常用分布函数及特征函数

1常用分布函数11常用分布函数1.1均匀分布X∼U(a,b)U(x|a,b)=xa1b−adt(a≤x≤b),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=a+b 2Var(X)=(b−a)2121.2正态分布X∼N(µ,σ2)标准正态分布X∼N(0,1)：Φ(x)=x−∞φ(t)dt=1√2πx−∞e−t22dt其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=0Var(X)=1正态分布X∼N(µ,σ2)：F(x)=x−∞f(t)dt=1√2πσ2x−∞e−(t−µ)22σ2dt其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=µVar(X)=σ21常用分布函数2 1.3指数分布X∼e(µ,λ)E(x|µ,λ)=xµλe−λ(t−µ)dt(x≥µ)其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=µ+1λVar(X)=1λ21.4Gamma分布X∼Γ(a,b)G(x|a,b)=b aΓ(a)xt a−1e−bt dt(a>0,b>0;x≥0)其中，Γ(a)为Gamma函数：Γ(a)= ∞t a−1e−t dt,且期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=a bVar(X)=a b21.5Beta分布X∼β(a,b)I x(a,b)=1B(a,b)xt a−1(1−t)b−1dt其中，B(a,b)为Beta函数：B(a,b)=1t a−1(1−t)b−1dt=B(b,a)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)1.6χ2分布X∼χ2(n)H(x|n)=12n2Γn2(n为正整数;x>0)其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=nVar(X)=2n1常用分布函数3 1.7t分布X∼t(n)T(x|n)=1√nB12,n2X−∞1+t2n−n+12dt(n为正整数;−∞<x<∞),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=0(n>1时),Var(X)=nn−2(n>2时).1.8F分布X∼F(m,n)F(x|m,n)=mnm2Bm2,n2xt m2−11+mtn−m+n2dt (n,n为正整数;x>0),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：E(X)=nn−2(n>2),Var(X)=2n2(m+n−2)m(n−2)2(n−4)(n>4).。

特征函数与分布函数的关系
特征函数和分布函数是概率论中常用的两个概念，它们之间具有一定的关系。

特征函数是概率密度函数在复平面上的傅里叶变换，它描述了一个随机变量的所有矩（包括均值、方差等），因此可以用来表示这个随机变量的特征。

而分布函数描述了随机变量在各个取值处的概率密度，是一种更加直观的表达方法。

通过特征函数和分布函数之间的关系，可以得出如下结论：
1. 一个分布函数的特征函数是唯一的。

2. 一个特征函数对应着唯一的分布函数。

3. 两个分布函数具有相同的特征函数，当且仅当它们对应的随机变量具有相同的分布。

4. 两个特征函数具有相同的分布函数，当且仅当它们对应的随机变量具有相同的分布。

因此，特征函数和分布函数可以互相转化，通过特征函数可以得到分布函数，通过分布函数也可以得到特征函数。

这一点在概率论的研究中是非常有用的，可以帮助我们更好地理解随机变量的性质和行为。

- 1 -。

常见随机变量的分布函数在概率论和统计学中，随机变量是一个可以取得不同值的变量，其值是按照一定的概率分布规律出现的。

随机变量的分布函数描述了随机变量在不同取值上的概率。

下面是一些常见的随机变量及其分布函数：1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的离散随机变量分布之一、它只有两个可能的取值，例如0和1，成功和失败，正面和反面等。

伯努利分布的分布函数可以表示为：F(x)=1-p,x<0F(x) = 1-p+px, 0<= x < 1F(x)=1,x>=12. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布用于描述一系列独立重复实验中成功的次数。

成功和失败的概率分别为p和q=1-p。

二项分布的分布函数可以表示为：F(x)=Σ(从0到x)[C(n,i)*p^i*q^(n-i)],x为非负整数F(x)=Σ(从0到x)[(e^(-λ)*λ^i)/i!],x为非负整数4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是连续型随机变量的常用分布，也被称为高斯分布。

它具有对称的钟形曲线，其分布函数不具有一个简单的数学表达式。

正态分布的参数是均值μ和标准差σ。

5. 均匀分布（Uniform Distribution）：均匀分布是最简单的连续型随机变量分布之一，它在一个给定的区间上的取值概率是均等的。

F(x)=(x-a)/(b-a),a<=x<=b6. 指数分布（Exponential Distribution）：指数分布用于描述连续时间的等待事件，例如到达一些交叉口的时间间隔。

