高中数学 第一课 任意角和弧度制教学设计 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案

§1.1.1任意角〔新授课〕[教学目标]要求学生掌握用“旋转〞定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角〞“负角〞“象限角〞“终边相同的角〞的含义。

.[教学重点]理解“正角〞“负角〞“象限角〞“终边相同的角〞的含义[教学难点]“旋转〞定义角[教学过程]一、知识回顾1．回忆：初中是任何定义角的？二、预习自学1.角的概念的推广：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。

其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。

2．正角、负角、零角概念师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于300与7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？3.我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。

4.终边相同的角的表示法观察以下角你有什么发现? 390︒-330︒ 30︒ 1470︒-1770︒，能否再举三个与300角同终边的角？三.典型例题例1 设第一象限的角｝＝锐角｝，的角｝　小于{G {F 90{o==E ，，那么有〔〕．A．B．C．〔〕D．例2用集合表示：〔1〕各象限的角组成的集合．〔2〕终边落在轴右侧的角的集合．〔2〕在～中，轴右侧的角可记为，同样把该X围“旋转〞后，得，，故轴右侧角的集合为．说明：一个角按顺、逆时针旋转〔〕后与原来角终边重合，同样一个“区间〞内的角，按顺逆时针旋转〔〕角后，所得“区间〞仍与原区间重叠．例3 〔1〕如图，终边落在位置时的角的集合是__；终边落在位置，且在内的角的集合是__；终边落在阴影部分〔含边界〕的角的集合是_．四、课堂练习练习：〔1〕请用集合表示以下各角．①～间的角②第一象限角③锐角④小于角．〔2〕分别写出：①终边落在轴负半轴上的角的集合；②终边落在轴上的角的集合；③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；④终边落在四象限角平分线上的角的集合．说明：第一象限角未必是锐角，小于的角不一定是锐角，～间的角，根据课本约定它包括，但不包含．例4在～间，找出与以下各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角〔1〕；〔2〕；〔3〕．解：〔1〕∵∴与角终边相同的角是角，它是第三象限的角；〔2〕∵∴与终边相同的角是，它是第四象限的角；〔3〕所以与角终边相同的角是，它是第二象限角．3．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线是否共面？试证明。

〔三〕给出一般规律ɑ所对弧的长为L ，那么，角ɑ的弧度数的绝对值是|a|=rl 教师引导：继续观察上述表格，看一看∠AOB 的弧度数与∠AOB 的度数的符号有什么关系？〔建立角的集合与实数集之间的一一对应关系，而这种关系在表中很容易发现。

〕 （四）角度制与弧度制的换算360º = 2π rad 180º = π rad 学生回答公式，老师再次强调：必须熟记住180º = π rad ，这是知识的本源.只要记住方法弧度制与角度制的换算就会迎刃而解. 三、应用举例及课 堂练习约15分钟 课本第7页例题1：把67°30′化成弧度；补充：把〔1〕300 ，〔2〕-450化成弧度。

引导学生通过利用换算方法把度换算为弧度，在黑板上写出解题过程.〔强化弧度的表示.〕补充例题2：把(1)54π,(2) 2 化成角度。

引导学生解题，掌握弧度换算为角度的方法〔板书〕.并填写完下表.〔强化互化公式的应用〕再次阐述一一对应关系引入了弧度制之后，角和实数就存在了一一对应的关系〔阐明引入弧度制的优点之一.〕课堂练习：度 00300600 1200 1350 2700弧度4π2π65ππ2π2.将分针拨快15分钟，那么分针转过的弧度数是〔 〕 A -3π B 3π C -2π D 2π 3.5弧度的角所在的象限为〔 〕A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限〔对本节课的重点进行针对性的训练。

〕1，2，3题学生口答，教师多媒体展示，并再次强调互化的两种方法。

rad 01745.01801≈=︒π；815730.57)180(1'︒=︒≈︒=πrad ；〖板书设计〗。

1.1.2《弧度制》说课稿我说课的内容是必修4第一章第一节第二课时《弧度制》。

下面我将从教材分析﹑教法与学法﹑教学过程﹑板书设计、教学反思五个方面进行阐述。

一、教材分析：⒈内容要求：①新课程标准对于《弧度制》的要求是“了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化”。

