高一期末复习(三角函数)周丽娟

(名师选题)人教高中数学必修一第五章三角函数知识点归纳总结(精华版)单选题1、若sinα+cosαsinα−cosα=12，则tan (α+π4)的值为（ ） A ．−2B ．2C ．−12D ．12 答案：C分析：利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案. 因为sinα+cosαsinα−cosα=12．所以tanα+1tanα−1=12，解得tanα=−3， 于是tan (α+π4)= tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−3+11−(−3)=−12．故选：C.2、已知sinαcosα=12，则tanα+1tanα的值为（ ） A ．12B ．−12C ．−2D ．2答案：D解析：根据题中条件，由切化弦，将所求式子化简整理，即可得出结果. ∵sinαcosα=12， ∴tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=sin 2α+cos 2αsinαcosα=112=2，故选：D.3、设0<α<π，sinα+cosα=713，则1−tanα1+tanα的值为（ ）A ．177B ．717C ．−177D ．−717 答案：C分析：依题意可知π2<α<π，得到cosα−sinα<0，再利用正余弦和差积三者的关系可求得cosα−sinα的值，将所求关系式切化弦，代入所求关系式计算即可． 由sinα+cosα=713，平方得到1+sin2α=49169，∴sin2α=49169−1=−120169=2sinαcosα，0<α<π， ∴ π2<α<π，∴cosα<0，而sinα>0， ∴cosα−sinα<0； 令t =cosα−sinα(t <0)， 则t 2=1−sin2α，∴t 2=1−sin2α=1+120169=289169，t <0∴t =−1713∴ 1−tanα1+tanα=cosα−sinαcosα+sinα=137(cosα−sinα)=137×(−1713)=−177，故选：C ．4、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（ ） A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin1 答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r 的等式，由此求解出r 的值.设扇形的半径为R ，圆心角为α，面积为S ，因为2R +αR =20， 所以S =12αR 2=(10−R )R ≤(10−R+R 2)2=25，取等号时10−R =R ，即R =5，所以面积取最大值时R =5,α=2， 如下图所示：设内切圆圆心为O ，扇形过点O 的半径为AP ，B 为圆与半径的切点， 因为AO +OP =R =5，所以r +rsin∠BPO =5，所以r +rsin1=5， 所以r =5sin11+sin1，故选：C.5、设函数f(x)=2sin (ωx +φ)−1(ω>0)，若对于任意实数φ，f(x)在区间[π4,3π4]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．[83,163)B ．[4,163)C ．[4,203)D ．[83,203)答案：B分析：t =ωx +φ，只需要研究sint =12的根的情况，借助于y =sint 和y =12的图像，根据交点情况，列不等式组，解出ω的取值范围. 令f(x)=0，则sin (ωx +φ)=12 令t =ωx +φ，则sint =12则问题转化为y =sint 在区间[π4ω+φ,3π4ω+φ]上至少有两个，至少有三个t ，使得sint =12，求ω的取值范围.作出y =sint 和y =12的图像，观察交点个数，可知使得sint =12的最短区间长度为2π，最长长度为2π+23π，由题意列不等式的：2π≤(3π4ω+φ)−(π4ω+φ)<2π+23π 解得：4≤ω<163.故选：B小提示：研究y =Asin (ωx +φ)+B 的性质通常用换元法（令t =ωx +φ），转化为研究y =sint 的图像和性质较为方便.6、cos 2π12−cos 25π12=（ ） A ．12B ．√33C ．√22D ．√32 答案：D分析：由题意结合诱导公式可得cos 2π12−cos 25π12=cos 2π12−sin 2π12，再由二倍角公式即可得解. 由题意，cos 2π12−cos 25π12=cos 2π12−cos 2(π2−π12)=cos 2π12−sin 2π12 =cos π6=√32. 故选：D.7、已知函数f(x)=a 2x−6+3（a >0且a ≠1）的图像经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sinθ−cosθsinθ+cosθ=（ ） A ．−17B ．0C ．7D ．17 答案：D分析：由题知A(3,4),进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. 解:令2x −6=0得x =3,故定点A 为A(3,4), 所以由三角函数定义得tanθ=43， 所以sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanθ−1tanθ+1=43−143+1=17故选：D8、若y =f (x )的图像与y =cosx 的图象关于x 轴对称，则y =f (x )的解析式为（ ）A．y=cos(−x)B．y=−cosxC．y=cos|x|D．y=|cosx|答案：B分析：根据f(−x)、−f(x)、f(|x|)与|f(x)|的图象特征依次判断即可得到结果.对于A，y=cos(−x)=cosx，图象与y=cosx重合，A错误；对于B，∵y=f(x)与y=−f(x)图象关于x轴对称，∴y=−cosx与y=cosx图象关于x轴对称，B正确；对于C，当x≥0时，y=cos|x|=cosx，可知其图象不可能与y=cosx关于x轴对称，C错误；对于D，将y=cosx位于x轴下方的图象翻折到x轴上方，就可以得到y=|cosx|的图象，可知其图象与y= cosx的图象不关于x轴对称，D错误.故选：B.9、将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为1，根据定义逐项判断即可得出结论.2若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，（1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误； （2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确； （3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为3×16×2π=π，圆的周长为2π×12=π，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为π×126=π6，正三角形的面积S =12×1×1×√32=√34， 则一个弓形面积S =π6−√34， 则整个区域的面积为3(π6−√34)+√34=π2−√32， 而圆的面积为π(12)2=π4，不相等，故错误；综上，正确的有2个， 故选：B.小提示：本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键． 10、f(x)=−sinx−xcosx+x 2在[−π,π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C分析：先由函数为奇函数可排除A ，再通过特殊值排除B 、D 即可.由f(−x)=−sin(−x)+xcosx+x2=−−sinx−xcosx+x2=−f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除选项A.又f(π)=−sinπ−πcosπ+π2=−ππ2−1<0，则排除选项B,D故选：C填空题11、如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4√3，则这个圆锥的体积为___________.答案：128√2π81分析：作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出cos∠P′OP=2π3，求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积.作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：cos∠P′OP=OP2+OP′2−PP′22OP·OP′=42+42−(4√3)22×4×4=−12∴cos∠P′OP=2π3.设底面圆的半径为r,则有2πr=2π3·4,解得r=43,所以这个圆锥的高为ℎ=√16−169=8√23，则这个圆锥的体积为V=13Sℎ=13πr2ℎ=13π×169×8√23=128√2π81.所以答案是：128√2π81.小提示：立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量.12、自行车大轮48齿，小轮20齿，大轮转一周小轮转___________周．答案：125分析：通过两个车轮转动的齿数相同，计算即可得出结果.∵两个车轮转动的齿数相同，大轮有48齿，小轮有20齿，∴当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿，∴小轮转动4820=125周.所以答案是：125.13、若cosα=−35,α为第二象限的角，则sin(π−α)=__________．答案：45分析：先根据同角三角函数的关系求出sinα，再结合诱导公式即可求出sin(π−α).∵cosα=−35,α为第二象限的角，∴sinα=√1−cos2α=45，∴sin(π−α)=sinα=45.所以答案是：45.小提示：本题考查同角三角函数的关系以及诱导公式的应用，属于基础题.14、若α∈(π2，π)，且cos2α−sinα=14，则tanα=_____.答案：−√33分析：根据同角平方和关系可解得sinα=12，进而根据角的范围可得α=5π6，进而可求.因为cos2α−sinα=14，所以4(1－sin2α)－4sinα－1=0即4sin 2α+4sin α－3=0 ，∴解得sin α=12或sin α=−32（舍去）．∵α∈(π2，π)，∴α=5π6，因此tan α=tan5π6=−√33． 所以答案是：−√33 15、已知cos(α+π6)=35，α∈(0，π2)，则cos(2α+7π12)=__．答案：−31√250分析：先求出cos(2α+π3)=−725，sin(2α+π3)=2425，再利用和差角公式即可求解. ∵cos(α+π6)=35，α∈(0，π2)． ∴(α+π6)∈(0，π2)，(2α+π3)∈(0，π)．cos(2α+π3)=2cos(α+π6)−1=2×(35)2−1=−725． ∴sin(2α+π3)=√1−cos(2α+π3)=2425．∴cos(2α+7π12)=cos(2α+π3+π4)=cos(2α+π3)cos π4−sin(2α+π3)sin π4 =−725×√22−2425×√22=−31√250． 所以答案是：−31√250. 解答题16、已知函数y =asin (2x −π3)+b (a >0).(1)求出该函数的单调递减区间；(2)当x ∈[0,π2]时，f (x )的最小值是−2，最大值是√3，求实数a ，b 的值.答案：(1)[k π+5π12,k π+11π12]，k ∈Z(2)a =2，b =−2+√3分析：(1)利用整体代入法即可求解y =asin (2x −π3)+b 的单调减区间；(2)结合x ∈[0,π2]，利用正弦函数的性质求出sin (2x −π3)的取值范围，然后结合已知条件求解即可. (1)结合已知条件和正弦函数性质，由2k π+π2≤2x −π3≤2k π+3π2，k ∈Z ，解得k π+5π12≤x ≤k π+11π12，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递减区间为[k π+5π12,k π+11π12]，k ∈Z .(2)令t =2x −π3，∵0≤x ≤π2，∴−π3≤t ≤2π3，∴由正弦函数性质得，−√32≤sint =sin(2x −π3)≤1，故f (x )min =−√32a +b =−2，f (x )max =a +b =√3，由{−√32a +b =−2a +b =√3，解得{a =2b =−2+√3. 17、已知函数f (x )={cosx,−π⩽x <0,sinx,0⩽x ⩽π.（1）作出该函数的图象； （2）若f (x )=12，求x 的值；（3）若a ∈R ，讨论方程f (x )=a 的解的个数．答案：（1）图见解析；（2）x =−π3或π6或5π6；（3）当a >1或a <−1时，解的个数为0；当−1⩽a <0或a =1时，解的个数为1；当0⩽a <1时，解的个数为3． 分析：（1）根据正余弦函数的图象即可画出； （2）讨论x 的范围根据解析式即可求解；（3）方程f (x )=a 的解的个数等价于y =f (x )与y =a 的图象的交点个数，结合图象即可得出. （1）f (x )的函数图象如下：（2）当−π≤x <0时，f (x )=cosx =12，解得x =−π3，当0≤x ≤π时，f (x )=sinx =12，解得x =π6或5π6，综上，x =−π3或π6或5π6； （3）方程f (x )=a 的解的个数等价于y =f (x )与y =a 的图象的交点个数，则由（1）中函数图象可得，当a >1或a <−1时，解的个数为0；当−1⩽a <0或a =1时，解的个数为1；当0⩽a <1时，解的个数为3．18、已知函数f (x )=2cos 2x 2+√3sin x +a −1的最大值为1.(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若x ∈[0，π2]，求函数f (x )的值域.答案：(1)[2kπ+π3,2kπ+4π3]，k ∈Z(2)[0,1]分析：(1)利用三角恒等变换化简函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，ωx ＋φ整体替换进行单调区间的求解；(2)求出ωx ＋φ整体范围，根据正弦型函数图像求其值域﹒（1）f (x )=2cos 2x 2+√3sin x +a −1 =cosx +√3sinx +a =2sin (x +π6)+a ．由f(x)max=2+a=1，解得a=−1．又f(x)=2sin(x+π6)−1，则2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z，解得2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3，k∈Z，所以函数的单调递减区间为[2kπ+π3,2kπ+4π3]，k∈Z；（2）由x∈[0，π2]，则x+π6∈[π6，2π3]，所以12≤sin(x+π6)≤1，所以0≤2sin(x+π6)−1≤1，所以函数f(x)的值域为[0,1]．。

