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自动控制原理胡寿松 第4章

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自动控制原理(胡寿松版)课件第四章

自动控制原理(胡寿松版)课件第四章

第一节 根轨迹的基本概念
二、根轨迹与系统性能
根轨迹图可以分析系统的各种性能： ω j ∞ ↑ 稳定性: 根轨迹均在s的左半平 Kr 面，则系统对所有k>0的值是稳定的。 s K =0 1 1 s1 2 r 0 σ -1 稳态性能：如图有一个开环极点 -2 -1 s=0，说明属于I型系统，阶跃作用 Kr ∞ 下的稳态误差为0。 动态性能：过阻尼 临界阻尼 欠阻 尼。 K越大，阻尼比 越小，超调量σ%越大。
第四章 根轨迹分析法
第一节 根轨迹的基本概念
当系统的某个参数变化时，特征方程的根随 之在S平面上移动，系统的性能也跟着变化。研究 S 平面上根的位置随参数变化的规律及其与系统 性能的关系是根轨迹分析法的主要内容。
第一节 根轨迹的基本概念
一、根轨迹
设系统的结构如图 K r变化时,闭环特征 Kr 根在 s平面上的轨迹 : 极点；右半平面为 C(s) 2+2s+K s1 s2 Kr 不稳定极点；虚轴 R(s) =s∞ ω r j ↑ -2 0 0 上为临界极点。 闭环特征方程式 Kr 1 -1 -1 1 2 (2) 0<Kr<1时，系统 s 0 s2 +2s+K Kr=0 1r= s1 -1-j -1+j 2 0 σ -1 有呈过阻尼状态。 -2 特征方程的根 -1 -1+j∞ -1-j∞ Kr (3) 当 时，系统 ∞Kr=1 s1.2 =-1± 1-Kr ∞ 呈临界阻尼状态 。 得相应的闭环特征根值: (4) 1<Kr<∞时，系统呈欠阻尼状态。
↑
↑
第一节 根轨迹的基本概念
三、闭环零、极点与开环零、极点的关系
系统传递函数为
G( s) ( s) 1 G(s) H (s)

自动控制原理课后习题答案

自动控制原理课后习题答案
• 1932年，Nyquist提出了一种根据系统的开环频率 响应(对稳态正弦输入) 。
• 20世纪40年代，Evans提出并完善了根轨迹法。
• 20世纪50年代末，最优控制系统设计。
• 20世纪50年代末，基于时域分析的现代控制理 论。
• 60年代～80年代：最优控制、随机系统的最优控 制、复杂系统的自适应控制和学习控制得到了研 究。
5. 干扰量(Disturbance)：引起被控量偏离预定运 行规律的量。除给定值之外，凡能引起被控量变 化的因素，都是干扰。干扰又称扰动
6.反馈(Feedback)：将系统输出量引回输入端，并 与参考输入进行比较的过程。
7.前向通路 (Forward Channel)：从给定量到被控 量的通道。
缺点: 闭环控制系统的参数如果匹配得不好，会造成被控量的 较大摆动，甚至系统无法正常工作。
例: 飞机自动驾驶控制
被控对象: 飞机
被控量： 飞机的俯仰角 θ
控制任务：系统在任何扰动作用下，保持飞机俯仰角不变。
仰俯角控制系统方块图
IV 复合控制
开环控制和闭环控制相结合的一种控制。实质上，它是在 闭环控制回路的基础上，附加了一个输入信号或扰动作用 的顺馈通路，来提高系统的控制精度。
an
d
n n
c(t
)
dt n
+
an-1
d n-1n-1c(t ) dt n-1
+"+
a1
dc(t) dt
+
a0c(t )
=
bm
d m m r (t ) dt m
+ bm-1
d m-1m-1r (t ) dt m-1
+" + b1

