高中数学抽象复合函数教案

高二数学分段函数抽象函数与复合函数试题

1. 已知函数f（x）=，对任意的x∈[0，1]恒有f（x+a）≤f（x）成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】数形结合法，由图象可知当，，时，对任意的，恒有f（x+a）≤f（x）成立；当，，时容易举出反例，答案为。

【考点】1.二次函数的图象与性质；2.分段函数的性质；3.恒成立问题

2.

已知函数，则函数的值为

．

【答案】

【解析】,由分段函数则.

【考点】分段函数求值，对数运算.

3. 已知定义在复数集C上的函数，则在复平面内对应的点位于第______象限．

【答案】一

【解析】由分段函数知，，对应的点为，位于第一象限．

【考点】复数的运算，分段函数求值，复数的几何意义．

4. 已知分段函数，则等于（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当，，从而根据定积分的可加性可知

，故选C.

【考点】定积分的计算.

5. 定义域为的函数满足当时，，若时， 恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】当时，，；当时，，，当时，，，；当时，，，，综上所述，故，解得或，故选C.

【考点】1.分段函数；2.二次函数的性质；3.指数函数的性质.

6. 已知函数．

（1）求证：；

（2）解不等式

【答案】（1）利用分段函数的三段论来得到结论。

（2）

【解析】（1），

又当时，，∴

（2）当时，；

当时，；

当时，

综合上述，不等式的解集为：

【考点】二次不等式

点评：主要是考查了绝对值不等式以及二次不等式的求解，属于基础题。

7. 设，若，则a＝ . 【答案】3 【解析】因为，，所以，，，由得，a=3. 【考点】分段函数的概念，定积分计算，对数函数的性质。 点评：中档题，解答思路比较明确，注意先化简函数，在建立a的方程。 8. 设函数则满足的的值为 ． 【答案】3 【解析】当时，由得，，解得，这与矛盾，舍去；当时，由得，，解得，符合，取。 【考点】分段函数 点评：解决分段函数的问题，都需要分情况进行讨论。 9. 已知定义在上的函数，满足对任意，都有成立，则= 。 【答案】0或1006 【解析】令a=b=0得：f（0）=f（0）+2f2（0）⇒f（0）=0；令a=0，b=1得：f（1）=f（0）+2f2（1）⇒f（1）=0或f（1）=，令a=n，b=1得：f（n+1）=f（n）+2f2（1），当f（1）=0时，f（n+1）=f（n），则f（2012）=0；当f（1）=时，f（n+1）=f（n）+，构成一个等差数列，则f（2012）=f（1）+2011×=1006，则=0或1006

复合函数与反函数的性质教案

一、引言

复合函数与反函数是高中数学中常见的概念，对于学生来说，掌握它们的性质和应用至关重要。本篇教案将详细介绍复合函数与反函数的性质以及相关的教学方法。

二、复合函数的定义

复合函数是将一个函数的输出作为另一个函数的输入的一种运算。设f(x)和g(x)为两个函数，则它们的复合函数记作f(g(x))，表示先对x进行g的运算，再对得到的结果进行f的运算。

三、复合函数的性质

1. 结合律：对于函数f(x)、g(x)和h(x)，有[f(g(x))]h(x) =

f([g(x)]h(x))，即复合函数的运算满足结合律。

2. 唯一性：对于同一对函数f(x)和g(x)，不同的复合函数可能有不同的定义域和值域。

3. 可逆性：若函数f(x)和g(x)满足f(g(x)) = x，则g(x)是f(x)的反函数，反之亦成立。

四、反函数的定义

反函数是指如果函数f(x)的定义域与值域互换，则称存在反函数g(x)。反函数可以将函数的输出值还原成输入值。 五、反函数的性质

1. 反函数与原函数互为逆运算：若g(x)是f(x)的反函数，则g(f(x))

