三招破解三角形解的个数问题

浅议三角形解的个数学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼，当三角形中已知两边和其中一边的对角（锐角）时，可能出现一解、二解、无解等情况，虽然书上也有相应的方法，可是一些同学依旧茫然。

下面通过自己的教学经验，从几何和代数两个方面来阐述下三角形解的个数问题，希望能帮助同学们顺利破解。

几何法：为了学生更好的掌握这个题型：在△ABC 中，已知A （锐角），b,c ，问三角形解的个数。

特强调了，角的对高，对边，邻边三个名词。

如图（角A ）对高：CD (bsinA )，对边：BC （a ），邻边：AC （b ）。

以C 点为圆心，a 为半径（a 的值从小到大）画弧，分别与线段AB 出现无交点，一个交点，两个交点，一个交点的情况。

无解：bsinA>a 一解：bsinA =a两解：bsinA <a<b 一解：a ≥b例1：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b ＝3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个解：bsinA= 3λsin45°=62λ>λ=a,(λ>0)，无解。

答案：A练习1：在△ABC 中, 已知a=20, b=40,A=60°, 则此三角形的解为 ( )A. 有一解B. 有两解C. 无解D.解的个数不确定代数法：1.在正弦定理中用三角函数值的有界性和大角对大边在已知△ABC 中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理求解，先利用三角函数的有界性来判断，再结合“大边对大角”来△判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值。

上例：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b ＝3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个 另解：直接根据正弦定理可得a sin A ＝b sin B ，可得sin B ＝bsin A a ＝3λsin 45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0. 答案：A例2：在△ABC 中，已知3a =，2b =，B=45°，求A 、C 及c 。

三角形个数的巧妙方法
数三角形个数有啥巧妙方法？嘿，那咱就直接唠唠。

首先，把图形分解成基本的三角形，就像把一个大拼图拆成小块。

这一步可得仔细喽，不然很容易数漏。

然后，从最小的三角形开始数起，一个一个往上加。

这就好比爬楼梯，一步一步来，可不能心急。

在这个过程中有啥要注意的呢？那就是不能重复数，也不能漏数。

这就像走迷宫，得时刻保持清醒，别走岔路。

要是数错了，那可就麻烦啦！
那数三角形的过程安全不？稳定不？放心吧！这又不是啥危险的事儿。

只要你认真仔细，就不会出问题。

就像搭积木，只要你用心搭，就不会倒。

数三角形的方法在啥场景能用上呢？那可多啦！比如数学作业里、考试中，甚至在生活中也能用到呢。

比如说设计图案的时候，你得知道有多少个三角形才能做出漂亮的设计。

这多厉害呀！
优势也不少呢！能锻炼你的观察力和逻辑思维能力。

就像锻炼身体一样，让你的大脑更强大。

举个实际案例哈，比如在一个复杂的几何图形中，用这个方法就能轻松数出三角形的个数。

你想想，要是没有好方法，那得费多大劲呀！
所以说，数三角形个数的巧妙方法真的超棒！认真去做，你肯定能数得又快又准。

解三角解的个数1. 任务背景三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条线段组成。

在解三角形问题中，我们通常给定三角形的一些已知条件，例如边长或角度，然后需要确定三角形的其他未知条件。

解三角形的个数取决于已知条件的数量和类型。

2. 解三角形的基本原理解三角形的基本原理是利用三角形的性质和几何关系来求解未知条件。

根据已知条件的不同，解三角形可以分为以下几种情况：2.1 已知三边长度如果已知三角形的三边长度，我们可以利用余弦定理和正弦定理来求解三角形的角度。

余弦定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，a、b、c分别为三角形的三边长度，C为对应的角度。

通过余弦定理可以求解三角形的角度。

正弦定理表达式为：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，A、B、C分别为三角形的三个角度。

通过正弦定理可以求解三角形的角度。

根据已知的三边长度，我们可以利用余弦定理和正弦定理求解出三个角度，从而确定三角形的形状。

2.2 已知两边长度和夹角如果已知三角形的两边长度和它们的夹角，我们可以利用余弦定理和正弦定理来求解三角形的第三边长度和其他角度。

根据余弦定理，可以求解第三边的长度：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，a、b、c分别为已知的两边长度，C为已知的夹角。

根据正弦定理，可以求解其他角度的正弦值：sin(A) = a * sin(C) / csin(B) = b * sin(C) / c其中，A、B为未知的角度。

2.3 已知两个角度和一边长度如果已知三角形的两个角度和一边长度，我们可以利用正弦定理和余弦定理来求解三角形的其他边长度和角度。

根据正弦定理，可以求解其他边的长度：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，A、B、C为已知的两个角度和一边长度。

