人教版 高中数学 选修2-2《1.1.3导数的几何意义》教案

1.1.3 导数的几何意义【学习目标】1.认识导函数的观点；2.经过函数图象直观地理解导数的几何意义；3.会求曲线y f (x) 在某点处的切线方程．【新知自学】知识回首：1.若直线 l 过点P（x0，y0），且直线的斜率为k，则直线 l 的方程为_________________________.2. 函数y f ( x) 在点x x0处的导数是：_____________________，记作f / ( x0 )或 y / |x x0，即 f / ( x0 ) lim y_____________________ ．x0 x新知梳理：1.由以下图，我们发现，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确立的地点，这个确立的地点的直线 PT 称为点 P 处的________．注意：曲线的切线与曲线的公共点可能有多个．2.导数的几何意义：函数在 f (x) 在 x x0处的导数就是函数图象在点( x0 , f (x0 )) 处的切线 PT 的斜率k，即k____________________________.3.曲线y f (x) 上在 x x0处的切线方程为_________________________ ．4.若关于函数y f ( x)定义域内的每一个自变量值x ，都对应一个确立的导数值 f / ( x) ，则在 f (x) 定义域内，f/( x) 组成一个新的函数，这个函数称为函数y f (x) 的___________（简称_________），记作 ______或 ____，即 ______________________.感悟：（ 1）设切线的倾斜角为,那么当x→ 0 时 ,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率；（ 2）导数的定义供给了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;（3）切线斜率的实质—函数在x x0处的导数；（4）曲线在某点处的切线与该点的地点相关.对点练习：1.已知函数y f (x) 在点 x 0处的导数分别为以下状况：（1） f / (x) ＝０；（2） f / ( x) ＝１；（3）f/( x)＝－１．试求函数图象在对应点处的切线的倾斜角．2.甲、乙二人跑步的行程与时间关系以及百米赛跑行程和时间关系分别如图①②，试问：（ 1）甲、乙二人哪一个跑得快？（2）甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？3.建议后置以下说法正确的选项是（ A. 若 f ′(x0)不存在，则曲线）y = f (x)在点 (x0 , f(x0)) 处就没有切线B. 若曲线y = f (x)在点 (x0, f (x0))处有切线，则 f ′(x0)必存在C.若 f ′(x0)不存在，则曲线y = f (x)在点 (x0 , f (x0)) 处的切线斜率不存在D. 若曲线 y = f (x)在点 (x0, f (x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线4.若曲线 y = f (x)在点 ( x0, f (x0)) 处的切线方程是y=-2x-7, 则f (x0) =________________.【合作研究】典例精析：例 1. 求曲线y x21在点 P(1,2) 处的切线方程.变式练习：求曲线 y3x 2在点 (1,3) 处的切线方程.例 2.在曲线y=x2上过哪一点的切线平行于直线y=4x-5 ？变式练习：已知抛物线y=2x 2+1，求其上哪一点处的切线垂直于直线x+8y-3=0 ？规律总结 :一般地，设曲线C 是函数 y=f(x) 的图象， P(x0,y0)是曲线 C 上的定点，由导数的几何意义知直线的斜率 k= f/( x0)ylim f x0f xx ，既而由点和斜率可得点斜式方limx 0 x x 0x程，化简得切线方程 .【讲堂小结】【当堂达标】1.函数y f (x) 在 x x0处的导数 f / ( x0 ) 的几何意义是（）A. 在点x0处的斜率B. 在点(x0, f ( x0))处的切线与x 轴所夹的锐角的正切值C.曲线y f (x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率D. 点( x0, f ( x0))与点（０，０）连线的斜率2.假如曲线y f (x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为x 2 y 3 0 ，那么（）A. f/(x0)＞０B. f/( x0)＜０C. f/(x0)＝０D. f/( x0)不存在3.若函数y f (x)的图像上点P(x0 , y0 )处的导数 f / ( x0 ) ＜０，则说明函数在点P 邻近_________________（填单一递加或单一递减）．4.已知函数y=2x 2图象上一点A(2,8) ，求点 A 处的切线方程 .【课时作业】1.在曲线 f ( x) x 2上的切线倾斜角为的切点为（）4A. （０，０）B. （２，４）C.（1,1） D.（1,1）416242．曲线y x 22x 3 在点 A(1,6) 处的切线方程是_______________．3．如图，函数y=f(x) 的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8 ，则 f(5)+ f ( 5)=_________.应当标出点P 的横坐标54.在抛物线.y x 2上求一点，使过此点的切线：（1）平行于直线y 4 x15 ；（2）垂直于直线 2 x 6 y 50 ．5.已知抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 P（1,1）、Q（ 2， -1），且在点 Q 处与直线 y=x-3 相切，务实数 a,b,c 的值 .。

导数的几何意义【教学目标】知识与技能目标：本节的中心任务是研究导数的几何意义及其应用，概念的形成分为三个层次：(1) 通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径。