= x，f(g(x)) = x。

2. 一一对应：反函数是一一对应的函数，即每个自变量对应唯一的因变量。

3. 图像对称：若函数f(x)的图像关于直线y = x对称，则函数g(x)为其反函数。

六、教学方法

1. 导入阶段：通过导入相关的生活场景或问题，引发学生的兴趣和思考，如复合函数在数学建模中的应用。

2. 知识讲解阶段：简明扼要地介绍复合函数和反函数的定义、性质和重要概念。

3. 示例展示阶段：通过一些具体的例子，引导学生理解复合函数和反函数的概念与性质，并运用其解决问题。

4. 练习巩固阶段：提供一定数量的练习题，巩固学生对复合函数和反函数的理解和应用。

5. 拓展延伸阶段：引导学生深入思考和探究复合函数和反函数的更多性质和应用，开展相关的拓展活动。

高中数学复合函数求导教案

一、复合函数的定义

1. 复合函数是指一个函数由两个或两个以上的函数组合而成的函数。

2. 复合函数的表示：如果函数 f 和函数 g 都是数学上的函数，则复合函数 f(g(x)) 表示先对

x 进行函数 g 的运算，然后再对结果进行函数 f 的运算。这里 g(x) 是函数 g 的输出，f(g(x))

是复合函数的输出。

二、复合函数的求导法则

1. 复合函数的导数公式：设函数 y = f(u)，u = g(x) 为复合函数，则 y 的导数为：

dy/dx = dy/du * du/dx

2. 具体步骤：

a. 先对内函数 u 进行求导，求得 dy/du

b. 再对外函数 y 进行求导，求得 du/dx

c. 最后将两者相乘即可得到最终导数 dy/dx

三、实例演练

例题：已知函数 y = (2x + 1)^2，求 dy/dx

1. 设 u = 2x + 1，则 y = u^2

2. 求内函数 u 的导数：du/dx = 2

3. 求外函数 y 的导数：dy/du = 2u

4. 根据公式，dy/dx = dy/du * du/dx = 2u * 2 = 4u

5. 将 u = 2x + 1 代入，得到 dy/dx = 4(2x + 1)

四、练习题

1. 已知函数 y = sin(x^2)，求 dy/dx

2. 已知函数 y = ln(3x + 2)，求 dy/dx

3. 已知函数 y = e^(2x - 1)，求 dy/dx

五、作业 1. 完成练习题中的题目，写出解题思路和计算过程

2. 自行设计一个复合函数，并求其导数

3. 查阅相关资料，了解复合函数的应用领域及意义

六、总结

1. 复合函数求导是高中数学中的重要内容，掌握其求导法则可以帮助我们解决更复杂的问题。

2. 通过练习和实践，加深对复合函数求导的理解和掌握，提高数学解题能力。

5.2.3 简单复合函数的导数

素养目标

学科素养

1.熟练运用导数公式及运算法则求较复杂函数的导数．(重点、难点)

2．了解复合函数的概念．(难点)

3．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．(重点) 1.数学抽象；

2．逻辑推理；

3．数学运算

情境导学

空气清新可人，水面上的叶子苍翠无比，池塘里的水也绿绿的，偶尔还能看见几条小鱼儿自由自在地游来游去，微风过处池塘水面上泛起粼粼微波，一排接着一排涌向池边，回击在池中，形成回环的波浪．只要留心，生活中处处风景怡人，基本的是朴素之美，复合的是深沉之美．上节课我们学习了简单函数的导数，对于复杂函数的导数又该如何求呢？

1．复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．

2．复合函数的求导法则

一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)函数y＝sin2x是由y＝u2与u＝sinx复合而成的．(√)

(2)函数y＝2ln x中，中间变量为u＝ln x．(√)

(3)若函数y＝ln(2x)，则y′＝12x.( )

× 提示：y′＝22x＝1x.

(4)对复合函数求导时，一般从内层开始，由里及外，层层求导．( ) × 提示：一般是从外层开始，由外及里，层层求导.

1．函数y＝cosnx可由( )

A．y＝un和u＝cosxn复合而成

B．y＝u和u＝cosnx复合而成

C．y＝un和u＝cosx复合而成

D．y＝cosu和u＝xn复合而成

C 解析：y＝cosnx，中间变量为u＝cosx.