2019届高考数学文科1轮复习练习：第2章 基本初等函数、导数的应用 9 第9讲含解析

一、选择题 1．函数f (x )＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( ) A ．(2，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(2，3) D ．(2，3)∪(3，＋∞)解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3x －x 2＞0，解得2＜x ＜3，则该函数的定义域为(2，3)，故选C. 2．已知函数f (x )＝x |x |，x ∈R ，若f (x 0)＝4，则x 0的值为 ( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2 D. 2解析：选B.当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x ＜0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解．所以x 0＝2，故选B.3．(2018·广州综合测试(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤01－log 2x ，x ＞0，则f (f (3))＝( )A ．43 B.23C ．－43D ．－3解析：选A.因为f (3)＝1－log 23＝log 2 23＜0，所以f (f (3))＝f (log 2 23)＝2 log 223＋1＝2log243＝43，故选A.4．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74 B.74C ．43D ．－43解析：选B.令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 解析：选A.因为f (1)＝2， 所以f (a )＝－f (1)＝－2，当a ＞0时，f (a )＝2a ＝－2，无解； 当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－2， 所以a ＝－3.综上，a ＝－3，选A. 6．(2018·云南第一次统考)已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，对任意的x 1∈[－1，2]都存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(0，1]C ．⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0，1)解析：选C.当x 0∈[－1，2]时，由f (x )＝x 2－2x ，得f (x 0)∈[－1，3]．又对任意的x 1∈[－1，2]都存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，所以当⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a ≤12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 二、填空题7．函数f (x )，g (x )分别由下表给出．则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))＞g (f (x ))的x 的值为________． 解析：因为g (1)＝3，f (3)＝1，所以f (g (1))＝1.当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不合题意． 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，符合题意． 当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，不合题意． 答案：1 28．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________． 解析：令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，② 联立①②得f (1)＝2. 答案：29．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0.若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为________．解析：易知a ≠0.由题意得，当a >0时，则－a <0，故a [f (a )－f (－a )]＝a (a 2＋a －3a )>0，化简可得a 2－2a >0，解得a >2或a <0.又因为a >0，所以a >2.当a <0时，则－a >0，故a [f (a )－f (－a )]＝a [－3a －(a 2－a )]>0，化简可得a 2＋2a >0，解得a >0或a <－2，又因为a <0，所以a <－2.综上可得，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)10．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________． 解析：由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2， f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2， f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2，又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：7 三、解答题11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图：12．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0，1]上有表达式f (x )＝x 2. (1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2，2]上的表达式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0，f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1，2]时，x －1∈(0，1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1，0)时，x ＋1∈[0，1)， f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1，0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12（x －1）2，x ∈（1，2]x 2，x ∈[0，1]－2（x ＋1）2，x ∈[－1，0）4（x ＋2）2，x ∈[－2，－1）.。

分层演练■直击高考・|収练促字•强按腥能卜*基础达标1 •某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资 金130万元•在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元的年份是 __________ •(参考数据：lg 1.12疋0.05, lg 1.3疋0.11, lg 2~ 0.30)［解析］设经过x 年后该公司全年投入的研发资金开始超过212%)x >200,即 1.12违? x>^ = 研发资金开始超过 200万元的年份是2019年.［答案］20192 •在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表:则对x , y ①y = 2x ;② y = x 2 3 4— 1; ③y = 2x — 2;④ y = log 2x.［解析］根据x = 0.50, y =— 0.99,代入计算，可以排除 ①；根据x = 2.01, y = 0.98,代 入计算，可以排除②、③；将各数据代入函数 y = log 2x ,都能近似相等可知满足题意.［答案］④3•某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与 七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值为2［解析］由题意可知，7月份的销售额为 500(1 + x%), 8月份的销售额为 500(1 + x%), 因为一月至十月份销售总额至少达 7 000万元，所以 3 860+ 500+ [500(1 + x%) + 500(1 + x%)2] X 2> 7 000,化简得 x 2 + 300x — 6 400> 0, 解得x >20(舍去x w — 320),故x 的最小值为20. [答案]204 •某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价 结算，若超过50套就可以以每套比出厂价低30元给予优惠，如果按出厂价购买应付a 元,200 万元，贝U 130(1 +lg 2 — lg 1.3 0.30- 0.11lg 1.12 & 0.05 3.8,所以该公司全年投入的但再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a元（价格为整数），则a的值为_________ ［解析］设按出厂价y元购买x套（x< 50）应付a元，则a = xy,又 a = （y- 30）（x + 11）,又x + 11> 50,即x> 39,所以39v x w 50,所以xy= (y- 30)(x+ 11),30 *所以11x=y—30,又x、y€ N 且39v x< 50,所以x= 44, y = 150,所以a= 44X 150= 6 600.［答案］6 6005.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y= e kt（其中k为常数, t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数），则k= __________ ，经过5小时，1个病毒能繁殖为________ 个.1［解析］当t= 0.5时，y= 2,所以2 =屈，所以k= 2ln 2 ,所以y= e2tln 2,所以当t = 5时，［答案］2ln 2 1 0246•某汽车销售公司在A、B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位：万元）为y1 = 4.1x—0.1x2,在B地的销售利润（单位：万元）为y2= 2x,其中x为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是___________________ 万元.［解析］设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车（16 —x）辆,所以可得到利润y= 4.1x—0.1x2+ 2(16 —x)=—0.1x2+ 2.1x+ 32=—0.1 x—号 + 0.1 32.因为x€ ［0 , 16］且x€ N ,所以当x= 10或11时，总利润取得最大值43万元.［答案］437. 2014年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在 1.25 %，则年我国人口首次将超过20 亿.（lg 2 〜0.301 0, lg 3~ 0.477 1 , lg 7 〜0.845 1）［解析］由已知条件：14（1 + 1.25%）x-2 014>20,10lg 7 1 —lg 7x—2 014> = P8.7,lg 81 4lg 3 —3lg 2 —110 ln 2 y= e 10=210= 1 024.212X一4lg 80则 x>2 042.7,即 x = 2 043. ［答案］2 0438. （2018镇江模拟）抽气机每次抽出容器内空气的 60%,要使容器内剩下的空气少于原 来的0.1%，则至少要抽 ________ 次（参考数据：lg 2 = 0.301 0, lg 3 = 0.477 1）［解析］抽n 次后容器剩下的空气为（40%）n , 由题意知，（40%）n <0.1%,即 0.4n <0.001 , 所以 nig 0.4< — 3,所以n 的最小值为8. ［答案］89. 某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为 60° （如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积 为9 .3平方米，且高度不低于.3米.记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长（梯形的上底线段 BC 与两腰长的和）为y 米•要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5米,则其腰长x 的范围为 __________ .A［解析］根据题意知，9 3= "（AD + BC ）h ,其中 x Y3AD = BC + 2 •= BC + x , h =~2x ,1 -3 18 x所以 9.3= 2(2BC + xp^x ,得 BC = — — ?,因为［3 , 4］? ［2 , 6）,所以腰长x 的范围是［3, 4］. [答案][3 , 4]10. （2018连云港模拟）如图所示，将桶1中的水缓慢注入空桶 2中，开始时 桶1中有a 升水，t min 后剩余的水符合指数衰减曲线 y 1= ae—nt,那么桶2中的 水就是y 2=a — ae nt 假设过5 min 后，桶1和桶2的水量相等，则再过 m min所以n>」1 — 2lg2 1 — 2X 0.301 0"7.54,由 y = BC + 2x = 18 +x ¥ w 10.5得 3w x W 4.得 2<x<6.后桶1中的水只有8升，贝U m= .［解析］由题意，得ae -5n = a — ae-5n ? e -n = 2 5 .再经过m min 后，桶1中的水只有|升, 5+m3| c则有 ae -n （5+ m ）= a ,即 e-n （5 + m ）= 2-3,亦即 |=寸,所以唇=3，解得 m = 10.［答案］1011 •某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 y （万元）与年产2量x （吨）之间的函数关系式可以近似地表示为 y =令—48x + 8 000,已知此生产线年产量最大5 为210吨.（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； ⑵若每吨产品平均出厂价为 40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？［解］⑴每吨平均成本为x （万元）•当且仅当x =色000,即x = 200时取等号.5 x所以年产量为200吨时，每吨平均成本最低为 32万元. ⑵设年获得总利润为 R(x)万元，2r , x则 R(x)= 40x - y = 40x - + 48x - 8 0005 2=-x+ 88x - 8 00051 2=-gx — 220) + 1 680(0 < x < 210). 因为R(x)在［0, 210］上是增函数， 所以x = 210时，R(x)有最大值为1 2 一 R(210) = - 5(210 - 220) + 1 680= 1 660(万元).所以年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.12. （2018山西孝义模考）为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活， 在景区提供自行车 出租•该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6元，则自行车可以全部租出；若超过 6元，则每超出 并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用 y （元）表示出租自行车的 日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）•（1）求函数y = f （x ）的解析式及其定义域；y= 5+ x 58 000 x —48》2 x 8 000 5 x —48= 32,⑵试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：⑴当X W 6 时，y= 50x—115.令50x—115>0，解得x>2.3.因为x€ N*，所以3< x W 6, x€N*.当x>6 时，y= [50 —3(x—6)]x—115.令[50 —3(x—6)]x—115>0,有3x2—68x+ 115<0.又x € N*，所以6<x< 20(x € N*),50x—115 (3W x< 6，x€N*)，故y = /J 2 *—3x2+ 68x—115 (6<x W 20，x® ).⑵对于y= 50x—115(3 W x< 6, x€J )，显然当x= 6 时，y max= 185.2对于y= —3x2+ 68x—115=—3 x —34+ 811(6<x< 20, x€N*),当x = 11 时，y max= 270.又因为270>185,所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多.能力提升1. （2018南京学情调研）某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n= ax+ 5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.（1）写出新建道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式;（2）设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比•若新建的标段数是原有标段数的20%,且k> 3.问：P能否大于20说明理由.[解](1)依题意得y= mkn = mk(ax+ 5), x €N .⑵法一：依题意x= 0.2a.mx x 0.2a ____ a所以P= y = k( ax+ 5) = k ( 0.2a2+ 5) = k( a2+ 25)1元，租不出的自行车就增加3辆•为了便于结算，每辆自行车的日租金 x （元）只取整数,0.2a ak (0.2a 2+ 5) k (a 2+ 25)0 2 假设 P >20,得 ka - 20a + 25k v 0.因为 k >3,所以△= 100(4 — k 2)v 0,不等式 ka 2— 20a + 25k v 0 无解. 即P 不可能大于20.t12•已知某物体的温度 6(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：0= m 2 + 2 百》0，且m>0).(1) 如果m = 2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2) 若物体的温度总不低于 2摄氏度，求m 的取值范围. ［解］⑴若 m = 2,则 6= 2 2t + 21 —1= 2 2t +1 , 1 5 1 5当 6= 5 时，2t + 孑=^,令 2t = x > 1 ,则 x + -=-,2 1即2x — 5x + 2= 0,解得x = 2或x =臥舍去),此时t = 1.所以经过1分钟，物体的温度 为5摄氏度.⑵物体的温度总不低于 2摄氏度，即2恒成立，亦口2七+ |t >2恒成立，亦即m 》2* — 2^恒成立. 1 2令21 = y ,贝y 0<y w 1,所以 m > 2(y — y ), 1 1由于y — y 2 w 4,所以m 》］"1、因此，当物体的温度总不低于 2摄氏度时，m 的取值范围是 2丿：3•某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体 方法：每户每月用水量不超过 4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分 每吨4w3 (a 2+ 25)1即P 不可能大于200. 法二：依题意x = 0.2a. 所以p =m y x=x k (ax + 5)(25、 3a + 73X1 1 =—v — 25 30 20.Xa元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元.。

