poisson distribution 的例子

泊松分布去年12⽉，美国康涅狄格州发⽣，造成28⼈死亡。

显⽰，1982年⾄2012年，美国共发⽣62起（⼤规模）枪击案。

其中，2012年发⽣了7起，是次数最多的⼀年。

去年有这么多枪击案，这是巧合，还是美国治安恶化了？前⼏天，我看到⼀篇很有趣的，使⽤（Poisson distribution），判断同⼀年发⽣7起枪击案是否巧合。

让我们先通过⼀个例⼦，了解什么是"泊松分布"。

已知某家⼩杂货店，平均每周售出2个⽔果罐头。

请问该店⽔果罐头的最佳库存量是多少？假定不存在季节因素，可以近似认为，这个问题满⾜以下三个条件：（1）顾客购买⽔果罐头是⼩概率事件。

（2）购买⽔果罐头的顾客是独⽴的，不会互相影响。

（3）顾客购买⽔果罐头的概率是稳定的。

在统计学上，只要某类事件满⾜上⾯三个条件，它就服从"泊松分布"。

泊松分布的公式如下：各个参数的含义： P：每周销售k个罐头的概率。

X：⽔果罐头的销售变量。

k：X的取值（0，1，2，3...）。

λ：每周⽔果罐头的平均销售量，是⼀个常数，本题为2。

根据公式，计算得到每周销量的分布：从上表可见，如果存货4个罐头，95%的概率不会缺货（平均每19周发⽣⼀次）；如果存货5个罐头，98%的概率不会缺货（平均59周发⽣⼀次）。

现在，我们再回过头，来看美国枪击案。

假定它们满⾜"泊松分布"的三个条件： （1）枪击案是⼩概率事件。

（2）枪击案是独⽴的，不会互相影响。

（3）枪击案的发⽣概率是稳定的。

显然，第三个条件是关键。

如果成⽴，就说明美国的治安没有恶化；如果不成⽴，就说明枪击案的发⽣概率不稳定，正在提⾼，美国治安恶化。

根据，1982--2012年枪击案的分布情况如下：计算得到，平均每年发⽣2起枪击案，所以λ = 2 。

上图中，蓝⾊的条形柱是实际的观察值，红⾊的虚线是理论的预期值。

可以看到，观察值与期望值还是相当接近的。

我们⽤（chi-square test），检验观察值与期望值之间是否存在显著差异。

泊松分布因子全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：泊松分布因子（Poisson distribution parameter）是泊松分布中的一个重要参数，它决定了随机事件发生的速率或频率。