根据余弦定理，可以求解其他角度的余弦值：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)3. 解三角形的个数根据已知条件的数量和类型，解三角形的个数可以分为以下几种情况：3.1 一解如果已知的条件足够确定三角形的形状和大小，那么解三角形的个数为一解。

三角形解的个数问题佚名【期刊名称】《《高中数理化》》【年(卷),期】2019(000)006【总页数】1页(P13)【正文语种】中文判断三角形解的个数问题是教学的难点，笔者在课堂上利用微专题的形式对三角形解的个数问题的解题基本策略进行研究，效果甚好,故本文将对求解三角形解的个数问题的基本策略加以阐述.1 利用尺规作图原理判断利用数形结合思想，借助直尺、圆规和量角器作图，判断三角形解的个数，此法简单、直观，便于理解.已知两边a,b和角A,作出A和b，则点C就可确定，以点C为圆心，a为半径画弧，但需要计算点C到对边的距离bsin A,比较bsin A与a，b的大小，才能判断所画弧与A的另一边的交点个数，得出三角形解的个数.画图时需要对A进行分类讨论：若A为锐角，则有下列四种情况，如图1所示.①a<bsin A无解; ②a=bsin A有一解;③bsin A<a<b有两解; ④a≥b有一解.图1教材中利用图示的方法判断三角形解的个数，比较不容易理解和记忆，联想到“数轴”分界的优势，将三角形解的情况总结如下：以a为判断对象，以bsin A与b为分界点，按从左到右即从大到小的顺序，将“数轴”分为五个区域：a<bsin A，a=bsin A，bsin A<a<b，a=b，a>b.三角形解的个数如图2所示，简记为“0 1 2 1 1”，数字分别代表三角形解的个数.图2若A为直角或钝角，则当a≤b时，无解，当a>b时，有一解.三角形解的个数如图3所示，简记为“0 0 1”.图32 利用函数与方程思想在解三角形时，如果已知两边及其一边对角的情况下即可利用余弦定理构造方程，将三角形解的个数问题转化为一元二次方程正根的个数问题.例1 已知△ABC中，满足b=2，B=60°的三角形有两解，求边长a的取值范围. 即c2-ac+a2-4=0.△ABC有两解，则方程有两个不相等的正根，故即所以在△ABC中，已知a，b和角A，由余弦定理构造关于c的一元二次方程c2-2bccos A+b2-a2=0,若该方程只有负根或无根，则该三角形无解；若该方程有一个正数根，则该三角形有一解；若方程有两个不相等的正实数根，则该三角形有两解.3 利用正弦定理例2 在△ABC中，已知角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且则b为何值时，三角形是无解、一解、两解？由正弦定理得即设函数和因此三角形解的个数问题就转化为这两个函数图象的交点个数问题.易知当0<b<2或时，三角形有一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解.判断三角形解的个数，可利用正弦定理，将问题转化为函数图象与直线的交点个数问题.。

三角形解的个数问题的解法优化问题 在ABC ∆中，已知A 、a 、b ，确定此三角形解的个数． 1．教材提供的解决方案(1)当A 为直角或钝角时，若a b >，则有一解，若a b ≤，则无解； (2)当A 为锐角时，如下表此方案虽逻辑清晰、思维严谨，但分类较为抽象、繁琐，既不易记忆，又不易正确运用． 2．优化方案当A 为直角或钝角且a b ≤时无解． 其余情况下，计算sin sin b AB a =之值，参照下图进行判断即可：具体来说，是借助于sin B 的值与0、sin A 、1大小关系来确定三角形解的个数．如下表：3．原理(1)当A 为直角或钝角时，若0sin sin B A <<则a b >，故有一解，若a b ≤，则无解； (2)当A 为锐角时，如下表：例1 ABC ∆中，a =b =sin 2B =，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个解析 先利用正弦定理求出sin A 的值，再依a 与b 的大小，sin A 与sin B 的大小，就可迅捷判断三角形解的个数．依sin sin a B A b ==，1<< 即sin sin 1B A << 又b a <，知B 为锐角． 故符合条件的三角形，应选B ．例2 在ABC ∆中，2a =，b x =，60A =，当x 取何值时，ABC ∆无解？有一解？有两解？解析 先利用正弦定理求出sin B 的值，再通过比较a 与b ，sin A 与sin B 的大小，就可一招制胜，巧妙解题．依sin sin 4b A B x a ==．若ABC ∆无解，则sin 1B >1x >， 得x >若ABC ∆有一解，则sin 1B =或0sin sin B A <≤， 1x =或0<≤，得x =02x <≤；若ABC ∆有二解，则sin sin 1A B <<，即124x <<， 得23x <<．综上所述，当x >ABC ∆无解；当x =02x <≤时，ABC ∆有一解；当2x <<时，ABC ∆有两解．巩固练习1．已知ABC ∆中，b =2c =，6C π=，若三角形有两解，则符合条件的三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个2．（2015三门峡模拟）已知ABC ∆中，a x =，2b =，45B =，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．2x >B ．2x <C ．2x <<．2x <<可见，利用正弦定理研究三角形解的个数时，若能先利用正弦定理求出某个角的正弦，再利用该正弦值与已知角的正弦值间的大小关系，相应的两边间的大小关系，就可出奇制胜，迅捷判断三角形解的个数．参考文献：[1] 张新生. 谈应用正弦定理讨论三角形解的个数[J]. 兵团教育学院学报, 2013,(3).。

