2013年中考数学试卷分类汇编-解直角三角形(方位角问题)

解直角三角形（三角函数应用）1、（绵阳市2013年）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60º，又从A 点测得D 点的俯角β为30º，若旗杆底点G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD为（ A ）A ．20米B ．米C ．米D ．米［解析］GE//AB//CD ，BC=2GC ，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB•cot ∠ACB=30×cot60º=10 3 米，DF=AF •tan30º=10 3 ×33=10米，CD=AB-DF=30-10=20米。

2、（2013杭州）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（ ）A ．B ．C ．D ．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：在直角三角形ABC 中，由AB 与sinA 的值，求出BC 的长，根据勾股定理求出AC 的长，根据面积法求出CD 的长，即为斜边上的高．解答：解：根据题意画出图形，如图所示，在Rt△ABC 中，AB=4，sinA=，∴BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC==3.2，∵S △ABC =AC•BC=AB•CD， ∴CD==． 故选B点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．3、（2013•绥化）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D ，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC 的长．AB=4AD=4．+44、（2013•鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．AB5、（2013安顺）在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC的面积为．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据tanA的值及BC的长度可求出AC的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算即可．解答：解：∵tanA==，∴AC=6，∴△ABC的面积为×6×8=24．故答案为：24．点评：本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表示形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积．6、（11-4解直角三角形的实际应用·2013东营中考）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60︒，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30︒，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为米.15. 9.解析：过B 作BE ⊥CD 于点E ，设旗杆AB 的高度为x ，在Rt ABC ∆中，tan AB ACB AC ∠=，所以tan tan 60AB x AC x ACB ====∠︒，在Rt BDE ∆中，BE AC x ==，60BOE ∠=︒，tan BE BDE DE ∠=，所以1tan 3BE DE x BDE===∠，因为CE=AB=x ，所以163DC CE DE x x =-=-=，所以x=9，故旗杆的高度为9米.7、（2013•常德）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan∠DAE 的值．BD=2sinB=，∴AB==3∴BD==2∴BC=BD+DC=2∴CE=BC=+CD=﹣∴tan∠DAE==．8、（13年山东青岛、20）如图，马路的两边CF 、DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A 、B 两点分别表示车站和超市。

DABCEF新思维教育一对一个性化教案授课日期： 2013 年 1月 日学生姓名 教师姓名 授课时段年 级 初三学 科数学课 型一对一教学内容解直角三角形在实际问题中的运用 教 学 重、难点要点一：锐角三角函数的基本概念1.(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 1213．（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？2.（綦江中考）如图，在矩形A B C D 中，E 是BC 边上的点，A E B C =，D F AE ⊥，垂足为F ，连接D E ．（1）求证：A B E △D F A ≌△；（2）如果10A D A B =，=6，求sin E D F ∠的值．AOBEC D3、（宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．4、（肇庆中考）在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.5、（·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B D A C =∠，(1) 求证：AC=BD ； (2)若12sin 13C =，BC =12，求AD 的长．要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题1.（·钦州中考）sin30°的值为（ ）A ．32B ．22C ．12D ．332.（长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为（ ）A ．(21)，B ．(12)，C ．(211)+，D ．(121)+，3.(定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米 B ．83米 C ．833米 D ．433米4.宿迁中考）已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于（ ）Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒80 5.（毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）A ．1323⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，B ．3323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， C ．1323⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， D ．1322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 6.（襄樊中考）计算：2cos 45tan 60cos 30+ 等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）3 三、解答题11.（·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°12.（崇左中考）计算：0200912sin 603tan 30(1)3⎛⎫-++- ⎪⎝⎭°°．13.（义乌中考）计算：33sin 602cos 458-+要点三、解直角三角形在实际问题中的运用1.（庆阳中考）如图（1），一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定．如图（2）是如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若∠AOB=45°，∠OAB=30°，OA=60cm，求点B到OA边的距离．（3 1.7≈，结果精确到整数）2.（郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5米，测得仰角 为30°，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米？（取2=1.414，3=1.732，结果保留两位小数）3、（眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。

解直角三角形（仰角俯角坡度问题）1、（德阳市2013 年）如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋高楼顶部 B 的仰角为300，看这栋高楼底部 C 的俯角为600，热气球 A 与高楼的水平距离为120m，这栋高楼 BC的高度为A. 40 3 mB. 80 3 mC. 120 3 mD. 160 3 m答案：D分析：过 A 作 AD⊥ BC于 D，则∠ BAD＝ 30°，∠ CAD＝60°， AD＝ 120。

