三招破解三角形解的个数问题

解三角形专题2三角形解的个数问题A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系 A<bsinAA=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b解的个数无解 一解 两解 一解 无解1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？(1) 78105a ,b ,A ==∠=(2) 102080a ,b ,A ==∠=(3) 105660b ,c ,C ==∠=(4) 23630a ,b ,A ==∠=答案:(1) 90A ∠>而a b <，故无解(2) 90A ,a b sin A b ∠<<<，故有无解(3) c b >，故有一组解(4) 90A ,b sin A a b ∠<<<，故有两组解2在△ABC 中，A =45°，AB =3，则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60°”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既为充分也不必要条件另解法法1：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中，已知a =b =45B =︒，求A 、C 及c ．解：由正弦定理，得sin sin 2a B A b ===，∵4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或120︒． 当60A =︒时，75C =︒，sin 75sin sin 452b C c B ︒===︒； 当120A =︒时，15C =︒，sin sin b C c B ===． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．法2：二次方程的正根个数一般地，在ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解． 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =， 60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求BC 的长．解：在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒，整理得210960x x --=，解得16x =．由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．法3：画圆法已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有A B C D交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中，60A ∠=︒，a =3b =，则ABC ∆解的情况（ ） （A ）无解 （B ）有一解 （C ）有两解 （D）不能确定 解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD ∠=︒，以顶点C 为圆心，以CB a ==AD 没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，故选A ．A bC a D。

判断三角形解的个数的方法判断三角形解的个数的方法判断三角形解的个数是数学中一个重要的问题，在实际应用中也经常涉及到。

一般来说，有两种方法可以用来判断三角形解的个数：方法一：三角不等式法三角不等式法是判断三角形解个数的经典方法，也是一种比较直观的方法。

根据三角形的性质，三角形的任意两边之和大于第三边，即a + b > c，b + c > a，a + c > b，其中a、b、c分别为三角形的三条边。

如果已知一组三角形边长，只需将这组数据代入三角不等式，判断是否成立即可。

例如，若已知一组三角形边长为a=3 cm，b=4 cm，c=7 cm，则：a +b > c，即3 + 4 > 7，成立。

b +c > a，即4 + 7 > 3，成立。

a + c > b，即3 + 7 > 4，成立。

因此，该组数据满足三角不等式，故可构成一个三角形。

如果三边的长度难以直接比较，则可以取出其中最大的一边，判断其余两边之和是否大于最大边，以此来判断是否能构成三角形。

方法二：海龙公式法海龙公式法是利用三条边的长度求出用海龙公式求出面积，然后根据海龙公式，面积S=max{p(p-a)(p-b)(p-c)}^{1/2}，其中p=(a+b+c)/2，判断是否能构成三角形的方法。

