2.2.2向量的减法运算及其几何意义教案讲课教案

2.2.2 向量减法运算及其几何意义【教学目标】1、知识与技能理解向量减法的意义；能熟练掌握向量减法的三角形法则；能准确作出两个向量的差向量；知道向量的减法运算可转化为向量的加法运算。

2、过程与方法理解向量减法定义时要结合图形语言，并通过相反向量来揭示加法和减法的内在联系，通过本节课的学习，对学生渗透化归思想和数形结合思想，继续对培养学生识图、作图的能力及运用图形运算的能力。

3、情感、态度与价值观培养学生用联系的观点看问题，继续培养学生对数学美的感受。

【教学重点】向量减法的运算。

【教学难点】对向量减法法则的理解。

【教学方法】引导探究法。

【教学过程】〖创设情境 导入新课〗【导语】上一节课，我们学习了向量的加法，知道了加法的三角形法则和平行四边形法则，并用这两种法则进行了加法运算，这一节课，我们将进一步学习向量的减法。

〖合作交流 解读探究〗 1、向量减法的定义：定义1：求两个向量的差的运算，叫做向量的减法。

定义2：向量a 加上向量b 的相反向量，叫做向量a 与向量b 的差，记作：a b -。

即：()a b a b -=+- 。

（减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。

）【说明】向量的差仍然是一个向量。

【导语】()()()0b a b b a b a b b a a ⎡⎤⎡⎤+-=++-=++-=+=⎣⎦⎣⎦∴求a b - 就是求这样一个向量：它与b 的和向量为a。

因此，根据向量加法的三角形法则可作出如图所示的a b -。

已知,a b 是平面上的任意两个向量，在平面上任取一点A ，作,AB a AC b ==，则CB a b =-。

2、向量减法的三角形法则：（特点：向量的“起点相同”）其法则为：当两个向量的起点相同时，则连接两个向量的终点，且方向指向被减向量的终点所对应的向量就是这两个向量的差向量。

即：AB AC CB -=。

【说明】（1）运用这一法则时要特别注意“起点相同”。

（2）三角形法则可用于求任何两个向量的差向量。

2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 教学目标分析：知识目标：1、了解相反向量的概念；2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；过程与方法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.情感目标：通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想. 重难点分析：重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 难点：减法运算时方向的确定. 互动探究：一、课堂探究： 1、复习巩固：（1）向量加法的法则；（2）三角形法则与平行四边形法则；（3）向量加法的运算定律.练习：如图，在四边形中，CB BA AD ++=. 解：CB BA AD CB BA AD CD ++=++= .探究一、（1）向量是否有减法？如何理解向量的减法？（2）我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则？2、相反向量的概念：（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作：a - .（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量(0)0-=；任一向量与它的相反向量的和是零向量：()0a a +-=； 如果a 、b 互为相反向量，则,,0a b b a a b =-=-+= ；3、向量减法的概念：（1）用“相反向量”定义向量的减法：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b的差，即：()a b a b -=+-，求两个向量差的运算叫做向量的减法.（2）用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算，若b x a += ，则x 叫做a与b 的差，记作a b - .探究二、已知向量a 、b ，求作向量a b -.如图，设向量,,AB b AC a == 则AD b =-，由向量减法的定义知道：,,AE a b a b b BC a BC a b =+-=-+=∴=-又，由此，我们得到a b - 的作图方法：在平面内任取一点O ，作,,,OA a OB bBA a b a b ===--则即可以表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义.a注意：（1）AB表示a b - ；强调：差向量“箭头”指向被减数；（2）用“相反向量”定义法作差向量：()a b a b -=+- ；探究三、(1)如果从向量a 的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是什么？ (2)若//a b ， 如何作出a b - ？例1、如图，已知向量,,,a b c d ，求作向量,a b c d --.例2、平行四边形ABCD 中，AB a = ，AD b = ，用,a b表示向量AC 、DB .变式一：当,a b满足什么条件时，a b + 与a b - 垂直？变式二：当,a b 满足什么条件时，||||a b a b +=-？变式三：a b + 与a b -可能是相等向量吗？A BD C变式四：当,a b满足什么条件时，a b + 平分a b 与所夹的角？二、 课堂练习：教材第87页练习第1、2、3题1、如图，已知,a b，求作a b - .a ba b(4)(3)(2)(1)2、填空：___;___;___;___;___;AB AD BA BC BC BA OD OA OA OB -=-=-=-=-=3、作图验证:()a b a b -+=--.反思总结：1、 本节课你学到了哪些知识点？2、 本节课你学到了哪些思想方法？3、 本节课有哪些注意事项？ 课外作业：（一）教材第91页习题2.2 A 组第4、5、6题，B 组第2题 1、化简：(1);(2)();(3);AB BC CA AB MB BO OM OA OC BO CO ++++++++ (4);(5);(6);AB AC BD CD AB BC CA AB AD DC -+-++-- (7);NQ QP MN MP ++-2、作图验证：1111(1)()();(2)()();2222a b a b a a b a b b ++-=+--=3、已知向量,a b ，求作向量c ，使0a b c ++= ，表示,,a b c的有向线段能构成三角形吗？（二）补充 4、判断题：（1）若非零向量a b与的方向相同或相反，则a b + 的方向必与a b 、之一的方向相同； （2）ABC ∆中，必有0AB BC CA ++= ；（3）若0AB BC CA ++=，则A B C 、、三点是一个三角形的三个顶点；（4）||||a b a b +≥- .答案：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错.5、若||8,||5,||AB AC BC ==则的取值范围是（ ）..[3,8] .(3,8) .[3,13] .(3,13) A B C D答案：C.6、已知A B C 、、三点不共线，O 是ABC ∆内一点，若0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的（ ）.A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心 答案：A. 课后反思：。