解三角形专题2三角形解的个数问题A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系 A<bsinAA=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b解的个数无解 一解 两解 一解 无解1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？(1) 78105a ,b ,A ==∠=o(2) 102080a ,b ,A ==∠=o(3) 105660b ,c ,C ==∠=o(4) 23630a ,b ,A ==∠=o答案:(1) 90A ∠>o 而a b <，故无解(2) 90A ,a b sin A b ∠<<<o ，故有无解(3) c b >，故有一组解(4) 90A ,b sin A a b ∠<<<o ，故有两组解2在△ABC 中，A =45°，AB =3，则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60°”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既为充分也不必要条件另解法法1：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中，已知a =b =45B =︒，求A 、C 及c ．解：由正弦定理，得sin sin 2a B A b ===，∵4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或120︒． 当60A =︒时，75C =︒，sin 75sin sin 452b C c B ︒===︒； 当120A =︒时，15C =︒，sin sin b C c B ===． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．法2：二次方程的正根个数一般地，在ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解． 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =， 60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求BC 的长．解：在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒，整理得210960x x --=，解得16x =．由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．法3：画圆法已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使ACA B C D边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中，60A ∠=︒，a =3b =，则ABC ∆解的情况（ ） （A ）无解 （B ）有一解 （C ）有两解 （D）不能确定 解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD ∠=︒，以顶点C 为圆心，以CB a ==AD 没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，故选A ．A bC a D。

1.1.1(2)三角形解的个数一、利用正弦定理解决两类解三角形问题：（1）已知两角一边，求其他元素（已知,,A B a 解三角形）①由内角和求出第三个角；②由正弦定理求出另两边。

例1：0045,30,10A C c ∠=∠==，解三角形。

0105,B a b ∠=== （2）已知两边及其中一边对角，求其他元素（已知,,a b A 解三角形）①由sin sin b A B a=求出B ；②由内角和求出C ；③由正弦定理求出c 例2：试根据下列条件中的,,a b A ，求出B（1）06,9,45a b A ===； sin 14B =>无解（2）04,60a b A ===；sin 2B =，045B ∠=（3）02,30a b A ===。

sin B =，0013545B ∠=或 二、三角形个数的讨论，已知,,a b A ，求B ，sin sin b A B a=（1）从角A 入手： ①090A ≥时，㈠a b ≤，无解；㈡a b >，有唯一解。

②090A <时，㈠sin a b A <，无解； ㈡sin a b A =，一解； ㈢sin b A a b <<，两解； ㈣a b ≥，一解。

（2）从,a b 边的大小关系入手：①a b ≥时，可得A B ≥，B 为锐角，有唯一解；②a b <时，A 为锐角，在用（1）中方法判断。

三、练习：例1：分别判断满足下列条件的三角形的个数：（1）011,20,30b a B ==∠=； 2 （2）054,39,120c b C ==∠=； 1（3）026,60b c C ==∠=； 1（4）02,6,30a b A ==∠=。

