第三章矩阵的运算

11量子化学

第三章矩阵与算符

–3.1 矢量

–3.2 矩阵(Matrices)

–3.3 行列式(Determinants)

–3.4 算符(Operators)

–3.5 量子力学的基本假设

2量子化学

1. 三维矢量代数

112233ii

iaeaeaeaea→→→→→

=++=∑

三维矢量：

列矩阵(Column matrix)

1

2

3a

aa

a⎛⎞

⎜⎟

=

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠󰁇x

y

za

aa

a⎛⎞

⎜⎟

=

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠󰁇任何一个矢量都可以写成一个基矢{ē

i}的线性组合。

如直角坐标中：

xyzaiajaka→→→→

=++

直角坐标中：

3量子化学

矢量的加减法

若：

xyzAaiajak→→→→

=++

xyzBbibjbk→→→→

=++

CAB=±󰁊󰁇󰁊󰁇󰁊󰁇

则：()()()

xxyyzzCabiabjabk→→→→

=±+±+±

A󰁊󰁇B󰁊󰁇CBA=+󰁊󰁇󰁊󰁇󰁊󰁇

A󰁊󰁇

B−󰁊󰁇

CBA=−󰁊󰁇󰁊󰁇󰁊󰁇

4量子化学

矢量的标积(点积)

cosababθ→→

⋅=

abba→→→→

⋅=⋅()abcacbc+⋅=⋅+⋅󰁇󰁇󰁇󰁇󰁇󰁇󰁇

cos01; cos900

1

0oo

iijjkk

ijjijkkiik==

∴⋅=⋅=⋅=

⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=∵

󰁇󰁇󰁇󰁇󰁇󰁇

󰁇󰁇󰁇󰁇󰁇󰁇󰁇󰁇󰁇󰁇

()()

xyzxyz

xxyyzzABaiajakbibjbk

ababab→→

⋅=++⋅++

=++󰁇󰁇󰁇󰁇󰁇󰁇

5量子化学

相互正交基矢(mutually orthogonal basis vectors)⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≠=

===⋅→→

jiifjiif

ee

jiijji

01

δδijij

ijabeeaa→→

⋅=⋅∑∑󰁊󰁇󰁊󰁊󰁇

i

iibababababa∑

=++=⋅→→

332211

2

22

32

22

||

1∑→→→

==++=⋅

iiaaaaaaa

6量子化学

j

iiijii

ijjaaaeeae==⋅=⋅∑∑→→→→

章节 第2章 课题 矩阵及其运算

计划课时数 10 授课班级 04级计算机系专升本10-13班

教学目的 理解矩阵的概念、熟练掌握矩阵的各种运算;理解逆矩阵的概念；熟悉矩阵可逆的充要条件；掌握两种［定义、伴随矩阵］求逆方法；熟悉矩阵的分块运算。

教学重点 矩阵的乘法；方阵的行列式；伴随矩阵; 逆矩阵的概念；求逆方法；分块求逆方法。

教学难点 矩阵乘法不满足交律以及由此的问题；矩阵可逆性的讨论；分块求逆方法

教学方法和手段 讲授 习题课 答疑

备注

教 学 内 容 批注

第二章 矩阵及其运算

矩阵是将一组有序的数据视为“整体量”进行表述和运算，使得问题简洁和易于了解本质。矩阵不仅是解线性方程组的有力工具，而且是线性空间内线性变换的表现形式，因此有关矩阵的理论构成了线性代数的基本内容。

本章介绍矩阵的概念；矩阵的线性运算、矩阵乘法；逆矩阵及矩阵的初等变换；分块矩阵及其运算等内容。

§1 矩阵

1、矩阵的概念

054132yxyx

0541322121xxxx

5432A 054132B

定义 由nm个数).,2,1;,,2,1(njmiaij排成m行n列的数表：

称为一个nm矩阵，简记为nmijaA，其中ija表示位于数表中第i行第j列的数，称为矩阵A的),(ji元（或者元素）。常用大写英文黑体字母来表示矩阵，如XCBA,,,,等。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中若无特殊说明，一般是指实矩阵。