②实际上高考对弧度制的考察没出过单独的题目，都是掺杂在其他题目中，或者说对它的考察倾向于计算工具的考察。

③另外，本节课有着承上启下的作用。

学生在初中已经学过角的度量单位“度”，本节课还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备。

此外，弧度制统一了度量弧与半径的单位，大大简化了有关公式及运算。

⒉教学目标：知识目标：理解1弧度概念，能进行弧度与角度的互化。

能力目标：我在本节课的教学过程中设置了3个探究，由此提高学生自主解决问题的能力；情感目标：也是通过上述3个探究使学生体验主动提出问题，自主解决问题的快乐；同时懂得事物之间是相互联系的、相互转化的；懂得用联系的观点来看待问题。

⒊教学重点、难点：重点：理解弧度制的意义，能进行角度制与弧度制的互化。

难点：1弧度角定义的合理性。

4．课时的安排及教具准备用一课时来完成这一节内容，使用的教具是多媒体。

二、教法与学法：⒈学情分析：一方面，学生已经学习过角度制的定义；加之教材内容编排上由浅到深、层层递进，因此本节课采用以下教学方法：⑴小组合作教学法：将学生分成8个小组，每组6人左右以便于学生自主探究；⑵运用“问题解决”的教学模式，层层递进的设置一些问题，逐渐的将学生引入到教学过程中，进而获取问题的答案；具体到本节课中，体现为：3次提出问题，学生3次探究，解决3个问题这样一个流程。

另一方面，我所授课的班级学生的基础不是很扎实，平时大部分学生比较懒，不愿意动脑筋，但反应速度还是比较快的。

所以在教学过程中我采取循序渐进的方法，加深他们对基础知识的理解，并加强课堂巩固训练。

2.教法和依据我在本节课中，采用学案导学，学案提前一天下发，上课前我对小组长进行了培训，以此引领学生通过自主学习和小组合作探究的方法进行教学，必要时老师给予适当的点评和补充。

《任意角》教学设计教学目标1、知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与象限角的概念.2、过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．3、情感与态度目标提高学生的推理能力；培养学生应用意识．教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．教学方法数学实验数学实验是计算机技术和数学、软件引入教学后出现的新事物。

数学实验的目的是提高学生学习数学的积极性，提高学生对数学的应用意识并培养学生用所学的数学知识和计算机技术去认识问题和解决实际问题的能力。

不同于传统的数学学习方式，它强调以学生动手为主的数学学习方式。

教学过程课前：结合学案，学生进行预习课上：一、介绍数学实验的过程二、利用多媒体展示本节课需要解决的五大问题1、对比角的两种定义，阐述各自的特点？2、为什么要对角的概念进行推广？3、如何把角的概念推广到任意角？4、在直角坐标系中，所有的角都是象限角吗？锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？第二象限的角一定比第一象限的角大吗？5、终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有几个？所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？三、学生们分组利用计算机软件进行实验，结合昨天的预习寻求五大问题的答案四、学生们上台展示自己的研究成果五、教师点评并作总结，得到五大问题的答案六、例题讲解七、课堂练习八、小结九、布置作业课后：教学反思。

