集合的交并运算

集合的三种基本运算集合的三种运算分别是有交集、并集、补集。

集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。

集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。

现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。

集合的基本运算：交集、并集、相对补集、绝对补集、子集。

（1）交集：集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集（intersection），记作A∩B。

（2）并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。

（3）相对补集：若A和B是集合，则A在B中的相对补集是这样一个集合：其元素属于B但不属于A，B - A= { x| x∈B且x∉A}。

（4）绝对补集：若给定全集U，有A⊆U，则A在U中的相对补集称为A的绝对补集（或简称补集），写作∁UA。

（5）子集：子集是一个数学概念：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。

符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B。

基数：集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。

当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。

一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。

假设有实数x < y：①[x，y] ：方括号表示包括边界，即表示x到y之间的数以及x和y；②(x，y)：小括号是不包括边界，即表示大于x、小于y的数。

集合的并、交、补运算满足下列定理给出的一些基本运算法则．
定理4.2.1.设A,B,C为任意三个集合,Ω与分别表示全集和空集,则下面的运算法则成立：
1交换律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A；
2结合律：A∪B∪C=A∪B∪C可记作A∪B∪C,
A∩B∩C=A∩B∩C可记作A∩B∩C；
3分配律:A∩B∪C=A∪C∩B∪C,
A∪B∩C=A∩C∪B∩C；
4摩根Morgan律:,；
5等幂律:A∪A=A,A∩A=A；
6吸收律:A∩B∪A=A,A∪B∩A=A；
70―1律:A∪=A,A∩Ω=A,
A∪Ω=Ω,A∩=；
8互补律:,；
9重叠律:,.
证.借助文氏Venn图绘出分配律第一式以及摩根律第一式的证明,余者由读者模仿完成．
例4.2.1试证明等式
证.
＝Ω∩C＝C
对偶.定理4.2.1的九条定律中的每一条都包含两个或四个公式,只要将其中一个公式中的∪换成∩,同时把∩换成∪,把换成Ω,同时把Ω换成,这样就得到了另一个公式,这种有趣的规则称为对偶原理.例如,摩根定律中的∪换成∩,∩换成∪,就得到了另一个摩根公式．
例4.2.2的对偶为；的对偶为；
的对偶式是。