指数分布的分布函数可以表示为：F(x)=1-e^(-λx),x>=07. 对数正态分布（Log-Normal Distribution）：对数正态分布是正态分布的指数函数，它使用对数尺度来处理正态分布不适用的情况，例如财富分布和人口增长。

标准正态分布的特征函数标准正态分布是统计学中非常重要的一种连续概率分布，它在自然科学、社会科学以及工程技术领域都有着广泛的应用。

而要深入理解标准正态分布，就需要了解其特征函数。

本文将对标准正态分布的特征函数进行详细的介绍，帮助读者更好地理解这一概念。

首先，我们来了解一下标准正态分布。

标准正态分布又称为正态分布或高斯分布，是以数学家高斯命名的一种连续概率分布。

其概率密度函数为：\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\]其中，\(e\) 是自然对数的底，\(\pi\) 是圆周率。

标准正态分布的均值为0，标准差为1，其密度函数呈钟形曲线，左右对称，中心峰较高，两侧逐渐减小，且永远不会 beri为负值。

接下来，我们来讨论标准正态分布的特征函数。

特征函数是概率论中一个非常重要的概念，它可以完全描述一个随机变量的分布特性。

对于随机变量\(X\)，其特征函数定义为：\[\phi(t) = E(e^{itX})\]其中，\(i\) 是虚数单位，\(t\) 是任意实数。

特征函数的存在性是由狄利克雷收敛定理保证的，即对于任意\(t\)，特征函数都是存在的。

对于标准正态分布，其特征函数可以表示为：\[\phi(t) = e^{-\frac{t^2}{2}}\]特征函数的性质有很多，下面我们来介绍几条与标准正态分布相关的性质。

首先，特征函数的实部是一个偶函数，虚部是一个奇函数。

其次，特征函数的绝对值总是不超过1的。

最后，特征函数在原点处的值为1。

特征函数在统计学中有着广泛的应用。

通过特征函数，我们可以方便地求得随机变量的各阶矩。

特征函数还可以用于证明中心极限定理，这是概率论中一个非常重要的定理，指出在适当的条件下，大量独立随机变量的均值的分布会趋近于正态分布。

除此之外，特征函数还可以用于刻画随机变量之间的独立性。

对于独立随机变量，其特征函数的乘积等于它们各自特征函数的乘积。

高斯分布特征函数高斯分布是概率论和统计学中常用的一种连续概率分布，又称为正态分布。

它的特点是呈钟形曲线，对称分布。

高斯分布的特征函数是指该分布的一些重要特征值，可以通过这些特征值来描述高斯分布的形态和性质。

下面将详细介绍高斯分布的特征函数。

1.均值：高斯分布的均值是该分布的中心点，通过均值可以判断分布的位置。

高斯分布的均值通常用μ表示。

2.方差：高斯分布的方差是该分布的离散程度，也可以理解为分布的扁度。

高斯分布的方差通常用σ^2表示。

3.标准差：高斯分布的标准差是方差的平方根，用于度量观测值与均值之间的偏离程度。

高斯分布的标准差通常用σ表示。

4.峰度：高斯分布的峰度是分布曲线的陡峭度，表达了分布的峰值和尖锐程度。

高斯分布的峰度通常用K表示。

5.偏度：高斯分布的偏度是分布曲线的不对称程度，可以用来判断分布的左右偏离程度。

高斯分布的偏度通常用Sk表示。

除了上述基本特征，高斯分布还有一些其他重要的特性6.中心极限定理：中心极限定理是一个重要的概率论定理，指的是在一定条件下，大量独立同分布的随机变量的和近似服从高斯分布。

7.正态性检验：由于高斯分布的应用广泛，因此对于一组数据，可以通过一些统计方法对其进行正态性检验，判断其是否符合高斯分布。

8.高斯分布的优点：高斯分布在统计学中应用广泛，其主要优点包括对称性、唯一的峰值、可用于描述自然界中的许多现象等。

总之，高斯分布的特征函数是对该分布的一些重要特征值的描述，包括均值、方差、标准差、峰度和偏度等。

掌握和应用这些特征函数，对于理解和分析高斯分布的性质具有重要意义，也有助于进行概率推断和统计分析。

高斯分布特征函数高斯分布（Gaussian distribution）是概率论与统计学中常用的一个连续概率分布。

它又称为正态分布，是一种对称的钟形曲线，特点是均值和标准差，可以通过概率密度函数来描述。

在机器学习中，高斯分布经常被用于对数据的建模。

特征函数是将输入空间映射到特征空间的函数，用于提取数据的特征。

在高斯分布中，特征函数用于计算每个样本的特征向量。

高斯分布的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）可以表示为：f(x，μ,σ)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-((x-μ)^2)/(2σ^2))其中，μ是均值，σ是标准差，e是自然对数的底。

