2017-2018学年高一上学期数学十二月月考试题 Word版含答案

福建省厦门2017-2018学年高一12月月考数学试题（普及组）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}lg 3 5A x y x B x x ==-=≤，，则A B = （ ） A ．{}35x x <≤ B ．{}5x x ≥ C ．{}3x x < D ．R 2.下列函数中，既是奇函数，又在区间()0 +∞，上为增函数的是（ ） A ．1ln1xy x+=- B ．3y x = C ．3x y = D ．22x x y -=- 3.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（ ）A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均气温高于20℃的月份有5个4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石 C.338石 D ．1365石5.甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的 m n ，的比值mn=（ ）A ．1B ．13 C.38D ．296.如图，点O 为坐标原点，点()1 1A ，，若函数()01x y a a a =>≠且及()log 01b y x b b =<≠且的图象与线段OA 分别交于点 M N ，，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则 a b ，满足（ ）A ．1a b <<B ．1b a << C.1b a >> D ．1a b >>7.已知函数()()223 1log 1a x a x f x x x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，，的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1 2-，B ．[)1 2-， C.(] 1-∞-， D ．{}1- 8.如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆，垂直于x 轴的直线():0l x t t a =≤≤经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y （图中阴影部分），若函数()y f t =的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是（ ）A ．B ． C. D ．9.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n =（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．510.设函数()f x x x a =-，若对[)12 3 x x ∀∈+∞，，，12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(] 3-∞-，B ．[)3 0-， C.(] 3-∞， D ．(]0 3， 11.若函数()f x 与()g x 的图象关于直线y x =对称，已知()12xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()()22f g +的值为（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．512.若函数())0f x x a =>没有零点，则a 的取值范围为（ ）A ．()0 1，B ．())0 1 +∞ ，， C.(()0 2 +∞ ， D ．()()0 1 2 +∞ ，， 第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设全集为R ，集合{}{}24 14A x R x B x x =∈<=-<≤，，则()R A C B = ．14.若函数()()22log f x x ax =-+的图象过点()1 2，，则函数()f x 的值域为 ．15.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为 8.57.5y x =+.则表中的m 的值为 ．16.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 ．（参考数据：lg1.120.05 lg1.30.11 lg 20.30≈，≈，≈） 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知集合{}2230A x x x =--≤，{}22240 B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈，，.（Ⅰ）若[]0 3A B = ，，求实数m 的值；（Ⅱ）若R A C B A = ，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知函数()()2220f x ax ax b a =-++≠，若()f x 在区间[]2 3，上有最大值5，最小值2. （Ⅰ）求 a b ，的值；（Ⅱ）若1b <，()()g x f x mx =-在[]2 4，上单调，求m 的取值范围.19.（本小题满分12分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷，现从使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下. （Ⅰ）试估计使用A 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数； （Ⅱ）根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（i ）能否认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%？ （ii ）如果你要从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由.20.（本小题满分12分）某地一渔场的水质受到了污染，渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为()*m m N ∈个单位的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足()y mf x =，其中()()3log 4 056 52x x f x x x ⎧+<≤⎪=⎨>⎪-⎩，，，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化. （Ⅰ）如果投放的药剂质量为6m =，试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天？（Ⅱ）如果投放的药剂质量为m ，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围.21.（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投放某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量i y （ 1 2 8i =，，…，）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中，18i i i w w w ===∑，（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与 x y ，的关系为0.2z y x =-，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i ）当年宣传费90x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据()()()1122 n n u v u v u v ，，，，…，，，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ()()()121nii i ni i uu v v v u u uβαβ==--==--∑∑ ，.22.（本小题满分12分）已知函数()221x x t f x +=+.（Ⅰ）若()f x 是奇函数，求证：方程()ln f x x =-恰有一个实数；（Ⅱ）若对任意实数 a b c ，，，都有()()() f a f b f c ，，是某个三角形的三边长，求实数t 的取值范围.福建省厦门2017-2018学年高一12月月考数学试题（普及组）参考答案一、选择题1-5:DBDBC 6-10:ABCCC 11、12：DD 二、填空题13.{}21x x -<≤- 14.225 log 4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，15.60 16.2019 三、解答题17.解：由已知得{}13A x x =-≤≤，{}12B x m x m =-≤≤+.……………………2分18.解：（Ⅰ）()()212f x a x b a =-++-.当0a >时，()f x 在[]2 3，上为增函数，故()()35962514422022f a a b a a a b b f ⎧=-++==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-++===⎩⎩⎪⎩， 当0a <时，()f x 在[]2 3，上为减函数，故()()32962214425325f a a b a a a b b f ⎧=-++==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-++===⎩⎩⎪⎩. （Ⅱ）∵1b <，∴1a =，0b =，即()222f x x x =-+，()()222222g x x x mx x m x =-+-=-++， ∵()g x 在[]2 4，上单调，∴222m +≤或242m +≥，∴2m ≤或6m ≥. 故m 的取值范围为(][) 2 6 -∞+∞ ，，.……………………12分 19.解：（Ⅰ）依题意可得，使用A 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55（分钟），使用A 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数：150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）.……6分（Ⅱ）（i ）使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为： 0.040.200.560.8080%75%++==>.………………………………8分故可认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%.……9分 （ii ）使用B 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数：150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<，所以选B 款订餐软件.……12分20.解：（Ⅰ）由题设，投放的药剂质量为6m =，渔场的水质达到有效净化()()661f x f x ⇔≥⇔≥()305log 41x x <≤⎧⎪⇔⎨+≥⎪⎩或5612x x >⎧⎪⎨≥⎪-⎩05x ⇔<≤或58x <≤，即08x <≤. 所以如果投放的药剂质量为6m =，水质达到有效净化一共可持续8天.……6分 （Ⅱ）由题设，任意(]0 8x ∈，，()618mf x ≤≤，0m >.∵()()3log 4 056 52x x f x x x ⎧+<≤⎪=⎨>⎪-⎩，，，∴任意(]0 5x ∈，，()36log 418m x ≤+≤，且(]5 8x ∀∈，，66182m x ≤≤-，∴3log 46218m m ≥⎧⎨≤⎩，且6218m m ≥⎧⎨≤⎩59m ⇔≤≤且69m ≤≤，∴69m ≤≤， 投放的药剂质量m 的取值范围为[]6 9，.………………………… 12分 21.解：（Ⅰ）由散点图可判断，y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型.……2分（Ⅱ）令w =y 关于w 的线性回归方程，由于()()()8121108.86816iii ni i w w yyd w w==--===-∑∑， ∴56368 6.8100.6d y dw =-=-⨯=，∴y 关于x 的线性回归方程为100.668w =+＄， ∴y 关于x的回归方程为100.6d =+分（Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销售量y的预报值100.6576.6d =+， 576.60.24966.32d =⨯-=.……………………9分（ii ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值(0.2100.620.12z x x =+-=-+，13.66.82=，即46.24x =时，z 取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.………………12分22.解：（Ⅰ）由()221x x t f x +=+是奇函数知()()2122211221x x x x x xt t tf x f x --++⋅+-===-=+++， 所以122x x t t +⋅=--，即()()1210xt +⋅+=，所以1t =-，()21212121x x xf x -==-++.因为函数21x y =+在R 上单调递增且210x +>，函数21y x=-在()0 +∞，上单调递增， 所以()y f x =是增函数，又因为函数ln y x =在()0 +∞，上单调递增， 设()()ln h x f x x =+，则()y h x =在()0 +∞，上单调递增， 又()()111211ln10 0321eh f h e ⎛⎫=+=>=-< ⎪⎝⎭+，，即()110h h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以函数()y h x =恰有一个零点，即方程()ln f x x =-恰有一个实根.（Ⅱ）()2112121x x xt t f x +-==+++， （1）当1t =时，()1f x =，所以()()()1f a f b f c ===，可构成三角形三边长，符合题意；（2）当1t >时，()2112121x x xt t f x +-==+++在R 上单调递减，()()()() 1 f a f b f c t ∈，，，， 要使()()() f a f b f c ，，是某个三角形的三边长，则2t ≤，此时12t <≤；（3）当1t <时，()2112121x x xt t f x +-==+++在R 上单调递增，()()()() 1f a f b f c t ∈，，，， 要使()()() f a f b f c ，，是某个三角形的三边长，则21t ≥，即12t ≥，此时112t ≤<.。

三台中学实验学校2017年秋季高2017级12月月考数学试题注意事项：1.本试卷分满分100分．考试时间XX 分钟。

2.答题前，考生先将自己的准考证号、姓名、座位号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚。

3.选择题使用2B 铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚，按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题4分,共48分） 1．()cos 570-︒= ( )A.12 B. 12- C. D. 2．已知A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，那么C B A 、、关系是（ ）A. A C C ⋂=B. B C ⊆C. B A C ⋃=D. C B A ==3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为23π，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）A. 6平方米B.9平方米C. 12平方米D. 15平方米 5．如果0tan sin ,0cos sin >⋅<⋅αααα，那么角2α的终边在（ ）A. 第一或第三象限B. 第二或第四象限C. 第一或第二象限D. 第三或第四象限 6．) ()2(,2)(12121=-+=+--f x x xx f 则已知5 . 49. 2 . 0 .D C B A7．下列函数中，值域是(0，＋∞)的函数是( )x xy x y x x y y A -==+==21)21( D. ||C. cos sin B. 2 .），（），（）　，（）　，（） ， 的取值范围是（ ）则实数　若∞+⋃∞+<1530.153.1.530(.,153log .8D C B A a a9．已知函数()421xf x x -=-+的零点为a ，设,ln a b c a π==，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b a c << 10．函数()2sin f x x x x =-在区间[],ππ-上的图象大致为（ ）A B C D11．已知实数a ，b 满足b a 3121log log =，下列五个关系式：①1>>b a ；②10<<<a b ；③1>>a b ；④10<<<b a ；⑤b a =.其中不可能．．．成立的关系式有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个mD m C m B A x x x y x y x y x x f y x y x f x f R x x f m m m 4.2..0.)(...),,(),...,,(),,()(2sin ),1()1())((.12221222211 则交点为图象的与若函数满足已知函数=+++==-=+∈πⅡ卷（非选择题）二、填空题（每空3分 共12分） 13.函数xx x f 1)1ln()(-+=的定义域为_____________ 14.函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________ 15．给出以下四个说法，错误说法的个数是______个（1）若()(){,|4}{,|21}A x y x y B x y x y =+==-=，，则{}31A B ⋂=，； （2） 1tan 1sin 1cos <<（3）函数x y sin =在第一象限单调递增； （4）函数3)(x x f =在R 上的唯一零点是)0,0( 16.函数()f x 是奇函数且满足)(1)2(x f x f =+，当02x <<时，x x f 2log )(-=，则)37(12f +的值为_______三、解答题（每小题10分 共40分）17.已知)sin()tan()sin()2cos()2sin()(απααπαπαπα++--+-=f)()1(αf 化简的值求且若απααtan ),,0(,51)()2(∈-=f18.提高过江大桥的车辆通行能力可改变整个城市的交通状况，在一般情 况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0,当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。