海龙公式法比三角不等式法更精准，适用于各种情况。

若a,b,c都是正数，且满足a+b>c,b+c>a,a+c>b，则S>0，这说明这三条边可以构成一个三角形。

若S=0，则说明这三条边不能构成一个三角形。

例如，若已知一组三角形边长为a=3 cm，b=4 cm，c=7 cm，则：p=(a+b+c)/2=14/2=7。

S=max{p(p-a)(p-b)(p-c)}^{1/2}=max{7*4*3*0}/2=0。

因此，该组数据不能构成一个三角形。

总的来说，三角不等式法适用于求三角形是否存在、没有求边长的时候判断是否存在三角形；而海龙公式法适用于求三角形的面积、判别三个给定边是否能构成三角形。

三角形解的个数问题的解法优化问题 在ABC ∆中，已知A 、a 、b ，确定此三角形解的个数． 1．教材提供的解决方案(1)当A 为直角或钝角时，若a b >，则有一解，若a b ≤，则无解； (2)当A 为锐角时，如下表此方案虽逻辑清晰、思维严谨，但分类较为抽象、繁琐，既不易记忆，又不易正确运用． 2．优化方案当A 为直角或钝角且a b ≤时无解． 其余情况下，计算sin sin b AB a =之值，参照下图进行判断即可：具体来说，是借助于sin B 的值与0、sin A 、1大小关系来确定三角形解的个数．如下表：3．原理(1)当A 为直角或钝角时，若0sin sin B A <<则a b >，故有一解，若a b ≤，则无解； (2)当A 为锐角时，如下表：例1 ABC ∆中，a =b =sin 2B =，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个解析 先利用正弦定理求出sin A 的值，再依a 与b 的大小，sin A 与sin B 的大小，就可迅捷判断三角形解的个数．依sin sin a B A b ==，1<< 即sin sin 1B A << 又b a <，知B 为锐角． 故符合条件的三角形，应选B ．例2 在ABC ∆中，2a =，b x =，60A =，当x 取何值时，ABC ∆无解？有一解？有两解？解析 先利用正弦定理求出sin B 的值，再通过比较a 与b ，sin A 与sin B 的大小，就可一招制胜，巧妙解题．依sin sin 4b A B x a ==．若ABC ∆无解，则sin 1B >1x >， 得x >若ABC ∆有一解，则sin 1B =或0sin sin B A <≤， 1x =或0<≤，得x =02x <≤；若ABC ∆有二解，则sin sin 1A B <<，即124x <<， 得23x <<．综上所述，当x >ABC ∆无解；当x =02x <≤时，ABC ∆有一解；当2x <<时，ABC ∆有两解．巩固练习1．已知ABC ∆中，b =2c =，6C π=，若三角形有两解，则符合条件的三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个2．（2015三门峡模拟）已知ABC ∆中，a x =，2b =，45B =，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．2x >B ．2x <C ．2x <<．2x <<可见，利用正弦定理研究三角形解的个数时，若能先利用正弦定理求出某个角的正弦，再利用该正弦值与已知角的正弦值间的大小关系，相应的两边间的大小关系，就可出奇制胜，迅捷判断三角形解的个数．参考文献：[1] 张新生. 谈应用正弦定理讨论三角形解的个数[J]. 兵团教育学院学报, 2013,(3).。

解三角形中的多解问题解三角形中的多解问题是几何学中一个重要的概念。

在传统的平面几何中，一个三角形的三个角度和三条边是唯一确定的，也即三个已知量可以唯一确定一个三角形。

然而，在某些情况下，给定的条件并不能唯一确定一个三角形，而是存在多个可能的解，这就是多解问题。

多解问题主要存在于两种情况下：一是给定的条件不足以唯一确定一个三角形，二是在解三角形时引入了非唯一解的假设或方法。

这两种情况下，都需要我们进一步分析和探讨，以便获得准确的解答。

首先，让我们探讨第一种情况，即给定的条件不足以唯一确定一个三角形的情况。

一个明显的例子是只给出了三个角度，而未给出任何边长的情况。

根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和始终为180度。

因此，如果我们知道三个角度分别是60度、60度和60度，我们可以确定这是一个等边三角形。

然而，如果我们只知道三个角度分别是60度、60度和120度，由于存在多个三角形可以满足这三个角度，我们就无法唯一确定一个三角形。

在第二种情况下，我们会引入非唯一解的假设或方法来解三角形。

一个典型的例子是使用正弦定理来解直角三角形。

正弦定理表明，在一个任意的三角形ABC中，边长a、b、c和其相对应的角A、B、C之间满足以下关系：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)在一个直角三角形中，我们可以使用正弦定理来解决未知的边长或角度。

然而，在这种情况下，我们通常会得到两个可能的解。

例如，如果我们知道一个直角三角形的两个边长分别为3和4，我们可以使用正弦定理求解第三个边长。

根据正弦定理，我们有：3/sin(A) = 4/sin(90°) = 5/sin(B)通过求解这个方程，我们得到两个可能的解：角A可以是30度或150度，角B可以是60度或120度。