课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

（老师读，学生读，加深理解。

高中数学第一章三角函数第1节任意角和弧度制（第1课时）任意角教案（含解析）新人教A版必修4[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P2～P5的内容，回答下列问题．(1)阅读教材P2“思考”的内容，你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25个小时，你应当如何将它校准？在你调整的过程中，分针转动的方向有什么区别？提示：当手表慢了5分钟时，通常将分针顺时针旋转进行调整；当手表快了1.25小时时，通常将分针逆时针旋转进行调整．故在调整的过程中两种情形分针的转动方向相反．(2)体操中有“转体720°”(即“转体2周”)，“转体1 080°”(即“转体3周”)这样的动作名称，而旋转的方向也有顺时针与逆时针的不同；又如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，OA 绕O旋转所成的角与O′B绕O′旋转所成的角就会有不同的方向．利用我们以前学过的0°～360°范围的角，还能描述以上现象吗？提示：要准确地描述这些现象，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向．故利用0°～360°范围的角，无法描述以上现象．(3)阅读教材P3“探究”的内容，请思考：对于直角坐标系内任一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么这些终边相同的角有什么关系？提示：不唯一．它们之间相差360°的整数倍，即相差k·360°(k∈Z)．2．归纳总结，核心必记(1)角的有关概念有关概念描述定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形图示其中O为顶点，OA为始边，OB为终边记法角α或∠α，或简记为α①②按角的终边位置(ⅰ)角的终边在第几象限，则此角称为第几象限角；(ⅱ)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[问题思考](1)你能说出角的三要素吗？提示：角的三要素是顶点、终边、始边．(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等．(3)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？提示：不对，如果一条射线绕端点按顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小．(4)在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°，这种说法是否正确？提示：不正确，在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转的，故它形成的角为－90°.(5)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小并没有确定，所以角也就不能确定．(6)初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α，β是否相等？提示：不相等．角α为逆时针方向形成的角，α为正角；角β为顺时针方向形成的角，β为负角．[课前反思](1)角的概念：；(2)角的分类：；(3)终边相同的角： .终边相同的角及区域角的表示知识点1[思考1] 终边相同的角一定是相等的角吗？它们之间有什么关系？如何把这一类角表示出来？名师指津：不一定．相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍．可以用集合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}表示．[思考2] 区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，区域角如何表示？名师指津：区域角可以看作是某一范围内的终边相同角的集合．故可把区域的起始、终止边界表示出来，然后组成集合即可．讲一讲1．(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．[尝试解答] (1)与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1 910°＋k ·360°，k ∈Z }．∵－720°≤β＜360°，∴－720°≤－1 910°＋k ·360°＜360°，31136≤k ＜61136. 故k ＝4,5,6，k ＝4时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°.k ＝5时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°.k ＝6时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°.(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y ＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S 1＝{β|β＝0°＋k ·360°，k ∈Z }，而所有与180°角终边相同的角构成集合S 2＝{β|β＝180°＋k ·360°，k ∈Z }，于是，终边在直线y ＝0上的角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·180°，k ∈Z }．②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y ＝－x 上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y ＝－x 上的角的集合为S ＝{β|β＝135°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝315°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }．③终边在直线y ＝x 上的角的集合为{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z }，结合②知所求角的集合为S ＝{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }＝{β|β＝45°＋2k ·90°，k ∈Z }∪{β|β＝45°＋(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{β|β＝45°＋k ·90°，k ∈Z }．(3)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z }．故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．类题·通法(1)在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法①把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．②要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．(2)区域角的写法可分三步①按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；③用不等式表示区域内的角，组成集合．练一练1．已知角α＝2 018°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.解：(1)由2 018°除以360°，得商为5，余数为218°，∴取k＝5，β＝218°，α＝5×360°＋218°.(2)与2 018°角终边相同的角为k·360°＋2 018°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2 018°<720°，k∈Z，∴k取－6，－5，－4，将k的值代入k·360°＋2 018°中，得角θ的值为－142°，218°，578°.象限角的判断知识点2[思考1] 若α为第一象限角，则α的顶点、始边、终边各有什么特点？提示：若α为第一象限角，则α的顶点为坐标原点、始边与x轴的正半轴重合，终边处在第一象限．[思考2] 如何判定象限角？提示：(1)根据图形判定；(2)根据终边相同的角的概念判定．讲一讲2．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[尝试解答] 作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．类题·通法给定角α所处象限的判定方法法一：第一步，将α写成α＝k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式．第二步，判断β的终边所在的象限．第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．法二：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．练一练2．(1)已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°.其中是第二象限角的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④(2)若β是第四象限角，则180°－β是第________象限角．解析：(1)－120°角是第三象限角；－240°角是第二象限角；180°角不在任何一个象限内；495°＝360°＋135°，所以495°角是第二象限角．(2)因为β是第四象限角，所以取β＝－20°，则180°－β＝200°，为第三象限角． 答案：(1)D (2)三知识点3nα或αn 所在象限的判定 讲一讲3．若α是第二象限角，则2α，α2分别是第几象限的角？ [尝试解答] (1)∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，∴180°＋k ·720°<2α<360°＋k ·720°，∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上．(2)∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )． 法一：①当k ＝2n (n ∈Z )时，45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，即α2是第一象限角；②当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )， 即α2是第三象限角． 故α2是第一或第三象限角． 法二：∵45°＋k ·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k ·180°(k ∈Z )表示终边为y 轴的角，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )表示如图中阴影部分图形．即α2是第一或第三象限角． 类题·通法(1)nα所在象限的判断方法确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．(2)αn 所在象限的判断方法已知角α所在象限，要确定角αn 所在象限，有两种方法：①用不等式表示出角αn 的范围，然后对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是αn 的终边所落在的区域．