黑龙江省大庆实验中学高考数学得分训练试题 理(五)

2012年大庆实验中学高三理科数学得分训练试题（五）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第Ⅱ卷第22—24题为选做题，其它题为必做题.考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1．集合，,则下列结论正确的是（）A. B.C. D.2. 22(1cos)x dxππ-+⎰等于 ( )A．π B. 2 C. π-2 D. π+23. 下列命题中正确的是 ( )A. 命题“x∈R ,≤0”的否定是“x∈R ,≥0”；B.命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；C.若“，则a b”的否命题为真；D.若实数x,y∈[－1,1],则满足的概率为.4. 如果运行如图的程序框图，那么输出的结果是( )A.1，8，16B.1，7，15C.2，10，18D.1，9，175. 已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1)，一质点从AB 的中点沿与AB 夹角为的方向射到BC 上的点后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点、和（入射角等于反射角），设坐标为（），若，则tan 的取值范围是（ ）A.（）B. （）C.（）D.（）6．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A （－4，0）和C （4，0），顶点B 在椭圆上，则（ ）A. B. C.D.7. 设yx b a b a b a R y x yx11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为 ( ) A. 2 B.23 C . 1 D.21 8. 锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。

从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）A ．891 B ．2591 C ．4891 D ．6091w.w.w.k.s.5.u.c.o.m9. 若5(1,a a b =+为有理数），则a b += w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ ）A ．45B ．55C ．70D ．8010.椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆周长为 π，A 、B 两点的坐标分别为()11,x y )和()22,x y ，则12y y -的值为（ ）A ．53B ．103C ．203D 11. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）A.3B.3C.312. 记实数1x ，2x ，……n x 中的最大数为max{}12,,......n x x x ，最小数为min {}12,,......n x x x 。

黑龙江省大庆实验中学2020届高三数学下学期复习考试试题 理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.设全集U =R ，(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A B =（ ）A. {|1}x x ≥B. {|12}x x ≤<C. {}1D. {}0,1【答案】D 【解析】 【分析】由题分别算出集合,A B 包含的范围,再取交集即可.【详解】由{|ln(2)}A x N y x =∈=-得20,2x x -><,又x ∈N 所以0,1x =. 又(2){|21}x x B x -=≤,其中(2)0212(2)0x x x x -≤=⇒-≤所以02x ≤≤,故{}{0,1},|02A B x x ==≤≤ ,所以{}0,1A B =.故选D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,注意看清集合是自变量还是因变量的范围. 3.已知焦点在x 轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( ) A. 221167x y +=B. 221716x y +=C. 2251162x y +=D.2212516x y += 【答案】A 【解析】由题意知，2a=8，∴a=4，又34e =，∴c=3，则b 2=a 2﹣c 2=7． 当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆方程为221167x y +=；故答案为221167x y +=．故答案为A ．4.如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘，O 为圆心，阴影部分所对的圆心角为90︒；图②是正六边形，点Р为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是（ ）A.116B.1124C.1324D.516【答案】B 【解析】【分析】根据几何概型面积型可分别计算出两个图中小球落在阴影部分的概率，由独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果.【详解】图①小球落在阴影部分的概率为：212213214464P πππ-⋅⋅=⋅=⋅ 图②小球落在阴影部分的概率：213P =∴至少有一个小球停在阴影部分的概率为31131111111632424⎛⎫⎛⎫--⨯-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确选项：B【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，涉及到独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式的应用.5.在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别在是线段11AB BC ，的中点，以下结论：①直线BD 丄直线MN ；②直线MN 与直线AC 异面；③直线MN 丄平面11BDD B ；④122MN AA =，其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】在平面ABCD 内作出MN 的平行直线EF ，根据中位线得到//EF AC ，由此得到②错误.根据AC ⊥平面11BDD B 得到①③正确，利用中位线及勾股定理证得④正确.由此得出正确的个数为3个.【详解】过M 作MF AB ⊥交AB 于F ，过N 作NE BC ⊥交BC 于E ，连接11,,,EF ACBD B D .由于,M N分别为11,AB BC 的中点，故1111//////22NE CC BB MF ，故四边形MNEF 为矩形，故//MN EF ，由于//EF AC ，故②判断错误.由于1,AC BD AC BB ⊥⊥，所以AC ⊥平面11BDD B ，所以MN BD ⊥且直线MN 丄平面11BDD B ，即①③正确.由勾股定理得12AC AA =，故11222EF AC AA ==，故④判断正确.综上所述，正确的个数为3个，故选C.【点睛】本小题主要考查空间两条异面直线垂直的判断，考查直线与直线平行的判断，考查线面垂直的证明，属于基础题.要判断两条异面直线垂直，往往是通过线面垂直来证明，要证明线线平行，可以考虑用中位线来证明，要证明线面垂直则需要证明垂直平面内两条相交直线来证明. 6.设2(sin 56cos56)2a =-，cos50cos128cos 40cos38b =+，cos80c =,则a b c ，，的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. a c b >>【答案】B 【解析】2(sin 56cos56)sin(5645)sin112a =-=-= ，cos(9040)cos(9038)cos 40cos38sin 40sin 38cos 40cos38cos 78sin12b =-++=-+== ，cos80sin10c == ，sin12sin11sin10,b a c >>∴>> ，选B.7.已知A ，B 是圆224+=O: x y 上的两个动点，||2AB =，1233OC OA OB =+，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为（ ）. A. 3 B. 23C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】判断出OAB ∆是等边三角形，以,OA OB 为基底表示出OM ，由此求得OC OM⋅的值.【详解】圆O 圆心为()0,0，半径为2，而||2AB =，所以OAB ∆是等边三角形.由于M 是线段AB的中点，所以1122OM OA OB=+.所以OC OM⋅12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭22111623OA OA OB OB =+⋅⋅+21422cos603323=+⨯⨯⨯+=. 故选：D【点睛】本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8.定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数记为()f x '，满足()2(2)2f x x f x +=-+，且当1x ≤时，恒有()2f x x '+>.若3()(1)32f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是( ) A. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. (],1-∞C. [)1,+∞D. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】由()2f x x '+>，构造函数21()()22g x f x x x =+-，易得当1x ≤，()g x 为增函数，且由题设可得()(2)g x g x =-，所以函数()g x 的图象关于直线1x =对称，结合()g x 与()f x 的关系，函数的对称性与单调性性质，即可求解. 【详解】令21()()22g x f x x x =+-， 则()()2g x f x x ''=+-.∵当1x ≤时，恒有()2f x x '+>，即()0g x '>， ∴当1x ≤时，函数()g x 为增函数. 而21(2)(2)2(2)(2)2g x f x x x -=-+---， 21(2)(2)22g x f x x ∴-=--+——①(2)()22f x f x x -=+-——②把②代入①得：2(2)1()22f x xg x x +--= ∴()(2)g x g x =-.∴函数()g x 的图象关于直线1x =对称，∴函数()g x 在(],1-∞上为增函数，在[)1,+∞为减函数. 由3()(1)32f m f m m --≥-， 得2211()2(1)2(1)(1)22f m m m f m m m +-≥-+---， 即()(1)g m g m ≥-，∴|1||11|m m -≤--，解得12m ≥. ∴实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：A【点睛】本题考查构造函数以及函数的导数、函数的对称性、单调性的综合运用，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于难题.9.已知函数()cos 33a x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线()y g x =，则不等式()1g x ≤的解集是（ ）A. ()5,124k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B. ()3,124k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. ()37,84k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D. ()52,262k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】把()f x 化为sin ,cos x x 的式子，然后由偶函数定义可求得a ，由图象平移变换得()g x ，再解不等式()1g x ≤即可．【详解】因为()11cos sin 22a x x x x f x ⎛⎫⎫=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭13cos sin 2222a x a x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，所以()()f x f x -=，0=，解得1a =-，所以()2cos f x x =-. 将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，得到曲线2cos 2()2cos 2126y x x ππ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 则()2cos 26g x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭.由()1g x ≤，得2cos 216x π⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，得1cos 262x π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，则()22222363k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得()5124x k k k Z ππππ≤≤+∈-. 不等式()1g x ≤的解集是()5,124k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦, 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查图象变换，考查推理论证能力与运算求解能力. 10.已知过点(0,2)-与曲线323()62a f x x x x =-+-(0)x >相切的直线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是( )A. {}2B. (2,)+∞C.)+∞D.【答案】C 【解析】 【分析】先设出切点坐标323,62a P t t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭(0)t >，再求出()f x 的导数，由导数的几何意义知，()f t '是切线的斜率，写出切线方程，因切线过点(0,2)-，将点(0,2)-代入切线方程整理后可得324340t at -+=，由题意知关于t 的方程有324340t at -+=两个不等的正实数根，设32()434h t t at =-+(0)t >，结合函数求零点的知识，即可求解.【详解】∵323()62a f x x x x =-+-， ∴2()336f x x ax '=-+-.设切点323,62a P t t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭(0)t >，则有2()336f t t at '=-+-，所以过点P 的切线方程为()32236336()2a y t t t t at x t ⎛⎫--+-=-+-- ⎪⎝⎭，又点(0,2)-在切线上，所以()322326336()2a t t t t at t ⎛⎫---+-=-+-- ⎪⎝⎭， 整理得324340t at -+=，由题意得方程324340t at -+=有两个不等的正实数根.设32()434h t t at =-+(0)t >，则2()1266(2)h t t at t t a '=-=-，要使32()434h t t at =-+(0)t >的图象与t 轴的正半轴有两个不同的交点，则需0a >. 所以函数()h t 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增， 所以3min()4024a a h t h ⎛⎫==-+< ⎪⎝⎭，解得a >.即实数a的取值范围是)+∞.答案：)+∞【点睛】本题考查导数几何意义的运用，考查过某点的曲线的切线方程及已知函数零点个数，求参数范围的问题，考查理解辨析能力及运算求解能力，属于中档题.11.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 1-B. 1C. 10D. 12【答案】C 【解析】 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.12.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，右焦点为(c,0)F ，弦PQ 过F 且垂直于x轴，过点P 、点Q 分别作为直线AQ 、AP 的垂直，两垂线交于点B ，若B 到直线PQ 的距离小于2()a c +，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A. 3)B. 3)C. (3,2)D.(3,)+∞【答案】B 【解析】【详解】由题意,B 在x 轴上,22,,,b bP c Q c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴2AQ b a k a c=-， ∴22BPa ack b-=-， 直线BQ 的方程为()222b a acy x c a b--=--， 令y =0,可得()42b xc a a c =+-， ∵B 到直线PQ 的距离小于2(a +c )，∴()()422b a c a a c -<+-，∴b <，∴c <，∴e < ∵e >1，∴1e <<故选B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在大题卡相应位置上. 13.已知随机变量X 服从正态分布()24,N σ，()60.78P X <=，则()2P X ≤=__________．【答案】0.22. 【解析】 【分析】正态曲线关于x ＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可． 【详解】()()2160.22P X P X ≤=-<=【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题． 14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间( , 0]-∞上单调递增，若实数a 满足3log (2)(a f f >，则a 的取值范围是___.【答案】( 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及在区间(],0-∞上的单调性确定出()0,∞+上的单调性，再根据函数值之间的关系，将其转化为自变量之间的关系，求解出a 的范围即可.【详解】因为()f x 是R 上的偶函数且在(],0-∞上递增，所以()f x 在()0,∞+上递减， 又因为()(3log 2af f >，所以3log 20a a ⎧<⎪⎨>⎪⎩， 所以31log 2220a a ⎧⎪<⎨⎪>⎩，所以31log 20a a ⎧<⎪⎨⎪>⎩，所以(a ∈.故答案为：(.【点睛】本题考查根据函数的单调性和奇偶性求参数范围，难度一般.已知函数值的大小关系，可通过函数的单调性将其转变为自变量之间的关系.15.设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.=，则222a cb ac +-的取值范围为______.【答案】()()0,2【解析】 【分析】把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即C 角，从而得B 角的范围，注意2B π≠，由余弦定理可得结论．=，所以()()2cos cos cos cos 0a C B B C =⋅≠，所以()2sin cos cos A B C C B =，即()2sin cos A C C B A =+=，又sin 0A >，所以cos 2C =， 则6C π=，因为cos 0B ≠，所以50,,226B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而2222cos a c b B ac +-=，故()()2220,2a c b ac+-∈.故答案为：()()0,2．【点睛】本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略cos B 不能等于0.16.如图，在三棱锥P ABC -中PA PB PC 、、两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，设M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：()(,,)f M m n p =，其中m n p 、、分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PAC -的体积．若1(),2,2f M x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且18a x y +≥恒成立，则正实数a 的最小值是_____【答案】642-【解析】 【分析】由垂直关系可知PC ⊥平面PAB ，进而求得三棱锥P ABC -体积，通过体积桥可得421x y +=；利用()1142a a x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可构造出符合基本不等式的形式，得到14242aa a x y+≥++，由恒成立关系可得关于a 的不等式，解不等式求得最小值. 【详解】,,PA PB PC 两两垂直 PC ∴⊥平面PAB1113211332P ABC C PAB PAB V V S PC --∆∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=，即1212x y ++= 421x y ∴+=()11242442424224242a a y ax y axx y a a a a x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=+++≥++⋅=++ ⎪⎝⎭（当且仅当24y axx y=，即2y ax =时取等号） 又18ax y+≥恒成立，42428a a ∴++≥，解得：642a ≥- ∴正实数a 的最小值为642-【点睛】本题考查与立体几何有关的新定义运算中的最值问题的求解；关键是能够对“1”进行灵活应用，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得式子的最值，进而根据恒成立的关系得到不等式，从而求得结果.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分.17.已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PB AD ⊥，PAD △是边长为2的正三角形底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点（1）求证：PA 平面MDB ； （2）求二面角A PB C --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）10【解析】 【分析】(1) 连结AC ，交BD 于O ，利用中位线定理证明MO PA ∥，结合线面平行的判定定理证明即可；(2)建立空间直角坐标系，利用坐标求出平面PAB 和平面PBC 的法向量，即可求解. 【详解】（1）连结AC ，交BD 于O ，连接MO ，由于底面ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点 又M 为PC 的中点，∴MO PA ∥，又MO ⊂面MDB ，PA ⊄面MDBPA ∴平面MDB（2）过P 作PE AD ⊥，垂足为E ，由于PAD ∆为正三角形，E 为AD 的中点．由于侧面PAD ⊥面ABCD ，由面面垂直的性质得PE ⊥面ABCD ，由AD PE AD PB ⊥⊥，，得AD PEB ⊥∴60AD EB EAB ︒⊥∴∠= 以E 为坐标原点，EP 为z 轴，EA 为x 轴，EB 为y 轴，建立空间直角坐标系．则(1,0,0),3,0),(3,0),3)A B C P -(3,0)AB =-，(1,0,3)PA =设平面PAB 的法向量为1111(,,)n x y z =，平面PBC 的法向量为2222(,,)n x y z = 由10n AB ⋅=及10n PA ⋅=得111100x x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，取1x =PAB的一个法向量为)同理可求得平面PBC 的一个法向量(0,1,1)，由法向量的方向得知所求二面角的余弦值为1212n n n n ⋅-=-=. 【点睛】本题主要考查了线面平行以及二面角，(2)问中关键是建立空间直角坐标系来求解二面角的余弦值，属于中档题.18.已知数列{}n a 满足112a =，121nn n a a a +=+()*N n ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：222212312n a a a a ++++<.【答案】（1）12n a n=；（2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）由121n n n a a a +=+，两边取倒数可得1112n n a a +-=，可知数列1na 为等差数列，从而可求出1na 的表达式，进而可得到n a 的表达式；（2）利用放缩法，可得2211111441n a n n n ⎛⎫=⋅<- ⎪-⎝⎭（2n ≥，*N n ∈），进而可证明结论. 【详解】（1）由112a =，121nn na a a +=+，可知0n a >，对121n n n a a a +=+的等号两端同时取倒数得1112n n a a +=+，则1112n n a a +-=，所以数列1na 为等差数列，且首项为2，公差为2，故12n n a =， 所以12n a n=. （2）依题可知222111111111244141n a n nn n n n ⎛⎫⎛⎫==⋅<⋅⋅=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（2n ≥，*N n ∈）， 所以222212311111111442231n a a a a n n ⎛⎫++++<+-+-++- ⎪-⎝⎭1111114424n n⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 故222212312n a a a a ++++<.【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查利用放缩法证明数列不等式，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.19.设椭圆22221x x ab +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 点A 的坐标为(),0b ，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值. 【答案】(Ⅰ)22194x y +=；(Ⅱ)12或1128．【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得a =3，b =2．则椭圆的方程为22194x y +=．（Ⅱ）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由题意可得5y 1=9y 2．由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，可得1y =．由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，可得221k y k =+．据此得到关于k 的方程，解方程可得k 的值为12或1128．详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（Ⅱ）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）． 由已知有y 1>y 2>0，故12PQ sin AOQ y y ∠=-． 又因为2y AQ sin OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由4AQ sin AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =． 易知直线AB 的方程为x +y –2=0， 由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+． 由5y 1=9y 2，可得5（k +1）= 两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以，k 的值为12或1128．点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至2019年10月27日在中国武汉举行，第七届世界军人运动会是我国第一次承办的综合性国际军事体育赛事，也是继北京奥运会之后我国举办的规模最大的国际体育盛会.来自109个国家的9300余名军体健儿在江城武汉同场竞技、增进友谊.运动会共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项、329个小项.经过激烈角逐，奖牌榜的前6名如下：某大学德语系同学利用分层抽样的方式从德国获奖选手中抽取了9名获奖代表.（1）请问这9名获奖代表中获金牌、银牌、铜牌的人数分别是多少人？（2）从这9人中随机抽取3人，记这3人中银牌选手的人数为X，求X的分布列和期望；（3）从这9人中随机抽取3人，求已知这3人中有获金牌运动员的前提下，这3人中恰好有1人为获铜牌运动员的概率.【答案】（1）金牌人数为2人、银牌人数为3人、铜牌人数为4人；（2）分布列见解析，()1E X ；（3）47.【解析】【分析】（1）根据分层抽样的抽取规则，结台各奖牌的获奖人数，即可计算出这9名获奖代表中获金牌、银牌、铜牌的人数；（2）随机变量X的可能取值分别为0,1,2,3，分别计算出对应概率，列出分布列，求期望即可；（3）依题意，可分为2金1铜和1金1银1铜两种情况讨论，再结合条件概率公式，即可求解.【详解】(1)由题意可知，德国获奖运动员中， 金牌、银牌、铜牌的人数比为2:3:4，所以这9名获奖运动员中金牌人数为2人、银牌人数为3人、铜牌人数为4人； (2)X 的可能取值为0,1,2,3，则：3639C 205(0)C 8421P X ====，123639C C 4515(1)C 8428P X ====，213639C C 183(2)C 8414P X ====，33391(3)84C P X C ===，X 的分布列为：1531()1231281484E X ∴=⨯+⨯+⨯=. （3）记事件A 为“3人中有获金牌运动员”， 事件B 为“这3人中恰好有1人为获铜牌运动员”，37397()112C P A C =-=，()2111223439C C C 1()C 3C P AB +==，()4(|)()7P AB P B A P A ==. 【点睛】本题考查了分层抽样，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望及条件概率，主要考查分析解决问题和解决问题的能力及运算求解能力,属于中档题．21.已知a R ∈，函数()ln xa e f x a x x-=+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，且()()()2111x e F x x mx f x x ⎛⎫-=-+-- ⎪⎝⎭在()0,2m ∈时有极大值点()001x x ≠，求证：()01F x >.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导，分1a ≤，1a e <<，a e >，a e =进行讨论，可得函数()f x 的单调性；（2）将1a =代入()F x ，对()F x 求导，可得()2(1)ln F x x m x '=--，再对()2(1)ln F x x m x '=--求导，可得函数()F x 有唯一极大值点101,x x x =，且0000002(1)()2(1)ln 0(01)ln 2x m F x x m x m x x -'=--=⇒=<<<. 可得222000000000222()1(2ln )ln ln x x x F x x x x x x --=-+=--,设2()2ln h x x x =--，对其求导后可得0()1F x >.【详解】解：（1）222()(1)(1)(1)()()x x x x a e x a e a x e x x a e f x x x x x -⋅---+---'=+==， 又0x ，1x e ∴>，1a ∴≤时，0x a e -<，所以可解得：函数()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减；经计算可得，1a e <<时，函数()f x 在(0,ln )a 单调递减，(ln ,1)a 单调递增，(1,)+∞单调递减；a e >时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,ln )a 单调递增，(ln ,)a +∞单调递减； a e =时，函数()f x 在(0,)+∞单调递减.综上：1a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递增，(1,)+∞单调递减；1a e <<时，函数()f x 在(0,ln )a 单调递减，(ln ,1)a 单调递增，(1,)+∞单调递减； a e =时，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；a e >时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,ln )a 单调递增，(ln ,)a +∞单调递减.（2）若1a =，则221()(1)(1())(1)(1ln )x e F x x mx f x x mx x x -=-+--=-+-， ()2(1)ln F x x m x '∴=--，设()2(1)ln ,(0)H x x m x x =-->，则()2m H x x '=-， 当(0,)2m x ∈时，()0()H x H x '<⇒单调递减，即()F x '单调递减， 当(,)2m x ∈+∞时，()0()H x H x '>⇒单调递增，即()F x '单调递增. 又因为02,01,2m m <<∴<<由(1)0F '=可知：()02m F '<， 而2222()2(1)ln 20m m m m F e em e e ----'=--=⋅>，且201m e e -<=， 21(,)2m m x e -∴∃∈，使得1()0F x '=，且1(0,)x x ∈时，()0,()F x F x '>单调递增， 1(,1)x x ∈时，()0,()F x F x '<单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0,()F x F x '>单调递增， 所以函数()F x 有唯一极大值点101,x x x ∴=， 且0000002(1)()2(1)ln 0(01)ln 2x m F x x m x m x x -'=--=⇒=<<<. 220000000002(1)()(1)(1ln )(1)(1ln )ln x x F x x mx x x x x -∴=-+⋅-=-+⋅- 220000221ln x x x x -=-+. 所以222000000000222()1(2ln )ln ln x x x F x x x x x x --=-+=--, 设2()2ln h x x x =--（01x <<），则22212()0x h x x x x -'=-=>， ()h x ∴在(0,1)单调递增，()(1)0h x h ∴<=，0()0h x ∴<，又因为0ln 0x <， 0()10F x ∴-> 0()1F x ∴>.【点睛】本题主要考查导数、函数的单调性等知识，考查方程与函数、分类与整合的数学思想，考查学生的推理论证能力与运算求解能力.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.选修4—4：坐标系与参数方程22.[选修4-4：坐标系与参数方程]以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为12sin cos ρθθρ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）写出曲线C 的参数方程；（2）在曲线C 上任取一点P ，过点P 作x 轴，y 轴的垂直，垂足分别为A ，B ，求矩形OAPB 的面积的最大值.【答案】(1)12cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩.(2)max 3S =+.【解析】分析：（1）先根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再写出圆的参数方程，（2）根据题意得()()12cos 12sin S θθ=++，再根据同角三角函数关系得213222S t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，sin 4t cos πθθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，最后根据二次函数性质求最值.详解：（1）由12sin cos ρθθρ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭得()22sin cos 1ρρθρθ=++，所以22222x y x y +=++，即()()22114x y -+-=，故曲线C 参数方程1212x cos y sin θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）； （2）由（1）可设点P 的坐标为()12cos ,12sin θθ++，[)0,2θπ∈，则矩形OAPB 的面积为()()12cos 12sin S θθ=++ 12sin 2cos 4sin cos θθθθ=+++.令sin 4t cos πθθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，212sin t cos θθ=+， 22131222222S t t t ⎛⎫=++-=+- ⎪⎝⎭，故当t =时，max 3S =+点睛：利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.椭圆参数方程：cos (sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数）， 圆参数方程：cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数），直线参数方程：00cos (sin x x t t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩为参数） 选修4—5：不等式选讲23.已知函数()|1|||f x x x a =+-+.（1）若1a =-，求不等式()1f x -的解集；（2）若“x R ∀∈，()|21|f x a <+”为假命题，求a 的取值范围.【答案】（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）[]2,0-【解析】【分析】 （1））当1a =-时，将函数()f x 写成分段函数，即可求得不等式的解集. （2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“x R ∃∈，()21f x a +”为真命题，只需满足()max |21|f x a +即可.【详解】解：（1）当1a =-时，()2,1,112,11,2, 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩ 由()1f x -，得12x.故不等式()1f x -的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.（2）因为“x R ∀∈，()21f x a <+”为假命题，所以“x R ∃∈，()21f x a +”为真命题，所以()max |21|f x a +.因为()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =+-++-+=-，所以()max |1|f x a =-，则|1||21|a a -+，所以()()22121a a -+， 即220a a +≤，解得20a -，即a 的取值范围为[]2,0-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.。