这就是多解问题在解直角三角形时的一个常见情况。

除了上述两种情况，多解问题还可以出现在其他几何学问题中，例如解二次曲线与直线的交点或解三维几何体的重心等。

求解三角形个数的巧妙方法文章标题：求解三角形个数的巧妙方法导语：在数学中，三角形是一个重要的几何图形，研究三角形的性质和计算三角形的个数有助于我们深入了解几何学。

本文将介绍一种巧妙的方法来求解三角形的个数，帮助读者更好地理解这一概念。

一、引言及背景知识三角形是由三条线段组成的几何图形，它的性质和种类非常丰富。

在数学中，研究三角形的个数是一项重要的任务，它可以帮助我们探索几何学的深度和广度。

在求解三角形的个数时，我们通常可以借助组合数学的知识和思想来进行计算。

组合数学是数学的一个分支，它研究的是离散结构和计数方法，在解决组合问题时具有广泛的应用。

二、传统方法及局限性分析传统方法中最常见的一种是暴力穷举法，即通过遍历三个点，判断它们是否构成一个三角形，并统计满足条件的三角形的个数。

然而，这种方法的局限性在于计算量巨大，特别是当点的个数增多时，穷举法的效率会急剧下降。

三、巧妙的方法——基于数学思想的求解在研究三角形的个数时，我们可以利用数学的思想和技巧来简化计算过程。

一种巧妙的方法是基于组合数学的知识，通过计算三个点之间的组合关系来求解三角形的个数。

下面将详细介绍这一方法。

1. 计算三边组合我们可以从给定的点集中选择3个点作为三角形的三个顶点，即三边的组合形式。

对于给定的n个点，我们可以通过组合数学中的排列组合知识得到三边组合的个数为C(n,3)。

2. 排除不构成三角形的情况然而，不是所有的三边组合都能构成一个三角形，因为三边不能共线。

我们还需要排除那些不满足三角形条件的组合。

根据数学的条件判别法，对于任意三个点a、b、c，如果它们满足以下条件之一，则它们不能构成一个三角形：- 三点共线：即三个点在同一条直线上；- 两边之和小于第三边：即两条边的长度之和小于第三条边的长度；通过判断三边组合是否满足以上条件，我们可以进一步筛选出能够构成三角形的组合，得到有效的三角形个数。

3. 总结和回顾性内容通过上述方法，我们可以求解三角形的个数。

多三角形问题技巧
以下是 6 条关于多三角形问题技巧：
1. 哎呀呀，你知道吗，遇到多三角形问题时，寻找等量关系是关键啊！就像走路要找对方向一样重要。

比如说，两个三角形有一条公共边，那我们就可以从这里入手呀，这可是个突破点呢！你想想，要是找不到这个等量关系，那不是像无头苍蝇一样乱撞啦？
2. 嘿，解决多三角形问题，注意角度的转换超有用的哦！这不就好比我们在玩拼图，把合适的角度拼在一起。

比如在一个图形中有多个三角形，通过找出其中角度之间的联系，就能慢慢解开谜团啦。

难道你不想试试这种巧妙的方法吗？
3. 哇塞，多观察图形特点对于解决多三角形问题可太重要啦！就如同我们要了解一个人的特点才能更好地和他相处一样。

像有的图形中三角形的边长或者角度有特殊关系，一旦发现了，那问题不就迎刃而解啦？这可不是一般的厉害呀！
4. 哟呵，千万别忘了利用三角形的性质哦！这就好像是我们手中的秘密武器呀。

比如说三角形内角和是 180 度，这在解决问题时能派上大用场呢！你还不赶紧把这个秘密武器用起来？
5. 嘿呀，给多三角形问题分类讨论也是个好办法呢！这就像把东西分类整理一样清晰明了。