(名师选题)部编版高中数学必修一第五章三角函数知识汇总笔记单选题1、已知tanθ=2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)=（ ）A ．2B ．-2C ．0D ．23 答案：B分析：根据tanθ=2，利用诱导公式和商数关系求解.因为tanθ=2，所以sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)，=2cosθcosθ−sinθ，=21−tanθ=−2，故选：B2、要得到函数y =sin (2x +π6)的图象，可以将函数y =cos (2x −π6)的图象（ ） A ．向右平移π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π6个单位长度答案：A分析：利用诱导公式将平移前的函数化简得到y =sin (2x +π3)，进而结合平移变换即可求出结果. 因为y =cos (2x −π6)=sin (2x −π6+π2)=sin (2x +π3)， 而y =sin [2(x −π12)+π3]，故将函数y =cos (2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度即可，故选：A.3、已知sinαcosα=−16, π4<α<3π4，则sinα-cosα的值等于（ ）A ．2√33B ．−2√33C ．−√63D ．43 答案：A分析：结合同角三角函数的基本关系式，利用平方的方法求得正确结论.由于sinαcosα=−16, π4<α<3π4，所以sinα>0,cosα<0，故sinα−cosα>0，所以sinα−cosα=√(sinα−cosα)2=√1−2sinαcosα=√1+13=2√33. 故选：A4、若tanθ=2，则sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=（ ） A ．25B ．−25C ．65D ．−65答案：A分析：由二倍角正弦公式和同角关系将sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ转化为含tanθ的表达式，由此可得其值. sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sin 2θ+cos 2θ−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sinθ−cosθ)2sinθ−cosθ=sin 2θ−sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ−tanθtan 2θ+1=25． 故选：A.5、智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线y =Asin(ωx +φ)（其中A >0，ω>0，0≤φ<2π）的振幅为1，周期为2π，初相为π2，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）A ．y =sinxB ．y =cosxC ．y =−sinxD ．y =−cosx答案：D分析：设噪声的声波曲线y =Asin(ωx +φ)，由题意求出A ，ω，φ，即可得到降噪芯片生成的声波曲线的解析式.由噪声的声波曲线y =Asin(ωx +φ)（其中A >0，ω>0，0≤φ<2π）的振幅为1，周期为2π，初相为π2，可得ω=2πT =2π2π=1，A =1，φ=π2，所以噪声的声波曲线的解析式为y =sin (x +π2)=cosx ，所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为y =−cosx .故选D ．6、已知扇形的圆心角为3π4，半径为4，则扇形的面积S 为（ ） A ．3πB ．4πC ．6πD ．2π答案：C解析：利用S =12αr 2即可求得结论.由扇形面积公式得：S =12×3π4×42=6π.故选：C.7、已知A 为三角形的内角，且sinA +cosA =713，则tanA =（ ）A ．−125B ．−512C ．512D ．125 答案：A分析：根据同角三角函数的基本关系，运用“弦化切”求解即可.∵sinA +cosA =713∴(sinA +cosA )2=(713)2 计算得2sinAcosA =−120169<0，所以sinA >0，cosA <0，从而可计算的(sinA −cosA )2=1−2sinAcosA =289169∴sinA −cosA =1713，∴sinA =1213，cosA =−513∴tanA =sinA cosA =−125,选项A 正确，选项BCD 错误.故选：A.8、要得到函数y =3sin(2x +π4)的图象，只需将函数y =3sin2x 的图象（ ）. A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度 答案：C分析：根据函数图象平移的性质：左加右减，并结合图象变化前后的解析式判断平移过程即可.将y =3sin2x 向左移动π8个单位长度有y =3sin2(x +π8)=3sin(2x +π4)， ∴只需将函数y =3sin2x 的图象向左平移π8个单位长度，即可得y =3sin(2x +π4)的图象.故选：C多选题9、若α∈[0，2π]，sin α3sin 4α3+cos α3cos 4α3=0，则α的值是（ ）A ．π6B ．π4C ．π2D ．3π2 答案：CD分析：由已知结合两角差的余弦公式进行化简求解即可．解：因为α∈[0，2π]，sin α3sin 4α3+cos α3cos 4α3=cos α＝0，则α =12π或α=3π2，故选：CD ．10、下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．sin(x +π3）B ．sin(π3−2x)C ．cos(2x +π6）D ．cos(5π6−2x) 答案：BC分析：首先利用周期确定ω的值，然后确定φ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 由函数图像可知：T 2=23π−π6=π2，则|ω|=2πT =2ππ=2，所以不选A,不妨令ω=2,当x =23π+π62=5π12时，y =−1∴ 2×5π12+φ=3π2+2kπ(k ∈Z )， 解得：φ=2kπ+23π(k ∈Z )，即函数的解析式为：y=sin(2x+23π+2kπ)=sin(2x+π6+π2)=cos(2x+π6)=sin(π3−2x).而cos(2x+π6)=−cos(5π6−2x)故选：BC.小提示：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.11、已知0<α<β<π2，且tanα，tanβ是方程x2−kx+2=0的两不等实根，则下列结论正确的是（）A．tanα+tanβ=−k B．tan(α+β)=−kC．k>2√2D．k+tanα≥4答案：BCD解析：根据题意可得tanα+tanβ=k，tanα⋅tanβ=2，再利用两角和的正切公式可判断B，利用基本不等式可判断C、D由tanα，tanβ是方程x2−kx+2=0的两不等实根，所以tanα+tanβ=k，tanα⋅tanβ=2，tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=k−1=−k，由0<α<β<π2，tanα，tanβ均为正数，则tanα+tanβ=k≥2√tanα⋅tanβ=2√2，当且仅当tanα=tanβ取等号，等号不成立k+tanα=2tanα+tanβ≥2√2tanα⋅tanβ=4，当且仅当2tanα=tanβ取等号，故选：BCD小提示：本题考查了韦达定理、两角和的正切公式、基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于基础题.填空题12、已知120°的圆心角所对的弧长为4πm，则这个扇形的面积为_________m2．答案：12π分析：选求出半径，再用扇形面积公式计算即可.由题意，120°=2π3，且圆心角所对的弧长为4πm，∴2π3R=4π，解得R=6，∴扇形的面积为S=12×4π×6=12π(m2)．所以答案是：12π．13、已知tanα=2，则1sin2α−cos2α_____.答案：53分析：根据弦切互化即可求解.因为tanα=2，所以1sin2α−cos2α=sin2α+cos2αsin2α−cos2α=tan2α+1tan2α−1=4+14−1=53所以答案是：53。

