第四章 力学量用算符表示

4.1 用字母表示数

课型：新授课 年级：七年级 审核：七年级数学组

学习目标：1、会用字母表示数。

2、能说出数中字母表示的意义。

3、掌握字母与数在一起参与运算时的正确书写。

学习重点：会用字母表示数

学习难点：用字母来表示数学规律。

学习过程：

一、 创设情境:

儿歌：一只只青蛙一张嘴，二只眼睛四条腿，扑通一声跳下水；二只青蛙二张嘴，四只眼睛八条腿，扑通扑通跳下水……

根据上面节前语中的儿歌：

（1） 如果三只青蛙，那么这首儿歌该怎么唱？

三只青蛙_____张嘴，_____只眼睛_____条腿，扑通扑通扑通跳下水.

(2) 如果青蛙有10只，那么这首儿歌该字母唱？

（2） 如果青蛙的只数用字母n表示，那么这首儿歌又该怎么唱？

二、 自主先学

1、填空：

（1）父亲的年龄比儿子打28岁，如果用x表示儿子现在的年龄，那么父亲现在的年龄为_____岁。

（2）如果小红家道学校的路程是6km，小红用了n小时，那么小红的速度是____km\h。

（3）设奶粉每袋p元，橘子每千克q元，则买10袋奶粉，6千克橘子共需______元。

2、下列写法是否规范，如果不规范，请给予改正。

（1）ax÷4 ( ) 改正：

（2）-3xy ( ) 改正：

(3) a2b ( ) 改正：

（4）132m ( ) 改正：

注：当数字与字母相乘，可以省略乘号也可以写成“﹒”,在省略乘号时，要把_____写在字母的前面，如n×3,写成_____,不要写成n2,如当这个数因数是带分数时，要化成______.数与数相乘时一般仍用×。

三、 生生合作，探究学习

1、 计算

（1）甲数比乙数的2倍大3，若乙数为x，则甲数为______

1 第三章 量子力学中的力学量

1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）

[证] 由厄米算符的定义

**ˆˆ()FdFd

厄米算符ˆF的平均值

*ˆFFd

**ˆ[()]Fd

***ˆ[]Fd

**ˆ[()]Fd

**ˆ[]Fd

*F

即厄米算符的平均值都是实数

2. 判断下列等式是否正确

（1）ˆˆˆHTU

（2）HTU

（3）HETU

[解]：（1）（2）正确 （3）错误

因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。

3. 设()x归一化，k是ˆF的本征函数，且 ()()kkkxcx

（1）试推导kC表示式

（2）求征力学量F的()x态平均值2kkkFcF

（3）说明2kc的物理意义。

[解]：（1）给()x左乘*()mx再对x积分

**()()()()mmkkkxxdxxcxdx*()()kmkkcxxdx

因()x是ˆF的本函，所以()x具有正交归一性 2 **()()()()mkmkkkkkxxdxcxxdxcmkc ()mk

*()()kmcxxdx

（2）k是ˆF的本征函数，设其本征值为kF 则

ˆkkkFF

**ˆˆmkmkkkFFdxFcdx

**()mmkkkkcxFcdx

**mkkmkxmkccFd

*mkkmkmkccF

2kkkcF

即 2kkkFcF

（3）2kc的物理意义；表示体系处在态，在该态中测量力学量F，得到本征值kF的

几率为2kc。

4. 一维谐振子处于基态0（x）态，求该态中

第三章 表示力学量的算符

第一部分；基本思想与基本概念题目

1. 举例说明算符与它表示力学量之间的关系。

2. 如何理解力学量完全集？

3. 守恒量有哪些特征？

4. 量子力学中的守恒量与经典力学守恒量有何区别？

5. 如何构造力学量算符？

6. 若1与2是力学量F属于同一本征值的两个不同本征函数，则＝C11＋C22（C1，C2是任意常数）是否仍是F的本征函数。

7. 设[Â，Ĉ]＝0，则力学量Â和Ĉ是否一定可同时确定？

8. 设[Â，Ĉ]≠0，则力学量Â和Ĉ是否一定不可同时确定？

9. 试述│Cn│2的物理意义。

10. 对于氢原子哪些力学量组成力学量完全集？

11. 对氢原子n，l，m这三个量子数分别决定哪些力学量？

12. 线性谐振子的能量是守恒量，那它能否处于能量没有确定值的状态？举例说明。

13. t＝0时，粒子处于力学量F的 本征态，则在t时刻它是否处于该本征态？

14. 2ˆL的本征态是否一定是 ˆzL 的本征态？举例说明。

15. ˆzL的本征态是否一定是2ˆL的本征态？

16. 当氢原子处于nlm（r，，）＝Rnl（r）Ylm（，）态时，哪些力学量可同时确定，其值分别是多少？

17. 若[Â，Ĉ]＝0，则粒子是否一定处于A和B两力学量的共同本征态？

第二部分：基本技能训练题

1. 证明厄密算符的平均值都是实数（在任意态）

2. 判断下列等式是否正确

12ˆˆˆ()

() EHTU(3) HETUHTU

3. 设（x）归一化，｛k｝是 ˆF 的本征函数，且

()()kkkxCx

（1） 试推导Ck的表达式。

（2） 求证力学量在（x）态的平均值 2kkkFCF。

（3） 说明|Ck|2的物理意义。

4. 一维谐振子处于基态0（x）态，求该态中

（1） 势能的平均值2212Ux

（2） 动能的平均值22pT

第四章习题解答

4.1.求在动量表象中角动量xL的矩阵元和2xL的矩阵元。

解：depzpyeLrpiyzrpippx)ˆˆ()21()(3

dezpyperpiyzrpi)()21(3

deppppierpizyyzrpi))(()21(3

deppppirppizyyz）（3)21)()((

)()(ppppppiyzzy

dLxLpxpppx2*2)()(

depzpyerpiyzrpi23)ˆˆ()21(

depzpypzpyerpiyzyzrpi)ˆˆ)(ˆˆ()21(3

deppppipzpyerpiyzzyyzrpi))()(ˆˆ()21(3

depzpyeppppirpiyzrpiyzzy)ˆˆ()21)()((3

depppprppiyzzy）（322)21()(