江苏省2017-2018学年第一学期月考考试高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．函数cos 2y x =的最小正周期为__ __．2．若{U n n =是小于9的正整数,{A n U n =∈是奇数，={U B n n ∈是3的倍数，则(A B)U C ⋃= ____ ． 3. 计算=︒-)330sin( .4．不等式1tan >x 的解集为 ．5．圆心角为3π弧度，半径为6的扇形的面积为 __．6．已知角α的终边上一点P （1，－2），则sin 2cos sin cos αααα+=-___________．7．设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，5log 3=d ，则,,a b c ,d 按从大到小的顺序是 .8．计算：43310.25()log 18log 22-⨯-+-= ．9. 设函数)0(sin >=ωωx y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,5ππ上是增函数，则ω的取值范围为____ .10. 函数()()πϕπϕ<≤-+=,2cos x y 的图像向右平移2π个单位后，与函数)32sin(π+=x y 的图像重合，则ϕ= .11．设),2(ππα∈，函数322)(sin )(+-=x x x f α的最大值为43，则α=_________.12. 给出下列命题：①小于090的角是第一象限角；②将3sin()5y x π=+的图象上所有点向左平移25π个单位长度可得到3sin()5y x π=-的图象；③若α、β是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>；④若α为第二象限角，则2α是第一或第三象限的角；⑤函数tan y x =在整个定义域内是增函数. 其中正确的命题的序号是_______．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）13. 若关于x 的函数2222sin ()(0)tx x t x f x t x t+++=>+的最大值为M ，最小值为N ，且4M N +=，则实数的值为 ．14. 对于函数()f x ,等式 4)1()1(=-⋅+x f x f 对定义域中的每一个x 都成立，已知当[0,1]x ∈ 时,2)(x x f =(1)1m x --+(0)m >,若当[0,2]x ∈时,都有4)(1≤≤x f ,则m 的取值范围是___________.二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本题14分） 已知角α的终边经过点P （4-，3）， （1）求()()απααπ+-+-tan cos )sin(的值;（2）求1sin cos cos sin 22+-+αααα的值．16. （本题14分）已知函数21)(-+=x x x f 的定义域为集合A ，函数a a x a x x g +++-=22)12()(的定义域为集合B ．（1）求集合A 、B ； （2）若A B A = ，求实数a 的取值范围．17. （本题14分）已知直线6x π=是函数)2sin()(ϕ+=x x f )20(πϕ<<图象的一条对称轴．（1）求函数)(x f 的解析式； （2）求函数)(x f -的单调增区间； （3）作出函数()f x 在[]0,x π∈上的图象简图（列表，画图）．18. （本题16分）已知函数(32)1x f x -=- ([0,2])x ∈，函数3)2()(+-=x f x g . （1）求函数()y f x =与()y g x =的解析式,并求出()f x ，()g x 的定义域; （2）设22()[()]()h x g x g x =+，试求函数()y h x =的最值.19. （本题16分）设二次函数()f x 在[－1，4]上的最大值为12，且关于x 的不等式()0f x <的解集为（0，5）． （1）求()f x 的解析式； (2) 若],2,0[),62sin(3)(ππ∈+=x x x g 求函数))(()(x g f x h =的值域；（3）若对任意的实数x 都有(22cos )(1cos )f x f x m -<--恒成立，求实数m 的取值范围．20. （本题16分）设()f x 是定义在D 上的函数，若对任何实数(0,1)α∈以及D 中的任意两数1x 、2x ，恒有()1212(1)()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义在D 上的C 函数．（1）证明：函数21()f x x =是定义域上的C 函数； （2）判断函数21()(0)f x x x=<是否为定义域上的C 函数，请说明理由； （3）若()f x 是定义域为R 的函数，且最小正周期为T ，试证明()f x 不是R 上的C 函数．江苏省2017-2018学年第一学期月考考试高一数学试卷（答案）一、填空题1．π 2．}8,4,2{ 3. 21 4．},24|{Z k k x k x ∈+<<+ππππ 5．π6 6．0 7． a b c d >>> 8． 6 9. ]2,0( 10. 65π 11． 32π12.④ 13. 2 14. ]3,0(二、解答题 15.解：(1);154（2）5416.解：（1）10212x x x x +≥⇒>≤--或，22(21)01x a x a a x a x a -+++≥⇒≥+≤或 ),1[],(),,2(]1,(+∞+-∞=+∞--∞=a a B A（2）11211≤≤-⇒⎩⎨⎧≤+-≥⇒⊆⇔=a a a B A A B A17. 解：（1）)62sin()(π+=x x f ；（2）函数()x f 的增区间为Z k k k ∈++],65,3[ππππ （3）列表x6π 512π 23π 1112ππ26x π+6π2ππ32π 2π136π()f x121 01-12()x f 在],0[π∈x 上的图象简图如下图所示：18.解：（1）设32xt =-∈（t [-1,7]，则3log (t 2)x =+, 于是有3()log (t 2)1f t =+-，[1,7]t ∈-，∴3()log (2)1f x x =+-()[1,7]x ∈-， 根据题意得3()(2)3log 2g x f x x =-+=+，又由721≤-≤-x 得91≤≤x ， ∴2log )(3+=x x g ()[1,9]x ∈（2）∵3()log 2,[1,9]g x x x =+∈∴要使函数22()[()]()h x g x g x =+有意义，必须21919x x ⎧≤≤⎨≤≤⎩∴13x ≤≤，∴222223333()[()]()(log 2)2log (log )6log 6h x g x g x x x x x =+=+++=++ （13x ≤≤）设x t 3log =,则66)(2++=t t x h ()332-+=t )10(≤≤t 是()1,0上增函数,∴0=t 时min )(x h =6,1=t 时13)(max =x h ∴函数()y h x =的最大值为13，最小值为6． 19. 解：（1）()x x x f 1022-=;（2）225)25(2)(2--=x x f ，]3,23[)(-∈x g;239))((max =x g f ,225))((min -=x g f ∴值域为]239,225[-（3）设t=1-x cos ，则0≤t≤2，∴f （2-2cosx ）<f （1-x cos -m ）,2·2t·（2t-5）<2·（t-m ）·（t-m-5）则 （3t-m-5）（t+m ）<0,(5)0(1)(2)0m m m m --<⎧∴⎨-+<⎩，∴实数m 的取值范围为{}51|-<>m m m 或. 20.（1）证明如下：对任意实数12,x x 及()0,1α∈，有()()()()()121211f x x f x f x αααα+----()()()222121211x x x x αααα=+----()()()2212121121x x x x αααααα=----+-()()21210x x αα=---≤，即()()()()()121211fx x f x f x αααα+-≤+-，∴()21f x x =是C 函数； 6分（2）()()210f x x x=<不是C 函数， 说明如下（举反例）：取13x =-，21x =-，12α=，则()()()()()121211fx x f x f x αααα+----()()()11111231022262f f f =-----=-++>， 即()()()()()121211fx x f x f x αααα+->+-，∴()()210f x x x=<不是C 函数； 10分 （3）假设()f x 是R 上的C 函数， 若存在m n <且[),0,m n T ∈，使得()()f m f n ≠. （i ）若()()f m f n <， 记1x m =，2x m T =+，1n mTα-=-，则01α<<，且()121n x x αα=+-， 那么()()()()()()121211f n fx x f x f x αααα=+-≤+-()()()()1f m f m T f m αα=+-+=，这与()()f m f n <矛盾；（ii ）若()()f m f n >， 记1x n =，2x n T =-，1n mTα-=-，同理也可得到矛盾； ∴()f x 在[)0,T 上是常数函数， 又因为()f x 是周期为T 的函数，所以()f x 在R 上是常数函数，这与()f x 的最小正周期为T 矛盾. 所以()f x 不是R 上的C 函数. 16分。

2017-2018学年山东省临沂市重点中学高一（上）12月月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P={y|y=﹣x2+1，x∈R}，Q={y|y=2x，x∈R}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P2．下列说法正确的是（）A．如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行B．两个平面相交于唯一的公共点C．如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则它们必有无数个公共点D．平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行3．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=log2x B．y=x﹣1C．y=x3D．y=2x4．过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．1 B．4 C．1或3 D．1或45．若f（x）=2x，则下列等式不成立的是（）A．f（x+1）=2f（x）B．f（2x）=[f（x）]2 C．f（x+y）=f（x）•f（y）D．f（xy）=f（x）•f（y）6．函数f（x）=x3+x﹣3的实数解所在的区间是（）A．〔0，1〕B．〔1，2〕C．〔2，3〕D．〔3，4〕7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+48．三个数a=π0.2，b=0.2π，c=log0.2π的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a9．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n10．在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，．将梯形ABCD绕BC 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．πB． C． D．2π11．若点P（a，b）与Q（b﹣1，a+1）关于直线l对称，则l的倾斜角为（）A．135°B．45°C．30°D．60°12．已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.13．定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=log2x，则f（f（））=．14．将一个气球的体积变以原来的2倍，它的表面积变为原来的倍．15．幂函数f（x）的图象经过点（，2），点（﹣2，）在幂函数g（x）的图象上，当f （x）＞g（x）时，x的取值范围为．16．已知函数f（x）=，则函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴有个交点．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程17．已知函数f（x）=的定义域为M，N={x|a+1＜x＜2a﹣1}，（1）当a=4时，求（∁R M）∩N；（2）若N⊆M，求实数a的取值范围．18．（1）已知A（1，2），B（﹣1，0），C（3，a）三点共线，求a的值．（2）已知A（1，﹣1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且BC∥AD．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，侧棱PD⊥底面ABCD，E，F，M 分别是PC，PB，CD的中点．（1）证明：PB⊥AC；（2）证明：平面PAD∥平面MEF．20．已知函数．（1）判断并证明f（x）的奇偶性；（2）求证：；（3）已知a，b∈（﹣1，1），且，，求f（a），f（b）的值．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4．（1）设M是PC上任意一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（3）在线段PC上是否存在一点M，使得PA∥平面BDM，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．22．设函数f（x）=a﹣，x∈R，a为常数；已知f（x）为奇函数．（1）求a的值；（2）求证：f（x）是R上的增函数；（3）若对任意t∈[1，2]有f（m•2t﹣2）+f（2t）≥0，求m的取值范围．2015-2016学年山东省临沂市重点中学高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P={y|y=﹣x2+1，x∈R}，Q={y|y=2x，x∈R}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据集合的定义分别求出集合P和Q，再根据子集的定义和补集的定义对A、B、C、D四个选项进行一一验证；【解答】解：∵P={y|y=﹣x2+1，x∈R}，Q={y|y=2x，x∈R}，∴P={y|y≤1}，Q={y}y＞0}，∴P与Q不存在子集的关系，∴A、B错误；C R P={y|y＞1}，Q={y}y＞0}，∴C R P⊆Q故选C．2．下列说法正确的是（）A．如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行B．两个平面相交于唯一的公共点C．如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则它们必有无数个公共点D．平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，这条直线与这个平面平行或这条直线在这个平面内；在B中，两个平面相交于一条直线；在C中，这条直线在平面内；在D中，当平面外的一条直线与平面相交时，平面外的这条直线必与该平面内的直线不平行．【解答】解：在A中，如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行或这条直线在这个平面内，故A错误；在B中，两个平面相交于一条直线，故B错误；在C中，如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则这条直线在平面内，它们必有无数个公共点，故C正确；在D中，当平面外的一条直线与平面相交时，则平面外的这条直线必与该平面内的直线不平行，故D错误．故选：C．3．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=log2x B．y=x﹣1C．y=x3D．y=2x【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】利用函数的奇偶性、单调性即可判断得出结论．【解答】解：由于函数：y=log2x与y=2x是非奇非偶函数，y=x﹣1在在（0，+∞）上单调递减，y=x3是奇函数又在（0，+∞）上单调递增．故选：C．4．过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．1 B．4 C．1或3 D．1或4【考点】直线的斜率．【分析】根据斜率k=，直接求出m 的值．【解答】解：过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，所以k===1解得m=1故选A5．若f（x）=2x，则下列等式不成立的是（）A．f（x+1）=2f（x）B．f（2x）=[f（x）]2 C．f（x+y）=f（x）•f（y）D．f（xy）=f（x）•f（y）【考点】指数函数的图象与性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】根据指数幂的运算性质即可判断答案．【解答】解：对于A：f（x+1）=2x+1=2×2x=2f（x），故正确；对于B：f（2x）=22x=（2x）2=[f（x）]2，故正确；对于C：f（x+y）=2x+y=2x•2y=f（x）•f（y），故正确，对于D：则不正确，故选：D．6．函数f（x）=x3+x﹣3的实数解所在的区间是（）A．〔0，1〕B．〔1，2〕C．〔2，3〕D．〔3，4〕【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．【分析】先确定函数f（x）=x3+x﹣3在R上是单调增函数，再用零点存在定理，判断函数f（x）=x3+x﹣3的实数解所在的区间．【解答】解：∵f′（x）=3x2+1≥0∴函数f（x）=x3+x﹣3在R上是单调增函数∵f（1）=1+1﹣3=﹣1＜0，f（2）=8+2﹣3=7＞0∴函数f（x）=x3+x﹣3的实数解所在的区间是（1，2）故选B．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为=π•12+π×1×2+2×2S几何体=3π+4．故选：D．8．三个数a=π0.2，b=0.2π，c=log0.2π的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】不等式比较大小．【分析】利用指数函数的性质得到a＞1，0＜b＜1，利用对数函数的性质得到c＜0，则可得到正确答案．【解答】解：∵a=π0.2＞π0=1，b=0.2π＜0.20=1，且b＞0，c=log0.2π＜log0.21=0．∴c＜b＜a．故选D．9．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【考点】平面与平面平行的判定．【分析】通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行与同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选D．10．在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，．将梯形ABCD绕BC所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．πB． C． D．2π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意可知几何体是一个底面半径为1，高为1的圆柱，加上一个相同底面高为1的圆锥的组合体，利用体积公式，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体是一个底面半径为1，高为1的圆柱，加上一个相同底面高为1的圆锥的组合体，几何体的体积V==．故选：B．11．若点P（a，b）与Q（b﹣1，a+1）关于直线l对称，则l的倾斜角为（）A．135°B．45°C．30°D．60°【考点】直线的倾斜角．【分析】设l的倾斜角为θ，根据点P（a，b）与Q（b﹣1，a+1）关于直线l对称，可得k PQ ×tanθ=﹣1，即可得出．【解答】解：设l的倾斜角为θ，k PQ==﹣1，∵点P（a，b）与Q（b﹣1，a+1）关于直线l对称，∴﹣1×tanθ=﹣1，∴tanθ=1，∴θ=45°，故选：B．12．已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线的斜率．【分析】画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，用直线的斜率公式求出k PB和k PA的值，求出直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，即k≥=，或k≤=﹣4，∴k≥，或k≤﹣4，即直线的斜率的取值范围是k≥或k≤﹣4．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.13．定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=log2x，则f（f（））=﹣1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用奇函数的性质，结合函数的解析式，即可得出结论．