(完整版)自动控制原理胡寿松第四版课后答案解析

(完整版)自动控制原理胡寿松第四版课后答案解析

1－3解：系统的工作原理为：当流出增加时，液位降低，浮球降落，控制器通过移动气动阀门的开度，流入量增加，液位开始上。

当流入量和流出量相等时达到平衡。

当流出量减小时，系统的变化过程则相反。

流出量希望液位图一1－4（1）非线性系统（2）非线性时变系统（3）线性定常系统（4）线性定常系统（5）线性时变系统（6）线性定常系统2 2-1 解：显然，弹簧力为 kx (t ) ，根据牛顿第二运动定律有：F (t ) − kx (t ) = m移项整理，得机械系统的微分方程为：d 2x (t ) dt 2m d x (t ) + kx (t )= F (t ) dt2对上述方程中各项求拉氏变换得：ms 2 X (s ) + kX (s ) =F (s )所以，机械系统的传递函数为：G (s ) = X (s ) =F (s )1ms 2+k2-2 解一：由图易得：i 1 (t )R 1 = u 1 (t ) − u 2 (t ) u c (t ) + i 1 (t )R 2 = u 2 (t ) du c (t )i 1 (t )= Cdt 由上述方程组可得无源网络的运动方程为：C ( R + R ) du 2 (t ) u (t ) = CRdu 1 (t ) u (t )1 2 dt+ 22 + 1 dt 对上述方程中各项求拉氏变换得：C (R 1 + R 2 )sU 2 (s ) + U 2 (s ) = CR 2 sU 1 (s ) + U 1 (s )所以，无源网络的传递函数为：G (s ) = U 2 (s ) =U 1 (s )1 + sCR 21 + sC (R 1 +R 2 ) 解二（运算阻抗法或复阻抗法）：U (s ) 1 + R 2 1 + R Cs2 = Cs =2U (s ) R + 1 + R 1 + ( R + R )Cs 1 1 21Cs22-5 解：按照上述方程的顺序，从输出量开始绘制系统的结构图，其绘制结果如下图所示：依次消掉上述方程中的中间变量 X 1 , X 2 , X 3 , 可得系统传递函数为：C (s ) = R (s )G 1 (s )G 2 (s )G 3 (s )G 4(s )1 + G2 (s )G3 (s )G 6 (s ) + G 3 (s )G4 (s )G5 (s ) + G 1 (s )G 2 (s )G 3 (s )G 4(s )[G 7 (s ) − G 8 (s )]2-6 解：①将G1 (s) 与G1 (s) 组成的并联环节和G1 (s) 与G1 (s) 组成的并联环节简化，它们的等效传递函数和简化结构图为：G 12 (s) = G1(s) + G2(s)G 34 (s) = G3(s) −G4(s)②将G12 (s), G34 (s) 组成的反馈回路简化便求得系统的闭环传递函数为：2-7 解：C(s)=R(s)G12(s)1 + G12(s)G34(s)=G1(s) + G2(s)1 +[G1(s) + G2(s)][G3(s) −G4(s)]由上图可列方程组：[E(s)G1 (s) −C(s)H2(s)]G2(s) = C(s)R(s) −H1(s)C(s)G2(s)= E(s)联列上述两个方程，消掉E (s) ，得传递函数为：C(s)= R(s)G1(s)G2(s)1 + H1(s)G1(s) + H2(s)G2(s)联列上述两个方程，消掉C (s) ，得传递函数为：E(s)= R(s)1 + H2(s)G2(s)1 + H1(s)G1(s) + H2(s)G2(s)1 22 23 2-8 解：将①反馈回路简化，其等效传递函数和简化图为： 0.4G (s ) =2s + 1 =1 +0.4 * 0.5 2s + 15+ 3将②反馈回路简化，其等效传递函数和简化图为：1 G (s ) = s + 0.3s + 1 = 5s + 3 21 + 0.4 5s + 4.5s + 5.9s + 3.4(s + 0.3s + 1)(5s + 3)将③反馈回路简化便求得系统的闭环传递函数为：0.7 * (5s +3)Θo (s)= 5s 3 + 4.5s 2 + 5.9s + 3.4=3.5s + 2.1Θi (s) 1 +0.7 * Ks(5s +3)5s3+ (4.5 +3.5K )s 2+ (5.9 + 2.1K )s +3.42 5s3-3 解：该二阶系统的最大超调量：σp =e−ζπ/1−ζ2*100%当σp= 5% 时，可解上述方程得：ζ=0.69当σp= 5% 时，该二阶系统的过渡时间为：ts≈3ζwn所以，该二阶系统的无阻尼自振角频率w n 3-4 解：≈3ζts=30.69*2= 2.17由上图可得系统的传递函数：10 * (1 + Ks)C (s)= R(s)s(s + 2)1 +10 * (1 +Ks)s(s + 2)==10 * (Ks +1)s + 2 * (1 +5K )s +10所以w n =10 ，ζwn=1 +5K⑴若ζ= 0.5 时，K ≈0.116所以K ≈0.116时，ζ= 0.5⑵系统单位阶跃响应的超调量和过渡过程时间分别为：σ p = e−ζπ / 1−ζ2*100% = e−0.5*3.14 /1−0.52*100% ≈ 16.3%t s =3 ζw n= 3 0.5 *≈ 1.910⑶ 加入 (1 + Ks ) 相当于加入了一个比例微分环节，将使系统的阻尼比增大，可以有效地减小原系统的阶跃响应的超调量；同时由于微分的作用，使系统阶跃响应的速度（即变w 212p化率）提高了，从而缩短了过渡时间：总之，加入 (1 + Ks ) 后，系统响应性能得到改善。