(2) 借助两个类比的动画，从圆中割线和切线的变化联系，推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线。

(3) 依据割线与切线的变化联系，数形结合探究函数)(x f 在0x x =处的导数0()f x '的几何意义，使学生认识到导数0()f x '就是函数)(x f 的图象在0x x =处的切线的斜率。

即：()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(lim 0000/＝曲线在0x x =处切线的斜率 在此基础上，通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题，加深对导数内涵的理解。

在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法。

过程与方法目标：(1) 学生通过观察感知、动手探究，培养学生的动手和感知发现的能力。

(2) 学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数学思维能力的提高。

(3) 结合分层的探究问题和分层练习，期望各种层次的学生都可以凭借自己的能力尽力走在教师的前面，独立解决问题和发现新知、应用新知。

情感、态度、价值观：(1) 通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值；(2) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。

在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。

1.1.3导数的几何意义教学建议1.教材分析教材从割线入手,观察割线的变化趋势,揭示了平均变化率与割线斜率之间的关系,通过逼近方法,将割线趋于的确定位置的直线定义为切线,从而将切线斜率和导数相联系,发现了导数的几何意义.本节的重点是理解导数的几何意义,难点是过曲线上某一点的切线斜率的求解方法.2.主要问题及教学建议(1)切线的定义.建议教师运用信息技术演示割线的动态变化趋势,让学生观察、思考,并引导学生共同分析,直观获得切线的定义.(2)导数的几何意义.建议教师通过数形结合,将切线斜率和导数相联系,发现导数的几何意义,引导学生体会用数形结合的方法解决问题的优势.备选习题1.若函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=()A. B. C. D.1解析:根据题意y'===(2ax+a·Δx)=2ax,设切点为(x0,y0),则2ax0=1,且y0=a+1,y0=x0,解得a=.答案:B2.已知函数y=f(x)=-1(a>0)的图象在x=1处的切线为l,求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.解:∵Δy=-1-+1=,∴.当Δx无限趋近于0时,趋近于,即f'(x)=.∴f'(1) =.又f(1)=-1,∴f(x)在x=1处的切线l的方程是y-+1=(x-1).∴l与两坐标轴围成的三角形的面积S==×(2+2)=1.当且仅当a=,即a=1时,直线l与两坐标轴围成的三角形的面积最小,最小值为1.3.过点P(-1,0)作抛物线f(x)=x2+x+1的切线,求切线方程.解:f(x)=x2+x+1,设抛物线上一点M(x1,y1),则该点处的切线斜率k=f'(x1)==2x1+1,于是过点(x1,y1)的切线方程是y-y1=(2x1+1)(x-x1).又∵y1=f(x1)=+x1+1,①且点(-1,0)在切线上,∴-y1=(-1-x1)(2x1+1).②由①②联立方程组,可解得x1=0或x1=-2,于是y1=1或y1=3,即切点为(0,1)或(-2,3).过(0,1)的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0;过点(-2,3)的切线方程为y-3=-3(x+2),即3x+y+3=0.第1页共1页。

导数概念及其运算考纲要求：1 理解导数概念及其实际背景；2 利用基本初等函数的导数公式和导数四则运算法则求简单函数的导数；3 理解导数的几何意义，会解决函数切线方程；学习目标熟记导数公式和法则，会求简单函数的导数。

理解并掌握函数的切线问题。

知识清单一 导数的概念1．函数＝f 在＝0处的导数 1定义：称函数＝f 在＝0处的瞬时变化率_____________________即为函数＝f 在＝0处的导数，记作f ′0 f ′0＝ ________________________2几何意义：函数f 在点 0 处的导数f ’0的几何意义是曲线＝f 在点0，f 0 处的切线相应切线方程为_________________________________________2 函数f 的导数： 称函数f ’＝为f 的导函数．x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0三导数的运算法则1.[f(x)±g(x)]'= ;2.[f(x)·g(x)]'= ;3.f(x)g(x)'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).基础训练3 曲线y=sin x+e x在点(0,1)处的切线方程是().3y+3=0B.x-2y+2=0C.2x-y+1=0D.3x-y+1=04 若y=ln 2x,则y'= .5 设函数f(x)的导数为f'(x),且f(x)=f'π2sin x+cos x,则f'π4= .6 已知直线y=2x-1与曲线y=ln x+a相切,求a的值.题型归纳题型一导数的计算题型二导数的几何意义【例2】已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线y=f(x)的切线方程.链接高考1.(2017海南八校一模)已知函数f (x )=ax x 2+3,若f'(1)=12,则实数a 的值为( ).A .2B .4C .6D .82.(2017吉林白山二模)设f (x )存在导函数且满足limΔx →0f (1)-f (1-2Δx )Δx=-2,则曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为( ).A .-1B .-2C .1D .23.(2017惠州模拟)已知函数f (x )=1x cos x ,则f (π)+f' π2 =( ).A .-3π2B .-1π2C .-3πD .-1π4.(河北衡水馆陶一中2018届月考)曲线f (x )=ax 3+bx-1在点(1,f (1))处的切线方程为y=x ,则b-a=( ).A .-3B .-2C .2D .35.(2017西宁复习检测)已知曲线y=x +1x -1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=( ).A .-2B .2C .-12D .126.(2017河南郑州二模)设函数f (0)(x )=sin x ,定义f (1)(x )=f'(f (0)(x )),f (2)(x )=f'(f (1)(x )),…,f (n )(x )=f'(f (n-1)(x )),则f (1)(15°)+f (2)(15°)+…+f (2017)(15°)的值为( ).A .6+ 24 B . 6- 24C .0D .17.(2017江西七校一模)已知函数f(x)=x2+f'(2)(ln x-x),则f'(4)= .8.(2017郑州第二次质检)如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),其中g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)= .9.(2017保定一模)若函数f(x)=ln x+ax的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是.。