如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．练一练 3．若角α是第一象限角，则－α，2α，α3分别是第几象限角？ 解：∵α是第一象限角，∴k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )．(1)－k ·360°－90°<－α<－k ·360°(k ∈Z )，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．(2)2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )，∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边落在y 轴非负半轴上的角．(3)法一(分类讨论)：k ·120°<α3<k ·120°＋30°(k ∈Z )． 当k ＝3n (n ∈Z )时， n ·360°<α3<n ·360°＋30°，∴α3是第一象限角； 当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°，∴α3是第二象限角； 当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°，∴α3是第三象限角． 综上可知，α3是第一、第二或第三象限角． 法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的正向的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3角的终边落在的区域，故α3为第一、第二或第三象限角．[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是nα及αn 所在象限的判定．2．本节课要重点掌握以下规律方法(1)求终边相同的角及区域角的表示，见讲1；(2)象限角及nα、αn所处象限的判断，见讲2和讲3.3．本节课的易错点有以下几点(1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角．(2)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法．(3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k·360°，得到所求．课下能力提升(一)[学业水平达标练]题组1 终边相同的角及区域角的表示1．与－457°角的终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}解析：选C 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k ∈Z}．2．若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是( )A．A＝B＝C B．A＝B∩CC．A∪B＝C D．A⊆B⊆C解析：选D ∵90°∈C,90°∉B,90°∉A，∴选项A，C错误；又∵180°∈C,180°∈B,180°∉A，∴选项B错误．故选D.3．若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ，m，n∈Z，则α，β终边的位置关系是( )A．重合 B．关于原点对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称解析：选C 由α＝n·360°＋θ，n∈Z可知α与θ是终边相同的角，由β＝m·360°－θ，m∈Z可知β与－θ是终边相同的角．因为θ与－θ两角终边关于x轴对称，所以α与β两角终边关于x轴对称．4.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α满足30°<α<150°或210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°<α<k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°<α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°<α<(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．答案：{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}5．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来：①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α写出来．解：(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－300°，60°，420°；②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－21°，339°，699°.(2)终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为：－45°，135°.题组2 象限角的判断6．－1 120°角所在象限是( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选D 由题意，得－1 120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1 120°角也在第四象限．7．下列叙述正确的是( )A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．第四象限角一定是负角D．钝角比第三象限角小解析：选B 90°的角是三角形的内角，它不是第一、二象限角，故A 错；280°的角是第四象限角，它是正角，故C 错；－100°的角是第三象限角，它比钝角小，故D 错．8．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B ∵α是第四象限角，∴k ·360°－90°<α<k ·360°.∴k ·360°＋90°<180°＋α<k ·360°＋180°.∴180°＋α在第二象限，故选B.题组3 nα或αn 所在象限的判定9．已知角2α的终边在x 轴上方，那么α是( )A ．第一象限角B ．第一或第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第四象限角解析：选C 由条件知k ·360°<2α<k ·360°＋180°，(k ∈Z )，∴k ·180°<α<k ·180°＋90°(k ∈Z )，当k 为偶数时，α在第一象限，当k 为奇数时，α在第三象限．10.若角α是第三象限角，则角α2的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)( )A ．③⑦B ．④⑧C ．②⑤⑧D ．①③⑤⑦解析：选A ∵α是第三象限角，∴k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°(k ∈Z )，∴k ·180°＋90°<α2<k ·180°＋135°(k ∈Z )． 当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°＋90°<α2<n ·360°＋135°，对应区域③；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋270°<α2<n ·360°＋315°，对应区域⑦.∴角α2的终边所在的区域为③⑦. [能力提升综合练]1．已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A ∩B ＝( )A ．{α|α为锐角}B ．{α|α小于90°}C ．{α|α为第一象限角}D ．以上都不对解析：选D 小于90°的角包括锐角及所有负角，第一象限角指终边落在第一象限的角，所以A ∩B 是指锐角及第一象限的所有负角的集合，故选D.2．下列叙述正确的是( )A ．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．若α是第一象限角，则2α是第二象限角D ．钝角比第三象限角小解析：选B －330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A 错；若α是第一象限角，则k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )，所以2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )，所以2α不一定是第二象限角，故C 错；－135°是第三象限角，135°是钝角，而135°>－135°，故D 错．3．终边与坐标轴重合的角的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·180°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·90°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }解析：选C 终边在x 轴上的角的集合M ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，终边在y 轴上的角的集合P ＝{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }，则终边与坐标轴重合的角的集合S ＝M ∪P ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }＝{α|α＝2k ·90°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·90°，n ∈Z }，故选C.4．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为( )A ．α＋β＝k ·360°，k ∈ZB ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈ZC ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈ZD ．α－β＝k ·360°，k ∈Z解析：选B 法一：特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.法二：直接法：∵角α与角β的终边关于y 轴对称，∴β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z ，即α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .5．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．解析：将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×360°12×60＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°60＝60°，所转成的角度是－60°.答案：－5 －606．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z.得 4α＝k·360°，当k＝3时，α＝270°.答案：270°7．写出终边在如下列各图所示阴影部分内的角的集合．解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．8．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.。