胡寿松《自动控制原理》(第7版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第3~4章)【圣才出品】

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第3章线性系统的时域分析法3.1复习笔记本章考点：二阶欠阻尼系统动态性能指标，系统稳定性分析（劳斯判据、赫尔维茨判据），稳态误差计算。

一、系统时间响应的性能指标1．典型输入信号控制系统中常用的一些基本输入信号如表3-1-1所示。

表3-1-1控制系统典型输入信号2．动态性能与稳态性能（1）动态性能指标t r——上升时间，h（t）从终值10%上升到终值90%所用的时间，有时也取t＝0第一次上升到终值的时间（对有振荡的系统）；t p——峰值时间，响应超过中值到达第一个峰值的时间；t s——调节时间，进入误差带且不超出误差带的最短时间；σ%——超调量，()()%100%()p c t c c σ-∞=⨯∞（2）稳态性能稳态误差e ss 是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量，是指t→∞时，输出量与期望输出的偏差。

二、一阶系统的时域分析1．一阶系统的数学模型一阶系统的传递函数为：()1()1C s R s Ts +＝2．一阶系统的时间响应一阶系统对典型输入信号的时间响应如表3-1-2所示。

表3-1-2一阶系统对典型输入信号的时间响应由表可知，线性定常系统的一个重要特性：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，而积分常数由零输出初始条件确定。

三、二阶系统的时域分析1．二阶系统的数学模型二阶系统的传递函数的标准形式为：222()()()2n n n C s s R s s s ωζωωΦ++＝＝其中，ωn 称为自然频率；ζ称为阻尼比。

2．欠阻尼二阶系统（重点）（1）当0＜ζ＜1时，为欠阻尼二阶系统，此时有一对共轭复根：21,2j 1n n s ζωωζ=-±-（2）单位阶跃响应()()d 211e sin 01n t c t t t ζωωβζ-=-+≥-式中，21arctanζβζ-=，或者β＝arccosζ，21dn ωωζ=-各性能指标如下：t r ＝（π－β）/ωd2ππ1p d n t ωωζ==-2π1%e100%ζζσ--=⨯3.5(0.05)s nt ζω=∆=4.4(0.02)s nt ζω=∆=3．临界阻尼二阶系统（1）当ζ＝1时，为临界阻尼二阶系统，此时s 1＝s 2＝－ωn 。

《自动控制原理》 胡寿松 自动控制原理简明教程(专业教学)

《自动控制原理》 胡寿松 自动控制原理简明教程(专业教学)

i 1
j1, j x
= 180 + 1 + 2 + 3 1 2 3
=180 + 56.5 + 19 + 59 技1术0教8育.5 37 90 = 79 23
n
m
zx 180 (zx p j ) (zx zi )
j 1
i1,i x
=180 117 90 + 153 + 63.5 + 119 + 121 =149.5
1）劳斯判据法 应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值K’， 由K’值求出相应的ω值。
2）代数法 把 s j 代入特征方程 1 G( j)H ( j) 0
1 1 1 0 d 0 d 1 d 5
3d 2 + 12d + 5 = 0
d1 = 0.472 d2 = 3.53(不在根轨迹上，
舍去，也可代入幅值方程看Kg>0否？) 分 离点上根轨迹的分离角为±90°。
d1 = 0.472
d 180 / k
如果方程的阶次高时，可用试技探术教法育 确定分离点。
j1, ji
p j zi
j 1
;
k 0, 1, 2,
z1
(p1－z1) ( p1－p2 )
( p1－p3 )
p3
0
p2
Im
A
a
s1
pa
3 p3
1 z1
1
0 p1
Re
p2 2
p1 180 (2k 1) ( p1 z1)
(( p1 p2 ) ( p1 p3))
例：起始角 技a 术教育180 (2k 1) 1 (1 2 232)
实轴上的交点 n