《导数的几何意义》教学设计一、教材分析“导数的几何意义”选自人教B 版数学选修2-2第1章“导数及其应用”第一节，本节课为第一课时，共一课时。

本节课内容是在平均变化率和导数及导函数定义之后的内容，从几何意义的角度理解导数的含义与价值，体会逼近，极限的思想和数形结合的方法。

同时又是第三节“导数的应用”的知识基础。

所以这一节在本章中起到一节在本章中起到承前启后的作用，是本章的重点内容之一。

此外，导数作为微积分的基本概念，不仅在数学领域中地位非凡，而且自然科学的许多领域中也有广泛的应用。

导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点。

本节课是对导数概念的进一步理解和深入，为进一步学习微积分打下基础。

二、学情分析学生已有的知识与经验：学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解了瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，已经具备一定的微分思想，但是对于导数在研究函数性质中有什么作用还没有认识。

此外，学生在函数研究过程和解析几何研究过程中经常应用数形结合思想，且掌握了一些典型的具有几何意义的代数式。

可能出现的问题（1）从割线到切线的过程中采用的逼近方法，及朴素的极限思想的理解；（2）曲线的切线定义与初中阶段学习的圆的切线的定义的辨析。

直线与曲线只有唯一公共点与直线是曲线的切线是既不充分也不必要的关系。

（3）学生在求曲线的切线方程的过程中容易忽略已知点是否是切点。

根据对教材的充分分析、对课程标准的研究和对学生现有程度和可能出现问题的预判，我对本节课做了如下的目标和重难点的设定。

三、教学目标知识与技能目标：1.理解导数的几何意义；2.了解切线的定义；3掌握求曲线的切线方程的方法，并能准确求解。

过程与方法目标：1经历导数几何意义的探究过程，体验有限到无限、数形结合等数学思想方法；2培养学生分析、抽象、概括等思维能力；3培养学生科学的思维习惯。

情感态度价值观目标：1.渗透“逼近”思想和数形结合的思想，直观感受极限，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力。

教学课题 选修2-2第一章1.1.3导数的几何意义课标要求 一、知识与技能：1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；4．理解导函数二、过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

三、情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。

培养学生学数学，用数学的意识。

识记 理解 应用 综合 知识点1平均变化率与割线斜率的关系∨ 知识点2曲线切线的概念∨ 知识点3导数的几何意义∨ 知识点4导函数的概念 ∨目标设计1.通过作函数)x (f 图像上过点))x (f ,x (P 00的割线和切线直观感受由割线过渡到切线的变化过程 2.掌握函数在某一点处的导数的几何意义，进一步理解导数的定义 3.会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程（注意在某一点处和过该点的切线方程的区别）情境一：如图，观察图中当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n 沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势问题1：当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 逐渐趋近于哪个位置？这个位置有什么特点？（得出切线定义）问题2：这个切线的定义与以前我们学过的切线定义有何不同？（可引导学生从交点个数上进行分析）问题3：割线n PP 的斜率n k 如何表达？切线PT 的斜率k 如何表知识点认知层次达，它们有何关系？（容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ）情境二：联系上节课我们所学的平均变化率和瞬时变化率，与这节课的割线斜率和切线斜率进行类比，从而发现知识间的相互关系再进一步得到导数的几何意义平均变化率0x ∆→−−−→瞬时变化率割线的斜率0x ∆→−−−→切线的斜率问题1：已知曲线上两点0000(,()),(,())n x x P x f x P x f x +∆+∆， 求：(1)结合两点坐标，割线n PP 的斜率n k 可表示为什么？（()00()n f x x f x k x+∆-=∆） （2）结合0x ∆→，割线n PP →切线PT ，则切线PT 的斜率k 可表示为什么？（()000()lim x f x x f x k x∆→+∆-=∆） 问题2：你能发现导数的几何意义吗？ 函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 情境三 典例探究（课本例2）如右图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．问题1：用图形体现3.3)1(/-=h ，6.1)5.0(/=h 的几何意义。