BC＝ BD＋ CD＝ 120tan30 °＋ 120tan60 °＝ 1603 ，选D。

2、（2013?衢州）如图，小敏同学想丈量一棵大树的高度．她站在 B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向行进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为 1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精准到0.1m，≈1.73）．A． 3.5m B． 3.6m C． 4.3m D． 5.1m考点：解直角三角形的应用- 仰角俯角问题．专题：应用题．剖析：设 CD=x，在 Rt△ACD中求出 AD，在 Rt△CED中求出 ED，再由 AE=4m，可求出 x 的值，再由树高 =CD+FD即可得出答案．解答：解：设 CD=x，在 Rt△A CD中， CD=x，∠ CAD=30°，则 AD= x，在 Rt△CED中， CD=x，∠ CED=60°，则 ED= x，由题意得， AD﹣ED= x﹣x=4，解得： x=2，则这棵树的高度=2+1.6 ≈5.1m．应选 D．评论：本题考察认识直角三角形的应用，解答本题重点是结构直角三角形，利用三角函数的知识表示出有关线段的长度．3、（2013聊城）河堤横断面以下图，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则 AB的长为（）A． 12B．4米C．5米D．6米考点：解直角三角形的应用- 坡度坡角问题．剖析：依据迎水坡AB的坡比为1：，可得=1：，即可求得AC的长度，而后依据勾股定理求得 AB的长度．解答：解： Rt△ABC 中， BC=6米，=1：，∴则 AC=BC×=6，∴AB===12．应选 A．评论：本题主要考察解直角三角形的应用，结构直角三角形解直角三角形而且娴熟运用勾股定理是解答本题的重点．4、（2013?宁夏）如图是某水库大坝横断面表示图．此中∠ABC=120°， BC的长是 50m，则水库大坝的高度h 是（AB、 CD分别表示水库上下底面的水平线，）A． 25m B． 25m C． 25m D．m考点：解直角三角形的应用- 坡度坡角问题．剖析：第一过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，易得∠ CBE=60°，在即可求得答案．解答：解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，∵∠ ABC=120°，∴∠ CBE=60°，在 Rt△CBE中， BC=50m，∴CE=BC?sin60°=25（m）．应选 A．Rt△CBE中， BC=50m，利用正弦函数，评论：本题考察了坡度坡角问题．注意能结构直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解本题的重点．5、（ 2013 成都市）如图，某山坡的坡面 AB=200米，坡角BAC 30 ，则该山坡的高BC的长为_____米。

:i h l=hlα基础知识2解直角三角形的应用举例1.仰角与俯角：仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

2.坡度与坡角：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等. 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα== 3.方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角.如图,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）.【题型1】仰角与俯角如图，两幢建筑物AB 和CD ，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB ＝15m ，CD ＝20m ，AB 和CD 之间有一观景池，小南在A 点测得池中喷泉处E 点的俯角为42°，在C 点测得E 点的俯角为45°（点B 、E 、D 在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD （结果精确到0.1m ）.（参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）【变式训练】1.如图,宁宁在家里楼顶上的点A处，测量建在与自家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为多少米（精确到0.1）.2.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）.（参考数据：≈1.414，≈1.732）3.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度．4.如图，曦曦在M处用高1米(DM＝1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度．【题型2】坡度与坡角如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是多少？【变式训练】1.如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？2.如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度为i＝1∶1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比)，上底BC＝10 m，天桥高度CE＝5 m，求天桥下底AD的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin35°≈ 0.57，cos35°≈ 0.82，tan35°≈ 0.70)3.如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比).4.如图，曦曦在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60° ，沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45° ，已知OA=100米，山坡坡度为i=1:2， 且O 、A 、B 在同一条直线上。

1．（2013·济宁，18，?分）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土（如图1），A、B、C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点（如图2），点C在点A的北偏东47°方向，点B在点A 的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为5.5km；同时，点B在点C的南偏西36°方向．若一艘中国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C捕鱼，需要多长时间到达（结果保留小数点后两位）？（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19）考点：解直角三角形的应用－方向角问题．分析：过点B作BD⊥AC交AC于点D，根据方向角分别求出∠DAB和∠DCB的度数，然后在Rt△ABD和Rt△BCD中，分别解直角三角形求出AD、CD的长度，然后根据时间=路程÷速度即可求出需要的时间．解答：解：过点B作BD⊥AC交AC于点D，由题意得，∠DAB=180°－47°－79°=54°，∠DCB=47°－36°=11°，在Rt△ABD中，∵AB=5.5，∠DAB=54°，=cos54°，=sin54°，∴AD=5.5×0.59=3.245，BD=4.445，在Rt△BCD中，∵BD=4.445，∠DCB=11°，∴=tan11°，∴CD==23.394，∴AC=AD＋CD=3.245＋23.394≈26.64（km），则时间t=26.64÷30≈0.90（h）．答：需要0.90h到达．点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形．2.（2013•绍兴10分）如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：单位：cm（1）求AM的长．（2）当∠BAC=104°时，求AD的长（精确到1cm）．备用数据：sin52°=0.788，cos52°=0.6157，tan52°=1.2799．【思路分析】（1）根据AM=AE+DE求解即可；（2）先根据角平分线的定义得出∠EAD=∠BAC=52°，再过点E作EG⊥AD于G，由等腰三角形的性质得出AD=2AG，然后在△AEG中，利用余弦函数的定义求出AG的长，进而得到AD的长度．【解析】1）由题意，得AM=AE+DE=36+36=72（cm）．故AM的长为72cm；（2）∵AP平分∠BAC，∠BAC=104°，∴∠EAD=∠BAC=52°．过点E作EG⊥AD于G，∵AE=DE=36，∴AG=DG，AD=2AG．在△AEG中，∵∠AGE=90°，∴AG=AE•cos∠EAG=36•cos52°=36×0.6157=22.1652，∴AD=2AG=2×22.1652≈44（cm）．故AD的长约为44cm．【方法指导】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，其中涉及到角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角函数的定义，难度适中．3.（2013四川内江，20，10分）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB 为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．CE==∵，（∴+4.（2013陕西，20，8分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立身高AM 与其影子长AE 正好相等，接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB=1.25m 。