2.2.2向量减法运算及其几何意义〔导学与探究〕学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算.知识点一相反向量思考实数a的相反数为－a，向量a与－a关系应叫做什么？答相反向量.1.定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量.2.性质：(1)对于相反向量有：a＋(－a)＝0.(2)假设a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0.(3)零向量的相反向量仍是零向量.知识点二向量的减法思考1根据向量的加法，如何求作a－b?答先作出－b，再按三角形或平行四边形法则作出a＋(－b).思考2向量减法的三角形法则是什么？答(1)两个向量a，b的始点移到同一点；(2)连接两个向量(a与b)的终点；(3)差向量a－b的方向是指向被减向量的终点.这种求差向量a－b的方法叫向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减〞.1.定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →.(向量减法的三角形法则)如下图.2.几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.向量减法几何意义的实际运用例1 |AB →|＝6，|AD →|＝9，求|AB →－AD →|的取值范围.解 ∵||AB →|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|，且|AD →|＝9，|AB →|＝6，∴3≤|AB →－AD →|≤15. 当AD →与AB →同向时，|AB →－AD →|＝3； 当AD →与AB →反向时，|AB →－AD →|＝15. ∴|AB →－AD →|的取值范围为[3,15].反思与感悟 1.如下图，平行四边形ABCD 中，假设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .2.在公式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中，当a 与b 方向相反且|a |≥|b |时，|a |－|b |＝|a ＋b |；当a 与b 方向相同时，|a ＋b |＝|a |＋|b |.3.在公式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |中，当a 与b 方向相同，且|a |≥|b |时，|a |－|b |＝|a －b |；当a与b 方向相反时，|a －b |＝|a |＋|b |.例2在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，且AC →＝a ＋b ，|a ＋b |＝|a －b |，则四边形ABCD 的形状是( ) 答案 B解析 由AC →＝a ＋b ，∴四边形ABCD 为平行四边形， 又DB →＝a －b ，∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|AC →|＝|DB →|. ∴四边形ABCD 为矩形.2.2.2 向量减法运算及其几何意义〔梳理与作业〕课时目标 1.理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．向量的减法(1)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝________.如下图．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：OA →－OB →＝________.一、选择题1. 在如图四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c2．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A.QP → B.OQ → C.SP → D.SQ →3．假设O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE →4．在平行四边形ABCD 中，|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则有( ) A. AD →＝0 B. AB →＝0或AD →＝0 C ．ABCD 是矩形 D ．ABCD 是菱形 5．假设|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是( )A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)6．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D.3 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7. 如下图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.8．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)的结果是________．9. 如下图，O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a ，b ，c ，则OD →＝____________(用a ，b ，c 表示)．10．非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b |＝4，则 |a ＋b |＝________.三、解答题11. 如下图，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c －a ＝OA →.12. 如下图，正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出以下向量并分别求出其长度，(1)a ＋b ＋c ； (2)a －b ＋c .能力提升13．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，先用a ，b 表示向量AC →和DB →，并答复：当a ，b 分别满足什么条件时，四边形ABCD 为矩形、菱形、正方形？14．如下图，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数〞．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以向量AB →＝a 、AD →＝b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．2.2 向量减法运算及其几何意义〔答案与解析〕知识梳理(1)相反向量 (2)BA → (3)始点 终点 BA →作业设计4．C [AB →＋AD →与AB →－AD →分别是平行四边形ABCD 的两条对角线，且|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|， ∴ABCD 是矩形．] 5．C [∵|BC →|＝|AC →－AB →|且 ||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|A C →|＋|AB →|. ∴3≤|AC →－AB →|≤13. ∴3≤|BC →|≤13.]6．D [如下图，延长CB 到点D ，使BD ＝1，连结AD ，则AB →－BC →＝AB →＋CB →＝AB →＋BD →＝AD →.在△ABD 中，AB ＝BD ＝1， ∠ABD ＝120°，易求AD ＝3， ∴|AB →－BC →|＝ 3.] 7.CA → 8．0解析 方法一 (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →) ＝AD →＋DA →＝0.方法二 (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →) ＝CB →＋BC →＝0. 9．a －b ＋c解析 OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a ＋c －b ＝a －b ＋c . 10．4解析 如下图．设O A →＝a ，O B →＝b ，则|B A →|＝|a －b |. 以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB ， 则|O C →|＝|a ＋b |.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42. 故|O A →|2＋|O B →|2＝|B A →|2，所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形， 从而OA ⊥OB ，所以▱OACB 是矩形， 根据矩形的对角线相等有|O C →|＝|B A →|＝4， 即|a ＋b |＝4.11．证明 方法一 ∵b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →， OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →，∴b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →.方法二 ∵c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OD →， OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b ，∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →. 12．解 (1)由得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，又AC →＝c ，∴延长AC 到E ， 使|CE →|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2.∴|a ＋b ＋c |＝2 2.(2)作BF →＝AC →，连接CF ，则DB →＋BF →＝DF →，而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ，∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2.∴|a －b ＋c |＝2.13．解 由向量加法的平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b .则有：当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD 为矩形； 当a ，b 满足|a |＝|b |时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD 为菱形；当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |且|a |＝|b |时，四边形ABCD 为正方形．14．证明 作直径BD ，连接DA 、DC ，则OB →＝－OD →，DA ⊥AB ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，CD ⊥BC .∴CH ∥DA ，AH ∥DC ，故四边形AHCD 是平行四边形．∴AH →＝DC →，又DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →＝OA →＋OB →＋OC →.。