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=log2x，∴f（）=﹣2，∵函数f（x）是奇函数，∴f（f（））=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣1．故答案为﹣1．14．将一个气球的体积变以原来的2倍，它的表面积变为原来的倍．【考点】球的体积和表面积．【分析】利用球的体积、表面积公式，即可得出结论．【解答】解：一个气球的体积变为原来的2倍，则半径变为原来的倍，∴表面积变为原来的倍，故答案为：．15．幂函数f（x）的图象经过点（，2），点（﹣2，）在幂函数g（x）的图象上，当f（x）＞g（x）时，x的取值范围为x＜﹣1或x＞1．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用幂函数经过的点，求出幂函数的解析式，利用不等式求解即可．【解答】解：幂函数f（x）的图象经过点（，2），可得幂函数f（x）=x2．点（﹣2，）在幂函数g（x）的图象上，可得幂函数为：g（x）=x﹣2，当f（x）＞g（x）时，可得x2＞x﹣2，解得x＜﹣1或x＞1．故答案为：x＜﹣1或x＞1．16．已知函数f（x）=，则函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴有2个交点．【考点】函数的图象．【分析】根据分段函数，函数值的求法，分类讨论，分别代入得到相应的方程的，解得即可．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+1，当x≤0时，f（x）=x+1，当﹣1＜x≤0时，f（x）=x+1＞0y=f[f（x）]﹣1=log2（x+1）﹣1=0，即log2（x+1）=1，解得x=1（舍去）当x≤﹣1时，f（x）=x+1≤0，y=f[f（x）]+1=f（x）+1﹣1=x+1=0，∴x=﹣1．当x＞0时，f（x）=log2x，y=f[f（x）]﹣1=log2[f（x）]﹣1，当0＜x＜1时，f（x）=log2x＜0，y=f[f（x）]﹣1=log2[f（x）]﹣1=log2（log2x+1）﹣1=0，∴log2x﹣1=0，x=2（舍去）当x＞1时，f（x）=log2x＞0，∴y=f[f（x）]﹣1=log2（log2x）﹣1=0，∴log2x=2，x=4．综上所述，y=f[f（x）]﹣1的零点是x=﹣1，或x=4，∴则函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴有2个交点，故答为：2．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程17．已知函数f（x）=的定义域为M，N={x|a+1＜x＜2a﹣1}，（1）当a=4时，求（∁R M）∩N；（2）若N⊆M，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）先求出M，N，再求（∁R M）∩N；（2）若N⊆M，分类讨论，建立不等式，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=中x满足的条件，∴﹣3＜x＜5，∴f（x）的定义域M=（﹣3，5）．当a=4时，∁R M=（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞），N=（5，7），∴（∁R M）∩N=（5，7）…（2）①当N=∅时，即a+1≥2a﹣1，有a≤2；…②当N≠∅，则，解得2＜a≤3，…综合①②得a的取值范围为a≤3．…18．（1）已知A（1，2），B（﹣1，0），C（3，a）三点共线，求a的值．（2）已知A（1，﹣1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且BC∥AD．【考点】三点共线．【分析】（1）A，B，C三点共线，可得k AB=k AC，即可得出．（2）由直线CD⊥AB，且BC∥AD．可得k AB•k CD=﹣1，k BC=k AD．【解答】解：（1）k AB==1，k AC==．∵A，B，C三点共线，∴k AB=k AC，∴=1，解得a=4．（2）设D（x，y），k AB==3，k CD==，k BC==﹣2，k AD=．∵直线CD⊥AB，且BC∥AD．∴k AB•k CD=3•=﹣1，k BC=k AD，即=﹣2．联立解得，即D（0，1）．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，侧棱PD⊥底面ABCD，E，F，M 分别是PC，PB，CD的中点．（1）证明：PB⊥AC；（2）证明：平面PAD∥平面MEF．【考点】平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）证明：AC⊥平面PBD，即可证明PB⊥AC；（2）证明EF∥平面PAD；EM∥平面PAD，利用平面与平面平行的判定定理，即可证明平面PAD∥平面MEF．【解答】证明：（1）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥AC．…∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…又因为PD∩BD=D，…∴AC⊥平面PBD，…而PB⊂平面PBD，…∴AC⊥PB．…（2）因为E，F为PC，PB中点，所以EF∥BC所以EF∥AD，…又因为AD⊂面PAD，EF⊄面PAD…8分所以EF∥平面PAD；…同理可证：EM∥平面PAD．…又因为EF，EM⊂面EFM，EF∩EM=E…所以面EFM∥面PAD．…20．已知函数．（1）判断并证明f（x）的奇偶性；（2）求证：；（3）已知a，b∈（﹣1，1），且，，求f（a），f（b）的值．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】（1）由可得函数的定义域（﹣1，1），关于原点对称，再由=可判断函数奇偶性（2）分别计算f（a）+f（b）与可证（3）由（2）可得f（a）+f（b）=1，f （a）+f（b）=2结合奇函数的性质可得f（﹣b）=﹣f（b），从而可求【解答】解：（1）由可得函数的定义域（﹣1，1），关于原点对称∵=故函数f（x）为奇函数（2）∵f（a）+f（b）====∴（3）∵=1∴f（a）+f（b）=1 =2∴f（a）+f（﹣b）=2∵f（﹣b）=﹣f（b），∴f（a）﹣f（b）=2，解得：21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4．（1）设M是PC上任意一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（3）在线段PC上是否存在一点M，使得PA∥平面BDM，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）在△ABD中，由已知可得AD2+BD2=AB2，得到AD⊥BD．再由平面与平面垂直的性质可得BD⊥平面PAD，进一步得到平面MBD⊥平面PAD；（2）过P作PO⊥AD交AD于O，由于平面PAD⊥平面ABCD，得到PO为四棱锥P﹣ABCD 的高，求出四边形ABCD的面积，代入棱锥体积公式求得四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）存在M点满足条件，此时．连接AC交BD于G点，由AB∥CD，得．当PA∥平面BDM时，得GM∥PA．从而得到．【解答】（1）证明：在△ABD中，由于AD=4，BD=8，AB=，∴AD2+BD2=AB2．故AD⊥BD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，又BD⊂平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD；（2）解：过P作PO⊥AD交AD于O，由于平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．因此PO为四棱锥P﹣ABCD的高，又△PAD是边长为4的等边三角形．因此PO=．在底面四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2DC，∴四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形ABCD的高，∴四边形ABCD的面积为．故；（3）存在M点满足条件，此时．证明如下：连接AC交BD于G点，由AB∥CD，得△ABG∽△CDG，故．当PA∥平面BDM时，PA⊂平面PAC，面PAC∩平面BDM=GM，∴GM∥PA．∴．22．设函数f（x）=a﹣，x∈R，a为常数；已知f（x）为奇函数．（1）求a的值；（2）求证：f（x）是R上的增函数；（3）若对任意t∈[1，2]有f（m•2t﹣2）+f（2t）≥0，求m的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）根据函数的奇偶性求出a的值，检验即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）根据函数的单调性以及函数的奇偶性得到m≥﹣1，t∈[1，2]，从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）由f（0）=0得：a=1，当a=1时，f（x）=，于是f（﹣x）===﹣f（x），故f（x）是奇函数；证明：（2）对任意x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=﹣+=，∵x1＜x2，∴＞0，1﹣＜0，∴f（x1）＜f（x2），由定义知：f（x）是R上的增函数；解：（3）∵f（m•2t﹣2）+f（2t）≥0，∴f（m•2t﹣2）≥﹣f（2t）=f（﹣2t），由（2），f（x）是增函数，m•2t﹣2≥﹣2t，即m≥﹣1，t∈[1，2]，∴m≥0，所以实数m的取值范围是[0，+∞）．2016年11月12日。

福建省2017-2018学年高一上学期12月月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（）A．log3π＜0.993.3＜log20.8 B．log20.8＜log3π＜0.993.3C．0.993.3＜log20.8 l＜og3πD．log20.8＜0.993.3＜log3π2．已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，集合B={y|y=（）x}，x＜1}，则A∩B=（）A．{y|y＞} B．{y|{0＜y＜} C．{y|y＞1} D．{y|＜y＜1}3．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+5．若函数y=f（x）为奇函数，则它的图象必经过点（）A．（0，0）B．（﹣a，﹣f（a））C．（a，f（﹣a））D．（﹣a，﹣f（﹣a））6．已知函数f（x）=（）x﹣log2x，若实数x是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x，则f（x1）（）A．恒为负值B．等于0 C．恒为正值D．不大于07．设函数，则f（5）=（）A．2 B．6 C．8 D．48．已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（）A．B．C D．9．已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（）A．1 B．4 C．D．或410．一条线段长为5，其侧视图长这5，俯视图长为，则其正视图长为（）A．5 B．C．6 D．11．已知函数，若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（2，3] D．（2，+∞）12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=2x﹣2，则不等式f（log2x）＞0的解集为（）A． B． C．（2，+∞）D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）=loga（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点．14．如果幂函数的图象不过原点，则m的值是．15．用一张4cm ×8cm 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积为 cm 2（接头忽略不计）．16．已知集合M={1，2，3，4}，A ⊆M ，集合A 中所有元素的乘积称为集合A 的“累积值”，且规定：当集合A 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合A 的累积值为n ．（1）若n=3，则这样的集合A 共有 个；（2）若n 为偶数，则这样的集合A 共有 个．三、解答题17．已知奇函数f （x ）=+a ．（1）求f （x ）的定义域； （2）求a 的值；（3）证明x ＞0时，f （x ）＞0．18．已知关于x 的不等式（log 2x ）2﹣2log 2x ﹣3）≤0的解集为M ． （1）求集合M ；（2）若x ∈M ，求函数f （x ）=[log 2（2x ）]•（log 2）的最值．19．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形． （1）求该几何体的体积V ； （2）求该几何体的侧面积S ．20．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，这个几何体的体积为（1）求证：直线A1B∥平面CDD1C1（2）求证：平面ACD1∥平面A1BC1（3）求棱A1A的长．21．设二次函数f（x）=ax2+bx+c在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f （x）=x}．（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．22．若函数y=f（x）对任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，恒有f （x）＜0（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若f（2）=1，解不等式f（﹣x2）+2f（x）+4≤0．福建省2017-2018学年高一上学期12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（）A．log3π＜0.993.3＜log20.8 B．log20.8＜log3π＜0.993.3C．0.993.3＜log20.8 l＜og3πD．log20.8＜0.993.3＜log3π【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数、指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜0.993.3＜1，log3π＞1，log20.8＜0，∴log20.8＜0.993.3＜log3π．故选：D．2．已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，集合B={y|y=（）x}，x＜1}，则A∩B=（）A．{y|y＞} B．{y|{0＜y＜} C．{y|y＞1} D．{y|＜y＜1}【考点】交集及其运算．【分析】分别求解对数函数和指数函数的值域化简集合A与B，取交集得答案．【解答】解：∵A={y|y=log2x，x＞1}={y|y＞0}，B={y|y=（）x}，x＜1}={y|y}，则A∩B={y|y＞}．故选：A．3．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出异面直线EF与GH所成的角的大小．的棱长为2，【解答】解：设正方体AC1以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，由题意知E（2，0，1），F（2，1，0），G（2，2，1），H（1，2，2），∴， =（﹣1，0，1），设异面直线EF与GH所成的角为θ，cosθ=|cos＜＞|=||=，∴θ=60°．故选：C．4．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积．【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+故选C5．若函数y=f（x）为奇函数，则它的图象必经过点（）A．（0，0）B．（﹣a，﹣f（a））C．（a，f（﹣a））D．（﹣a，﹣f（﹣a））【考点】函数奇偶性的性质．【分析】直接根据奇函数的定义可知f（﹣x）=﹣f（x），当x=﹣a时，y=﹣f（a），从而图象必经过点（﹣a，﹣f（a）），得到结论．【解答】解：∵函数y=f（x）为奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）即f（﹣a）=﹣f（a）则函数y=f（x）的图象必经过点（﹣a，﹣f（a））故选B6．已知函数f（x）=（）x﹣log2x，若实数x是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x，则f（x1）（）A．恒为负值B．等于0 C．恒为正值D．不大于0【考点】函数单调性的性质．【分析】由于y=（）x在x＞0上递减，log2x在x＞0上递增，则f（x）在x＞0上递减，再由条件即可得到答案．【解答】解：由于实数x是方程f（x）=0的解，则f（x）=0，由于y=（）x在x＞0上递减，log2x在x＞0上递增，则f（x）在x＞0上递减，由于0＜x1＜x，则f（x1）＞f（x），即有f（x1）＞0，故选C．7．设函数，则f（5）=（）A．2 B．6 C．8 D．4【考点】函数的值．【分析】利用h函数f（x）的解析式f（x）=即可求得f（5）的值．【解答】解：∵f（x）=，∴f（5）=f[f（5+5）]=f（f（10））=f（7）=f[f（12）]=f（9）=f[f（14）]=f（11）=11﹣3=8．故选C．8．已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【分析】由条件ab=1化简g（x）的解析式，结合指数函数、对数函数的性质可得正确答案【解答】解：∵ab=1，且a＞0，b＞0∴又所以f（x）与g（x）的底数相同，单调性相同故选B9．已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，则的值为（）A．1 B．4 C．D．或4【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的运算法则，2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），可知：x2+4y2﹣4xy=xy，即可得答案．【解答】解：∵2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），∴x2+4y2﹣4xy=xy∴（x﹣y）（x﹣4y）=0∴x=y（舍）或x=4y∴=4故选B．10．一条线段长为5，其侧视图长这5，俯视图长为，则其正视图长为（）A．5 B．C．6 D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】本题是一个简单的三视图问题，实际上本题可以看做长方体的体对角线长是5，两个面上的对角线分别长5和，要求的正视图的长相当于第三个面上的对角线，根据勾股定理做出结果．【解答】解：由题意知本题是一个简单的三视图问题，实际上本题可以看做长方体的体对角线长是5，两个面上的对角线分别长5和，要求的正视图的长相当于第三个面上的对角线，设长度为x，∴，∴x=，故选D．11．已知函数，若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（2，3] D．（2，+∞）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间．【分析】函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，a＞1，并且f（x）=（a﹣2）x﹣1，x≤1是增函数，可得a的范围，而且x=1时（a﹣2）x﹣1≤0，求得结果．【解答】解：对数函数在x＞1时是增函数，所以a＞1，又f（x）=（a﹣2）x﹣1，x≤1是增函数，∴a＞2，并且x=1时（a﹣2）x﹣1≤0，即a﹣3≤0，所以2＜a≤3故选C12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=2x﹣2，则不等式f（log2x）＞0的解集为（）A． B． C．