三角形、多边形内角和；外角和1、（2013•某某）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°考点：三角形中位线定理；平行线的性质；三角形内角和定理．分析：在△ADE中利用内角和定理求出∠AED，然后判断DE∥BC，利用平行线的性质可得出∠C．解答：解：由题意得，∠AED=180°﹣∠A﹣∠ADE=70°，∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠C=∠AED=70°．故选C．点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握三角形中位线定理的内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．2、（2013•某某）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8考点：多边形内角与外角．分利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．析：解答：解：多边形的边数是：360÷72=5．故选A．点评：本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．3、（2013•资阳）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形考点：多边形内角与外角．分析：利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．解答：解：360÷36=10．故选C．点评：本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．4、（2013•眉山）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是（）A．9B．10 C．11 D．12考点：多边形内角与外角．分析：利用多边形的外角和是360度，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．解答：解：360°÷36°=10，则这个正多边形的边数是10．故选B．点评：本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容，要求同学们掌握多边形的外角和为360°．5、（2013•某某）五边形的内角和为（）A．720°B．540°C．360°D．180°考点：多边形内角与外角．分析：利用多边形的内角和定理即可求解．解答：解：五边形的内角和为：（5﹣2）×180=540°．故选B．点评：本题考查了多边形的内角和定理的计算公式，理解公式是关键．6、（2013•某某）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）A．5B．5或6 C．5或7 D．5或6或7考点：多边形内角与外角．分析：首先求得内角和为720°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．解答：解：设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180=720，解得：n=6．则原多边形的边数为5或6或7．故选D．点本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．评：7、（2013•某某）如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（）A．44°B．60°C．67°D．77°考点：翻折变换（折叠问题）．3718684分析：由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数，继而求得答案．解答：解：△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，∴∠B=90°﹣∠A=68°，由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，∴∠ADE=∠CED﹣∠A=46°，∴∠BDC==67°．故选C．点评：此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．8、（2013某某）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为（）A．100°B．90° C．80° D．70°考点：平行线的性质；三角形内角和定理．专题：探究型．分析：先根据平行线的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理求出∠A的度数即可．解答：解：∵DE∥BC，∠AED=40°，∴∠C=∠AED=40°，∵∠B=60°，∴∠A=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣40°﹣60°=80°．故选C．点评：本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．9、（2013•湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°考点：三角形的外角性质．专题：探究型．分析：先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．解解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，答：∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．故选A．点评：本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．10、（2013•某某）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A．10°B．20°C．30°D．80°考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．解答：解：∵∠1=100°，∠C=70°，∴∠A=∠1﹣∠C=100°﹣70°=30°．故选C．点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．11、（2013•某某）四边形的内角和的度数为（）A．180°B．270°C．360°D．540°考点：多边形内角与外角．分析：根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）可以直接计算出答案．解答：解：（4﹣2）×180°=360°，故选：C．点评：此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．12、（2013•某某）如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（）A．30°B．36°C．38°D．45°考点：平行线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角．分析：首先根据多边形内角和计算公式计算出每一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质计算出∠AEB，然后根据平行线的性质可得答案．解答：解：∵ABCDE是正五边形，∴∠BAE=（5﹣2）×180°÷5=108°，∴∠AEB=（180°﹣108°）÷2=36°，∵l∥BE，∴∠1=36°，故选：B．点评：此题主要考查了正多边形的内角和定理，以及三角形内角和定理，平行线的性质，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）．180° （n≥3）且n为整数）．13、（2013•某某）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°考点：三角形的外角性质．3718684分析：利用直角三角形的性质求得∠2=60°；则由三角形外角的性质知∠2=∠1+45°=60°，所以易求∠1=15°；然后由邻补角的性质来求∠α的度数．解答：解：如图，∵∠2=90°﹣30°=60°，∴∠1=∠2﹣45°=15°，∴∠α=180°﹣∠1=165°．故选A．点评：本题考查了三角形的外角性质．解题时，注意利用题干中隐含的已知条件：∠1+α=180°．14、（2013年某某）如图8-1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B = 30°，∠C = 100°，如图8-2.则下列说法正确的是A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C 较近，距点B较远答案：C解析：由题知AC为最短边，且AC＋BC＞AB，所以，点C在AM上，点B在MD上，且靠近B点，选C。