得分训练（四）命题人：卢伟峰 审题人：王英君本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在答形码区域内。

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x nS n -++-+-=Sh V 31=其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V =3234,4R V R S ππ==其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若将复数ii-+11表示为a + bi （a ，b ∈R ，i 是虚数单位）的形式，则a + b =（ ） A ．0B ．1C ．－1D ．22．已知p ：14x +≤，q ：256x x <-，则p 是q 成立的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件3．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率（ ） A ．4B ．41C ．－4D ．－144．已知()xf x a b =+的图象如图所示，则()3f =（ ）yA ．222-B ．339- C ．333- D ．333-或333--5．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中假命题是（ ） A ．若βα//，α⊂l ,则β//l B ．若βα//，α⊥l ,则β⊥lC ．若α//l ，α⊂m ,则m l //D ．若βα⊥，l =⋂βα,α⊂m ,l m ⊥,则β⊥m 6．广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）Ａ．36种 B ．12种 C ．18种 D ．48种 7．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()()3,1,1,3a b =--=，则a b ⨯=（ ）A ．3B ．2C ． 23D ．48．已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩为事件为A ，则事件A 发生的概率为（ ） A ．14 B ． 58 C ．38 D ．129．若正实数,a b 满足1a b +=，则（ ） A ．11a b+有最大值4 B ．ab 有最小值14C ．a b +有最大值2D ．22a b +有最小值2210．已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+=-（ ）A. 255-B.3510-C. 31010-D. 255 11．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m 的取值范围是（ ）A ．(30，42]B ．(42，56]C ．(56，72]D ．(30，72)12.如图,过抛物线y x 42=焦点的直线依次交抛物线与圆1)1(22=-+y x 于点A 、B 、C 、D, 则CD AB ⋅的值是（ ）开始k=1 S=0S=S+2k k=k+1否是 S m <?A.8B.4C.2D.1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．52)1)(1(x x -+展开式中x 3的系数为_________；14．两曲线x x y y x 2,02-==-所围成的图形的面积是_________；15．以点)5,0(A 为圆心、双曲线191622=-y x 的渐近线为切线的圆的标准方程是_________； 16．已知22334422,33,4433881515+=+=+=，…若ta t a 66=+，（,a t 均为正实数），则类比以上等式，可推测,a t 的值，a t += ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量)3,cos 2(2x a =→-，)2sin ,1(x b =→-，函数()f x a b =⋅，2)(→-=b x g ． （Ⅰ）求函数)(x g 的最小正周期；（Ⅱ）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．18．（本小题满分12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510，由此得到样本的频率分布直方图，如右图所示．（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．19．（本小题满分12分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，A2, 2.CA CB CD BD AB AD ======(Ⅰ) 求证：AO ⊥平面BCD ；(Ⅱ) 求异面直线AB 与CD 所成角余弦的大小； (Ⅲ) 求点E 到平面ACD 的距离． 20．（本小题满分12分）设椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），如图．若抛物线C 2：21y x =-与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点． （Ⅰ）求椭圆C 1的方程； （Ⅱ）设M （0，45-），N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求MPQ ∆面积的最大值． 21．（本小题满分12分）设函数21()ln .2f x x ax bx =-- （Ⅰ）当12a b ==时，求)(x f 的最大值； （Ⅱ）令21()()2aF x f x ax bx x =+++，（03x <≤），其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