1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．[解析] 由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )<0，即3(x －11)(x ＋1)<0， 解得－1<x <11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1，11)． [答案] (－1，11)2．(2018·苏中八校学情调查)函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________． [解析] 函数的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1，所以单调递减区间是(0，1)．[答案] (0，1)3．(2018·长春调研)已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的________条件．[解析] f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．[答案] 充分不必要4．(2018·郑州第一次质量预测)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜1的解集是________．[解析] 依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3，5)．[答案] (－3，5)5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________．[解析] 设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.[答案] －2或26．若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1，4]上单调递减，则实数a 的值为________．[解析] 因为f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，所以f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，又函数f (x )恰在[－1，4]上单调递减， 所以－1，4是f ′(x )＝0的两根， 所以a ＝(－1)×4＝－4. [答案] －47．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．[解析] 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－（x －1）（x －3）x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1，3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调， 由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. [答案] (0，1)∪(2，3)8.如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断： ①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．其中正确的判断是________．(填序号)[解析] ①因为f ′(x )在[－2，－1]上是小于等于0的， 所以f (x )在[－2，－1]上是减函数；②因为f ′(－1)＝0且在x ＝－1两侧的导数值为左负右正， 所以x ＝－1是f (x )的极小值点； ③对，④不对，由于f ′(3)≠0. [答案] ②③9．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．[解析] 因为f (x )＝12x 2－9ln x ，所以f ′(x )＝x －9x(x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0，3]上f (x )是减函数，所以a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2. [答案] 1<a ≤210．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x(x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2(x >0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0，5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0，5)． 11．(2018·沈阳质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；(2)若φ(x )＝m （x －1）x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．[解] (1)由已知得f ′(x )＝1x ，所以f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又因为g (1)＝0＝12a ＋b ，所以b ＝－1，所以g (x )＝x －1.(2)因为φ(x )＝m （x －1）x ＋1－f (x )＝m （x －1）x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．所以φ′(x )＝－x 2＋（2m －2）x －1x （x ＋1）2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，因为x ＋1x ∈[2，＋∞)，所以2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2]．1．已知函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0且a ≠1)，如果函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内单调递增，那么a 的取值范围是________．[解析] 由题意可知x 3－ax >0，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0恒成立，所以a >(x 2)max ，即a ≥14.当14≤a <1时，函数y ＝x 3－ax ，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0递减，y ′＝3x 2－a ≤0，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0恒成立，所以a ≥(3x 2)max ，故34≤a <1；当a >1时，函数y ＝x 3－ax ，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0递增，y ′＝3x 2－a ≥0，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0恒成立，所以a ≤(3x 2)min ，a ≤0，舍去，综上a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，1.[答案] ⎣⎡⎭⎫34，12．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )＜12，则f (x )＜x 2＋12的解集为________．[解析] 设F (x )＝f (x )－⎝⎛⎭⎫x 2＋12，则F (1)＝f (1)－⎝⎛⎭⎫12＋12＝1－1＝0， F ′(x )＝f ′(x )－12，对任意x ∈R ，有F ′(x )＝f ′(x )－12＜0，即函数F (x )在R 上单调递减，则F (x )＜0的解集为(1，＋∞)，即f (x )＜x 2＋12的解集为(1，＋∞)．[答案] (1，＋∞)3．(2018·江苏省盐城中学开学考试)已知R 上的可导函数f (x )的导函数f ′(x )满足：f ′(x )＋f (x )>0，且f (1)＝1，则不等式f (x )>1ex －1的解集是________．[解析] 令g (x )＝e x f (x )，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )>0，所以函数g (x )是R 上的增函数，又不等式f (x )>1e x －1等价于e x f (x )>e ＝e 1f (1)，即g (x )>g (1)，从而有x >1，所以不等式f (x )>1e x －1的解集为(1，＋∞)．[答案] (1，＋∞)4．(2018·辽宁省五校协作体联考改编)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为 y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f （x ）x >0，若a ＝12f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝－2f (－2)，c ＝⎝⎛⎭⎫ln 12·f ⎝⎛⎭⎫ln 12，则a ，b ，c 的大小关系为________．[解析] 当x ≠0时，f ′(x )＋f （x ）x >0，即xf ′（x ）＋f （x ）x >0.当x >0时，xf ′(x )＋f (x )>0. 设g (x )＝xf (x )，则g (x )为偶函数且g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )．显然当x >0时，g ′(x )>0，即此时函数g (x )单调递增．a ＝g ⎝⎛⎭⎫12，b ＝g (－2)＝g (2)，c ＝g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝g (ln 2)，又因为2>ln 2>12>0，所以a <c <b . [答案] a <c <b5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R )．设a ≥0，求f (x )的单调区间． [解] 由f (x )＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)， 得f ′(x )＝2ax 2＋bx －1x .(1)当a ＝0时，f ′(x )＝bx －1x. ①若b ≤0，当x >0时，f ′(x )<0恒成立， 所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)．②若b >0，当0<x <1b 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >1b 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞. (2)当a >0时，令f ′(x )＝0，得2ax 2＋bx －1＝0. 由Δ＝b 2＋8a >0，得x 1＝－b －b 2＋8a4a，x 2＝－b ＋b 2＋8a4a.显然x 1<0，x 2>0.当0<x <x 2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x >x 2时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.综上所述，当a ＝0，b ≤0时，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)； 当a ＝0，b >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ， 单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞；当a >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋ b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.6．已知函数f (x )＝x 2＋b sin x －2(b ∈R )，F (x )＝f (x )＋2，且对于任意实数x ，恒有F (x )－F (－x )＝0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知函数g (x )＝f (x )＋2(x ＋1)＋a ln x 在区间(0，1)上单调递减，求实数a 的取值范围． [解] (1)F (x )＝f (x )＋2＝x 2＋b sin x －2＋2＝x 2＋b sin x ， 依题意，对任意实数x ，恒有F (x )－F (－x )＝0， 即x 2＋b sin x －(－x )2－b sin(－x )＝0对∀x ∈R 恒成立， 即2b sin x ＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝x 2－2. (2)因为g (x )＝x 2－2＋2(x ＋1)＋a ln x ， 所以g (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ， g ′(x )＝2x ＋2＋ax.因为函数g (x )在(0，1)上单调递减，所以在区间(0，1)内，g ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋ax≤0恒成立，所以a ≤－(2x 2＋2x )在(0，1)上恒成立．因为y＝－(2x2＋2x)在(0，1)上单调递减，所以a≤－4为所求．。