《向量的减法运算及几何意义》的教学设计教学目标知识目标：1.掌握相反向量的概念及其在向量减法中的作用2.掌握向量的减法，会作两个向量的差向量，并理解其几何意义3.会求两个向量的差能力目标：培养学生的类比思想、数形结合思想及化归思想情感目标：通过引导学生自主探索，培养学生的自学能力，激发学生学习热情，提高学生的学习积极性及主动性教学重点和难点教学重点：向量减法的运算和几何意义 教学难点：减法运算时差向量方向的确定 教学方法及教学手段教学方法：类比法、探究法、讲练结合教学手段：采用多媒体与学案相结合，提高课堂的利用率。

教学过程 【自学探究】 （一）回顾旧知通过提问，复习上节课所学内容（三角形法则：首尾相接连端点。

四边形法则：起点相同连对角及向量加法法则） 1．已知→a ，→b 求作→a +→b(用三角形法则与平行四边形法则求两个向量的和向量分别如何操作？)引出疑问——加与减是对立统一的两个方面，既然向量可以相加，那么，两个向量可以相减呢设计意图：通过对上节课所学知识的复习，为本节课的学习打下基础。

并自然引出本节课所研究的内容。

（二）引入新课问题1（1）某人从A 点向正东方向前进10m 到B 点，再从B 点向正西方向前进10m ，则这个人的位移是多少？（2）作出下列向量，请回答它们之间有何关系?→a 表示向东走10km,→b 表示向南走5km,→c 表示向西走10km,→d 表示向北走5km总结：（1）利用向量的加法解释这个人的位移是多少？（2）?d c 有何关系与有何关系？与→→→→b a(3)相反向量的定义是→a 的相反向量表示为 →0的相反向量是 。

引出相反向量的定义：与→a 长度相同、方向相反的向量.记作 -→a规定：零向量的相反向量仍是零向量.1、若 向量 →a ,→b 是互为相反向量,那么 →a 与→b 满足什么关系 2、 – （ – →a ) = ________设计意图：与实际生活相联系，让学生体会数学在实际生活中的重要地位。

向量的减法运算及其几何意义教案参赛选手编号：21一、教材分析和学情分析：“向量的减法运算及其几何意义”是高中数学教材人教 A版必修 4 第二章“平面向量”第二单元第二节的内容向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景本节课的学习是建立在学生已经掌握了平面向量的基本概念和相等向量、共线向量的特点，以及向量加法运算的基础上，进一步对于向量减法运算及其几何意义进行研究类比实数的减法运算，通过相反向量将向量减法运算转化为向量加法运算，体现了加法运算与减法运算的内部联系向量减法的学习是对数学中减法运算的丰富与升华，是对运算认识的又一次质的飞跃根据本节课的内容特点以及学生的实际情况。

本节课的学习在发展学生运算能力的同时还需要培养学生运用向量语言和方法表述及其解决实际问题的能力另外，向量减法运算及几何意义与向量加法运算及即将学习的向量数乘运算及其几何意义都有着密不可分的关系，因此本节课的内容起到了承前启后的重要作用并且本节课内容的教学还为培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合、类比、转化的数学思想方法提供了重要的素材二、重难点分析重点:让学生自己去感受向量减法的形成过程。

向量减法与向量加法的类比、和转化则为本节课的教学重点难点：向量减法方向的方向的确定及向量减法的实际应用。

突破点：从本节课知识出发，借助相反向量利用转化及类比思想培养学生良好的数学思维能力。

三、目标定位1、知识与能力（1）掌握相反向量的概念，通过类比数的运算理解向量减法的定义，并掌握做两个向量的差向量的方法（2）掌握向量减法的几何意义并体会向量加、减法的内在联系，从而渗透转化的数学思想方法2、过程与方法（3）通过学习，感知向量具有数形兼备的特征，同时也是研究图形的重要工具，从而深入体会数形结合的思想方法（4）通过学习使学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题的过程，提高学生分析实际问题的能力，增强数学应用意识3、情感态度与价值观（5）营造和谐的课堂氛围，通过独立思考及合作交流使学生获得学习数学的成功体验，培养良好的学习习惯及利用转化、类比、数形结合等方法形成严谨的思维方式四、教学设想小结升华，布置作业1、创设情境、引出课题—概念形成教学过程设计意图与反思（1）通过前面的学习，我们知道向量是既有大小又有方向的量，并掌握了相等向量和共线向量的概念，了解了向量可以进行加法运算，现在大家看这样一道复习题，（2）2．提出问题，创设情境正如教材的第二章扉页上所说，如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限同时通过向量加法的学习，我们已经初步感受到了将知识的复习融入一道题目之中，巧妙地安排设问，复习相关概念并巩固向量加法的两种法则，为后续的教学做好准备【设计意图】问题串的引入符合学生的认知规律，从加法到减法的过渡自然流畅通过总结点明本节课所用到的三种数学思想类比、转化及数形结合的思想。

必修四第二章平面向量2．2．2向量的减法教学目的：知识目标：掌握向量的减法运算，并理解其几何意义通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量. 能力目标：让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。