2013年中考数学专题复习第十九讲解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数【赵老师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值：要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=sin A⑵若∠A+∠B=900，则sinA= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RT∠ABC中，∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【赵老师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示，则i=h l=⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案【赵老师提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念对应训练点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．考点二：特殊角的三角函数值对应训练点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．对应训练考点四：解直角三角形的应用例 4 （2012•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=米，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；）（2）求∠ACD的余弦值．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接AC，根据AB=BC=15千米，∠B=90°得到∠BAC=∠ACB=45°千米，再根据∠D=90°利用勾股定理求得AD的长后即可求周长和面积；（2）直接利用余弦的定义求解即可．解：（1）连接AC∵AB=BC=15千米，∠B=90°∴∠BAC=∠ACB=45°又∵∠D=90°∴=∴周长面积=S △ABC+18 6 ≈157（平方千米）（2）cos ∠ACD=CD 1AC 5点评：本题考查了解直角三角形的应用，与时事相结合提高了同学们解题的兴趣，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解． 对应训练 6．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：，，60千米/小时米/秒）考点：解直角三角形的应用．专题：计算题． 分析：（1）由于A 到BC 的距离为30米，可见∠C=90°，根据75°角的三角函数值求出BC 的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度，与60千米/小时进行比较即可． 解答：解：（1）法一：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=75°，AC=30， ∴BC=AC•tan ∠（米）．法二：在BC 上取一点D ，连接AD ，使∠DAB=∠B ，则AD=BD ， ∵∠BAC=75°，∴∠DAB=∠B=15°，∠CDA=30°， 在Rt △ACD 中，∠ACD=90°，AC=30，∠CDA=30°，∴AD=60，（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜（米/秒）=60（千米/小时） ∴此车没有超过限制速度．点评：本题考查了解直角三角形的应用，理解正切函数的意义是解题的关键． 【聚焦山东中考】A．不变B．缩小为原来的1C．扩大为原来的3倍D．不能确定5．（2012•潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D 的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到米，参考数据：；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得，在Rt△ADC中，AD=CD21=tan30，在Rt△BDC中，BD=CD21=tan303，则（米）。

2013年全国中考数学试题分类汇编解直角三角形（2013•郴州）我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC=5km．轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD （结果保留根号）．，即==5=5+20+5=25+5（25+5（2013•衡阳）如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位），=20×，+1.5+1.5（2013，娄底）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A 、B 两个探测点探测到C 处有生命迹象. 已知A 、B 两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30︒和45︒，试确定生命所在点C 的深度.（精确到0.1 1.41≈ 1.73≈）（2013•湘西州）钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行，海监船在A处时，测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B 处，发现此时钓鱼岛C与该船距离最短．（1）请在图中作出该船在点B处的位置；（2）求钓鱼岛C到B处距离（结果保留根号）=15×=55（2013•益阳）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠P AB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50），≈=，≈=2（2013•巴中）2013年4月20日，四川雅安发生里氏7.0级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B 相距4米，探测线与地面的夹角分别为30°和60°，如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73）CD，=，=﹣≈3.5（2013，成都）如图，某山坡的坡面AB =200米，坡角∠BAC =30°，则该山坡的高BC 的长为______100____米.（2013•达州）钓鱼岛自古以来就是中国领土。

专题42解直角三角形和应用一、选择题1. （2012广东深圳3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为l 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【 】A.(6米B.12米C.(4+米 D ．10米【答案】A 。

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。

【分析】延长AC 交BF 延长线于E 点，则∠CFE=30°。

作CE⊥BD 于E ，在Rt△CFE 中，∠CFE=30°，CF=4，，在Rt△CED 中，CE=2，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4。

∵△DCE∽△DAB，且CE ：DE=1：2，∴在Rt△ABD 中，AB=12BD=(12=A 。

2. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，A 、B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC=a 米，∠A=90°，∠C=40°，则AB 等于【 】米．A ． asin40°B ． acos40°C ． atan40°D ．0a tan40【答案】C 。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】∵△ABC 中，AC=a 米，∠A=90°，∠C=40°，∴AB=atan40°。

故选C 。

3. （2012福建福州4分）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点煌距离是【 】A ．200米B ．2003米C ．2203米D ．100(3＋1)米【答案】D 。