有时候根据不同的条件会得出不同的结果，只有分类去思考，才能把所有情况都考虑到呀。

这不是很机智吗？
6. 哈哈，要善于利用已知条件来推导未知呀！就好比沿着线索找到宝藏一样刺激。

比如知道了几个三角形的部分信息，通过合理的推理和计算，就能把其他的信息也挖掘出来啦。

这就是解决多三角形问题的乐趣所在呀！
我的观点结论就是：掌握这些多三角形问题技巧，能让我们在解决这类问题时更加得心应手，充满乐趣！。

解三角形中三角形个数问题在这个世界上，三角形真的是个神奇的东西，哦，对了，大家有没有想过，解三角形到底能解出多少个三角形呢？这问题听起来有点复杂，但其实没那么难。

首先啊，三角形就像我们生活中的小伙伴，每个都有自己的性格，形状，大小。

像是我们的朋友，有的人高大威猛，有的人娇小玲珑。

想想看，三角形可是数学中的一块宝地，能把各种各样的关系都搞得清清楚楚。

当我们谈到解三角形时，首先得明白，有些三角形是特别的，有些呢，可能就像我们常见的那些小家伙。

简单说，三角形可以分为很多种，有直角三角形，有等边三角形，还有那种任意形状的三角形，真是让人眼花缭乱。

不过，没关系，不管它们长什么样，咱们都能找到办法去解。

用心去看，每个三角形的内角和都是180度，哇，这可是个大秘密呢。

假如你有了三角形的三条边或者两个边和夹角，那就有戏了，绝对是个解三角形的好机会。

想象一下，拿着尺子和量角器，像个小侦探一样，咔嚓咔嚓地量来量去，寻找那些隐藏的角和边。

解完后，你会发现，原来三角形里还有那么多不为人知的秘密，真是让人惊喜不已。

再说说那种特殊的情况吧，有时候你可能只知道一个边和两个角，那可真是有趣，大家都知道，三角形的秘密在于它的边和角之间的关系。

用正弦定理和余弦定理，这就像是一把万能钥匙，能打开各种各样的三角形大门。

想想看，数学家们在背后默默地推导公式，真是像在挖宝藏，越挖越精彩。

说到这里，大家可能会想，解三角形有什么用呢？嘿嘿，这可不是随便说说的哦。

在工程上，建筑师需要解三角形来设计安全稳固的建筑；在航空航天，工程师们用它来计算飞行路径；在我们日常生活中，导航系统也得靠这小家伙来帮忙定位，真是无处不在啊。

解三角形就像是在拼图，有些边可能看起来不太配，但只要用心去找，总能拼出一个完整的画面。

就像生活中有些人，有时候你可能觉得他们不合适，但慢慢相处后，你会发现，哎，这不就是我最需要的那个人吗？三角形的世界也充满了这样的惊喜，真是让人感慨万千。

数三角形个数的规律技巧数学中的三角形是一个基本的几何形状，其在解决实际问题中有着广泛的应用。

而了解三角形的个数规律技巧，不仅可以帮助我们更好地理解几何概念，还可以在问题求解中提供更多的思路和方法。

本文将介绍一些常见的数三角形个数的规律技巧，帮助读者更好地掌握这一知识点。

我们来看一些简单的三角形个数规律。

在一个正方形网格中，如果我们将其中的4个顶点连接起来，就可以得到一个正方形的内部三角形。

而在一个正六边形网格中，如果我们将其中的6个顶点连接起来，就可以得到一个正六边形的内部三角形。

可以发现，规则是正多边形的内部三角形个数等于其边数减去2。

这是因为在正多边形中，每个顶点都可以连接到其他所有的顶点，而我们要求的是不共线的三角形个数，所以需要减去2。

除了正多边形，还有其他形状的图形中也存在三角形个数的规律。

例如，在一个圆形网格中，我们可以连接其中的任意3个顶点来构成一个三角形。

而在一个正方形网格中，我们可以通过连接其中的4个顶点来构成不同形状的三角形，例如直角三角形、等腰三角形等。

所以，在这些图形中，三角形的个数是无限的。

除了基本的图形，我们还可以通过组合和划分的方式来求解三角形个数。

例如，在一个正方形网格中，我们可以通过连接其中的3个顶点来构成一个三角形。

而正方形网格中的顶点个数为n，那么我们可以从中选择3个顶点来构成三角形的个数可以表示为C(n, 3)，即从n个元素中选择3个元素的组合数。

根据组合数的性质，C(n, 3) = n * (n-1) * (n-2) / 3!，其中3!表示3的阶乘。

这个公式可以帮助我们快速计算出三角形的个数。

除了组合数，还有一种常见的求解三角形个数的方法是通过划分形状。

例如，在一个正方形网格中，我们可以从中选择一个顶点作为三角形的顶点，然后选择另外两个顶点作为三角形的底边的两个顶点，这样可以构成一个三角形。

而正方形网格中的顶点个数为n，那么我们可以从中选择一个顶点作为三角形的顶点的个数为n，然后从剩下的n-1个顶点中选择2个顶点作为三角形的底边的两个顶点，这样可以构成三角形的个数为n * C(n-1, 2)。