集合的交集与并集集合是数学中一个重要的概念，用于描述具有共同特征的对象的集合。

在集合论中，我们经常会用到两个基本的运算，即交集和并集。

交集是指由两个或多个集合中具有相同元素的元素组成的新的集合，而并集则是由两个或多个集合中所有的元素组成的新的集合。

本文将着重介绍集合的交集与并集，并探讨它们在数学中的应用。

1. 交集的定义与性质交集是指由两个或多个集合中共同元素组成的新的集合。

假设A和B是两个集合，则它们的交集表示为A∩B。

交集的定义可以用集合间的元素关系来描述：若元素x同时属于集合A和集合B，则x属于A∩B。

交集具有以下几个性质：（1）交换律：对于任意集合A和B，有A∩B = B∩A。

即交换交集的操作次序不会改变结果。

（2）结合律：对于任意集合A、B和C，有(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。

即交集的计算满足结合律，可以按照任意次序进行计算。

（3）分配律：对于任意集合A、B和C，有A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)。

即交集与并集满足分配律。

2. 并集的定义与性质并集是指由两个或多个集合中所有元素组成的新的集合。

假设A和B是两个集合，则它们的并集表示为A∪B。

并集的定义可以用集合间的元素关系来描述：若元素x属于集合A或属于集合B，则x属于A∪B。

并集具有以下几个性质：（1）交换律：对于任意集合A和B，有A∪B = B∪A。

即交换并集的操作次序不会改变结果。

（2）结合律：对于任意集合A、B和C，有(A∪B)∪C =A∪(B∪C)。

即并集的计算满足结合律，可以按照任意次序进行计算。

（3）分配律：对于任意集合A、B和C，有A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。

即并集与交集满足分配律。

3. 交集与并集的应用交集和并集在数学中有广泛的应用，特别是在集合论、逻辑学、概率论等领域。

在集合论中，交集和并集是集合运算的基础。

通过交集和并集的组合运算，可以构建更复杂的集合关系，如补集、差集等。

在逻辑学中，交集和并集可以用来表示命题之间的联系。

集合运算交并差集合是数学中常见的一个概念，它是由一组无序的元素所组成的。

在集合理论中，常常需要进行集合的交、并、差等运算。

本文将详细介绍集合运算的概念和常见的操作方法。

一、交集运算交集是指给定两个或多个集合时，由两个或多个集合中共有的元素所组成的新的集合。

交集运算可以用符号"∩"来表示。

例如，有集合A={1, 2, 3, 4, 5}和集合B={4, 5, 6, 7, 8}，则A和B的交集为A∩B={4, 5}。

交集运算即将A和B中共有的元素4和5提取出来。

二、并集运算并集是指给定两个或多个集合时，由这些集合中所有元素所组成的新的集合。

并集运算可以用符号"∪"来表示。

例如，有集合C={1, 2, 3}和集合D={3, 4, 5}，则C和D的并集为C∪D={1, 2, 3, 4, 5}。

并集运算即将C和D中的所有元素合并到一个新的集合中。

三、差集运算差集是指给定两个集合A和B时，由属于A但不属于B的元素所组成的新的集合。

差集运算可以用符号"-"来表示。

例如，有集合E={1, 2, 3, 4, 5}和集合F={4, 5, 6, 7, 8}，则E和F的差集为E-F={1, 2, 3}。

差集运算即从E中去掉属于F的元素。

总结起来，集合运算交并差是在集合理论中常见的操作方法。

交集提取出两个或多个集合中共有的元素，而并集合并了所有集合中的元素，差集则从一个集合中去掉了与另一个集合相同的元素。

在实际应用中，集合运算经常用于数据分析、数据库查询等领域。

例如，在数据库查询中，可以使用交集运算找出两个表格中共有的数据，使用并集运算将两个表格中的数据合并，使用差集运算将两个表格中不同的数据分开。

需要注意的是，在进行集合运算时，要保证操作的对象是集合，即元素无重复且无序。

一般情况下，集合运算允许空集的存在，即不含任何元素的集合。

最后，集合运算交并差是集合理论中重要的概念，它们在数学和计算机科学中都有广泛的应用。

如何计算集合的交集和并集在数学中，集合是由一组元素组成的。

而集合的交集和并集是集合运算中常见且重要的概念。

本文将详细介绍如何计算集合的交集和并集，并给出一些实际的例子来帮助读者更好地理解。

一、集合的交集集合的交集是指两个或多个集合中共有的元素所组成的新集合。

计算集合的交集可以通过以下步骤进行：1. 首先，列出要进行交集运算的集合。

例如，我们有两个集合A={1, 2, 3, 4}和B={3, 4, 5, 6}。

2. 然后，找出这两个集合中共有的元素。

在这个例子中，集合A和集合B的交集是{3, 4}，因为它们两个集合中都包含这两个元素。

3. 最后，将共有的元素组成一个新的集合，即为集合的交集。

在这个例子中，集合A和集合B的交集为{3, 4}。

需要注意的是，如果两个集合没有共有的元素，那么它们的交集将为空集。

例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={4, 5, 6}，那么它们的交集为空集。

二、集合的并集集合的并集是指两个或多个集合中所有元素的集合。

计算集合的并集可以通过以下步骤进行：1. 首先，列出要进行并集运算的集合。

例如，我们有两个集合A={1, 2, 3, 4}和B={3, 4, 5, 6}。

2. 然后，将这两个集合中的所有元素合并在一起。

在这个例子中，将集合A和集合B中的元素合并在一起得到{1, 2, 3, 4, 5, 6}。

3. 最后，将合并后的元素组成一个新的集合，即为集合的并集。

在这个例子中，集合A和集合B的并集为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。

需要注意的是，并集中不会重复出现相同的元素。

如果两个集合中有相同的元素，那么在并集中只会保留一个。

例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，那么它们的并集为{1, 2, 3, 4, 5}，而不是{1, 2, 3, 3, 4, 5}。