高中数学新人教A 版必修4教案第一章 三角函数1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境： “转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（anyangle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

１．２弧度制一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生明确弧度制的概念，弧度与角度的换算，弧长公式及扇形公式． 教学目的：引导学生认识弧度制，并确立１弧度的含义。

教学意义：培养学生用转化的思想对同一事物进行不同方式描述。

二、教学过程１．１弧度的角定义：我们规定，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角。

这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。

２．弧长公式：一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是０。

如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是rl =||α。

３．弧度与角度的换算：π2360=︒弧度1801()5718'1180rad rad ππ⎧=︒≈︒⎪⇒⎨⎪︒=⎩例 若)(4Z k k ∈+=ππα，则在第几象限？一、三 例 填写特殊角的换算对应表：度０° ３０° ４５° ６０° ９０° 弧度０ 6π 4π 3π 2π １２０° １３５° １５０°１８０° ２７０° ３６０° 23π 34π 56π π 32π 2π４．弧度制下的弧长公式及扇形公式：R l ||α=，22121R lR S α==。

例 已知半径为10的圆中，弦AB 的长为10。

（1） 求弦AB 所对的圆心角α的大小；3π （2） 求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形面积。

π310，)233(50-π 例 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？2,10==αr三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．若α是第三象限角，则απ+所在的象限是（ Ａ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限２．若βα,满足22πβαπ<<<-，则βα-的取值范围是 )0,(π- ．３．若三角形的三个内角之比为3:2:1，则此三角形的最小内角的弧度数为 6π ．４．如图所示，已知单位圆上一点)0,1(A 按逆时针方向做匀速圆周运动，s 1时间转过的弧度数是(0)θθπ<≤，经过s 2到达第三象限，经过s 14又转到最初位置，则θ的弧度数是 75,74ππ ．五、课后作业 同步练习1. 半径为2的圆中，弧长为4的弧所对圆心角大小是多少？ ２２．已知扇形周长为10，为4，求扇形的圆心角。