（2，+∞）D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由当x∈[0，+∞）时，f（x）=2x﹣2，可得：f（x）为增函数，又由f（x）定义在R上的偶函数，可得：f（x）＞0时，x＞1，或x＜﹣1，故f（log2x）＞0时，log2x＞1，或log2x【解答】解：当x∈[0，+∞）时，f（x）=2x﹣2，∴f（1）=0，又∵当x∈[0，+∞）时，f（x）为增函数，又是定义在R上的偶函数，故f（x）＞0时，x＞1，或x＜﹣1，故f（log2x）＞0时，log2x＞1，或log2x＜﹣1，解得：x∈（0，）∪（2，+∞），故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）=loga（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点（2，1）．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】由于结合对数函数y=logax恒过定点（1，0）可求函数f（x）=loga（x﹣1）+1恒过定点【解答】解：由于对数函数y=logax恒过定点（1，0）而函数f（x）=loga（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点（2，1）故答案为：（2，1）14．如果幂函数的图象不过原点，则m的值是 1 ．【考点】幂函数的图象．【分析】幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于0，系数为1，求解即可．【解答】解：幂函数的图象不过原点，所以解得m=1，符合题意．故答案为：115．用一张4cm×8cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积为cm2（接头忽【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】以4为高卷起，则2πr=8，2r=；若以8为高卷起，则2πR=4，2R=，由此能求出轴截面面积．【解答】解：以4为高卷起，则2πr=8，∴2r=，∴轴截面面积为cm2．若以8为高卷起，则2πR=4，∴2R=，∴轴截面面积为cm2．故答案为： cm2．16．已知集合M={1，2，3，4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合A的累积值为n．（1）若n=3，则这样的集合A共有 2 个；（2）若n为偶数，则这样的集合A共有13 个．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】对重新定义问题，要读懂题意，用列举法来解，先看出集合A是集合M的子集，则可能的情况有24种，再分情况讨论．【解答】解：若n=3，据“累积值”的定义，得A={3}或A={1，3}，这样的集合A共有2个．因为集合M的子集共有24=16个，其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1，3}共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个．故答案为2，13．三、解答题17．已知奇函数f（x）=+a．（1）求f（x）的定义域；（2）求a 的值；（3）证明x ＞0时，f （x ）＞0． 【考点】函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据2x ﹣1≠0，即2x ≠1，求解．（2）根据奇函数的概念，，求解．（3）根据不等式的性质证明，结合指数函数的单调性． 【解答】解：（1）∵2x ﹣1≠0，即2x ≠1， ∴x ≠0故f （x ）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞） （2）解：∵f （x ）是奇函数又∵∴∴（3）证明：当x ＞0时，2x ＞1， ∴2x ﹣1＞0∴，即x ＞0时，f （x ）＞018．已知关于x 的不等式（log 2x ）2﹣2log 2x ﹣3）≤0的解集为M ． （1）求集合M ；（2）若x ∈M ，求函数f （x ）=[log 2（2x ）]•（log 2）的最值．【考点】复合函数的单调性．【分析】（1）直接求解关于log 2x 的一元二次不等式得log 2x 的范围，进一步求解对数不等式得答案；（2）把已知的函数展开，换元后利用配方法求最值．【解答】解：（1）由（log 2x ）2﹣2log 2x ﹣3≤0，得﹣1≤log 2x ≤3，即．∴M=[]；（2）f （x ）=[log 2（2x ）]•（log 2）=．设t=log 2x ，t ∈[﹣1，3]，f （t ）=t 2﹣4t ﹣5． 当t=2时，即x=4时，f （x ）min =﹣9； 当t=﹣1时，即时，f （x ）max =0．19．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形． （1）求该几何体的体积V ； （2）求该几何体的侧面积S ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h 2的等腰三角形，分析出图形之后，再利用公式求解即可．【解答】解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h 2的等腰三角形，如图所示． （1）几何体的体积为V=•S 矩形•h=×6×8×4=64．（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：h 1==5．左、右侧面的底边上的高为：h 2==4．故几何体的侧面面积为：S=2×（×8×5+×6×4）=40+24．20．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，过A 1，C 1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD ﹣A 1C 1D 1，这个几何体的体积为（1）求证：直线A 1B ∥平面CDD 1C 1 （2）求证：平面ACD 1∥平面A 1BC 1 （3）求棱A 1A 的长．【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）如图，连接D 1C ，已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是长方体，可证四边形A 1BCD 1是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题； （2）连接AD 1，AC ，由（1）得A 1B ∥D 1C ，又∵A 1C 1∥AC（3）设A 1A=h ，已知几何体ABCD ﹣A 1C 1D 1的体积为，利用等体积法VABCD ﹣A 1C 1D 1=VABCD ﹣A 1B 1C 1D 1﹣VB ﹣A 1B 1C 1，进行求解．【解答】解：（1）证明：如图，连接D 1C ， ∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是长方体， ∴A 1D 1∥BC 且A 1D 1=BC ．∴四边形A 1BCD 1是平行四边形． ∴A 1B ∥D 1C ．∵A 1B ⊄平面CDD 1C 1，D 1C ⊂平面CDD 1C 1， ∴A 1B ∥平面CDD 1C 1． （2）证明：连接AD 1，AC由（1）得A 1B ∥D 1C ，又∵A 1C 1∥AC A 1C 1∩A 1B=A 1，A 1C 1、A 1B ⊂面A 1BC 1 AC ∩D 1C=C ，AC 、D 1C ⊂面ACD 1． 平面ACD 1∥平面A 1BC 1（3）设A 1A=h ，∵几何体ABCD ﹣A 1C 1D 1的体积为，即S ABCD ×h ﹣×S △A 1B 1C 1×h=，即2×2×h ﹣×2×2×h=，解得h=4．∴A 1A 的长为4．21．设二次函数f （x ）=ax 2+bx+c 在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合A={x|f （x ）=x}．（1）若A={1，2}，且f （0）=2，求M 和m 的值；（2）若A={1}，且a ≥1，记g （a ）=M+m ，求g （a ）的最小值． 【考点】二次函数的性质．【分析】（1）根据f（x）=x的解为x=1，x=2和f（0）=2列方程解出a，b，c得出f（x）的解析式，判断f（x）的单调性计算最值；（2）根据f（x）=x只有一解x=1得出a，b，c的关系，根据a的范围判断f（x）的对称轴得出f（x）的单调性，从而求出g（a）的解析式，利用g（a）的单调性求出最小值．【解答】（1）∵f（0）=2，∴c=2，∵A={1，2}，故1，2是方程ax2+bx+2=x的两实根．∴，解得a=1，b=﹣2．∴f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[﹣2，2]，当x=1时，m=f（1）=1，=f（﹣2）=10，即M=10．当x=﹣2时，f（x）max（2）∵A={1}，∴ax2+（b﹣1）x+c=0有唯一解x=1．∵a≥1，∴，即．∴f（x）=ax2+（1﹣2a）x+a，∴f（x）的对称轴为x==1﹣，∵a≥1，∴≤1﹣＜1，∴M=f（﹣2）=9a﹣2，m=f（1﹣）=1﹣，∴g（a）=M+m=9a﹣1﹣，∵g（a）在[1，+∞）上是增函数，（a）=g（1）=．∴gmin22．若函数y=f（x）对任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，恒有f （x）＜0（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若f（2）=1，解不等式f（﹣x2）+2f（x）+4≤0．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）利用赋值法即可求f（0），根据函数f（x）的奇偶性的定义，即可得到结论；（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性；（3）将不等式进行等价转化，结合函数的奇偶性和单调性的性质即可得到结论．【解答】解：（1）f（x）是奇函数．∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．（2）f（x）在R上是减函数．∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，恒有f（x）＜0．令x1＞x2，则x1﹣x2＞0，且f（x1﹣x2）=f（x1）+f（﹣x2）＜0，由（1）知，f（x2）﹣f（x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1）．∴f（x）在R上是减函数．（3）∵f（2）=1，∴2f（x）=f（x）+f（x）=f（2x），f（2）+f（2）=f（4）=1+1=2，f（4）+f（4）=f（8）=2+2=4，即不等式f（﹣x2）+2f（x）+4≤0等价为不等式f（﹣x2）+f（2x）+f（8）≤0，即f（﹣x2+2x）+f（8）≤0，即f（﹣x2+2x）≤﹣f（8）=f（﹣8），∵f（x）在R上是减函数，∴﹣x2+2x≥﹣8，即x2﹣2x﹣8≤0，即﹣2≤x≤4，即不等式的解集为[﹣2，4]．。

浙江省2017-2018学年高一上学期12月月考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=（2，0），=（﹣1，3），则+与﹣的坐标分别为（ ） A ．（3，3），（3，﹣3） B ．（3，3），（1，﹣3） C ．（1，3），（3，3） D ．（1，3），（3，﹣3）2．函数y=a x+2+1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过的定点是（ ） A ．（﹣2，0） B ．（﹣1，0） C ．（0，1） D ．（﹣2，2）3．已知向量，不共线，且=λ+， =+（2λ﹣1），若与共线反向，则实数λ值为（ ）A ．1B ．﹣C ．1或﹣D ．﹣1或﹣4．已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3+x 2+1，则f （1）+g （1）=（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．1D ．35．下列函数f （x ）中，满足“∀x 1，x 2∈（0，+∞）且x 1≠x 2，（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0”的是（ ）A ．f （x ）=2xB ．f （x ）=|x ﹣1|C ．f （x ）=﹣xD ．f （x ）=ln （x+1）6．对于幂函数，若0＜x 1＜x 2，则，大小关系是（ ）A ．＞B ．＜C ．=D ．无法确定7．已知x 2+y 2=1，x ＞0，y ＞0，且，则log a y 等于（ ）A ．m+nB ．m ﹣nC ．（m+n ）D ．8．若直角坐标平面内A 、B 两点满足条件：①点A 、B 都在f （x ）的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则对称点对（A ，B ）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9．已知幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上是增函数，则m= ．10．已知f（x）=，则f（f（﹣2））= ．11．若，则a的取值范围．12．若2x=3y=5z，且x，y，z都是正数，则2x，3y，5z从小到大依次为．13．D为△ABC的BC边上一点，，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若，其中λ＞0，μ＞0，则= ．14．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①当c=0时，y=f（x）是奇函数；②当b=0，c＞0时，函数y=f（x）只有一个零点；③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；④函数y=f（x）至多有两个零点．其中正确命题的序号为．15．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知集合A={x|x2﹣6x+8＜0}，B={x|（x﹣a）•（x﹣3a）＜0}．（1）若a=1，求A∩B；（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．17．设，是二个不共线向量，知=2﹣8， =+3， =2﹣．（1）证明：A、B、D三点共线（2）若=3﹣k，且B、D、F三点共线，求k的值．18．已知二次函数y=f（x）满足f（﹣2）=f（4）=﹣16，且函数f（x）最大值为2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）在[t，t+1]上的最大值．x）=（x﹣x﹣1），其中a＞0，a≠1 19．已知函数f（x）满足f（loga（1）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的集合；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若a=1，求方程f（x）=g（x）的解；（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．浙江省2017-2018学年高一上学期12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=（2，0），=（﹣1，3），则+与﹣的坐标分别为（）A．（3，3），（3，﹣3） B．（3，3），（1，﹣3） C．（1，3），（3，3）D．（1，3），（3，﹣3）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的坐标运算的法则计算即可．【解答】解： =（2，0），=（﹣1，3），则+=（2，0）+（﹣1，3）=（1，3）﹣=（2，0）﹣（﹣1，3）=（3，﹣3），故选：D2．函数y=a x+2+1（a＞0且a≠1）的图象恒过的定点是（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（﹣2，2）【考点】指数函数的图象变换．【分析】根据指数函数过定点的性质，即a0=1恒成立，即可得到结论．【解答】解：∵y=a x+2+1，∴当x+2=0时，x=﹣2，此时y=1+1=2，即函数过定点（﹣2，2）．故选D．3．已知向量，不共线，且=λ+， =+（2λ﹣1），若与共线反向，则实数λ值为（）A．1 B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线的充要条件及反向时对系数的要求得到等式，再利用平面向量基本定理，列出方程组求解．【解答】解：据题意向量，不共线，且=λ+， =+（2λ﹣1），若与共线反向，存在m（m＜0）使得=m，即λ+=m+（2λ﹣1）m，∵，不共线∴∴m=﹣故选：B．4．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【分析】将原代数式中的x替换成﹣x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可．【解答】解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=1．故选：C．5．下列函数f（x）中，满足“∀x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0”的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=|x﹣1| C．f（x）=﹣x D．f（x）=ln（x+1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】易得所求函数在区间（0，+∞）上为减函数，逐个验证：A 为增函数；B 在（1，+∞）单调递增；C 符合题意；D 在（﹣1，+∞）上单调递增，可得答案．【解答】解：由题意可得函数在区间（0，+∞）上为减函数， 选项A 为指数函数，为增函数，故不合题意；选项B ，f （x ）=，故函数在（1，+∞）单调递增，不合题意；选项C ，由f′（x ）=＜0可知函数在（0，+∞）上为减函数，符合题意；选项D ，函数在（﹣1，+∞）上单调递增，故不合题意， 故选C6．对于幂函数，若0＜x 1＜x 2，则，大小关系是（ ）A ．＞B ．＜C ．=D ．无法确定【考点】幂函数的图象．【分析】根据幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，则当0＜x 1＜x 2时，应有＞，由此可得结论．【解答】解：∵幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，∴当0＜x 1＜x 2时，应有＞．故选：A ．7．已知x 2+y 2=1，x ＞0，y ＞0，且，则log a y 等于（ ）A ．m+nB ．m ﹣nC ．（m+n ）D ．【考点】对数的运算性质．【分析】由题设条件，先求出1+x和1﹣x的值，然后由y2=（1+x）（1﹣x）得到y的值．y2的值，两边取以a为底的对数，能求出loga【解答】解：∵x2+y2=1，x＞0．y＞0，∴1+x=a m，，1﹣x=a﹣n，∴1﹣x2=a m﹣n，∴y2=a m﹣n，∴．故选D．8．若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值．【分析】首先弄清关于原点对称的点的特点，进而把问题转化为求方程的根的个数，再转化为求函数φ（x）=2e x+x2+2x零点的个数即可．【解答】解：设P（x，y）（x＜0），则点P关于原点的对称点为P′（﹣x，﹣y），于是，化为2e x+x2+2x=0，令φ（x）=2e x+x2+2x，下面证明方程φ（x）=0有两解．由x2+2x≤0，解得﹣2≤x≤0，而＞0（x≥0），∴只要考虑x∈[﹣2，0]即可．求导φ′（x）=2e x+2x+2，令g（x）=2e x+2x+2，则g′（x）=2e x+2＞0，∴φ′（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，而φ′（﹣2）=2e﹣2﹣4+2＜0，φ′（﹣1）=2e﹣1＞0，∴φ（x）在区间（﹣2，0）上只存在一个极值点x．