大庆市实验中学2016年高三得分训练（一）数学试题（理科）说明：本试卷分第I 卷（阅读题）和第II 卷（表达题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。

第I 卷（选择题，共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求.1. 设全集I =R ，集合{}3lo g ,3A y y x x ==>，{B x y == ，则( )A.A B ⊆B.AB A = C.A B =Φ D. ()IAB ≠Φð2.设i 为虚数单位，则复数34i i-=( )A.43i --B.43i -+C.43i +D.43i -3.在A B C ∆ 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且c =4B π=，面积2S =，则b 等于( )2B.5 D.254. 某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一 科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有( ) A.36种B.30种C.24种D.6种5. 已知,,αβγ 为互不重合的三个平面，命题:p 若αβ⊥ ，βγ⊥ ，则α ∥γ ；命 题:q 若α上不共线的三点到β 的距离相等，则α ∥β .对以上两个命题，下列结论中 正确的是( )A.命题“p q ∧ ”为真B.命题“p q ∨⌝ ”为假C.命题“p q ∨ ”为假D.命题“p q ⌝∧ ”为真6. 如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( )A.1B.2C.3D.47. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若 X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，712 B.⎝⎛⎭⎫712，1 C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫12，18.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A B C D -的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( ) A.22 B.21C.42D .419. 如图，在由x ＝0，y ＝0，x ＝2π及y ＝x cos 围成区域内任取一点，则该点落在x ＝0，y＝sin x 及y ＝cos x 围成的区域内（阴影部分）的概率为( )A.1－21 C.12D.3－10. 设,,A B C 是圆221x y += 上不同的三个点，且0O A O B ⋅=，若存在实数,λμ 使得O C O A O Bλμ=+，则实数,λμ 的关系为( )A.221λμ+= B.111λμ+= C.1λμ⋅= D.1λμ+=11.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( ) A..n2n －1 B..n ＋12n －1＋1C..2n －12n －1D..n ＋12n ＋1 12.定义区间12[,]x x 的长度为21x x -（21x x >），函数22()1()(R,0)a a x f x a a a x+-=∈≠的定义域与值域都是[,]()m n n m >，则区间[,]m n 取最大长度时实数a 的值为（ ）B.-3C.1D.3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图是判断“实验数”的流程图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是________．14.已知向量()(),1,4,2a m b n ==- ，0,0m n >>，若 a ∥b ，则18mn+的最小值________． 15.双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点.若2A B F ∆为等边三角形，则该双曲线的离心率为________． 16．在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=，则满足1212n n a a a a a a +++>⋅⋅⋅的最大正整数n 的值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）在△ABC 中，A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,2sinsin sin 2A B A B -+4=（1）求角C 的大小；（2）若b ＝4，△ABC 的面积为6，求边c 的值．18. （本小题满分12分）图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天． （1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率;（2）设是此人停留期间空气重度污染的天数，求数学期望．19．（本题满分12分）如图，四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 为平行四边形，60D A B ∠=︒，2A B =，1A D =，P D ⊥底面A B C D .（1）证明：P A B D ⊥；ξξ（2）若P D A D =，求二面角A P B C --的余弦值．20．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系x O y 中， 已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214xy+=， A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线A B 与圆O 的另一交点为P ，直线P D 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,A B A C 的斜率分别为12,k k ． （1）求12k k 的值；（2）记直线,P Q B C 的斜率分别为,P Q B C k k ，是否存在常数λ，使得P Q B C k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线A C 必过点Q ．21．（本题满分12分）已知函数（1）当且时，证明：；()ln 1(0).f x a x a =+>1a =1x >4()31f x x >-+（2）若对，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明：．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ,过N 点的切线交CA 的延长线于P 。

一、单选题1. 在中，，，，为中点，为的内心，且，则（ ）A．B．C．D．2. 在直四棱柱中中，，，P为中点，点Q 满足，（，）.下列结论的是（）A ．若，则四面体的体积为定值B．若平面，则的最小值为C ．若的外心为M，则为定值2D ．若，则点Q的轨迹长度为不正确3. 直线l ：kx －y －2k ＝0与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则实数k 的值为A ．－1或1B ．－1C ．1D ．1，－1，04. 已知函数，设a ，b ，c 是任意三角形的三边长，若一定存在以，，为三边长的三角形，则t 的取值范围为（ ）A．B．C．D．5. 已知随机变量ξ表示100次出手后篮球的命中次数，且ξ的分布列如下：N /AE （ξ）D （ξ）球员“神射手”4024球员“黄油手”00则下列有关说法中正确的是（ ）A ．球员“神射手”的投篮水平较好，因为命中率较高B ．球员“黄油手”的投篮水平较好，因为命中率较低C ．球员“神射手”的投篮十分稳定，故心理素质较好D ．球员“黄油手”的投篮十分稳定，故心理素质较好6. 已知点在角的终边上，且，则角的大小为（ ）A．B．C．D．7. 设m ，n 是两条不同直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是 A．，且，则B ．，，，，则黑龙江省大庆实验中学2021-2022学年高考数学预测试题（一）理工类试题(2)黑龙江省大庆实验中学2021-2022学年高考数学预测试题（一）理工类试题(2)二、多选题三、填空题C．，，，则D．，且，则8. 已知中，，，，为线段上任意一点，则的范围是A．B．C．D．9. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．的最小正周期B．是的一条对称轴C ．若，则的最小值为D ．若任意，且，则10. 是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则（ ）A．B．C．D．11.在中，，若满足条件的三角形有两个，则边的取值可能是（ ）A ．1.5B ．1.6C ．1.7D ．1.812.已知函数，，则下列说法不正确的有（ ）A ．若，则B．若，则C．函数的单调递增区间为D．若方程有三个不同的解，则或13. 已知曲线向右平移个单位后得到的曲线对应的函数为，若为偶函数，且在上单调递增，则_________.14. 对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和等于__________．15. 将函数y =的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，给出下列四个结论：①； ②在上单调递增；③在上有两个零点；④的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是.其中所有正确结论的序号是____________________．四、解答题16. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线G的准线方程为.(1)求抛物线G的标准方程；(2)过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线和，与抛物线交于P，Q两点，与抛物线交于C，D两点，M，N分别是线段PQ，CD的中点，求△FMN面积的最小值.17. 如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90。

黑龙江省大庆实验中学2020届高考数学综合训练试卷1（五）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x>−1}，B={x|x<2}，则A∩B=()A. {x|x>−1}B. {x|x<2}C. {x|−1<x<2}D. ⌀2.已aR，若复数z=a2i1+i为虚数，则|+i|=()A. 10B. √10C. 5D. √53.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图．2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为(单位：元)A. 100000B. 95000C. 90000D. 850004.已知|a⃗|=2，b⃗ 为单位向量，a→·b→=1，则向量a⃗在b⃗ 方向上的投影是()A. −12B. 1 C. 12D. −15.某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是()A. 15B. 25C. 35D. 7106.若tanα=13,tan(α+β)=12，则tanβ=()A. 17B. 16C. 57D. 567.已知函数f(x)=1ln(x+1)+x2，则y=f(x)的图象大致为()A. B.C. D.8.已知α终边上一点P(1,2)，则cos2α=()A. −35B. −45C. 35D. 459.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：y=23(x+2)与C交于M，N两点，则FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 5B. 6C. 7D.810.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，BB1=1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成角等于()A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘11.若函数f(x)=(x2−ax+2)e x在R上单调递增，则a的取值范围是()A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. (−2,2)D. [−2,2]12. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，若S △ABC =3S △BCF 2，则椭圆的离心率为( )A. √55B. √33C. √105D. 3√310二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={log 12x,x >0,3x,x ≤0,，则f(f(2))的值为___________14. 已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)+1(ω>0,|φ|<π2)相邻的两个对称轴之间的距离为π2，f (x )的图象经过点(π3,1)，则函数f (x )在[0,π]上的单调递增区间为______．15. 若三棱锥S −ABC 的底面是以AC 为斜边的等腰直角三角形，AC =2√3，SA =SB =SC =√7，则该三棱锥的外接球的表面积为______．16. 如图所示，这是一个正六边形的序列，则第n 个图形的边数为__________三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且△ABC 的面积为10√3，a +b =13，∠C =60°，求这个三角形的各边长．18.已知四棱锥E−ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60∘，AB=EC=2，AE=BE=√2，O为AB的中点，N为BC的中点，M在BE上且BE=4BM．(1)求证：DE//平面OMN；(2)求证：EO⊥平面ABCD;(3)求点D到平面AEC的距离．19.已知椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，圆C的方程为(x−2)2+(y−1)2=203，若椭圆E与圆C相交于A，B两点，且线段AB恰好为圆C的直径．(1)求直线AB的方程；(2)求椭圆E的标准方程．20. 某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据：(2)求出y 对x 的回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂；(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？ 参考公式：b =∑x i n i=1y i −n⋅x −⋅y−∑x i 2n i=1−nx−2，a =y −−bx −．21. 已知函数f(x)=x 3−6x 2+9x −3．(1)求函数f(x)的极值；(2)定义：若函数ℎ(x)在区间[s,t](s <t)上的取值范围为[s,t]，则称区间[s,t]为函数ℎ(x)的“美丽区间”.试问函数f(x)在(3,+∞)上是否存在“美丽区间”？若存在，求出所有符合条件的“美丽区间”；若不存在，请说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l与C交于A、B两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题主要考查集合交集运算，属于基础题． 解：因为集合A ={x|x >−1}，B ={x|x <2}， 所以A ∩B ={x |−1<x <2}． 故选C ．2.答案：D解析：解：∵z =a2i1+i =a−2i)1−i)(1+i)−i)=(a−)−(+2)i2为虚数，∴{a −20a+≠0，解得a =2， 故选：利复数形式的乘除运算化简z 由题意求出a ，则案可求．题考查复数代数形式乘除运算考查了纯虚数的概念，练了复数模求法，是．3.答案：D解析：本题主要考查折线图、条形图，属于基础题．根据折线图求出2017年就医花费，根据条形图求出2018年收入． 解：根据折线图可知，2017年就医花费80000×10％=8000元， 则2018年就医花费8000+4750=12750元， 根据条形图可知，2018年收入1275015％=85000元． 故选D ．4.答案：B解析：解：由已知得到向量a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影是：a →⋅b →|b →|=1；故选B ．根据平面向量的数量积公式解答即可．本题考查了平面向量的投影；利用了数量积的几何意义．5.答案：D解析：本题考查古典概型的计算，是基础题．基本事件总数n =C 52=10，A 或B 被选中的对立事件是A 和B 都没有被选中，由此能求出A 或B 被选中的概率．解：某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人， 赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，基本事件总数n =C 52=10，A 或B 被选中的对立事件是A 和B 都没有被选中， 则A 或B 被选中的概率是P =1−C 32C 52=710．故选：D ．6.答案：A解析：tanβ=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1−tan(α+β)tanα=12−131+12×13=17．7.答案：B解析：本题考查了函数图象变换，学会利用排除法解答，属于基础题． 分−1<x <0和x >0判断函数值的符号即可选出答案． 解：当−1<x <0时，可得ln(x +1)+x 2<0， ∴f(x)=1ln(x+1)+x 2<0，排除C ，D ．当x >0时，可得ln(x +1)+x 2>0， ∴f(x)=1ln(x+1)+x 2>0，排除A ． 故选：B ．8.答案：A解析：本题主要考查任意角的三角函数的定义和二倍角公式，属于基础题．利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值，再利用二倍角公式即可得到答案． 解：因为P(1,2)，所以r =|OP|=√5， 所以，。

