三招破解三角形解的个数问题(打印)

三角形解的个数问题学了正.余弦定理后,许多同窗为断定三角形的解的个数而懊末路．知道3边,2角1边,2边及其夹角时不会消失两解;在已知三角形的双方及个中一边的对角（即“边边角”）的前提下解三角形时,解的个数有几个呢？一解,二解照样无解？《必修5》在第8页到第9页的“探讨与发明”《解三角形的进一步评论辩论》有具体解释．即在已知ABC ∆中的边长a ,b 和角A ,且已知a ,b 的大小关系,常运用正弦定理求出sin B 的值,①若该值大于1,与sin 1B ≤抵触,则无解;②若该值小于或等于1,则要斟酌a ,b 的大小关系及A 为锐角照样钝角： 若A 是钝角,且该值小于1,则有1解,若该值等于1,则无解;若A 是锐角,且b a >,则有1解;若b a <,且该值小于1,则有2解;b a <,且该值等于1,则有1解．但分类层次多,分类种数多,重视形,又指定边角,不轻易被学生所接收．即本节能懂得,操纵运用起来也很不便利．下面供给“几招”供同窗们选择,愿望能帮忙同窗们顺遂破解．第一招：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ,b 和角A ,且已知a ,b 的大小关系,常运用正弦定理联合“大边对大角”来断定三角形解的个数,一般的做法如下,起首运用大边对大角,断定出角B 与角A 的大小关系,然后求出B 的值,依据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中,已知a =b =45B =︒,求A .C 及c ．解：由正弦定理,得sin sin a B A b ===4590B =︒<︒,b a <,∴60A =︒或120︒． 当60A =︒时,75C =︒,sin sin b C c B === 当120A =︒时,15C =︒,sin sin b C c B ===． 点评：在三角形中,sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含前提,在运用时我们要留意发掘．第二招：二次方程的正根个数一般地,在ABC ∆中的边长a ,b 和角A ,经常可对角A 运用余弦定理,并将其整顿为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=,若该方程无解或只有负数解,则该三角形无解;若方程有一个正数解,则该三角形有一解;若方程有两个不等的正数解,则该三角形有两解． A BCD【例2】如图,在四边形ABCD 中,已知AD CD ⊥,10AD =,14AB =,60BDA ∠=︒,135BCD ∠=︒,求BC 的长．解：在ABD ∆中,设BD x =,由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒,整顿得210960x x --=,解得16x =．由正弦定理,得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒点评：已知三角形双方和个中一边的对角,我们可以采取正弦定理或余弦定理求解,从上述例子可以看出,运用余弦定理联合二次方程来断定显得加倍简捷．第三招：画圆法已知ABC ∆中,A 为已知角（90≠︒）,先画出A ,肯定极点A ,再在A 的一边上肯定极点C ,使AC边长为已知长度,最后以极点C 为圆心,以CB 边长为半径画圆,看该圆与A 的另一边是否有交点,假如没有交点,则解释该三角形的解的个数为0;如有一个交点,则解释该三角形的解的个数为1;如有两个交点,则解释该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中,60A ∠=︒,a =3b =,则ABC ∆解的情形（）（A ）无解（B ）有一解（C ）有两解（D ）不克不及肯定 解：在A 的一边上肯定极点C ,使3AC b ==,作60CAD ∠=︒,以极点C 为圆心,认为CB a ==,看该圆与AD 没有交点, 则解释该三角形的解的个数为0,故选A ． A b C a D。