0例2：在ABC 中，0,2,45a x b A ===，若此三角形有一解，求x 范围。

2x x =≥。

第 1 页 共 3 页 解三角形专题2 三角形解的个数问题A 为锐角为锐角 A 为钝角或直角为钝角或直角图形图形关系关系 A<bsinAA=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b解的个数个数无解无解 一解一解 两解两解 一解一解 无解无解1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？(1)78105a ,b ,A ==Ð= (2)102080a ,b ,A ==Ð= (3)105660b ,c ,C ==Ð= (4)23630a ,b ,A ==Ð= 答案答案:(1) :(1) 90A Ð>而a b <，故无解，故无解(2) 90A ,a b sin A b Ð<<<，故有无解，故有无解(3) c b >，故有一组解，故有一组解(4) 90A ,b sin A a b Ð<<<，故有两组解，故有两组解2在△ABC 中，A =45=45°，°，AB =3，则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60=60°”的°”的°”的A ．充分不必要条件．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件．充要条件D ．既为充分也不必要条件．既为充分也不必要条件另解法法1：大角对大边在已知ABC D 中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解．的值，根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC D 中，已知3a =，2b =，45B =°，求A 、C 及c ．解：由正弦定理，得sin 3sin 453sin 22a B Ab °===，∵4590B =°<°，b a <，∴60A =°或120°． 当60A =°时，75C =°，sin 2sin 7562sin sin 452b Cc B °+===°； 当120A =°时，15C =°，sin 2sin1562sin sin 452b Cc B °-===°． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >Û>Û>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．掘．法2：二次方程的正根个数一般地，在ABC D 中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解． 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ^，10AD =，14AB=，60BDA Ð=°，135BCD Ð=°，求BC 的长．的长． 解：在ABD D 中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-×°， 整理得210960x x --=，解得16x =．由正弦定理，得sin 16sin3082sin sin135BD CDB BC BCD а===а．点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．法3：画圆法已知ABC D 中，A 为已知角（90¹°），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC边长为已知长度，边长为已知长度，最后以顶点最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，边长为半径画圆，看该圆与看该圆与A 的另一边是否有A BC D交点，如果交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC D 中，60A Ð=°，6a =，3b =，则ABC D 解的情况（解的情况（ ） （A ）无解）无解 （B ）有一解）有一解 （C ）有两解）有两解 （D ）不能确定）不能确定 解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD Ð=°， 以顶点C 为圆心，以6CB a ==为半径画圆，看该圆与AD 没有交点，没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，故选A ．A b Ca D。

高中三角形解的个数
在高中数学中，三角形的解个数是由给定条件所决定的。

一般来说，给定一个三角形的条件有以下几种：
1. 边长关系：已知三条边的长度，可以使用三角形不等式判断是否能构成三角形。

如果能构成三角形，则存在唯一的解，因为三角形的边长决定了三角形的形状。

2. 两边夹角和第三边关系：已知两边和它们夹角的大小，可以使用正弦定理、余弦定理等求解第三边的长度。

根据给定的条件，可能存在一个解、两个解或者无解。

3. 两角和第三边关系：已知两个角的大小和夹角的大小，可以使用正弦定理、余弦定理等求解第三边的长度。

根据给定的条件，可能存在一个解、两个解或者无解。

需要注意的是，以上仅是一些基础情况下的解个数，实际中还可能存在其他类型的条件来确定三角形的解个数。

在复杂的情况下，可能需要借助于几何连续、向量等方法来求解。

关于三角形解的个数问题的讨论
作者：秦森
来源：《试题与研究·新课程论坛》2012年第09期
对于解三角形的问题，有以下的几种情形。

一、已知三角形的三边，此时由余弦定理求出两个个角的余弦值，从而求出这两个角的大小，最后由三角形内角和定理求出第三个角，从而解出该三角形。

二、已知三角形的两边及其夹角，此时由余弦定理可先求出第三边，再由余弦定理求出某个角的余弦值从而求出该角的大小，最后由三角形内角和定理求出第三个角，从而解出该三角形。

三、已知三角形的两角及其任一边，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理直接求出另外两条边，从而解出该三角形。

如何判断三角形解的个数
曹贤波
“已知两边和其中一边的对角”解三角形，这类问题通常利用正弦定理来讨论。

本文给出用余弦定理的变形来讨论的一般方法。

在△ABC中，已知a、b和A，由余弦定理可变形得：
这是一个关于c的一元二次方程。

1. 若方程（*）有两个不相等的实数根，且：
（1），则此三角形有两解；
（2），则此三角形有一解；
（3），则此三角形无解。

2. 若方程（*）有两个相等的实数根，且：
（1），则此三角形有一解；
（2），则此三角形无解。

3. 若方程（*）无实数根，则此三角形无解。

综合分析以上各种情况，可以发现：方程（*）有几个正实数根，三角形就有几个解；因此，遇到该类问题，就可以转化为方程（*）正实数根的个数了，比用正弦定理讨论起来更简捷，更实用，且具有公式化。

例：根据下列条件，判断△ABC解的个数。

（1）；
（2）；
（3）。

解：由变式（*）得如下方程：
（1）
即，所以，故此三角形无解。

（2）
即
所以，故此三角形只有一解；
（3）
即
所以，故此三角形有两解。