情感目标：通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

教学重点：向量减法的定义及几何意义教学难点：向量减法的定义及几何意义教学过程：导入新课思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.提出问题①向量是否有减法？②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？③如何理解向量的减法？④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?引导学生思考,相反向量有哪些性质?由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.于是-(-a)=a.我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四边形法则如下图1,设向量AB=b,=a,则AD=-b,由向量减法的定义,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我们得到a-b的作图方法(2)三角形法则如上图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.讨论结果:①向量也有减法运算.②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a.③向量减法的定义.我们定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.规定:零向量的相反向量是零向量.④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.提出问题①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么?②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢?讨论结果:①=b-a..应用示例如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d.则BA=a-b,=c-d.变式训练(2006上海高考) 在ABCD中,下列结论中错误的是( )A.AB=B.AD+AB=C.AB-AD=BDD.AD+=0分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,AB-AD=BD错误,D中,AD+BC=AD+DA =0正确.答案:C例2 如图4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB吗?图4活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道=a+b,同样,由向量的减法,知DB=AB-AD=a-b.变式训练1.(2005高考模拟) 已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c解析:如上图,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2.若AC=a+b,DB=a-b.①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角？④a+b与a-b可能是相等向量吗？解析:如图,用向量构建平行四边形,其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则,得AC=a+b,DB=AB-AD=a-b. 由此问题就可转换为:①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同)点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.例3 判断题:(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有++=0.(3)若AB++=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.活动:根据向量的加、减法及其几何意义.解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则+=,与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有++=0,而此时构不成三角形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定. 当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.综上所述,只有(2)正确.例4 若||=8,||=5,则||的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:=-.(1)当AB、同向时,||=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤||≤13.答案:C点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.变式训练已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.知能训练课本本节练习解答:1.直接在课本上据原图作(这里从略).2.,,,,.点评:解题中可以将减法变成加法运算,如-=+=,这样计算比较简便.3.图略.课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论.课后作业板书设计：。