三角形解的个数问题的解法优化问题 在ABC ∆中，已知A 、a 、b ，确定此三角形解的个数． 1．教材提供的解决方案(1)当A 为直角或钝角时，若a b >，则有一解，若a b ≤，则无解； (2)当A 为锐角时，如下表此方案虽逻辑清晰、思维严谨，但分类较为抽象、繁琐，既不易记忆，又不易正确运用． 2．优化方案当A 为直角或钝角且a b ≤时无解． 其余情况下，计算sin sin b AB a =之值，参照下图进行判断即可：具体来说，是借助于sin B 的值与0、sin A 、1大小关系来确定三角形解的个数．如下表：3．原理(1)当A 为直角或钝角时，若0sin sin B A <<则a b >，故有一解，若a b ≤，则无解； (2)当A 为锐角时，如下表：例1 ABC ∆中，a =b =sin 2B =，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个解析 先利用正弦定理求出sin A 的值，再依a 与b 的大小，sin A 与sin B 的大小，就可迅捷判断三角形解的个数．依sin sin a B A b ==，1<< 即sin sin 1B A << 又b a <，知B 为锐角． 故符合条件的三角形，应选B ．例2 在ABC ∆中，2a =，b x =，60A =，当x 取何值时，ABC ∆无解？有一解？有两解？解析 先利用正弦定理求出sin B 的值，再通过比较a 与b ，sin A 与sin B 的大小，就可一招制胜，巧妙解题．依sin sin 4b A B x a ==．若ABC ∆无解，则sin 1B >1x >， 得x >若ABC ∆有一解，则sin 1B =或0sin sin B A <≤， 1x =或0<≤，得x =02x <≤；若ABC ∆有二解，则sin sin 1A B <<，即124x <<， 得23x <<．综上所述，当x >ABC ∆无解；当x =02x <≤时，ABC ∆有一解；当2x <<时，ABC ∆有两解．巩固练习1．已知ABC ∆中，b =2c =，6C π=，若三角形有两解，则符合条件的三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个2．（2015三门峡模拟）已知ABC ∆中，a x =，2b =，45B =，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．2x >B ．2x <C ．2x <<．2x <<可见，利用正弦定理研究三角形解的个数时，若能先利用正弦定理求出某个角的正弦，再利用该正弦值与已知角的正弦值间的大小关系，相应的两边间的大小关系，就可出奇制胜，迅捷判断三角形解的个数．参考文献：[1] 张新生. 谈应用正弦定理讨论三角形解的个数[J]. 兵团教育学院学报, 2013,(3).。