两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们为同型矩阵。

如果矩阵nmijaA和nmijbB是同型矩阵，且它们的对应元素相等，即

mnmmnnaaaaaaaaa212222111211教 学 内 容 批注

第二章 矩阵及其运算

一、矩阵的概念与几类特殊方阵

（一）矩阵及相关概念

1.矩阵 nm个数ija排成m行n列的表格

mnmmnnaaaaaaaaa....................212222111211称为nm矩阵，简记A或nmija)(，若nm，则称A是n阶矩阵或n方阵

2.0矩阵 如果矩阵A中所有元素都是0，则称为零矩阵

3.同型矩阵 矩阵A=nmija)(，tsijbB)(，sm，tn，则称A与B同型矩阵

4.矩阵相等 同型矩阵BAijijba),(ji，即对应的元素都相等

5.方阵的行列式 对于方阵)(ijaA，其元素可构造n阶行列式

★★nnnnnnaaaaaaaaaA....................212222111211 ，由BA，得不到BA

(二)几类特殊方阵

1.单位矩阵 主对角线上的元素全是1，其余元素均为0的n阶段方阵，称为n阶单位矩阵，记E

AAEEA；EA0；需要强调阶数的时候，为nE

2.对称矩阵

设A是n阶矩阵，如AAT，即★),(jiaajiij 实对称矩阵一定能对角化

3.反对称矩阵

设A是n阶矩阵，如AAT，即),(-jiaajiij，★0iia

若A、B是同阶的（反）对称矩阵，则BA，BA，A也是（反）对称矩阵，但AB不一定是（反）对称矩阵

4.对角矩阵

设A是n阶矩阵，如，)(0jiaij对角矩阵记为；同阶的对角矩阵的和差、积仍然是对角矩阵

5.逆矩阵

设A是n阶矩阵，如存在n阶矩阵B，使EBAAB，则称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵，A的逆矩阵唯一记为1A

★★6.正交矩阵

设A是n阶矩阵，如EAAAATT，则称A是正交矩阵，TAA1；A是一个被单位化的矩阵

★★7.伴随矩阵

设)(ijaA是n阶矩，则由行列式A的各元素ija的代数余子式ijA所构成的n阶矩阵

线性代数教案

21 课 题 第二章 矩阵及其运算

§2.1 矩阵 §2.2 矩阵的运算

教学内容 矩阵的概念；

矩阵的运算；

教学目标 明确矩阵概念的形成；

掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法；

会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵；

教学重点 掌握矩阵定义及运算法则

教学难点 矩阵乘法

教学内容、安排 矩阵：matrix 矩阵运算：matrix operations

矩阵的加法：matrix addition

数与矩阵相乘：scalar muctiplication

转置矩阵：transposd matrix

教学手段、措施 讲授课（结合多媒体教学）

§2.1 矩阵

矩阵是线性代数的主要内容之一，是处理许多实际问题的重要数学工具。也是现代科技及经济理论中不可缺少的重要工具。

一 授课内容：

矩阵的概念（给出矩阵、行矩阵、列矩阵、行向量、列向量、方阵、三角阵、对角阵、单位阵的概念）

矩阵运算（相等、加法、数乘、乘法、转置）及运算法则。

二 授课过程与说明

1．矩阵的概念

引入：某工厂要购进4种原料 F1, F2, F3, F4 若知道A1,A2,A3生产这4种原料，到哪买这4种原料呢，对价格进行比较

F1 F2 F3 F4

A1 4 5 3 6

A2 5 6 4 5 3行4列表

A3 4 7 5 4

在实际问题中经常遇到由mn个元素构成的数表

定义1 ：mn个元素(1,2,,;1,2,,)ijaimjn排成m行n列矩形数表 （对教学内容及欲达目的、讲授方法加以说明）

组织教学

矩阵与行列式的区别？

第二章 矩阵及其运算

22 =111212122212nnnnnnaaaaaaaaa