特征函数是一种从输入空间到特征空间的映射，可以将原始数据转化为可以更容易处理的特征向量。

在高斯分布中，特征函数可以是各种形式的函数，用于提取数据的特征。

常见的特征函数有多项式函数、高斯函数、指数函数等。

在机器学习中，高斯分布特征函数被广泛应用于分类、回归以及聚类等任务中。

对于分类任务，可以使用高斯分布特征函数来构建分类器，通过计算样本在特征空间中的距离或相似度，来判断其属于哪个类别。

对于回归任务，可以使用高斯分布特征函数来建立回归模型，通过拟合数据的概率分布来预测输出。

对于聚类任务，可以使用高斯分布特征函数来表示每个类别的概率分布，通过最大化概率来将样本划分为不同的簇。

在实际应用中，高斯分布特征函数可以根据具体问题进行选择和设计。

常用的特征函数包括多项式特征函数、高斯核函数、拉普拉斯核函数等。

多项式特征函数可以通过多项式扩展将低维数据映射到高维特征空间，从而增加模型的表达能力。

高斯核函数和拉普拉斯核函数则可以通过非线性映射将样本映射到高维空间，从而更好地建模非线性关系。

总结来说，高斯分布特征函数是一种将输入空间映射到特征空间的函数，用于提取数据的特征。

在高斯分布中，特征函数可以是各种形式的函数，用于计算每个样本的特征向量。

第八章特征函数第一节特征函数一、复随机变量1、定义：设与均为上的一维随机变量,称为上的复随机变量.2、的数学期望: ,若、均存在.3、相互独立：设()独立，称()独立.4、性质：(1),其中为复常数.证明：.(2).证明：.精彩文档精彩文档(3).证明：仅证离散型.设,则||||)(,,Z E p iy x p iy xlk kl l k lk kl l k∑∑=+≤+=.(4)|||1|x e ix≤-, R ∈∀x .证明：|||||1|0x dt edt e e xitx it ix=≤=-⎰⎰.(5)若k k k iY X Z +=独立,则. 证明：仅证明时成立即可.因独立,则与独立, 从而与,与,与,与,均独立.那么.(6)，必存在.证明：仅证连续型. 因 ,，故与存在,从而存在.精彩文档二、特征函数 1、定义:设为上的一维随机变量,,规定,称为的特征函数.显然：①.② 若为离散型,则.③ 若为连续型,则.2、性质： (1)；证明：.(2)；证明：.(3)在上一致连续；证明：R ∈∀t ,R ∈∀h ,|])1[(||||)()(|)(itX ihX itX X h t i X X e e E Ee Ee t h t -=-=-++ψψ⎰⎰+∞∞-+∞∞--≤-=dx x edx x e e ihxitxihx)(|1|)()1(ϕϕ⎰∞∞-=dx x hx)(2sin2ϕ 其中：2sin222|1|222hx ie eeex h i x h i x h i ihx=-=--;精彩文档由于 0>∀ε, 0>∃K ..t s ⎰>Kx dx x ||)(ϕε<, (因为1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ收敛)取0>=Kεδ , 当δ<||h 时,⎰⎰->+≤-+KKK x X X dx x hxdx x hx t h t )(2sin 2)(2sin 2|)()(|||ϕϕψψ⎰⎰⎰-->+<+≤KKKKKx dx x K h dx x hx dx x )(||22)(||2)(2||ϕεϕϕεϕεε4)(22≤++<⎰-KKdx x .(4),为常数；证明：.(5)设()独立, 则.证明：仅证明时成立即可..(6),若存在.证明：因 .所以 .三、常见分布的特征函数1、离散型(1)退化分布：.证明：.(2)：,其中.证明：.(3):.证明：,服从参数为的(0-1)分布,且独立, , 所以.(3):.证明：.2、连续型(1)：.特别：①：；②：.精彩文档精彩文档证明：(2):.(3):.证明：.(4) ：.证明：222122221 221t t i it itz t t i edz eeσμσσσμπ--+∞-∞---==⎰.其中:.2222)(2σσσμσμσσμit it x x it x z +--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=精彩文档22222σμσμt it xit x -+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 222221212t t i itx x z σμσμ+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=- 下面计算 πσσ22222==⎰⎰-+∞-∞---it itz Lz dz edz e:,.,,在上, ,π2022=+→+=⎰⎰⎰⎰+∞∞---dx ex l xxL xx.第二节 唯一性定理一、逆转公式 1、预备知识 (1)设有函数，使得，，收敛,则在上一致收敛. 于是有；又若在上连续,则.华东师大《数学分析(下)》(2)狄里克莱积分: 华东师大《数学分析(下)》，.(3)设，,则2、逆转公式：设的分布函数为,特征函数为,又是的连续点，则证明: 不妨设，且,令，因为精彩文档.又收敛,则又因为存在,故. 所以.二、唯一性定理1、唯一性定理: 的分布函数由其特征函数为唯一确定.证明:在的每一个连续点上，取也为的连续点,于是有.因由其上连续点唯一确定，故由唯一确定.精彩文档精彩文档2、设,且,则⎰∞∞--='=dt t ex F x X itxX )(21)()(ψπϕ.