教材：2019年人教A版高中数学必修一课题：第五章三角函数5.1任意角与弧度制（第一课时）合肥一六八中学贾秋雨一、内容和内容解析1.内容：本节的内容包括任意角和弧度制，知识结构如下：2.内容解析：①内容的本质：周期性变化现象随处可见，圆周运动是研究这种现象的变化规律的理想载体，在圆周上一点的运动过程中，角的范围将超出0°~360°,因此有必要推广角的概念；②蕴含的思想和方法：研究思路如下：初中角的定义→任意角的概念→象限角→终边相同的角→弧度制大概念→弧度制与角度制的换算.利用数形结合的思想，从具体到抽象，利用圆上的点的位置变化的刻画从旋转的角度给出任意角的概念；通过类比长度、质量的不同度量制引入弧度制的概念；③知识的上下位关系：学生初中学习过的角的定义和度量方法是研究本单元的基础；将角的概念推广到任意角并用实数来度量是进一步研究三角函数的基础.因此本单元的教学具有承上启下的作用；④育人价值：任意角和弧度制是从现实中随处可见的周期性变化现象出发，借助单圆上的点运动规律发现的，本单元是培养学生发现和提出问题、分析和解决问题，发展学生直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养很好的载体．⑤教学重点：将0°到360°范围的角扩充到任意角，弧度制，弧度与角度的互换.二、目标和目标解析1.目标：(1)了解任意角及象限角的概念，掌握任意角的加减运算，发展学生数学抽象的核心素养；(2)掌握用集合语言表示终边相同角的关系；(3)初步体会弧度制引入的背景及必要性，理解同一个量可以用不同的单位制来度量；(4)在半径不同但圆心角相同的扇形中，利用初中学习的扇形的弧长公式能够发现弧长与半径的比不变，从而体会用比值作为弧度制定义的合理性，加深弧度制概念的理解.在此过程中学生可以感受数学抽象的层次性及逻辑推理的严谨性；(5)体会弧度制是度量角的一种方式，并能利用进行弧度制与角度制的互化，利用单位圆中弧长等于半径的圆心角，直观感受用长度度量1弧度的大小，能证明并灵活运用一些关于扇形的公式，同时理解角与实数之间的一一对应关系.2.目标解析：达成上述目标的标志是：(1)对于一个给定的任意角，学生能说出旋转方向及旋转量，并能在直角坐标系中作出该角，还能判断它是第几象限角；对于两个角，会判断它们是否相等或是否为相反角，如果相加、相减后，从数量上，知道结果是正角、负角或零角，从图形上，还能解释是通过怎样的旋转得到的；(2)学生能准确使用集合语言表示终边相同角的关系，知道终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍，体会数形结合的思想及由特殊到一般的归纳思想；(3)学生已有的知识经验明白度量长度、质量可以用不同的单位制，不同的单位制可以给解决问题带来方便，因此初步体会引入弧度制的必要性；(4)在探究如何科学合理地定义弧度制这一概念的过程中，学生经历了从特殊到一般的探究过程，首先从不同半径的圆周中提炼出不变的量是圆周角的大小和周长与半径的比值，进一步推广到更为一般的圆心角为所对弧长与半径的比值不变，通过认识、理解、把握弧度制的本质，学生经历概念形成的全过程，能描述1弧度角的概念，达成理解弧度制这一目标.(5)在弧度制的应用过程中，学生认识到角度制和弧度制之间的关系，能找到两种度量制之间的换算桥梁是，通过写特殊角的弧度数来熟练角度与弧度的换算，提高运用有关知识解决问题的能力，达成角度与弧度互化的目标；通过例3证明弧度制下扇形的弧长和面积公式，学生体会弧度制的简洁性.三、教学问题诊断分析本节教学难点:任意角概念的建构，用集合表示终边相同的角，弧度制的概念．1.本单元的第一个难点是学生如何理解角的范围的扩充.学生已经比较熟悉数系扩充的过程与方法，角的范围的扩充与数系扩充是完全类似的，只是关于角的运算只有加减.因此在扩充过程中要注意以下教学过程：引进360°的角和负角的必要性，其要点是“角是转出来的”，射线绕端点旋转时，确定一个旋转需要旋转量和旋转方向两个要素；定义任意角时必须明确定义的对象集合中怎样的两个元素是“相同的”，这是后续研究的基础；引入象限角，让角的顶点与原点重合、始边与x轴非负半轴重合，从而使角的表示统一化、标准化、简单化，更重要的是使任意角成为刻画周而复始现象的数学工具.2. 本单元的第二个难点是如何引导学生发现和提出“终边相同的角的表示”.引入象限角表示后，出现的问题是：给定一个角，其终边唯一确定，但一条终边却可以对应无数个角.这时可以提出一个问题：两个角，其始边、终边都相同，那么它们之间一定有内在联系，有怎样的联系呢？一般地，确定同一事物两种表示之间的联系、转化，是数学的一个基本任务.教学时，可以从上述一般性角度提出问题，再由形到数、从具体到抽象，把“角的终边绕原点旋转整数周回到原来位置”用数量关系表示出来就得到结果.3.本单元的第三个难点是如何理解弧度制？把握任何度量制，度量单位的理解是根本.1弧度的意义是什么？从名称上就可以知道这是用圆的弧长来度量角的大小，这里有一个问题要解决：如图，QQ1和PP1所对圆心角都是α，但它们的弧长显然不等，是与半径相关的.联系到初中阶段学过的弧长公式 (其中n是α的度数)，可以发现，这说明随α的确定而唯一确定.这样，利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角，把长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小定义为1弧度，就做到了度量上的完备性和纯粹性.四、教学支持条件分析在信息技术的支持下，可以动态地表现角的终边旋转的过程，有利于学生观察角的大小变化与终边位置的关系，因此要注意用信息技术帮助学生了解任意角和弧度制的概念. 五、教学过程设计播放章首引入微课视频微课文字：同学们好，其实在我们的现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性。