(名师选题)部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案必考知识点归纳单选题1、若tanθ=−2，则sin 2θ+2sinθcosθ−cos 2θ的值是（ ） A ．−15B ．−35C ．−75D ．15 2、cos 2π12−cos 25π12=（ ） A ．12B ．√33C ．√22D ．√323、小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB ，AC 和优弧BC 围成，其中BC 连线竖直，AB ，AC 与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为74，则cos∠BAC =（ ）．A ．1725B ．4√37C ．45D ．574、已知f (x )=2√3sinwxcoswx +2cos 2wx ，（w >0），若函数在区间(π2,π)内不存在对称轴，则w 的范围为（ ）A ．(0,16]∪[13,34]B ．(0,13]∪[23,34] C ．(0,16]∪[13,23]D ．(0,13]∪[23,56]5、已知函数f(x)=a 2x−6+3（a >0且a ≠1）的图像经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sinθ−cosθsinθ+cosθ=（ ）A ．−17B ．0C ．7D ．176、《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=1(弦×矢＋矢2)．弧田（如图7-1-5）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半2，半径为4m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3（）A．6m2B．9m2C．12m2D．15m27、将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A．1个B．2个C．3个D．4个8、所有与角α的终边相同的角可以表示为k⋅360°+α(k∈Z)，其中角α（）A ．一定是小于90°的角B ．一定是第一象限的角C ．一定是正角D ．可以是任意角 多选题9、已知tanθ=2，则下列结论正确的是（ ） A ．tan(π−θ)=−2B ．tan(π+θ)=−2C ．sinθ−3cosθ2sinθ+3cosθ=−17D ．sin2θ=4510、下列四个函数中，以π为周期且在(0,π2)上单调递增的偶函数有（ ） A ．y =cos |2x |B ．y =sin2x C ．y =|tanx |D ．y =lg |sinx | 11、下列各式中，值为√32的是（ ） A ．√1−cos120°2B ．cos 2π12−sin 2π12C ．cos 15°sin 45°−sin 15°cos 45°D ．tan15°1−tan 215°填空题12、关于函数f （x ）=sinx +1sinx 有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称． ③f （x ）的图象关于直线x =π2对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．13、如果角α是第三象限角，则点P(tanα,sinα)位于第_______象限部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案(二十五)参考答案1、答案：A分析：利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；解：因为tanθ=−2，所以sin2θ+2sinθcosθ−cos2θ=sin2θ+2sinθcosθ−cos2θsin2θ+cos2θ=tan2θ+2tanθ−1tan2θ+1=(−2)2+2×(−2)−1(−2)2+1=−15.故选：A 2、答案：D分析：由题意结合诱导公式可得cos2π12−cos25π12=cos2π12−sin2π12，再由二倍角公式即可得解.由题意，cos2π12−cos25π12=cos2π12−cos2(π2−π12)=cos2π12−sin2π12=cosπ6=√32.故选：D.3、答案：A分析：设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为|OA|+R，竖直高度为2R，根据题意求得OA=52R，由切线的性质和正弦函数的定义可得sin∠BAO=25，结合圆的对称性和二倍角的余弦公式即可得出结果.设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如下图所示易知“水滴”的水平宽度为|OA |+R ，竖直高度为2R ，则由题意知OA+R 2R=74，解得OA =52R ，AB 与圆弧相切于点B ，则OB ⊥AB ，∴在Rt △ABO 中，sin∠BAO =OB OA=R 52R=25，由对称性可知，∠BAO =∠CAO ，则∠BAC =2∠BAO ， ∴cos∠BAC =1−2sin 2∠BAO =1−2×(25)2=1725，故选：A ． 4、答案：C分析：先通过三角恒等变换将f (x )化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可． 函数化简得f (x )=√3sin2wx +cos2wx +1=2sin (2wx +π6)+1， 由2wx +π6=kπ+π2(k ∈Z )， 可得函数的对称轴为x =kπ+π32w(k ∈Z )， 由题意知，kπ+π32w≤π2且(k+1)π+π32w≥π，即k +13≤w ≤3k+46，k ∈Z ，若使该不等式组有解， 则需满足k +13≤3k+46，即k ≤23，又w >0，故0≤3k+46，即k >−43，所以−43<k ≤23，又k ∈Z ，所以k =0或k =1，所以w ∈(0,16]∪[13,23]． 5、答案：D分析：由题知A(3,4),进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. 解:令2x −6=0得x =3,故定点A 为A(3,4), 所以由三角函数定义得tanθ=43， 所以sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanθ−1tanθ+1=43−143+1=17故选：D 6、答案：B分析：根据题设条件计算出弦和矢，再代入弧田面积公式计算作答. 依题意，弦=2×4sin π3=4√3(m)，矢=4−4cos π3=2(m)， 则弧田面积=12(4√3×2+22)=4√3+2≈9(m 2)，所以弧田面积约是9m 2. 故选：B 7、答案：B分析：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，根据定义逐项判断即可得出结论.若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，（1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误； （2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确； （3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为3×16×2π=π，圆的周长为2π×12=π，故它们的周长相等，正确； （5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为π×126=π6，正三角形的面积S =12×1×1×√32=√34， 则一个弓形面积S =π6−√34， 则整个区域的面积为3(π6−√34)+√34=π2−√32， 而圆的面积为π(12)2=π4，不相等，故错误；综上，正确的有2个， 故选：B.小提示：本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键． 8、答案：D分析：由终边相同的角的表示的结论的适用范围可得正确选项.因为结论与角α的终边相同的角可以表示为k ⋅360°+α(k ∈Z )适用于任意角，所以D 正确， 故选：D. 9、答案：ACD分析：对于A ，B 利用诱导公式可求解；对于C ，D 利用齐次式化简可判断. 对于A 选项，tan(π−θ)=−tanθ=−2，故A 选项正确； 对于B 选项，tan(π+θ)=tanθ=2，故B 选项错误；对于C 选项，sinθ−3cosθ2sinθ+3cosθ=tanθ−32tanθ+3=2−34+3=−17，故C 选项正确；对于D 选项，sin2θ=2sinθcosθ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=44+1=45，故D 选项正确. 故选：ACD 10、答案：CD分析：由单调性判断出A 选项，由奇偶性判断B 选项，C 选项可画出函数图象进行判断，D 选项，先判断出y =|sinx |的最小正周期，单调性及奇偶性，进而作出判断. y =cos |2x |在(0,π2)上不单调，故A 错误； y =sin2x 为奇函数，故B 错误； y =|tanx |图象如下图：故最小正周期为π，在(0,π2)上单调递增，且为偶函数，故C 正确；y =|sinx |最小正周期为π，在(0,π2)上单调递增，且为偶函数，则y =lg |sinx |也是以π为周期且在(0,π2)上单调递增的偶函数，故D 正确.故选：CD11、答案：AB分析：结合二倍角公式和正弦的差角公式依次讨论各选项即可得答案.解：选项A：√1−cos120°2=√sin260°=sin60°=√32；选项B：cos2π12−sin2π12=cosπ6=√32；选项C：cos15°sin45°−sin15°cos45°=sin(45°−15°)=sin30°=12；选项D：tan15°1−tan215°=12×2tan15°1−tan215°=12tan30°=12×√33=√36.故选：AB.12、答案：②③分析：利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取−π<x<0可判断命题④的正误.综合可得出结论.对于命题①，f(π6)=12+2=52，f(−π6)=−12−2=−52，则f(−π6)≠f(π6)，所以，函数f(x)的图象不关于y轴对称，命题①错误；对于命题②，函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}，定义域关于原点对称，f(−x)=sin(−x)+1sin(−x)=−sinx−1sinx=−(sinx+1sinx)=−f(x)，所以，函数f(x)的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，∵f(π2−x)=sin(π2−x)+1sin(π2−x)=cosx+1cosx，f(π2+x)=sin(π2+x)+1sin(π2+x)=cosx+1cosx，则f(π2−x)=f(π2+x)，所以，函数f(x)的图象关于直线x=π2对称，命题③正确；对于命题④，当−π<x<0时，sinx<0，则f(x)=sinx+1sinx<0<2，命题④错误.所以答案是：②③.小提示：本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.13、答案：四分析：由角α是第三象限角，可判断出tanα>0,sinα<0，从而可判断出点P的位置因为角α是第三象限角，所以tanα>0,sinα<0，所以点P(tanα,sinα)位于第四象限，所以答案是：四。