证明: 因,故连续.,,有， 又 ，且 ,于是⎰⎰∞∞--+∞∞-∆+--→∆=∆-=dt t e dt t x it e e X itxX x x it itx x )(21)(lim 21)(0ψπψπ.注意为解析函数,.三、分布函数的再生性 1、，独立,则: . 证明：因，.由唯一性定理知, .2、，独立,则: .证明：因，.由唯一性定理知, .3、,独立,则: .证明：，,由唯一性定理知, .4、,独立,则: .证明：，, 由唯一性定理知, .第三节维随机变量的特征函数一、特征函数1、定义:设为上的维随机变量,,规定,称为精彩文档精彩文档的特征函数. 显然：① 若为离散型,则.② 若为连续型,则.注：∑==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='nk k k n n X t X X X t t t X t 12121) (M Λ2、性质： (1)；证明：.(2)；证明：.(3)在上一致连续； 证明：,,.其中：2121|||)()(|||X X t t X t '∆'∆≤'∆,注：∑=∆='∆nk k kX tX t 1,∑=∆∆=∆'∆nk k k t t t t 1,∑=='nk k k X X X X 1此式利用了许瓦兹不等式:精彩文档.因，由判别式可得.为方便起见,以下引入记号： ①，,.②，,特别记: ,.例： )4(}4,2{N I ⊂=,)1,0,1,0(1=I ,)0,1,0,0(11}3{3==.③ ,其中,.特别记,为单位矩阵.例： )4(}4,2{N I ⊂=,精彩文档⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000000000100000I E , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==0000010000000000}3{3E E .④ t E t I I =, 为t 的取有行的向量,I I I AE E A =, 为的取有行和列的矩阵,例： ),,,(4321t t t t t =,)4(}4,2{N I ⊂=,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==43214242100000000010000000),0,,0(t t t t t t t t t I ,⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000010000100000000010000000000000000000444342413433323124232221141312114422a a a a a a a a a a a a a a a a a a A I ④ ,，但均为非负整数. (4),为常量,为常矩阵. 证明：.精彩文档注：A B AB ''=')((5) 边缘分布：,, 特别，证明：.其中：X t E X E t X E E t X E t E X t I I I I I I I I )()()('='='='='(6),若存在,.说明：n kn kkkt t t t ∂∂∂=∂Λ2121二、逆转公式 1、逆转公式：设的分布函数为,特征函数为,在体面上概率为0,则⎰∏∈=---=-n kk k k x nk k b it a it X n dt it e e t a F b F R 1)()2(1)()(ψπ.2、唯一性定理:的分布函数由其特征函数唯一确定.⎰∏∈=---∞→-=n k k k k x nk k x it y it X n y dt it e e t x F R1)()2(1lim )(ψπ.三、独立性 1、设()独立, 则.证明：仅证明时成立即可.精彩文档.2、设为维随机变量，则 ，独立 ⇔ ∏==nk k X X t t k1)()(ψψ.证明:“”因为，独立，从而, 所以. “”因为,所以⎰∏∈=---∞→-=n kk k k x nk k x it y it X n y dt it e e t x F R1)()2(1lim )(ψπ⎰∏∈=---∞→-=n k kk k k x nk k X k x it y it n y dt t it e e R 1)()2(1lim ψπ ∏∏⎰==∈---∞→=-=nk k X nk t k k X k x it y it y x F dt t it e e k k k kk k k 11)()(21lim Rψπ.故，独立.第四节 n 维正态分布矩阵回顾：(1) 正定,记为; 非负定,记为.(2) ,.(3) 所有主子式存在,,使得存在,,使得.(4) 所有主子式存在,使得.(5) . 这时即的主子式.(6) ,则.(7) 对称合同于对角矩阵,即存在,,使得为对角矩阵.一、n维正态分布1、定义：设,,为阶正定矩阵，且,称服从维正态分布，记作.2、验算：验算确实是维随机变量的密度函数.(1)显然：,;(2)因，故存在,,使得，且.令,于是,这样,而，有,那么精彩文档,从而.于是.3、特别,当时, .二、特征函数1、的特征函数：.证明：，令,.由于,而,令，, 有,所以.精彩文档精彩文档2、I X 的特征函数： ,因此也是正态分布),(~I I I C N X μ. 其中,，为二次型的矩阵,也是正定矩阵.特别: ,.证明：.三、数字特征 1、设,则μ=EX .证明：因，从而,,所以.2、设,则. 因此有.