1．(2018·河北省定州中学月考改编)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是________． [解析] 由已知得f ′(x )＝e x ＋3>0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝e －1－3<0，f (1)＝e ＋3>0，所以f (x )的零点个数是1.[答案] 12．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为________．[解析] 据题意令f (x )＝e f (2)＝e 2－4＝7.39－4>0，故函数在区间(1，2)内存在零点，即方程在相应区间内有根．[答案] (1，2)3．用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度为0.001)时，如果我们选取初始区间[1.4，1.5]，则要达到精度要求至少需要计算的次数是________．[解析] 设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n<0.001，即2n >100，由26＝64，27＝128知n ＝7.[答案] 74．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________．[解析] 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0.[答案] 05．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 （x ≥0），f （x ＋1）（x ＜0），若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为________．[解析] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1（x ≥0），f （x ＋1）（x ＜0）的图象如图所示，作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l ，观察可得函数y ＝f (x )的图象与直线l ：y ＝－x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根， 即有a ＜1.[答案] (－∞，1)6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．[解析] 当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x ，因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是0<a ≤1.[答案] (0，1]7．(2018·南通联考)f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2 016x ＋ log 2 016x ，则函数f (x )的零点个数是________．[解析] 结合函数的图象，可知函数y ＝2 016x 和函数y ＝－log 2 016x 的图象在第一象限有一个交点，所以函数f (x )有一个正的零点，根据奇函数图象的对称性，有一个负的零点，还有零，所以函数有三个零点．[答案] 38．已知f (x )＝|x |＋|x －1|，若g (x )＝f (x )－a 的零点个数不为0，则a 的最小值为________.[解析] 作出f (x )的图象，如图，g (x )＝f (x )－a ＝0，即f (x )＝a ，当a ＝1时，g (x )有无数个零点；当a >1时，g (x )有2个零点，所以a 的最小值为1.[答案] 19．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x ＞1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________．[解析] 函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x 有2个零点．[答案] 210．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(五))已知f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数，又函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |（0<x ≤e ），|－x 2＋e x ＋1|（e<x ≤4）.若f (x )＝a 在[－e ，4]上有6个零点，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由题意画出函数f (x )在[－e ，4]上的图象，如图所示．又f (x )＝a 在[－e ，4]上有6个零点，数形结合可知，实数a 的取值范围为(0，1)． [答案] (0，1)11．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. [证明] 令g (x )＝f (x )－x ，因为g (0)＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－18，所以g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，12上连续， 所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0. 12．关于x 的一元二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m 的取值范围．[解] 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0，2]， ①若f (x )＝0在区间[0，2]上有且仅有一解， 因为f (0)＝1>0， 则应有f (2)<0，又因为f (2)＝22＋(m －1)×2＋1， 所以m <－32.②若f (x )＝0在区间[0，2]上有一个或两个解，则⎩⎨⎧Δ≥0，0<－m －12<2，f （2）≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧（m －1）2－4≥0，－3<m <1，4＋（m －1）×2＋1≥0.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m ≥－32.所以－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围为(－∞，－1]．1．已知函数f (x )＝x1－|x |(x ∈(－1，1))，有下列结论：①∀x ∈(－1，1)，等式f (－x )＋f (x )＝0恒成立；②∀m ∈[0，＋∞)，方程|f (x )|＝m 有两个不等实数根；③∀x 1，x 2∈(－1，1)，若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；④存在无数个实数k ，使得函数g (x )＝f (x )－kx 在(－1，1)上有三个零点，则其中正确结论的序号为________．解析：因为f (－x )＝－f (x )，函数f (x )是奇函数，故①正确；当m ＝0时，|f (x )|＝0只有一个解，故②错误；作出函数f (x )在(－1，1)上的图象，可知f (x )在(－1，1)上是增函数，故③正确；由图象可知y ＝f (x )，y ＝kx 在(－1，1)上有三个不同的交点时，k 有无数个取值，故④正确．答案：①③④2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≤0，log 12x ，x >0.若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是________．解析：若a ＝0，当x ≤0时，f (x )＝0，故f (f (x ))＝f (0)＝0有无数解，不符合题意，故a ≠0.显然当x ≤0时，a ·2x ≠0，故f (x )＝0的根为1，从而f (f (x ))＝0有唯一根，即为f (x )＝1有唯一根，而x >0时，f (x )＝1有唯一根12，故a ·2x ＝1在(－∞，0]上无根．当a ·2x ＝1在(－∞，0]上有根时，可得a ＝12x ≥1，故由a ·2x ＝1在(－∞，0]上无根可知a <0或0<a <1.答案：(－∞，0)∪(0，1)3．(2018·镇江市高三调研考试)已知函数y ＝2x ＋12x ＋1与函数y ＝x ＋1x 的图象共有k (k ∈N *)个公共点：A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，…，A k (x k ，y k )，则∑i ＝1k(x i ＋y i )＝________．解析：函数y ＝f (x )＝2x ＋12x ＋1满足f (x )＋f (－x )＝2，则函数f (x )的图象关于点(0，1)对称，且f (x )在R 上单调递增，所以f (x )∈(0，2)．又函数y ＝x ＋1x的图象也关于点(0，1)对称，且在(0，＋∞)和(－∞，0)上单调递减，画出两函数的大致图象如图所示，所以两个函数的图象共有2个公共点，A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，且这两个交点关于点(0，1)对称，则∑i ＝12(x i ＋y i )＝x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝2.答案：24．(2018·苏州市高三调研测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x ≤0，e x －5，x ＞0.若关于x 的方程|f (x )|－ax－5＝0恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a 的取值集合为________．解析：关于x 的方程|f (x )|－ax －5＝0恰有三个不同的实数根，即函数y ＝|f (x )|与y ＝ax ＋5的图象有三个不同的交点．作出函数图象如图所示，①若a ＞0，当y ＝ax ＋5与y ＝4－x 2(x ＜0)相切时，即x 2＋ax ＋1＝0，由Δ＝a 2－4＝0，a ＞0，得a ＝2，符合题意；当y ＝ax ＋5经过(－2，0)时，a ＝52也符合题意．②若a ＜0，当y ＝ax ＋5与y ＝5－e x (x ＞0)相切时，设切点为(x 0，5－e x 0)，x 0＞0，则切线方程为y －(5－e x 0)＝－e x 0(x －x 0)，代入点(0，5)得x 0＝1，此时a ＝－e ，符合题意；当y ＝ax ＋5经过(ln 5，0)时，a ＝－5ln 5也符合题意．③当a ＝0时，两图象有两个交点，不合题意．综上，满足条件的所有实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－e ，－5ln 5，2，52.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－e ，－5ln 5，2，525．m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. (1)有且仅有一个零点； (2)有两个零点且均比－1大．解：(1)若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点，等价于Δ＝4m 2－4(3m ＋4)＝0， 即m 2－3m －4＝0，解得m ＝4或m ＝－1.(2)设两零点分别为x 1，x 2，且x 1>－1，x 2>－1，x 1≠x 2. 则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4，故只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4（3m ＋4）>0，（x 1＋1）＋（x 2＋1）>0，（x 1＋1）（x 2＋1）>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4>0，－2m ＋2>0，3m ＋4＋（－2m ）＋1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <－1或m >4，m <1，m >－5. 故m 的取值范围是{m |－5<m <－1}． 6．设函数f (x )＝|x |x ＋2－ax 2，a ∈R . (1)当a ＝2时，求函数f (x )的零点；(2)当a >0时，求证：函数f (x )在(0，＋∞)内有且仅有一个零点； (3)若函数f (x )有四个不同的零点，求a 的取值范围．解：(1)当x ≥0时，由f (x )＝0，得xx ＋2－2x 2＝0，即x (2x 2＋4x －1)＝0，解得x ＝0或x＝－2±62(舍负值)；当x <0时，由f (x )＝0，得－xx ＋2－2x 2＝0，即x (2x 2＋4x ＋1)＝0(x ≠－2)，解得x ＝－2±22.综上所述，函数f (x )的零点为0，－2＋62，－2＋22，－2－22.(2)证明：当a >0且x >0时，由f (x )＝0，得xx ＋2－ax 2＝0，即ax 2＋2ax －1＝0.记g (x )＝ax 2＋2ax －1，则函数g (x )的图象是开口向上的抛物线． 又g (0)＝－1<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内有且仅有一个零点， 即函数f (x )在区间(0，＋∞)内有且仅有一个零点． (3)易知0是函数f (x )的零点．对于x >0，由(2)知，当a >0时，函数f (x )在区间(0，＋∞)内有且仅有一个零点； 当a ≤0时，g (x )＝ax 2＋2ax －1<0恒成立，因此函数f (x )在区间(0，＋∞)内无零点． 于是，要使函数f (x )有四个不同的零点，函数f (x )在区间(－∞，0)内就要有两个不同的零点．当x <0时，由f (x )＝0，得－xx ＋2－ax 2＝0，即ax 2＋2ax ＋1＝0(x ≠－2)．①因为a ＝0不符合题意，所以①式可化为x 2＋2x ＋1a ＝0(x ≠－2)，即x 2＋2x ＝－1a .作出函数h (x )＝x 2＋2x (x <0)的图象便知－1<－1a <0，得a >1，综上所述，a 的取值范围是(1，＋∞)．。

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型.下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号).x 4 5 6 7 8 9 10 y15171921232527解析 根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型. 答案 ①2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是________(填序号).解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变，总产量增加，故①正确，③错误. 答案 ①3.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元.解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20， B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15， t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案 104.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400. 答案 205.(2015·长春模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y ＝a e －bt (cm 3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ， ∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ， 则t ＝24，所以再经过16 min. 答案 166. A ，B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出.A 从甲地自东向西行驶.B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 kmh ，B 的速度是 16 kmh ，经过________小时，AB 间的距离最短.解析 设经过x h ，A ，B 相距为y km ，则y ＝（145－40x ）2＋（16x ）2(0≤x ≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258. 答案 2587.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________.解析设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝100＋0.5x＋x（x＋1）x＝x＋100x＋1.5，由基本不等式得y＝x＋100x＋1.5≥2x·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号.答案108.(2015·北京卷改编)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是________(填序号).①消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米；②以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多；③甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油；④某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.解析根据图象所给数据，逐个验证选项.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故①错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故②错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故③错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故④对.答案④二、解答题9.(2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型. (1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5). 将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a 25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎨⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)， 则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1 000t 2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000x 3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t 3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t 4，t ∈[5，20].