泊松分布是描述单位时间内事件发生次数的概率分布，通常应用于描述稀有事件的发生情况，如地震发生的次数、电话呼叫的次数等。

泊松分布因子的大小影响着泊松分布曲线的形状和特征。

一般来说，泊松分布因子越大，表示事件发生的速率越快，泊松分布曲线也越陡峭，事件发生的可能性也越高。

反之，泊松分布因子越小，表示事件发生的速率越慢，曲线也越平缓，事件发生的可能性也越低。

在实际应用中，泊松分布因子的确定往往依赖于具体的问题和样本数据。

一般来说，可以通过历史数据或实验结果来估计泊松分布因子，从而预测未来事件的发生情况。

根据泊松分布的数学性质，泊松分布因子可以通过均值和方差来计算，从而精确地描述事件发生的规律和趋势。

除了影响泊松分布的形状和特征外，泊松分布因子还可以用来比较不同事件之间的发生频率。

通过比较不同事件的泊松分布因子，可以评估事件的重要性和影响力，从而有针对性地制定相应的应对措施和策略。

泊松分布因子在风险管理、运筹学、统计分析等领域都有重要的应用价值。

在实际应用中，我们需要注意泊松分布因子的取值范围和边界条件。

泊松分布因子通常为非负实数，且不应过大或过小，否则可能引发模型不稳定或失真的问题。

在确定泊松分布因子时，需要充分考虑数据的精确性和可靠性，以确保模型的准确性和可靠性。

泊松分布因子是泊松分布的一个重要参数，它影响着泊松分布曲线的形状和特征，决定了事件发生的速率和频率。

通过合理确定泊松分布因子，我们可以更好地理解事件的发生规律和趋势，从而做出更准确的预测和决策。

希望通过本文的介绍，读者能够对泊松分布因子有一个更深入的理解，并在实际应用中能够灵活运用。

第二篇示例：泊松分布因子是指在泊松分布中的一个参数，用来描述事件在一定时间或空间范围内出现的频率。

泊松分布的现实意义泊松分布（Poisson distribution）是一种用于描述单位时间内事件发生次数的概率分布。

它适用于在一段固定时间或空间内，事件以固定的平均速率独立地发生的情况。

泊松分布的现实意义广泛存在于各个领域，如人类行为、自然现象、工业生产以及金融风险管理等方面。

在人类行为领域，泊松分布可以用来研究一定时间内的事件发生次数，从而帮助我们更好地理解人类活动的规律性。

例如，在交通管理中，我们可以使用泊松分布来预测其中一路段上的交通事故数目，从而制定相应的交通安全措施。

此外，在疫情监测中，泊松分布也可以用来描述其中一地区的疾病传播情况，帮助疫情防控工作。

在自然科学领域，泊松分布的现实意义同样重要。

例如，在地质学中，我们可以使用泊松分布来描述地震发生的频率，从而预测地震活动带来的可能危害。

在生态学中，泊松分布可以用来分析种群数量的变化和生物事件（如繁殖、猎食等）的发生频率，进而帮助我们了解生态系统的结构和演变。

在工业生产方面，泊松分布的应用也十分广泛。

例如，在质量控制中，我们可以使用泊松分布来研究一段时间内出现的次品数量，以保证产品质量。

此外，在生产线上，泊松分布还可以用来研究设备故障的发生频率，以制定维护计划和提高生产效率。

在金融风险管理领域，泊松分布也具有实际意义。

例如，在保险业中，我们可以使用泊松分布来研究一定时间内发生保险事故的次数，进而制定保险费率和理赔政策。

在金融投资方面，泊松分布可以用来研究市场价格的波动性，从而量化金融风险和制定投资策略。

总之，泊松分布在现实生活和各个学科中都有广泛的应用。

它可以用来研究事件发生的概率、频率和分布规律。

通过对泊松分布的研究和应用，我们可以更好地了解和预测现实世界中的各种事件，从而帮助我们做出科学决策和制定有效的管理策略。

泊松分布 (PoissonDistributions) 的推导题图来自 xkcd。

泊松分布解决的问题看起来很简单。

比如这个:已知某医院平均一天有8个新生儿出生，那么该医院一个月内每天出生的新生儿数量分布是怎样的？把泊松分布发扬光大的 Bortkiewicz 在《小数法则》一书里举了这么一个例子：从1875到1894年的20年间，德国的十四个军团部有士兵被马踢伤致死的人数纪录。

这20×14 = 280个纪录，按死亡人数来分，如下所示。

这280个记录中，共有196人死亡，死亡率是 0.7，根据这一数据，Bortkiewicz 用泊松分布计算得出结果，如下所示，可以看到泊松分布得出的结果和现实出奇地吻合。

泊松分布其实只是二项式分布的极限情况，泊松分布公式如下：P(N(t) = n) = \frac{(\lambda t)^n e^{-\lambda t}}{n!}它的推导非常简单，但在推导之前，我们必须了解自然对数 e 的意义。

自然对数 e 的意义我们就从简单的存钱问题入手。

你向银行存了 100 元，年利率是 100%，到下一年的此时，你就能取出 200 元。

现在银行允许你半年就能取出利息，年利率还是 100%，但半年后，你就能取出年利息的一半，也就是 50%，50 元。

半年后，你决定把取出的五十块钱利息立即存进银行里，又过了半年后（第一存款的一年后），你的存款就是100×(1+\frac{100\%} {2})^2 = 225现在银行允许你一个月就能取出利息，年利率还是 100%。