预备工作： (1)设，为含自变量的可微函数,定义:.(2).证明：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∑∑==)()(11n j jl kj nj jl kj B A t B A t t AB .(3)设，与无关,则精彩文档,.下面证明.证明：因)()()(202l k l k t l k X X X E X X E i t t t -==∂∂∂=ψ,又,而，,kl k l l k lk C C C t t Z -='-'-=∂∂∂111121212, lk Z k l Z k Z l l k X t t Z e t Z t Z e t Z e t t t t ∂∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂22)(ψ， 于是kl k l t l k X C i i t t t -=∂∂∂=))(()(02μμψ，从而,所以.四、独立性设,则独立,,证明：“”显然. “”因,,)(ex p()ex p()(221121kk k nk k k X C t it Ct t t i t -='-'=∑=μμψ∏∏===-=nk k X n k kkk k k t C t it k 11221)()ex p(ψμ. 所以 独立.精彩文档五、线性变换 1、,,,，则.证明：因})()( ex p{21t A AC t A t i ''-'=μ, 下面证明.因,，,故存在,,使得，且, 于是.可见.2、,,服从一维正态分布.证明：“”取,由1知.“”①先证明，当,,时., ,令，,,有,,已知,精彩文档那么.故 .显然，可见, 有,又X X k k 1'=服从一维正态分布,有0),cov(>==k k k kk DX X X C ,可知, 所以. ②再证明一般地也有.由于为实对称矩阵,故存在,,使得为对角矩阵.令,由条件知,,,,也服从一维正态分布, 而由知道,,,由①知,又,由1知.3、独立,),0(~E N X .证明:“”因,那么,故独立,.“”因,故,,服从一维正态分布.因此,又因独立,，所以.精彩文档作业：1、设nk X P X 1}{~==,.,,2,1n k Λ= 求)(t X ψ2、设X 服从几何分布,求)(t X ψ、EX 及DX .3、设||21)(~x e x X -=ϕ, 求)(t X ψ.4、已知itt X -=11)(ψ,求)(),(x x F ϕ.5、已知)1,0(~N X ,32+=X Y ,求)(t Y ψ.6、设X0 1 3P21 83 81 Y 01P 31 32 已知X 与Y 独立,求Y X Z +=的概率分布.7、已知),1,1,0,0(~ρN X ,求)(21X X E . 8、证明:若)(t k ψ,.,,2,1n k Λ=均为特征函数,则∏=nk kt 1)(ψ也是特征函数.9、已知)21,1,1,0,0(~N X ,⎩⎨⎧--=++=11211211X X Y X X Y ,求),(21y y Y ϕ.精彩文档作业：1、设nk X P X 1}{~==,.,,2,1n k Λ= 求)(t X ψ解: )1()1()(1)( 1111it t in it nk k it itn k ikt nk k itx itXX e n e e ene e n p eEet k--=====∑∑∑=-==ψ )1(1 --=-it tin e n e .2、设X 服从几何分布,求)(t X ψ、EX 及DX . 解:(1) qe p qe pe qepep qe Eet it it it k k it itk k ikt itXX -=-====-∞=-∞=-∑∑1)()(1111ψ. (2)由于kk k EX i X =)0()(ψ,而22)()()()(q e ipe i e q e p t it it itit X -=---='----ψ,精彩文档22)()()(2))(()(q e i e q e ipe q e i ipe t it it it it it it X ---⋅---=''------ψ32)(q e pe pqe it ti it ---=---. 于是 pq p i i EX X1)1()0(22=--='-=ψ. 又 2321)1()0(p q q p pq EX X +=----=''-=ψ, 从而 2222211)(p q p p q EX EX DX =-+=-=.3、设||21)(~x e x X -=ϕ, 求)(t X ψ.解: ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+===txdx x i txdx x dx x e Eet itxitXX sin )(cos )()()(ϕϕϕψ220||111)cos sin (cos cos 21t t tx tx t e txdx e txdx e x xx +=+-===+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰.4、已知itt X -=11)(ψ,求)(),(x x F ϕ.解: 由于1111)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=λψit it t X , 可见 )1(~Exp X .