自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法.详解

自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法.详解

系统的信号流图见图4-28，从信号流图中看出，系统中含有一个积分环节， 因此为1型系统，因此系统对阶跃输入信号的稳态误差为0。
K m 变化时系统的根轨迹， 2）为了绘制电动机传递系数（含放大器附加增益） 可将有关参数代入传递函数中，并将系统的特征方程进行整理，等价根轨迹增 益方程为：
1 K* P( s ) ( s 6.93 j 6.93)( s 6.93 j 6.93) 1 K * Q( s ) s 2 ( s 13.86)
当所有根轨迹分支都在左半平面时，系统稳定。 2) 稳态性能：
回忆：稳态性能主要取决于系统的开环增益和积分环节个数。
由根轨迹图不仅可以方便的确定开环增益和积分环节个数，而且可以根据给定系统 的稳态误差要求, 确定闭环极点位置的容许范围。
3)动态性能： 回忆：动态性能形态主要取决于系统的——闭环极点。 从根轨迹图上，可以直观地看到特征根随着参数的变化情况，从而，可以方便地 确定动态性能随着参数的变化情况。
K * lim
s

j 1 i 1 m
n
s pi s zj
lim s
s
nm
, 0 ,
nm nm
（无穷零点）
（无穷极点）
(n m 1)
（续）
且均为实数开环零、极点。
（续）
（续）
小结论： 由两个极点（实数极点或者复数极点）和一个有限零点组成的开环系 统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当 K * 从零变化到无穷时， 闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到重根点的距 离为半径的一个圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。
例如，在上列程序之后增加语句： [k,p]=rlocfind(num,den)

自动控制原理-胡寿松-第四章


过阻尼系统；
当K＝0. 5时：
临界阻尼系统；
当K＞0. 5时：
欠阻尼系统。
(s)
s2
2K 2s
2K
11
4-1 根轨迹法的基本概念
2. 根轨迹与系统性能
上述分析表明：根轨迹与系统性能之间有 着比较密切的联系。
对于高阶系统而言，用解析的方法绘制系 统的根轨迹图，显然是不适用的。希望能有简 便的图解方法，可根据已知的开环传递函数迅 速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要研究闭 环零、极点与开环零、极点之间的关系。
（2）稳态性能：由开环系统 在坐标原点处的极点数可判断 出系统的型别，而此时的K值 就是相应的静态误差系数。如 果给定系统的稳态误差要求， 则由根轨迹图可以确定闭环极 点位置的容许范围。
G(s) K s(0.5s 1)
10
4-1 根轨迹法的基本概念
2. 根轨迹与系统性能
（3）动态性能：
当0＜K＜0. 5时：
12
3. 闭环零、极点与 开环零、极点之间的关系
一般情况下，前向通路传递函数G(s)可表示为：
f
G(s)
KG
(1s
1)(
2 2
s2
2
1
2
s
1)L
sv (T1s 1)(T22s2 2 2T2s 1)L
KG*
(s zi )
i 1 q
(s pi )
i 1
KG
为前向通路增益；K
* G
为前向通路根轨迹增益。
m
(s zj)
等价为：
K * j1 n
1
(s pi )
2
第四章 线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念