三角形解的个数判断公式三角形解的个数判断公式，这个话题听上去挺复杂的，但其实它就像一块美味的蛋糕，分层分得恰到好处，吃起来特别过瘾。

说到三角形，我们脑海中浮现的，除了那优雅的三个角和三条边，可能还有它在我们生活中扮演的各种角色。

你知道吗？无论是在建筑、艺术，还是日常的计算中，三角形都是个不可或缺的小角色。

哎呀，真是让人想起小学数学课上，老师拿着三角尺的样子，简直就像个科学家，兴致勃勃地给我们讲解这三角形的秘密。

如何判断三角形的解的个数呢？这可有讲究。

这个问题的关键在于我们手头有哪些条件。

比如说，你手里有三个边长，那就是“边边边”的情况。

或者你有一个边长和两个角，这就是“边角角”的组合。

这样一来，问题就开始变得有趣了，因为不同的组合会导致不同的解的个数，简直像是在玩拼图游戏。

你拼出了一幅美丽的图案，有时候却只是拼出了一堆碎片，让人摸不着头脑。

大家都知道，三角形有一个著名的特性，叫“内角和定理”。

你想啊，三角形的三个内角加起来总是180度，这就像是三个人聚在一起聊天，话题总是围绕着一个中心，大家轮流发言，气氛可热烈了。

可是，如果你给他们加了个条件，比如说，让一个角必须是90度，那剩下的两个角就得是一对好兄弟，绝对不能超过90度，否则就会闹得不可开交。

这样一来，解的个数就更明确了。

再说说“边边角”的情况，感觉像是在给三角形下“任务”。

这个时候，如果你给了两个边和夹角，那么你就能准确地拼出一个三角形。

如果条件再放宽一点，给两个边和一个不夹角，那就可能会有两个解，这就像是让你在两个不同的地方选择一个理想的度假胜地，让你为难得不得了。

不过，哎，这种情况总归是比较少见的，大多数情况下，一定的条件往往能让你找到唯一的解。

有趣的是，很多同学在面对这些问题时，总是感到头疼，心里默默想着“数学真是一门魔法”，理解这些条件就像是解开了一个个小谜题。

想象一下，你在一个神秘的宝藏地图上，标记着每一个线索，逐渐接近那个闪闪发光的宝藏，心里的期待感与日俱增。

解三角形问题的6种突破方法,收藏起来解三角形问题的6种突破方法在解决三角形问题时，我们常常遇到各种困难和障碍。

为了能够更好地解决这些问题，我们需要采取一些突破方法来提高解题的效率和准确性。

本文将介绍六种突破方法，帮助读者更好地解决三角形问题。

方法一：角度追踪法角度追踪法是一种通过确定三角形内的特定角度来解决问题的方法。

当我们遇到三角形问题时，首先要测量和计算已知角度的大小，然后根据这些已知角度的关系来推导出其他未知角度的数值。

通过角度追踪法，我们可以准确地计算三角形内各个角度的大小，从而更好地解决问题。

方法二：辅助线引入法辅助线引入法是一种通过引入辅助线来简化问题的方法。

当我们遇到复杂的三角形问题时，可以尝试在三角形内部或者外部引入一条辅助线，从而将原始问题转化为更简单的几何关系。

通过巧妙地选择辅助线的位置和方向，我们可以更好地理解和解决三角形问题。

方法三：相似三角形法相似三角形法是一种通过找到相似三角形的性质来解决问题的方法。

当我们遇到复杂的三角形问题时，可以通过发现三角形之间的相似性质，从而简化问题的求解过程。

通过利用相似三角形的边比例关系和角度对应关系，我们可以更准确地求解三角形的各个边长和角度。

方法四：三角函数法三角函数法是一种通过应用三角函数的性质来解决问题的方法。

在解决三角形问题时，我们可以利用正弦、余弦和正切等三角函数的定义和性质，从而求解未知的边长和角度。

通过运用三角函数的计算公式和特性，我们可以更快速和准确地解决各类三角形问题。

方法五：平行线法平行线法是一种通过找到平行线的性质来解决问题的方法。

在解决三角形问题时，我们可以利用平行线的特性来推导和求解三角形的各边和角度。

通过巧妙地运用平行线的定理和性质，我们可以更好地理解和解决三角形问题。

方法六：向量法向量法是一种通过引入向量的概念来解决问题的方法。

当我们遇到复杂的三角形问题时，可以将三角形的边和角表示为向量的形式，然后运用向量的运算法则来解决问题。

三招破解《解直角三角形》应用题解直角三角形的概念解直角三角形，也称之为直角三角形，是一种由三条直线或线段组成的三角形，其中两条直线或线段为直角，称之为角对顶边，另一条称之为对边。

解直角三角形是一个有趣的几何问题，可以从几何、代数和数学角度来探究。

解直角三角形的基本原理求解直角三角形定理：如果一个三角形有一个90°角，那么它就是一个直角三角形，该三角形有两个直角，另一个角为钝角。

若一个三角形的角均不等于90°，那么它不是直角三角形。

解直角三角形的三招破解1.通过直角定理来求解。

求解直角三角形的重要定理就是直角定理，也称为勾股定理：如果在一个三角形中有一个直角，那么该三角形的两个非直角边的平方和等于直角边的平方。

如果一个三角形的两条边长a和b以及它们之间的夹角C都已知，想知道它的第三条边c，只需要计算以下数学式即可求得。

表达式：c2 = a2 + b2 - 2abcosC2.以等边或等腰直角三角形作为破解的特殊情况。

若已知一个三角形中的两条边长都相等，或在两个角相等的情况下，称之为等边三角形或等腰三角形，此时不单单可以求出对应的surroundings边，而且可以求出三角形的面积，以及其他三角形的性质。

3.引入高中几何里的平行四边形破解法。

在解直角三角形时，可以引入高中几何里的平行四边形破解法，此破解法要求将一个直角三角形拆分成两个互补和尺寸相同的平行三角形，每个平行四边形的底边之和是上面的直角边，同时可以计算出每个平行四边形的面积，然后加起来就是直角三角形的面积了。