三、实际例子为了更好地理解集合的交集和并集的概念，我们来看一些实际的例子。

例子一：小明和小红是一所初中的学生，他们分别喜欢篮球和足球。

集合的交集与并集在数学中，集合是由一组元素组成的，而集合的交集和并集是集合运算中常用的概念。

本文将详细介绍集合的交集和并集的含义、性质以及在实际问题中的应用。

一、集合的交集在集合论中，给定两个集合A和B，它们的交集指的是同时属于集合A和B的所有元素所构成的集合，用符号表示为A∩B。

换句话说，A∩B中的元素必须同时满足属于A和B。

例如，假设有两个集合A={1, 2, 3}和B={2, 3, 4}，它们的交集为A∩B={2, 3}。

因为集合A和集合B都包含元素2和元素3，所以它们的交集就是这两个共有的元素。

集合的交集有以下几个基本性质：1. 交换律：对于任意两个集合A和B，A∩B=B∩A。

2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

3. 吸收律：对于任意两个集合A和B，如果A包含于B，即A⊆B，则A∩B=A。

4. 恒等律：对于任意集合A，A∩A=A。

5. 空集性质：对于任意集合A，A∩∅=∅。

即任何集合与空集的交集为空集。

可以使用交集操作来查找同时满足多个条件的记录；在概率与统计中，交集可以用来计算事件的联合概率等。

二、集合的并集与交集相反，集合的并集指的是由所有属于集合A或属于集合B的元素所构成的集合，用符号表示为A∪B。

换句话说，A∪B中的元素只需属于A或B中的一个即可。

继续以集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}为例，它们的并集为A∪B={1, 2, 3, 4}。

因为集合A和集合B中的元素合并在一起，所以它们的并集就是包含了A和B中所有元素的集合。

集合的并集也具有一些重要的性质：1. 交换律：对于任意两个集合A和B，A∪B=B∪A。

2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

3. 吸收律：对于任意两个集合A和B，如果A包含于B，即A⊆B，则A∪B=B。

4. 恒等律：对于任意集合A，A∪A=A。

5. 全集性质：对于任意集合A，A∪U=U。

集合论中的子集与交并运算集合论是数学中重要的基础理论之一，其中的子集和交并运算是集合论中常用的概念和操作。

子集指的是一个集合中包含的元素全都是另一个集合中的元素，而交并运算则是对两个或多个集合进行元素的交集和并集操作。

一、子集集合A是集合B的子集，表示为A⊆B，当且仅当A中的每个元素都是B中的元素。

例如，若A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}，则A是B的子集。

根据子集的定义，我们可以得到一些重要的性质：1. 自反性：对于任意集合A，A是自身的子集，即A⊆A。

2. 空集是任意集合的子集：空集∅是任意集合的子集，即∅⊆A。

3. 子集关系的传递性：若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集，即如果A⊆B且B⊆C，则A⊆C。

二、交集和并集1. 交集：对于给定的集合A和B，A与B的交集，表示为A∩B，是由同时属于A和B的元素所组成的集合。

例如，若A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A与B的交集为A∩B={2,3}。

交集的性质包括：- 交换律：A∩B = B∩A，即交集满足元素次序无关。

- 结合律：(A∩B)∩C = A∩(B∩C)，即交集满足结合规律。

- 分配律：A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)，即交集对并集满足分配规律。

2. 并集：对于给定的集合A和B，A与B的并集，表示为A∪B，是由属于A或B的元素所组成的集合。

例如，若A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A与B的并集为A∪B={1,2,3,4}。

并集的性质包括：- 交换律：A∪B = B∪A，即并集满足元素次序无关。

- 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，即并集满足结合规律。

- 分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，即并集对交集满足分配规律。

三、运算示例1. 子集的判断：考虑集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6}，判断A是否是B的子集。

