第三章_ 矩阵力学基础——力学量和算符

或简写为
Fmnan am
n
(Fmn mn )an 0
n
方程有非零解的充分必要条件是系数行列式为零。
因为任意力学量在自身表象中的矩阵都是对角的，所以，通常 把求解本征方程的过程称为矩阵对角化的过程。
3．薛定格方程
i (x,t) Hˆ (x,t)
t
a1 (t) H11 H12 H1k a1 (t)

0

a1 a2
把波函数归一化
/2


a1 a1

/2 /2

a1*
a2*

a1 a1


2 a1
2
1
/ 2 11//
2 2


1 2
11
同理
/ 2
1 2

11
最后，把矩阵对角化。
n
代入到算符方程中，得 bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
上式两端做运算 m* dx，得
bn (t) m*ndx an (t) m* Fˆndx
n
n
bn (t)mn an (t) m* Fˆndx


Fk1
Fk 2

F1k a1(t)
F2k


a2
(t
)


Fkk


ak
(t
)


对同一个物理问题可以在不同的表象下处理，尽管在不同的表

表象与矩阵力学思考题：3-1力学量的本征态在该力学量自身的表象中的矩阵表示是什么？3-2左矢与右矢能相加吗？3-3一个力学量算符在一个表象中表示成一个矩阵，该矩阵的维度由什么决定？3-4如果一个表象是无穷维，而实际的数值计算中又不能进行无穷维的计算，哪该怎么办？ 3-5在第一章介绍了薛定谔方程，其中的波函数是在什么表象中的表示？3-6比较力学量分别为连续谱和离散谱时，它们的本征函数簇作为基组的完备性和归一性关系式。

习题：3-1写出动量表象中的薛定谔方程。

3-2写出动量表象中粒子在常力作用下的运动方程。

3-3粒子在一维无限深势阱V (x )=0,0£x £a ¥,x <0,x >aìíïîï 中运动。

求动量算符在该体系能量表象中的矩阵。

3-4已知体系的哈密顿算符H 和另一力学量算符A 在能量表象中的矩阵分别为H = w 010*******éëêêêùûúúú，010100001A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 0(a ω和均为正的实数）在初始时刻，体系在能量表象中的态函数为210)121t ψ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦（，求（1）体系在能量表象中的态函数)t ψ（；（2）体系的能量可能值及相应的几率；（3）体系能量的期望值；（4）力学量A 的可能取值及相应的几率；（5）力学量A 的期望值；（6）体系态矢量)t ψ（在A 表象中的矩阵表示；（7）能量表象与A 表象间的变换矩阵。

3-5已知体系的哈密顿算符在某一表象中的矩阵表示为H =e 201020102éëêêêùûúúú（1）求体系能量的本征值和相应的本征函数；（2）求出将H对角化的幺正变换矩阵。

i H t t 0
H
U t , t0 e
力学量与算符
• • • • • 作业： 1、分析厄米算符 2、讨论幺正算符（投影算符、宇称算符） 3、算符运算的证明 4、讲课过程中的简单证明，一些概念、或 是各算符的特性
力学量与算符
定义
r r
性质 （1） 2 1 ，本征值为 1 ； （2）是厄米、幺正算符 （3）波函数和算符按宇称分类
A, 0
r r
偶宇称
奇宇称
A, 0 r r
力学量与算符
性质12完备性三宇称算符定义2是厄米幺正算符3波函数和算符按宇称分类力学量与算符4宇称算符的选择定律力学量与算符四时间演化算符不显含时间力学量与算符力学量与算符力学量与算符
力学量与算符
力学量与算符
算符的定义及运算 算符的定义 单位算符 算符的和 积 转置
ˆ F
I
ˆB ˆ B ˆ ˆ A A
d
d A B A B A B d
力学量与算符
3.2.2设算符 A、B 不可对易： A , B C ，但
A, C ， B , C ，试证明Glauber公式：
e A B e A e B e
n n 1
C1 A C 0，则
A有 n 个本征值，且满足
Cnan Cn 1an 1 C1a C 0
。
力学量与算符
二、算符导数 1.定义
F F ，
为参量，
dF F F lim 0 d
2.基本性质 d A B A B
Aij

px能够取-~+中连续变化旳一切实数，为了拟定C，考虑积分
p
'
x
(
x)
px (x)dx
CC
exp(i
px
px
x)dx
因为
1
exp(ikx)dx (k)
2
13
p'x
( x)
px
( x)dx
C
2
2 ( px
p'x
)
假如取 C
1
2
,
px (x) 的归一化为 函数
p'x
( x)
简并：一种本征值相应一种以上本征函数旳情况
简并度：相应于同一本征值旳本征函数旳数目
27
LˆzYlm mYlm
在Ylm态中，体系角动量在z方向上旳投影为m 前面几种球函数
1
Y00 4
Y1,1
3 sinei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sinei 8
28
3.5 厄密算符本征函数旳性质
31
f重简并： 对一种本征值ln, 若同步有f个本征函数与之相应
属于同一种本征值ln旳简并波函数ψnk,，有
Lˆ nk ln nk , k 1, ..., f
一般来说，ψnk不正交， 但总能够找到正交函数。
例题 对下面两个氢原子旳未归一化旳1s和2s电子旳波函数
1s (r, , ) 1s (r) er /a ,
假如 Aˆ Bˆ BˆAˆ 0 则Aˆ 和Bˆ对易 记为 [ Aˆ, Bˆ] Aˆ Bˆ BˆAˆ 0
例 [xˆ, pˆ x ] ?
(xˆpˆ x
pˆ x xˆ)
ix