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由三角形两边及一边对角时判定三角形解的个数a=x C电子信息工程系关于毕业设计撰写的规定毕业设计撰写工作是高职学生培养工作的重要内容之一，是培养高职学生治学态度、保证毕业设计质量的重要环节。
电子信息工程系学生均需按本规定撰写毕业设计。
撰写毕业设计前需要写出开题报告，开题报告具体内容见附件1。
一个完整的毕业设计应由：题目（标题）、目录、摘要、引言（前言）、正文、结论、致谢、参考文献和附录等几部分构成。
字数要求5000字以上。
一、毕业设计撰写的内容与要求。
1、标题：课题名称，要求简洁、确切，要有概括性。
标题的字数一般不宜超过20字。
2、目录：由论文的章、节、条、项、附录等的序号、名称和页码组成。
3、摘要：扼要叙述设计的主要内容、方法和观点，以及设计成果及特点，文字要简练。
中文摘要约300字左右；对于申请优秀论文的学生原则上还需要将中文摘要翻译成外文。
4、前言：说明课题的目的、意义及应达到的技术性能与要求；简述本课题的发展现状及存在的问题；概述研究的理论、方法及成果。
摘要和前言的主要区别在于：摘要一般要写得高度概括、简略，前言则可稍微具体些；摘要的内容可笼统表达，而前言中所有内容须明确表达；摘要不写选题缘由，前言则应明确缘由；在文字量上一般情况是前言多于摘要。
5、正文：正文是作者对自己所研究课题的详细表述。
正文内容可根据专业、课题的不同做具体要求。
毕业设计中的图、表、附注、参考文献、公式、算式等，一律用阿拉伯数字依序连续编排序号，可就全篇顺序编号，也可分章依序编。
其标注形式应便于区别，如图1、图2.1；表2、表3.2；附注1）；文献[4]；式（5）、式（3.5）等。
其中图、表等应有简短确切的题名，连同图号（表号）置于图下（表上）。
6、结论：对整个毕业设计（论文）的归纳和总结。
应准确、完整、明确、精炼。
可在结论中提出建议、研究设想、改进意见、尚待解决的问题等。
7、致谢：在论文的结尾处，以简短文字，对课题研究与写作过程中曾给予直接或间接帮助的人员，如指导教师及其他人员，表示自己的谢意。
解三角形专题2三角形解的个数问题A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系 A<bsinAA=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b解的个数无解 一解 两解 一解 无解1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？(1) 78105a ,b ,A ==∠=(2) 102080a ,b ,A ==∠=(3) 105660b ,c ,C ==∠=(4) 23630a ,b ,A ==∠=答案:(1) 90A ∠>而a b <，故无解(2) 90A ,a b sin A b ∠<<<，故有无解(3) c b >，故有一组解(4) 90A ,b sin A a b ∠<<<，故有两组解2在△ABC 中，A =45°，AB =3，则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60°”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既为充分也不必要条件另解法法1：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中，已知a =b =45B =︒，求A 、C 及c ．解：由正弦定理，得sin sin 2a B A b ===，∵4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或120︒． 当60A =︒时，75C =︒，sin 75sin sin 452b C c B ︒===︒； 当120A =︒时，15C =︒，sin sin b C c B ===． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．法2：二次方程的正根个数一般地，在ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解． 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =， 60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求BC 的长．解：在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒，整理得210960x x --=，解得16x =．由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．法3：画圆法已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有A B C D交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中，60A ∠=︒，a =3b =，则ABC ∆解的情况（ ） （A ）无解 （B ）有一解 （C ）有两解 （D）不能确定 解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD ∠=︒，以顶点C 为圆心，以CB a ==AD 没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，故选A ．A bC a D。
解三角解的个数1. 任务背景三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条线段组成。
在解三角形问题中，我们通常给定三角形的一些已知条件，例如边长或角度，然后需要确定三角形的其他未知条件。
解三角形的个数取决于已知条件的数量和类型。
2. 解三角形的基本原理解三角形的基本原理是利用三角形的性质和几何关系来求解未知条件。
根据已知条件的不同，解三角形可以分为以下几种情况：2.1 已知三边长度如果已知三角形的三边长度，我们可以利用余弦定理和正弦定理来求解三角形的角度。
余弦定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，a、b、c分别为三角形的三边长度，C为对应的角度。
通过余弦定理可以求解三角形的角度。
正弦定理表达式为：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，A、B、C分别为三角形的三个角度。