高一数学期末复习讲义（一） 三角函数一、选择题：1．化简)sin()sin()cos()cos(γββαγββα-----为………………（ ） （A ）)2sin(γβα+- （B ）)sin(γα-（C ）)cos(γα- （D ）)2cos(γβα+- 2．函数)4sin()4sin(πx πx y -++=是…………………………………（ ） （A ）偶函数且最大值为2 （B ）奇函数且最大值为2（C ）奇函数且最大值为2（D ）偶函数且最大值为23．已知3tan =α，则αααα22cos 9cos sin 4sin 2-+的值为………（ ）（A ）3（B ）1021 （C ）31 （D ）3014．已知0<m ，0>n ，且0>+n m ，则下列各式中正确的是……………（ ）（A ）n m m n <-<<- （B ）m n m n -<<<- （C ）n m n m <-<-< （D ）m n n m -<<-< 5．设a 和b 是不相等的正数，则下列各式中成立的是………（ ）（A ）2222b a ab b a +<<+ （B ）2222b a b a ab +<+< （C ）2222ba b a ab +<+< （D ）2222b a ab b a +<<+ 6．若0>x ，则xx 133--的最大值为………………………………（ ） （A ）3（B ）233-（C ）323-（D ）1-7．已知212-=⋅b a ，4=a ，a 和b 的夹角为︒135，则b 为……（ ）（A ）12 （B ）3（C ）6（D ）338．已知=a )sin ,(cos αα，=b )sin ,(cos ββ，且b a ±≠，则下列结论中一定．．正确的是…………………………………………………………………（ ）（A ）b a ⊥ （B ）b a //（C ）)()(b a b a -⊥+（D ）a 与b 的夹角为βα+9．已知锐角三角形的边长分别为a ,3,1，则a 的范围是……………（ ）（A ）()10,8 （B ）()10,8 （C ）()8,7 （D ）()8,210．已知)1,2(-=a ，)3,2(--=b ，则a 在b 方向上的射影为……（ ）（A ）1313-（B ）1313 （C ）55 （D ）111．ABC ∆中，已知其面积为)(41222c b a S -+=，则角C 的度数为…（ ） （A ）︒135 （B ）︒45 （C ）︒60 （D ）︒12012．要得到函数)32sin(πx y -=的图像只需将x y 2sin =的图像………（ ）（A ）向右平移6π个单位 （B ）向左平移6π个单位（C ）向右平移3π个单位 （D ）向左平移3π个单位二．填空题：13．点)3,4(M 关于点)3,5(-N 的对称点L 的坐标是 ； 14．在ABC ∆中，若︒=60A ，︒=45B ，1=BC ，则=∆ABC S ； 15．函数x x x y cos sin cos 2+=的最大值是 ； 16．化简=︒+︒)10tan 31(50sin ； 17．若0,>y x ，且1)(=+-y x xy ，则y x +的最小值是 ； 18．已知三个不等式①0>ab ，②bda c >，③ad bc >，其中两个作为条件，余下一个作为结论，则共可以组成 个命题，其中正确的命题有 个。