2.2.2 向量减法运算及其几何意义(1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量． (2)性质：①对于相反向量有：a ＋(－a )＝0. ②若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，a ＋b ＝0. ③零向量的相反向量仍是零向量． 2．向量的减法(1)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，如图所示． 3．|a |、|a ±b |与|b |三者之间的关系 ||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |； ||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |.思考：在什么条件下，|a －b |＝|a |＋|b |?[提示] 当a ，b 至少有一者为0或a ，b 非零且反向时成立． 1．非零向量m 与n 是相反向量，下列不正确的是( ) A ．m ＝n B ．m ＝－n C ．|m |＝|n |D ．方向相反A [由条件可知，当m ≠0且n ≠0时B ，C ，D 项都成立，故选A.] 2．在菱形ABCD 中，下列等式中不成立的是( ) A.AC →－AB →＝BC → B.AD →－BD →＝AB → C.BD →－AC →＝BC →D.BD →－CD →＝BC →C [如图，根据向量减法的三角形法则知A 、B 、D 均正确，C 中，BD →－AC →＝AD →－AB →－(AB →＋AD →)＝－2AB →≠BC →，故选C.]3．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A.QP →B.OQ →C.SP →D.SQ →B [原式＝(OP →＋PQ →)＋(PS →＋SP →)＝OQ →＋0=OQ →.]4．如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示向量AC →，BD →，则AC →＝________，BD →＝________.a ＋b b －a [由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a .]向量减法的几何意义【例1】 (1)如图所示，四边形ABCD 中，若AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( ) A ．a －b ＋c B ．b －(a ＋c ) C ．a ＋b ＋c D ．b －a ＋c(2)如图所示，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .思路点拨：(1)利用向量减法和加法的几何意义，将DC →向AB →，BC →，AD →转化； (2)利用几何意义法与定义法求出a ＋b －c 的值． (1)A [DC →＝AC →－AD →＝(AB →＋BC →)－AD →＝a ＋c －b .](2)[解] 法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作BC →＝－c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .图① 图②求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．[跟进训练]1．如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c . [解] 法一：先作a －b ，再作a －b －c 即可．如图①所示，以A 为起点分别作向量AB →和AC →，使AB →＝a ，AC →＝b .连接CB ，得向量CB →＝a －b ，再以C 为起点作向量CD →，使CD →＝c ，连接DB ，得向量DB →.则向量DB →即为所求作的向量a －b －c .图① 图②法二：先作－b ，－c ，再作a ＋(－b )＋(－c )，如图②. (1)作AB →＝－b 和BC →＝－c ； (2)作OA →＝a ，则OC →＝a －b －c .向量减法的运算及简单应用【例2①用a ，b 表示DB →； ②用b ，c 表示EC →.(2)化简下列各向量的表达式： ①AB →＋BC →－AD →； ②(AB →－CD →)－(AC →－BD →)；③(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．思路点拨：按照向量加法和减法的运算法则进行化简，进行减法运算时，必须保证两个向量的起点相同．[解] (1)∵BC →＝a ，CD →＝b ，DE →＝c . ①DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－a －b . ②EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－b －c . (2)①AB →＋BC →－AD →＝AC →－AD →＝DC →.②(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0. ③(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝(AC →＋BA →)－(OC →－OB →)＝BC →－BC →＝0. [一题多解](2)②法一：(加法法则) 原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →) ＝AD →－AD →＝0；法二：减法法则(利用相反向量) 原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →) ＝CB →＋BC →＝0；法三：减法法则(创造同一起点) 原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(OB →－OA →)－(OD →－OC →)－(OC →－OA →)＋(OD →－OB →) ＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0.1．向量减法运算的常用方法2．向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差．解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 3．与图形相关的向量运算化简首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算．[跟进训练]2．化简下列向量表达式： (1)OM →－ON →＋MP →－NA →； (2)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)．