通过正弦定理可以求解三角形的角度。
根据已知的三边长度，我们可以利用余弦定理和正弦定理求解出三个角度，从而确定三角形的形状。
2.2 已知两边长度和夹角如果已知三角形的两边长度和它们的夹角，我们可以利用余弦定理和正弦定理来求解三角形的第三边长度和其他角度。
根据余弦定理，可以求解第三边的长度：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，a、b、c分别为已知的两边长度，C为已知的夹角。
根据正弦定理，可以求解其他角度的正弦值：sin(A) = a * sin(C) / csin(B) = b * sin(C) / c其中，A、B为未知的角度。
2.3 已知两个角度和一边长度如果已知三角形的两个角度和一边长度，我们可以利用正弦定理和余弦定理来求解三角形的其他边长度和角度。
根据正弦定理，可以求解其他边的长度：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，A、B、C为已知的两个角度和一边长度。
根据余弦定理，可以求解其他角度的余弦值：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)3. 解三角形的个数根据已知条件的数量和类型，解三角形的个数可以分为以下几种情况：3.1 一解如果已知的条件足够确定三角形的形状和大小，那么解三角形的个数为一解。
解三角形专题2三角形解的个数问题A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系 A<bsinAA=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b解的个数无解 一解 两解 一解 无解1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？(1) 78105a ,b ,A ==∠=o(2) 102080a ,b ,A ==∠=o(3) 105660b ,c ,C ==∠=o(4) 23630a ,b ,A ==∠=o答案:(1) 90A ∠>o 而a b <，故无解(2) 90A ,a b sin A b ∠<<<o ，故有无解(3) c b >，故有一组解(4) 90A ,b sin A a b ∠<<<o ，故有两组解2在△ABC 中，A =45°，AB =3，则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60°”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既为充分也不必要条件另解法法1：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中，已知a =b =45B =︒，求A 、C 及c ．解：由正弦定理，得sin sin 2a B A b ===，∵4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或120︒． 当60A =︒时，75C =︒，sin 75sin sin 452b C c B ︒===︒； 当120A =︒时，15C =︒，sin sin b C c B ===． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．法2：二次方程的正根个数一般地，在ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解． 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =， 60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求BC 的长．解：在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒，整理得210960x x --=，解得16x =．由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．法3：画圆法已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使ACA B C D边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中，60A ∠=︒，a =3b =，则ABC ∆解的情况（ ） （A ）无解 （B ）有一解 （C ）有两解 （D）不能确定 解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD ∠=︒，以顶点C 为圆心，以CB a ==AD 没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，故选A ．A bC a D。
1.1.1(2)三角形解的个数一、利用正弦定理解决两类解三角形问题：（1）已知两角一边，求其他元素（已知,,A B a 解三角形）①由内角和求出第三个角；②由正弦定理求出另两边。
例1：0045,30,10A C c ∠=∠==，解三角形。
0105,B a b ∠=== （2）已知两边及其中一边对角，求其他元素（已知,,a b A 解三角形）①由sin sin b A B a=求出B ；②由内角和求出C ；③由正弦定理求出c 例2：试根据下列条件中的,,a b A ，求出B（1）06,9,45a b A ===； sin 14B =>无解（2）04,60a b A ===；sin 2B =，045B ∠=（3）02,30a b A ===。
sin B =，0013545B ∠=或 二、三角形个数的讨论，已知,,a b A ，求B ，sin sin b A B a=（1）从角A 入手： ①090A ≥时，㈠a b ≤，无解；㈡a b >，有唯一解。
②090A <时，㈠sin a b A <，无解； ㈡sin a b A =，一解； ㈢sin b A a b <<，两解； ㈣a b ≥，一解。
（2）从,a b 边的大小关系入手：①a b ≥时，可得A B ≥，B 为锐角，有唯一解；②a b <时，A 为锐角，在用（1）中方法判断。
三、练习：例1：分别判断满足下列条件的三角形的个数：（1）011,20,30b a B ==∠=； 2 （2）054,39,120c b C ==∠=； 1（3）026,60b c C ==∠=； 1（4）02,6,30a b A ==∠=。
0例2：在ABC 中，0,2,45a x b A ===，若此三角形有一解，求x 范围。
2x x =≥。