总结解直角三角形是几何中比较有趣的一道问题，破解它需要一定的几何、数学基础和技巧。

本文介绍了三种破解解直角三角形的技巧：一是直角定理；第二是等边或等腰直角三角形作为特殊情况；最后一个是利用平行四边形破解法。

熟练掌握这三招，就能解决解直角三角形的问题了。

数三角形个数的巧妙方法(一)数三角形个数的巧妙方法问题背景数三角形是组合数学中的一个经典问题。

在一个网格图中，我们需要计算出由顶点组成的三角形的个数。

对于一个 n ×n 的网格图，我们该如何高效地计算出三角形个数呢？暴力枚举法最朴素的做法，就是枚举所有顶点的组合，然后判断是否构成三角形。

时间复杂度为 O (n 6)，对于一张稍微大一点的网格图，就会非常耗时。

优化方法第一步：枚举边我们可以枚举所有的边，然后从该边所在的行和列中找到与该边端点构成三角形的所有点。

假设该边所在的行号为 i ，列号为 j ，则可以得到以下公式：count =∑∑[A k,l +A i,j −A k,j −A i,l =1]nl=j+1n k=i+1其中 A i,j 表示网格图中位置 (i,j ) 上是否有点。

通过这种方法，我们可以将时间复杂度优化到 O (n 4)。

第二步：利用差分来优化我们还可以通过差分的方式，进一步降低时间复杂度。

差分就是一种前缀和的逆运算。

假设 A 是一个序列，B 是 A 的差分序列，即 B i =A i −A i−1。

那么我们可以通过差分求得原序列：A i =∑B j ij=1因此，如果我们能够求出所有点到左上角的连线上，有多少个点，就可以通过差分求解出被这条连线分为两个部分的点的个数，从而计算出与该点构成三角形的个数。

我们将网格图中位置 (i,j ) 上是否有点记为 B i,j 。

则以下公式可以求出所有点到左上角的连线上，有多少个点：S i,j ={B i,j (i =1 or j =1)B i,j +S i−1,j +S i,j−1−S i−1,j−1otℎers最终，我们可以通过以下公式求解三角形的个数：count =∑∑[(B i,j =1) and (i >1) and (j >1)]nj=1n i=1×(S i−1,j−1−S i−1,n −S n,j−1+S n,n )该算法的时间复杂度为 O (n 3)，大大提高了计算效率。

数三角形个数的规律技巧数学中的三角形是一个基本的几何形状，其在解决实际问题中有着广泛的应用。

而了解三角形的个数规律技巧，不仅可以帮助我们更好地理解几何概念，还可以在问题求解中提供更多的思路和方法。

本文将介绍一些常见的数三角形个数的规律技巧，帮助读者更好地掌握这一知识点。

我们来看一些简单的三角形个数规律。

在一个正方形网格中，如果我们将其中的4个顶点连接起来，就可以得到一个正方形的内部三角形。

而在一个正六边形网格中，如果我们将其中的6个顶点连接起来，就可以得到一个正六边形的内部三角形。

可以发现，规则是正多边形的内部三角形个数等于其边数减去2。

这是因为在正多边形中，每个顶点都可以连接到其他所有的顶点，而我们要求的是不共线的三角形个数，所以需要减去2。

除了正多边形，还有其他形状的图形中也存在三角形个数的规律。

例如，在一个圆形网格中，我们可以连接其中的任意3个顶点来构成一个三角形。

而在一个正方形网格中，我们可以通过连接其中的4个顶点来构成不同形状的三角形，例如直角三角形、等腰三角形等。

所以，在这些图形中，三角形的个数是无限的。

除了基本的图形，我们还可以通过组合和划分的方式来求解三角形个数。

例如，在一个正方形网格中，我们可以通过连接其中的3个顶点来构成一个三角形。

而正方形网格中的顶点个数为n，那么我们可以从中选择3个顶点来构成三角形的个数可以表示为C(n, 3)，即从n个元素中选择3个元素的组合数。

根据组合数的性质，C(n, 3) = n * (n-1) * (n-2) / 3!，其中3!表示3的阶乘。

这个公式可以帮助我们快速计算出三角形的个数。

除了组合数，还有一种常见的求解三角形个数的方法是通过划分形状。

例如，在一个正方形网格中，我们可以从中选择一个顶点作为三角形的顶点，然后选择另外两个顶点作为三角形的底边的两个顶点，这样可以构成一个三角形。

而正方形网格中的顶点个数为n，那么我们可以从中选择一个顶点作为三角形的顶点的个数为n，然后从剩下的n-1个顶点中选择2个顶点作为三角形的底边的两个顶点，这样可以构成三角形的个数为n * C(n-1, 2)。

