人教版数学九下课件28.2.2.2与方位角有关的解直角三角形的应用

军舰从B处向正西方向行驶至C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向，求该军舰行驶的路程。
险区。这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
方位角
区的可能？ (3)边角之间的关系:
某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向
的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北 方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上， 于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处 相遇。 （1）甲船从C处追赶上乙船用了多长时间？ （2）甲船追赶乙船的速度北是每小时多少千米？
B
D
C 75°
45°
西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向。 这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险区的可能？
C
为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
2解直角三角形的应用举例
北 为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛2解直角三角形的应用举例 航海问题——方位角
北 M东
B
A
D
N
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系:
(3)边角之间的关系:
Ｂ
c a
Ａ
bＣ
仰角俯角
A
?
E 34
F
18
D
10米
B
方位角
北
C
西
O
B
东
南
利用锐角三角函数解决航海问题
如图，一艘海伦位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯 塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达 位于灯塔P的南偏东34°方向的B处。这时，B处距离 灯塔P有多远？（结果取整数）（cos25°=0.9063, sin34°=0.5291, ）

答案：点B和点C的水平
距离为
40
20 3
3
米.
B
AD 30°
C
当堂练习
1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : 3 ，坝高
BC=3m，则坡面AB的长度是
( B)
A. 9m B. 6m C. 6 3m D. 3 3m
B
C
A
2. 如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方
向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方
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2014
第三节
教学准备
输入你的文本 根据你所需的内容输入你想要的文本 点击输入本栏的具体文字，简明扼要的说明分项内容，此为概念图解，
请根据您的具体内容酌情修改。
MORE THAN TEMPLATE
北
C
43°
A
B
5. 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是
12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，
求路基下底的宽 (精确到0.1米， 3 1.732 ，
2 1.414 ).
解：作DE⊥AB， CF⊥AB， 垂足分别为E、F． 由题意可知
D 12米
4米
45°
A
E
C
30°
F
B
DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)．
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A 仰角 水平线
B
α β D
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角 C
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．BD CD ta a ,tan AD AD
BD AD tan a 120 tan 30
B
A
┌ C
测量中的最远点问题
例3： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变 轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果取整数）
仰角和俯角
读一读
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角 视线
仰角与俯角
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m） 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，a=30°,β=60°
看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
分析：从飞船上能最远直接
F P
Q
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
OQ 6400 cos a 0 . 95 OF 6400 350
F P α O· Q
a 18 . 36

沿北偏东30°方向走，恰能达目的地C(如图)，那么，由此可知，
B，C两地相距_ 200 _m.
2题 3题
3、如右上图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，
坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为( D ) A．26米 B．28米 C．30 AD DF 在Rt△ABF中，
2 2
2x
2
x 2 3x
60° B
A
AF tan ABF BF 解得x=6
3x tan 30 12 x
D
30° F
AF 6 x 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危 险
分析：在直角三角形ABC中， 例3 如图， 一山坡的坡度 已知了坡度即角α的正切可 求出坡角α，然后用α的正 弦求出对边BC的长.
34°
例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏 东65°方向，距离灯塔80海里的A处， 它沿正南方向航行一段时间后，到达位 于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这 时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远 （精确到0.01海里）？ 解：如图，在Rt△APC中， PC＝PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°≈80×0.91 =72.8
是多少度？ 小刚上升了多少
米？ （角度精确到0.01°， 长度精确到0.1 m）
2
A. 42 m B.(30 24 3)m C.78 m
D.(30 8 3)m
新人教九年级数学下
海中一小岛周围3.8海里内有暗礁。军舰由 西向东航行，望见这岛在北偏东75°，航 行8海里后，望见这岛在北偏东60°，如果
军舰不改变航向，继续前进，有没有触礁
的危险？
方向角的定义：指北或指南方向线与目标方向线所成的小

D．101 m
练习
3．如图，在离铁塔(轴线)100 m的A处，用测角仪测得塔顶B的仰角为 30°.已知测角仪的高AD＝1.5 m，则铁塔的高BE＝__1_0_03_3_＋__23_ _m.
这时人能安全使用这个梯子．
解：过点D作l1的垂线，垂足为F.
∵∠DEB＝60°，∠DAB＝30°，
练 习 1．教材P76练习第1，2题．
F
P
Q
O
解：设∠POQ= ，
∵FQ是☉O的切线， ∴△FOQ是直角三角形.
∵ cosO Q 6400 0.9491 ,
O F 6400343
∴18.36.
∴ P Q 的长为
1 8 .3 6 6 4 0 0 1 8 .3 6 3 .1 4 2 6 4 0 0 2 0 5 （ 1 k m ) .
三、教学设计
活动1 新课导入 要想使人安全地攀上斜靠在墙上的梯子的顶端，梯子与地面所成角α
一般要满足50°≤α≤75°.现有一个长5 m的梯子．试问：当梯子的底端 距离墙角2.4 m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人 是否能够安全使用这个梯子？
解：角α约为61°； 这时人能安全使用这个梯子．
2．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再从D处向电视塔方向前进
100 m到楼达房F处顶，测端得电点视B塔处顶端观A的测仰角观为光60°塔，则底这部个电D视处塔的的高度俯A角B为是( 30)°.已知楼房的高AB约是
学会将实际问题转化为解直角三角形的问题．
3．如图，在离铁塔(轴线)100 m的A处，用测角仪测得塔顶B的仰角为30°. 学会将实际问题转化为解直角三角形的问题．