三角函数复习总结(莫陈怡)1、任意角和弧度制的终边与的终边关于直线对称，则＝_____。

若是第二象限角，则是第_____象限角；已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

一个半径为的扇形，它的周长为，则这个扇形所含弓形的面积为_____________2、三角函数的定义：（1）设a<0,角α的终边经过点P（－3a,4a),那么sinα+2cosα的值等于:；（2）设是第三、四象限角，，则的取值范围是_______3.三角函数线（1）若，则的大小关系为 ；（2）若为锐角，则的大小关系为_______；（3）函数的定义域是_______4.同角三角函数的基本关系式：（1）已知，，则＝____；（2）已知，则＝____；＝___（3）已知，则的值为______。

5.三角函数诱导公式（1）的值为________的值为________（2）已知，则______，若为第二象限角，则________。

6 “知一求二”（1）若 ，则 __，特别提醒：；（2）若，求的值。

；（3）若，求的值；7、正弦函数、余弦函数的性质：（1）定义域值域①已知函数的定义域为，值域为，求和　的值。

②函数的值域为________________函数的值域为________________已知,则的取值范围是_______________.③设≤≤，求函数的最大值和最小值．(选讲)④是否存在实数，使得函数，在闭区间［，］上的最大值是？若存在，求出对应的值；若不存在，试说明理由．（2）周期性： (1)若，则＝___(2) 函数的最小正周期为____；(3) 设函数，若对任意都有成立，则的最小值为____（4）奇偶性与对称性：（1）函数的奇偶性是______ ；函数的奇偶性是______ ；（2）已知函数为常数），且，则_____；（3）定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为（5）单调性：16、形如的函数：，的图象如图所示，则＝ ；（1）函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？(2) 要得到函数的图象，只需把函数的图象向___平移____个单位；要将函数的图象向右平移m个单位，得到的图象恰好关于对称，则m的最小值是（3）若函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点，则的取值范围是（4）设ω>0，函数f(x)=2sinωx在上为增函数，那么ω的取值范围是_____(5)的大小关系是 ．（5）研究函数性质的方法：（1）函数的递减区间是______；（2）的递减区间是_______；（3）设函数的图象关于直线对称，它的周期是，则A、　B、在区间上是减函数 C、 D、的最大值是A；（4）对于函数给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线成轴对称；③图象可由函数的图像向左平移个单位得到；④图像向左平移个单位，即得到函数的图像。

高一必修5三角函数知识点一、三角函数的概念在数学中，三角函数是描述角的性质和关系的重要工具。

常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数，分别用sin、cos 和tan表示。

二、正弦函数正弦函数是一个周期函数，图像呈现周期性的波动。

它的定义域是全体实数，值域在[-1,1]之间。

正弦函数的图像在0度、180度、360度等角度处有特殊的取值。

三、余弦函数余弦函数也是一个周期函数，图像也呈现周期性的波动。

它的定义域是全体实数，值域也在[-1,1]之间。

余弦函数的图像在90度、270度、450度等角度处有特殊的取值。

四、正切函数正切函数在定义域内的图像变化更为复杂，它的定义域是全体实数，但其值域却无限制。

正切函数的图像在0度、180度、360度等具有奇数倍角度的位置为无穷大或负无穷大。

五、三角函数的基本性质1. 正弦函数和余弦函数是互为余切函数的倒数：sin(x) =1/cos(x)，cos(x) = 1/sin(x)。

2. 正弦函数和余弦函数的图像关于y轴对称。

3. 正切函数在π/2 + kπ（k为整数）处无定义，称为正切函数的奇点。

六、三角函数的单位换算在三角函数的运算中，角的度量可以用角度制和弧度制表示。

弧度制是角度测量的一种单位，π（pi）代表半圆周长与半径的比值，约等于3.14159。

常用的单位换算有：1. 角度制到弧度制的转换公式：弧度 = 角度* (π/180)。

2. 弧度制到角度制的转换公式：角度 = 弧度* (180/π)。

七、三角函数的图像与性质1. 正弦函数的图像是一条连续的曲线，具有对称轴y=0，图像在(2πn,0)处有最小值，在(2πn+π/2,1)和(2πn-π/2,-1)处有最大值。

