不解三角形 判断解个数

解析2:数形结合，右图所 示：CD =24sin44 :: 24sin45 =12 2 <18 24sin44 :: a ： b = 242解若其他条件不变：3.小结归纳:已知△ ABC 的两边a,b 及角A ，其三角形解的个数 的判定方法如下：1•画示意图(先画角 A 及角A 的邻边b,然后再画角 A 对边a,若A 为锐角时，再画出垂线段 CD,其中丨CD |(1)当0<A<-时，若a <bsinA 三角形无解2若a F bsi nA,三角形1解 若bsi nA <a <b,三角形2解 若a _b,三角形1解注意：当角A 不是特殊角时可用其临近的特殊角估算(2)当壬兰Aw 兀时，若a 兰b,三角形无解2______________________________ 若a =b,三角形1解 4.微诊断：(I 莊AABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是() A. a =7,b =14,A =30 B.a =30,b =25,A =150 C. a =72,b =50, A =135D a =30,b =40, A=26(2)iABC 中，a =x,b =2,B =45：若丛BC 有两解,贝収的取值范围是()A. (2,+9B. (0,2)C . (2,2—)D . (J 2, 2)2.数形结合思想解析 第3张PPT170秒以内第4张PPT165秒以内第5张PPT10秒以内播放= bsi nA )2.比较a 边和邻边b 与a 边和bsinA 的大小，从而 判定三角形解的个数本节微课先用正弦定理解三角形来求三角形解的个数，然后再用数形结合的方法 来分析三角形解的个数，让学生对两种方法有对比，切身体会到数形结合法的便捷 性，并用动画演示了角 A 为锐角、直角和钝角，以及对边 a 由短到长的变化过程中各种情形下三角形解的个数情景，并做了文字上角完善的总结，相信同学看了本微课后 能够掌握好这种题型的求解方法。

不解三角形，确定下列判断中正确的是
[ ]
A．a=7，b=14，A=30°，有两解
B．a=30，b=25，A=150°，有一解
C．a=6，b=9，A=45°，有两解
D．b=9，c=10，B=60°，无解
答案B
考点名称：正弦定理
1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
=2R。

