函數的導數：(1)y=xaxa (2)y=232xx (3)y=tanx (4)y=xcos11
3.判斷下列求導是否正確，如果不正確，加以改正.
222sin)cos1(2)cos1(xxxxxxx
4.求y=xxsin12的導數.
5.求y=xxxcos423的導數.
6.求函數y=(2x2－3)21x的導數.
參考答案:
1．(1)∵22222)1()1()1()1(xxxxxxx222)1()2()1)(1(xxxx
(2) 2222)sin2()sin2)(1(sin2)1()sin21(xxxxxxx
xxxxxxxxxx2222sin4)cos2)(1(sin)4(sin4)cos2)(1(sin22
2. (1)y′=(xaxa)′2)())(()()(xaxaxaxaxa
22)(2)()()(xaaxaxaxa (2)y′=(232xx)′2222)3()3)(2()3()2(xxxxx
342423491239)6)(2(3xxxxxxxxx
(3)y′=(tanx)′=(xxcossin)′2)(cos)(cossincos)(sinxxxxx
xxxxx22222seccos1cossincos
(4)y′=(xcos11)′2)cos1()cos1(1)cos1(1xxx
＝22)cos1(sin)cos1(sin)cos1(0xxxxx
3.不正確，分母未平方，分子上正負號弄錯.
2222231cos(1cos)(1cos)()()()sin2cos2xxxxxxxxxxx
4.y′=(xxsin12)′222)(sin))(sin1(sin)1(xxxxx
xxxxx22sincos)1(sin2
5.y′=(xxxcos423)′222323)cos()cos)(4(cos)4(xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx233424524242322coscos)8(sin)4(cossinsin4cos8coscos)sincos2)(4(cos3
xxxxx22sincos)1(sin2 5.y′=(xxxcos423)′222323)cos()cos)(4(cos)4(xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx233424524242322coscos)8(sin)4(cossinsin4cos8coscos)sincos2)(4(cos3
6. 分析: y可看成兩個函數的乘積，2x2－3可求導，21x是複合函數，可以先算出21x對x的導數.
令y=uv，u=2x2－3，v=21x, 令v=，ω=1+x2
xxvv =() (1+x2) x′
=22211122)2(21xxxxx
∴yx′=(uv) x′=u x′v+uv x′
=(2x2－3) x′·21x+(2x2－3)·21xx
=4x23232161321xxxxxxx
即yx′=2316xxx.