[解] (1)OM →－ON →＋MP →－NA →＝NM →＋MP →－NA →＝NP →－NA →＝AP →.(2)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝AD →＋MB →＋BC →＋CM →＝AD →＋(MB →＋BC →＋CM →)＝AD →＋0＝AD →.向量减法几何意义的应用[1．以向量加法的平行四边形法则为基础，能否构造一个图形将a ＋b 和a －b 放在这个图形中？提示：如图所示平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →. 2．已知向量a ，b ，那么|a |－|b |与|a ±b |及|a |＋|b |三者具有什么样的大小关系？ 提示：它们之间的关系为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (1)当a ，b 有一个为零向量时，不等式显然成立．(2)当a ，b 不共线时，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OB →，如图①所示，根据三角形的性质，有||a |－|b ||<|a ＋b |<|a |＋|b |.同理可证||a |－|b ||<|a －b |<|a |＋|b |.(3)当a ，b 非零且共线时，①当向量a 与b 同向时，作法同上，如图②所示，此时|a ＋b |＝|a |＋|b |.②当向量a ，b 反向时，不妨设|a |>|b |，作法同上，如图③所示，此时|a ＋b |＝|a |－|b |.综上所述，得不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.【例3】 (1)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，若|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|，则四边形ABCD 是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定(2)已知|AB →|＝6，|AD →|＝9，求|AB →－AD →|的取值范围．思路点拨：(1)先由AB →＝DC →判断四边形ABCD 是平行四边形，再由向量减法的几何意义将|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|变形，进一步判断此四边形的形状．(2)由||AB →|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|求范围． (1)B [∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， 又∵|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|，∴|BD →|＝|AC →|. ∴四边形ABCD 为矩形．](2)[解] ∵||AB →|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|， 且|AD →|＝9，|AB →|＝6，∴3≤|AB →－AD →|≤15. 当AD →与AB →同向时，|AB →－AD →|＝3； 当AD →与AB →反向时，|AB →－AD →|＝15. ∴|AB →－AD →|的取值范围为[3,15]．1．将本例(2)的条件改为“|AB →|＝8，|AD →|＝5”，求|BD →|的取值范围． [解] 因为BD →＝AD →－AB →，|AB →|＝8，|AD →|＝5， ||AD →|－|AB →||≤|AD →－AB →|≤|AD →|＋|AB →|，所以3≤|BD →|≤13，当AB →与AD →同向时，|BD →|＝3； 当AB →与AD →反向时，|BD →|＝13. 所以|BD →|的取值范围是[3,13]．2．在本例(2)条件不变的条件下，求|AB →＋AD →|的取值范围． [解] 由||AB →|－|AD →||≤|AB →＋AD →|≤|AB →|＋|AD →|，∵|AB →|＝6，|AD →|＝9， ∴3≤|AB →＋AD →|≤15.当AB →与AD →同向时，|AB →＋AD →|＝15； 当AB →与AD →反向时，|AB →＋AD →|＝3.3．本例(2)中条件“|AD →|＝9”改为“|BD →|＝9”，求|AD →|的取值范围． [解] AD →＝BD →－BA →，又|BA →|＝|AB →|， 由||BD →|－|BA →||≤|BD →－BA →|≤|BD →|＋|BA →|， ∴3≤|AD →|≤15.1．用向量法解决平面几何问题的步骤(1)将平面几何问题中的量抽象成向量． (2)化归为向量问题，进行向量运算． (3)将向量问题还原为平面几何问题．2．用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可．(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键． 1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD 的两邻边AB ，AD 分别表示向量AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握．1．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；⑤a －b ＝a ＋(－b )；⑥a ＋(－a )＝0.正确的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6C [由向量减法、相反向量的定义可知①②③④⑤都正确，⑥错误．] 2．化简BA →－CA →＋DB →－DC →＝________. 0 [BA →－CA →＋DB →－DC → ＝(BA →＋AC →)＋(DB →－DC →) ＝BC →＋CB → ＝0.]3．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________. 0 2 [因为a ，b 为相反向量，∴a ＋b ＝0， 即|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，∴|a －b|＝|2a |＝2.]4．如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD →，BC →，BE →，CD →及CE →.[解] ∵四边形ACDE 是平行四边形， ∴CD →＝AE →＝c ， BC →＝AC →－AB →＝b －a ， BE →＝AE →－AB →＝c －a ， CE →＝AE →－AC →＝c －b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c.。