解答：观察集合A和B的元素，可以发现A中的每个元素都是B 中的元素，因此A是B的子集。

第7讲 集合的交并补运算【课型】复习课【学习目标】1.掌握集合间的交、并、补运算规律法则2.能熟练进行集合间的交、并、补运算【预习清单】【知识梳理】1．集合的基本运算 集合的交集 集合的并集 集合的补集图形语言符号 语言 A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B } A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A } 2.集合的运算性质(1)交集性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(2)并集性质：A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A .(3)补集性质：A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A .3.常用结论(1))A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .(2)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．【引导清单】考向一：集合间的基本运算【例1】(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{－4，1，3，5}，则A ∩B ＝(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＞1，则∁U (A ∪B )＝ (3)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为【解析】(1)由x 2－3x －4<0，得－1<x <4，即集合A ＝{x |－1<x <4}，又集合B ＝{－4，1，3，5}，所以A ∩B ＝{1，3}。

(2)由已知，得A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |0＜x ＜1}，所以A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－1或x ≥3}.(3)由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4.考向二：集合间运算的综合问题【例2】 (1)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝（2）如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．【解析】(1)易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a 2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2..（2）由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6，0，6}，所以A ∩B ＝{0，6}．【训练清单】【变式训练1】(1)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0，x ∈Z }，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∪B ＝(2)若全集U ＝R ，集合A ＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B ＝{x ||x |≤2}，则如图阴影部分所表示的集合为(3)设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{1}，则B ＝【解析】（1）A ＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }＝{1，2}，所以A ∪B ＝{0，1，2}，（2）∁U A ＝{x |－1≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则所求阴影部分所表示的集合为C，则C＝(∁U A)∩B＝{x|－1≤x≤2}．（3）由题意可得1－4＋m＝0，解得m＝3，所以B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}【变式训练2】(1)已知集合A＝{(x，y)|2x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x＋my＋1＝0}．若A∩B＝∅，则实数m＝（2）设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．【解析】（1）因为A∩B＝∅，所以直线2x＋y＝0与直线x＋my＋1＝0平行，所以m＝12（2）由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又因为新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．【巩固清单】1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝【解析】A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝{x|1≤x＜4}.2．已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，则A∩B＝【解析】因为A＝{x||x|<3，x∈Z}＝{x|－3<x<3，x∈Z}＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x||x|>1，x∈Z}＝{x|x>1或x<－1，x∈Z}，所以A∩B＝{－2，2}.3．已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝【解析】由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.4．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁R A)∪B＝________．【解析】由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，(∁R A)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{x|x－y＝1}，则A∩B＝【解析】：选D.因为集合A中的元素为点集，集合B中的元素为数集，所以两集合没有公共元素，所以A∩B＝∅.6．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝________，A∪B＝________．【解析】A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，A∪B＝(－∞，3]．7．已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，集合B＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是【解析】因为A＝{x∈N|x2≤1}＝{x∈N|－1≤x≤1}＝{0，1}，B＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1，0，1，2，3}．图中阴影部分表示的集合为(∁R A)∩B，∁R A＝{x|x≠0且x≠1}，所以(∁R A)∩B＝{－1，2，3}.8．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x＝n2－1，n∈A}，P＝A∩B，则P的子集共有个【解析】因为B＝{x|x＝n2－1，n∈A}＝{－1，0，3，8}，所以P＝A∩B＝{0，3}，所以P的子集共有22＝4个.9．已知集合A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}．若A∪B＝{－1，0，1，2}，则实数m的值为【解析】因为A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}，A∪B＝{－1，0，1，2}，所以m∈A∪B，且m不能等于A中的其他元素，所以m＝1或m＝2.10．若集合A具有以下性质：(1)0∈A，1∈A；(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，1 x ∈A.则称集合A是“好集”．给出下列说法：①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q 是“好集”③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.其中，正确说法的序号是【解析】①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，1x∈Q，所以有理数集Q是“好集”．③因为集合A是“好集”，则0∈A，由性质(2)知，若y∈A，则0－y∈A，知－y∈A，因此x－(－y)＝x＋y∈A，所以③正确．故正确的说法是②③。