2. 余弦函数的图像也是一条连续的曲线，具有对称轴y=0，图像在(2πn,1)处有最大值，在(2πn+π, -1)处有最小值。

3. 正切函数的图像是一条光滑的曲线，具有周期性的波动，图像在π/2 + kπ（k为整数）有奇点，无定义。

<教师备案> 本讲分成三大块：三角函数、平面向量与函数，针对学校的期末考试进行的复习，题量稍大，老师可以根据学生的需求重点讲解一些模块与例题．【例1】 ⑴已知A ={|αα是第一象限角}，B ={|αα是锐角}，C ={|αα是小于90︒的角}，那么A 、B 、C 的关系是（ ）A ．B AC = B ．B C C = C ．A CD ．A B C ==⑵已知ππ1cos sin 225αα⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且0πα＜＜，则3π3πsin cos 22αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．⑶函数()()sin 00y A x A ωϕω=+＞，＞的部分图象如右图所示，则ω= ，()()()()1239f f f f ++++= ．15.1三角函数知识点睛经典精讲第15讲期末复习2第15讲·目标班·教师版⑷(北京四中2010-2011学年度高一第二学期期中试卷)函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C①图象C 关于直线11π12x =对称；②函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是增函数； ③由3sin2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．以上三个论断中，正确的论断是 ．⑸（目标班专用）已知函数()sin f x x ω=，π()sin 22g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，有下列命题：①当2ω=时，()()f x g x 的最小正周期是π2；②当1ω=时，()()f x g x +的最大值为98；③当2ω=时，将函数()f x 的图象向左平移π2可以得到函数()g x 的图象．其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号都填上）．【解析】 ⑴ B{}36036090A k k k αα=⋅︒<<⋅︒+︒∈Z ，，{}090B αα=︒<<︒，{}90C αα=<︒，显然有B A ，BC ，且BA C ，A C ，之间没有包含关系，选项B 正确．⑵ 75-ππ1cos sin sin cos 225αααα⎛⎫⎛⎫--+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①；3π3πsin cos cos sin 22αααα⎛⎫⎛⎫-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②； 两式分别平方相加得2，即()22149cos sin 2525αα⎛⎫--=-= ⎪⎝⎭，从而7cos sin 5αα--=±，又0πα<<，故7cos sin 5αα--=-．注：因为本题三角函数值比较特殊，直接看出43sin cos 55αα==，也有可能，只是需要注意这种观察得到的结果不一定惟一，可能漏解．⑶π4，2观察图象可知：2ππ284A T ωω===⇒=，， 由()π22sin 22f ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭知2πk k ϕ=∈Z ，．∴()π()2sin 2π2sin 4f x x k x ω=+=．由图象或由解析式可知()f x 关于(40)，中心对称，故()(8)0f x f x +-=； 于是()1(7)(2)(6)(3)(5)2(4)0f f f f f f f +=+=+== 故()()()()1239(8)(9)(9)2f f f f f f f ++++=+==⑷ ①②8-26422O y x11π11ππ3π3sin 23sin 3121232f ⎛⎫⎛⎫=⨯-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，图象C 关于直线11π12x =对称，①正确 当π5π1212x -<<时，πππ2232x -<-<，此时函数()f x 是增函数，②正确()ππ3sin 23sin 236f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 是由3sin2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到的，③错误 ．⑸ ①②.【例2】 ⑴若(cos )cos2f x x =，则(sin15)f ︒等于（ ） A ．32-B ．32 C ．12 D ．12-⑵已知13sin 24α=-，3cos 24α=，则角α的终边所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 ⑶ (北京四中2010-2011学年度高一第二学期期中试卷)已知函数()2sin f x x ω=()0ω>在区间ππ43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值是2-，则ω的最小值等于 ．⑷（目标班专用）（人大附中联合2010-2011学年度必修四模块试卷） 已知存在实数ωϕ，（其中0ωω≠∈Z ，）使得函数()()2cos f x x ωϕ=+是奇函数，且在π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是增函数．①当1ω=，πϕ＜时，ϕ的值为 ．②所有符合题意的ω与ϕ的值为 ．【解析】⑴ A 法一：∵2(cos )cos 22cos 1f x x x ==-，∴()()221f x x x =--1≤≤1． (sin15)f ︒=232sin 1cos30x -=-︒=． 法二：(sin15)f ︒=()cos75f ︒=3cos150︒=． ⑵ C13339sin 2sin cos 2022ααα⎛==⨯= ⎝⎭， 2235cos 2cos 12108α=-=⨯-=-<⎝⎭，∴α为第三象限角． ⑶ 2()f x 的周期为2π=T ω，因为0ω>，()2sin f x x ω=在44T T x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()f x 在区间π04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上至少有一个最小值点，∴ π2ππ44T T ω⇒=≤≤，2ω≥．⑷ ①π2-4第15讲·目标班·教师版∵()()2cos f x x ωϕ=+是奇函数，∴π2π2k k ϕ=±∈Z ，． 当π2π2k ϕ=+时，()π2cos 2π2sin 2f x x k x ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭在π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是减函数，与已知矛盾当π2π2k ϕ=-时，()π2cos 2π2sin 2f x x k x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭在π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是增函数．又因为πϕ＜，所以π2ϕ=-．②π2π21k ϕω⎧=+⎪⎨⎪=-⎩或π2π22k ϕω⎧=+⎪⎨⎪=-⎩或π2π21k ϕω⎧=-⎪⎨⎪=⎩或π2π22k ϕω⎧=-⎪⎨⎪=⎩，()k ∈Z 由①可得：π2π2k ϕ=±k ∈Z ，，∵()f x 在π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是增函数．∴π2ππ44T T ω⇒=≤≤ 2ω⇒≤． 当π2π2k ϕ=+时，()π2cos 2π2sin 2f x x k x ωω⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，()f x 在π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是增函数，∴0ωω<∈Z ，，1ω=-或2-． 当π2π2k ϕ=-时，()π2cos 2π2sin 2f x x k x ωω⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，()f x 在π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是增函数，∴0ωω>∈Z ，，1ω=或2．【例3】已知函数()()211πsin 2sin cos cos sin 0π222f x x x ϕϕϕϕ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭<<，其图象过点π162⎛⎫ ⎪⎝⎭，．⑴ 求ϕ的值；⑵ 将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在π04⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．【解析】 ⑴ 因为()()211πsin 2sin cos cos sin 0π222f x x x ϕϕϕϕ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭，所以()11cos21sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=+-11sin 2sin cos2cos 22x x ϕϕ=+()1sin 2sin cos2cos 2x x ϕϕ=+()1cos 22x ϕ=-． 又函数图象过点π162⎛⎫⎪⎝⎭，，所以11πcos 2226ϕ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，即πcos 13ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0πϕ<<，所以π3ϕ=．⑵ 由⑴知()1πcos 223f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，可知()()1π2cos 423g x f x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为 π04x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以 []40πx ∈，，因此 ππ2π4333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，故 1πcos 4123x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤．所以()y g x =在π04⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值分别为12和14-．【例4】（目标班专用）已知函数()()222πππ2sin 3sin cos 442f x x x x x ⎛⎫⎡⎤=++-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，．⑴ 求5π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；⑵ 求()f x 的单调区间．⑶ 若不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】 ⑴ 由已知得()()()2222sin cos 3cos2f x x x x ⎛⎫=⨯++- ⎪ ⎪⎝⎭()π1sin 23cos22sin 213x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭．5π5ππ2sin 131263f ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ⑵ 由ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴ππ2π2363x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，根据函数图象可知，当πππ2362x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，时，()y f x =单调递增；当ππ2π2323x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，时，()y f x =单调递减． ∴当π5π412x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()y f x =单调递增；当5ππ122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()y f x =单调递减．⑶ ()2f x m -<，解得：2()2m f x m -<<+，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，ππ2π2363x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，∴[]()23f x ∈，，∴[]()2322m m ⊆-+，，，转化为不等式组：2223m m -<⎧⎨+>⎩，解得：{}14m m <<．15.2平面向量6第15讲·目标班·教师版【例5】 ⑴平面向量a 与b 的夹角为60︒，2a =，1b =，则a b -= ． ⑵（人大附中联合2010-2011学年度必修四模块试卷）已知向量()cos75sin 75a =︒︒，，()cos15sin15b =︒︒，，则a b +的值为（ ） A ． 1 B ．2 C ．32 D ．3 ⑶ (2011年江苏卷)已知12e e ，是夹角为2π3的两个单位向量，12122a e e b k e e =-=+，，若0a b ⋅=，则k 的值为______．⑷已知向量(2)a m =-，，(35)b =-，，且a 与b 的夹角为钝角，则m 的取值范围是_______．【解析】 ⑴3；由已知可得：22212cos604221132a b a a b b -=-⋅⋅︒+=-⨯⨯⨯+=，∴3a b -=． ⑵ D由已知11a b ==，，2222a b a a b b +=+⋅+()112cos75cos15sin 75sin15=++︒⋅︒+︒︒22cos603=+︒=，∴3a b +=．⑶54由已知12122π1cos32e e e e ⋅=⋅⋅=-， 知识点睛经典精讲平面向量基本定理向量的数量积与坐标表示平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不共线的向量，那么对该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12e e ，．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12e e ，的分解式．数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角记为a b 〈〉，，规定0πa b 〈〉≤，≤，定义它们的数量积(或内积)为：cos a b a b a b ⋅=〈〉，；向量的数量积：a b ⋅1212x x y y =+；()1122()()a x y b x y ==，，，两个向量平行：a ∥b (0)b ≠⇔a b λ=⇔12210x y x y -=；两个向量垂直：a b ⊥⇔a b ⋅0=⇔12120x x y y +=；向量的长度：2211a a a x y =⋅=+；向量的夹角：cos a b a b a b⋅〈〉=，121222221122x x y y x yx y +=++．向量()()()22121211222122a b e e ke e k e k e e e ⋅=-⋅+=+-⋅-1202k k =+--=，∴54k =． ⑷ 1066,,355⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 与b 的夹角为钝角，当且仅当0a b ⋅<，且,a b 不平行．3100a b m ⋅=--<，解得103m >-．当65m =时，a b ∥，需舍去． 从而m 的取值范围为1066,,355⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．<教师备案>例如此类的角度问题，是一个易错点，特别需要注意对角度的范围的判断，根据定义，[]0πθ∈，，如果cos 0θ>，那么θ是锐角或者0θ=；如果cos 0θ<时，那么θ是钝角或者πθ=，在做题目时一定要注意区分清楚.【例6】 ⑴设a b ，是两个非零向量，下列说法正确的有_________________． ①若a b a b +=-，则a b ⊥；②若a b ⊥，则a b a b +=-； ③若a b a b +=-，则存在实数λ，使得b a λ=； ④若存在实数λ，使得b a λ=，则a b a b +=-；⑤若a b ⊥，则a b a b +=-；⑥若a b a b +=-，则a b ⊥． ⑵（目标班专用）设a b c ，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a c ⊥，a c =，则b c ⋅的值一定等于（ ）A ．以a b ，为邻边的平行四边形的面积 B ．以b c ，为两边的三角形的面积 C ．以a b ，为两边的三角形的面积 D ．以b c ，为邻边的平行四边形的面积 【解析】 ⑴ ③⑤⑥；利用向量加法的三角形法则知，a b ，不共线时，a b a b +，，可构成三角形，①②均错误；③正确；④错误，因为当0λ>时，a b a b +=+；利用向量加法的平行四边形法则知a b a b +-，可看成是起点相同的向量a b ，构成的平行四边形的两条对角线，故a b a b +=-⇔这个平行四边形为矩形⇔a b ⊥，⑤⑥均正确．⑵ A假设a 与b 的夹角为θ，则b 与c 的夹角可能为9090270θθθ︒±-︒︒-，，，于是cos sin sin b c b c b c b a b a θθ⋅=〈〉==，，即为以a ，b 为邻边的平行四边形的面积，故选A ．本题也可使用排除法，首先B ，D 肯定不正确，只可能为A ，C ，再由特殊情况排除C 答案．【例7】 ⑴在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，且23AD AB =，若CA a =，CB b =，则CD =（ ）A ．1233a b +B ．2133a b +C ．1433a b -+D ．4133a b -⑵一个质点受到平面上的三个力123F F F ，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12F F ，成120︒角，且12F F ，的大小分别为1和2，则有（ ）b a DB C8第15讲·目标班·教师版F E C ABDa b A ．13F F ，成90︒角 B ．13F F ，成150︒角 C ．23F F ，成90︒角 D ．23F F ，成60︒角 ⑶如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠=︒==，，，D 是BC边上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅等于（ ） A ．83- B ．83C ．23D ．23-⑷已知在ABC △中，已知4AC =，3BC =，5AB =，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅= ． ⑸(目标班专用) （2010年天津高考）如图，在ABC △中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅= ．【解析】 ⑴ A法1：AB CB CA b a =-=-()23CD CA AD a b a =+=+-1233a b =+．法2：过点D 分别作CA CB ，的平行线，交CB CA ，于点F E ，，由平面几何知识可得22113333CF CB b CE CA a ====，，∴1233CD CE CF a b =+=+．⑵ A法一：如图所示，3F 与1F 和2F 的合力方向相反，选A ．法二：不妨设123F F F ，，所表示的向量为a b c ，，， 则0a b c =++，222221243c a b a a b b ==+⋅+=-+=+， ∴3c =222a cb ⇒+=，即1F 与3F 垂直． ⑶ A由已知BC AC AB =-，2133AD AB AC =+（方法同⑴）， ∴()2221121cos12033333AD BC AB AC AC AB AC AB AB AC ⎛⎫⋅=+⋅-=-+⋅︒ ⎪⎝⎭1211841233323⎛⎫=-⨯+⨯⨯⨯-=- ⎪⎝⎭⑷ 25-；因为22225AC BC AB +==，所以AC BC ⊥，从而0BC CA ⋅=． AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=()AB BC CA AB BA ⋅+=⋅225AB =-=-.⑸3法一：()AC AD AB BC AD ⋅=+⋅=AB AD BC AD ⋅+⋅BC AD =⋅3BD AD =⋅)3BA AD AD +⋅233AD =转化的思路是将各个向量往已知长度与角度关系的向量上逐步转化，即往AB AD ，上转化．法二：如图，过C 作CE AD ⊥，交AD 的延长线于E ，∴AC AD ⋅23AD AE AD =⋅=3=．F 3F F 1EDCBADCBAAB CD【点评】 关于向量的数量积，与几何相关的利用公式首先考虑利用公式cos a b a b a b ⋅=〈〉，，有坐标的，直接考虑利用公式1212a b x x y y ⋅=+．如果无法直接求出，要设法把向量进行拆分，转化为其它已知向量的和或差，利用已知条件得到结论．【备选】已知向量()(cos ,sin ),2,2a x x b ==，若85a b ⋅=，且ππ42x <<．⑴ 试求出πcos 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭和πtan 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；⑵求sin 2(1tan )1tan x x x +-的值．【解析】⑴π82cos 45a b x x x ⎛⎫⋅=+=+= ⎪⎝⎭，故π4sin 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．ππππ4cos sin sin 44245x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又ππ42x <<，∴ππ044x <-< ，π3sin 45x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴π3tan 44x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．⑵ 2ππ7cos 22cos 1sin 22425x x x ⎛⎫⎛⎫-=--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， πtan tan 1tan π4tan π1tan 41tan tan 4xx x x x ++⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭-， π4sin 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ππ3π244x <+<，故π4tan 43x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．∴sin 2(1tan )74281tan 25375x x x +⎛⎫=⋅-=- ⎪-⎝⎭．【备选】已知点()2,0A ，()0,2B ，()cos ,sin C αα，且0πα<<．尖子班⑴ 若7OA OC +=，求OB 与OC 的夹角； ⑵ 若AC BC ⊥，求tan α的值．【解析】 ⑴ ∵7OA OC +=，即()222cos sin 7αα++=，∴1cos 2α=． 又()0,πα∈，π3AOC α==∠． 