而φ（﹣2）=2e﹣2＞0，φ（﹣1）=2e﹣1﹣1＜0，φ（0）=2＞0，∴函数φ（x）在区间（﹣2，﹣1），（﹣1，0）分别各有一个零点．也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．故选B．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9．已知幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上是增函数，则m= 2 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的定义得到，m2﹣m﹣1=1，再由单调性得m＞0，求出m即可．【解答】解：由幂函数的定义，得：m2﹣m﹣1=1，∴m=﹣1或m=2，∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，且m∈Z，∴m＞0，∴m=2．故答案为：2．10．已知f（x）=，则f（f（﹣2））= 14 ．【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】由已知f（x）=，将x=﹣2代入可得答案．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣2）=4，∴f（f（﹣2））=f（4）=14，故答案为：14．11．若，则a的取值范围．【考点】对数函数的单调性与特殊点．x在（0，+∞）单调【分析】当a＞1时，由，结合函数y=logax在（0，+∞）单调递递增；当0＜a＜1时由，结合函数y=loga减可求a【解答】解：由=logax在（0，+∞）单调递增当a＞1时，函数y=loga由可得∴a＞1x在（0，+∞）单调递减当0＜a＜1时，函数y=loga由可得综上可得，故答案为：12．若2x=3y=5z，且x，y，z都是正数，则2x，3y，5z从小到大依次为3y＜2x ＜5z ．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】先将指数式化为对数式，再由作差判断大小．【解答】解：令2x=3y=5z=t，则t＞1，，，，∴，∴2x＞3y；同理可得：2x﹣5z＜0，∴2x＜5z，∴3y＜2x＜5z．故答案为：3y＜2x＜5z13．D为△ABC的BC边上一点，，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若，其中λ＞0，μ＞0，则= 3 ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，列出方程组求出λ与μ的表达式，即可求出+的值．【解答】解：如图所示，∵=+， =+=λ，∴=（1﹣λ）；又E，D，F三点共线，∴存在实数k，使=k=k（﹣）=kμ﹣kλ；又=﹣2，∴==﹣；∴（1﹣λ）=（kμ﹣kλ）﹣（﹣），即（1﹣λ）=（kμ﹣）+（﹣kλ），∴，解得μ=，λ=；∴+=3（1﹣k）+3k=3．故答案为：3．故答案为：3．14．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：①当c=0时，y=f（x）是奇函数；②当b=0，c＞0时，函数y=f（x）只有一个零点；③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；④函数y=f（x）至多有两个零点．其中正确命题的序号为①②③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①利用函数奇偶性的定义可判断．②当b=0时，得f（x）=x|x|+c在R 上为单调增函数，方程f（x）=0只有一个实根．③利用函数图象关于点对称的定义，可证得函数f（x）图象关于点（0，c）对称．④举出反例如c=0，b=﹣2，可以判断．【解答】解：①当c=0时，函数f（x）=x|x|+bx为奇函数，故①正确．②b=0，c＞0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，且值域为R，故函数y=f（x）只有一个零点，故②正确．③因为f（﹣x）=﹣x|x|﹣bx+c，所以f（﹣x）+f（x）=2c，可得函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，故③正确．④当c=0，b=﹣2，f（x）=x|x|﹣2x=0的根有x=0，x=2，x=﹣2，故④错误．故答案为：①②③．15．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是（，）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（x）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，转化为t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可．【解答】解：当0≤x≤2时，y=﹣x2递减，当x＞2时，y=﹣（）x﹣递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递减，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递增，当x=0时，函数取得极大值0；当x=±2时，取得极小值﹣1．当0≤x≤2时，y=﹣x2∈[﹣1，0]．当x＞2时，y=﹣（）x﹣∈[﹣1，﹣）要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣）．则有，即为，解得＜a＜．即有实数a的取值范围是（，）．故答案为：（，）．三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知集合A={x|x2﹣6x+8＜0}，B={x|（x﹣a）•（x﹣3a）＜0}．（1）若a=1，求A∩B；（2）若A∩B=∅，求a的取值范围．【考点】交集及其运算．【分析】（1）求出A中不等式的解集确定出A，把a=1代入确定出B，求出A与B的交集即可；（2）由A与B交集为空集，分a=0，a＞0与a＜0三种情况求出a的范围即可．【解答】解：（1）由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣4）＜0，解得：2＜x＜4，即A={x|2＜x＜4}，把a=1代入B得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即B={x|1＜x＜3}，则A∩B={x|2＜x＜3}；（2）要满足A∩B=∅，当a=0时，B=∅满足条件；当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，可得a≥4或3a≤2．解得：0＜a≤或a≥4；当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，显然a＜0时成立，综上所述，a的取值范围是（﹣∞，]∪[4，+∞）．17．设，是二个不共线向量，知=2﹣8， =+3， =2﹣．（1）证明：A、B、D三点共线（2）若=3﹣k，且B、D、F三点共线，求k的值．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】（1）先求出，只要证明存在实数λ使得即可；（2）利用向量共线定理即可得出．【解答】（1）证明：，∵与有公共点，∴A、B、D三点共线（2）解：∵B、D、F三点共线，∴存在实数λ，使，∴，∴又∵不共线，∴，解得λ=3，k=12．18．已知二次函数y=f（x）满足f（﹣2）=f（4）=﹣16，且函数f（x）最大值为2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）在[t，t+1]上的最大值．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由已知中f（﹣2）=f（4），可得函数图象的对称轴为直线x=1，结合函数f（x）最大值为2，设出函数的顶点式，进而可得答案；（2）分析给定区间[t，t+1]与对称轴的位置，进而得到函数的在[t，t+1]上的单调性和最大值．【解答】解：（1）因为f（﹣2）=f（4），所以函数图象的对称轴为直线x=1，又因为f（x）=2，max所以设f（x）=a（x﹣1）2+2，a＜0，由f（﹣2）=a（﹣2﹣1）2+2=﹣16得a=﹣2，所以f（x）=﹣2（x﹣1）2+2=﹣2x2+4x，即所求函数y=f（x）的解析式为f（x）=﹣2x2+4x．（2）①当t+1≤1即t≤0时，y=f（x）在[t，t+1]上单调递增，所以f（x）=f（t+1）=﹣2（t+1﹣1）2+2=﹣2t2+2；max②当t≥1时，y=f（x）在[t，t+1]上单调递减，所以f（x）=f（t）=﹣2（t﹣1）2+2=﹣2t2+4t；max③当t＜1＜t+1即0＜t＜1时，y=f（x）在[t，1]上单调递增，在[1，t+1]上单调递减，=f（1）=﹣2（1﹣1）2+2=2．所以f（x）max综上所述，f（x）=maxx）=（x﹣x﹣1），其中a＞0，a≠1 19．已知函数f（x）满足f（loga（1）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的集合；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求a的取值范围．【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）首先根据题意，用换元法求出f（x）的解析式，进而分析函数的单调性和奇偶性，将已知不等式转化为f（1﹣m）＜f（m2﹣1），进而转化为，解可得答案；（2）由（1）中的单调性可将f（x﹣4）的值恒为负数转化为f（2）﹣4≤0，解不等式即可．x=t，则x=a t，【解答】解：（1）根据题意，令loga所以，即当a＞1时，因为a x﹣a﹣x为增函数，且＞0，所以f（x）在（﹣1，1）上为增函数；当0＜a＜1时，因为a x﹣a﹣x为减函数，且＜0，所以f（x）在（﹣1，1）上为增函数；综上所述，f（x）在（﹣1，1）上为增函数．又因为f（﹣x）==﹣f（x），故f（x）为奇函数．所以f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0⇔f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）⇔f（1﹣m）＜f（m2﹣1）由f（x）在（﹣1，1）上为增函数，可得解得1＜m＜，即m的值的集合为{m|1＜m＜}（2）由（1）可知，f（x）为增函数，则要使x∈（﹣∞，2），f（x）﹣4的值恒为负数，只要f（2）﹣4＜0即可，即f（2）==＜4，又a＞0解得又a≠1，可得符合条件的a的取值范围是（2﹣，1）∪（1，2+）．20．已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若a=1，求方程f（x）=g（x）的解；（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】（1）代值计算即可．（2）分三种情况加以讨论：当a＞0时，将方程f（x）=g（x）两边平方，得方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，构造新函数h（x）=（a2﹣1）x2+2ax ﹣a2，通过讨论h（x）图象的对称轴方程和顶点坐标，可得0＜a＜﹣1；当a＜0时，用同样的方法得到﹣1＜a＜0；而当a=0时代入函数表达式，显然不合题意，舍去．最后综合实数a的取值范围；（3）F（x）=f（x）•g（x）=ax|x﹣a|，根据实数a与区间[1，2]的位置关系，分4种情况加以讨论：①当0＜a≤1时，③当2＜a≤4时，④当a＞4时，最后综上所述，可得函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值的结论．【解答】解：（1）当a=1时，|x﹣1|=x，即x﹣1=x或x﹣1=﹣x，解得x=；（2）当a＞0时，|x﹣a|﹣ax=0有两解，等价于方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，即（a2﹣1）x2+2ax﹣a2=0在（0，+∞）上有两解，令h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，因为h（0）=﹣a2＜0，所以，故0＜a＜1；同理，当a＜0时，得到﹣1＜a＜0；当a=0时，f（x）=|x|=0=g（x），显然不合题意，舍去．综上可知实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．（3）令F（x）=f（x）•g（x）①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2﹣ax），对称轴x=，函数在[1，2]上是增函数，所以此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2．②当1＜a≤2时，F（x）=，对称轴x=，所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，F（1）=a2﹣a，F（2）=4a﹣2a2，1）若F（1）＜F（2），即1＜a＜，此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2；2）若F（1）≥F（2），即，此时函数y=F（x）的最大值为a2﹣a．③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax）对称轴x=，=F（）=，此时F（x）max④当a＞4时，对称轴x=，此时F（x）=F（2）=2a2﹣4a．max综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．。

浙江省2017-2018学年高三上学期12月月考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A）=（）1．全集U=R，A={x|﹣2≤x≤1}，B={x|﹣1≤x≤3}，则B∪（∁UA．{x|1＜x≤3} B．{x|﹣2＜x≤3} C．{x|x＜﹣2或x≥﹣1} D．{x|x＜﹣2或x＞3}2．复数等于（）A．﹣i B． i C．﹣i D．i3．设x，y∈R，则x＞y＞0是|x|＞|y|的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（）A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣ B．8﹣C．8﹣2πD．6．已知x、y满足约束条件，则Z=x2+y2+2x+1的最小值是（）A．B．C．2D．1647．已知向量={cosα，sinα}， ={cosβ，sinβ}，那么（）A．B．C．D．与的夹角为α+β8．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分．9．设等差数列{an }中，S3=42，S6=57，则an= ，当Sn取最大值时，n= ．10．展开式中只有第六项二项式系数最大，则n= ，展开式中的常数项是．11．已知随机变量ξ的分布列如图所示，则函数a= ，E（ξ）= ．12．设函数f（x）=，若f（a）=﹣，则a= ，若方程f（x）﹣b=0有三个不同的实根，则实数b的取值范围是．13．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为．14．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD与折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的体积为．15．已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数，且函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=1， =，且a+c=4，试求b2的值．17．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证AD⊥BM；（Ⅱ）点E是线段DB上的一动点，当二面角E﹣AM﹣D大小为时，试确定点E的位置．18．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．19．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．又设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线AE与x轴相交于定点Q；（3）求的取值范围．20．已知正数数列{an }的前n项和为Sn，满足an2=Sn+Sn﹣1（n≥2），a1=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =（1﹣an）2﹣a（1﹣an），若bn+1＞bn对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．浙江省2017-2018学年高三上学期12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．全集U=R，A={x|﹣2≤x≤1}，B={x|﹣1≤x≤3}，则B∪（∁A）=（）UA．{x|1＜x≤3} B．{x|﹣2＜x≤3} C．{x|x＜﹣2或x≥﹣1} D．{x|x＜﹣2或x＞3}【考点】补集及其运算；并集及其运算．【分析】由全集R和集合A，求出集合A的补集，然后把集合A的补集和集合B的解集画在数轴上，根据并集的意义即可求出集合B和集合A补集的并集．【解答】解：由全集U=R，A={x|﹣2≤x≤1}，A={x|x＜﹣2或x＞1}，得到∁U又B={x|﹣1≤x≤3}，根据题意画出图形，如图所示：A）={x|x＜﹣2或x≥﹣1}．则B∪（∁U故选C2．复数等于（）A．﹣i B． i C．﹣i D．i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接利用复数的除法运算化简求值．【解答】解： ==．故选：D．3．设x，y∈R，则x＞y＞0是|x|＞|y|的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质结合充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．【解答】解：x＞y＞0”一定能推出“|x|＞|y|”．当|x|＞|y|，当x=﹣2时，y=﹣1时，成立，则推不出x＞y＞0故“x＞y＞0”是“|x|＞|y|”的充分非必要条件，故选：A4．已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（）A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能【考点】平面的基本性质及推论．【分析】可根据题目中的信息作图判断即可．【解答】解：∵空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，∵m与n可能异面（如图3），也可能平行（图1），也可能相交（图2），故选D．5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A ．8﹣B ．8﹣C ．8﹣2πD ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体内挖去一个圆锥．【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥， 正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为V 1=23=8，圆锥的体积为V 2=•π•12•2=，则该几何体的体积为V=8﹣，故选A ．6．已知x 、y 满足约束条件，则Z=x 2+y 2+2x+1的最小值是（ ）A ．B ．C ．2D ．164【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x 2+y 2表示点（﹣1，0）到可行域的点的距离的平方，故只需求出点（﹣1，0）到可行域的距离的最小值即可．【解答】解：如图，作出约束条件可行域，Z=x 2+y 2+2x+1=Z=（x+1）2+y 2是点（x ，y ）到（﹣1，0）的距离的平方，故最小值为原点到直线x+2y ﹣3=0的距离的平方，即为=，故选：B．7．已知向量={cosα，sinα}， ={cosβ，sinβ}，那么（）A．B．C．