2．在复平面内，复数2 - 3i3+ 2i+ z对应的点的坐标为( )，则z在复平面内对应的点位于（）②已知相关变量ሼ满足回归方程ሼ集，若变量增加一个单位，则ሼ平均增加个单位；③对分类变量X与Y，若它们的随机变量K2的观测值k越小，则判断“X与Y 有关系”的犯错误的概率越小；④用系统抽样的方法先从高三年级的2000名学生中抽取一个容量是40 的样本，先将总体编号：1到2000，再从编号为1 到50的学生中随机抽取1名学生，若其编号为26，则抽取的第 5名学生编号为220．其中不正确说法的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 49．已知函数( ) = sin x -λcos x的一个对称中心为,0⎫⎪⎭，若将函数( )图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的1，再将所得图象向右平移π3 -2，c＝4⎰递增区间是（）A. a>c>bB. b>a>cC. a>b>cD. c>b>a4．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“◇”中，可以先后填入（）A. 是偶数，B. 是奇数，C. 是偶数，D. 是奇数，‸ͲͲ5．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )10．《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( )A. 240种B. 188种C. 156种D. 120种46．已知( )5 = a0 x5+a1x + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a4 x + a5 ，则a0 + a1 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ a5 =（）A. 1B. 243C. 32D. 2117．若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，则张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是（）A. B. C. D.8．给出以下四个说法：①已知随机变量，，若쳌䁠集Ͳ，则䁠集ͲǤ；12．已知函数( ) = x + ln ( )图像上三个不同点, B,C的横坐标成公差为1 的等差数列，则二、填空题13．有6名学生参加数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是1—6号，得第一名者将参加全国数学竞赛. 今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：4号，5号，6号都不可能；乙猜：3号不可ͲͲ一、选择题A. B. C. D.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．已知a＝2 -1，b＝(2log 2 3 )2, 2-大庆实验中学 2020 年高三得分训练（二）理科数学试题1 π 1(sinπ x)dx，则实数a，b，c的大小关系是( )f x3π⎛⎝f xg x g x2 12个单位，得到函数( )的图象，则( )的单调‸ͲͲ‸ͲͲ‸ͲͲ2⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 2⎤⎥ ⎦2⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 2⎤⎥ ⎦A. 2kπ ,2kπ + ,k ∈ ZB. 2kπ + ,2kπ +π ,k ∈ ZC. kπ ,kπ + ,k ∈ ZD. kπ + ,kπ +π ,k ∈ Zππ ππ3f x mx nx m+ + +ym n+11．已知函数( ) = x 3 2 2 在x = -1时有极值0，则椭圆x 2 22 2= 1的离心率为（）2 2 77 2 2 或77 22 1x -‸A.23B.43C.83D.4A.3B.9C.3 9D.9大庆实验中学得分训练（二）理数第 1 页共2 页1xf x e + A1e + 211ee++e +1 ( )2 1+ e2 2( )∆ABC面积的最大值为（）C. ln1+ eD. ln( )2A. ln2 eB. ln4e16．抛物线y2= 2px(p > 0)的焦点为F，准线为l，A、B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =设线段AB的中点M在l上的投影为N，则MN的最大值是__________．三、解答题Sn⎫是等差数列，已知S2S3S4π3.19．如图，四棱锥H - ABCD中，HA ⊥底面ABCD，AD / /BC，AB = AD = AC = 6 ，HA = BC = 8 ， E 为线段AD 上一点，AE = 2ED，F 为HC的中点. （1）证明：EF / /平面HAB；（2）求二面角E - HF - A的正弦值.20．已知菱形形，在ሼ轴上且Ͳ‸，쳌‸（쳌Ͳ，쳌）．（Ⅰ）求点轨迹的方程；（Ⅱ）延长交轨迹于点，轨迹在点处的切线与直线交于点，试判断以为圆心，线段为半径的圆与直线的位置关系，并证明你的结论．n2 2（1）求{ }的通项公式；l : y = -3 3是曲线y = f ( )的的一条切线.18．某教育培训中心共有25名教师，他们全部在校外住宿.为完全起见，学校派专车接送教师们上下班.这个接送任务承包给了司机王师傅，正常情况下王师傅用34座的大客车接送教师.由于每次乘车人数不尽相同，为了解教师们的乘车情况，王师傅连续记录了100次的乘车人数，统计结果如下：乘车人数频数 2 4 4 10 16 20 16 12 8 6 2以这100次记录的各乘车人数的频率作为各乘车人数的概率.（Ⅰ）若随机抽查两次教师们的乘车情况，求这两次中至少有一次乘车人数超过18的概率；（Ⅱ）有一次，王师傅的大客车出现了故障，于是王师傅准备租一辆小客车来临时送一次需要乘车的教师.可供选择的小客车只有20座的A型车和22座的B型车两种，A型车一次租金为80元，B型车一次租金为90元.若本次乘车教师的人数超过了所租小客车的座位数，王师傅还要付给多出的人每人 20 元钱供他们乘出租车.以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据，判断王师傅租哪种车较合算？（1）求a的值；（2）设函数( ) ( ) - a+2，证明：函数( )无零点.22．选修4-4：坐标系与参数方程=1+ cosϕ（其中ϕ 为参数），曲线C2 : =1 .= sinϕ（2）射线l :θ =α ( )与曲线1、 2 分别交于点A B（且A B均异于原点O），当0 <大庆实验中学得分训练（二）理数第 2 页共2页an nS a= - { 2 log n aAB15．已知数列{ }满足2 4 1，当n∈ N*时，( )的取值范围是__________．2 + λlog2an} 是递增数列，则实数λ能；丙猜：不是1号就是2号；丁猜：是4号，5号，6号中的某一个.以上只有一个人猜对，则他应该是__________．14．在空间直角坐标系O - xyz中，正四面体P - ABC的顶点A、B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则OP 的取值范围是__________．a S2 3 417．设数列{ }的前n项和是n ，且⎧⎨⎩⎬⎭a1=1，+ + = 6 .形形形lnx x a x a R= + - ∈21 ．已知函数 f ( ) ( ) ( ) ，直线aaaln3x + - x2+ b Tan +1 n+2（2）若bn=an +2 n+1- 2，求数列{ }的前n项和n .15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x yxg x xe x f x a= - - - g x+x2y28 4ρ ≥ C C 、、|OA-以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C1、C2的极坐标方程；α <π22 2时，求OB | 的最小值.。