你1 月存了 100 元，1月结束，你取出利息后立即存到银行里，2月结束你取出利息后又存进去... 这样一年后，你的存款是100×(1+\frac{100\%} {12}) ^{12} = 261.303529现在银行允许你一天就能取出利息，一年后你的存款是100\times(1+\frac{100\%} {365}) ^{365} = 271.4567482现在我们考虑更极限的情况，银行允许你一小时就能取出利息。

泊松分布表第一篇：泊松分布的定义和应用泊松分布（Poisson distribution）是一种常见的离散型概率分布，描述的是在一段时间或区域内，某事件发生的次数。

它由法国数学家西蒙·卓别林·泊松（Siméon Denis Poisson）在1837年提出，被广泛应用于科学、工程和金融分析中。

泊松分布的概率质量函数如下：P(X=k)=e^(-λ)λ^k/k!其中，λ为事件发生的平均次数，k为事件发生的次数，e为自然常数，约等于2.718。

P(X=k)表示事件发生了k次的概率。

泊松分布的应用非常广泛，举几个例子：1. 网络流量：在一个网络中，某一时刻内主机发出的数据包数量就可以看做泊松分布。

这对于网络监控和优化非常有帮助。

2. 自然灾害：例如地震、火山爆发、洪水等，其发生次数在一段时间内也可以用泊松分布来描述。

3. 电话呼叫中心：客户呼叫中心的电话次数也可以看做泊松分布。

这对于呼叫中心的规划和优化非常重要。

以上只是泊松分布应用的几个例子，实际上还有很多领域都用到了这个分布。

因为泊松分布有很好的理论基础，同时又比较简单易懂，所以被广泛应用。

第二篇：泊松分布的性质和推导泊松分布有许多特性和性质，有些可以通过直观的方式理解，有些则需要一定的推导。

1. 期望：泊松分布的期望为λ，即事件发生的平均次数。

2. 方差：泊松分布的方差也为λ。

3. 独立性：如果在一段时间内，事件发生的次数符合泊松分布，那么在不同时间段内的事件发生次数也是独立的，即泊松过程是独立的。

接下来，我们尝试推导一下泊松分布的概率质量函数。

首先，设ξ为一个事件发生的次数，p为发生一个事件的概率，n为在一段时间内事件发生的次数。

则有：P(ξ=n)=C(n,λ)p^n(1-p)^{λ-n}其中，C(n,λ)表示组合数，即从λ个事件中取n个事件的组合方式数，p是每个事件发生的概率，1-p是不发生事件的概率。