第五章 空间与图形5.7 解直角三角形【基础巩固】1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

即：222c b a =+。

逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

2、直角三角形的边角关系:锐角三角函数 （1）. 正弦．．：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;（2）. 余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;（3）. 正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan（4）余切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边A A A ∠∠=cot ;（5）.一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

在一个直角三角形中，若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=； )90sin(cos A A ∠-︒=解直角三角形 勾股定理锐角三角函数考查内容考查角度方向角问题楼的高度 旗杆高度 山的高度 坑的深度图 1图 3 图4 ②)90cot(tan A A ∠-︒=； )90tan(cot A A ∠-︒= (6).特殊角的锐角三角函数值3.仰角与俯角当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 所成的锐角称为仰角．． 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角称为俯角．．4. 坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角．． (或叫做坡比．．)。

用字母i 表示， 即A lhi tan ==5.方位角与方向角从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。

如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。

2012年中考试题汇编 锐角三角函数及解直角三角形.1、 锐角三角函数以及特殊角（2011江苏省无锡市，2，3′）sin45°的值是（ ）A. 12B.C. D.12 、（2012福州，9，4分，）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ．200米B.C.D. 1)米 3、( 2012年浙江省宁波市,8,3)如图，Rt △ABC,∠C=900,AB=6,cosB=23 ,则BC 的长为（A ）4(B)2 5 (C)18 1313 (D)121313（第2题） （第3题 ） （第5题） 5、（2012连云港，3，3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是B.+1C. 2.5 6、(2012山东德州中考,7,3,)为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中AB BE ⊥，EF BE ⊥，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ； ②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC ．能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有（ ） （A ）1组 （B ）2组 （C ）3组 （D ）4组 7、（2012江苏泰州市，18,3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是（ ） ． 8、（2012四川内江，11，3分）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ）A ．12 B． C．D．8题图 ABC（第8题） （第7题 ） 9、（2011山东省潍坊市，题号9，分值3）9、轮船从B 处以每小时海里的速度沿男偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C 处，在观测灯塔A 北偏东60°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是（ ）海里 A ． 325 B ． 225 C ．50 D ．25（第10题 ）10、（2012湖北襄阳，10，3分）在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD ．如图5，已知李明距假山的水平距离BD 为12m ，他的眼睛距地面的高度为1.6m ，李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为 A ．1.6)m B ．1.6)m C ．1.6)m D ．11、（2012安徽，19，10分）如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=32，求AB 的长，12、(2012重庆，20，6分)已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形。