数三角形个数的规律技巧
数三角形个数的规律技巧可以通过以下方式来实现：
1. 给定n个点，不共线的三点可以构成一个三角形。

因此，我们可以从这n个点中任选3个点来构成一个三角形。

由于选择的顺序并不重要，所以三角形的个数为C(n, 3)个，其中C表示组合数。

2. 可以根据三角形的性质来确定规律。

一个三角形要求三边满足三角不等式：任意两边之和大于第三边。

因此，我们可以遍历给定的边长，再通过边长的组合来确定唯一的三角形。

例如，给定边长为5的三角形，我们可以遍历边长从1到5，再用这些边长进行组合，通过三角不等式来确定合法的三角形。

3. 对于一个正多边形，如正五边形或正六边形，可以使用特定的公式来计算其内部三角形的个数。

例如，正n边形的所有三角形个数可以通过公式T(n) = (n-2)(n-1)n/6来计算，其中T(n)表示正n边形内部的三角形个数。

4. 使用递归算法可以有效计算包含重叠三角形的复杂结构中的三角形个数。

通过不断地划分区域，并计算每个划分区域中的三角形个数，最后将所有区域中的三角形个数相加，即可得到整个结构中的三角形个数。

总结：计算三角形个数的规律技巧可以包括组合数的计算、三角形性质的利用、特定多边形的公式以及递归算法的应用等。

这些技巧可以帮助我们在解决问题时更加高效地计算三角形的个数。

解题宝典解三角形是高中数学中的重要内容，也是高考数学必考的知识.通过对近几年高考试题的分析，可发现解三角形问题主要有：三角形的解的个数问题、三角形的面积问题以及三角形的边长问题，且不同题目的考查形式和考查知识点均有所不同，同学们应注意区分与鉴别.本文结合例题，对这三类解三角形问题的特点和解法进行介绍，希望对同学们有所帮助.一、三角形的解的个数问题解三角形是指已知三角形的某些边、角，求其他边、角.三角形的解有一个、二个或者无数个.在解答三角形的解的个数问题时，先要仔细审题，明确哪些边、角是已知的，哪些是未知的；然后灵活运用正余弦定理、勾股定理、三角函数的定义来解三角形.一般地，若已知的角较多，则运用正弦定理来建立关系式；若已知的边较多，则运用余弦定理进行求解；若三角形为直角三角形，可直接运用勾股定理和三角函数的定义解题.例1.根据下列条件判断三角形的解的情况，正确的个数是().①a=8,b=16,A=30°，该三角形有2个解②b=18,c=20,B=60°，该三角形有1个解③a=15,b=2,A=90°，该三角形无解④a=40,b=30,A=120°，该三角形有1个解A.1B.2C.3D.4解：对于①，由正弦定理asin A=b sin B可得sin B=16×sin30o8=1，而B∈()0,π，所以B只有1个解，故三角形只有1个解，所以①错误；对于②，由正弦定理bsin B=c sin C可得sin C=20sin60°18=539，因为b<c，所以C>B=60°，则C有2个解，故三角形有2个解，所以②错误；对于③，由正弦定理asin A=b sin B可得sin B=2sin90°15=215，因为B∈()0,π，所以A=π2，则B有1个解，故三角形只有1个解，所以③错误；对于④，由正弦定理asin A=b sin B可得sin B=30×sin120°40=338，因为B∈()0,π，所以A=2π3，则B有1个解，故三角形只有1个解，所以④正确；综上可知，本题的正确答案为A项.①②③④中都给出了三角形的两边长和其中一个角的度数，只需根据正弦定理建立关系式，再结合正弦函数的值域和三角形内角的取值范围，判断角的可能取值，即可确定三角形的解的个数.二、三角形的面积问题三角形的面积问题比较常见，通常要根据题目中给出的条件选择合适的面积公式解题.常用的三角形面积公式主要有三种：S=12ah、S=12ab sin C、S=p(p-a)(p-b)(p-c),其中a、b、c为三角形的三条边长，h为三角形的高线长，p=a+b+c2.一般地，若已知或容易求得三角形的一个角，则运用S=12ab sin C求三角形的面积；若已知三角形的高线长，则用S=12ah求三角形的面积；若已知三角形的三边长，往往用S=p()p-a()p-b()p-c求三角形的面积.在解题时，要注意灵活运用正余弦定理、勾股定理、三角函数的定义进行边角互化.例2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A+3cos A=0，a=2，b=27.