自动控制原理胡寿松第四版课后题答案

整理得：
C1C 2 R
d 2u0 du 0 u 0 d 2ui ui du C C C C R + ( + 2 ) + = + + 2C1 i 2 1 1 2 2 2 dt R R dt dt dt
2-5
设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制x(t)曲线，指出各方程式的模态。
试通过结构图等效变换求系统传递函数c14胡寿松自动控制原理习题解答第二章15胡寿松自动控制原理习题解答第二章16胡寿松自动控制原理习题解答第二章17胡寿松自动控制原理习题解答第二章18试简化图266中的系统结构图并求传递函数c18胡寿松自动控制原理习题解答第二章进一步化简得19胡寿松自动控制原理习题解答第二章再进一步化简得
2-7 设弹簧特性由下式描述：
F = 12.65 y 1.1
其中，是弹簧力；是变形位移。若弹簧在变形位移附近作微小变化，试推导的线性化方程。
解： 设正常工作点为 A，这时 F0 = 12.65 y 0 在该点附近用泰勒级数展开近似为：
1.1
df ( x) y = f ( x0 ) + ( x − x0 ) dx x0
整理上式得
&0 + f1 K 2 x & 0 + K1 f1 x & 0 + K1 f 2 x & 0 + K1 K 2 x0 f1 f 2 & x &i + f1 K 2 x &i + K1 f 2 x & i + K 1 K 2 xi = f1 f 2 & x
对上式去拉氏变换得
3
胡寿松自动控制原理习题解答第二章

《自动控制原理》 胡寿松


系统Ⅰ的闭环传递函数与Ta无关，应是
5 / s (5s 1) 5 ( s ) 1 5 / s (5s 1) s (5s 1) 5 1 ( s 0.1 j 0.995 )( s 0.1 j 0.995 )
1 ( s ) ( s 0.1 j 0.995 )( s 0.1 j 0.995 )
j 1 i 1 m
n
i
j
(4-38)
与常规根轨迹的相应公式相比可知，它们的模值条 件完全相同，仅相角条件有所改变。因此，常规根轨迹 的绘制法则，原则上可以应用于零度根轨迹的绘制，但 在与相角条件有关的一些法则中，需作适当调整。
绘制零度根轨迹时，应调整的绘制法则有： 法则3 渐近线的交角应改为
2k a (k 0 , 1 , , n m 1) nm
3 2
令
a Re D( j ) 2 0 4 I D( j ) 3 1 0 m 4
1 解得： 2 ；a 1
系统根轨迹如右图所
示。从根轨迹图中可以看
出参数变化对系统性能的
影响如下：
j
s平面
0.5
a
a
=0.5时的闭环传递函数，在根
轨迹图中作 =0.5 线，可得闭
环极点为 s3, 4 0.5 j 0.87
相应的 Ta 值由模值条件算出
为0.8，即：
| (0.5 j 0.87 ) (0.1 j 0.995 ) || (0.5 j 0.87 ) (0.1 j 0.995 ) | Ta | (0.5 j 0.87 ) 0 | 0.7992 0.8
(4-40)
终止角等于其它零、极点到所求终止角复数零点的

第四章 自动控制原理 (胡寿松)ppt课件

j 1 j i 1 i
n
m
当 Kg 时，有 s = zi ( i =1, 2, … , m) 所以根轨迹必终止于开环零点。 在实际系统中，开环传函中 m n ，有m 条根轨迹终 可以认为有nm 个无穷远处的开环零点。
点为开环零点处，另有nm条根轨迹的终点将在无穷远处，
法则5 根轨迹的渐近线
( s zi ) (s p j )
j 1 i 1 n
m

1 Kg
“-”号，对应负反馈， “+”号对应正反馈。
由于满足上式的任何s都是系统的闭环极点，所以当系统的结构
参数，如Kg在某一范围内连续变化时，由上式制约的s在s平面上描 画的轨迹就是系统的根轨迹。因此上式称之为系统的根轨迹方程。 根轨迹的幅值方程：
j 1 n
n
( s z i ) ( s p j ) 2 k
i 1 j 1
(4 7)
式中，k=0，±1，±2，…（全部整数）。 （4-6）通常称为180 根轨迹；（4-7）称作 0 根轨迹。 根据这两个条件，可完全确定s平面上根轨迹及根轨迹上任一 点对应的Kg值。幅角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件，因此， 绘制根轨迹时，只需要使用幅角条件；而当需要确定根轨迹上各点 的Kg值时，才使用幅值条件。
j
根轨迹与系统性能
1. 稳定性
当Kg从0 时，图中 的根轨迹不会越过虚轴进入 s右半平面，因此二阶系统 对所有的Kg值都是稳定的。
Kg Kg= 0
Kg=1
Kg= 0 0
2
1