D．与的夹角为α+β【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据向量的模的计算公式可知与都是单位向量，方向任意，可判定B、D的真假，根据向量数量积可判定选项A、D的真假．【解答】解：∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴•=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β），•不一定为0，故选项A不正确；与都是单位向量，方向任意，故选项B不正确；=0，故选项C正确；与的夹角任意，故选项D不正确．故选C．8．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；两条直线垂直的判定．【分析】先设出双曲线方程，则F ，B 的坐标可得，根据直线FB 与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为﹣1，进而求得b 和a ，c 的关系式，进而根据双曲线方程a ，b 和c 的关系进而求得a 和c 的等式，则双曲线的离心率可得．【解答】解：设双曲线方程为，则F （c ，0），B （0，b ）直线FB ：bx+cy ﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b 2=ac所以c 2﹣a 2=ac ，即e 2﹣e ﹣1=0，所以或（舍去）二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分． 9．设等差数列{a n }中，S 3=42，S 6=57，则a n = 20﹣3n ，当S n 取最大值时，n= 6 ． 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3=42，S 6=57，可得3a 1+d=42，d=57，解出可得a n ，令a n ≥0，解得n 即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 3=42，S 6=57，∴3a 1+d=42，d=57，解得a 1=17，d=﹣3．则a n =17﹣3（n ﹣1）=20﹣3n ， 令a n =20﹣3n ≥0，解得n ≤=6+．∴当S n 取最大值时，n=6． 故答案为：20﹣3n ，6．10．展开式中只有第六项二项式系数最大，则n= 10 ，展开式中的常数项是180 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】由展开式中只有第六项二项式系数最大，可得n=10．再利用的通项公式即可得出．【解答】解：∵展开式中只有第六项二项式系数最大，∴n=10．==2r，解得r=2．∴的通项公式：Tr+1∴常数项为： =180．故答案为：10，180．11．已知随机变量ξ的分布列如图所示，则函数a= 0.3 ，E（ξ）= 1 ．【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】根据随机变量的概率和为1，求出a的值，再计算数学期望E（ξ）．【解答】解：根据随机变量ξ的分布列知，0.3+0.4+a=1，解得a=0.3；所以E（ξ）=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1．故答案为：0.3，1．12．设函数f（x）=，若f（a）=﹣，则a= 或，若方程f（x）﹣b=0有三个不同的实根，则实数b的取值范围是（﹣，0）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】通过讨论a＞0，a＜0，得到关于a的方程，求出a的值即可；求出f（x）的值域，问题转化为b=f（x）的交点问题，求出b的范围即可．【解答】解：若﹣4a2=﹣，解得：a=﹣，若a2﹣a=﹣，解得：a=，故a=﹣或；x＜0时，f（x）＜0，x＞0时，f（x）=﹣，f（x）的最小值是﹣，若方程f（x）﹣b=0有三个不同的实根，则b=f（x）有3个交点，故b∈（﹣，0）；故答案为：﹣或；（﹣，0）．13．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为16 ．【考点】基本不等式．【分析】将x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y）•（），展开后应用基本不等式即可．【解答】解：∵=1，x、y∈R+，∴x+y=（x+y）•（）==10+≥10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）．故答案为：16．14．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD与折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的体积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】先利用基本不等式，确定矩形周长最小时，矩形为正方形，求得边长，再利用沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的球心为AC的中点，求得半径，根据球的体积公式，即可求得结论．【解答】解：设矩形ABCD的边长分别为x、y，则xy=8，矩形周长为2（x+y）≥4=8，当且仅当x=y=2时，矩形周长最小，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的球心为AC的中点，∵AC=4，∴球的半径为2，∴三棱锥D﹣ABC的外接球的体积等于π×23=．故答案为：．15．已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[1，+∞）．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】如图所示，可知A，B，设C（m，m2），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得=0．即可得到a的取值范围．【解答】解：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），，．∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，∴=．化为m2﹣a+（m2﹣a）2=0．∵m，∴m2=a﹣1≥0，解得a≥1．∴a 的取值范围为[1，+∞）．故答案为[1，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数，且函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=1， =，且a+c=4，试求b2的值．【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）将三角函数化简，由函数f（x）的最小正周期求出ω的值，从而可得函数f （x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，f（B）=1，可求B=，根据=可得ac=3，利用a+c=4，可得a2+c2=16﹣6，利用余弦定理可求b2的值．【解答】解：（Ⅰ） =sinωx+cosωx﹣1=2sin（ωx+）﹣1，∵函数f（x）的最小正周期为π，∴ω=2∵f（x）=2sin（2x+）﹣1；（Ⅱ）在△ABC中，f（B）=1，则2sin（2B+）=1，∴2B+=，∴B=；∴=，∴accos=，∴ac=3∵a+c=4，∴a2+c2=16﹣6∴b2=a2+c2﹣2accos=16﹣9．17．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证AD⊥BM；（Ⅱ）点E是线段DB上的一动点，当二面角E﹣AM﹣D大小为时，试确定点E的位置．【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）先证明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，证明BM⊥平面ADM，从而可得AD ⊥BM；（Ⅱ）作出二面角E﹣AM﹣D的平面角，利用二面角E﹣AM﹣D大小为时，即可确定点E的位置．【解答】（Ⅰ）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点∴AM=BM=∴BM⊥AM∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（Ⅱ）过点E作MB的平行线交DM于F，∵BM⊥平面ADM，∴EF⊥平面ADM在平面ADM中，过点F作AM的垂线，垂足为H，则∠EHF为二面角E﹣AM﹣D平面角，即∠EHF=设FM=x，则DF=1﹣x，FH=在直角△FHM中，由∠EFH=，∠EHF=，可得EF=FH=∵EF∥MB，MB=，∴，∴∴∴当E位于线段DB间，且时，二面角E﹣AM﹣D大小为．18．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值，所以得到f′（﹣）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．【解答】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b由解得，f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．（2），当x=﹣时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．解得c＜﹣1或c＞2．19．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．又设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线AE与x轴相交于定点Q；（3）求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，可求b 的值，再利用椭圆的离心率为，即可求出椭圆C 的方程；（2）设A （x 0，y 0），B （x 0，﹣y 0），将直线PB ：y=代入椭圆，可得[3+]x 2﹣+﹣12=0，从而可得E 的坐标，从而可得直线AE 的方程，进而可知直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（3）由（2）知x 1+x 0=，x 1x 0=，y 1y 0==，=x 1x 0﹣y 1y 0，从而可得=，设5﹣2x 0=t ，进而可确定的取值范围．【解答】（1）解：∵以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，∴b=，∵椭圆的离心率为，∴∴，∴，∴椭圆C 的方程为（2）证明：设A （x 0，y 0），B （x 0，﹣y 0）将直线PB ：y=代入椭圆，可得[3+]x 2﹣+﹣12=0设E （x 1，y 1），则x 1+x 0===∴，∴y 1=∴直线AE ：化简可得∴直线AE 与x 轴相交于定点Q ：（1，0）（3）解：由（2）知x 1+x 0=，x 1x 0=，y 1y 0==∵=x 1x 0﹣y 1y 0，∴=﹣=设5﹣2x 0=t ，∵x 0∈（﹣2，2），∴t ∈（1，9）∴=﹣+∵t ∈（1，9），∴∴（﹣4，]20．已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n 2=S n +S n ﹣1（n ≥2），a 1=1． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =（1﹣a n ）2﹣a （1﹣a n ），若b n+1＞b n 对任意n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围． 【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）由 a n 2=S n +S n ﹣1（n ≥2），可得a n ﹣12=S n ﹣1+S n ﹣2 （n ≥3）．两式相减可得 a n ﹣a n ﹣1=1，再由a 1=1，可得{a n }的通项公式．（2）根据{a n }的通项公式化简b n 和b n+1，由题意可得b n+1﹣b n =2n+a ﹣1＞0恒成立，故a ＞1﹣2n 恒成立，而1﹣2n 的最大值为﹣1，从而求得实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）∵a n 2=S n +S n ﹣1（n ≥2），∴a n ﹣12=S n ﹣1+S n ﹣2 （n ≥3）． 两式相减可得a n 2 ﹣a n ﹣12=S n ﹣s n ﹣2=a n +a n ﹣1， ∴a n ﹣a n ﹣1=1， 再由a 1=1，∴正数数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴an=n．（2）∵bn =（1﹣an）2﹣a（1﹣an），∴bn+1=（1﹣an+1）2﹣a（1﹣an+1）．即bn =（1﹣n）2﹣a（1﹣n）=n2+（a﹣2）n+1﹣a，bn+1=[1﹣（n+1）]2﹣a[1﹣（n+1）]=n2+an．故bn+1﹣bn=2n+a﹣1，再由bn+1＞bn对任意n∈N*恒成立可得2n+a﹣1＞0恒成立，故a＞1﹣2n恒成立．而1﹣2n的最大值为1﹣2=﹣1，故a＞﹣1，即实数a的取值范围（﹣1，+∞）．。

浙江省2017-2018学年高一上学期12月月考数学试卷一．选择题（每小题4分，共32分）1．已知角α是第二象限角，且，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．2．已知sin（π+θ）=﹣cos（2π﹣θ），|θ|＜，则θ等于（）A．﹣B．﹣C．D．3．已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A．B．C．D．4．函数f（x）=3sin（2x﹣），在区间[0，]上的值域为（）A．[﹣，] B．[﹣，3] C．[﹣，] D．[﹣，3]5．△ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P（sinA﹣cosB，cosA﹣sinC），则y=的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣36．方程x2+3ax+3a+1=0（a＞2）的两根为tanα，tanβ，且α，β∈（﹣，），则α+β=（）A．B．﹣C．D．或﹣7．已知f（x）=2sin（ωx+），x∈R，其中ω是正实数，若函数f（x）图象上一个最高点与其相邻的一个最低点的距离为5，则ω的值是（）A．B．C．D．8．设f（x）=cosx+（π﹣x）sinx，x∈[0，2π]，则函数f（x）所有的零点之和为（）A．πB．2π C．3π D．4π二．填空题.（本题共有9小题，每题4分，共36分）9． = ．10．已知角α的终边过点（3a﹣9，a+2）且cosα≤0，sinα＞0，求实数a的取值范围．11．将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度后，再将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象的解析式为．12．若△ABC的内角A满足，则sinA+cosA= ．13．化简.= ．14． = ．15．已知α、β为锐角，cosα=，cos（α+β）=﹣，则cosβ= ．16．已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，则cos（α﹣β）= ．17．已知（ω＞0），，且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω= ．三、解答题（共5小题，满分52分）18．计算：（1）已知扇形的周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．（2）已知扇形的周长为40，当他的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？19．已知sin（3π+α）=2sin，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α+sin 2α．20．已知函数f（x）=cosx•sin﹣cos2x+，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）单调增区间；（3）求f（x）对称中心．21．（1）求的定义域（2）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，求f（0）．22．（1）当x∈[，]时，求函数y=3﹣sin x﹣2cos2x的最大值．（2）已知5sinβ=sin（2α+β），tan（α+β）=，求tanα浙江省2017-2018学年高一上学期12月月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题4分，共32分）1．已知角α是第二象限角，且，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由角的范围和同角三角函数基本关系可得cosα=﹣，代值计算可得．【解答】解：∵角α是第二象限角，且，∴cosα=﹣=﹣，故选：A2．已知sin（π+θ）=﹣cos（2π﹣θ），|θ|＜，则θ等于（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简，通过角的范围，求出角的大小即可．【解答】解：sin（π+θ）=﹣cos（2π﹣θ），|θ|＜，可得﹣sinθ=﹣cosθ，|θ|＜，即tan，|θ|＜．∴θ=．故选：D．3．已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A．B．C．D．【考点】终边相同的角．【分析】将点的坐标化简，据点的坐标的符号判断出点所在的象限，利用三角函数的定义求出角α的正弦，求出角α的最小正值【解答】解： =∴角α的终边在第四象限∵到原点的距离为1∴∴α的最小正值为故选D4．函数f（x）=3sin（2x﹣），在区间[0，]上的值域为（）A．[﹣，] B．[﹣，3] C．[﹣，] D．[﹣，3]【考点】三角函数的最值．【分析】通过自变量的范围求出相位的范围，然后利用正弦函数的值域求解即可．【解答】解：x∈[0，]，则2x﹣∈[﹣，]．3sin（2x﹣）∈．故选：D．5．△ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P（sinA﹣cosB，cosA﹣sinC），则y=的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意△ABC为锐角三角形，可知，sinA﹣cosB＞0，cosA﹣sinC＜0，推出θ的象限，确定三角函数的符号，然后求出表达式的值．【解答】解：△ABC为锐角三角形，所以A+B＞，所以sinA＞cosB，cosA＜sinC；所以θ是第二象限角，所以y==1﹣1﹣1=﹣1故选B6．方程x2+3ax+3a+1=0（a＞2）的两根为tanα，tanβ，且α，β∈（﹣，），则α+β=（）A．B．﹣C．D．或﹣【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用韦达定理、两角和的正切公式，求得tan（α+β）的值，可得α+β的值．【解答】解：∵方程x2+3ax+3a+1=0（a＞2）的两根为tanα，tanβ，且α，β∈（﹣，），∴tanα+tanβ=﹣3a，tanα•tanβ=3a+1，∴tan（α+β）==1，∴α+β=，故选：A．7．已知f（x）=2sin（ωx+），x∈R，其中ω是正实数，若函数f（x）图象上一个最高点与其相邻的一个最低点的距离为5，则ω的值是（）A．B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】求出函数的周期，即可求解ω的值．【解答】解：f（x）=2sin（ωx+），x∈R，其中ω是正实数，若函数f（x）图象上一个最高点与其相邻的一个最低点的距离为5，可得T==3，T=6，ω==．故选：D．8．设f（x）=cosx+（π﹣x）sinx，x∈[0，2π]，则函数f（x）所有的零点之和为（）A．πB．2π C．3π D．