设D为BC边上的一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解：（1）由sin A+3cos A=0可得：tan A=-3，所以A=2π3.在△ABC中，由余弦定理得28=4+c2-4c cos2π3，即c2+2c-24=0，解得c=4．由AD⊥AC可得∠CAD=π2，37所以∠BAD =∠BAC -∠CAD =π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为12AB ⋅AD ⋅sin π612AC ⋅AD =1.又△ABC 的面积为12×4×2×sin2π3=23，所以△ABD 的面积为3.解答本题，需先根据余弦定理和特殊角的正弦函数值求得边长c ；然后根据直角三角形中的边角关系求得∠BAD 的大小，即可根据三角形的面积公式S =12ah 、S =12ab sin C 求得△ABD 的面积、△ACD 的面积、△ABC 的面积.例3.设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ()sin A -sin C =b sin B -c sin C ，且b ()sin A +sin C sin B=8，b =4，求△ABC 的面积.解：由余弦定理可得b 22+c 2-2ac cos B ，则cos B =12，即sin B 因为a ()sin A -sin C =b sin B -c sin C ，由正弦定理可得a 2-ac =b 2-c 2，整理得a 2+c 2-ac =b 2，所以b ()a +c b=8，可得a 2+c 2-b 2=ac ，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =()a +c 2-2ac -2ac cos B ，则16=64-3ac ，解得ac =16，所以S △ABC =12ac sin B =1243.首先根据正余弦定理将已知条件转化为三角形的边的关系，得到a 2+c 2-ac =b 2和b ()a +c b=8；然后再次运用余弦定理求出sin B 和ac 的值，并将其代入面积公式S =12ab sin C 中，即可得到△ABC 的面积.三、三角形的边长问题解答三角形的边长问题，需灵活运用正弦定理：a sin A =b sin B =c sin C=2R 、余弦定理：b 2=a 2+c 2-2ac cos B 、勾股定理：a 2+b 2=c 2.在解答三角形的边长问题时，可先根据题意画出图形，以确定三角形的边、角的位置，以及对边、对角；然后根据题意明确哪些边长、角度是已知的，哪些是要求的；再根据正弦定理、余弦定理列式，通过计算，求得边长.例4.如图，在锐角△ABC 中，sin∠BAC ＝2425，sin∠ABC =45，BC ＝6，点D 在边BC 上，且BD ＝2DC ，点E 在边AC 上，且BE ⊥AC ，BE 交AD 于点F .求AC 和AF 的长．解：在锐角△ABC 中，sin∠BAC=2425，sin∠ABC =45，BC =6，由正弦定理可得：AC sin ∠ABC =BCsin ∠BAC，所以AC =BC sin ∠ABCsin ∠BAC=6×452425=5.因为sin ∠BAC =2425，sin ∠ABC =45，所以cos ∠BAC =725，cos ∠ABC =35，所以cos C =-cos (∠BAC +∠ABC )=-cos ∠BAC cos ∠ABC +sin ∠BAC sin ∠ABC =35.因为BE ⊥AC ，所以CE =BC cos C =6×35=185,AE =AC -CE =75.在△ACD 中，AC =5，CD =13BC =2，cos C =35，由余弦定理可得AD =AC 2+DC 2-2AC ⋅DC cos C=25+4-12=17，所以cos ∠DAC =AD 2+AC 2-CD 22AD ⋅AC =17+25-41017=191785.由BE ⊥AC ，得AF cos ∠DAC =AE ，所以AF =75191785=71719.解答本题，要先在锐角△ABC 中，根据正弦定理求得AC 的长以及cos C ；然后在△ACD 中，根据余弦定理求得AD 的长和cos∠DAC ，即可在Rt△AFE 中，根据勾股定理求得AF 的长.解答三角形问题，要注意：（1）要灵活运用正余弦定理、勾股定理进行边角互化；（2）挖掘有关三角形的边、角的隐含条件；（3）选用合适的公式、定理进行求解；（4）学会借助图形来辅助解题.（作者单位：贵州省岑巩县第一中学）解题宝典38。