如果高阶系统的根轨迹 有可能进入s 右半平面，此 时根迹与虚轴交点处的Kg 值， 成为临界开环增益。
2.稳态性能 开环系统在坐标原点有 一个极点，系统属于1 型系统， 因而根规迹上的Kg 值就是静 态速度误差系数Kv。如果给 定系统对ess 有要求，则对Kg 有要求，由根迹图可以确定 闭环极点位置的容许范围。
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s 令s a＝s z1 s z2 s p1 s p2
代入标准形式：
s zm
s pn
nm
s a
K *
(n m) s a (2l 1)
(2l 1) s a (l 0,1, 2,..., n m 1) ( n m)
(s z )
i 1 n i
m
K
*
sm
(s p )
j 1 j
1
sm
zm z1 z2 (1 )(1 ) (1 ) s s s pm p1 p2 (1 )(1 ) (1 )( s pm 1 ) s s s 1 * 0( K * ) K
180 2l 1 a 60,180,300(60) nm
渐近线与实轴的交点坐标为：
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm

0 (1) (2) 0 1 30
• （4）实轴上的根轨迹： • 在s平面实轴上[0，-1]和[-，-2]线段上存在根轨 迹。
渐近线与实轴正方向夹角：
( 2l 1) a nm
l 0,1,2,, n m 1
规则5: 实轴上的根轨迹
在实轴上任取一点，若在其右侧的开环实极点与开环实零点 的总数为奇数，则该点所在线段构成实轴上的根轨迹 j
z1 p2 z2
(s z1 ) (s z2 ) (s p1 ) (s p2 ) (2l 1)
规则4:根轨迹的渐近线
s a
n j 1 m
nm
snm (n m) a snm1
s n s n 1 p j s m s m 1 zi
i 1 j 1 n n
K *
(s p j ) ( s zi )
i 1
K *
则：
K
*
s p1 s p2 s z1 s z2
s pn s zm
（1）上式表明，参变量无限小的增量与 s平面上长度s-pi及s-zi 的无限小增量相对应，这时复变量 s 在 n 条根轨迹上将产生一 个无限小的位移。这便说明了根轨迹线是连续的。 （2）由于反馈系统特征方程的系数仅与系统参数有关，而对实 际的物理系统来说，系统参数又都是实数，从而特征方程的系 数也必然都是实数。因为具有实系数的代数方程的根如为复数， 则必为共轭复数，所以实际物理系统的根轨迹必然是对称于实 轴的曲线。
规则3：根轨迹的起点和终点
起始点： 起始点为K*=0时的闭环极点。 终止点： 终止点为K*时的闭环极点。
1 * K ( s pi )
i 1 n i 1
( s zi )
m
(1)当K* =0时,根轨迹起始于开环极点 (2)当K* 时，有m条分支趋向开环零点； (3)n>m时，另外n-m条的终点？
i 1 i 1
K
*
| s z |
i 1 i j
m
| s p
j 1
n
1
|
G(s) H ( s) ( s zi ) ( s pi ) (2l 1) (l取整数)
i 1 i 1
m
n
• 相角条件与根轨迹增益K*无关，把满足相角条件的s代入到幅 值条件中，总能得到相应的K*，所以相角条件是决定根轨迹 的充分必要条件； • 幅值条件主要是用来确定根轨迹上各点对应的K*值。
第二节 绘制根轨迹的基本方法
一、绘制根轨迹的基本条件 负反馈系统特征方程为 1＋G(s)H(s)=0 或 G(s)H(s)=-1
根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的原则，可得 • 幅值条件
G( s ) H ( s ) 1
• 相角条件
G(s) H (s) (2l 1) (l取整数)
如果参数K1从0向变化时，系统闭环 特征根在复平面上的变化形成的轨迹 如图。
定义：当系统中某一参数由零变到无穷大时，闭环系 统特征根在s平面上形成的轨迹称系统的根轨迹。 *一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量可以是系 统的任意参量。
利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析：
（1）判断该系统在K*从0到变化时的稳定性； （2）判断该系统在K*取值在何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和欠阻尼状态； （3）判断系统的类型，从而计算系统稳态特性； （4）当K*值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从 而计算系统闭环性能指标；或反之。
抵消
s p 1