1．1.3 导数的几何意义教学目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．教学知识梳理知识点一导数的几何意义如图，P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线．思考1割线PP n的斜率k n是多少？[答案]割线PP n的斜率k n＝f(x n)－f(x0) x n－x0.思考2当点P n无限趋近于点P时，割线PP n的斜率k n与切线PT的斜率k有什么关系？[答案]k n无限趋近于切线PT的斜率k.梳理(1)切线的定义：设PP n是曲线y＝f(x)的割线，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线y ＝f (x )在点P 处的切线．(2)导数f ′(x 0)的几何意义：导数f ′(x 0)表示曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 知识点二 导函数思考 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f ′(1)与f ′(x )，它们有什么不同． [答案] f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝2.f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝2x ，f ′(1)是一个值，而f ′(x )是一个函数．梳理 对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称导数), 即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx.特别提醒：区别联系f ′(x 0)f ′(x 0)是具体的值，是数值 在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f ′(x )f ′(x )是函数f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数题型探究类型一 求切线方程命题角度1 曲线在某点处的切线方程例1 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程．解 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点P (2,4)．=2|x y'＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx ＝lim Δx →0[4＋2Δx ＋13(Δx )2]＝4， ∴k ＝=2|x y'＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. 反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． [答案]－3[解析]∵=2|x y'＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx ＝lim Δx →0 (4＋Δx )＝4， ∴k ＝=2|x y'＝4.∴曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3. ∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3. 命题角度2 曲线过某点的切线方程例2 求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．解 设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)， 则切线的斜率为k ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx ＝2x 0＋1.又k ＝(x 20＋x 0＋1)－0x 0－(－1)＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1.解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1,0)的切线方程为 y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))． (2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．跟踪训练2 求函数y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋x 的图象上过原点的切线方程．解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋x 0，∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3－3(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )－(x 30－3x 20＋x 0) ＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2－6x 0Δx ＋(Δx )3－3(Δx )2＋Δx ，∴Δy Δx＝3x 20＋3x 0Δx －6x 0＋1＋(Δx )2－3Δx ， ∴f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝3x 20－6x 0＋1. ∴切线方程为y －(x 30－3x 20＋x 0)＝(3x 20－6x 0＋1)·(x －x 0)． ∵切线过原点，∴x 30－3x 20＋x 0＝3x 30－6x 20＋x 0，即2x 30－3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝32， 故所求切线方程为x －y ＝0或5x ＋4y ＝0. 类型二 利用图象理解导数的几何意义例3 已知函数f (x )的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) [答案]C[解析]k AB ＝f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)，f ′(2)为函数f (x )的图象在点B (2，f (2))处的切线的斜率， f ′(3)为函数f (x )的图象在点A (3，f (3))处的切线的斜率， 根据图象可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．反思与感悟 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．跟踪训练3 若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )[答案]A[解析]依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．类型三求切点坐标例4已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．解对于曲线f(x)＝x2－1，k1＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝2x0.对于曲线g(x)＝1－x3，k 2＝lim Δx →0 g (x 0＋Δx )－g (x 0)Δx＝lim Δx →0 1－(x 0＋Δx )3－(1－x 30)Δx ＝－3x 20. 由题意得2x 0＝－3x 20， 解得x 0＝0或－23.反思与感悟 求切点坐标的一般步骤 (1)设出切点坐标．(2)利用导数或斜率公式求出斜率．(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标． (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．跟踪训练4 直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：f (x )＝x 3－x 2＋1相切，则a 的值为________，切点坐标为________． [答案]3227 ⎝⎛⎭⎫－13，2327 [解析]设直线l 与曲线C 的切点为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx ＝3x 2－2x ，则f ′(x 0)＝3x 20－2x 0＝1解得x 0＝1或x 0＝－13， 当x 0＝1时，f (x 0)＝x 30－x 20＋1＝1， 又点(x 0，f (x 0))在直线y ＝x ＋a 上，将x 0＝1，y 0＝1. 代入得a ＝0，与已知条件矛盾，舍去． 当x 0＝－13时，f (x 0)＝⎝⎛⎭⎫－133－⎝⎛⎭⎫－132＋1＝2327. 将⎝⎛⎭⎫－13，2327代入直线y ＝x ＋a 中，得a ＝3227.当堂检测1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在[答案]B[解析]∵切线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝－12<0.2．设曲线f (x )＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1 [答案]A[解析]因为f ′(1)＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝lim Δx →0 2a Δx ＋a (Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， 所以2a ＝2，所以a ＝1.3.已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 [答案]B[解析]由导数的几何意义，知f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A ，B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．4．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，则实数a 的值为________． [答案]－7[解析]设点P (x 0,2x 20＋a )． 由导数的几何意义可得， f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 2(x 0＋Δx )2＋a －(2x 20＋a )Δx ＝4x 0＝8.∴x 0＝2，∴P (2,8＋a )．将x ＝2，y ＝8＋a ，代入8x －y －15＝0， 得a ＝－7.5．已知曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a ＝________. [答案]±1[解析]∵f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx＝3x 2， ∴曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)处的切线斜率为f ′(a )＝3a 2， ∴切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )， 即y ＝3a 2x －2a 3.令y ＝0得切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23a ，0， 由题设知三角形面积为12⎪⎪⎪⎪a －23a |a 3|＝16， 得a ＝±1.。