有以下一些变式：
（1）；
（2）；
（3）。

4、正弦定理在解三角形中的应用：
（1）已知两角和一边解三角形，只有一解。

（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形，要注意对解的个数的讨论。

可按如下步骤和方法进行：先看已知角的性质和已知两边的大小关系。

如已知a，b，A，
（一）若A为钝角或直角，当b≥a时，则无解；当a≥b时，有只有一个解；
（二）若A为锐角，结合下图理解。

①若a≥b或a=bsinA，则只有一个解。

②若bsinA＜a＜b，则有两解。

③若a＜bsinA，则无解。

也可根据a，b的关系及与1的大小关系来确定。

解题宝典解三角形是高中数学中的重要内容，也是高考数学必考的知识.通过对近几年高考试题的分析，可发现解三角形问题主要有：三角形的解的个数问题、三角形的面积问题以及三角形的边长问题，且不同题目的考查形式和考查知识点均有所不同，同学们应注意区分与鉴别.本文结合例题，对这三类解三角形问题的特点和解法进行介绍，希望对同学们有所帮助.一、三角形的解的个数问题解三角形是指已知三角形的某些边、角，求其他边、角.三角形的解有一个、二个或者无数个.在解答三角形的解的个数问题时，先要仔细审题，明确哪些边、角是已知的，哪些是未知的；然后灵活运用正余弦定理、勾股定理、三角函数的定义来解三角形.一般地，若已知的角较多，则运用正弦定理来建立关系式；若已知的边较多，则运用余弦定理进行求解；若三角形为直角三角形，可直接运用勾股定理和三角函数的定义解题.例1.根据下列条件判断三角形的解的情况，正确的个数是().①a=8,b=16,A=30°，该三角形有2个解②b=18,c=20,B=60°，该三角形有1个解③a=15,b=2,A=90°，该三角形无解④a=40,b=30,A=120°，该三角形有1个解A.1B.2C.3D.4解：对于①，由正弦定理asin A=b sin B可得sin B=16×sin30o8=1，而B∈()0,π，所以B只有1个解，故三角形只有1个解，所以①错误；对于②，由正弦定理bsin B=c sin C可得sin C=20sin60°18=539，因为b<c，所以C>B=60°，则C有2个解，故三角形有2个解，所以②错误；对于③，由正弦定理asin A=b sin B可得sin B=2sin90°15=215，因为B∈()0,π，所以A=π2，则B有1个解，故三角形只有1个解，所以③错误；对于④，由正弦定理asin A=b sin B可得sin B=30×sin120°40=338，因为B∈()0,π，所以A=2π3，则B有1个解，故三角形只有1个解，所以④正确；综上可知，本题的正确答案为A项.①②③④中都给出了三角形的两边长和其中一个角的度数，只需根据正弦定理建立关系式，再结合正弦函数的值域和三角形内角的取值范围，判断角的可能取值，即可确定三角形的解的个数.二、三角形的面积问题三角形的面积问题比较常见，通常要根据题目中给出的条件选择合适的面积公式解题.常用的三角形面积公式主要有三种：S=12ah、S=12ab sin C、S=p(p-a)(p-b)(p-c),其中a、b、c为三角形的三条边长，h为三角形的高线长，p=a+b+c2.一般地，若已知或容易求得三角形的一个角，则运用S=12ab sin C求三角形的面积；若已知三角形的高线长，则用S=12ah求三角形的面积；若已知三角形的三边长，往往用S=p()p-a()p-b()p-c求三角形的面积.在解题时，要注意灵活运用正余弦定理、勾股定理、三角函数的定义进行边角互化.例2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A+3cos A=0，a=2，b=27.设D为BC边上的一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解：（1）由sin A+3cos A=0可得：tan A=-3，所以A=2π3.在△ABC中，由余弦定理得28=4+c2-4c cos2π3，即c2+2c-24=0，解得c=4．由AD⊥AC可得∠CAD=π2，37所以∠BAD =∠BAC -∠CAD =π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为12AB ⋅AD ⋅sin π612AC ⋅AD =1.又△ABC 的面积为12×4×2×sin2π3=23，所以△ABD 的面积为3.解答本题，需先根据余弦定理和特殊角的正弦函数值求得边长c ；然后根据直角三角形中的边角关系求得∠BAD 的大小，即可根据三角形的面积公式S =12ah 、S =12ab sin C 求得△ABD 的面积、△ACD 的面积、△ABC 的面积.例3.设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ()sin A -sin C =b sin B -c sin C ，且b ()sin A +sin C sin B=8，b =4，求△ABC 的面积.解：由余弦定理可得b 22+c 2-2ac cos B ，则cos B =12，即sin B 因为a ()sin A -sin C =b sin B -c sin C ，由正弦定理可得a 2-ac =b 2-c 2，整理得a 2+c 2-ac =b 2，所以b ()a +c b=8，可得a 2+c 2-b 2=ac ，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =()a +c 2-2ac -2ac cos B ，则16=64-3ac ，解得ac =16，所以S △ABC =12ac sin B =1243.首先根据正余弦定理将已知条件转化为三角形的边的关系，得到a 2+c 2-ac =b 2和b ()a +c b=8；然后再次运用余弦定理求出sin B 和ac 的值，并将其代入面积公式S =12ab sin C 中，即可得到△ABC 的面积.三、三角形的边长问题解答三角形的边长问题，需灵活运用正弦定理：a sin A =b sin B =c sin C=2R 、余弦定理：b 2=a 2+c 2-2ac cos B 、勾股定理：a 2+b 2=c 2.在解答三角形的边长问题时，可先根据题意画出图形，以确定三角形的边、角的位置，以及对边、对角；然后根据题意明确哪些边长、角度是已知的，哪些是要求的；再根据正弦定理、余弦定理列式，通过计算，求得边长.例4.如图，在锐角△ABC 中，sin∠BAC ＝2425，sin∠ABC =45，BC ＝6，点D 在边BC 上，且BD ＝2DC ，点E 在边AC 上，且BE ⊥AC ，BE 交AD 于点F .求AC 和AF 的长．解：在锐角△ABC 中，sin∠BAC=2425，sin∠ABC =45，BC =6，由正弦定理可得：AC sin ∠ABC =BCsin ∠BAC，所以AC =BC sin ∠ABCsin ∠BAC=6×452425=5.因为sin ∠BAC =2425，sin ∠ABC =45，所以cos ∠BAC =725，cos ∠ABC =35，所以cos C =-cos (∠BAC +∠ABC )=-cos ∠BAC cos ∠ABC +sin ∠BAC sin ∠ABC =35.因为BE ⊥AC ，所以CE =BC cos C =6×35=185,AE =AC -CE =75.在△ACD 中，AC =5，CD =13BC =2，cos C =35，由余弦定理可得AD =AC 2+DC 2-2AC ⋅DC cos C=25+4-12=17，所以cos ∠DAC =AD 2+AC 2-CD 22AD ⋅AC =17+25-41017=191785.由BE ⊥AC ，得AF cos ∠DAC =AE ，所以AF =75191785=71719.解答本题，要先在锐角△ABC 中，根据正弦定理求得AC 的长以及cos C ；然后在△ACD 中，根据余弦定理求得AD 的长和cos∠DAC ，即可在Rt△AFE 中，根据勾股定理求得AF 的长.解答三角形问题，要注意：（1）要灵活运用正余弦定理、勾股定理进行边角互化；（2）挖掘有关三角形的边、角的隐含条件；（3）选用合适的公式、定理进行求解；（4）学会借助图形来辅助解题.（作者单位：贵州省岑巩县第一中学）解题宝典38。