2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷（理科）（五）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合A ＝{y|y ＝3x , x ∈R}，B ＝{y|y =√4−x 2, x ∈R}，则A ∩B ＝（ ） A.[0, 2] B.(0, +∞) C.(0, 2] D.[0, 2)2. 若复数z =4i(1−i)2−2+i 2019，复数在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 下列说法错误的是（ ）A.命题“若x 2−3x +2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2−3x +2≠0”B.“x >1”是“|x|>1”的充分而不必要条件C.若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D.命题p ：“存在x ∈R ，使得x 2+x +1<0”，则非p ：“任意x ∈R ，均有x 2+x +1≥0”4. 在△ABC 中，AC ＝1，AC →⋅AB →=−1，O 为△ABC 的重心，则BO →⋅AC →的值为（ ） A.1 B.32C.53D.25. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）A.35B.20C.18D.96. 函数f(x)＝(3x +3−x )⋅lg |x|的图象大致为（ ）A. B.C. D.7. 二项式(x −ax )8的展开式中x 2的系数是−7，则a ＝（ ）A.1B.12C.−12D.−18. 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收入完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积，S为△OKL的面积，将Gini=aS称为基尼系数．①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f(x)，则对∀x∈(0, 1)，均有f(x)x>1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2(x∈[0, 1])，则Gini=14；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3(x∈[0, 1])，Gini=12．上述说法正确序号的是（）A.①④B.②③C.①③④D.①②④9. 圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2；则θ的取值范围是（）A.[√2π,2π)B.[π,√2π]C.{√2π}D.[√2π2,π)10. 已知α，β是函数f(x)＝sin x+cos x−13在[0, 2π)上的两个零点，则cos(α−β)＝（）A.−1B.−89C.−√22D.011. 椭圆与双曲线共焦点F1，F2，它们的交点P对两公共焦点F1，F2的张角为∠F1PF2＝2θ，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A.cos2θe12+sin2θe22=1 B.sin2θe12+cos2θe22=1C.e12cos2θ+e22sin2θ=1 D.e12sin2θ+e22cos2θ=112. 设函数g(x)＝e x+(1−√e)x−a（a∈R，e为自然对数的底数）．定义在R上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)＝x2，且当x≤0时，f′(x)<x．若存在x0∈{x|f(x)+12≥f(1−x)+x}，且x0为函数y＝g(x)−x的一个零点，则实数a的取值范围为（）A.(√e2,+∞) B.(√e, +∞) C.[√e, +∞) D.[√e2,+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．已知x，y满足{x−y≥0x+y≤2y≥0，则2x+y的最大值为________．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻．这样的六位数的个数是________（用数字作答）．数列1，x，1，x，x，1，x，x，x，1，x，x，x，x，1，x，…，其中在第n个1与第n+1个1之间插入n个x，若该数列的前2020项的和为7891，则x＝________．在△ABC中，已知AB→⋅AC→=9，sin B＝cos A⋅sin C，S△ABC＝6，P为线段AB上的点，且CP→=x⋅CA→|CA→|+y⋅CB→|CB→|，则xy的最大值为________．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知数列{a n}是首项为1，公比为12的等比数列，S n＝a1+a2+...+a n．（1）若S n,98,a n−1成等差数列，求n的值；（2）证明∀n∈N∗，有2a2S1S2+2a3S2S3+⋯+2a n+1S n S n+1<1−12在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120∘．（1）求证：BD⊥PC；（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF // 平面PAD，求AF的长；（3）求二面角A−PC−B的余弦值．某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调査．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0, 30]内，按[0, 5]，(5, 10]，(10, 15]，(15, 20]，(20, 25]，(25, 30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如表所示：将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望．附：观测值公式：K2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：已知圆M：(x−√2)2+y2=73，若椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为圆M的圆心，离心率为√22．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知直线l:y＝kx，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB 上），且|AG|＝|BH|，求k的值．（1）已知f(x)=ln x+1x2，证明：当x≥2时，x2ln x+1≥(ln2+14)x2；（2）证明：当a∈(−2−1e4,−1−1e2)时，g(x)=13x3ln x+3a−19x3+x(x≥√2)有最小值，记g(x)最小值为φ(a)，求φ(a)的值域．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为{x=1+2cosβy=1+2sinβ（β为参数），以原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为：θ＝α，直线l2的极坐标方程为θ=α+π2．(Ⅰ)写出曲线M的极坐标方程，并指出它是何种曲线；(Ⅱ)设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)＝|x−1|+|x−a|，a∈R．（1）当a＝4时，求不等式f(x)≥5的解集；（2）若f(x)≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷（理科）（五）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】分别求y＝3x，x∈R，y=√4−x2，x∈R的值域，得：A＝(0, +∞)，B＝[0, 2]，再求交集即可．【解答】由y＝3x，x∈R，得y>0，即A＝(0, +∞)，由y=2，x∈R，得：0≤y≤2，即B＝[0, 2]，即A∩B＝(0, 2]，2.【答案】C【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】∵z=4i(1−i)2−2+i2019=4i−2−2i+i4×504=2i(−1+i)(−1−i)(−1+i)−i=−1−i−i＝−1−2i．∴z在复平面内对应的点的坐标为(−1, −2)，位于第三象限．3.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】A中命题的逆否命题是条件与结论互换并且否定；B中充分而不必要条件要说明充分性成立，必要性不成立；C中p且q为假命题时，则p或q为假命题，或P、Q都是假命题，即一假则假；D中非p是特称命题的否定．【解答】A、命题“若x2−3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2−3x+2≠0”，命题正确；B、当x>1时，|x|>1成立，当|x|>1时，有x>1或x<−1，∴原命题正确；C、当p且q为假命题时，有p或q为假命题，或P、Q都是假命题，∴原命题错误；D、命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1<0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，命题正确．4.【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】取AC中点为D，因为O为△ABC的重心，则BO→=23BD→，由三角形法则有：BD→=12(BA→+BC→)，所以BO→=13(BA→+BC→)，再利用数量积公式求解即可【解答】取AC中点为D，因为O为△ABC的重心，则BO→=23BD→，由三角形法则有：BD→=12(BA→+BC→)，所以BO→=13(BA→+BC→)，BO→⋅AC→=13(BA→+BC→)⋅AC→=13(AC→−AB→−AB→)⋅AC→=13AC→2−23AB→⋅AC→=13+23＝1，5.【答案】C【考点】程序框图【解析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】∵输入的x＝2，n＝3，故v＝1，i＝2，满足进行循环的条件，v＝4，i＝1，满足进行循环的条件，v＝9，i＝0，满足进行循环的条件，v＝18，i＝−1不满足进行循环的条件，故输出的v值为：6.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据条件平时函数的奇偶性，结合函数值的符号是否对应，利用排除法进行判断即可．【解答】函数的定义域为{x|x≠0}，f(−x)＝(3x+3−x)⋅lg|x|＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当x>1时，f(x)>0，排除A，当0<x<1时，f(x)<0，排除C，7.【答案】B【考点】二项式定理及相关概念【解析】利用通项公式即可得出．【解答】二项式(x−ax)8的展开式中的通项公式：T r+1＝C8r(−a)r x8−2r，令8−2r＝2，解得r＝3，则含x2项的系数为C83(−a)3＝−7，解得a=128.【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】可由当Gini=as，则a越小，不平等区域越小，越公平，进行判断①，f(x)<x，则对∀x∈(0, 1)，均有f(x)x<1，可判断②，先积分求a，再求Gini，判断③④．【解答】①：由题意知A为不平等区域，a表示其面积，s为△OKL的面积．当Gini=as，则a越小，不平等区域越小，越公平，①对，②：由图可知f(x)<x，则对∀x∈(0, 1)，均有f(x)x <1，②错；③：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2(x∈[0, 1])，a=∫1 (x−x2)dx＝( 12x2−13x3)|01=16，Gini=1612=13，③错，④：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3(x∈[0, 1])，a=∫1 (x−x3)dx＝( 12x2−14x4)|01=14，Gini＝1412=12，④对，9.【答案】A【考点】棱锥的结构特征【解析】设轴截面的中心角为2α，由条件得π4≤α<π2，sinα=rl=r2≥√22，解得r≥√2，由此能求出θ的取值范围．【解答】圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，设轴截面的中心角为2α，由条件得：π4≤α<π2，sinα=rl=r2≥√22，解得r≥√2，θ=2πrl≥2√2π2=√2π，∴√2π≤θ<2π，∴θ的取值范围是[√2π,2π)．10.【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】利用函数与方程之间的关系，结合三角函数的诱导公式，同角的三角函数的关系以及两角和差的三角公式分别进行转化求解即可．【解答】解法一：依题意，f(α)＝f(β)＝0，故sinα+cosα=13，由{sinα+cosα=13sin2α+cos2α=1，得9sin2α−3sinα−4＝0，9cos2α−3cosα−4＝0且sinα≠cosα，所以sinα，cosα是方程9x2−3x−4＝0(∗)的两个异根．同理可证，sinβ，cosβ为方程(∗)的两个异根．可以得到sinα≠sinβ，理由如下：假设sinα＝sinβ，则cosα＝cosβ，又α，β∈[0, 2π)，则α＝β，这与已知相悖，故sinα≠sinβ．从而sinα，sinβ为方程(∗)的两个异根，故sinαsinβ=−49．同理可求cosαcosβ=−49，所以cos(α−β)＝cosαcosα+sinαsinβ=−89．解法二：令f(x)＝0，得sin x +cos x =13．令g(x)＝sin x +cos x ，即g(x)=√2sin (x +π4)，则α，β即为g(x)与直线y =13在[0, 2π)上交点的横坐标，由图象可知，α+β2=5π4，故β=5π2−α，又√2sin (α+π4)=13，所以cos (α−β)=cos (2α−5π2)=cos [2(α+π4)−3π]=−cos 2(α+π4)=−1+2sin 2(α+π4)=−89．解法三：依题意，不妨设0≤β<α<2π，则点A(cos α, sin α)，B(cos β, sin β)为直线x +y −13=0与单位圆的两个交点，如图所示．取AB 中点为H ，则OH ⊥AB ，记∠AOH ＝θ．则α−β＝2π−2θ， 所以，cos (α−β)＝cos (2π−2θ)＝cos 2θ＝2cos 2θ−1． 另一方面，OH =|0+0−13|√12+12=√26，OA ＝1，故cos θ=√26， 从而cos (α−β)=2×(√26)2−1=−89．11.【答案】 B【考点】圆锥曲线的综合问题 【解析】设椭圆的长轴长为2a 1，双曲线的实轴长为2a 2，P 到两焦点的距离分别为m ，n(m >n >0)，焦距为2c ，分别运用椭圆和双曲线的定义，以及三角形的余弦定理和离心率公式，结合二倍角公式，即可得到结论． 【解答】设椭圆的长轴长为2a 1，双曲线的实轴长为2a 2，P 到两焦点的距离分别为m ，n(m >n >0)，焦距为2c ， 由椭圆的定义可得m +n ＝2a 1，由双曲线的定义可得m −n ＝2a 2， 解得m ＝a 1+a 2，n ＝a 1−a 2，由余弦定理可得m 2+n 2−2mn cos 2θ＝4c 2，则(a 1+a 2)2+(a 1−a 2)2−2(a 1+a 2)(a 1−a 2)cos 2θ＝4c 2，化为a 12(1−cos 2θ)+a 22(1+cos 2θ)＝2c 2， 可得a 12sin 2θc 2+a 22cos 2θc 2=1，由e 1=c a 1，e 2=c a 2，可得sin 2θe 1+cos 2θe 2=1．12.【答案】 D【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】构造函数T(x)＝f(x)−12x 2，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可． 【解答】构造函数T(x)＝f(x)−12x 2， ∵ f(−x)+f(x)＝x 2，∴ T(x)+T(−x)＝f(x)−12x 2+f(−x)−12(−x)2＝f(x)+f(−x)+x 2＝0∴ T(x)为奇函数，当x ≤0时，T′(x)＝f′(x)−x <0， ∴ T(x)在(−∞, 0]上单调递减， ∴ T(x)在R 上单调递减．∵ 存在x 0∈{x|f(x)+12≥f(1−x)+x}，∴ f(x 0)+12≥f(1−x 0)+x 0，∴ T(x 0)+12x 02+12≥T(1−x 0)+12(1−x 0)2+x 0，化简得T(x 0)≥T(1−x 0)，∴ x 0≤1−x 0，即x 0≤12，令ℎ(x)＝g(x)−x ＝e x −√ex −a ，(x ≤12)，∵ x 0为函数y ＝g(x)−x 的一个零点，∴ ℎ(x)在x ≤12时有一个零点，∵ 当x ≤12时，ℎ′(x)＝e x −√e ≤e 12−√e =0，∴ 函数ℎ(x)在x ≤12时单调递减， 由选项知a >0，√e<a <12，又∵ √e)=a √e−√e(−√e)−a =a √e>0，∴ 要使ℎ(x)在x ≤12时有一个零点，只需使ℎ(12)=√e −12√e −a ≤0， 解得a ≥√e2，∴ a 的取值范围为[√e2, +∞)， 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【答案】 4【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求出最大值．， 【解答】作出x ，y 满足{x −y ≥0x +y ≤2y ≥0 ，对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z ＝2x +y 得y ＝−2x +z ， 平移直线y ＝−2x +z ，由图象可知当直线y ＝−2x +z 经过点A 时，直线y ＝−2x +z 的截距最大， 此时z 最大．由{x +y =2y =0，解得A(2, 0)，代入目标函数z ＝2x +y 得z ＝2×2+0＝4． 即目标函数z ＝2x +y 的最大值为：4． 【答案】 40【考点】分步乘法计数原理 【解析】欲求可组成符合条件的六位数的个数，只须利用分步计数原理分三步计算：第一步：先将3、5排列，第二步：再将4、6插空排列，第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中即可． 【解答】解析：可分三步来做这件事： 第一步：先将3、5排列，共有A 22种排法；第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有2A 22种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C 51种排法．由分步乘法计数原理得共有A 22⋅2A 22⋅C 51＝40（种）． 【答案】 4【考点】 数列的求和 【解析】当n ≥2时，前n 个1之间共有n +[1+2+3+...+(n −1)]=n(n+1)2项，可知在第63个1的后面再跟的第4个x就是第2020项，所以前2020项中含63个1，其余的均为x ，即可求得结果．【解答】当n ≥2时，前n 个1之间共有n +[1+2+3+...+(n −1)]=n(n+1)2项，当n ＝63时，有63×642=2016项，在第63个1的后面再跟的第4个x 就是第2020项，所以前2020项中含63个1，其余的均为x ，故该数列前2020项的和为63×1+(2020−63)x ＝7891，解得x ＝4． 【答案】 3【考点】三角函数中的恒等变换应用 平面向量的基本定理 【解析】由条件求得bc cos A ＝9，12bc sin A ＝6，tan A =43，可得c ＝5，b ＝3，a ＝4，以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得C(0, 0)，A(3, 0)，B(0, 4)．设CA→|CA →|=e 1→，CB →|CB →|=e 2→，则CP →=(x, y)，可得x ＝3λ，y ＝4−4λ则4x +3y ＝12，利用基本不等式求解最大值． 【解答】△ABC 中，设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，∵ sin B ＝cos A ⋅sin C ，sin (A +C)＝sin C cos nA ， 即sin A cos C +sin C cos A ＝sin C cos A ．∴ sin A cos C ＝0，∵ sin A ≠0，∴ cos C ＝0，C ＝90∘．∵ AB →⋅AC →=9，S △ABC ＝6，∴ bc cos A ＝9，12bc sin A ＝6，∴ tan A =43． 根据直角三角形可得sin A =45，cos A =35，bc ＝15，∴ c ＝5，b ＝3，a ＝4．以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得C(0, 0)，A(3, 0)，B(0, 4)． P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得CP →=λCA →+(1−λ)CB →=(3λ, 4−4λ)(0≤λ≤1)． 设CA→|CA →|=e 1→，CB →|CB →|=e 2→，则|e 1→|＝|e 2→|＝1，且 e 1→=(1, 0)，e 2→=(0, 1)．∴ CP →=x ⋅CA →|CA →|+y ⋅CB →|CB →|=(x, 0)+(0, y)＝(x, y)，可得x ＝3λ，y ＝4−4λ则4x +3y ＝12，12＝4x +3y ≥2√12xy ，解得xy ≤3， 故所求的xy 最大值为：3．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 【答案】 a n =(12)n−1，S n =1−(12)n1−12=2−12n−1，∵ S n ,98,a n−1成等差数列， ∴ 2×98=2−12n−1+12n−2， 解得n ＝3．证明：2a n+1S n S n+1=2(S n+1−S n )S n S n+1=2(1S n−1Sn+1)．∴ 2a 2S1S 2+2a 3S2S 3+⋯⋯+2a n+1S n S n+1=2(1S 1−1S 2+1S 2−1S 3+⋯⋯+1S n−1Sn+1)＝2(1S 1−1Sn+1)＝2(1−2n2n+1−1)＝1−12n+1−1<1−12n+1．∴ 2a 2S1S 2+2a 3S 2S 3+⋯⋯+2a n+1Sn S n+1<1−12n+1．【考点】等差数列与等比数列的综合 数列的求和 【解析】（1）利用通项公式与求和公式可得：a n ，S n ，根据S n ,98,a n−1成等差数列，解得n ．(2)2a n+1Sn S n+1=2(S n+1−S n )S n S n+1=2(1S n−1Sn+1)．利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出．【解答】 a n =(12)n−1，S n =1−(12)n1−12=2−12n−1，∵ S n ,98,a n−1成等差数列， ∴ 2×98=2−12n−1+12n−2，解得n ＝3． 证明：2a n+1S n S n+1=2(S n+1−S n )S n S n+1=2(1S n−1S n+1)．∴2a 2S 1S 2+2a 3S 2S 3+⋯⋯+2a n+1S n S n+1=2(1S 1−1S 2+1S 2−1S 3+⋯⋯+1S n−1S n+1)＝2(1S 1−1S n+1)＝2(1−2n2n+1−1)＝1−12n+1−1<1−12n+1． ∴ 2a 2S1S 2+2a 3S2S 3+⋯⋯+2a n+1Sn S n+1<1−12n+1．【答案】（1）证明：∵ △ABC 是正三角形，M 是AC 中点， ∴ BM ⊥AC ，即BD ⊥AC ．又∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥BD ． 又PA ∩AC =A ，∴ BD ⊥平面PAC ． ∴ BD ⊥PC ．（2）解：取DC 中点G ，连接FG ，则EG // 平面PAD ，∵ 直线EF // 平面PAD ，EF ∩EG =E ， ∴ 平面EFG // 平面PAD ， ∵ FG ⊂平面EFG ， ∴ FG // 平面PAD∵ M 为AC 中点，DM ⊥AC ， ∴ AD =CD ．∵ ∠ADC =120∘，AB =4，∴ ∠BAD =∠BAC +∠CAD =90∘，AD =CD =4√33， ∵ ∠DGF =60∘，DG =2√33，∴ AF =1（3）解：分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系，∴ B(4, 0, 0)，C(2, 2√3, 0)，D(0, 4√33, 0)，P(0, 0, 4)． DB →=(4, −4√33, 0)为平面PAC 的法向量． 设平面PBC 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则 ∵ PC →=(2, 2√3, −4)，PB →=(4, 0, −4)， ∴ {2x +2√3y −4z =04x −4z =0，令z =3，得x =3，y =√3，则平面PBC 的一个法向量为n →=(3, √3, 3)， 设二面角A −PC −B 的大小为θ，则cos θ=|n →||DB →|˙=√77．∴二面角A−PC−B余弦值为√77．【考点】二面角的平面角及求法用空间向量求平面间的夹角与二面角有关的立体几何综合题两条直线垂直的判定直线与平面平行的性质直线与平面平行的判定【解析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；（2）设取DC中点G，连接FG，证明平面EFG // 平面PAD，可得FG // 平面PAD，求出AD=CD，即可求AF 的长；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A−PC−B的余弦值．【解答】（1）证明：∵△ABC是正三角形，M是AC中点，∴BM⊥AC，即BD⊥AC．又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∴BD⊥PC．（2）解：取DC中点G，连接FG，则EG // 平面PAD，∵直线EF // 平面PAD，EF∩EG=E，∴平面EFG // 平面PAD，∵FG⊂平面EFG，∴FG // 平面PAD∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．∵∠ADC=120∘，AB=4，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90∘，AD=CD=4√33，∵∠DGF=60∘，DG=2√33，∴AF=1（3）解：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，∴B(4, 0, 0)，C(2, 2√3, 0)，D(0, 4√33, 0)，P(0, 0, 4)．DB→=(4, −4√33, 0)为平面PAC的法向量．设平面PBC的一个法向量为n→=(x, y, z)，则∵PC→=(2, 2√3, −4)，PB→=(4, 0, −4)，∴{2x+2√3y−4z=04x−4z=0，令z=3，得x=3，y=√3，则平面PBC的一个法向量为n→=(3, √3, 3)，设二面角A−PC−B的大小为θ，则cosθ=|n→||DB→|˙=√77．∴二面角A−PC−B余弦值为√77．【答案】依题意，因为0.01×5+0.02×5+0.04×5＝0.35<0.5，而0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×5＝0.65>0.5，所以中位数位于[15, 20)之间，所以中位数为15+0.5−0.350.06=17.5．依题意，消费金额在20千元以上的频率为：0.04×5+0.03×5＝0.35，所以网购迷”人数为100×0.35＝35人，非网购迷的人数为100−35＝65人．所以补全的列联表如下：所以K2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(15×20−45×20)260×40×35×65≈6.593．所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”；根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，P(ξ＝0)=(1−12)2(1−23)2=136，P(ξ＝1)=c 21×(12)2×(1−23)2+(12)2C 21×23×(1−23)=16P(ξ＝2)=(12)2×(1−23)2+C 21(12)2×C 21×13×(1−13)+(12)2×(23)2=1336，P(ξ＝3)=C 21×(12)2×(23)2+(12)2×C 21×23×(1−23)=13，P(ξ＝4)=(12)2×(23)2=19．所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望E(ξ)=16+2×1336+3×13+4×19=73． 【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）根据中位数在中间位置，即该数前的数出现频率为0.5，结合频率分布直方图估计即可； （2）根据题意，补充完整列联表，根据表中数据，计算出K 2的值，查临界值表判断即可； （3）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和为ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，分别计算出各个取值对应的概率，即可得到随机变量ξ的分布列，求出期望即可． 【解答】依题意，因为0.01×5+0.02×5+0.04×5＝0.35<0.5，而0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×5＝0.65>0.5，所以中位数位于[15, 20)之间，所以中位数为15+0.5−0.350.06=17.5．依题意，消费金额在20千元以上的频率为：0.04×5+0.03×5＝0.35，所以网购迷”人数为100×0.35＝35人，非网购迷的人数为100−35＝65人． 所以补全的列联表如下：所以K 2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(15×20−45×20)260×40×35×65≈6.593．所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”；根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，P(ξ＝0)=(1−12)2(1−23)2=136，P(ξ＝1)=c 21×(12)2×(1−23)2+(12)2C 21×23×(1−23)=16 P(ξ＝2)=(12)2×(1−23)2+C 21(12)2×C 21×13×(1−13)+(12)2×(23)2=1336，P(ξ＝3)=C 21×(12)2×(23)2+(12)2×C 21×23×(1−23)=13，P(ξ＝4)=(12)2×(23)2=19．所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望E(ξ)=16+2×1336+3×13+4×19=73． 【答案】（I ）设椭圆的焦距为2c ，由圆心M(√2,0)得到a =√2． ∵ e =ca =√22，∴ c ＝1．∴ b 2＝a 2−c 2＝1． 所以椭圆C:x 22+y 2=1．(II)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则{y =kxx 2+2y 2=2消去y 得到(1+2k 2)x 2−2＝0，则x 1+x 2＝0，x 1x 2=−21+2k 2．∴ |AB|=√(1+k 2)(0+81+2k 2)=√8(1+k 2)1+2k 2． 点M(√2,0)到直线l 的距离d =√2k|√1+k 2．则|GH|=2√73−2k 21+k 2．显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y ＝kx 就是y 轴，矛盾． ∵ |AG|＝|BH|，∴ |AB|＝|GH|． ∴ 8(1+k 2)1+2k 2=4(73−2k 21+k 2)， 解得k 2＝1，即k ＝±1．【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】（I ）由圆心M(√2,0)得到a =√2．利用椭圆的离心率e =ca 及b 2＝a 2−c 2即可得出椭圆的标准方程；(II)把直线l 的方程与椭圆的方程联立，消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|AB|，利用垂径定理及半径、弦长的一半、弦心距三者之间的关系(|GH|2)2=R 2−d 2即可得到|GH|，进而得出k ． 【解答】（I ）设椭圆的焦距为2c ，由圆心M(√2,0)得到a =√2． ∵ e =c a=√22，∴ c ＝1．∴ b 2＝a 2−c 2＝1． 所以椭圆C:x 22+y 2=1．(II)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则{y =kxx 2+2y 2=2消去y 得到(1+2k 2)x 2−2＝0，则x 1+x 2＝0，x 1x 2=−21+2k 2．∴ |AB|=√(1+k 2)(0+81+2k 2)=√8(1+k 2)1+2k 2． 点M(√2,0)到直线l 的距离d =√2k|√1+k 2．则|GH|=2√73−2k 21+k 2．显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y ＝kx 就是y 轴，矛盾．∵ |AG|＝|BH|，∴ |AB|＝|GH|． ∴ 8(1+k 2)1+2k =4(73−2k 21+k )， 解得k 2＝1，即k ＝±1．【答案】证明：f ′(x)=1x −2x 3=x 2−2x 3≥0，∴ f(x)在[√2,+∞)上单增， ∴ x ≥2时，f(x)≥f(2)， 即ln x +1x 2≥ln 2+14，∴ x ≥2时，x 2ln x +1≥(ln 2+14)x 2．证明：g ′(x)=x 2ln x +13x 2+3a−13x 2+1=x 2(ln x +1x 2+a)由f(x)在[√2,+∞)上单增且f(e)=1+1e,f(e 2)=2+1e ，a ∈(−2−1e 4,−1−1e 2) 知存在唯一的实数x 0∈(e,e 2)，使得g′(x 0)＝0， 即ln x 0+1x 0+a =0，∴ x ∈(√2,x 0),g ′(x)<0,g(x)单减； x ∈(x 0, +∞)，g′(x)>0，g(x)单增，∴ g(x)min ＝g(x 0)，x 0满足ln x 0+1x 02+a =0，∴ a =−ln x 0−1x 02，∴ g(x 0)=13x 03ln x 0+3a−19x 03+x 0=−x 039+23x 0(e <x 0<e 2)，记ℎ(x)=−19x 3+23x(e <x <e 2)， 则ℎ(x)=23−x 23<0，∴ ℎ(x)在(e, e 2)上单减， ∴ −e 69+23e 2=ℎ(e 2)<ℎ(x)<ℎ(e)=−e 39+23e ，所以φ(a)的值域为(−e 69+23e 2,−e 39+23e)．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】（1）求出导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解函数的最值，推出结果．（2）求出g′(x)=x2ln x+13x2+3a−13x2+1=x2(ln x+1x2+a)，利用函数的单调性求解函数的最小值，g(x)min＝g(x0)，构造函数ℎ(x)=−19x3+23x(e<x<e2)，利用函数的单调性求解函数的值域即可．【解答】证明：f′(x)=1x −2x3=x2−2x3≥0，∴f(x)在[√2,+∞)上单增，∴x≥2时，f(x)≥f(2)，即ln x+1x2≥ln2+14，∴x≥2时，x2ln x+1≥(ln2+14)x2．证明：g′(x)=x2ln x+13x2+3a−13x2+1=x2(ln x+1x2+a)由f(x)在[√2,+∞)上单增且f(e)=1+1e ,f(e2)=2+1e，a∈(−2−1e4,−1−1e2)知存在唯一的实数x0∈(e,e2)，使得g′(x0)＝0，即ln x0+1x0+a=0，∴x∈(√2,x0),g′(x)<0,g(x)单减；x∈(x0, +∞)，g′(x)>0，g(x)单增，∴g(x)min＝g(x0)，x0满足ln x0+1x02+a=0，∴a=−ln x0−1x02，∴g(x0)=13x03ln x0+3a−19x03+x0=−x039+23x0(e<x0<e2)，记ℎ(x)=−19x3+23x(e<x<e2)，则ℎ(x)=23−x23<0，∴ℎ(x)在(e, e2)上单减，∴−e69+23e2=ℎ(e2)<ℎ(x)<ℎ(e)=−e39+23e，所以φ(a)的值域为(−e 69+23e2,−e39+23e)．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】（1）由{x=1+2cosβy=1+2sinβ（β为参数）消去参数β得：(x−1)2+(y−1)2＝4，展开可得：x2+y2−2x−2y−2＝0．将曲线M的方程化成极坐标方程得：ρ2−2ρ(cosθ+sinθ)−2＝0，∴曲线M是以(1, 1)为圆心，2为半径的圆．（2）设|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，由l1与圆M联立方程可得ρ2−2ρ(sinα+cosα)−2＝0，∴ρ1+ρ2＝2(sinα+cosα)，ρ1⋅ρ2＝−2，∵O，A，C三点共线，则|AC|=|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1⋅ρ2=√12+4sin2α①，∴用α+π2代替α可得|BD|=√12−4sin2α，∵l1⊥l2，∴S ABCD=12|AC|⋅|BD|=12√(144−16sin22α)，∵sin22α∈[0, 1]，∴S四边形ABCD∈[4√2,6]．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】(Ⅰ)由{x=1+2cosβy=1+2sinβ（β为参数）消去参数β得：(x−1)2+(y−1)2＝4，将曲线M的方程化成极坐标方程．(Ⅱ)设|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，由l1与圆M联立方程可得ρ2−2ρ(sinα+cosα)−2＝0，根据根与系数的关系及其O，A，C三点共线，|AC|＝|ρ1−ρ2|，用α+π2代替α可得|BD|=√12−4sin2α，根据l1⊥l2，可得S四边形ABCD．【解答】（1）由{x=1+2cosβy=1+2sinβ（β为参数）消去参数β得：(x−1)2+(y−1)2＝4，展开可得：x2+y2−2x−2y−2＝0．将曲线M的方程化成极坐标方程得：ρ2−2ρ(cosθ+sinθ)−2＝0，∴曲线M是以(1, 1)为圆心，2为半径的圆．（2）设|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，由l1与圆M联立方程可得ρ2−2ρ(sinα+cosα)−2＝0，∴ρ1+ρ2＝2(sinα+cosα)，ρ1⋅ρ2＝−2，∵O，A，C三点共线，则|AC|=|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1⋅ρ2=√12+4sin2α①，∴用α+π2代替α可得|BD|=√12−4sin2α，∵l1⊥l2，∴S ABCD=12|AC|⋅|BD|=12√(144−16sin22α)，∵sin22α∈[0, 1]，∴S四边形ABCD∈[4√2,6]．[选修4-5：不等式选讲]【答案】当a＝4时，不等式f(x)≥5，即|x−1|+|x−4|≥5，等价于{x<1−2x+5≥5，或{1≤x≤43≥5，或{x>42x−5≥5，解得：x≤0或x≥5．故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0, 或 x≥5 }．因为f(x)＝|x−1|+|x−a|≥|(x−1)−(x−a)|＝|a−1|．（当x＝1时等号成立）所以：f(x)min＝|a−1|．由题意得：|a−1|≥4，解得a≤−3，或a≥5．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）不等式即|x−1|+|x−4|≥5，等价于{x<1−2x+5≥5，或{1≤x≤43≥5，或{x>42x−5≥5，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）因为f(x)＝|x−1|+|x−a|≥|a−1|，由题意可得|a−1|≥4，与偶此解得a的值．【解答】当a＝4时，不等式f(x)≥5，即|x−1|+|x−4|≥5，等价于{x<1−2x+5≥5，或{1≤x≤43≥5，或{x>42x−5≥5，解得：x≤0或x≥5．故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0, 或 x≥5 }．因为f(x)＝|x−1|+|x−a|≥|(x−1)−(x−a)|＝|a−1|．（当x＝1时等号成立）所以：f(x)min＝|a−1|．由题意得：|a−1|≥4，解得a≤−3，或a≥5．。