课题：《导数的几何意义》一、教材分析1、本课时的地位和特点本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人教B版教材）选修2-2，第一章第一节的第三课时。

《导数》这一节共分三个部分，即“函数的平均变化率”、“瞬时速度与导数”、“导数的几何意义”，前两部分是通过大量的实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程来理解导数的概念的，本课时正好是在前两部分的基础之上，对导数的概念从几何图形的角度深层次的剖析和研究，导数的几何意义是我们进一步学习导数在函数中的应用，研究函数曲线与直线的位置关系的基础，具有承前启后的作用。

导数的几何意义的研究使我们不仅从导数的数的方面研究导数的意义和作用，而且也使我们从数的另一种体现形式-----形，更直接具体的研究导数的概念。

另外，学生通过以前的学习对曲线的切线有了一定的认识和了解，从曲线和直线只有一个公共点来定义曲线和直线相切这一位置关系。

本节课是切线的含义在原有的概念的层次上升，不是仅从公共点上定义切线，而是从“割线”运动的一种极限的位置来定义曲线的切线的，将曲线的切线上升到新的思维层面上。

本节课是导数的概念的“形”的体现，利用《几何画板》的动态演示可以激发学生的探究问题的兴趣和好奇，同时也培养学生的发现问题，研究问题，解决问题的能力。

1、学生通过本节的学习，从“形”的角度深刻的理解导数的概念，有助于进一步学习曲线的切线的有关问题，同时对于直线与二次曲线的相切的意义有了更深层次的认识：不单是从公共点的个数上的判断，还可以从“运动学“的观点：由“割线”的“逐渐逼近“的方法来得出曲线的切线，完成了对同一概念的不同角度的学习和理解，使数与形达到了完美的统一，使每一名学习者都深刻的体会到数学之美，提升了对数学学习的兴趣和爱好，2、教师与学生资源的开发与利用3、与相关学科的联系导数的概念及其几何意义是本章的核心，同时也是整个高中数学学习的关键，利用导数的几何意义解决函数问题变得更直接，更具有一般性，解决或简化中学数学中的不少问题，导数的方法也是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具。

1.1.3 导数的几何意义教学目标：1、知识与技能 : 理解导数的几何意义；2、过程与方法：经历导数几何意义的学习过程，体会用导数的几何意义分析图象上点的变化情况的方法。

3、情感态度与价值观：体会导数与曲线的联系，初步认识数学的科学价值，发展理性思维能力。

教学重点：理解导数的几何意义； 教学难点：理解函数的导数就是在某点处的切线的斜率。

教具准备：多媒体课件，。

三．教学过程： （一）【知识链接回顾】 1函数的平均变化率是什么？ ＝f 在＝0处导数的定义是什么？1 错误!2 f ′0＝错误! 错误! （二）【提出问题，展示目标】我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢？ 1、创设情境：问题：平面几何中我们怎样判断直线是否是圆的切线？学生回答：与圆只有一个公共点的直线就叫做圆的切线 教师提问：能否将它推广为一般的曲线的切线定义？教师引导学生举出反例如下：因此，对于一般曲线，必须重新寻求曲线的切线定义。

（三）【合作探究】1曲线的切线及切线的斜率设函数＝f 的图象如图所示．AB 是过点A 0，f 0与点B 0＋Δ，f 0＋Δ的一条割线，当点B 沿曲线向A 移动时，Δ→0，割线逐渐变化，最终变为切线AD我们如何确定切线的方程？由直线方程的点斜式知，已知一点坐标，只需求切线的斜率。

那如何求切线的斜率呢？在此过程中割线AB 斜率错误!＝错误!最终变为切线AD 斜率，即错误! 错误!＝AD ，由导数的意义知，曲线在点0，f 0的切线斜率为f ′0．A说明: 1当0→∆x 时,割线AB 的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数2曲线在某点处的切线: 2导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率,即0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率;③利用点斜式求切线方程 （四）【例题精析】例1 求曲线2)(x x f y ==在点)1,1(P 处的切线斜率解: 222100[(1)1](11)2|lim lim 2x x x x x x y x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆ f ′1＝错误! 错误!＝错误! 错误!＝错误! 2＋Δ＝2所以,所求切线的斜率为2课堂练习1： 1．求曲线）的切线方程。