4π【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由f（x）=cosx+（π﹣x）sinx=0得（x﹣π）sinx=cosx，当x=π时，方程等价为0=﹣1，方程不成立，当x=或时，方程等价为±=0，此时方程不成立，则方程等价为tanx=，作出函数y=tanx，y=，在x∈[0，2π]上的图象，则两个图象有两个交点，则两个点关于点（π，0）对称，设两个交点的横坐标为x1，x2，则，即x1+x2=2π，即函数f（x）所有的零点之和为2π，故选：B二．填空题.（本题共有9小题，每题4分，共36分）9． = ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】原式中的“1”化为tan45°，利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值．【解答】解：原式==tan（45°+15°）=tan60°=．故答案为：10．已知角α的终边过点（3a﹣9，a+2）且cosα≤0，sinα＞0，求实数a的取值范围．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意可得，从而可求得实数a的取值范围．【解答】解：∵cosα≤0且sinα＞0，∴≤0且＞0．∴∴﹣2＜a≤3．∴实数a的取值范围为：﹣2＜a≤3．11．将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度后，再将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象的解析式为y=sin（x﹣）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度后，可得数y=sin2（x﹣）的图象，再将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到的图象的解析式为y=sin（x﹣），故答案为：y=sin（x﹣）．12．若△ABC的内角A满足，则sinA+cosA= ．【考点】二倍角的正弦．【分析】根据sin2A的值确定A的范围，然后把已知条件两边都加上1，利用同角三角函数间的基本关系把等式右边的“1”变为sin2A+cos2A，并利用二倍角的正弦函数公式把sin2A化简，等式的左边就变成一个完全平方式，根据A的范围，开方即可得到sinA+cosA的值．【解答】解：因为A为三角形的内角且，所以2A∈（0，180°），则A∈（0，90°）把已知条件的两边加1得：1+sin2A=1+即1+2sinAcosA=sin2A+2sinAcosA+cos2A=（sinA+cosA）2=所以sinA+cosA==故答案为：13．化简.= ．【考点】二倍角的正切；三角函数的化简求值；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【分析】原式第一个因式利用二倍角的正切函数公式化简，第二个因式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简即可得到结果．【解答】解：原式=tan（90°﹣2α）•=cot2α•tan2α=．故答案为：14． = ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用两角和差的余弦公式，进行化简即可．【解答】解：原式=====，故答案为：．15．已知α、β为锐角，cosα=，cos（α+β）=﹣，则cosβ= ．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+β），sinα的值，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵α、β为锐角，∴α+β∈（0，π），∵cos（α+β）=﹣，cosα=，∴sin（α+β）==，sin=，∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=（﹣）×+×=．故答案为：．16．已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，则cos（α﹣β）= ．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】直接利用已知条件，通过三角函数的平方关系式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】解：sinα+sinβ+sin1=0，可得sinα+sinβ=﹣sin1，两边平方可得（sinα+sinβ）2=（﹣sin1）2，…①cosα+cosβ+cos1=0，可得cosα+cosβ=﹣cos1，两边平方可得（cosα+cosβ）2=（﹣cos1）2…②．①+②可得：2+2cos（α﹣β）=1．解得cos（α﹣β）=．故答案为：﹣．17．已知（ω＞0），，且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω= ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意利用正弦函数的图象特征可得当x=时，f（x）取得最小值，即ω•+=2kπ+，k∈z，由此求得ω的值．【解答】解：∵（ω＞0），，∴f（x）的图象关于直线x==对称，故有ω•+=kπ+，k∈z，∴ω=4k+；又f（x）在区间（，）上有最小值无最大值，故当x=时，f（x）取得最小值，故有有ω•+=2kπ+，k∈z，∴ω=8k+．因为恰好为区间（，）的中点，故﹣≤=，∴0＜ω≤12，故只有当k=0时，ω=满足条件，故答案为：．三、解答题（共5小题，满分52分）18．计算：（1）已知扇形的周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．（2）已知扇形的周长为40，当他的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？【考点】弧度制的应用．【分析】（1）根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式α=求出扇形圆心角的弧度数．（2）由题意设扇形的半径和弧长分别为r和l，可得2r+l=40，扇形的面积S=lr=•l•2r，由基本不等式可得．【解答】解：（1）解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l=10，∵S扇形=lr=4，解得：r=4，l=2∴扇形的圆心角的弧度数是：；（2）设扇形的半径和弧长分别为r和l，由题意可得2r+l=40，∴扇形的面积S=lr=•l•2r≤2=100．当且仅当l=2r=20，即l=20，r=10时取等号，此时圆心角为α==2，∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．19．已知sin（3π+α）=2sin，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α+sin 2α．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得tanα=﹣2，从而求得要求式子的值．【解答】解：∵sin（3π+α）=2sin，∴﹣sinα=﹣2cosα，∴tanα=﹣2，∴（1）===；（2）sin2α+sin 2α====0．20．已知函数f（x）=cosx•sin﹣cos2x+，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）单调增区间；（3）求f（x）对称中心．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性即可得答案；（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可得到f（x）的单调增区间；（3）由图象的对称性即可得到f（x）对称中心．【解答】解：（1）∵函数f（x）=cosx•sin﹣cos2x+=cosx•（sinx+cosx）﹣cos2x+=sin2x﹣cos2x+=sin2x﹣•+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∴f（x）的最小正周期为═π；（2）由（1）可知：f（x）=sin（2x﹣），由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（3）令2x﹣=kπ，求得x=，∴f（x）对称中心为（，0）．21．（1）求的定义域（2）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，求f（0）．【考点】正切函数的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）根据正切函数的定义，令3x﹣≠kπ+求出x的取值范围即可；（2）由图象求出函数的解析式，再计算f（0）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=tan（3x﹣），∴3x﹣≠kπ+，k∈Z；解得x≠+，k∈Z；故函数f（x）=tan（3x﹣）的定义域为{x|x≠+，k∈Z}；（2）由图可知，A=， =﹣=，∴T=π，又T=（ω＞0）， ∴ω=2．又函数图象经过点（，0），∴2×+φ=2k π+π，∴φ=2k π+（k ∈Z ），∴函数的解析式为：f （x ）=sin （2x+），∴f （0）=sin =．22．（1）当x ∈[，]时，求函数y=3﹣sin x ﹣2cos 2x 的最大值．（2）已知5sin β=sin （2α+β），tan （α+β）=，求tan α【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由题意可得sinx ∈[﹣，1]，利用同角平方关系对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质可求函数的最大值．（2）根据题意，利用2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）﹣α，化简5sin β=sin （2α+β），再结合同角的三角函数关系，即可求出tan α的值．【解答】解：（1）∵x ∈[，]，∴sinx ∈[﹣，1]，则y=3﹣sinx ﹣2cos 2x=3﹣sinx ﹣2（1﹣sin 2x ）=2sin 2x ﹣sinx+1=2（sinx ﹣）2+，∴由二次函数性质可知当sinx=1或﹣时，y 取最大值2．（2）∵5sin β=sin （2α+β），∴sin[（α+β）+α]=5sin[（α+β）﹣α]，即sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α=5sin （α+β）cos α﹣5cos （α+β）sin α， ∴4sin （α+β）cos α=6cos （α+β）sin α，∴4tan（α+β）=6tanα，∴tanα=tan（α+β）=．。

山西省太原市2017-2018学年高一数学12月月考试题使用时间：2017.12 考试时间：90分钟 满分：100分一.选择题：(本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设全集R U =，集合{}32|<<-=x x A ，{}05B x x =<<，则B A C R ⋂)(等于（ ） A.{}25x x -<< B. {}20x x -<≤ C. {}35x x << D. {}35x x ≤<2.如下程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a = ( ) A. 0 B. 2 C. 4 D. 143.我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想.如图所示的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”.执行该程序框图，若输入110011,2,6a k n ===，则输出b 的值为（ ）A. 19B. 31C. 51D. 63(2) (3)4.某工厂生产,,A B C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5 ,现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的产品共有16件，那么此样本的容量为（ ）A. 60B. 70C. 80D. 90 5.如表是某厂节能降耗技术改造后，在生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：若根据如表提供的数据，用最小二乘法可求得y 对x 的回归直线方程是ˆ0.70.35yx =+，则表中m 的值为（ ）A. 4B. 4.5C. 3D. 3.56.总体由编号为01,02,03,…49,50的50各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（ ）66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90 57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86 A.05 B.09 C.11 D. 20 7.设52535252,52,53a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b ，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a c b >>B. a b c >>C. c a b >>D. b c a >> 8.下列各函数在其定义域中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. 3x y -= B. xy 1=C.x x y =D. x y 2= 9.已知函数⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)12()(x x x a x a x f a 满足对任意的实数12x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f 成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.()1,0B.⎪⎭⎫ ⎝⎛210C.⎪⎭⎫⎝⎛161 D.11,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.若函数)(x f 和)(x g 都是奇函数，且2)()()(++=x bg x af x F 在区间)(∞+0上有最大值5，则)(x F 在区间)(-,0∞上（ ）A. 有最小值-1B. 有最大值-3C.有最小值-5D. 有最大值-511.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=213212)(x x x x f x ，若方程()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）A. ()2,0B. ()1,0C. ()3,0D. ()3,112.已知定义在R 上的奇函数)(x f 的图像关于直线1=x 对称，且(1)1f -=，则(1)(2)(3)(2017)f f f f ++++ 的值为（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2 二.填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．)13.函数lg(21)()2x f x x -=-的定义域为_________.14.计算机执行如图所示的程序后，输出的结果是__________．15.从某高校的高一学生中采用系统抽样法选出30人测量其身高，数据的茎叶图如图所示(单位：cm)，若高一年级共有600人，估算身高在1.70m 以上的有_______人．（14） （15）16.若1x 满足1337x x -+=,2x 满足()333log 27x x +-=,则12x x +=__________．三.解答题：(本大题共5小题，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17.（8分）分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数.18.(10分）某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：，，…后得到如下频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的中位数（精确到0.1）、众数、平均数；(2)用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，求各分数段抽取的人数.19.(10分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）标准煤的几组对照数据：（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+；（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为200吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤.参考公式：()()()∑∑∑∑====--=---=ni ini iini ini i ixn xy x n yx x xyy x xb 1221121ay bx =- 20.(10分）已知函数2()log ()a f x ax x =-．（1）若12a =，求()f x 的单调区间；。