锐角三角函数与特殊角一．选择题1．（2013兰州，9，3分）△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A ．∠B 、∠C 的对边，如果a 2+b 2=c 2，那么下列结论正确的是（ ）A ．csinA =aB ．bcosB =cC ．atanA =bD ．ctanB =b 考点：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义．分析：由于a 2+b 2=c 2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形，且∠C =90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项． 解答：解：∵a 2+b 2=c 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠C =90°． A ．sinA =，则csinA =a ．故本选项正确； B ．cosB =，则cosBc =a ．故本选项错误； C ．tanA =，则=b ．故本选项错误；D ．tanB =，则atanB =b ．故本选项错误． 故选A ．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 2．（2013湖北孝感，8，3分）式子的值是． ． ×﹣﹣（﹣+13 .[2013湖南邵阳，9，3分]在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A - 12 +(cos B - 12 )2=0，则∠C 的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°知识考点：特殊角的三角函数值，绝对值，非负数的性质.审题要津：根据两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0可分别求出∠A 、∠B 的角度数，从而求出∠C 的度数.满分解答：解：由题意知⎪⎪⎪⎪sin A - 12 =0，cos B - 12 所以∠A =45°，∠B=45°.故∠C=180°-∠A -∠B=180°-45°-45°=90°.故选C .名师点评：本题是常见的计算型试题，考查考生的综合运算能力，熟练掌握特殊角的三角函数值，绝对值，非负数的性质是解题的关键.4．（2013•东营，5，3分）将等腰直角三角形AOB 按如图所示放置，然后绕点O 逆时针旋转90︒至A OB ''∆的位置，点B 的横坐标为2，则点A '的坐标为（ ）A ．(1，1)B ．C ．(－1，1)D ．(答案：C解析：在Rt AOB ∆中，2OB =，45AOB ∠=︒，OAAOB OB∠=，所以cos 22OA OB AOB =∠==OA '=，过A '作A C y '⊥轴于点C ，在Rt A OC '∆，45A OC '∠=︒，OA '，sin A CA OC A O''∠='，sin 12A C A O A OC '''=∠==，又因为⊙O 1A C '==，且点A '在第二象限，所以点A '的坐标为（－1，1）．5. （2013杭州3分）在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =4，sinA =，则斜边上的高等于（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】根据题意画出图形，如图所示， 在Rt △ABC 中，AB =4，sinA =，∴BC =ABsinA =2.4， 根据勾股定理得：AC ==3.2，∵S △ABC =AC •BC =AB •CD ，∴CD ==【方法指导】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键6. （2013•衢州3分）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB ）为1.6m ，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m ，≈1.73）．【解析】设CD=x ，在Rt △ACD 中，CD=x ，∠CAD=30°， 则AD=x ，在Rt △CED 中，CD=x ，∠CED=60°， 则ED=x ，由题意得，AD ﹣ED=x ﹣x=4，解得：x=2，则这棵树的高度=2+1.6≈5.1m ．【方法指导】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．7.（2013四川乐山，6，3分）如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x=上，第二象限的点B 在反比例函数k y x=上，且OA ⊥OB ，，则k 的值为【 】A ．－3B ．－6C ．－4D ．-8．（2013重庆市，6，4分）计算6tan 45°－2cos 60°的结果是（ ）A ．B ．4C ．D ．5【答案】D ．【解析】6tan 45°－2cos 60°＝6×1－2×12＝5． 【方法指导】本题考查特殊锐角三角函数值．熟练记忆特殊锐角三角函数值，并掌握实数运算法则是准确求解的前提．9. (2013湖南邵阳,9,3分)在△ABC 中，若0)21(cos 21sin 2=-+-B A ,则∠C 的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【答案】：D ． 【解析】：∵0)21(cos 21sin 2=-+-B A ，∴21cos ;21sin ==B A ;∴∠A=30°，∠B=60°，则∠C=180°﹣30°﹣60°=90°．故选D ． 【方法指导】：本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．根据绝对值及完全平方的非负性，可求出A sin 、B cos 的值，继而得出∠A 、∠B 的度数，利用三角形的内角和定理，可求出∠C 的度数． 10．（2013重庆，9，4分）如图，在△ABC 中，∠A =45°，∠B =30°，CD ⊥AB ，垂足为D ，CD =1，则AB 的长为（ ）A ．2B ．32C ．133+ D ．13+ 【答案】D【解析】在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，∠A =45°，∴∠ACD =∠A =45°，∴AD = CD =1． 在Rt △BCD 中，∠BDC =90°，∠B =30°，∴BD =330tan 1tan =︒=B CD ，∴AB =AD +BD =31+，故选D ．【方法指导】本题考查了对锐角三角函数的识记，以及用三角函数的知识解直角三角形．求一般三角形边的长度，可以通过求作高，转化为直角三角形解答；在含有特殊角的直角三角形中，已知两个元素（至少有一条边），可以用三角函数的定义、勾股定理、直角三角形两内角互余的关系，求出所有未知的边或角；锐角三角函数，表示的是直角三角形中边、角之间的关系，三者之间可以相互转化：c a A =sin ，则a ＝c ·sinA ，c ＝A a sin ；cb A =cos ，则b ＝c ·cosA ，c ＝A b cos ；b a A =tan ，则a ＝btanA ；Aab tan =．11．(2013湖北荆门，11，3分)如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB ＝45°，则sin C 的值为( )ABCD【答案】B【解析】如图2，过点B 作BD ⊥AC 于D ，∵OB ＝1，∠AOB ＝45°，∴BD ＝OD∴AD ＝1Rt △ABD 中，AB．∴sin C ＝AB ACB ．【方法指导】∵∠AOB ＝2∠C ，∴∠C ＝22.5°．此题说明sin22.5°ADBC（第9题图）(第11题) 图2cos22.5°tan22.5°－1． 12.（2013深圳，11，3分）已知二次函数2(1)y a x c =--的图像如图2所示，则一次函数【答案】A【解析】由二次函数图像知，抛物线开口向上，则0a >，因抛物线的顶点(1,)c -在第四象限，则0c>；据此，一次函数y ax c =+中，因0a >，则图像自左向右是“上升”的，先排除C 、D 。