人教版高中选修(B版)2-21.1.3导数的几何意义教学设计一、教学目标1.理解导数的概念。

2.掌握用极限的方法求导数。

3.熟悉求函数在某一点的切线方程和斜率的方法。

4.了解导数的几何意义。

二、教学重点和难点1.重点：导数的概念、求导数的方法、切线方程和斜率的求法、导数的几何意义。

2.难点：导数的几何意义的理解和应用。

三、教学过程1. 导入1.讲解导数的概念。

2.示意图介绍导数的几何意义。

2. 阐述1.用极限的方法求导数。

2.求函数在某一点的切线方程和斜率的方法。

3.介绍导数的几何意义。

3. 实践1.给出一些例题，让学生运用所学方法进行求导和求切线方程。

2.针对导数的几何意义让学生练习。

4. 拓展1.学生进行应用题练习，了解导数在实际中的应用。

2.让学生思考更多的导数的几何意义。

四、教学方法1.结合图形进行讲解。

2.引导学生自主思考和独立解题。

3.运用活动和互动的方式进行教学。

五、教学评价1.学生能够理解导数的概念。

2.学生能够掌握用极限的方法求导数。

3.学生熟悉求函数在某一点的切线方程和斜率的方法。

4.学生了解导数的几何意义。

5.学生能够将导数的概念和方法应用于实际问题的解决。

六、教学资源1.课件、教辅、习题集等教学资源。

2.互联网上的相关视频等资源。

七、教学反思1.在教学中注重启发学生的思考能力，促进学生自主学习。

2.通过多种教学方式，让学生充分理解和掌握导数的概念和方法。

3.教师要及时调整教学方法和过程，让学生跟上教学进度和节奏。

导数的几何意义一、教学目标1知识与技能：理解导数的几何意义，并掌握“在”和“过”问题曲线的切线的斜率及切线方程的求解方法。

2过程与方法：动态演示割线“逼近”为切线的过程，让学生感受曲线上某点的切线“形成” 过程；让学生在观察、反思、总结过程中发现问题，解决问题。

3情感态度与价值观：渗透“逼近”思想，激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力。

二、教学重点与难点重点：理解和掌握切线的新定义、会求“在”点处的切线问题。

难点：会求“过”点处的切线问题。

三、学情分析选修2-2的内容，学生学习兴趣较高，但独立探索，解决问题的能力稍差，数学语言的表达及数形结合的能力、对知识灵活运用的能力仍有不足通过前两节对函数平均变化率和导数定义的学习，学生对有关导数的问题已经有了初步的认识，但是由于导数定义的抽象性，学生理解起来仍具有一定的困难。

四、学法与教法教法：在教学过程中始终以学生为主体开展一切教学活动，注重师生互动，共同探索；教师精心设计问题，引导学生循序渐进，获得知识。

1 新课的引入：通过课件的展示，提出问题，激发学生的求知欲。

2 探索导数的几何意义：数形结合，让学生在观察，思考，发现中学习。

3 例题处理：始终从问题出发，引导学生在探索中获得答案。

4 随堂演练：深化对导数几何意义的理解与应用，巩固新知。

学法：1 自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与教学活动（如对导数几何意义的探讨）2 合作学习：师生之间，同学之间合作交流，共同探讨问题3 探究学习：引导学生主动探索解答问题的方法（如例题的处理）五、教学过程1温故知新，引发思考1导数的定义2圆的切线是如何定义的？思考：能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线的概念？二．引导探究，获得新知探究一：曲线在某点处的切线的定义动画演示思考：点P处的切线与割线存在什么关系？结论：_______________________________________________________处切线的定义：__________________________________________________________________________________________________探究二：导数的几何意义思考：割线的斜率与切线的斜率有什么关系呢？结论：______________________________________________________2导数的几何意义：__________________________________________________________________________________________________________说明：三． 应用举例，巩固理解题型一：例1:求曲线f =2在点P 1,1处的切线方程归纳步骤：变式训练：=f =2在点=1处的切线方程2学生自主编写一道在点处的求切线方程的问题。

课题： 1.1.3导数的几何意义 课时：第1课时【学习目标】(1)了解导数的几何意义．(2)会利用导数的几何意义解决有关问题。

第一环节：导入学习知识点1 导数的几何意义设函数y ＝f (x )的图象如图1所示．AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .可见曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率趋向于过点A 的切线AD 的斜率，即错误!未指定书签。

f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝切线AD 的斜率．由导数意义可知，曲线y ＝f (x )过点(x 0，f (x 0))的切线的斜率等于f ′(x 0)．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地切线方程为：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．注意：∵函数在某点处的导数值就是曲线在该点处切线的斜率，∴当导数大于零时，则说明在该点处的切线斜率大于0，在该点附近，曲线是上升的；当导数等于0时，则说明在该点处的切线斜率等于0，在该点附近曲线比较平滑，几乎没有升降；当导数小于零时，则说明在该点处的切线斜率小于0，在该点附近曲线是下降的．知识点2 利用导数求曲线的切线方程利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 知识点3 导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每点处都有导数，此时，对于每一个x ∈(a ，b )，都对应着一个确定的导数f ′(x )，从而构成一个新的函数f ′(x )，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝错误!未指定书签。