所以 ⎩⎨⎧≤>=- .0 ,0,0 ,)(x x e x x X ϕ⎩⎨⎧≤>-=- .0 ,0,0 ,1)(x x e x F x X精彩文档另解: ⎰⎰⎰∞∞--∞∞--∞∞--++=-==dt t e it dt it e dt t e x itxitx X itxX 21)1(21121)(21)(ππψπϕ ⎰⎰∞∞---∞∞--⎩⎨⎧≤>=+=+++= .0 ,0 ,0 ,121212122x x e iI I dt t te idt t e x itxitx ππ其中: ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=- .0 ,21 ,0 ,211x e x e I xx⎪⎩⎪⎨⎧≤->=- .0 ,21 ,0 ,212x e x e iI x x 于是 ⎩⎨⎧≤>-=- .0 ,0 ,0 ,1)(x x e x F x X5、已知)1,0(~N X ,32+=X Y ,求)(t Y ψ. 解: 由于 2212221 )(t t t i X ee t --==σμψ,而)()(at e t X ibtb aX ψψ=+, 那么222212212323)2(3332)2()()(t t i t t i t t i X t i X Y e eee t e t t ---+=====ψψψ.可见 3=EY ,422==DY ,由唯一性定理知: )4,3(~N Y .6、设X0 1 3P21 83 81 Y 01P 31 32 已知X 与Y 独立,求Y X Z +=的概率分布. 解: 310818321)(⋅⋅⋅++==it it it itXX e e e Eet ψ, 103231)(⋅⋅+==it it itY Y e e Ee t ψ,因 X 与Y 独立, 于是精彩文档4321012124141241161)()()(⋅⋅⋅⋅⋅++++==it it it it it itX Y X Z e e e e e Ee t t t ψψψ， 所以,由唯一性定理知Z1234P612411 41 241 1217、已知),1,1,0,0(~ρN X ,求)(21X X E . 解: 由于) ex p()(21Ct t t i t X '-'=μψ,而 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0021μμμ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1122212121ρρσσρσσρσσC , ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='211221212111)(t t t t t t t t t t Ct t ρρρρ222121212221212t t t t t t t t t t ++=+++=ρρρ, 于是 u t t t t X e eCt t t =='-=++-)2(2121222121)ex p()(ρψ因 ,而uu X e t t t t e t t )(222)(21211ρρψ+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂, )()()(1221212t t e t t e t t t u u X ρρρψ+++-=∂∂∂,所以 ρψ=∂∂∂-==021221)()(t X t t t X X E .精彩文档8、证明:若)(t k ψ,.,,2,1n k Λ=均为特征函数,则∏=nk kt 1)(ψ也是特征函数.证明: 设k X 的特征函数为)(t k ψ,.,,2,1n k Λ=且独立,则∑==n k k X X 1的特征函数为=∏=n k X t k 1)(ψ∏=nk k t 1)(ψ.因此∏=nk kt 1)(ψ也是特征函数.9、已知)21,1,1,0,0(~N X ,⎩⎨⎧--=++=11211211X X Y X X Y ,求),(21y y Y ϕ.解: 由于b AX Y +=,因 })()( ex p{)()()(21t A AC t A t i e t A e t t bt i X b t i b AX Y ''-'='==''+μψψψ,})()( ex p{21t A AC t b A t i ''-+'=μ, 由唯一性定理知 ),(~A AC b A N Y '+μ.而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11b ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11ρρC ， 有 b b A =+μ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='ρρρρ2200221111111111A AC , 从而 1,121-==y y μμ,0,)1(2,)1(22121=-=+=y y y y ρρσρσ,于是 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+++---=ρρρπϕ1)1(1)1(412212221141),(y y ey y2)1(6)1(2221321+---=y y eπ.参考:精彩文档,⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-------=2222212121212)())((2)()1(21221121),(σμσσμμρσμρρσπσϕy y x x ey x .。