三角形解的个数问题佚名【期刊名称】《《高中数理化》》【年(卷),期】2019(000)006【总页数】1页(P13)【正文语种】中文判断三角形解的个数问题是教学的难点，笔者在课堂上利用微专题的形式对三角形解的个数问题的解题基本策略进行研究，效果甚好,故本文将对求解三角形解的个数问题的基本策略加以阐述.1 利用尺规作图原理判断利用数形结合思想，借助直尺、圆规和量角器作图，判断三角形解的个数，此法简单、直观，便于理解.已知两边a,b和角A,作出A和b，则点C就可确定，以点C为圆心，a为半径画弧，但需要计算点C到对边的距离bsin A,比较bsin A与a，b的大小，才能判断所画弧与A的另一边的交点个数，得出三角形解的个数.画图时需要对A进行分类讨论：若A为锐角，则有下列四种情况，如图1所示.①a<bsin A无解; ②a=bsin A有一解;③bsin A<a<b有两解; ④a≥b有一解.图1教材中利用图示的方法判断三角形解的个数，比较不容易理解和记忆，联想到“数轴”分界的优势，将三角形解的情况总结如下：以a为判断对象，以bsin A与b为分界点，按从左到右即从大到小的顺序，将“数轴”分为五个区域：a<bsin A，a=bsin A，bsin A<a<b，a=b，a>b.三角形解的个数如图2所示，简记为“0 1 2 1 1”，数字分别代表三角形解的个数.图2若A为直角或钝角，则当a≤b时，无解，当a>b时，有一解.三角形解的个数如图3所示，简记为“0 0 1”.图32 利用函数与方程思想在解三角形时，如果已知两边及其一边对角的情况下即可利用余弦定理构造方程，将三角形解的个数问题转化为一元二次方程正根的个数问题.例1 已知△ABC中，满足b=2，B=60°的三角形有两解，求边长a的取值范围. 即c2-ac+a2-4=0.△ABC有两解，则方程有两个不相等的正根，故即所以在△ABC中，已知a，b和角A，由余弦定理构造关于c的一元二次方程c2-2bccos A+b2-a2=0,若该方程只有负根或无根，则该三角形无解；若该方程有一个正数根，则该三角形有一解；若方程有两个不相等的正实数根，则该三角形有两解.3 利用正弦定理例2 在△ABC中，已知角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且则b为何值时，三角形是无解、一解、两解？由正弦定理得即设函数和因此三角形解的个数问题就转化为这两个函数图象的交点个数问题.易知当0<b<2或时，三角形有一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解.判断三角形解的个数，可利用正弦定理，将问题转化为函数图象与直线的交点个数问题.。