我们将p设为趋近于0，n趋近于无穷大，以使得事件发生的概率很小，但是有很多事件可以发生。

如何理解泊松分布(PoissonDistribution)【泊松分布是以其发表者Poisson命名的】随机变量X服从参数为λ的泊松分布，记作 X ∼ π ( λ )X\sim\pi(\lambda) X∼π(λ)其分布律为P { X = k } = λ k e − λ k ! , k = 0 , 1 , 2 , …P\{X=k\}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, k=0,1,2,… P{X=k}=k!λke−λ,k=0,1,2,…其中λ>0注意k取值哟，k是从0到∞！！证明分布律对于上式，我们需要证明其满足分布律的条件，即各值概率求和为1, 即：∑ k = 0 ∞ P { X = k } = 1\sum_{k=0}^{\infty}P\{X=k\}=1 k=0∑∞P{X=k}=1证明如下：∑ k = 0 ∞ P { X = k } = ∑ k = 0 ∞ λ k e −λ k ! = e − λ ∑ k = 0 ∞ λ k k ! = e − λ × e λ = 1\sum_{k=0}^{\infty}P\{X=k\}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\ lambda^k e^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\times e^{\lambda}=1 k=0∑∞P{X=k}=k=0∑∞k!λke−λ=e−λk=0∑∞k!λk=e−λ×eλ=1这个求和用到了函数f(x)=e^x的带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式哈哈，其实这里只是推导一下就好，更严谨，以后使用公式时候用不到泊松定理这是一种用泊松分布逼近二项分布的定理，可以看作泊松分布分布律从二项分布律的推导，具体内容如下：n为任意正整数，np=λ，λ>0,对任意非负整数k，都有 lim ⁡ x → ∞ C n k p n k ( 1 − p ) n − k = λ k e −λ k ! \lim_{x \to \infty}C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} x→∞limCnkpnk(1−p)n−k=k!λke−λ证明思路：让式子只剩下λ，消去n，p1.消去n：使n趋近于∞2.消去p：p=λ/n证明如下： C n k p n k ( 1 − p ) n − k = n ( n −1 ) . . . ( n − k + 1 ) k ! ( λ n ) k ( 1 − λ n ) n − k C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}{(\frac \lambda n)}^k (1-\frac \lambda n)^{n-k} Cnkpnk(1−p)n−k=k!n(n−1)...(n−k+1)(nλ)k(1−nλ)n−k观察右项，尽量配出来原式= λ k k ! [ 1 × ( 1 − 1 n ) × … × ( 1 − k − 1 n ) ] ( 1 − λ n ) n ( 1 − λ n ) − k 原式=\frac {\lambda^k}{k!}[1\times(1-\frac1n)\times…\times(1-\frac {k-1}n)](1-\frac \lambdan)^n(1-\frac \lambda n)^{-k} 原式=k!λk[1×(1−n1)×…×(1−nk−1)](1−nλ)n(1−nλ)−k令n趋近于正无穷，则[ 1 × ( 1 − 1 n ) × … × ( 1 − k − 1 n ) ] → 1 [1\times(1-\frac 1n)\times…\times(1-\frac {k-1}n)] \to 1 [1×(1−n1)×…×(1−nk−1)]→1 ( 1 − λ n ) n → e − λ (1-\frac \lambda n)^n\to e^{-\lambda} (1−nλ)n→e−λ上式为对自然常数e的定义的代换，实质上用到了复合函数的极限运算法则 ( 1 − λ n ) − k → 1 (1-\frac \lambda n)^{-k}\to 1 (1−nλ)−k→1因此，得证 lim ⁡ x → ∞ C n k p n k ( 1 − p ) n − k = λ k e − λ k ! \lim_{x \to \infty}C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} x→∞limCnkpnk(1−p)n−k=k!λke−λnp=λ，n很大，p很小时，有近似式： C n k p n k ( 1 − p ) n − k ≈ λ k e − λ k ! C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}\approx \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} Cnkpnk(1−p)n−k≈k!λke−λ即用泊松分布概率值作二项分布概率值的近似一般来说，n>=20,p<=0.0.5,近似效果不错λ的意义从二项分布可知，E(X)=np，而在泊松定理中λ=np，所以λ是否是数学期望呢？已知一个分布，可以求其数学期望(用定义求)，我们求出泊松分布的数学期望，看它是否是我们预测的λ即可。

举出泊松分布的例子
泊松分布是一种离散概率分布，常用于描述在一段固定时间或空间间隔内，某
事件发生的次数的概率分布情况。

下面是一个常见的泊松分布的例子：假设某个超市的收银员每小时平均处理30笔交易。

我们想要知道在某个特定
小时内，收银员会处理多少笔交易的概率。

这里就可以应用泊松分布。

我们可以把每笔交易看作一个独立的事件，并假设事件发生的概率是恒定的。

根据泊松分布的特性，我们可以使用平均值（λ = 30）来估计某段时间内交易次数
的概率。

例如，我们想要知道在某一小时内发生10笔交易的概率。

根据泊松分布，我
们可以使用以下公式来计算概率：
P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!
其中，X是事件的数量，k是我们想要计算概率的事件数量。

对于这个例子，我们可以计算出概率：
P(X = 10) = (e^(-30) * 30^10) / 10!
通过代入数值并进行计算，我们可以得到某小时内发生10笔交易的概率。