②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t 5.令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数.从而，当t＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15 3.答：当t＝102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米.10.(2015·南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解(1)每吨平均成本为yx(万元).则yx＝x5＋8 000x－48≥2x5·8 000x－48＝32，当且仅当x5＝8 000x，即x＝200时取等号.∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元.(2)设年获得总利润为R(x)万元.则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8 000＝－x25＋88x－8 000＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210).∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为________元.解析 设在进价基础上增加x 元后，日均销售利润为y 元， 日均销售量为480－40(x －1)＝520－40x (桶)，则y ＝(520－40x )x －200＝－40x 2＋520x －200，0＜x ＜13.当x ＝6.5时，y 有最大值.所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润. 答案 11.512.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为________.解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20.得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 答案 x ＝15，y ＝1213.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件.当x ≤ 20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资).解析 当0＜x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎨⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *).当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润.答案 y ＝⎩⎨⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *) 1614.(2016·淮安调研) 在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元.(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 解 设该店月利润余额为L 元，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50 （14≤P ≤20），－32P ＋40 （20＜P ≤26），代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2P ＋50）（P －14）×100－5 600 （14≤P ≤20），⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40（P －14）×100－5 600（20＜P ≤26）， (1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20＜P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元. 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元. (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫.。

1.在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式x ·f ′(x )<0的解集为________．[解析] 由f (x )的图象知，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0，所以x ·f ′(x )<0的解集是(－∞，－1)∪(0，1)． [答案] (－∞，－1)∪(0，1)2．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件．[解析] 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大． [答案] 33．若f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫π2，f (2)的大小关系为________． [解析] 由f (－x )＝f (x )知函数f (x )为偶函数， 因此f (－3)＝f (3)．又f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (2)＞f (3)＝f (－3)． [答案] f (－3)＜f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫π24．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． [解析] 由于函数f (x )是连续的，故只需要两个极值异号即可．f ′(x )＝3x 2－3，令3x 2－3＝0，得x ＝±1，只需f (－1)·f (1)<0，即(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2，2)．[答案] (－2，2)5．若f (x )＝ln xx ，0<a <b <e ，则f (a )、f (b )的大小关系为________．[解析] f ′(x )＝1－ln xx 2， 当x ∈(0，e)时，1－ln xx 2>0，即f ′(x )>0，所以f (x )在(0，e)上为增函数， 又因为0<a <b <e ，所以f (a )<f (b )． [答案] f (a )<f (b )6．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时，t 的值为________．[解析] |MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，显然x ＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22. [答案]227．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．[解析] 因为y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0. 所以y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2. 所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. [答案] 48．(2018·北京海淀区模拟)若函数f (x )满足：“对于区间(1，2)上的任意实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)|＜|x 2－x 1|恒成立”，则称f (x )为完美函数．给出以下四个函数：①f (x )＝1x ；②f (x )＝|x |；③f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ；④f (x )＝x 2.其中是完美函数的序号是________．[解析] 由|f (x 2)－f (x 1)|＜|x 2－x 1|知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜1，即|f ′(x )|＜1. 经验证①③符合题意． [答案] ①③9．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．[解析] 在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又函数f (x )是R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝0.当x >0时，f (x )<0，所以0<x <1；当x <0时，图象关于y 轴对称，f (x )>0，所以x <－1.[答案] (－∞，－1)∪(0，1)10．若log 0.5x ＋1x －1>log 0.5m（x －1）2（7－x ）对任意x ∈[2，4]恒成立，则m 的取值范围为________．[解析] 以0.5为底的对数函数为减函数，所以得真数关系为x ＋1x －1<m（x －1）2（7－x ），所以m >－x 3＋7x 2＋x －7，令f (x )＝－x 3＋7x 2＋x －7，则f ′(x )＝－3x 2＋14x ＋1，因为f ′(2)>0且f ′(4)>0，所以f ′(x )>0在[2，4]上恒成立，即在[2，4]上函数f (x )为增函数，所以f (x )的最大值为f (4)＝45，因此m >45.[答案] (45，＋∞)11．(2018·泰州期中考试)已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x >1时，f (x )<x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0>1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )>k (x －1)． [解] (1)函数的定义域为(0，＋∞)，对函数求导，得f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x .由f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x 2＋x ＋1x >0，解得0<x <1＋52，故f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52.(2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(1，＋∞)， 则有F ′(x )＝1－x 2x，当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递减． 故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即x >1时，f (x )<x －1. (3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0>1满足题意； 当k >1时，对于x >1，有f (x )<x －1<k (x －1)， 则f (x )<k (x －1)，从而不存在x 0>1满足题意； 当k <1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(1，＋∞)， 则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋（1－k ）x ＋1x ，由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0.解得x 1＝1－k －（1－k ）2＋42<0，x 2＝1－k ＋（1－k ）2＋42>1，所以当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )>0，故G (x )在(1，x 2)内单调递增， 从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )>G (1)＝0，即f (x )>k (x －1)， 综上，k 的取值范围是k <1.12．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二))如图，两居民小区A 和B 相距20 km ，现计划在两居民小区外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建信号发射塔，其对小区的影响度与所选地点到小区的距离有关，对小区A 和小区B 的总影响度为小区A 与小区B 的影响度之和，记点C 到小区A 的距离为x km ，建在C 处的信号发射塔对小区A 和小区B 的总影响度为y ，统计调查表明：信号发射塔对小区A 的影响度与所选地点到小区A 的距离的平方成反比，比例系数为k ；对小区B 的影响度与所选地点到小区B 的距离的平方成反比，比例系数为9.当信号发射塔建在半圆弧AB 的中点时，对小区A 和小区B 的总影响度为0.065.(1)将y 表示成x 的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断半圆弧AB 上是否存在一点，使建在此处的信号发射塔对小区A 和小区B 的总影响度最小？若存在，求出该点到小区A 的距离；若不存在，请说明理由．[解] (1)由题意知AC ⊥BC ，BC 2＝400－x 2， y ＝k x 2＋9400－x 2(0<x <20)， 其中当x ＝102时，y ＝0.065，所以k ＝4. 所以y ＝4x 2＋9400－x 2(0<x <20)．(2)因为y ＝4x 2＋9400－x 2(0<x <20)，所以y ′＝－8x 3－9×（－2x ）（400－x 2）2＝18x 4－8（400－x 2）2x 3（400－x 2）2，令y ′＝0得18x 4＝8(400－x 2)2， 所以x 2＝160，即x ＝410，当0<x <410时，18x 4<8(400－x 2)2，即y ′<0， 所以函数y ＝4x 2＋9400－x 2为单调递减函数，当410<x <20时，18x 4>8(400－x 2)2，即y ′>0，所以函数y ＝4x 2＋9400－x 2为单调递增函数．所以当x ＝410时，即当点C 到小区A 的距离为410 km 时，函数y ＝4x 2＋9400－x 2(0<x <20)有最小值，即信号发射塔对小区A 和小区B 的总影响度最小．1．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．[解析] 设商场销售该商品所获利润为y 元，则 y ＝(p －20)Q ＝(p －20)(8 300－170p －p 2) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)， 则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0， 解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30时又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值． 所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元． [答案] 30 23 0002．(2018·南京、盐城高三模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba的最小值为________．解析：由不等式f (x )≤0恒成立可得f (x )max ≤0.f ′(x )＝1x ＋e －a ，x ＞0，当e －a ≥0，即a ≤e 时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且x 趋近于＋∞，f (x )趋近于＋∞，此时f (x )≤0不可能恒成立；当e －a ＜0，即a ＞e 时，由f ′(x )＝0得x ＝1a －e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a －e 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a －e ，＋∞时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，此时f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a －e ＝－ln(a －e)－1－b ≤0，则b ≥－ln(a －e)－1，又a ＞e ，所以b a ≥－ln （a －e ）－1a，a ＞e ，令a －e ＝t ＞0，则b a ≥－ln t －1t ＋e ，t ＞0.令g (t )＝－ln t －1t ＋e ，t ＞0，则g ′(t )＝ln t －e t （t ＋e ）2，由g ′(t )＝0得t ＝e ，且当t ∈(0，e)时，g ′(t )＜0，g (t )单调递减，当t ∈(e ，＋∞)时，g ′(t )＞0，g (t )单调递增，所以g (t )min ＝g (e)＝－1e ，即b a ≥－ln t －1t ＋e≥－1e ，故b a 的最小值为－1e .答案：－1e3．(2018·南京、盐城模拟)已知函数f (x )满足：①f (x )＝2f (x ＋2)，x ∈R ；②f (x )＝ln x ＋ax ，x ∈(0，2)；③f (x )在(－4，－2)内能取到最大值－4.(1)求实数a 的值；(2)设函数g (x )＝13bx 3－bx ，若对任意的x 1∈(1，2)总存在x 2∈(1，2)使得f (x 1)＝g (x 2)，求实数b 的取值范围．[解] (1)当x ∈(－4，－2)时，有x ＋4∈(0，2)， 由条件②得f (x ＋4)＝ln(x ＋4)＋a (x ＋4)，再由条件①得f (x )＝2f (x ＋2)＝4f (x ＋4)＝4ln(x ＋4)＋4a (x ＋4)． 