大庆市实验中学2016年高三得分训练（四）数学试题（理科） 出题者：丁亮 审题者：王岩说明：本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求.1. 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=1)21(xx A ，103x B xx ⎧-⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则A ∩C R B =A ．{}30x x -≤≤B ．{}01x x ≤≤ C ．{}013x x x ≤≤≤-或D ． {}1x x ≥2. 已知R m ∈，i 为虚数单位，若12i0im ->-，则m = A ．1 B ．21C ．31D ．2-3. 已知数列{}n a ，则命题“数列{}n a 为等比数列”是命题“存在实数q ，使得对*,n N ∀∈都有+1=n n a a q ”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件4. 已知等比数列}{n a 满足：354321=++++a a a a a ，122524232221=++++a a a a a ，则12345a a a a a -+-+的值是A.2B.12C.4D.145. 设a ,b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是A ．,//,a b αβαβ⊥⊥B ．,,//ab αβαβ⊥⊥C ．,,//a b αβαβ⊂⊥D ．,//,a b αβαβ⊂⊥6. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的外接球半径为（ ）2020正视图20侧视图10 1020俯视图A ．102cm B ．105cmC ．30cm 4D ．50cm 47. 定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且在[32]--，上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是： A ．)(cos )(cos βαf f < B ． )(cos )(cos βαf f > C ．)(cos )(sin βαf f >D ．)(cos )(sin βαf f <8.实数x y ，满足131+y y x x y ab ≥⎧⎪≤-⎨⎪≤⎩如果目标函数54z x y ＝－的最小值为－3，若0,0a b >>，求a b +的最小值A ．23 B ．26 C ．4 D ． 439. 阅读右图所示程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填的是A ．4n ≥B ．4n ≤C ．4n <D ．4n > 10. 甲和n 个人排成一列且甲不站排头有n a 种排法，则数列{}n a 的前n 项和n S 的值为 A ．(1)!n + B.!n C.(1)!!n n +- D.(1)!1n +-11. 定义行列式运算12212121b a b a b b a a -=，对于t R ∀∈，函数3sin ()1cos xf x xωω=在区间(,]t t π+上都有两个零点则ω的值为（A ）12 （B ）23（C ）1 （D ）2 12. 对于函数321()(2)3f x x ax a x b =-+-+，若()f x 有六个不同的单调区间，则a 的取值范围为A ．{}122a a a <<<-或B ．{}12a a <<C ．{}12a a a ><-或D ．{}02a a <<第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题: : 本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 计算2211(3+)x dx x ⎰的值等于 ； 14. 如果8()a x x+(a R ∈且0)a ≠展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中含有2x 项的系数为15. 已知函数()2(),f x ax x b a b ++＝为正数不等式()0f x <的解集记为P，集合2{}2|Q x t x t <<＝－－－＋ 若对任意正数 t P Q ⋂≠∅，，则22(1)(2)a b -+-最小值是16．定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间],[b a 上存在0x )(0b x a <<，满足ab a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是],[b a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，例如2x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数mx x x f +=3)(是]1,1[-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）在△ABC 中,已知22221sincos C A B+=+,外接圆半径R=2. (1)求角C 的大小; (2)求△ABC 面积的最大值.18. （本小题满分12分）NBA 总决赛将在北京时间6月开始，总决赛采用7局4胜制（若某队取胜四场，则终止比赛，并获得本赛季冠军）由于A 队常规赛占优，决赛时拥有主场优势（A 队先两个主场，然后三个客场，再两个主场）且每场比赛必须分出胜负。

黑龙江大庆实验中学2019高三下学期得分练习（五）-数学（理）出题人：王春锋审题人：包英哲刘立梅本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分. 第二卷第22—24题为选做题，其它题为必做题.考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试时间为120分钟.第一卷〔选择题共60分〕一. 选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求1、集合，,那么以下结论正确的选项是〔〕A. B.C. D.2.2 2(1cos)x dxππ-+⎰等于 ( )A、π B. 2 C. π-2 D. π+2A.命题“x∈R,≤0”的否定是“x∈R,≥0”；B.命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；C.假设“，那么a b”的否命题为真；D.假设实数x,y∈[－1,1],那么满足的概率为.4.假如运行如图的程序框图，那么输出的结果是()A.1，8，16B.1，7，15C.2，10，18D.1，9，175.长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1)，一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和〔入射角等于反射角〕，设坐标为〔〕，假设，那么tan 的取值范围是〔〕A.〔〕B.〔〕C.〔〕D.〔〕6、在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 顶点A 〔－4，0〕和C 〔4，0〕，顶点B 在椭圆上，那么〔〕A.B. C. D. 7.设y x b a b a b a R y x yx 11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为() A.2B.23C.1D.218.锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。

从中任意舀取4个汤圆，那么每种汤圆都至少取到1个的概率为〔〕A 、891B 、2591C 、4891D 、60919.假设5(1,a a b +=+为有理数〕，那么a b +=〔〕 A 、45B 、55C 、70D 、8010.椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,弦AB 过1F ，假设2ABF ∆的内切圆周长为π，A 、B 两点的坐标分别为()11,x y )和()22,x y ，那么12y y -的值为 〔〕A 、53B 、103C 、203 D11.在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，假设AB=CD=2,那么四面体ABCD 的体积的最大值为〔〕C.12.记实数1x ，2x ，……n x 中的最大数为max {}12,,......n x x x ，最小数为min {}12,,......n x x x 。