松江二中2017学年第一学期12月阶段性检测一.填空题1.已知集合{}2|20,{|}M x x x N x x a =-=，若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为_________ 【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】根据集合的运算结果可得M N ⊆，再有集合的包含关系即可求出.【详解】{}{}2|2002M x x x x x =-=≤≤，{|}N x x a =由M N M ⋂=，知M N ⊆，所以2a ， 故实数a 的取值范围为[2,)+∞. 故答案为：[2,)+∞【点睛】本题考查了集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.2.已知幂函数的图像过点19⎫⎪⎭，则()f x =________ 【答案】4()f x x -=【解析】 【分析】设出幂函数的表达式，将点19⎫⎪⎭代入即可求解.【详解】设()a f x x ，由图像过点19⎫⎪⎭，则2213349aaa -=⇒=⇒=-，所以4()f x x -= 故答案为：4()f x x -=【点睛】本题考查了待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题.3.方程2lg 2x =的解是________. 【答案】10± 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化即可求解. 【详解】222lg 21010x x x =⇒=⇒=±. 故答案为：10±【点睛】本题考查了指数式与对数式的互化，属于基础题.4.已知函数22()9x f x x =-，()3g x x =-，3()3x h x x =+，则()()()f x g x h x +=_______；【答案】x (3)x ≠± 【解析】 【分析】直接将22()9x f x x =-，()3g x x =-，3()3x h x x =+的表达式代入()()()f x g x h x +中，化简即可.【详解】22233(3)()()()(93333)3x x x x x x f x g x h x x x x x x x x ++=⋅=-++==-++++(3)x ≠±.故答案为：x (3)x ≠±【点睛】本题考查求函数表达式，注意定义域,属于基础题.5.函数2211x y x -=+的值域为_________________．【答案】[－1,1) 【解析】由题可得()2222211221111x x y x R x x x -+-===-∈+++，由211x +≥易得0<221x +≤2， 故y ∈[－1,1)，所以函数2211x y x -=+值域为[－1,1) ．【解题必备】（1）在高考中考查函数的定义域时多以客观题形式呈现，难度不大．求函数定义域的三种常考类型及求解策略：①已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解；②对于抽象函数：若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出，若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域；③对于实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．（2）求函数定义域的注意点：①不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化；②当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集；③定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． （3）求函数值域的基本方法：①观察法，通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；②利用常见函数的值域，一次函数的值域为R ，反比例函数的值域为{|0}y y ≠，指数函数的值域为()0,+∞，对数函数的值域为R ，正、余弦函数的值域为[]1,1-，正切函数的值域为R ；③分离常数法，将形如cx dy ax b+=+(a ≠0)的函数分离常数，结合x 的取值范围确定函数的值域；④换元法，对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域；⑤配方法，对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域；⑥数形结合法，作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域；⑦单调性法（也可结合导数），函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域；⑧基本不等式法，利用基本不等式a b +≥(a >0，b >0)求最值，注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”；⑨判别式法，将函数转化为二次方程，利用Δ≥0，由此确定函数的值域，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围；⑩有界性法，充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域． 6.设lg 2,lg3a b ==，则5log 12=__________.（用,a b 表示） 【答案】21b aa+- 【解析】 【分析】根据换底公式以及对数的运算代入即可求解 【详解】5lg12lg32lg 22log 12lg51lg 21b aa++===--.故答案为：21b aa+- 【点睛】本题主要考查换底公式以及对数的运算，需熟记公式和运算法则，属于基础题. 7.函数2(2)3,[,]y x a x x a b =+++∈的图像关于直线1x =对称，则b 的值为________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意列出21212a a b +⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解方程即可.【详解】由题知2142612a a ab b +⎧-=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩. 故答案为：6【点睛】本题主要考查了函数的对称性的应用，考查了二次函数的图像与性质，属于基础题. 8.已知函数23()2x af x x +=+在(2,)-∞上单调递增，则实数a 的取值范围__________. 【答案】4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】采用分离参数法，将函数化为34()22a f x x -=++，根据题意由反比例函数的性质可得340a -<，解不等式即可.【详解】2334()222x a a f x x x +-==+++在(2,)-∞上单调递增，由反比例函数的性质，知43403a a -<⇒<.故答案为：4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了函数的单调性求参数的取值范围，注意分离参数法的应用，属于基础题.9.已知0,0x y >>，且2520x y +=，则lg lg x y +的最大值为_______. 【答案】1 【解析】试题分析：因为2520x y +=，所以2025210,10x y xy xy =+≥≤，当且仅当2510,5,2x y x y ====时取等号. 因此lg lg lg lg101,x y xy +=≤=即lg lg x y +的最大值为1. 考点：基本不等式求最值10.定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)∞上递增，且(2)0f =，则满足()20xf <的x 取值范围为__________.【答案】(),1-∞ 【解析】 【分析】根据题意绘制草图，可得()0f x <时，2x <-或02x <<，进而可解()20xf <.【详解】根据题意绘制草图，且(2)0f =则当2x <-或02x <<时，有()0f x <. 由()20xf <，所以022x<<，解得1x <.故答案为：(),1-∞【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，属于基础题.11.函数()f x 存在反函数1()y f x -=，且函数2()x y f x =-的图像过点(2,1)，则函数13()log y fx x-=-图像一定过点__________. 【答案】(3,0) 【解析】【分析】由题意可得(2)3f =，从而可求出1(3)2f -=，进而可求结果.【详解】由2()xy f x =-过点(2,1)，则(2)3f =，所以131(3)2,(3)log 3220ff --=-=-=，即函数13()log y fx x -=-的图像一定过点(3,0).故答案为：(3,0)【点睛】本题主要考查求反函数值，需理解反函数的定义，属于基础题. 12.设定义域为R 的函数2lg ,0(){2,0x x f x x x x >=--≤, 若关于x 的函数有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ． 【答案】【解析】【详解】关于的二次方程至多有两个实数根，设()2,2210f x t t bt =++=， 要使得有8个零点，就是()f x t =有4个解，由图象知()f x t =，(0,1)t ∈内有4个解． 二次方程22210t bt ++=在内有两个不等的实数根，故有故填二.选择题（20分）13.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A. 2yxB. 1y x -=C. 2y xD. 13y x =【答案】A 【解析】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数， C.2yx 在区间(0,)+∞上单调递增函数，故选A ．考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质． 点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称． 14.“关于x 的不等式|1||3|x x m -++>恒成立”是“2m ≤”的（ ） A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要条件 D. 既非充分也不必要【答案】B 【解析】 【分析】首先由绝对值不等式求出参数的取值范围，再由充分必要条件即可判断. 【详解】由关于x 的不等式|1||3|x x m -++>恒成立， 又|1||3|4x x -++≥，所以4m <. 则“4m <”是“2m ”的必要非充分条件， 故选：B【点睛】本题考查了绝对值不等式恒成立求参数的取值范围、充分必要条件，属于基础题. 15.若0x <，且1x x a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A. 0 1 b a <<< B. 01a b <<<C. 1b a <<D. 1a b <<【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的图像与性质即可得出结果. 【详解】由指数函数的图像可知， 在第一象限，底数越大、图像越高， 反之，在第二象限，底数越大、图像越底， 由0x <，且1x x a b >>， 所以01a b <<< 故选：B .【点睛】本题考查了指数函数的图像与性质，需熟记性质，本题也可以采用特殊值验证，属于基础题. 16.设0a b <<，则函数||()y x a x b =--的图像大致现状是（ ）A. B. C.D.【答案】B 【解析】 【分析】将函数去掉绝对值，化为()(),()(),x a x b x ay x a x b x a --⎧=⎨---<⎩，结合二次函数图像的画法即可求解.【详解】由()(),()()(),x a x b x ay x a x b x a x b x a--⎧=--=⎨---<⎩，根据0a b <<以及二次函数的图像做法，绘制图像可知B 正确. 故选：B .【点睛】本题考查了分段函数的图像以及二次函数的图像，属于基础题.三.解答题17.已知不等式230x x m -+<的解集为{,|1}x x n n R <<∈； （1）求出,m n 的值；（2）若1a >，解关于的不等式()2log 320a nx x m -++-<. 【答案】（1）2m n == （2）130,1,22x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用不等式的解集写出一元二次不等式，采用对应系数相等列方程组即可求解. （2）根据对数函数的单调性可得20231x x <-+<，解不等式即可.【详解】（1）由题知不等式230x x m -+<等价于(1)()0x x n --<，即2(1)0x n x n -++<.所以3(1)n m n-=-+⎧⎨=⎩，解得2m n ==.（2）由1a >，不等式()22log 2300231a x x x x -+<⇒<-+<， 解得130,1,22x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法以及对数函数的单调性，属于基础题. 18.已知函数21()f x ax x=+，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数的奇偶性质，并说明理由； （2）若2a =，用定义判断函数()f x 在[1,2]上的单调性.【答案】（1）当0a =时，()f x 是奇函数；当0a ≠时，()f x 是非奇非偶函数. （2）单调递增 【解析】 【分析】（1）讨论a 的取值，利用函数奇偶性的定义即可判断. （2）利用函数单调性定义即可证出. 【详解】（1）当0a =时，1()(0)f x x x=≠，且1()()f x f x x -=-=-，所以()f x 是奇函数；当0a ≠时，21()(0)f x ax x x=+≠，由(1)1,(1)1f a f a -=--=--，所以(1)(1)f f -≠-，故()f x 是非奇非偶函数.（2）当2a =时，21()2,[1,2]f x x x x=+∈. 任取12,[1,2]x x ∈，且12x x <，则()()()()22121212121212111222f x f x x x x x x x x x x x ⎡⎤-=+--=-+-⎢⎥⎣⎦由1212x x <，则()()1212121124,8,(1,4),,14x x x x x x ⎛⎫+∈∈∈ ⎪⎝⎭，所以()1212120x x x x +->，又120x x -<，所以()()()()12121212120f x f x x x x x x x ⎡⎤-=-+-<⎢⎥⎣⎦.所以函数()f x 在[1,2]上单调递增.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性，单调性定义证明的步骤：取值、作差、变形、定号，考查了分类讨论的思想，属于基础题.19.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最大收益为多少万元？【答案】（1）()18f x x =()0x ≥，()g x =()0x ≥；（2）债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元【解析】【分析】（1）由题意，得到()1f x k x =，()g x k =，代入求得12,k k 的值，即可得到函数的解析式；（2）设债券类产品投资x 万元，可得股票类产品投资()20x -万元，求得总的理财收益的解析式，利用换元法和二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）设投资债券类产品的收益()f x 与投资额x 的函数关系式为()()10f x k x x =≥， 投资股票类产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式为()g x k =()0x ≥，可知()110.125f k ==，()210.5g k ==，所以()18f x x =()0x ≥，()g x =()0x ≥. （2）设债券类产品投资x 万元，则股票类产品投资()20x -万元，总的理财收益()()208x y f x g x =+-=()020x ≤≤.令t =220x t =-，0t ≤≤， 故()()22220111420238288t y t t t t -=+=---=--+， 所以，当2t =时，即债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，熟练应用函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.【此处有视频，请去附件查看】20.设函数()log (1)(1)a f x x ax =++.（1）求出函数的定义域；（2）若当1a >时，()f x 在53,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上恒正，求出a 的取值范围； （3）若函数()f x 在11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，求出a 的取值范围.【答案】（1）当1a >时，不等式解集为1(,1),x a ⎛⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭， 当01a <<时，不等式解集1,(1,)x a ⎛⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭. （2）2a >； （3）1a >【解析】【分析】 （1）根据对数函数的性质解含参的一元二次不等式即可.（2）由（1）确定函数的定义域，令()(1)(1)g x x ax =++，得出()g x 在53,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，进而使()min 0f x >即可.（3）任取12,x x ，满足121123x x -<<<，讨论a 的取值范围，研究函数()f x 的单调性即可求解. 【详解】（1）由题知1(1)(1)0,(1)0,0x ax x x a a ⎛⎫++>++>> ⎪⎝⎭且0a ≠. 当1a >时，11a ->-，所以不等式解集为1(,1),x a ⎛⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭. 当01a <<时，11-<-a ，所以不等式解集为1,(1,)x a ⎛⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭. 综上所述，当1a >时，不等式解集为1(,1),x a ⎛⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭， 当01a <<时，不等式解集为1,(1,)x a ⎛⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭. （2）当1a >时，定义域为1(,1),x a ⎛⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭，令()(1)(1)g x x ax =++， 则()g x 在53,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，所以331()242g x g a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 又311,()log ()log 42a a a f x g x a ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭.因为()f x 在53,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上恒正，所以31log 042a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即31142a ->，解得2a >. （3）任取12,x x ，满足121123x x -<<<. 二次函数()(1)(1)g x x ax =++的对称轴11112222a x a a +=-=--<-， 所以()g x 在11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，即()()12g x g x <. 当01a <<时，()()12log log a a g x g x >，即()()12f x f x >，不满足题意舍去.当1a >，且()10g x >时，()()12log log a a g x g x <，即()()12f x f x <，所以当1,()a f x >在11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. 【点睛】本题考查了对数型复合函数的定义域、含参的一元二次不等式的解法以及根据函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.21.已知1()f x -是()y f x =的反函数，定义：若对于给定实数(0)a a ≠，函数()y f x a =+与1()y f x a -=+）互成反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”，若函数()y f ax =与1()y f ax -=互为反函数，则称()y f x =满足a 积性质（1）判断函数2()1(0)g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数.【答案】（1）不满足，证明见详解；（2）()()f x x b b R =-+∈【解析】【分析】（1）先求出()1g x -的解析式，换元可得()11g x -+的解析式，将此解析式与()1g x +的解析式作对比，看是否满足互为反函数. （2）先求出()1f x -的解析式，再求出()12f x -+的解析式，再由()2f x +的解析式求出()12f x -+，用两种方法得到的()12f x -+的解析式应该相同，解方程求得满足条件的一次函数()f x 的解析式.【详解】（1）函数2()1(0)g x x x =+>的反函数是())11g x x -=>，∴())110g x x -+>，而()()()21111g x x x +=++>-，其反函数为()11y x =>，故函数2()1(0)g x x x =+>不满足“1和性质”.（2）设函数()()f x kx b x R =+∈满足“2和性质”，0k ≠， ()()1x b f x x R k --∴=∈，()122x b f x k-+-∴+=， 而()()()22f x k x b x R +=++∈，得反函数2x b k y k--=， 由“2和性质”定义可知22x b x b k k k +---=，对()x R ∈恒成立. 1,k b R ∴=-∈，即所求的一次函数.【点睛】本题考查了反函数以及函数的新定义，解题的关键是理解题干中的新定义，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.。