h
水平面
3. 坡度与坡角的关系 h i tan l 即坡度等于坡角的正切值. 坡面 i= h : l α h
l
水平面
练一练
1. 斜坡的坡度是 1: 3 ，则坡角α =___ 30 度.
2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____. 1:1 3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______. 1: 3
A
CF 1 ， 在Rt△DCF中，同理可得 i FD 2.5
FD 2.5CF 2.5 ห้องสมุดไป่ตู้23 57.5 m ，
AD AE EF FD =69+6+57.5=132.5 (m).
i=1:3 A B 6 C α
i=1:2.5 23 D
解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4， 由计算器可算得α≈22°. 故斜坡CD的坡角α 为22°.
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m). i=1:3
B
6
C
α i=1:2.5 23
D F E 解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别 为点E、 F，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m. 在Rt△ABE中， BE 1 i ， AE 3BE 3 23 69 m . AE 3
又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60°=30°=∠BAC， ∴BC=AC=12海里， ∴AF=AC ·cos30°=6 3 (海里)， 6 3 ≈10.392＞8， 故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
北 A 60° B
D 30 ° E
C
F
东
练一练 如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两 座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森 林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西 45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心， 100km为半径的圆形区 域内，请问：计划修 筑的这条高速公路会 不会穿越保护区(参考 数据： 3 ≈1.732， 4 ≈1.414)． 200km

（3）经过本节课的学习你还有哪些疑问或不懂得地方，请写下来并与老师同学交流。 （2）你还学过哪些用来解决实际问题的数学模型？ 2．最近的距离怎样求？ 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向为起始方向旋转到目标方向，所成的角（一般指锐角）。
（1）根据题意，你能画出示意图吗？ （3）得到数学问题的解； （3）经过本节课的学习你还有哪些疑问或不懂得地方，请写下来并与老师同学交流。 （3）经过本节课的学习你还有哪些疑问或不懂得地方，请写下来并与老师同学交流。 2．会运用解直角三角形的知识解决有关实际问题； 通常表达成北（南）偏东（西）多少度，若正好为45度，则表示为西（东）南（北）。 难点：把实际问题转化为解直角三角形的问题，构造直角三角形
九年级 下册
28.2 解直角三角形及其应用 （方向角）
课件说明
• 教学目标： 1．了解方位角； 2．会运用解直角三角形的知识解决有关实际问题； 3．体会数学在解决实际问题中的作用和数形结合、数 学模型思想．
• 学习重点： 把实际问题转化为解直角三角形的问题，解直角三角 形
• 难点：把实际问题转化为解直角三角形的问题，构造 直角三角形
归纳
一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向，距离灯塔 86 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处，这时， B 处距距离灯塔 P_________. 1．渔船由 B 向东航行，到什么位置离海岛 A 最近？
利用解直角三角形的知识解决实际问题的中有一个小岛 A，它周围 8 n mile内有暗礁，渔船 跟踪鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60°方向上，航行 12 n mile到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航 行，有没有触礁的危险？

A
B
D
F
E
C
面图形，转化为解直角三角形的问题）； 2、解直角三角形； 3、答
思想与方法
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题， 如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅 助线，构造出直角三角形.
必做题： 书本P78/3、4，P79/8题．
选做题：设计测山高方案
更上一层楼
如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在
同一条直线上，小红在D处观测旗杆部A的仰角为47°，观
测旗杆底部B的仰角为42°，已知点D到地面的距离为
1.56m，EC＝21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度(结
果保留小数点后一位)．参考数据：tan47°≈1.07，
tan42°≈0.90．
练习：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB 上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的 仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
答案: (1003300) 米
O
x
C
X-200
30° A
45°
200米
B
各显神通
练习：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB 上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的 仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
B
A
合作与探究
【例1】如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、 B、O三点在一条直线上，测得大桥两端A、B的 俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
α
β
β
α
B
O
AO
B
A
合作与探究