这
样的计算可以帮助超市了解在给定的时间段内收银员处理交易的情况，从而优化工作流程和人员调配。

总结起来，泊松分布可以用于描述许多现实生活中随机事件的概率分布情况。

其中，收银员处理交易数量是一个典型的例子，利用泊松分布来估计交易数量的概率。

这种分布在许多实际应用中都有重要的作用，例如交通流量、电话呼叫数量等。

泊松分布知识总结及例子泊松分布是一种概率分布模型，用于描述单位时间内随机事件发生的次数。

它由法国数学家西蒙·丹尼·泊松在19世纪初提出，并由他研究蒸汽机锅炉爆炸事件时得出的结论。

一、泊松分布的特点：1.事件在时间或空间上是独立发生的：泊松分布适用于事件发生的概率在任意一段时间或一段空间上是相同的情况。

例如，一个有利于随机事件发生的环境中，每个人厕所来的次数或每英里道路上的车辆数都可以用泊松分布描述。

2.在一个固定的时间或空间单位内，随机事件发生的概率是稳定的：单位时间内事件发生的概率不会因为过往的发生次数而改变。

3.随机事件的平均发生率是已知的：泊松分布的参数是事件在单位时间内的平均发生率λ。

单位时间在这里可以是分钟、小时、天、年等等。

二、泊松分布的概率质量函数：泊松分布的概率质量函数（probability mass function）可以表示为：P(X=k)=e^(-λ)*(λ^k)/k!其中，P(X=k)表示在单位时间内事件发生k次的概率，e是自然对数的底，λ是单位时间内事件的平均发生率（也是泊松分布的参数），k是事件发生的次数。

三、泊松分布的期望和方差：泊松分布的期望和方差都等于λ，即E(X)=Var(X)=λ。

四、泊松分布的例子：2.路口交通流量：假设一些路口每分钟平均有λ辆汽车通过，那么在特定时间段内通过该路口的汽车数量可以用泊松分布描述。

例如，在十分钟内通过该路口的汽车数目为k的概率可以由泊松分布计算。

3.网络攻击事件：假设一个网络每小时平均接收到λ次攻击事件，可以用泊松分布描述在特定时间段内发生特定数量攻击事件的概率。

例如，在一天内遭遇到5次攻击的概率可以由泊松分布计算。

概率与统计中的概率分布函数与期望值概率分布函数与期望值是统计学中常用的概念，用于描述随机变量的分布情况和其平均取值。

在概率与统计领域中，概率分布函数（Probability Distribution Function，简称PDF）用于表示一个离散或连续随机变量的可能取值及其对应的概率。

一、概率分布函数概率分布函数描述了随机变量取特定值的概率。

对于离散型随机变量，概率分布函数通常以概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）的形式给出。

PMF表示了随机变量取各个可能值的概率。

例如，对于掷骰子的结果来说，每个点数（1到6）都有相应的概率。

对于连续型随机变量，概率分布函数以概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）的形式给出。

PDF表示了随机变量在某一取值范围内的概率密度，即在该范围内取值概率的变化情况。

例如，正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，表示随机变量在不同取值上的概率密度。

二、期望值期望值是描述随机变量的平均取值的指标。

对于离散型随机变量，期望值可以通过每个可能取值的概率乘以对应取值的加权平均来计算。

对于连续型随机变量，期望值则是对概率密度函数在整个取值范围内的加权平均。

期望值的计算方法可以简单地表示为E(X) = ∑(x * P(x))（离散型）或E(X) = ∫(x * f(x))dx（连续型），其中x表示随机变量的取值，P(x)或f(x)为其对应的概率或概率密度。

期望值在概率与统计中具有重要意义。

它可以用来描述随机变量集中在哪个取值附近，或者用于比较不同随机变量的平均取值。

三、常见的概率分布函数与期望值在概率与统计中，存在许多常见的概率分布函数，每个分布函数都有其对应的期望值。

以下是一些常见的概率分布函数与期望值的例子：1. 二项分布（Binomial Distribution）- 概率分布函数：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)- 期望值：E(X) = np2. 泊松分布（Poisson Distribution）- 概率分布函数：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!- 期望值：E(X) = λ3. 正态分布（Normal Distribution）- 概率密度函数：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x-μ)/σ)^2/2)- 期望值：E(X) = μ以上仅为部分常见的概率分布函数与其期望值，实际应用中还存在更多的概率分布函数与对应的期望值。