全等变换（平移、旋转、翻折）1、在△ABC 中，AC=BC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，将△ADE 绕点E 旋转180°得△CFE，则四边形ADCF 一定是（ ）2、把一副三角板如图甲放置，其中90ACB DEC ∠=∠=，45A ∠=，30D ∠=，斜边6AB =，7DC =，把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15得到△11D CE （如图乙），此时AB 与1CD 交于点O ，则线段1AD 的长度为A.53、如图，在△ABC 中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（ ）4、将等腰直角三角形AOB 按如图所示放置，然后绕点O 逆时针旋转90︒至A OB ''∆的位置，点B 的横坐标为2，则点A '的坐标为（ ）DCAEBAD 1OE 1BC图甲图乙A．(1,1) B．C．(-1,1)D．(5、如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是（）6、在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（）A．（1.4，﹣1）B．（1.5，2）C．（1.6，1）D．（2.4，1）7、如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则的值为（）9、如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）10、如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为（）11、如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△A DC的周长为17cm，则BC的长为（）12、在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP14、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（）D15、如图，△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1的坐标为（），（17、附图（①）为一张三角形ABC纸片，P点在BC上．今将A折至P时，出现折线BD，其中D点在AC上，如图（②）所示．若△ABC的面积为80，△DBC的面积为50，则BP与PC 的长度比为何？（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：818、如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若=，则= 用含k的代数式表示）．23、如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D 点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为 4 ．24、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为108 度．25、如图，△AOB 中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB 绕顶点O 逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO 的交点E 为BO 的中点，则线段B′E 的长度为．27、如图，矩形ABCD 中，3,4AB BC ==,点E 是BC 边上一点，连接AE ，把B ∠沿AE 折叠，使点B 落在点'B 处，当△'CEB 为直角三角形时，BE 的长为43、（2013•毕节地区）四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别是DC 和CB 的延长线上的点，且DE=BF ，连接AE 、AF 、EF ．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）填空：△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度得到； （3）若BC=8，DE=6，求△AEF 的面积．44、如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N ． （1）求证：CM=CN ；（2）若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3：1，求的值．==3=2∴HN=2=2=．45、（2013•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若△CEF与△ABC相似．①当AC=BC=2时，AD的长为；②当AC=3，BC=4时，AD的长为 1.8或2.5 ；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．AD=AC=46、(2013河南省)如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中90,30C B E ∠=︒∠=∠=︒.（1）操作发现如图2，固定ABC ，使DEC 绕点C 旋转。

2013年数学中考专题复习 解直角三角形一、选择题：1．（2008年湖北省咸宁市）在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则cos A 的值是( ) A．14CD ．４2.（2008恩施自治州）在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AC=2BC,则tanA 的值是( )A.21 B.2 C.55 D.253.（威海市）在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝( D )A ．1010 B ．32 C ．43 D ．101034.(2008年湘潭) 已知A B C ∆中，AC=4，BC=3，AB=5，则sin A =（ ）A. 35B.45C. 53D.345．(2008年内江市) 如图，在R t ABC △中，90C = ∠，三边分别为a b c ，，，则c os A等于（ ）A ．a cB ．a bC ．b aD ．b c6（2008年自贡市）已知α为锐角，且cot （90°－α）＝3，则α的度数为（ ）A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°7．(2008年湖州市)如图，已知直角三角形ABC 中，斜边A B 的长为m ，40B ∠=，则直角边B C 的长是（ B ） A ．sin 40mB ．cos 40mC ．tan 40mD ．tan 40m8.（2008年自贡市）如图是一个中心对称图形，A 为对称中心，若∠C=90°， ∠B=30°，BC=1，则BB’的长为（ ）AC Bac bA ．4B ．33 C ．332 D ．3349.(2008年桂林市)1、如图，在Ｒt△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝900,∠Ａ＝300,Ｅ为ＡＢ上一点且ＡＥ：ＥＢ＝4：1，ＥＦ⊥ＡＣ于Ｆ，连结ＦＢ，则tan ∠CFB 的值等于（ ）A 333、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ 10．（2008年•南宁市）如图1，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为：（A ）2 （B ）32 （C ）3 （D ）3图111.（2008年龙岩市）已知α为锐角，则m=sin α+cos α的值（ ）A ．m ＞1B ．m=1C ．m ＜1D ．m≥112.（2008襄樊市）在正方形网格中，△ABC 的位置如图2所示，则cos ∠B 的值为（ ）A ．12B 2C 2D 313.(2008年益阳) 如图2，AC 是电杆AB 的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC 的长为 A.︒526sin 米 B.︒526tan 米C. 6·cos52°米D.︒526cos 米14.（08河南试验区）直角三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是（D ）A.43 B.34 C.53 D.54ABC┐图2BCDA第14题图（第9题）15.（2008年武汉市） 如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ）．Ａ.250ｍＢ．Ｄ．ｍ．16.（2008年泰安市）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将A B C △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为D E ，则tan C B E ∠的值是（ ） A ．247B ．3C ．724D ．1317.（2008年聊城市）如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ） A ．4.5m B ．4.6mC ．6mD ．8m18.（2008嘉兴市）如图，正方形A B C D 中，E 是B C 边上一点，以E 为圆心、E C 为半径的半圆与以A 为圆心，A B 为半径的圆弧外切，则sin E A B ∠的值为（ ） A ．43B ．34C ．45D ．35二、填空题：1.（2008黄冈市）计算：cos 45°=________2．（2008年南昌市）计算：1sin 60cos 302-=．3．（2008年沈阳市）如图所示，某河堤的横断面是梯形A B C D ，BC AD ∥，迎水坡A B第8题图68CEAB（第8题）AOB东北长13米，且12tan 5B A E ∠=，则河堤的高B E 为 米．4．（2008年龙岩市）如图，在Rt△ABC 中，∠CAB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，tanB=21，则CD∶DB= .5．(2008年宁波市)课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成35 时，测得旗杆A B 在地面上的投影B C 长为23.5米，则旗杆A B 的高度约是 米（精确到0.1米）6.（2008襄樊市）如图8，张华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°，旗杆底部B 点的俯角为45°．若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A 离地面的高度为 米（结果保留根号）． 7.（威海市）如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝ 米（用根号表示）8.（2008年泰安市）若等腰梯形A B C D 的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60，则该等腰梯形的面积为 （结果保留根号的形式）．9.（2008年聊城市）为支援四川灾区，绿野橡胶篷布厂承接了一批活动房式帐篷的生产任务，蓬面使用的是PVC 双面涂塑蓬布，帐蓬的外部结构和规格尺寸如图所示（帐蓬顶（第10题图）（第17题）C（第16题）部两个斜面的坡度相同，顶部最高点到地面的距离为2.65米）．制作一顶这样的帐蓬，至少需要 平方米的PVC 双面涂塑蓬布（帐蓬的门、窗都需要蓬布．接缝等忽略不计，计算结果精确到1平方米）．三、解答题：1. （2008年郴州市）计算：21()2sin 3032--+︒+-2．（2008嘉兴市）计算：1tan 45-+．3、计算：12008453+--1（）（）4．（2008年义乌市）（16045-+答案：6045-+=222-+ =2.55.（2008年泰州市）21．计算：01)41.12(45tan 32)31(-++---．6.(08年宁夏回族自治区)如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．第17题图7．(2008年双柏县)根据“十一五”规划，元双(双柏—元谋)高速工路即将动工.工程需要测量某一条河的宽度.如图，一测量员在河岸边的A 处测得对岸岸边的一根标杆B 在它的正北方向，测量员从A 点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C 处，测得68=∠ACB .求所测之处河AB 的宽度.（o o osin68≈0.93,cos68≈0.37,tan68≈2.48）8．（2008年义乌市） 如图，小明用一块有一个锐角为小明离树的距离为4米，DE 为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米）9.(2008年安徽省)小明站在A 处放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B 离地面1.5米，求此时风筝离地面高度。