三角形解的个数问题《三角形解的个数问题》嘿，你知道三角形解的个数问题吗？这可真是个超级有趣又有点烧脑的事儿呢。

我记得有一次啊，我们数学老师在黑板上画了一些三角形的草图，然后就开始讲这个三角形解的个数。

当时我就想，不就是三角形嘛，能有多复杂呢？可等老师一讲，我才发现这里面的学问可大着呢。

咱们先来说说，啥时候三角形的解是唯一的。

就像我们搭积木一样，如果给你三条确定长度的小棒，只要这三条小棒的长度能满足一定的条件，那你只能搭出一种三角形。

比如说，三条边分别是3厘米、4厘米和5厘米。

这就像是一把钥匙只能开一把锁一样，这个三角形的形状和大小就被这三条边给确定得死死的，不会有第二种可能啦。

这时候，我们就说这个三角形有唯一解。

你想啊，如果边的长度都确定了，这个三角形就像是被定住了一样，还能有别的样子吗？肯定不能呀。

可是呢，事情没那么简单哦。

有时候三角形的解可不是唯一的呢。

比如说，已知一个角和两条边，这里面就有很多种情况啦。

就像你在一个大操场上，知道从一个点到另外两个点的距离，还有这两个点之间连线和某个方向的夹角。

这时候你去确定这三个点构成的三角形，可能就会有不同的结果。

我跟我同桌就经常讨论这个事儿。

我同桌特别聪明，他说就好比我们在玩捉迷藏，你知道了一部分关于藏起来的人的信息，但是这些信息可能会指向不同的地方。

我觉得他这个比喻特别形象呢。

当已知一个锐角，还有这个锐角的一条邻边和一条对边的时候，你得好好想想这个三角形到底有几种可能。

有时候你会发现好像有两个地方都能藏着那个“三角形”呢。

这就好比你有两个可能的藏身之处，到底哪个才是正确的呢？这就得根据边和角的具体大小关系来判断啦。

再说说已知两边和其中一边的对角的情况。

这就更像一场神秘的探索之旅了。

比如说，有两条边长度是固定的，然后有一个角是其中一条边的对角。

这时候这个三角形可能有一个解，也可能有两个解，甚至可能没有解哦。

这就像你要去寻找一个宝藏，你有了一些线索，但是这些线索可能会带你走向不同的结果。

判断三角形解的个数的方法判断三角形解的个数的方法判断三角形解的个数是数学中一个重要的问题，在实际应用中也经常涉及到。

一般来说，有两种方法可以用来判断三角形解的个数：方法一：三角不等式法三角不等式法是判断三角形解个数的经典方法，也是一种比较直观的方法。

根据三角形的性质，三角形的任意两边之和大于第三边，即a + b > c，b + c > a，a + c > b，其中a、b、c分别为三角形的三条边。

如果已知一组三角形边长，只需将这组数据代入三角不等式，判断是否成立即可。

例如，若已知一组三角形边长为a=3 cm，b=4 cm，c=7 cm，则：a +b > c，即3 + 4 > 7，成立。

b +c > a，即4 + 7 > 3，成立。

a + c > b，即3 + 7 > 4，成立。

因此，该组数据满足三角不等式，故可构成一个三角形。

如果三边的长度难以直接比较，则可以取出其中最大的一边，判断其余两边之和是否大于最大边，以此来判断是否能构成三角形。

方法二：海龙公式法海龙公式法是利用三条边的长度求出用海龙公式求出面积，然后根据海龙公式，面积S=max{p(p-a)(p-b)(p-c)}^{1/2}，其中p=(a+b+c)/2，判断是否能构成三角形的方法。