任意角与弧度制任意角与弧度制【教学目标】（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；【教学重点难点】重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.【学前准备】：多媒体，预习例题电脑、三角板2.象限角3.终边与角α相同的角 α+K×360°，K ϵZ五.布置作业完成课后习题六．教学反思弧度制【教学目标】1．理解1弧度的角、弧度制的定义。

2．掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算。

3．熟记特殊角的弧度数【教学重难点】教学重点：弧度制的概念，弧度制与角度制的互化； 教学难点：弧度制概念的建立与理解． 【学前准备】：多媒体，预习例题 教学课程 第一课教学环节导案/学案师生互动//随堂测试备注一、复习引入（5分钟） 1. 有一个扇形的篱笆，半径为3m ，圆心角为135°，则篱笆的弧长和面积分别是多少？2. 有一个扇形的篱笆，若已知其周长为10m ，求扇形的面积最大时圆心角的大小？a. 置角的顶点于原点b. 始边重合于X 轴的非负半轴c. 终边落在第几象限就是第几正角：射线按逆时针方向旋转所形成的角 负角：射线按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转形成的角二..探究新知（25分钟）1.在角度制下，扇形的弧长公式180n Rlπ=看上去有点繁琐，能不能想办法简化？形成概念，构建知识2. 这样我们就有180=πo，依次类推360=290=60=23πππo o o L，，，，我们发现了衡量角度大小的另一种单位．那么这种度量角的公式是怎么样的？3. 这样定义合理吗，这个角会不会随着圆的半径变化而变化呢？4、即1lnR=．同时会思考，这样一个定义的合理性，对于这个问题，通过代数上的公式变形及几何上的相似比的显示，都可以验证定理的合理性．那么1弧度的角是怎样定义的呢？它有什么特殊含义？若1R=，即单位圆的圆心角的弧度数跟弧长。

任意角与弧度制课时教学设计课题5.1任意角与弧度制授课时间： 年 月 日课型：新授课课时：第一课时数学核心素养目标1.通过探索让学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”、“终边相同的角”的含义。

2.培养学生判断推理和化归转化能力，加强数形结合思想的运用。

3. 培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比 等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力。

学习重点难点教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法； 教学难点： 终边相同的角的表示； 教学准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体课件，三角尺，直尺 学习活动设计环节一：情景引入，温故知新 一、问题情境：1.思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？2．复习：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.3．情境：生活中很多实例不在范围]360,0[00内. 体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？4．问题：这些例子不仅不在范围]360,0[00，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（二）教授新课 二、建构理论： 1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点．突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”ABαO⑵“正角”与“负角”、“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角α或α∠ 可以简记成α.⑶意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了. 1︒ 角有正负之分 如：α=210︒β=-150︒γ=660︒ 2︒ 角可以任意大3︒ 还有零角： 一条射线，没有旋转.要注意：正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．2．“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角. 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）.例如：30︒、390︒、-330︒是第象一限角，300︒、-60︒是第四象限角，585︒、1180︒是第三象限角，-2000︒是第二象限角等.3.终边相同的角观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和： 390︒=30︒+360︒)1(=k -330︒=30︒-360︒)1(-=k30︒=30︒+0×360︒)0(=k 1470︒=30︒+4×360︒)4(=k -1770︒=30︒-5×360︒)5(-=k⑶结论：所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. ⑷注意以下四点： ①Z k ∈②α是任意角；③0360⋅k 与α之间是“+”号，如︒-⋅303600k ，应看成)30(3600︒-+⋅k .④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．教师活动：通过对问题情景中4个问题的引入，让学生思考并从实际问题中抽象找出其中的角的关系，教师进行补充说明；通过现实生活中的问题，引导学生进一步的观察，研究。