0
• 例3 试确定负反馈系统
K* G( s) H ( s) s( s 1)( s 2)
• 的根轨迹在实轴上的组成部分。
* K 例4-4 负反馈系统的开环传递函数为：G( s) H ( s) s( s 1)( s 2) 试按一般步骤与规则绘制其根轨迹图。
解（1）系统为3阶系统，有3条根轨迹； （2）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环极点， 分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。 （3）渐近线： K*时，有3条根轨迹趋向无穷远处，其渐近线的倾角为：
从基本规则一知，系统有三条随变量K*由0变向∞对称于实轴的连 续根轨迹曲线。 又从基本规则二知，三条根轨迹分别起始于s平面上的点(0， j0) ,(-1，j0),及(-2, j0)，并随参变量K*—>∞，三条根轨迹都将趋向 于s平面上的无穷远处
规则4:根轨迹的渐近线
当系统的根轨迹增益K*时，趋向无穷远处的根轨迹共 有n-m条，它们趋向无穷远处的方位可由渐近线决定
j
j
j



j
j
j



规则6：根轨迹的分离点和分离角
分离点：两条或两条以上根轨迹分支在s平面相遇又立即分开的点。 分离角：根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向 之间的夹角。 根轨迹的分离点实质上是闭环特征根出现重根的点，闭环特征 方程为
1 GH 1 K *
(s z ) (s p )
（3）利用幅值条件求得与 S1相对应的K*值。
K
*
s1 ( s1 2) ( s1 6.6) ( s1 4)

1.5 j 2.5 0.5 j 2.5 5.1 j 2.5 2.5 j 2.5
11.94
二、绘制1800根轨迹的基本规则
• 假若根轨迹方程为
由相角条件知
j 1 j i 1 n i
m
0
D(s) (s p j ) K
j 1
n
*
(s z ) 0
i 1 i
m
规则6：根轨迹的分离点和分离角
方程D(s)=0出现重根，即
m dD( s) d n * ( s p j ) K ( s zi ) 0 ds ds j 1 i 1
(s z )
i 1 i
m
d m d n ln ( s p j ) ln ( s zi ) ds j 1 ds i 1 d m d n ln( s p j ) ln( s zi ) ds j 1 ds i 1
其中，根轨迹增益K*是绘制根轨迹的可变参数，称参变量
开环传递函数的标准形式必须具有下列特征： 1)参变量K*必须是G(s)H(s)分子连乘因子中的一个 2)G(s)H(s)必须通过其极点与零点来表示 3)构成G(s)H(s)分子分母的每个因子中s项的系数必须是+1
规则1：根轨迹的分支数
根轨迹的分支数等于特征方程的阶数n(闭环极 点的数目)。
第四章 根轨迹法
本章内容
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的方法 第三节 正反馈系统根轨迹 第四节 参量根轨迹和多回路系统根轨迹
第一节 根轨迹的基本概念
R( s )
பைடு நூலகம்

K s (0.5 s 1)
C (s)
K1 K 2K s (0.5s 1) s ( s 2) s ( s 2) K1 C ( s) 系统闭环函数为： 2 R( s ) s 2s K1 开环传函G ( S ) 系统闭环特征根 : s1,2 1 1 K1 K1：根轨迹增益（P.72），本书用K 表示。
G(s) H ( s) ( s zi ) ( s pi ) (2l 1) (l取整数)
i 1 i 1 m n
G(s)H(s)= - 1
满足上述方程的根轨迹称为1800根轨迹
画根轨迹之前，需对开环传递函数化成标准形式
K * (s z1 )(s z2 ) (s zm ) G( s) H ( s) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
利用上式，可以解出 分离点。系统阶次不 高时，可以准确解出 分离点，系统阶次较 高时，可以用试探法 （P.153例4-1）解出 分离点。（方法一）
d n (s p j ) ds j 1 d m ( s zi ) ds i 1
m 1 1 j 1 s p j i 1 s zi n
(s p )
j 1 j
n

令分离点为d，则
m 1 1 j 1 d p j i 1 d zi n
m d n * d (s p j ) K (s zi ) ds j 1 ds i 1
——（1）
特征方程D(s)=0可以变形为
(s p ) K (s z )
* j 1 j i 1 i
n
m
——（2）
规则6：根轨迹的分离点和分离角
（1）式除（2）式，得
由于开环传递函数由物理系统决定，分母的阶数大于等于分子 的阶数，所以开环传递函数的阶数也就是闭环特征方程的阶数。 因此，根轨迹的分支数与开环传递函数的阶数相等。