海龙公式法比三角不等式法更精准，适用于各种情况。

若a,b,c都是正数，且满足a+b>c,b+c>a,a+c>b，则S>0，这说明这三条边可以构成一个三角形。

若S=0，则说明这三条边不能构成一个三角形。

例如，若已知一组三角形边长为a=3 cm，b=4 cm，c=7 cm，则：p=(a+b+c)/2=14/2=7。

S=max{p(p-a)(p-b)(p-c)}^{1/2}=max{7*4*3*0}/2=0。

因此，该组数据不能构成一个三角形。

总的来说，三角不等式法适用于求三角形是否存在、没有求边长的时候判断是否存在三角形；而海龙公式法适用于求三角形的面积、判别三个给定边是否能构成三角形。

三角形解的个数问题解析对于三角形个数问题，主要有两种方法进行判断，在具体的做题过程中，大家需要熟练运用，本文重点给大家梳理一下第二种方法，画圆法。

方法一、大角对大边，正弦定理求解在已知的ABC 的边长,,a b A ，且已知,a b 的大小关系时，常利用正弦定理结合“大角对大边”来判断三角形解的个数。

例、在ABC中，已知45,a b B ===︒，求,,A C c 。

分析：由正弦定理可得，sin sin 2a B A b ==因为459060,120B A =︒<︒∴=︒︒，所以这个地方A 的值就有两个了。

剩下的就不再进行赘述。

注意的是，往往很多时候，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>，这是一个隐含条件，大家要记得挖掘使用。

方法二、画圆法方法说明：已知ABC 中，A 为已知角（这个地方先不讨论直角），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC 边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以BC 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果没有交点，则说明三角形的个数为0个；若有一个交点，则说明该三角形解的个数为1个；若有两个交点，则说明该三角形解的个数为2个。

详细步骤：①当A为钝角或者直角时：如上图所示，只有当a b>时才能有一解，否则无解。

②当A为锐角时：Case1、如果a b≥，则只有一解。

Case2、如果a b<，可以细分为以下三种情况：◎若sina b A>，则有两个解；画图说明：◎若sina b A=，则只有一解；◎若sina b A，则无解。

解三角形专题2 三角形解的个数问题 A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系A<bsinA A=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b解的个数 无解 一解 两解 一解 无解1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？(1) 78105a ,b ,A ==∠=(2) 102080a ,b ,A ==∠= (3) 105660b ,c C ==∠= (4) 23630a ,A ==∠=答案:(1) 90A ∠>而a b <，故无解(2) 90A ,a b sin A b ∠<<<，故有无解(3) c b >，故有一组解(4) 90A ,b sin A a b ∠<<<，故有两组解2在△ABC 中，A =45°，AB =3，则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60°”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既为充分也不必要条件另解法法1：大角对大边 在已知ABC ∆中的边长a ，b 与角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中，已知a =b =45B =︒，求A 、C 及c ．解：由正弦定理，得sin sin a B A b ===∵4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或120︒．当60A =︒时，75C =︒，sin 75sin sin 452b Cc B ︒===︒；当120A =︒时，15C =︒，sin sin sin 45b C c B ︒===︒． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．法2：二次方程的正根个数一般地，在ABC ∆中的边长a ，b 与角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解． 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =， 60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求BC 的长． 解：在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒，整理得210960x x --=，解得16x =．由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒点评：已知三角形两边与其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．法3：画圆法已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中，60A ∠=︒，a =3b =，则ABC ∆解的情况（ ）AB C DC a（A）无解（B）有一解（C）有两解（D）不能确定解：在A的一边上确定顶点C，使3∠=︒，CADAC b==，作60以顶点C为圆心，以CB a==AD没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，故选A．。

解三角形中的多解问题解三角形中的多解问题是几何学中一个重要的概念。

在传统的平面几何中，一个三角形的三个角度和三条边是唯一确定的，也即三个已知量可以唯一确定一个三角形。

然而，在某些情况下，给定的条件并不能唯一确定一个三角形，而是存在多个可能的解，这就是多解问题。

多解问题主要存在于两种情况下：一是给定的条件不足以唯一确定一个三角形，二是在解三角形时引入了非唯一解的假设或方法。

这两种情况下，都需要我们进一步分析和探讨，以便获得准确的解答。

首先，让我们探讨第一种情况，即给定的条件不足以唯一确定一个三角形的情况。

一个明显的例子是只给出了三个角度，而未给出任何边长的情况。

根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和始终为180度。

因此，如果我们知道三个角度分别是60度、60度和60度，我们可以确定这是一个等边三角形。

然而，如果我们只知道三个角度分别是60度、60度和120度，由于存在多个三角形可以满足这三个角度，我们就无法唯一确定一个三角形。

在第二种情况下，我们会引入非唯一解的假设或方法来解三角形。

一个典型的例子是使用正弦定理来解直角三角形。

正弦定理表明，在一个任意的三角形ABC中，边长a、b、c和其相对应的角A、B、C之间满足以下关系：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)在一个直角三角形中，我们可以使用正弦定理来解决未知的边长或角度。