故f ′(x )＝4x ＋4＋4a ，x ∈(－4，－2)．由③，f (x )在(－4，－2)内有最大值，方程f ′(x )＝0，即4x ＋4＋4a ＝0在(－4，－2)内必有解，故a ≠0，且解为x ＝－1a－4.又最大值为－4，所以f (x )max ＝f (－1a －4)＝4ln(－1a )＋4a ·(－1a )＝－4，即ln(－1a )＝0，所以a ＝－1.(2)设f (x )在(1，2)内的值域为A ，g (x )在(1，2)内的值域为B ， 由条件可知A ⊆B .由(1)知，当x ∈(1，2)时，f (x )＝ln x －x ，f ′(x )＝1x －1＝1－x x <0，故f (x )在(1，2)内为减函数，所以A ＝(f (2)，f (1))＝(ln 2－2，－1)． 对g (x )求导得g ′(x )＝bx 2－b ＝b (x －1)(x ＋1)．若b <0，则当x ∈(1，2)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数， 所以B ＝(g (2)，g (1))＝(23b ，－23b )．由A ⊆B ，得23b ≤ln 2－2且－23b ≥－1，故必有b ≤32ln 2－3.若b >0，则当x ∈(1，2)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，所以B ＝(g (1)，g (2))＝(－23b ，23b )．由A ⊆B ，得－23b ≤ln 2－2且23b ≥－1，故必有b ≥3－32ln 2.若b ＝0，则B ＝{0}，此时A ⊆B 不成立．综上可知，b 的取值范围是(－∞，32ln 2－3]∪[3－32ln 2，＋∞)．4．(2018·江苏省扬州中学月考)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝m （x ＋n ）x ＋1(m >0)．(1)当m ＝1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝1处的切线互相垂直，求n 的值； (2)若函数y ＝f (x )－g (x )在定义域内不单调，求m －n 的取值范围；(3)是否存在实数a ，使得f ⎝⎛⎭⎫2a x ·f (e ax )＋f ⎝⎛⎭⎫x 2a ≤0对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由．[解] (1)当m ＝1时，g ′(x )＝1－n （x ＋1）2，所以y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为1－n4， 由f ′(x )＝1x ，所以y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为1，所以1－n 4·1＝－1，所以n ＝5.(2)易知函数y ＝f (x )－g (x )的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝f ′(x )－g ′(x )＝1x －m （1－n ）（x ＋1）2＝x 2＋[2－m （1－n ）]x ＋1x （x ＋1）2＝x ＋2－m （1－n ）＋1x （x ＋1）2， 由题意，得x ＋2－m (1－n )＋1x 的最小值为负，所以m (1－n )>4(注：结合函数y ＝x 2＋[2－m (1－n )]x ＋1图象同样可以得到)，所以[m ＋（1－n ）]24≥m (1－n )>4，所以m ＋(1－n )>4，所以m －n >3.(3)令θ(x )＝f ⎝⎛⎭⎫2a x ·f (e ax )＋f ⎝⎛⎭⎫x 2a ＝ax ·ln 2a －ax ·ln x ＋ln x －ln 2a ，其中x >0，a >0， 则θ′(x )＝a ·ln 2a －a ln x －a ＋1x ，设δ(x )＝a ·ln 2a －a ln x －a ＋1x，δ′(x )＝－a x －1x 2＝－ax ＋1x 2<0，所以δ(x )在(0，＋∞)单调递减，δ(x )＝0在区间(0，＋∞)必存在实根，不妨设δ(x 0)＝0， 即δ(x 0)＝a ·ln 2a －a ln x 0－a ＋1x 0＝0，可得ln x 0＝1ax 0＋ln 2a －1，(*)θ(x )在区间(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减，所以θ(x )max ＝θ(x 0)， θ(x 0)＝(ax 0－1)·ln 2a －(ax 0－1)·ln x 0，将(*)式代入得θ(x 0)＝ax 0＋1ax 0－2，根据题意θ(x 0)＝ax 0＋1ax 0－2≤0恒成立．又根据基本不等式，ax 0＋1ax 0≥2，当且仅当ax 0＝1ax 0时，等式成立，所以ax 0＋1ax 0＝2，ax 0＝1所以x 0＝1a .代入(*)式得，ln 1a ＝ln 2a ，即1a ＝2a ，a ＝.。

1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为________． [解析] f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)． [答案] 3(x 2－a 2)2．(2018·南通市高三第一次调研测试)已知两曲线f (x )＝2sin x ，g (x )＝a cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2相交于点P .若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．解析：设点P 的横坐标为x 0，则2sin x 0＝a cos x 0，(2cos x 0)(－a sin x 0)＝－1，所以4sin 2x 0＝1.因为x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin x 0＝12，cos x 0＝32，所以a ＝233.答案：2333．已知f (x )＝x (2 015＋ln x )，f ′(x 0)＝2 016，则x 0＝________．[解析] 由题意可知f ′(x )＝2 015＋ln x ＋x ·1x ＝2 016＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 016，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.[答案] 14.已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y＝f (x )在点P 处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2，0)，所以切线方程为x －y －2＝0. 答案：x －y －2＝05．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________． 解析：因为f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. 所以f ′(x )＝2x －4.所以f ′(0)＝－4. 答案：－46．若以曲线y ＝13x 3＋bx 2＋4x ＋c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b 的取值范围为________．解析：y ′＝x 2＋2bx ＋4，因为y ′≥0恒成立，所以Δ＝4b 2－16≤0，所以－2≤b ≤2. 答案：[－2，2]7．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝________．解析：因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f ′(x )＝－sin x －cos x ， 故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.答案：－ 28．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2，8)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意知，A (2，8)在y ＝x n 上，所以2n ＝8，所以n ＝3，所以y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2，8)．所以y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.答案：12x －y －16＝09．(2018·江苏省四星级学校联考)已知函数f (x )＝e x ＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)的导函数f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )在(x 0，f (x 0))处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则x 0＝________．解析：由题意知f ′(x )＝e x －a ·e －x ，因为f ′(x )为奇函数，所以f ′(0)＝1－a ＝0，所以a ＝1，故f ′(x )＝e x －e －x .因为曲线y ＝f (x )在(x 0，f (x 0))处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，所以f ′(x 0)＝e x 0－e －x 0＝22，解得e x 0＝2，所以x 0＝ln 2＝ln 22. 答案：ln 2210．求下列函数的导数． (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；(2)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (3)y ＝3x e x －2x ＋e.解：(1)因为y ＝6x 3－4x 2＋9x －6，所以y ′＝18x 2－8x ＋9. (2)因为y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12－x 12，所以y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2x ln 2.11．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．解：(1)由f (x )＝x 3－3x ，得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，所以所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20－3.又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－（－2）x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，又x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)，解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3×⎝⎛⎭⎫14－1＝－94， 所以y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.1．已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________．解析：f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x [(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′， 所以f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120. 答案：－1202．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝1x，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2. 答案：－23．设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．解析：因为y ′＝12x －12 (x ＋1)＋x ＝3x 2＋12x ≥234＝3，设点P (x ，y )(x >0)， 则在点P 处的切线的斜率k ≥3， 所以tan θ≥3，又θ∈[0，π)，故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2.答案：⎣⎡⎭⎫π3，π24．记定义在R 上的函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )．如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (b )－f (a )＝f ′(x 0)(b －a )成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“中值点”，那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2，2]上“中值点”的个数为________．解析：f (2)＝2，f (－2)＝－2，f （2）－f （－2）2－（－2）＝1，由f ′(x )＝3x 2－3＝1，得x ＝±233∈[－2，2]，故有2个．答案：25．(2018·临沂模拟)已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，f ′(－1)＝0， 即3a －6－6a ＝0， 所以a ＝－2.(2)存在．因为直线m 恒过定点(0，9)，直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)，因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将点(0，9)代入，得x 0＝±1，当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9.由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1或x＝2，当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9.所以公切线是y＝9.又令f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，所以x＝0或x＝1.当x＝0时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以公切线不是y＝12x＋9.综上所述，公切线是y＝9，此时k＝0.。

课时作业(四)1. B [解析] 由题意,得-x 2+2x+3≥0,解得-1≤x ≤3,所以函数f (x )的定义域为[-1,3],故选B .2. B [解析] f (1e 2)=ln 1e 2+3=ln e -2+3=-2+3=1,f (-1)=2-1=12,所以f (1e 2)+f (-1)=32.故选B . 3. A [解析] f (2x+3)=12(2x+3)+72,所以f (x )=12x+72.由f (t )=6,得12t+72=6,解得t=5.故选A . 4. 2 [解析] f (3)=f (2)=f (1)=21=2,所以f [f (3)]=f (2)=f (1)=21=2.5. -4 [解析] 由f (a )=a+1a -1=2,得a+1a =3,所以f (-a )=-a-1a -1=-(a +1a)-1=-3-1=-4.6. B [解析] 设g (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),因为g (1)=1,g (-1)=5,且图像过原点,所以{a +b +c =1,a -b +c =5,c =0,解得{a =3,b =-2,c =0,所以g (x )=3x 2-2x. 7. A [解析] 令x=1,得2f (1)-f (-1)=4①,令x=-1,得2f (-1)-f (1)=-2②,联立①②得f (1)=2.8. A [解析] f (23)=83+a.若83+a<1,即a<-53,则f [f (23)]=4(83+a)+a=4,解得a=-43>-53,不合题意;若83+a ≥1,即a ≥-53,则f [f (23)]=283+a =4,得83+a=2,所以a=-23,符合题意.故选A . 9. -13[解析] 令t=1-x1+x(t ≠-1),则x=1-t 1+t ,所以f (t )=1-t 1+t ,即f (x )=1-x 1+x ,所以f (2)=1-21+2=-13.10. [-1,2] [解析] 因为y=f (x 2-1)的定义域为[-√3,√3],所以x 2-1∈[-1,2],所以y=f (x )的定义域为[-1,2]. 11. 解:(1)由已知,g (2)=1,f (2)=3,因此f [g (2)]=f (1)=0,g [f (2)]=g (3)=2. (2)当x ≥0时,g (x )=x-1,故f [g (x )]=(x-1)2-1=x 2-2x ; 当x<0时,g (x )=2-x ,故f [g (x )]=(2-x )2-1=x 2-4x+3. 所以f [g (x )]={x 2-2x,x ≥0,x 2-4x +3,x <0.当x ≥1或x ≤-1时,f (x )≥0,故g [f (x )]=(x 2-1)-1=x 2-2; 当-1<x<1时,f (x )<0,故g [f (x )]=2-(x 2-1)=3-x 2. 所以g [f (x )]={x 2-2,x ≥1或x ≤-1,3-x 2,-1<x <1.12. 