正弦定理三角形解的个数问题1. 引言大家好，今天我们要聊的可是个既有趣又让人挠头的问题，那就是正弦定理在三角形解的个数上的奥秘。

听起来可能有点复杂，但别担心，我会把它说得通俗易懂。

正弦定理，简单说就是在一个三角形里，任意一边的长度与它对角的正弦值成比例。

想象一下，三角形就像我们生活中的各种关系，千变万化，却又有些固定的规则，今天就来看看这些规则背后的故事。

2. 正弦定理的基本概念2.1 正弦定理是什么？首先，正弦定理是个非常好用的工具。

当我们知道一个三角形的两边和一个角时，我们就能找到其他边和角。

是不是很酷？比如说，咱们有个三角形ABC，已知边a、b 和角C，这时候就可以用正弦定理来找出其他的边和角。

就像在拼图，先有几个关键的拼块，再把其他的慢慢拼上去，最后形成一个完整的图案。

2.2 为何解的个数很重要？那么，解的个数究竟有多重要呢？想象一下，你在计划一次旅行，手里有几种选择的路线。

每一条路线都能带你去不同的目的地，这就是三角形解的个数的重要性。

可能出现一个解、两个解，甚至没有解！每个解都代表了不同的可能性，仿佛生活中那些看似平常却充满变数的选择。

3. 解的个数分析3.1 一解、二解和无解的情况接下来，我们要深入探讨一下正弦定理带来的这些解的个数。

一开始，如果你有一个边和两个角，基本上可以确定出一个独特的解，没啥争议。

但是，假如你只有两个边和一个角，那就有点意思了。

有时候，你可能会得到两个解！就像是双胞胎，虽然看上去一样，却有着各自不同的命运。

再比如，如果你发现某个角的对边比其他边的长度大，那就可能没有解，简直像一场失落的约会，让人心碎。

3.2 三角形的不唯一性再往深了说，三角形的解并不总是那么简单。

想想你喜欢的电影，有时候结局不止一个！在正弦定理中，特别是在不规则的三角形中，解的个数可以变得复杂得多。

有时我们需要考虑三角形的内外角，甚至需要引入余弦定理来帮助我们。

这就像你在厨艺比赛中，突然发现你的秘方需要调配出两道菜，真是让人措手不及！所以，准备好应对各种情况，才能在这个数学的迷宫中游刃有余。

三角形解的个数问题佚名【期刊名称】《《高中数理化》》【年(卷),期】2019(000)006【总页数】1页(P13)【正文语种】中文判断三角形解的个数问题是教学的难点，笔者在课堂上利用微专题的形式对三角形解的个数问题的解题基本策略进行研究，效果甚好,故本文将对求解三角形解的个数问题的基本策略加以阐述.1 利用尺规作图原理判断利用数形结合思想，借助直尺、圆规和量角器作图，判断三角形解的个数，此法简单、直观，便于理解.已知两边a,b和角A,作出A和b，则点C就可确定，以点C为圆心，a为半径画弧，但需要计算点C到对边的距离bsin A,比较bsin A与a，b的大小，才能判断所画弧与A的另一边的交点个数，得出三角形解的个数.画图时需要对A进行分类讨论：若A为锐角，则有下列四种情况，如图1所示.①a<bsin A无解; ②a=bsin A有一解;③bsin A<a<b有两解; ④a≥b有一解.