1.1 导数1.1.3 导数的几何意义【提出问题】已知函数f (x )=x 2,求x =2时的导数。

解：因为22(2)(2)(2)2(4)y y x y x x x ∆=+∆-=+∆-=+∆∆ 所以4y x x∆=+∆∆ 因为00limlim(4)4x x y x x ∆→∆→∆=+∆=∆ 所以x =2时的导数为4。

我们知道，从数量上，函数在一点x 0的导数是函数在x 0处函数的瞬时变化率。

那么，从图形上看，一般函数()f x 在点x 0的导数有怎样的几何意义呢？【抽象概括】设函数y =f (x )的图像如下图：AB 是过点A （x 0 ，f (x 0)），B （x 0+⊿x ，f (x 0+⊿x )）的割线，AB 的斜率是：00()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆ 就是函数y =f (x )的平均变化率。

【获得新知】当点B 沿着曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置是直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 的切线。

由此可见，当⊿x 趋近于0时，割线AB 的斜率趋近于在点A 的切线AD 的斜率。

即切线AD 的斜率=000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆ 【解决问题】由导数意义可知，曲线y =f (x )在点（x 0 ，f (x 0)）的切线的斜率等于f ′(x 0)即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 【概念领悟】1．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴，这时切线的斜率不存在，即f (x )在这点的导数也不存在。

3. 如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴，根据直线方程的定义，可得此时的切线方程为x ＝x 0.4. 连续函数不一定在每一点处都有导数。

1.1.3 导数的几何意义教学目标1.了解导函数的概念以及导数与割线斜率之间的关系.2.理解曲线的切线的概念以及导数的几何意义.3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的思想方法.知识链接如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？ 答 设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线.于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 教学导引1.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0).相应地，切线方程为y －f (x 0) ＝f ′(x 0)(x －x 0).2.函数的导函数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数).f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx. 课堂讲解要点一 过曲线上一点的切线方程例1 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值.解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3ax Δx ＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3a Δx Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)，结合已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎨⎧ a ＝1－322，x 0＝－342.∴a ＝1－322. 规律方法 一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程.跟踪演练1 求曲线y ＝1x在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程. 解 因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝lim Δx →012＋Δx －12Δx ＝lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0. 要点二 求过曲线外一点的切线方程例2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0?(2)曲线过点P (3,9)的切线方程.解 y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0[2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx ＝lim Δx →0(4x ＋2Δx )＝4x . (1)设切点为(x 0，y 0)，则4x 0＝4，x 0＝1，y 0＝－5，∴切点坐标为(1，－5).(2)由于点P (3,9)不在曲线上.设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0，故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0).将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0).解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25).从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.规律方法 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.跟踪演练2 已知曲线y ＝13x 3＋43，求曲线过点P (2,4)的切线方程. 解 设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A (x 0，13x 30＋43)，则切线的斜率k ＝y ′|0x=x ＝x 20，∴切线方程为y －(13x 30＋43)＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， 即x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.要点三 求切点坐标例3 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角.解 f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点. (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点.(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝⎛⎭⎫－32，94是满足条件的点. (3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1.即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14， 即P ⎝⎛⎭⎫－12，14是满足条件的点. 规律方法 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意[解析]几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，例如平行，垂直等.跟踪演练3 已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝f (x )＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标.解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x ，∴k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0.由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2， ∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3). 当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ， 解得a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，解得a ＝－5.∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)； 当a ＝－5时，切点坐标为(2,3).当堂检测1.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( )A.4B.16C.8D.2[答案]C[解析]f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝lim Δx →0 2(2＋Δx )2－8Δx ＝lim Δx →0(8＋2Δx )＝8，即k ＝8. 2.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A.a ＝1，b ＝1B.a ＝－1，b ＝1C.a ＝1，b ＝－1D.a ＝－1，b ＝－1 [答案]A[解析]由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →0(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.3.已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.135°D.165°[答案]B[解析]∵y ＝12x 2－2， ∴y ′＝lim Δx →012(x ＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12x 2－2Δx ＝lim Δx →012(Δx )2＋x ·Δx Δx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫x ＋12Δx ＝x . ∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝⎛⎭⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°. 4.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16.则P 点坐标为________.[答案](3,30)[解析]设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →02(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4，令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30).。

