双曲线专题讲义

双曲线专题讲义

一、知识梳理

1．双曲线定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.

(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；

(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；

(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程 x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)

图形

性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a

对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线 y＝±bax y＝±abx

离心率 e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2

实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

注意：巧设双曲线方程

(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．

(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x2m＋y2n＝1(mn<0)．

二、基础检测

题组一：思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )

(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )

(3)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.( )

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.( )

(5)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与x2b2－y2a2＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )

题组二：教材改编

2．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )

A.5 B．5

C.2 D．2

3．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．

题组三：易错自纠

4．已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )

A．(－1,3) B．(－1，3)

C．(0,3) D．(0，3)

5．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )

A.73 B.54 C.43 D.53

6．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±12x，则该双曲线的标准方程为_______．

三、典型例题

题型一：双曲线的定义及标准方程

命题点1：利用定义求轨迹方程

典例 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．

命题点2：利用待定系数法求双曲线方程

典例 根据下列条件，求双曲线的标准方程：

(1)虚轴长为12，离心率为54；

(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；

(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．

命题点3：利用定义解决焦点三角形问题

典例 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________. 引申探究：1．本例中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？

2．本例中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“PF1→·PF2→＝0”，则△F1PF2的面积是多少？

思维升华：(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．

(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．

(3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．

跟踪训练 (1)设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_________．

(2)已知双曲线x24－y2b2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )

A.x24－3y24＝1 B.x24－4y23＝1

C.x24－y24＝1 D.x24－y212＝1

题型二：双曲线的几何性质

典例 (1)已知F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )

A.2x±y＝0 B．x±2y＝0

C．x±2y＝0 D．2x±y＝0

(2)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是______．

思维升华：双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±ba满足关系式e2＝1＋k2.

跟踪训练 已知F1，F2是双曲线E：x2a2－y2b2＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝13，则E的离心率为( )

A.2 B.32 C.3 D．2

题型三：直线与双曲线的综合问题

典例已知直线y＝kx－1和双曲线x2－y2＝1的右支交于不同两点，则k的取值范围是______． 思维升华：(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．

(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．

跟踪训练 已知双曲线x22－y23＝1上存在两点P，Q关于直线y＝x＋b对称，且PQ的中点M在抛物线y2＝9x上，则实数b的值为( )

A．0或－10 B．0或－2

C．－2 D．－10

注意：直线与圆锥曲线的交点

典例 若直线y＝kx＋2与曲线x＝y2＋6交于不同的两点，那么k的取值范围是( )

四、反馈练习

1．双曲线x2a2－y24a2＝1(a≠0)的渐近线方程为( )

A．y＝±2x B．y＝±12x

C．y＝±4x D．y＝±2x

2．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，右焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为( )

A.53 B.355

C.63 D.62

3．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若BA→＝2AF→，且|BF→|＝4，则双曲线C的方程为(

)

A.x26－y25＝1 B.x28－y212＝1

C.x28－y24＝1 D.x24－y26＝1

4．已知离心率为52的双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若2OMFS＝16，则双曲线的实轴长是( )

A．32 B．16

C．84 D．4

5．已知l是双曲线C：x22－y24＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若PF1→·PF2→＝0，则P到x轴的距离为( ) A.233 B.2

C．2 D.263

6．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为13bc3，则双曲线的离心率为( )

A.52 B.53

C.132 D.133

7．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为(

)

A.x24－y212＝1 B.x27－y29＝1

C.x28－y28＝1 D.x212－y24＝1

8．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是

9．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(5，0)，则a＝________；b＝________.

10．设动圆C与两圆C1：(x＋5)2＋y2＝4，C2：(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C的轨迹方程为____________．

11．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．

12．设双曲线x2－y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．

13．已知双曲线x2－y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使sin∠PF2F1sin∠PF1F2＝e，则F2P→·F2F1--------→的值为( )

A．3 B．2

C．－3 D．－2

14．已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为( )