图1教材中利用图示的方法判断三角形解的个数，比较不容易理解和记忆，联想到“数轴”分界的优势，将三角形解的情况总结如下：以a为判断对象，以bsin A与b为分界点，按从左到右即从大到小的顺序，将“数轴”分为五个区域：a<bsin A，a=bsin A，bsin A<a<b，a=b，a>b.三角形解的个数如图2所示，简记为“0 1 2 1 1”，数字分别代表三角形解的个数.图2若A为直角或钝角，则当a≤b时，无解，当a>b时，有一解.三角形解的个数如图3所示，简记为“0 0 1”.图32 利用函数与方程思想在解三角形时，如果已知两边及其一边对角的情况下即可利用余弦定理构造方程，将三角形解的个数问题转化为一元二次方程正根的个数问题.例1 已知△ABC中，满足b=2，B=60°的三角形有两解，求边长a的取值范围. 即c2-ac+a2-4=0.△ABC有两解，则方程有两个不相等的正根，故即所以在△ABC中，已知a，b和角A，由余弦定理构造关于c的一元二次方程c2-2bccos A+b2-a2=0,若该方程只有负根或无根，则该三角形无解；若该方程有一个正数根，则该三角形有一解；若方程有两个不相等的正实数根，则该三角形有两解.3 利用正弦定理例2 在△ABC中，已知角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且则b为何值时，三角形是无解、一解、两解？由正弦定理得即设函数和因此三角形解的个数问题就转化为这两个函数图象的交点个数问题.易知当0<b<2或时，三角形有一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解.判断三角形解的个数，可利用正弦定理，将问题转化为函数图象与直线的交点个数问题.。

找三角形个数的技巧
数学中的三角形个数问题在初中就开始学习了，但其实在高中和大学也经常会涉及到该问题。

在解决这个问题时，可以运用数学原理和一些技巧，使计算变得更加简便。

首先是最简单的方法，即暴力枚举法。

该方法的基本思路是将所有的三点组合都罗列出来，然后再逐一筛选满足条件的三角形。

这种方法的弊端在于计算复杂度高，如果点集较多，那么时间复杂度就显然变得很高。

其次，我们可以进行优化。

较为常见的优化方法是利用所求的三角形的性质，即三角形内角和为180度。

利用该性质，我们可以将点集分为已知三点共线和不共线两类。

对于共线的情况，由于无法构成三角形，可以直接排除。

而对于不共线的情况，我们可以先将所有点两两配对，再遍历点集，计算第三个点是否能够构成三角形。

需要注意的是要排除重复的三角形。

另外一种较为高效的方法是使用扫描线算法。

该方法需要与平面内的直线有关，基本思路是将直线按照垂线投影到X轴上，之后将所有点按照垂线的大小排序，再逐一扫描，记录经过的点，在扫描过程中计算满足条件的三角形个数。

综上所述，要找到三角形个数，可以使用暴力枚举、优化后的方法或扫描线算法。

其中，优化后的方法和扫描线算法效率较高，可以在大规模计算中得到应用。

当然，也要根据具体问题和数据规模来选择合适的计算方法，以达到事半功倍的效果。