解:(1)令t=log 2x ,则x=2t ,所以g (t )=2t +1, 所以f (x )=log 2(2x +1)+(k-1)x ,因为函数f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x ), 所以log 2(2x +1)+(k-1)x=log 2(2-x +1)-(k-1)x , 即log 22x +12-x +1=-2(k-1)x ,即log 22x =-2(k-1)x ,所以x=-2(k-1)x 对一切x ∈R 恒成立,所以2(k-1)=-1,得k=12. (2)当k=1时,f (x )=log 2[ax 2+(a+1)x+a ], 当a=0时,f (x )=log 2x ,则f (x )的值域为R . 当a ≠0时,要使函数的值域为R ,则{a >0,Δ≥0,即{a >0,(a +1)2-4a 2≥0,解得0<a ≤1.所以a 的取值范围是[0,1].13. (-∞,-12)∪(12,+∞) [解析] 易知a=0不合题意.当a>0时,必有ax 2+x+a>0在R 上恒成立,即1-4a 2<0,解得a>12; 当a<0时,必有ax 2+x+a<0在R 上恒成立,即1-4a 2<0,解得a<-12. 所以实数a 的取值范围是(-∞,-12)∪(12,+∞).14. [log 373,1] [解析] 因为t ∈(0,1],所以f (t )=3t ∈(1,3],所以f [f (t )]=92-32·3t . 因为f [f (t )]∈[0,1],所以0≤92-32·3t ≤1, 解得log 373≤t ≤1,又t ∈(0,1], 所以实数t 的取值范围为[log 373,1].课时作业(五)1. B [解析] 选项A 中,函数在(1,+∞)上为减函数;选项C 中,函数在(1,+∞)上为减函数;选项D 中,函数在(1,+∞)上为减函数.故选B .2. C [解析] 要使y=log 2(ax-1)在(1,2)上单调递增,则a>0且a-1≥0,即a ≥1.3. A [解析] f (x )=|x-2|x={x 2-2x,x ≥2,-x 2+2x,x <2,结合图像可知函数f (x )的单调递减区间是[1,2].4. (-∞,2) [解析] 当x ≥1时,f (x )=lo g 12x 是单调递减的,此时,函数的值域为(-∞,0];当x<1时,f (x )=2x 是单调递增的,此时,函数的值域为(0,2).综上,f (x )的值域是(-∞,2).5. 4 [解析] 由于y=(15)x 在[-1,1]上单调递减,y=log 5(x+6)在[-1,1]上单调递增,所以f (x )在[-1,1]上单调递减,故f (x )在[-1,1]上的最大值为f (-1)=4.6. B [解析] 由y=ax 在(0,+∞)上是减函数,知a<0;由y=-b x在(0,+∞)上是减函数,知b<0.所以抛物线y=ax 2+bx 的对称轴的方程为x=-b2a <0,又因为抛物线y=ax 2+bx 的开口向下,所以y=ax 2+bx 在(0,+∞)上是减函数.故选B .7. B [解析] 由已知可得{a >1,4-a 2>0,a ≥(4-a2)+2,解得4≤a<8.故选B .8. D [解析] 当a=0时,f (x )=-12x+5在(-∞,3)上是减函数;当a ≠0时,有{a >0,-4(a -3)4a≥3,得0<a ≤34.综上,a 的取值范围是0≤a ≤34.9. D [解析] 因为函数f (x )在区间(-2,+∞)上是增函数,所以{1-2a 2<0,-2+2a ≥0,即{2a 2-1>0,a ≥1,得a ≥1.因此g (x )=(a+1)x 在R 上是增函数.由g (1x )<g (x ),得1x <x ,解得x>1或-1<x<0.所以实数x 的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).10. C [解析] 根据新运算“”的定义,得f (x )={x -2,-2≤x ≤1,x 3-2,1<x ≤2,又y=x-2,y=x 3-2在其定义域内均为增函数,当-2≤x ≤1时,f (x )≤f (1)=1-2=-1,当1<x ≤2时,f (x )≤f (2)=23-2=6.因此函数f (x )的最大值为6.故选C .11. -2 [解析] 因为f (x )=x 2-2x+m=(x-1)2+m-1在[3,+∞)上为增函数,且f (x )在[3,+∞)上的最小值为1,所以f (3)=1,即22+m-1=1,故m=-2. 12. (-9,0)∪(0,3) [解析] f (x )={3x 2-2ax +a 2,x ≥a,x 2+2ax -a 2,x <a.当a>0时,-a>-3,所以0<a<3;当a=0时,f (x )={3x 2,x ≥0,x 2,x <0,f (x )在[-3,0]上显然单调;当a<0时,a 3>-3,所以-9<a<0.综上,-9<a<0或0<a<3. 13. 解:(1)证明:任设x 1<x 2<-2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2).因为(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0,所以f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在(-∞,-2)上单调递增. (2)任设1<x 3<x 4,则f (x 3)-f (x 4)=x 3x 3-a -x 4x 4-a =a(x 4-x 3)(x 3-a)(x 4-a),因为a>0,x 4-x 3>0,所以要使f (x 3)-f (x 4)>0, 只需(x 3-a )(x 4-a )>0在(1,+∞)上恒成立,所以a ≤1. 综上所述,实数a 的取值范围是(0,1]. 14. 解:(1)证明:设x 1,x 2∈[-1,1],且x 1<x 2, 在f(a)+f(b)a+b>0 中,令a=x 1,b=-x 2,有f(x 1)+f(-x 2)x 1-x 2>0.因为f (x )是奇函数,所以f (-x 2)=-f (x 2), 所以f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0,因为x 1<x 2,所以x 1-x 2<0,所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),故f (x )在[-1,1]上为增函数. (2)因为f (x )在[-1,1]上为增函数,所以{-1≤x +12≤1,-1≤1x -1≤1,x +12<1x -1,由此解得{x|-32≤x <-1}.15. B [解析] 由条件③,令x=0,可得f (1)=1.由条件②,令x=1,可得f (13)=12f (1)=12.令x=13,可得f (19)=12f (13)=14.由条件③结合f (13)=12,可知f (23)=12.令x=23,可得f (29)=12f (23)=14.因为19<18<29,且函数f (x )在[0,1]上为非减函数,所以f (18)=14,所以f (13)+f (18)=34.16. (-∞,-2) [解析] 二次函数y=x 2-4x+3的图像的对称轴是直线x=2,所以该函数在(-∞,0]上单调递减,所以当x ≤0时,x 2-4x+3≥3.同理可知,函数y=-x 2-2x+3在(0,+∞)上单调递减,所以当x>0时,-x 2-2x+3<3,所以f (x )在R 上单调递减.由f (x+a )>f (2a-x ),得x+a<2a-x ,即2x<a ,所以2x<a 在[a ,a+1]上恒成立,所以2(a+1)<a ,所以a<-2,所以实数a 的取值范围是(-∞,-2).课时作业(六)1. C [解析] f (-x )=(-x )3-cos (-x )=-x 3-cos x ,所以f (-x )≠-f (x ),f (-x )≠f (x ),所以f (x )既不是奇函数,也不是偶函数.故选C .2. D [解析] f (-14)+f (-2)+f (-3)=-f (14)+f (1)+f (0)=-log 214+log 21+0=2.故选D .3. C [解析] 函数y=tan x 在区间(-1,1)上单调递增;y=x -1在x=0处无意义;对于选项C ,y=ln 2-x2+x的定义域为(-2,2),且为奇函数,令g (x )=2-x2+x,则g (x )=-1+4x+2在区间(-2,2)上单调递减,所以函数y=ln 2-x2+x 在区间(-1,1)上单调递减,符合题意;对于选项D ,y=13(3x -3-x )是奇函数,在定义域内单调递增.故选C .4. D [解析] 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (-1)=-f (1)=-(21-1)=-1,所以f [f (-1)]=f (-1)=-1.5. 32[解析] 依题意得b-1=0,解得b=1,又3a=-(a-2),所以a=12,所以a+b=32.6. B [解析] 由f (x )-x 2=g (x ),得f (x )=g (x )+x 2,当g (x )=cos x 时,f (x )=cos x+x 2,f (-x )=cos (-x )+(-x )2=f (x ),且定义域为R ,故f (x )为偶函数,故选B .7. B [解析] 当y=f (x )的图像关于原点对称时,y=f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ),所以|f (-x )|=|f (x )|,所以y=|f (x )|是偶函数;反过来,当y=|f (x )|是偶函数时,不能推出y=f (x )的图像关于原点对称,如y=|cos x|,则y=cos x 是偶函数,图像不关于原点对称.故选B . 8. A [解析] 因为f (x )=a 2-32x +1是R 上的奇函数,所以f (0)=0,即a 2-320+1=0,解得a=3,所以f (a )=32-323+1=76.故选A .9. B [解析] 由已知可知函数f (x )是周期为2的周期函数,当x ∈(0,1)时,有x+2∈(2,3),故f (x )=f (x+2)=x+2.同理,当x ∈[-2,-1]时,有f (x )=f (x+4)=x+4.又f (x )是偶函数,当x ∈(-1,0)时,有-x ∈(0,1),所以f (x )=f (-x )=2-x.故当x ∈(-2,0)时,f (x )=3-|x+1|.故选B .10. B [解析] 由于函数f (x )是奇函数,因此原不等式可化为f (x )(2x -1)<0,即{f(x)<0,2x -1>0或{f(x)>0,2x -1<0.因为f (1)=0,所以{f(x)<f(1),x >0或{f(x)>f(-1),x <0,故x<-1或x>1.故选B .11. D [解析] 易知f (x )是R 上的增函数且为奇函数,因为当0≤θ≤π2时,f (m sin θ)+f (1-m )>0恒成立,即f (m sin θ)>-f (1-m )=f (m-1)恒成立,所以当0≤θ≤π2时,m sin θ>m -1恒成立.当sin θ=1时,m ∈R ;当0≤sin θ<1时,m<11-sinθ,因为0≤sin θ<1,所以11-sinθ的最小值为1,故m 的取值范围是m<1.故选D .12.516[解析] 由题易知f (294)+f (416)=f (-34)+f (-76)=-f (34)-f (76)=-316+12=516.13. 1 [解析] 因为f (x )为偶函数,所以f (-x )-f (x )=0恒成立,所以-x lg (√a +x 2+x )-x lg (√a +x 2-x )=0恒成立,所以x lg a=0恒成立,所以lg a=0,故a=1. 14. 43[解析] f (x )=x 2+x+1x 2+1=1+xx 2+1,令g (x )=xx 2+1,则g (x )是奇函数,故f (-a )=1+g (-a )=1-g (a )=2-[1+g (a )]=2-f (a )=2-23=43. 15. A [解析] f (x )=2x1+|x|(x ∈R )是奇函数且在R 上单调递增,所以f (x )在区间[a ,b ]上的值域是N=[2a 1+|a|,2b1+|b|].令M=N ,则有{f(a)=a,f(b)=b,得{2a1+|a|=a,2b 1+|b|=b,知a ,b 是方程2x 1+|x|=x 的两根,得{a =0,b =1或{a =-1,b =0或{a =-1,b =1.故选A . 16. (-∞,15]∪[1,+∞) [解析] 当a ≥13时,3a-1≥0,a ≥0,f (x )在[0,+∞)上为增函数,由f (3a-1)≥8f (a )得(3a-1)3≥(2a )3,得a ≥1;当0≤a<13时,3a-1<0,a ≥0,因为f (x )为R 上的偶函数,所以由f (3a-1)≥8f (a ),得(1-3a )3≥(2a )3,解得0≤a ≤15;当a<0时,3a-1<0,由-(3a-1)3≥-(2a )3,解得a<1,但a<0,所以a<0.综上知,实数a 的取值范围为(-∞,15]∪[1,+∞).加练一课(一) 函数性质的综合应用1. A [解析] 因为f (x )为R 上的奇函数,所以f (0)=0,即f (0)=20+m=0,解得m=-1,则f (-2)=-f (2)=-(22-1)=-3.故选A .2. A [解析] 函数f (x )=e x -e -x3满足f (-x )=-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,且f (x )为增函数.验证可知y=ln (x+√1+x 2)是奇函数,且为增函数,y=x 2是偶函数,y=tan x 在R 上不单调,y=e x 是非奇非偶函数,故选A .3. C [解析] 当x<0时,-x>0,f (-x )=(-x )3+ln (1-x ),因为f (x )是R 上的奇函数,所以f (x )=-f (-x )=-[(-x )3+ln (1-x )],所以当x<0时,f (x )=x 3-ln (1-x ).故选C .4. B [解析] 由题设知f (x )=-f (x-2)=f (2-x ).因为函数f (x )是奇函数,所以f (x )的图像关于坐标原点对称,由于函数f (x )在[0,1]上是增函数,故f (x )在[-1,0)上也是增函数,所以函数f (x )在[-1,1]上是增函数.又f (32)=f (2-32)=f (12),所以f (-14)<f (14)<f (12)=f (32).故选B .5. C [解析] 因为f (x )是奇函数,所以y=|f (x )|是偶函数,于是y=|f (x )|和g (x )都是偶函数,它们的图像都关于y 轴对称,所以y=|f (x-1)|和y=g (x-1)的图像都关于直线x=1对称,即h (x )=|f (x-1)|+g (x-1)的图像关于直线x=1对称.故选C .6. B [解析] 因为f (x )是R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,所以f (x )在(0,+∞)上是增函数,所以f (log 2x )>2=f (1),即f (|log 2x|)>f (1),所以log 2x>1或log 2x<-1,解得x>2或0<x<12.故选B .7. A [解析] 当a=0时,f (x )=lg 1=0,定义域为R ,g (x )=ln (x 2-x-1),值域为R ,符合题意.当a ≠0时,依题意,有{a >0,a 2-4a(1-a)<0,且(a-1)2-4(a 2-1)≥0,解得0<a<45.故选A . 8. D [解析] 由已知,得f (x )是周期为2的函数,由f (x+1)是奇函数,得f (-x+1)=-f (x+1),即f (x )=-f (2-x ),故f (-32)=f (12)=-f (32)=-f (-12).当-1≤x ≤0时,f (x )=-2x (x+1),所以f (-12)=-2×(-12)×(-12+1)=12,所以f (-32)=-12.故选D .9. B [解析] 因为f (x )是偶函数,f (2x )=f (x+1x+4),所以f (|2x|)=f (|x+1x+4|).又因为f (x )在(0,+∞)上为单调函数,所以|2x|=|x+1x+4|,即2x=x+1x+4或2x=-x+1x+4,整理得2x 2+7x-1=0或2x 2+9x+1=0.设方程2x 2+7x-1=0的两根为x 1,x 2,方程2x 2+9x+1=0的两根为x 3,x 4,则(x 1+x 2)+(x 3+x 4)=-72+(-92)=-8. 10. B [解析] f (x )是以6为周期的周期函数,f (1)=1,f (2)=2,f (3)=f (-6+3)=f (-3)=-(-3+2)2=-1,f (4)=f (-6+4)=f (-2)=-(-2+2)2=0,f (5)=f (-6+5)=f (-1)=-1,f (6)=f (0)=0,所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)=1,所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2012)=335[f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)]+f (2011)+f (2012)=335×1+f (1)+f (2)=335+1+2=338.故选B .11. 4 [解析] 令t=√x ,则t ≥0,所以y=4t-t 2=-(t-2)2+4,所以当t=2,即x=4时,函数取得最大值4. 12. [√10,+∞) [解析] 令t=lg x ,则y=t2-t=(t -12)2-14的单调递增区间为[12,+∞),由lg x ≥12,得lg x ≥lg √10,所以函数的单调递增区间为[√10,+∞).13. (-3,-1)∪(3,+∞) [解析] 由已知可得{a 2-a >0,a +3>0,a 2-a >a +3,解得-3<a<-1或a>3.所以实数a 的取值范围为(-3,-1)∪(3,+∞).14. 7 [解析] 由f (12+x)+f (12-x)=2,得f (18)+f (78)=2,f (28)+f (68)=2,f (38)+f (58)=2,又f (48)=12[f (48)+f (48)]=12×2=1,所以f (18)+f (28)+…+f (78)=7.15. 14[解析] 函数g (x )在[0,+∞)上为增函数,则1-4m>0,即m<14.若a>1,则函数f (x )在[-1,2]上的最小值为1a=m ,最大值为a 2=4,解得a=2,12=m ,与m<14矛盾;当0<a<1时,函数f (x )在[-1,2]上的最小值为a 2=m ,最大值为a -1=4,解得a=14,m=116.所以a=14.16. [94,+∞) [解析] 易知f (x )是[0,1]上的增函数,其最大值f (x )max =12.