1.1.2 任意角（2）一、课题：任意角（2）二、教学目标：1．熟练掌握象限角与非象限角的集合表示；2．会写出某个区间上角的集合。

三、教学重、难点：区间角的表示。

四、教学过程：（一）复习：1．角的分类：按旋转方向分；按终边所在位置分。

2．与角α同终边的角的集合S 表示。

3．练习：把下列各角写成360(0360)k αα⋅+≤<的形式，并指出它们所在的象限或终边位置。

（1）135-； （2）1110； （3）540-．（答案）（1）135360225,-=-+ 第三象限角。

（2）1110336030=⋅+， 第一象限角。

（3）540(2)360180-=-⋅+，终边在x 轴非正半轴。

（二）新课讲解：1．轴线角的集合表示例1：写出终边在y 轴上的角的集合。

分析：（1）0到360的角落在y 轴上的有90,270；（2）与90,270终边分别相同的角的集合为：{}{}{}{}12|90360,|902180,|270360,|90(21)180,S k k Z k k Z S k k Z k k Z ββββββββ==+⋅∈==+⋅∈==+⋅∈==++⋅∈（3）所有终边在y 轴上的角的集合就是1S 和2S 并集：12S S S ={}{}|902180,|270(21)180,k k Z k k Z ββββ==+⋅∈=++⋅∈ {}|90180,n n Z ββ==+⋅∈． 拓展：（1）终边在x 轴线的角的集合怎么表示？ {}|180,S n n Z ββ==⋅∈；（2）所有轴线角的集合怎么表示？ {}|90,S n n Z ββ==⋅∈；（3）相对于轴线角的集合，象限角的集合怎么表示？ {}|90,P n n Z ββ=≠⋅∈． 提问：第一、二、三、四象限角的集合又怎么表示？ （略）例2：写出第一象限角的集合M ．分析：（1）在360内第一象限角可表示为090α<<；（2）与0,90终边相同的角分别为0360,90360,()k k k Z +⋅+⋅∈；（3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为： {}|36090360,M k k k Z ββ=⋅<<+⋅∈．学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：{}|90360180360,P k k k Z ββ=+⋅<<+⋅∈；{}|90360180360,N k k k Z ββ=+⋅<<+⋅∈；{}|270360360360,Q k k k Z ββ=+⋅<<+⋅∈．说明：区间角的集合的表示不唯一。

第一章三角函数1.1 任意角和弧度制学习目标1、知道任意角的定义，知道正角、负角、零角与象限角的概念2、掌握终边相同角的表示方法，并能解决一些简单问题。

【重点、难点】：1、将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合；2、用集合来表示终边相同的角.【知识链接】：角的定义学习过程【探索——任意角的概念】阅读课本2-3页回答下面的问题：1、初中时候学习角是怎样定义的？2、在日常生活中，你能举出几个旋转角度大于360度的例子吗？3、按____________方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做__________ ；如果____________________________，我们称它形成了一个零角；综上，我们把角的概念推广到__________，任意角包括_____________________。

4、①你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确？假如你的手表快了1.3小时，你应当怎样将它调整准确?当时间调整准确后，分针转过了多少度角？②体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度?5、在平面直角坐标系中讨论角时，为了讨论问题的方便，我们____________________，角的始边与x轴的__________重合，那么，___________________，我们就说这个角是_______________；如果角的终边在坐标轴上，我们则认为______________________。

【思考1】60o 角、740o角、-135o角、-510o角，分别在哪一象限？【思考2】在直角坐标系中，给定一个角，就有唯一一条边与这个角相对应吗？反之，在直角坐标系中，给定一条终边，就有唯一一个角与之相对应吗？为什么？【探索——终边相同角的表示】阅读课本第4页上端内容，将课文补充完整，并回答下面的问题：2、所有与角α终边相同的角，连同角α在内，怎样用一个集合表示出来？即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 _________________________________。