然而，在这种情况下，我们通常会得到两个可能的解。

例如，如果我们知道一个直角三角形的两个边长分别为3和4，我们可以使用正弦定理求解第三个边长。

根据正弦定理，我们有：3/sin(A) = 4/sin(90°) = 5/sin(B)通过求解这个方程，我们得到两个可能的解：角A可以是30度或150度，角B可以是60度或120度。

这就是多解问题在解直角三角形时的一个常见情况。

除了上述两种情况，多解问题还可以出现在其他几何学问题中，例如解二次曲线与直线的交点或解三维几何体的重心等。

1.1.1(2)三角形解的个数一、利用正弦定理解决两类解三角形问题：（1）已知两角一边，求其他元素（已知,,A B a 解三角形）①由内角和求出第三个角；②由正弦定理求出另两边。

例1：0045,30,10A C c ∠=∠==，解三角形。

0105,B a b ∠=== （2）已知两边及其中一边对角，求其他元素（已知,,a b A 解三角形）①由sin sin b A B a=求出B ；②由内角和求出C ；③由正弦定理求出c 例2：试根据下列条件中的,,a b A ，求出B（1）06,9,45a b A ===； sin 14B =>无解（2）04,60a b A ===；sin 2B =，045B ∠=（3）02,30a b A ===。

sin B =，0013545B ∠=或 二、三角形个数的讨论，已知,,a b A ，求B ，sin sin b A B a=（1）从角A 入手： ①090A ≥时，㈠a b ≤，无解；㈡a b >，有唯一解。

②090A <时，㈠sin a b A <，无解； ㈡sin a b A =，一解； ㈢sin b A a b <<，两解； ㈣a b ≥，一解。

（2）从,a b 边的大小关系入手：①a b ≥时，可得A B ≥，B 为锐角，有唯一解；②a b <时，A 为锐角，在用（1）中方法判断。

三、练习：例1：分别判断满足下列条件的三角形的个数：（1）011,20,30b a B ==∠=； 2 （2）054,39,120c b C ==∠=； 1（3）026,60b c C ==∠=； 1（4）02,6,30a b A ==∠=。

0例2：在ABC 中，0,2,45a x b A ===，若此三角形有一解，求x 范围。

2x x =≥。

解三角形专题2之阿布丰王创作时间：二O二一年七月二十九日三角形解的个数问题A为锐角A为钝角或直角图形关系bsinA<a<b a≥b a≤b A<bsinA A=bsinA无解一解两解一解无解解的个数1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？(1) 78105==∠=a,b,A(2) 102080==∠=a,b,A(3) 105660b,c C==∠=(4) 23630==∠=a,A答案:(1) 90<，故无解A∠>而a b(2) 90A,a b sin A b∠<<<，故有无解(3) c b>，故有一组解(4) 90∠<<<，故有两组解A,b sin A a b2在△ABC中，A=45°，AB=3，则“B C=2”是“△ABC只有一解且C=60°”的A．充分不需要条件B．需要不充分条件C．充要条件D．既为充分也不需要条件另解法法1：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中，已知a =b =45B =︒，求A 、C 及c ． 解：由正弦定理，得sin sin a B A b ===∵4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或120︒．当60A =︒时，75C =︒，sin sin b C c B ===； 当120A =︒时，15C =︒，sin sin sin 452b C c B ︒===︒．点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．法2：二次方程的正根个数一般地，在ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，经常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =，A BC D60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求BC 的长．解：在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒，整理得210960x x --=，解得16x =．由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采取正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．法3：画圆法已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中，60A ∠=︒，a =3b =，则ABC ∆解的情况（） （A ）无解（B ）有一解（C ）有两解（D ）不克不及确定 解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD ∠=︒， 以顶点C为圆心，以CB a ==AD 没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，故选A ．A bCa。