一、单选题二、多选题1.是抛物线的焦点，点抛物线上，点在抛物线的准线上，若，则（ ）A．B．C．D．2. 已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）A ．12B ．10C ．8D．3.已知等差数列的前n项和为，且，.设，则（ ）A．B．C．D．4. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100毫升血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上人定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（ ）A ．6B ．5C ．4D ．35. 圆上的动点到直线的最近距离为（ ）.A．B ．2C．D．6. 已知等比数列的公比，该数列前9项的乘积为1，则A ．8B ．16C ．32D ．647. 设x ∈R ，定义符号函数，则函数=的图象大致是A ．B ．C ．D ．8.设是函数的导函数，且，为自然对数的底数，则不等式的解集为A．B．C．D．9.已知圆：，点为直线：上一动点，点在圆上，以下四个命题表述正确的是（ ）A ．直线与圆相离B ．圆上有2个点到直线的距离等于1C ．过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为D ．过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过点10. 已知的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知，，的面积S 满足，点O 为的外心，满足，则下列结论正确的是（ ）黑龙江省大庆实验中学2021-2022学年高考数学预测试题（三）理工类试题黑龙江省大庆实验中学2021-2022学年高考数学预测试题（三）理工类试题三、填空题四、解答题A．B．C．D．11.已知数列满足，，且，则（ ）A．B ．数列是等差数列C．数列是等差数列D ．数列的前n项和为12.设为函数的导函数，已知，，则下列结论不正确的是（ ）A ．在单调递增B ．在单调递增C ．在上有极大值D ．在上有极小值13. 已知函数和在处的切线的斜率相等，则a 的值为___________.14. 函数（）的图象向右平移后所得函数图象关于轴对称，则______．15.某胸科医院感染科有名男医生和名女医生，现需要这名医生中任意抽取名医生成立一个临时新型冠状病毒诊治小组抽取的名医生恰好都是男医生的概率_____．16.已知各项均为正数的数列的前项和为，且，.各项均为正数的等比数列满足，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，求数列的前项和.17. 已知函数.（1）若，求函数的值；（2）求函数的值域.18. 考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要补考.现在有一张某驾校学员第一次考试结果汇总表，由于保管不善，只残留了如下数据（见下表）：成绩性别合格不合格合计男性4510女性30合计105(1)完成此表；(2)根据此表判断：是否可以认为性别与考试是否合格有关？如果可以，请问有多大把握；如果不可以，试说明理由.参考公式：①相关性检验的临界值表：0.400.250.150.100.050.0250.100.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635②卡方值计算公式：.其中.19. 已知函数．(1)讨论单调性；(2)若时，恒成立，求能取到的最大正整数．20. 如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，平面平面.（1）为三角形内（含边界）的一个动点，且，求的轨迹的长度；（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.21. 珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，每吨的销售价格为()万元，另外生产吨珍珠棉还需要投入其他成本万元.(1)写出该公司本季度增加的利润万元与x之间的函数关系：(2)当x为多少万元时？公司在本季度增加的利润最大，最大为多少万元？。