若x ∈[1,2],则当a ≤32时,g (x )max =g (2)=8-4a ,当a>32时,g (x )max =g (1)=5-2a.若对于任意x 1∈[0,1],存在x 2∈[1,2],使f (x 1)≥g (x 2),则g (x )max ≤f (x )max ,所以,当a ≤32时,有8-4a ≤12,得a ≥158,不满足a ≤32,舍去;当a>32时,有5-2a ≤12,得a ≥94.所以实数a 的取值范围是[94,+∞).课时作业(七)1. B [解析] 由题意知函数f (x )图像的对称轴方程为x=m 4=-2,所以m=-8,所以f (1)=2+8+3=13,故选B . 2. B [解析] 因为f (x )=(m 2-m-1)x m 是幂函数,所以m 2-m-1=1,解得m=-1或m=2.又f (x )在(0,+∞)上是增函数,所以m=2.故选B .3. C [解析] 因为f (x )图像的对称轴为直线x=-12,f (0)=a>0,所以f (x )的大致图像如图所示.由f (m )<0,得-1<m<0,所以m+1>0,所以f (m+1)>f (0)>0.4. 12[解析] 设f (x )=x α(α∈R ),因为f (12)=(12)α=√22,所以α=12,所以f (2)=√2,所以log 2f (2)=12.5. 10 [解析] x 1+x 2=-ba,所以f (x 1+x 2)=f (-b a)=a (-b a)2+b (-b a)+10=10.6. A [解析] 因为f (0)=f (4)>f (1),所以函数f (x )的图像是开口向上的抛物线,即a>0,且其对称轴为直线x=2,即-b2a =2,所以4a+b=0.故选A .7. C [解析] 若a>0,则一次函数y=ax+b 为增函数,二次函数y=ax 2+bx+c 的图像开口向上,故可排除A .若a<0,同理可排除D .对于选项B ,由直线可知a>0,b>0,从而-b 2a<0,而二次函数的图像的对称轴在y 轴的右侧,故应排除B .故选C .8. A [解析] 不等式x 2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x 2-4x-2)max ,x ∈(1,4).令f (x )=x 2-4x-2,x ∈(1,4),所以f (x )<f (4)=-2,所以a<-2.故选A . 9. A [解析] 由题意知{Δ=16m 2-4(m +3)(2m -1)>0,x 1+x 2=4mm+3<0,x 1x 2=2m -1m+3<0,得-3<m<0,故选A .10. D [解析] 据题意只需转化为当x ≤0时,ax 2-(3-a )x+1>0恒成立即可.结合f (x )=ax 2-(3-a )x+1的图像,当a=0时,验证知符合条件.当a ≠0时,必有a>0,当x=3-a 2a≥0时,函数f (x )在(-∞,0)上单调递减,故要使原不等式恒成立,只需f (0)>0即可,可得0<a ≤3;当x=3-a 2a <0时,只需f (3-a 2a)>0即可,可得3<a<9.综上所述,可得实数a 的取值范围是0≤a<9.11. a>c>b [解析] a=2-32=(√22)3,根据函数y=x3是R 上的增函数,且√22>12>25,得(√22)3>(12)3>(25)3,即a>c>b.12. [2,+∞) [解析] 令√x -1=t (t ≥0),则f (t )=2(t 2+1)+t=2(t +14)2+158,因为t ≥0,所以当t=0,即x=1时,f (x )取得最小值2,所以函数f (x )的值域为[2,+∞).13. 解:(1)当a=-2时,f (x )=x 2-4x+3=(x-2)2-1,x ∈[-4,6], 所以f (x )在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, 所以f (x )的最小值是f (2)=-1, 又f (-4)=35,f (6)=15, 故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图像开口向上,对称轴是直线x=-a ,所以要使f (x )在[-4,6]上是单调函数,应有-a ≤-4或-a ≥6,即a ≤-6或a ≥4,故a 的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).(3)f (|x|)=x 2-2|x|+3={x 2+2x +3,-4≤x ≤0,x 2-2x +3,0<x ≤6,即f (|x|)={(x +1)2+2,-4≤x ≤0,(x -1)2+2,0<x ≤6,所以f (|x|)的单调减区间为[-4,-1)和[0,1),单调增区间为[-1,0)和[1,6]. 14. 解:(1)由Δ=16-4(a+3)≥0,得a ≤1.(2)f (x )=x 2-4x+a+3=(x-2)2+a-1.当a+1<2,即a<1时,f (x )max =f (a )=a 2-4a+a+3=3,得a=0. 当a ≤2≤a+1,即1≤a ≤2时,f (a )=a 2-3a+3,f (a+1)=a 2-a ,当f (a )=3时,无解; 当f (a+1)=3时,无解.当a>2时,f (x )max =f (a+1)=a 2-a=3,得a=1+√132. 综上,a=1+√132或a=0.15. D [解析] f (x )={3-x -1=(13)x-1(x ≤0),x 12=√x(x >0),作出函数f (x )的图像,如图所示,因为函数f (x )在[-1,m ]上的最大值为2,又f (-1)=f (4)=2,所以-1<m ≤4,即m ∈(-1,4].16. (-12,4) [解析] 因为f (x )=x 2+2(a-2)x+4的图像的对称轴为直线x=-(a-2),当x ∈[-3,1]时,f (x )>0恒成立,所以{-(a -2)<-3,f(-3)>0或{-3≤-(a -2)≤1,f(2-a)>0或{-(a -2)>1,f(1)>0,解得a ∈⌀或1≤a<4或-12<a<1,所以a 的取值范围为(-12,4).课时作业(八)1. A [解析] 45x =9x ×5x =(3x )2×5x =a 2b ,故选A .2. D [解析] 因为f (x )=(12)|x -1|={(12)x -1,x ≥1,2x -1,x <1,结合图像可知选项D 正确.3. D [解析] 由指数函数y=(35)x 的性质及-13<-14,可得a=(35)-13>b=(35)-14>1.由指数函数y=(32)x的性质及-34<0,可得c=(32)-34<1,所以c<b<a.故选D .4. a 2-1a 2+1[解析] 原式=(a -a -1)2(a+a -1)(a -a -1)=a -a -1a+a -1=a 2-1a 2+1.5. {x|-1<x<4} [解析] 不等式3-x 2+2x>(13)x+4化为(13)x 2-2x >(13)x+4,因为y=(13)x是减函数,所以x 2-2x<x+4,即x 2-3x-4<0,解得-1<x<4.6. D [解析] 验证可知,指数函数f (x )=4x ,f (x )=(12)x 满足f (x-y )=f (x )÷f (y ),因为f (x )=4x 是增函数,f (x )=(12)x 是减函数,所以选D .7. B [解析] 当a<1时,41-a =21,所以a=12;当a>1时,4a-1=22a-1,无解.故选B .8. A [解析] 因为以P (x 1,f (x 1)),Q (x 2,f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上,所以x 1+x 2=0.又因为f (x )=a x ,所以f (x 1)·f (x 2)=a x 1·a x 2=a x 1+x 2=a 0=1. 9. D [解析] 函数y=2-x2+ax+1是由函数y=2t 和t=-x 2+ax+1复合而成的.因为函数t=-x 2+ax+1在区间(-∞,a2]上单调递增,在区间[a 2,+∞)上单调递减,且函数y=2t 在R 上单调递增,所以函数y=2-x2+ax+1在区间(-∞,a 2]上单调递增,在区间[a 2,+∞)上单调递减.又因为函数y=2-x 2+ax+1在区间(-∞,3)上单调递增,所以3≤a 2,即a ≥6.故选D .10. A [解析] 原不等式变形为m 2-m<(12)x,因为函数y=(12)x 在(-∞,-1]上是减函数,所以(12)x ≥(12)-1=2,当x ∈(-∞,-1]时,m 2-m<(12)x 恒成立等价于m 2-m<2,解得-1<m<2.故选A . 11. D[解析] f (2x )=e 2x +e -2x 2,2[g (x )]2+1=2×(e x -e -x2)2+1=e 2x +e -2x2,即f (2x )=2[g (x )]2+1,A 中等式正确;[f (x )]2-[g (x )]2=1,B 中等式正确;[f (x )]2+[g (x )]2=e 2x +e -2x2=f (2x ),C 中等式正确;f (x )f (y )-g (x )g (y )=e x +e -x 2×e y +e -y 2-e x -e -x 2×e y -e -y 2=e x e -y +e -x e y 2=e x -y +e y -x 2,f (x+y )=e x+y +e -x -y2,显然不相等,所以D 中等式不正确.故选D .12. 3 [解析] 当2x-4=0,即x=2时,y=1+n ,即函数图像恒过点(2,1+n ),又函数图像恒过定点P (m ,2),所以m=2,1+n=2,即m=2,n=1,所以m+n=3.13. e [解析] f (x )={e x ,x ≥1,e |x -2|,x <1,当x ≥1时,f (x )=e x ≥e (当x=1时,取等号);当x<1时,f (x )=e |x-2|=e 2-x >e .因此f (x )的最小值为f (1)=e . 14. 2√2+2016 [解析] f (-20152)=f (-20132)+2=f (-20112)+4=…=f (12)+2016=232+2016=2√2+2016.15. B [解析] 因为y=2x ,y=2-x 在R 上分别为增函数、减函数,所以f (x )=2x -2-x 为增函数.因为f (-x )=2-x -2x =-f (x ),所以f (x )为R 上的奇函数.因为f (x 2-ax+a )+f (3)>0,所以f (x 2-ax+a )>-f (3)=f (-3),得x 2-ax+a>-3,所以x 2-ax+a+3>0恒成立,所以(-a )2-4×1×(a+3)<0,所以a 2-4a-12<0,解得-2<a<6. 16. (1,√2] [解析] 当x ≤2时,f (x )≥(12)2-3=2,此时函数的值域为[2,+∞);当x>2且a>1时,f (x )>log a 2,此时函数值域为(log a 2,+∞),由(log a 2,+∞)⊆[2,+∞),得log a 2≥2,解得1<a ≤√2;当x>2且0<a<1时,f (x )<log a 2,不合题意.所以实数a 的取值范围是(1,√2].课时作业(九)1. D [解析] 由f (x )=lg(2x -1)√3x -2求得其定义域为M={x|x >23},而N={x|0<x<1},所以M ∩N=x23<x<1.故选D .2. A [解析] 因为3x +1>1,所以f (x )=log 2(3x +1)>0,所以函数f (x )的值域为(0,+∞),故选A .3. A [解析] 因为a=log 0.34<log 0.31=0,0<b=log 43<log 44=1,c=0.3-2=(310)-2=(103)2>1,所以a<b<c.故选A .4. -20 [解析] (lg 14-lg25)÷100-12=lg1100÷10-1=-20.5. 5 [解析] 由题意可知f (1)=log 21=0,所以f [f (1)]=f (0)=30+1=2,又f (log 312)=3-log 312+1=3log 32+1=2+1=3,所以f [f (1)]+f (log 312)=5.6. A [解析] 因为y=lg |x-1|={lg(x -1),x >1,lg(1-x),x <1,当x=1时,函数无意义,故排除B ,D .又当x=0时,y=0,所以排除C .故选A .7. C [解析] 由题意得0<a<1,故必有a 2+1>2a ,且2a>1,所以1>a>12.故选C .8. A [解析] 令M=x 2+32x ,当x ∈(12,+∞)时,M ∈(1,+∞),f (x )>0,所以a>1,所以函数y=log a x 为增函数,又M=(x +34)2-916,所以M 的单调递增区间为(-34,+∞),又x 2+32x>0,所以x>0或x<-32,所以函数f (x )的单调递增区间为(0,+∞).故选A .9. B [解析] 函数y=a x 与y=log a x 在[1,2]上的单调性相同,因此函数f (x )=a x +log a x 在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)+f (2)=(a+log a 1)+(a 2+log a 2)=a+a 2+log a 2=log a 2+6,故a+a 2=6,解得a=2或a=-3(舍去).故选B .10. C [解析] 设2+log 2a=3+log 3b=log 6(a+b )=k ,可得a=2k-2,b=3k-3,a+b=6k ,所以1a +1b=a+bab=6k 2k -23k -3=108.所以选C .11. C [解析] 由题意可知A (m ,log a m ),B (m ,log b m ),C (m ,0),因为|AB|=2|BC|,所以log a m=3log b m 或log a m=-log b m ,所以log m b=3log m a 或log m a=-log m b ,所以b=a 3或a=b -1.故选C . 12. (-1,0) [解析] 由f (x )是奇函数可得a=-1,所以f (x )=lg 1+x1-x,定义域为(-1,1).由f (x )<0,可得0<1+x1-x <1,所以-1<x<0.13. 32[解析] 由已知得f (12)=1-f (12)·log 22,则f (12)=12,则f (x )=1+12·log 2x ,故f (2)=1+12·log 22=32. 14. (1,2] [解析] 当x ≤2时,f (x )≥4.又函数f (x )的值域为[4,+∞),所以{a >1,3+log a 2≥4,解得1<a ≤2,所以实数a 的取值范围为(1,2].15. C [解析] 由已知得2x =5-2x ,2log 2(x-1)=5-2x ,即2x-1=52-x ,log 2(x-1)=52-x ,作出y=2x-1,y=52-x ,y=log 2(x-1)的图像(图略),由图可知y=2x-1与y=log 2(x-1)的图像关于直线y=x-1对称,它们分别与直线y=52-x 的交点A ,B 的中点就是直线y=52-x 与直线y=x-1的交点C ,x C =x 1+x 22=74,所以x 1+x 2=72,故选C .16. (-∞,4] [解析] 令t (x )=x 2-ax+a ,则由函数f (x )在区间(2,+∞)上是减函数,可得函数t (x )在区间(2,+∞)上是增函数,且t (2)≥0,所以{a2≤2,t(2)=4-a ≥0,解得a ≤4,所以实数a 的取值范围是(-∞,4].课时作业(十)1. C [解析] g (x )=log 22x=log 22+log 2x=1+log 2x ,所以,只需将函数f (x )=log 2x 的图像向上平移1个单位.故选C .2. A [解析] 由函数图像可知,函数f (x )为奇函数,应排除B ,C .若函数为f (x )=x-1x,则x →+∞时,f (x )→+∞,排除D ,故选A .3. D [解析] 因为f (14)>f (3)>f (2),所以函数f (x )不单调,不选A ,B .又选项C 中,f (14)<f (0)=1,f (3)>f (0),即f (14)<f (3),所以不选C ,故选D .4. (4,4) [解析] 函数y=f (x )的图像是由y=f (x+3)的图像向右平移3个单位长度而得到的.故y=f (x )的图像经过点(4,4).5. (-∞,-1)∪(1,+∞) [解析] 在同一直角坐标系中,作出函数y=f (x )的图像和直线y=1,如图所示,它们相交于(-1,1)和(1,1)两点,由f (x 0)>1,得x 0<-1或x 0>1.6. C [解析] 图②中的图像是在图①的基础上,去掉函数y=f (x )的图像在y 轴右侧的部分,然后将y 轴左侧图像翻折到y 轴右侧,y 轴左侧图像不变得来的,所以图②中的图像对应的函数可能是y=f (-|x|).故选C .7. C [解析] 因为f (2x+1)是偶函数,所以其图像关于y 轴对称,即关于直线x=0对称,而f (2x+1)=f [2(x +12)],所以f (2x )的图像可由f (2x+1)的图像向右平移12个单位得到,即f (2x )的图像的对称轴方程是x=12.8. C [解析] (特殊值法)因为f (e )=ln e 1+e =11+e ,f (-e )=ln[-(-e)]1-(-e)=11+e,所以f (e )=f (-e ),所以排除选项B ,D ,又当x ∈(0,1)时,ln x<0,1+x>0,所以f (x )<0.故选C .9. B [解析] 由于函数y=(x 3-x )2|x|为奇函数,因此它的图像关于原点对称.当0<x<1时,y<0;当x>1时,y>0,故选B .10. A [解析] 在同一坐标系内作出y=log 2(-x ),y=x+1的图像,易知满足条件的x ∈(-1,0),故选A .11. D [解析] 作出函数y=f (x )与y=k 的图像,如图所示.由图可知k ∈(0,1],故选D .12. (2,8] [解析] 当f (x )>0时,函数g (x )=lo g √2f (x )有意义,由函数f (x )的图像知满足f (x )>0的x ∈(2,8]. 13. f (x )={x +1,-1≤x ≤0,14(x -2)2-1,x >0 [解析] 当-1≤x ≤0时,设解析式为y=kx+b (k ≠0),则{-k +b =0,b =1,解得{k =1,b =1,所以y=x+1.当x>0时,设解析式为y=a (x-2)2-1(a ≠0).因为图像过点(4,0),所以0=a (4-2)2-1,得a=14,所以y=14(x-2)2-1.14. 