1.1.3 导数的几何意义【教学目标】1.理解导数的几何意义，会用导数的定义求曲线的切线方程。

2.能用导数的方法解决有关函数的一些问题。

3.理解导数的几何意义，体会导数的思想及丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的应用。

【教学重点】导数的几何意义 【教学难点】利用导数解决实际问题一、 课前预习1、 割线的斜率：已知)(x f y =图像上两点))(,(00x f x A ，))(,(00x x f x x B ∆+∆+,过B A ,两点割线的斜率是_________，即曲线割线的斜率就是___________.2、 函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '的几何意义是___________________，相应地，曲线()x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程为 .3、 如果把)(x f y =看作是物体的运动方程，那么导数)(0x f '表示____________，这就是导数的物理意义.※自学教材11页例1、例2，探究课上学习部分的例1和例2二、课上学习例1、求抛物线2x y =在点（2,4）切线的斜率.例2、求双曲线x y 1=在点(1,1)的切线方程.例3、求曲线2x y =过点（2，-5）的切线方程.例4、下列三个命题：a 若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y=在点))(,(00x f x 处没有切线； b 若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处有切线，则)(0x f '必存在；c 若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y=在点))(,(00x f x 处的切线的斜率不存在. 其中正确的命题是_______精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

导数的几何意义【教学目标】1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．【教法指导】本节学习重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义．本节学习难点：导数的几何意义．【教学过程】☆复习引入☆如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数,它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容．☆探索新知☆思考1:如图，当点P n（x n，f(x n））（n＝1,2,3，4)沿着曲线f（x)趋近于点P（x0,f（x0))时,割线PP n的变化趋势是什么?思考2：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答：不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点,和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图,曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．其图象特征是：切点附近的曲线均在切线的同侧，如l 2.思考3：曲线f （x ）在点(x 0，f （x 0））处的切线与曲线过某点（x 0，y 0)的切线有何不同？ 答:曲线f （x ）在点（x 0,f (x 0)）处的切线，点（x 0，f (x 0）)一定是切点，只要求出k ＝f ′（x 0），利用点斜式写出切线即可;而曲线f （x ）过某点(x 0,y 0)的切线，给出的点（x 0，y 0）不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点．【小结】曲线y ＝f （x ）在点P （x 0,f (x 0））处的切线的斜率k ＝f ′（x 0），欲求斜率,先找切点P (x 0,f (x 0)）．思考4：如何求曲线f (x ）在点（x 0,f （x 0）)处的切线方程？答：先确定切点P （x 0，f (x 0)） ，再求出切线的斜率k ＝f ′(x 0）,最后由点斜式可写出切线方程． 2、例题剖析例1:（1)求曲线y =f (x ）=x 2+1在点P （1,2）处的切线方程.(2）求函数y =3x 2在点处的切线方程。

《导数的几何意义》教学设计本溪市第一中学 孙晓雨教材：人教B 版选修2-2教材分析：本节课是在学生学习了平均变化率、瞬时变化率，以及用极限定义导数的基础上，进一步从几何意义上理解导数的含义与价值 导数的几何意义的学习为常见函数导数的计算、导数的应用奠定了基础 因此，导数的几何意义有着承前启后的作用，是本节的重要概念 根据上述教材分析，制定了如下教学目标和重点难点教学目标：● 知识与技能：（1）通过函数图象直观地理解导数的几何意义；（2）会利用导数的几何意义求切线方程；● 过程与方法：（1）通过观察类比，合作探究，概括出一般曲线的切线定义；（2）经历发现导数的几何意义的过程，体会逼近、类比、数形结合的思想方法。

情感态度与价值观：领悟有限与无限，量变与质变的辩证关系，感受人类理性思维的作用； 教学重点：利用导数求切线方程；教学难点：过某点的切线方程的求法。

教具准备：多媒体课件，三角板。

教学过程：一、复习回顾：1．我们是怎样一步步抽象出导数的概念的？2基本初等函数导数公式？函数和（差）的求导法则？生：平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00→ 瞬时变化率xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000 →导数)(0'x f生：回答导数公式和（差）的求导法则：=+')]()([x g x f )()(''x g x f + =-')]()([x g x f )()(''x g x f -二、引入新课师： 初中平面几何中我们是如何定义圆的切线和割线的？生：根据直线和圆的交点个数，有一个交点时，直线是圆的切线；有两个交点时，直线是圆的割线。

（投影展示）师：对于一般曲线的切线和割线，它们又具有怎样的位置关系呢？今天我们和大家一起研究曲线切线问题——导数的几何意义板书课题：导数的几何意义二．讲授新课教师引导学生观察右图，回答下面问题：师补充说明（1）如图1，初中时，我们怎样定义圆的切线和割线？2，1l 是否为曲线在点A 处的切2 如图线 2l 是否为曲线在点B 处的切线2l 是否为曲线在点C 处的切线生：不是；是；不是师：尽管1l 与曲线只有一个公共点，但它不是曲线的切线；2l 尽管与曲线有2个公共点，但我们还是说2l 是在B 处的切线；3 如图3，你能不能类比圆的割线和切线的动态关系，寻求一般曲线的切线？（演示几何画板）师：我们发现，当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 叫做曲线在点P 处的切线。