2021年黑龙江省大庆实验中学高考数学得分训练试卷（理科）（二）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2019·安徽省合肥市·单元测试)已知集合A={x∈Z|(2−x)(x−6)≥0}，B={2,4，6}，则∁A B=()A. {2,3，4，5，6}B. {3,4，5}C. {3,5}D. {2,4，6}2.(2019·河南省·月考试卷)复平面内的两点P(−1,2)，Q(−2,1)对应的复数分别为z1，z2，则z1⋅z2=()A. 5iB. −5iC. −5+iD. 5−i3.(2021·黑龙江省大庆市·模拟题)角α终边上有一点(−1,2)，则下列各点中在角−α的终边上的点是()A. (1,2)B. (−1,2)C. (−1,−2)D. (1,−2)4.(2017·河南省·月考试卷)质点运动规律s=t2+3，则在时间(3,3+Δx)中，质点的平均速度等于()C. 3+ΔxD. 9+ΔxA. 6+ΔxB. 6+Δx+9Δx5.(2017·北京市·期末考试)执行如图所示的程序框图，如果输入的x=2，则输出的y等于()A. 2B. 4C. 6D. 86.(2021·广东省·月考试卷)若随机变量X～N(1,σ2)，且P(X>2)=0.3，则P(X≥0)等于()A. 0.7B. 0.4C. 0.8D. 0.67.(2018·云南省·期末考试)《算法统宗》是中国古代数学名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的．下端3节可盛米3.9升，上端3节可盛米3升，要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升．由以上条件，要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为()升．A. 9.0B. 9.1C. 9.2D. 9.38.(2020·云南省大理白族自治州·期末考试)函数f(x)=ln(x+2)−2的零点所在的区x间是()A. (3,4)B. (2,e)C. (0,1)D. (1,2)9.(2019·山东省临沂市·单元测试)如图，圆被其内接三角形分为4块，现有5种颜色准备用来涂这4块，要求每块涂一种颜色，且相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有()A. 360种B. 320种C. 108种D. 96种10.(2021·安徽省宣城市·月考试卷)用反证法证明命题①：“已知p3+q3=2，求证：p+q≤2”时，可假设“p+q>2”；命题②：“若x2=4，则x=−2或x=2”时，可假设“x≠−2或x≠2”.以下结论正确的是()A. ①与②的假设都错误B. ①与②的假设都正确C. ①的假设正确，②的假设错误D. ①的假设错误，②的假设正确11.(2021·陕西省西安市·月考试卷)若直线l与曲线y=−√x和圆x2+y2=4都相切，则9 l的方程为()A. x−2√2y+2=0B. x+2√2y+2=0C. x−2√2y−2=0D. x+2√2y−2=012. (2020·广东省汕头市·月考试卷)已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A 、B 两点，AF 2、BF 2分别交y 轴于P 、Q 两点，若△PQF 2的周长为12，则ab 取得最大值时该双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. 2√2D. 2√33二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2016·黑龙江省大庆市·期中考试)若△ABC 的面积为2√3，且∠B =π3，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．14. (2021·黑龙江省大庆市·模拟题)已知四面体ABCD 的所有棱长都为√6，O 是该四面体内一点，且点O 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD ，平面BCD 的距离分别13，x ，16和y ，则x +y = ______ ，1x +12y 的最小值是______ ． 15. (2015·山东省济宁市·模拟题)若a =∫c π2−π2osxdx ，则二项式(a √x −√x )4的展开式中的常数项为______ ．16. (2018·全国·其他类型)已知实数x ，y 满足3x −y ≤ln(x +2y −3)+ln(2x −3y +5)，则x +y =______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. (2020·云南省·单元测试)某商场为提高服务质量，随机调查了60名男顾客和80名女顾客，每位顾客均对该商场的服务给出满意或． 不满意的评价，得到下面不完整的列联表：(1)根据已知条件将列联表补充完整；(2)能否有99%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．18.(2021·黑龙江省大庆市·模拟题)已知数列{a n}的首项为1，向量m⃗⃗⃗ =(a n+1,−1)，n⃗=(1,3a n+1)，且m⃗⃗⃗ ⊥n⃗．}为等比数列；(1)证明；{a n+12(2)求{a n}的前n项和S n．19.(2020·江苏省泰州市·单元测试)已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4．(Ⅰ)求证：BD⊥A1C；(Ⅱ)求二面角A−A1C−D1的余弦值；(Ⅲ)在线段CC1上是否存在点P，使得平面A1CD1⊥平面PBD，若存在，求出CP的值；若不存在，请说明理由．PC120.(2020·江西省南昌市·期中考试)已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，点P(√32,1)在C上．(1)求椭圆的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆C的上、下焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，求△F1AB的内切圆的半径的最大值．21.(2021·江苏省淮安市·单元测试)已知函数g(x)=e x−ax2−ax，ℎ(x)=e x−2x−lnx.其中e为自然对数的底数．(1)若f(x)=ℎ(x)−g(x)．①讨论f(x)的单调性；②若函数f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围．(2)已知a>0，函数g(x)恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：x1+x2<ln(4a2)．22. (2020·全国·模拟题)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−2−12ty =√32t(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ+3cosθ=0．(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设P(−2,0)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|S △APO −S △BPO |.23. (2021·安徽省·单元测试)已知函数f (x )=3|x −a|+|3x +1|，g (x )=|4x −1|−|x −2|．(1)求不等式g (x )<6解集；(2)若存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 1)和g (x 2)互为相反数，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【知识点】补集及其运算【解析】解：A={x∈Z|(2−x)(x−6)≥0}={x∈Z|(x−2)(x−6)≥0}={x∈Z|2≤x≤6}={2,3，4，5，6}，则∁A B={3,5}，故选：C．求出集合A的等价条件，结合补集的定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件结合补集的定义是解决本题的关键．2.【答案】B【知识点】复数的四则运算【解析】解：由题意，z1=−1+2i，z2=−2+i，∴z1⋅z2=(−1+2i)(−2+i)=2−i−4i−2=−5i．故选：B．由已知求得z1，z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】C【知识点】任意角的三角函数【解析】解：角α终边与角−α的终边关于x轴对称，∴(−1,2)关于x轴对称的点为(−1,−2)，故选：C．根据诱导公式和点的对称即可求出．本题考查任意角的三角函数的定义，点的对称，考查计算能力，属于基础题．4.【答案】A【知识点】导数的基本概念【解析】【分析】本题考查函数的平均变化率公式，注意平均速度与瞬时速度的区别，属于基础题．利用平均变化率的公式f(x+Δx)−f(x)Δx，代入数据，计算可求出平均速度．【解答】解：平均速度为v=(3+Δx)2+3−(32+3)3+Δx−3=6+Δx，故选：A．5.【答案】B【知识点】程序框图【解析】【分析】执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数y={3x x<14x−x2x≥1的值，从而计算得解．本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．【解答】解：执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数y={3x x<1 4x−x2x≥1的值，由于x=2>1，可得y=4×2−22=4．则输出的y等于4．故选B．6.【答案】A【知识点】正态曲线及其性质【解析】【分析】本题主要考查正态分布，属于基础题．随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到结果．【解答】解：随机变量X～N(1,σ2)，∴曲线关于x=1对称，∵P(X>2)=0.3，∴P(X<0)=0.3，∴P(X ≥0)=1−P(X <0)=0.7故选：A ．7.【答案】C【知识点】等差数列的通项公式、等差数列的应用、等差数列与等比数列的综合应用、等差数列的求和 【解析】 【分析】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d 升，下端第一节盛米a 1升，由等差数列通项公式及前n 项和公式列出方程组求出a 1，d ，由此能求出中间两节可盛米的容积，可得结论． 【解答】解：要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d 升，下端第一节盛米a 1升，由题意得{3a 1+3d =3.98a 1+28d −(5a 1+10d)=3，解得a 1=1.36，d =−0.06， ∴中间两节可盛米的容积为：a 4+a 5=(a 1+3d)+(a 1+4d)=2a 1+7d =2.3这根八节竹筒盛米的容积总共为：2.3+3.9+3≈9.2(升)． 故选：C ．8.【答案】D【知识点】函数零点存在定理【解析】解：∵f(1)=ln3−2<lne 2−2=0， f(2)=ln4−1>lne −1=0， ∴函数f(x)的零点所在区间是(1,2)， 故选：D ．函数f(x)的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反． 本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．9.【答案】B【知识点】两个计数原理的综合应用、分类讨论思想、排列、组合的综合应用【解析】【分析】本题考查排列组合，计数原理的应用，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于基础题．由题意相邻两块的颜色不同，通过对涂色区域编号，分别选出2种颜色、3种颜色、4种颜色涂色，求出各自的涂色方案种数，即可得到结果．【解答】解：对涂色区域编号，①挑选2种颜色，区域1涂一种颜色，2、3、4同色，涂色方法为：C52A22=20；②挑选3种颜色，2、3同色，2、4同色，3、4同色，涂色方法是3C53A33=180；③挑选4种颜色，涂色方法是A54=120．所以涂色方案有：20+180+120=320．故选B．10.【答案】C【知识点】运用反证法证明【解析】【分析】此题主要考查反证法的定义及其应用，是一道基础题．利用反证法及其定义进行分析求解．【解答】解：(1)A用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定．①：“已知p3+q3=2，求证：p+q≤2”时，可假设“p+q>2”；故①正确；命题②：“若x2=4，则x=−2或x=2”时，可假设“x≠−2或x≠2”．应该是：“若x 2=4，则x =−2或x =2”时，可假设“x ≠−2且x ≠2”.故②错误； 故选C ．11.【答案】B【知识点】圆的切线方程、圆锥曲线中的综合问题 【解析】解：分别作出曲线y =−√x 和圆x 2+y 2=49，由图象可得切线的斜率小于0，纵截距小于0， 由排除法可得只有选项B 的直线方程满足要求； 另外可设切线的方程为y =kx +b ， 圆x 2+y 2=49的圆心(0,0)，半径r =23， 由直线l 与圆相切，可得|b|√1+k 2=23，①由y =kx +b 与y =−√x 联立可得，k 2x 2+(2kb −1)x +b 2=0， 由△=(2kb −1)2−4k 2b 2=0， 化为4kb =1，② 解得k =−√24，b =−√22，则切线的方程为y =−√24(x +2)，即为x +2√2y +2=0，故选：B ．通过画出曲线y =−√x 和圆x 2+y 2=49，由图象可得切线的斜率小于0，纵截距小于0，可以通过排除选择，也可以切线的方程为y =kx +b ，由直线和圆相切的条件，以及直线和y =−√x 相切等价为二次方程的判别式为0，解方程可得所求切线的方程． 本题考查直线与圆的位置关系，以及直线和曲线的位置关系，注意运用判别式法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】D【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、双曲线的性质及几何意义 【解析】 【分析】本题考查双曲线的定义，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．由题意，△ABF 2的周长为24，利用双曲线的定义，可得4b 2a=24−4a ，进而转化，利用导数的方法，即可得出结论． 【解答】解：由题意，△ABF 2的周长为24， ∵|AF 2|+|BF 2|+|AB|=24， ∵|AF 2|+|BF 2|−|AB|=4a ，|AB|=2b 2a，∴4b 2a=24−4a ，∴b 2=a(6−a)，∴y =a 2b 2=a 3(6−a)，∴y′=2a 2(9−2a)， 0<a <4.5，y′>0，a >4.5，y′<0，∴a =4.5时，y =a 2b 2取得最大值，此时ab 取得最大值，b =3√32， ∴c =3√3， ∴e =ca =2√33， 故选：D ．13.【答案】−4【知识点】向量的数量积【解析】解：∵△ABC 的面积为2√3，且∠B =π3， ∴12acsin π3=2√3，化为ac =8．∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ | |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB =−cacos π3=−8×12=−4． 故答案为：−4．利用三角形的面积计算公式12acsin π3=2√3，可得ac =8.再利用数量积运算AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ | |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB 即可得出．本题考查了三角形的面积计算公式、数量积运算，属于基础题．14.【答案】32 3+2√23【知识点】利用空间向量求点、线、面之间的距离【解析】解：棱长为√6的正四面体的体积为V =√212(√6)3=√3，每个面的面积为√34×(√6)2=3√32，由等体积法可得V =V O−ABC +V O−ACD +V O−ABD +V O−BCD =13×3√32×(13+x +16+y)=√3，得x +y =32，所以1x +12y =1⋅(1x +12y )=23(x +y)(1x +12y )=23(32+x 2y +yx ) ≥23(32+2√x 2y ⋅y x )=3+2√23，当且仅当{x +y =32x 2y=yx,x >0,y >0， 即当{x =6−3√22y =3√2−32时，等号成立，因此1x +12y 的最小值是3+2√23， 故答案为：32，3+2√23． 先计算出正四面体的体积为√3，利用等体积法得到x +y =32，由此得到23(x +y)=1，并在代数式1x +12y 乘以1=23(x +y)，展开后利用基本不等式可求出最值．本题考查等体积法求三棱锥的体积以及利用基本不等式求最值，问题的关键就是利用等体积法求出一个等式，然后对代数式进行合理变形，属于中档题．15.【答案】24【知识点】定积分的概念及几何意义、二项展开式的特定项与特定项的系数 【解析】解：∵a =∫c π2−π2osxdx =sinx|−π2π2=sin π2−sin(−π2)=2∴a =2∴二项式(2√x −√x )4的展开式中项为：T r+1=C 4r ⋅24−r ⋅(−1)⋅x 2−r ， 当2−r =0时，r =2，常数项为：C 42⋅4×1=6×4=24故答案为：24运用积分公式得出a =2，二项式(2√x −√x )4的展开式中项为：T r+1=C 4r⋅24−r ⋅(−1)⋅x 2−r ，利用常数项特征求解即可．本题考察了积分与二项展开式定理，属于难度较小的综合题，关键是记住公式．16.【答案】167【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、对数与对数运算、基本不等式的概念和几个常用不等式【解析】解：由f(t)=lnt −t +1的导数为： f′(t)=1t −1=1−t t，当t >1时，f′(t)<0，f(t)递减， 当0<t <1时，f′(t)>0，f(t)递增， 可得f(t)的最大值为f(1)=0， 即有lnt ≤t −1，则ln(x +2y −3)+ln(2x −3y +5)≤x +2y −3−1+2x −3y +5−1=3x −y ， 当且仅当x +2y −3=2x −3y +5=1时，取得等号， 则x =47，y =127，可得x +y =167，故答案为：167．构造函数f(t)=lnt −t +1，求得导数和单调性，可得最值，再由条件可得等号成立的条件，解方程可得x ，y ，进而得到所求和．本题考查不等式的转化，注意运用函数思想，考查方程思想和运算能力，属于难题．17.【答案】解：(1)列联表如下：不满意的评价，得到下面不完整的列联表：(2)K 的观测值：K 2=140×(50×30−10×50)2100×40×60×80≈7.292；由于7.292>6.635，∴有99%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．【知识点】独立性检验【解析】(1)根据已知条件即可把列联表补充完整；(2)计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目． 18.【答案】证明：(1)向量m ⃗⃗⃗ =(a n+1,−1)，n ⃗ =(1,3a n +1)，且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ， 整理得：a n+1=3a n +1， 故a n+1+12=3(a n +12)，所以数列{a n +12}是以32为首项，3为公比的等比数列； 解：(2)由于数列{a n +12}是以32为首项，3为公比的等比数列； 所以a n =32×3n−1−12．所以S n =32(1+31+...+3n−1)−12n =34×3n −12n −34．【知识点】向量垂直的判断与证明、数列求和方法【解析】(1)直接利用向量的数量积和构造新数列的应用求出数列为等比数列； (2)首先利用(1)的结论，求出数列的通项公式，进一步利用分组法的应用求出数列的和． 本题考查的知识要点：向量的数量积，构造新数列，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】(本小题满分14分)(Ⅰ)证明：∵ABCD −A 1B 1C 1D 1为正四棱柱， ∴AA 1⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形．…(1分) ∵BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥AA 1，BD ⊥AC.…(2分) ∵AA 1∩AC =A ，∴BD ⊥平面A 1AC.…(3分) ∵A 1C ⊂平面A 1AC ， ∴BD ⊥A 1C .…(4分)(Ⅱ)解：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D −xyz ． 则D(0,0，0)，A(2,0，0)，C(0,2，0)，A 1(2,0，4)，B 1(2,2，4)， C 1(0,2，4)，D 1(0,0，4)，…(5分) ∵D 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−4)． 设平面A 1D 1C 的法向量n⃗ =(x 1,y 1,z 1). ∴{n ⃗ ⋅D 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{x 1=02y 1−4z 1=0，…(6分)令z 1=1，则y 1=2.∴n⃗ =(0,2，1)． 由(Ⅰ)知平面AA 1C 的法向量为DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0).…(7分) ∴cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=√5⋅2√2=√105.…(8分) ∵二面角A −A 1C −D 1为钝二面角，∴二面角A −A 1C −D 1的余弦值为−√105.…(9分)(Ⅲ)解：设P(x 2,y 2,z 2)为线段CC 1上一点，且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∵CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2−2,z 2)，PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 2,2−y 2,4−z 2). ∴(x 2,y 2−2,z 2)=λ(−x 2,2−y 2,4−z 2).…(10分) 即x 2=0,y 2=2,z 2=4λ1+λ．∴P(0,2，4λ1+λ).…(11分)设平面PBD 的法向量m⃗⃗⃗ =(x 3,y 3,z 3)． ∵DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,4λ1+λ)，DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)， ∴{m ⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{2y 3+4λ1+λz 3=02x 3+2y 3=0.…(12分) 令y 3=1，得m⃗⃗⃗ =(−1,1，−1+λ2λ).…(13分)若平面A 1CD 1⊥平面PBD ，则m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0． 即2−1+λ2λ=0，解得λ=13．所以当CPPC 1=13时，平面A 1CD 1⊥平面PBD.…(14分)【知识点】立体几何综合题（探索性问题、轨迹问题等）、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、线面垂直的性质、线面平行的性质【解析】(Ⅰ)由已知条件推导出BD ⊥AA 1，BD ⊥AC ，从而得到BD ⊥平面A 1AC ，由此能证明BD ⊥A 1C .(Ⅱ) 以D 为原点建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出二面角A −A 1C −D 1的余弦值．(Ⅲ)设P(x 2,y 2,z 2)为线段CC 1上一点，且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用向量法能求出当CP PC1=13时，平面A 1CD 1⊥平面PBD ．本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.【答案】解：(1)由题意，e =ca =√32，则c 2a 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2=34，即a 2=4b 2.①∵点P(√32,1)在椭圆C 上．∴1a 2+34b 2=1，②由①②，可解得a 2=4，b 2=1． ∴椭圆C 的方程为y 24+x 2=1．(2)由(1)，可知F 1(0,√3)，F 2(0,−√3).设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2). 故|F 1A|+|F 1B|+|AB|=2⋅2a =4a =8．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y =kx −√3． 联立{x 2+y 24=1y =kx −√3，整理，得(k 2+4)x 2−2√3kx −1=0， 则△=12k 2+4(k 2+4)=16(k 2+1)>0，x 1+x 2=2√3kk 2+4，x 1⋅x 2=−1k 2+4．∴|AB|=√1+k 2⋅|x 1−x 2| =√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2⋅√(2√3k k 2+4)2+4k 2+4=4(k 2+1)k 2+4．设点F 1到直线l 的距离为d ，则 d =√3−√3|√k 2+1=√3√k 2+1． ∴S △F 1AB =12⋅|AB|⋅d =12⋅4(k 2+1)k 2+4⋅√3√k 2+1=4√3√k 2+1k 2+4． 设△F 1AB 的内切圆的半径为r ，则 r =2S △F 1AB |F 1A|+|F 1B|+|AB|=8√3√k 2+1k 2+48=√3√k 2+1k 2+4． ∵1r =√32√k 2+1=√3(√k 2+1+√k 2+1)≥√3⋅2√3=2．当且仅当√k 2+1=√k 2+1，即k =±√2时，等号成立． ∴0<r ≤12．∴△F 1AB 的内切圆的半径的最大值为12．【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的概念及标准方程 【解析】本题第(1)题根据e =c a=√32，可得a 2=4b 2.再将点P 坐标代入椭圆方程可得1a 2+34b 2=1，解出a 2，b 2的值，可得 椭圆C 的方程．第(2)题根据椭圆的定义有|F 1A|+|F 1B|+|AB|=2⋅2a =4a =8.再设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y =kx −√3.联立直线与椭圆方程，整理可得一元二次方程，根据韦达定理可得x 1+x 2=2√3k k 2+4，x 1⋅x 2=−1k 2+4.再根据弦长公式|AB|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|可得关于k 的表达式，再设点F 1到直线l 的距离为d ，则根据点到直线距离公式可得．然后计算出S △F 1AB =12⋅|AB|⋅d ，然后根据三角形内切圆半径公式有r =2S △F1AB|F 1A|+|F 1B|+|AB|，通过对1r 应用均值不等式求出最小值，即可得r 的最大值．本题主要考查直线与椭圆的综合问题，考查了椭圆的定义，韦达定理，点到直线的距离，三角形内切圆半径公式，考查了逻辑思维能力和数学运算能力．本题属较难题．21.【答案】解：(1)f(x)=ℎ(x)−g(x)=e x −2x −lnx −e x +ax 2+ax =ax 2+(a −2)x −lnx(x >0)，①f′(x)=2ax +(a −2)−1x =2ax 2+(a−2)x−1x=(2x+1)(ax−1)x(x >0)，(i)当a ≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上递减；(ii)当a >0时，令f′(x)>0，解得x >1a ；令f′(x)<0，解得0<x <1a ， ∴函数f(x)在(0,1a )递减，在(1a ,+∞)递增；综上，当a ≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a >0时，函数f(x)在(0,1a )上单调递减，在(1a ,+∞)上单调递增；②由①知，若a ≤0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，不可能有两个不同的零点，故a >0； 且当x →0时，f(x)→+∞；当x →+∞时，f(x)→+∞；故要使函数f(x)有两个不同的零点，只需f(x)min =f(1a )=a ⋅(1a )2+a−2a−ln 1a <0，即lna −1a +1<0，又函数y =lnx −1x +1在(0,+∞)上为增函数，且ln1−11+1=0，故lna −1a +1<0的解集为(0,1)．故实数a 的取值范围为(0,1)；(2)证明：g′(x)=e x−2ax −a ，依题意，{e x 1−2ax 1−a =0e x 2−2ax 2−a =0，两式相减得，2a =e x 1−e x 2x 1−x 2(x 1<x 2)，要证x 1+x 2<ln(4a 2)，即证x 1+x 22<ln2a ，即证ex 1+x 22<e x 1−e x 2x 1−x 2，两边同除以e x 2，即证(x 1−x 2)ex 1−x 22>e x 1−x 2−1，令t =x 1−x 2(t <0)，即证te t2−e t +1>0，令ℎ(t)=te t2−e t +1(t <0)，则ℎ′(t)=−e t2[e t2−(t2+1)]，令p(t)=e t 2−(t 2+1)，则p′(t)=12(e t2−1)，当t <0时，p′(t)<0，p(t)在(−∞,0)上递减， ∴p(t)>p(0)=0， ∴ℎ′(t)<0，∴ℎ(t)在(−∞,0)上递减，∴ℎ(t)>ℎ(0)=0，即te t2−e t +1>0，故x 1+x 2<ln(4a 2)．【知识点】利用导数研究函数的极值、利用导数研究函数的单调性【解析】(1)①求出f(x)并求导，解关于导函数的不等式即可得到单调区间；②显然a >0，分析可知只需f(x)的最小值小于0即可满足条件，进而得解； (2)依题意，将所证不等式转化为证明(x 1−x 2)e x 1−x 22>e x 1−x 2−1，再通过换元构造新函数即可得证．本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，考查极值点偏移问题，考查转化思想，换元思想及化简运算能力，逻辑推理能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)直线l 的参数方程为{x =−2−12ty =√32t(t 为参数)转换为l ：√3x +y +2√3=0．曲线C 的极坐标方程是ρ+3cosθ=0，整理得ρ2=−3ρcosθ，根据转换关系{x =ρcosθy =ρsinθ，转换为直角坐标方程为：(x +32)2+y 2=94．(2)方法一：联立直线l 参数方程为{x =−2−12t y =√32t(t 为参数)，代入曲线C 得：(−2−12t +32)2+(√32t)2=94，化简得：t 2+12t −2=0， ∴t 1+t 2=−12．O 到直线l 的距离d =√3|√12+(√3)2=√3．|S △APO −S △BPO |=|12|AP|⋅d −12|BP|⋅d|=√32⋅|t 1+t 2|=√34． 方法二：联立直线l 与曲线C 得：{√3x +y +2√3=0√3−2+32)2+y 2=94， 化简得：y 2+√34y −32=0，∴y 1+y 2=−√34． |S △APO −S △BPO |=|12|OP|⋅|y 1|−12|OP|⋅|y 2||=|y 1+y 2|=√34．【知识点】曲线的参数方程、简单曲线的极坐标方程【解析】(1)直接利用代入法和极坐标和直角坐标的关系式，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)x ≥2时，4x −1−x +2<6，解得：x <53，不合题意；14<x <2时，4x −1+x −2<6，解得：x <95， x ≤14时，1−4x +x −2<6，解得：x >−73， 综上，不等式的解集是(−73,95)；(2)因为存在x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f (x 1)=−g (x 2)成立， 所以{y|y =f(x),x ∈R}∩{y|y =−g(x),x ∈R}≠⌀，又f(x)=3|x −a|+|3x +1|≥|(3x −3a)−(3x +1)|=|3a +1|， 而g(x)={3x +1,x ≥25x −3,14<x <2−3x −1,x ≤14，故g(x)的最小值是−74， 可知[−g (x )]max =74，所以|3a +1|≤74，解得−1112≤a ≤14，所以实数a的取值范围为[−1112,14 ]．【知识点】不等式和绝对值不等式【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．(1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)问题转化为{y|y=f(x),x∈R}∩{y|y=−g(x),x∈R}≠⌀，求出f(x)的最小值和g(x)的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．第21页，共21页。