1b[解析] 易知b>0,函数y=log a (x+b )的图像是由y=log a x 的图像向左平移b 个单位得到的,由图知0<b<1,而h (x )=x 2-2x 在[0,3]上的最小值为h (1)=-1,所以g (x )的最大值为b -1=1b.15. C [解析] 要使方程f (x )-log a (x+1)=0(a>0且a ≠1)在区间[0,5]上恰有5个不同的根,只需y=f (x )与y=log a (x+1)的图像在区间[0,5]上恰有5个不同的交点,在同一坐标系内作出它们的图像如图所示,由图可知,y=f (x )与y=log a (x+1)的图像在区间[0,5]上恰有5个不同的交点,只需{log a 3<2,log a 5<4,解得a>√3.故选C .16. D [解析] 函数y=11-x =-1x -1和y=2sin πx 的图像有公共的对称中心点(1,0),画出二者图像如图所示,易知y=11-x与y=2sin πx (-2≤x ≤4)的图像共有8个交点,不妨设其横坐标为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7,x 8,且x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7<x 8,由对称性得x 1+x 8=x 2+x 7=x 3+x 6=x 4+x 5=2,所以x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8=8,故选D .加练一课(二)函数图像的应用1. B[解析]作出函数y=ln|x|和y=-x2的图像(图略),可知,两图像有2个交点,所以函数f(x)有2个零点.故选B.2. D[解析]与曲线y=e x关于y轴对称的曲线为y=e-x,函数y=e-x的图像向左平移1个单位长度即可得到函数f(x)的图像,即f(x)=e-(x+1)=e-x-1.故选D.3. C[解析]作出g(x)=(12)x的图像与h(x)=cos x的图像如图所示,可以看到它们在[0,2π]上的交点个数为3,所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3,故选C.4. B[解析]当a>1时,如图①所示,使得两个函数图像有交点,需满足12×22≥a2,即1<a≤√2.①②当0<a<1时,如图②所示,需满足12×12≤a1,即12≤a<1.综上可知,a∈[12,1)∪(1,√2].5. B[解析]因为图像与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,所以①中结论正确;图像对称轴方程为x=-1,即-b2a=-1,2a-b=0,所以②中结论错误;结合图像知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,所以③中结论错误;由图像对称轴为直线x=-1知,b=2a,又函数图像开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,所以④中结论正确.故选B.6. C[解析]由当x<2 时,f(x)=|2x-1|,得递减区间为(-∞,0),递增区间为(0,2).因为y=f(x+2)是偶函数,所以其图像关于y轴对称,所以y=f(x)的图像关于直线x=2对称,又因为y=f(x)在x<2时的递增区间为(0,2),所以,当x>2时,y=f(x)的递减区间为(2,4).故选C.7. D[解析]设函数f(x)=2x sin(π2+6x)4x-1=2x cos6x4x-1,所以f(-x)=2-x cos(-6x)4-x-1=-2x cos6x4x-1=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以其图像关于原点对称,故排除选项A.因为当x从右趋向于0时,f(x)趋向于+∞,当x趋向于+∞时,f(x)趋向于0,故排除选项B,C,故选D.8. C [解析] 注意到f (12)=ln √e2-ln (1-12)=12,计算知f (12+x)+f (12-x)=1,所以函数f (x )的图像关于点(12,12)对称,所以m=12.故选C .9. C [解析] 函数f (x )={2x -1,x ≥0,f(x +1),x <0的图像如图所示,作出直线l :y=a-x ,观察可得,若函数y=f (x )的图像与直线l :y=-x+a 的图像有两个交点,即方程f (x )=-x+a 有且只有两个不相等的实数根,则有a<1,故选C . 10. C [解析] 令f (x )=sin 2πx ,g (x )=22x -1,x ∈[-2,3],则方程sin 2πx-22x -1=0,x ∈[-2,3]的所有根之和转化为函数f (x )的图像与g (x )的图像的交点的横坐标之和.因为f (54)=sin (2π×54)=1,f (94)=sin (2π×94)=1,g (54)=22×54-1=43>f (54),g (94)=22×94-1=47<f (94),所以在(12,3]时,两函数图像有两个交点,如图所示.因为函数f (x )和g (x )的图像都关于点(12,0)成中心对称,所以在x ∈[-2,3]时,共有四个交点,设这四个交点的横坐标依次为x 1,x 2,x 3,x 4,根据中心对称可得x 1+x 4=2×12=1,x 3+x 2=2×12=1,所以x 1+x 2+x 3+x 4=2,即方程的所有根之和为2.故选C .11. -1<m<0 [解析] 作出偶函数f (x )的图像及直线y=m ,如图所示,若函数g (x )恰有4个零点,则-1<m<0.12. 2 [解析] 由于f (x )是定义在R 上的周期为3的函数,所以f (2015)+f (2016)=f (672×3-1)+f (672×3+0)=f (-1)+f (0),由图可知f (-1)=2,f (0)=0,所以f (2015)+f (2016)=2. 13. 2x +sin x [解析] 由图像可知,F (x )图像过定点(0,1),当x>0时,F (x )>1,为增函数;当x<0时,F (x )≤0和F (x )>0交替出现.y=2x 的图像经过点(0,1),且当x<0时,0<y<1,当x>0时,y>1,验证知F (x )=2x +sin x 的图像满足条件.14. (0,12] [解析] 分别作出函数y=f (x ),y=g (x )+1的图像,由-log 2x=1,得x=12,因此,正实数a 的取值范围为(0,12].15. ①②④ [解析] 因为f (x )是R 上的偶函数,所以f (-x )=f (x ),得f (-2)=f (2),在f (x+4)=f (x )+f (2)中,令x=-2,得f (2)=f (-2)+f (2),所以f (-2)=f (2)=0,所以f (x+4)=f (x ),于是函数f (x )是以4为周期的周期函数,又当x ∈[0,2]时,y=f (x )单调递减,结合函数f (x )的性质作出函数f (x )的简图(示意图),由图可知,②直线x=-4为函数y=f (x )图像的一条对称轴;③y=f (x )在[8,10]上单调递减;④若方程f (x )=m 在[-6,-2]上的两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=-8.所以,真命题的序号为①②④.16. (2,174] [解析] 作出函数f (x )的简图,如图所示,由图可知,当f (x )在(0,4]上任取一个值时,都有4个不同的x 与f (x )的值对应,因为[f (x )]2-bf (x )+1=0有8个不同的根,所以令t=f (x ),则方程t 2-bt+1=0在(0,4]上有2个不同的实数根,所以{0<b2<4,Δ=b 2-4>0,16-4b +1≥0,1>0,解得2<b ≤174.课时作业(十一)1. B [解析] 易知选项B 正确.2. B [解析] 令f (x )=(13)x -x 12,则f (x )的图像在[0,+∞)上是连续不断的,因为f (0)=1>0,f (13)=(13)13-(13)12>0,f (12)=(13)12-(12)12<0,所以函数f (x )的零点所在区间是(13,12).故选B .3. C [解析] 因为f (1)=6-log 21=6>0,f (2)=3-log 22=2>0,f (4)=32-log 24=-12<0,所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4),故选C .4. (-∞,1) [解析] 设函数f (x )=x 2+mx-6,则根据条件有f (2)<0,即4+2m-6<0,解得m<1.5. 1 [解析] 作出f (x ),g (x )的大致图像,如图所示,可知有1个交点.6. B[解析]在同一坐标系中分别画出函数f(x),g(x)的图像如图所示,方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图像有两个不同的交点,结合图像可知,当直线y=kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y=x-1的斜率时符合题意,故12<k<1.故选B.7. C[解析]由已知可得f(x0)=-e x0,则e-x0f(x0)=-1,e-x0f(-x0)=1,故-x0一定是y=e x f(x)-1的零点.故选C.8. C[解析]因为函数f(x)=2x-2x -a在区间(1,2)上单调递增,函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,所以0<a<3.故选C.9. C[解析]由奇函数的性质可知f(0)=0,又当x>0时,f(x)为增函数,当x从右侧趋向于0时,函数值趋向于-∞,而f(1)=2019>0,则x>0时,函数f(x)的图像与x轴有唯一交点.由函数图像的对称性得方程f(x)=0的实根的个数为3,故选C.10. A[解析]g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,当g(x)≥0时,得x≤0或x≥2;当g(x)<0时,得0<x<2.所以当x≤0或x ≥2时,f[g(x)]=2x2-2x-2-2=0,即x2-2x-2=1,解得x=-1或x=3;当0<x<2时,f[g(x)]=x2-2x+2=0,此方程无解.所以函数f[g(x)]的所有零点之和是-1+3=2,故选A.11. C[解析]因为函数f(x)有两个零点,所以当x>1时,f(x)=-x+a必有一个零点,则a>1.当a>1,x≤1时,若f(x)=2x-a有一个零点,则1<a≤2,所以“函数f(x)有两个零点”成立的充要条件是a∈(1,2],所以“函数f(x)有两个零点”成立的充分不必要条件是a∈(1,2).故选C.12. 2[解析]令f(x)=0,得①{x≤0,x2-1=0,解得x=-1.②{x>0,x-2+lnx=0,在同一个直角坐标系中画出y=2-x,x>0和y=ln x,x>0的图像,如图所示.函数y=2-x,x>0和y=ln x,x>0的图像在同一个直角坐标系中交点个数是1,所以f(x)的零点个数为2.13.[5,10)[解析]令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)·f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得5<k<10.当f(1)=0时,k=5.所以k∈[5,10).14. (log 32,1) [解析] 由题意知方程log 3x+2x=a 在区间(1,2)上有解,由1<x<2得2<x+2x<3,所以log 32<log 3x+2x<1,所以a ∈(log 32,1).15. B [解析] 当b=0时,不满足题意,所以x=1不是函数的零点,问题转化为:对任意的实数a ,方程a=lnx+b x -1有两个不同的解,即y 1=a 的图像与y 2=ln x+bx -1的图像有两个不同交点.当b<0时,y 2在(0,1)和(1,+∞)上单调递增,且x →0+时,y 2→-∞,x →1-时,y 2→+∞,x →1+时,y 2→-∞,x →+∞时,y 2→+∞,所以b<0.故选B .16. {2} [解析] 依题意知,函数f (x )是偶函数,在x=0处存在唯一零点,所以唯一零点是0,于是02-m cos 0+m 2+3m-8=0,解得m=-4或m=2.若m=-4,则f (x )=x 2+4cos x-4,令f (x )=0,得x 2+4cos x-4=0,即4cosx=4-x 2,由y=4cos x 和y=4-x 2的图像知,两图像的交点不只有一个,所以m=-4不合题意.而m=2时,符合题意.所以m=2,即满足条件的实数m 组成的集合为{2}.课时作业(十二)1. A [解析] 设这个广场的长为x 米,则宽为40 000x米,所以其周长l=2(x +40 000x)≥800,当且仅当x=40 000x,即x=200时取等号.故选A .2. D [解析] 由图可知,张大爷离家后的一段时间匀速直线行走,中间一段时间离家距离不变,说明这段时间张大爷在以家为圆心的圆周上运动,最后匀速回家,故选D .3. B [解析] 因为每次都把油箱加满,第二次加了48升油,说明这段时间的总耗油量为48升,而行驶的路程为35 600-35 000=600(千米),故该车每行驶100千米的平均耗油量为48÷6=8(升).4. 4.24 [解析] 因为m=6.5,所以[m ]=6,则f (6.5)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.5. 180 [解析] 依题意知20-x 20=y -824-8,即x=54(24-y ),所以阴影部分的面积S=xy=54(24-y )·y=54(-y 2+24y )=-54(y-12)2+180,所以当y=12时,S 有最大值180.6. B [解析] 单位时间的运输量逐步提高时,运输量的增长速度越来越快,即图像在某点的切线的斜率随着自变量的变大会越来越大,故函数图像应一直是下凹的.故选B .7. C [解析] 设每年人口的平均增长率为x ,则(1+x )40=2,两边取以10为底的对数,则40lg (1+x )=lg 2,所以lg (1+x )=lg240≈0.007 5,所以100.007 5≈1+x ,得1+x ≈1.017,所以x ≈1.7%.8. B [解析] 因为103100-1=0.03,(51.450-1)×2=0.056,10097-1≈0.031,所以三种债券的收益为甲<丙<乙,故选B .9. B [解析] 设经销乙商品投入资金x 万元,由题意得20-x 4+a 2√x ≥5(0≤x ≤20),整理得-x 4+a2√x ≥0.显然,当x=0时,不等式恒成立;当0<x ≤20时,由-x 4+a2√x ≥0,得a ≥√x2恒成立,因为0<x ≤20,所以0<√x2≤√5,所以a ≥√5,即a 的最小值为√5.故选B .10. D [解析] 设该公司的年收入为x 万元,纳税额为y 万元,则由题意得y={x ×p%,x ≤280,280×p%+(x -280)×(p +2)%,x >280,依题意有280×p%+(x -280)×(p+2)%x=(p+0.25)%,解得x=320.故选D .11. C [解析] 设原污染物的数量为a ,则P 0=a.由题意有10%a=a e -5k ,所以5k=ln 10.设从过滤开始经过t h 后污染物的含量不超过1%,则有1%a ≥a e -tk ,所以tk ≥2ln 10,所以t ≥10.因此至少还需过滤10-5=5(h )才可以排放.故选C .12. 2500 m 2 [解析] 设矩形的长为x m ,则宽为200-x4m ,则S=x ·200-x 4=14(-x 2+200x ),则当x=100时,S max =2500 m 2. 13.1909[解析] 由题意知前10天y 与x 之间满足一次函数关系,设函数解析式为y=kx+b ,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得{10=k +b,30=10k +b,解得k=209,b=709,所以y=209x+709,则当x=6时,y=1909.14. 11.5 [解析] 设每桶水在进价的基础上上涨x 元时,利润为y 元,由表格中的数据可以得到,日销售的桶数为480-40(x-1)=520-40x ,由520-40x>0及x>0,得0<x<13,则利润y=(520-40x )x-200=-40x 2+520x-200=-40(x-6.5)2+1490,其中0<x<13,所以当x=6.5时,利润最大,即当每桶水的价格为11.5元时,利润取得最大值,为1490元.15. 16 [解析] 当0<x ≤20时,y=(33x-x 2)-x-100=-x 2+32x-100;当x>20时,y=260-100-x=160-x. 故y={-x 2+32x -100,0<x ≤20,160-x,x >20(x ∈N *),当0<x ≤20时,y=-x 2+32x-100=-(x-16)2+156,所以当x=16时,y max =156. 而当x>20时,160-x<140.故当x=16时能获得最大年利润.课时作业(十三)1. B [解析] 因为f'(x )=1-e x x -e x x 2=1-e x (x -1)x 2,所以f'(1)=1,又f (1)=1-e ,所以f'(1)-f (1)=e .2. C [解析] 因为f'(x )=1-lnxx 2,所以f'(1)=1,故该切线方程为y-(-2)=x-1,即x-y-3=0.3. A [解析] 由题意知,汽车行驶的速度v 关于时间t 的函数为v (t )=s'(t )=6t 2-gt ,则v'(t )=12t-g ,故当t=2 s 时,汽车的加速度是v'(2)=12×2-10=14(m/s 2).4. 2 [解析] 因为f'(x )=(2x+2)e x -(x 2+2x)e x (e x )2=2-x 2e x ,所以f'(0)=2.5. 2 [解析] 因为f'(x )=a ln x+ax ·1x=a (ln x+1),所以f'(1)=a (ln 1+1)=2,即a=2. 6. A [解析] 设x+1=t ,则x=t-1,所以f (t )=2t -1t =2-1t,故f (x )=2-1x ,又f'(x )=1x 2,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率k=f'(1)=1.7. B [解析] 设直线y=ax 与曲线y=2ln x+1的切点的横坐标为x 0,则对于y=2ln x+1,有y'|x=x 0=2x 0,于是有{a =2x 0,ax 0=2ln x 0+1,解得x 0=√e ,则a=2x 0=2e -12.。