又π2AOB =∠，结合三点位置知，OB 与OC 的夹角为π6． ⑵ ()cos 2,sin AC αα=-，()cos ,sin 2BC αα=-，∵AC BC ⊥，∴0AC BC ⋅=，∴1cos sin 2αα+=， ∴()22222221sin 2sin cos cos tan 2tan 1cos sin 4sin cos tan 1ααααααααααα+++++===++， 解得tan α=．由1cos sin 2αα+=，()0,πα∈知，π3π24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故tan 1α<-，10 第15讲·目标班·教师版∴47tan α+=-．【备选】已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，⑴ 求a b ⋅及a b +；⑵ 若()2f x a b a b λ=⋅-+的最小值是32-，求λ的值．【解析】 ⑴ 33cos cos sin sin cos22222x x x x a b x ⎛⎫⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭，2233cos cos sin sin 2222x x a b x x ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos 22cos x x =+=，∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2cos a b x +=．⑵ ()()222cos 24cos 2cos 4cos 12cos 21f x x x x x x λλλλ=-=--=---，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]cos 01x ∈，，①当[]0,1λ∈时，cos x λ=时，有()2min 21f x λ=--，故2312122λλ--=-⇒=±，又[]0,1λ∈，故12λ=；②当0λ<时，cos 0x =时，有()min 312f x =-≠-；③当1λ>时，cos 1x =时，有()min 3514128f x λλ=-=-⇒=<，舍去．综上所述：12λ=．【例8】（目标班专用）已知向量a e ，，1e =，()f x a xe =-是定义在R 上的函数， ⑴ 若()()1f x f ≥对所有x ∈R 都成立，求证：()a e e -⊥； ⑵ 求当x 取何值时，()f x 取到最小值．【解析】 ⑴ ()(1)f x f ≥，即a xe a e --≥22a xe a e ⇔--≥2222()21a a e x x a a e ⇔-⋅+-⋅+≥，整理得22()210x a e x a e -⋅+⋅-≥，要此不等式对于任意x ∈R 成立，当且仅当24()4(21)0a e a e ∆=⋅-⋅-≤． 于是得2(1)0a e ⋅-≤，故1a e ⋅=．()110a e e a e e e -⋅=⋅-⋅=-=，即()a e e -⊥；⑵ ()0f x a xe =-≥，[]2222()2()f x a xe x a e x a =-=-⋅+，是一个开口向上的抛物线， 故当x a e =⋅时，[]2()f x 取得最小值，此时()f x 也取到最小值．【点评】 函数()f x 定义为向量的模长，它有着明确的几何意义．若向量a e ，不平行，我们用两条起点相同的有向线段表示它们，如右图：a xe -表示起点A 在向量e 所在直线上，终点B 为向量a aOA动的向量，OA xe =时，()f x AB =，显然，当向量AB e ⊥时，AB 的模长取到最小值，即()f x 有最小值．<教师备案>因为大部分学校期末考试都会考查函数，所以这里安排了对函数的回顾，供老师选讲．【例9】⑴ 计算：①lg 2lg5lg 10+-;②82log 9log 3;③()222lg5lg8lg5lg20lg23++⋅+． ⑵ ①满足不等式122x >的x 的取值范围是_______． ②满足不等式0.2log 0x >的x 的取值范围是_______．【解析】 ⑴ ①12；②23；③3．⑵ ①()1,-+∞；②()0,1．【例10】 ⑴（2012广州七中高一上）已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且()f x 在[0)+∞，上是减函数，若()(2)f a f -≥，则a 的取值范围是 ．⑵设偶函数()log a f x x b =+在(0)+∞，上是单调递减函数，则(2)f b -与(1)f a +的大小关系是( )A ．(2)(1)f b f a -=+B ．(2)(1)f b f a ->+C ．(2)(1)f b f a -<+D ．不能确定 ⑶已知函数()f x 的定义域为{|1}x x x ∈≠R ，，且(1)f x +为奇函数．当1x <时，2()21f x x x =-+，那么当1x >时，()f x 的递减区间是( )A ．54⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．74⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，C ．514⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．714⎛⎤ ⎥⎝⎦，⑷（目标班专用）已知2log (2)a y ax =-在[20]-，上是减函数，则实数a 的取值范围是____． 【解析】 ⑴ []2,2-；⑵ C ；由此函数为偶函数知0b =，()log a f x x =，当0x >时，()log a f x x =在(0)+∞，上单调递减，故01a <<，(2)(2)(2)f b f f -=-=，而12a +<，故(1)(2)f a f +>， 即(1)(2)f a f b +>-．⑶ B ；(1)f x +是奇函数，故(1)f x +有对称中心(00)，，故()f x 有对称中心(10)，，可作出函数的草图，如下（也可以直接根据中心对称函数在对称区间上的单调性相关直接得到结果），14x =关于(10)，的对称直线为74x =，故所求递减区间为74⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 15.3函数回顾经典精讲12 第15讲·目标班·教师版x =141O yx⑷ 02 ⎪⎝⎭，；由a 是底知0a >，故22ax -在[20]-，上单调递增，又复合函数在[20]-，上单调递减，故log a y x =也是减函数，故01a <<．又函数在[20]-，上有定义，故220ax ->对[20]x ∈-，恒成立，而当2x =-时，2122402ax a a -=->⇒<，综上知，102a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．【例11】 （广州高一测试）已知定义在(0)+∞，上的函数()f x 同时满足下列三个条件：①(2)1f =-；②对任意(0)x y ∈+∞、，都有()()()f xy f x f y =+；③当01,()0x f x <<>时． ⑴ 求(4)f 、(2)f 的值；⑵ 证明：函数()f x 在(0)+∞，上为减函数； ⑶ 解关于x 的不等式(2)(1)2f x f x <--．【解析】 ⑴ ()()()()422222f f f f =⋅=+=-；()22222f fff ==+，于是122f =-． ⑵ 设120x x <<，则根据已知()()()111222220x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=⋅-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此函数()f x 在()0,+∞上为单调递减函数．⑶ ()()212f x f x <--()()()214f x f x f ⇔<-+()()()241f x f x ⇔<-()2410x x ⇔>->12x ⇔<<，因此原不等式的解集为()1,2．【备选】设函数(2)(4)2()(2)()2x x x f x x x a x -+⎧=⎨-->⎩≤． ⑴ 求函数()f x 在区间[22]-，上的最大值和最小值；⑵ 设函数()f x 在区间[46]-，上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式．【解析】 ⑴ 在区间[22]-，上，()(2)(4)f x x x =-+.所以()f x 在区间[21]--，上单调递增，在区间[12]-，上单调递减， 所以()f x 在区间[22]-，上的最大值为(1)9f -=， 最小值为(2)0f =．⑵ ①当2a ≤时，()f x 在[41]--，上单调递增，在[16]-，上单调递减，所以()f x 的最大值为9．②当28a <≤时，()f x 在[41]--，上单调递增，在[12]-，上单调递减，在222a ⎡+⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增，在262a ⎡⎥+⎤⎢⎣⎦，上单调递减，此时(1)9f -=，222922a a f +-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，所以()f x 的最大值为9.③当810a <≤时，()f x 在[41]--，上单调递增，在[12]-，上单调递减，在222a ⎡+⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增，在262a ⎡⎥+⎤⎢⎣⎦，上单调递减.此时222(1)22a a f f +-⎛⎫⎛⎫=>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的最大值为2(2)4a -．④当10a >时，()f x 在[41]--，上单调递增，在[12]-，上单调递减，在[26]，单调递增，此时(6)4(6)(1)f a f =->-，所以()f x 的最大值为4(6)a -． 综上，298(2)()81044(6)10a a g a a a a ⎧⎪-⎪=<⎨⎪->⎪⎩≤≤．。

周老师高中数学知识点周老师高中数学知识点笔记反三角函数：y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]图象用红色线条;y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用蓝色线条;y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条;sin(arcsinx)=x,定义域[-1,1],值域[-1,1]arcsin(-x)=-arcsinx其他公式:三角函数其他公式arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π-arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=π-arccotxarcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)当x∈[—π/2，π/2]时，有arcsin(sinx)=x当x∈[0,π],arccos(cosx)=xx∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=xx∈(0，π),arccot(cotx)=xx〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx高三年级数学知识点归纳笔记一、充分条件和必要条件当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。

二、充分条件、必要条件的常用判断法1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=A或者A=B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。

3.集合法在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若A?B，则p是q的充分条件。

若A?B，则p是q的必要条件。

若A=B，则p是q的充要条件。

若A?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件。