（2013•舟山）某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）．即伸缩门的宽；然后将它们相减即可．解答：解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD．根据题意，得∠BAD=60°，AB=0.3米．∵在菱形ABCD中，AB=AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD=AB=0.3米，∴大门的宽是：0.3×20≈6（米）；校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1．根据题意，得∠B1A1D1=10°，A1B1=0.3米．∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1=5°，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1=sin∠B1A1O1•A1B1=sin5°×0.3=0.02616（米），∴B1D1=2B1O1=0.05232米，∴伸缩门的宽是：0.05232×20=1.0464米；∴校门打开的宽度为：6﹣1.0464=4.9536≈5（米）．故校门打开了5米．点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，难度适中．解题的关键是把实际问题（2013•曲靖）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF交DE于点G．（1）求证：△DCF≌△ADG．（2）若点E是AB的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．，∴△DCF≌△ADG（AAS）；（2）设正方形ABCD的边长为2a，∵点E是AB的中点，∴AE=×2a=a，在Rt△ADE中，DE===a，∴sin∠ADG===，∵∠ADG=∠DCF=α，∴sinα=．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，同角的余角相过点A作AG∥CF交DE于点G．（1）求证：△DCF≌△ADG．（2）若点E是AB的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．∴∠AGD=∠CFD，又∵∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°，∠DCF+∠CDE=90°，∴∠ADG=∠DCF，∵在△DCF和△ADG中，，∴△DCF≌△ADG（AAS）；（2）设正方形ABCD的边长为2a，∵点E是AB的中点，∴AE=×2a=a，在Rt△ADE中，DE===a，∴sin∠ADG===，∵∠ADG=∠DCF=α，∴sinα=．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，同角的余角相连接BE，则tanE=_____________.2答案：3解析：（2013•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=，BE=4，则tan∠DBE的值是_________．：菱形的性质；解直角三角形．分析：求出AD=AB，设AD=AB=5x，AE=3x，则5x﹣3x=4，求出x，得出AD=10，AE=6，在Rt△ADE中，由勾股定理求出DE=8，在Rt△BDE中得出tan∠DBE=，代入求出即可，解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∵cosA=，BE=4，DE⊥AB，∴设AD=AB=5x，AE=3x，则5x﹣3x=4，x=2，即AD=10，AE=6，在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE==8，在Rt△BDE中，tan∠DBE===2，故答案为：2．点评：本题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形的应用，关键是求出DE的长．。