课题 2.2.2 向量减法运算及其几何意义教学目标知识与技能理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则．过程与方法掌握向量减法的几何意义情感态度价值观启发引导，讲练结合重点理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则．难点能熟练地进行向量的加、减运算．教学设计教学内容教学环节与活动设计探究点一向量的减法对照实数的减法，类比向量的减法，完成下表：根据相反向量的含义，完成下列结论：(1)－AB→＝___；(2)－(－a)＝__；(3)－0＝__；(4)a＋(－a)＝__；(5)若a与b互为相反向量，则有：a＝____，b＝____，a＋b＝__.探究点二向量减法的三角形法则(1)由于a－b＝a＋(－b)．因此要作出a与b的差向量a－b，可以转化为作a与－b的和向量．已知向量a，b如图所示，请你利用平行四边形法则作出差向量a－b.(2)当把两个向量a，b的始点移到同一点时，它们的差向量a－b可以通过下面的作法得到：①连接两个向量(a与b)的终点；②差向量a－b的方向是指向被减向量的终点．这种求差向量a－b的方法叫向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．请你利用向量减法的三角形法则作出上述向量a与b的差向量a－b.探究点三|a－b|与|a|、|b|之间的关系(1)若a与b共线，怎样作出a－b?（2)通过上面的作图，探究|a－b|与|a|，|b|之间的大小关系：当a与b不共线时，有：_____________________；当a与b同向且|a|≥|b|时，有：_______________；当a与b同向且|a|≤|b|时，有：_______________.教学内容教学环节与活动设计【典型例题】例1 如图所示，已知向量a 、b 、c 、d ， 求作向量a －b ，c －d .解 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ， OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d . BA →＝a －b ，DC →＝c －d .跟踪训练1 如图所示，在正五边形ABCDE 中，AB →＝m ，BC →＝n ，CD →＝p ，DE →＝q ，EA →＝r ，求作向量m －p ＋n －q －r .例2 化简下列式子：(1)NQ →－PQ →－NM →－MP →；(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．解 (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0.原式＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.跟踪训练2 化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)；(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．例3 若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .(1)当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？ (2)当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |? (3)当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？(4)a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点．。