第10讲 三角形个数及判断三角形形状问题题型一：三角形解的个数问题已知a 、b 、A ，△ABC 解的情况如下图示． (ⅰ)A 为钝角或直角时解的情况如下：(ⅱ)A 为锐角时，解的情况如下：【例1】在ABC 中，30C =︒，b =c x =. 若满足条件的ABC 有且只有一个，则x 的可能取值是（ ）A ．12 B C ．1 D 因为ABC 只有一解，30︒>，则30B ︒<≤显然满足题意，10sin 2B或sin B 2x ≥或22x =；故选：D【例2】在ABC 中，若3b =，c =，45B =，则此三角形解的情况为（ ）A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不能确定为锐角，故满足条件的ABC 只有一个【例3】设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，S 和R 分别为ABC 的面积和外接圆半径．若2,3b c ==，则选项中能使ABC 有两解的是（ ）A ．30B =︒ B ．30C =︒ C ．3S =D ．2R =【例4】在ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．9,4,30=︒==b c C B ．5,4,45=︒==b c B C ．6,60==︒=a b B D ．20,30,30︒===a b A【答案】BC【分析】由正弦定理逐项判断.【题型专练】1．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ） A ．5,4,6a b A π=== B ．4,5,4a b A π===C ．55,4,6a b A π=== D ．4,5,3a b A π===，故三角形ABC 有一解；sin b B =⇒，故三角形ABC 有两解；sin b A B =⇒一定为锐角，故三角形ABC 有一解；sin sin b B A B =⇒=，故故三角形ABC 无解故选：B.2．在ABC 中，已知2,45a b A ===，则满足条件的三角形（ ） A ．有2个 B ．有1个 C ．不存在 D ．无法确定45 3．在ABC 中，已知2,3,30=︒==a b B ，则此三角形（ ） A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．无法判断有几解【详解】在ABC 中，3013=，，有30A B <=，即4．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知6,6a b A π===，则此三角形（ ）A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数不确定故此三角形有两解， 故选：C.5．在解三角形时，往往要判断三角形解的情况，现有∵ABC 满足条件：边20c =，角60B =︒，我想让它有两解，那么边b 的整数值我认为可取______（只填符合条件的一种即可） 2020sin60b ，320b，的整数值为18或19. 18或19.6.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若b =60B =︒，若ABC 仅有一个解，则a 的取值范围是（ ）A ．({}2⋃B ．30,2C ．{}30,22⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦D ．2【答案】A【解析】：解法一：因为b =60B =︒，由正弦定理得sin sin a b A B=，所以sin 2sin sin b Aa A B ==， 因为()0,120∈︒A ，2sin =y A 的图象如图所示：因为ABC 仅有一个解，所以y a =与2sin =y A 的图象只有一个交点，所以0a <≤或2a =，故选：A解法二：可知当B a b b a sin 0=≤<或时，ABC 仅有一个解，所以0a <≤2a =，题型二：判断三角行形状 判断三角形形状的思路： 1.转化为三角形的边来判断：(1)∵ABC 为直角三角形⇔a 2=b 2+c 2或b 2=a 2+c 2或c 2=a 2+b 2； (2)∵ABC 为锐角三角形⇔a 2+b 2>c 2且b 2+c 2>a 2且c 2+a 2>b 2； (3)∵ABC 为钝角三角形⇔a 2+b 2<c 2或b 2+c 2<a 2或c 2+a 2<b 2； (4)按等腰或等边三角形的定义判断. 2.转化为角的三角函数(值)来判断：(1)若cosA =0，则A =90°，∵ABC 为直角三角形； (2)若cosA <0，则∵ABC 为钝角三角形；(3)若cosA >0且cosB >0且cosC >0，则∵ABC 为锐角三角形； (4)若sin 2A +sin 2B =sin 2C ，则C =90°，∵ABC 为直角角形； (5)若sinA =sinB 或sin (A -B )=0，则A =B ，∵ABC 为等腰三角形；(6)若sin 2A =sin 2B ，则A =B 或A +B =90°，∵ABC 为等腰三角形或直角三角形.在具体判断的过程中，应注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定.【例1】在ABC 中，2cos 0a c B -=则此三角形的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】A【解析】由正弦定理sin 2sin cos 0A C B -=，又因为A B C π++=，所以sin sin()A B C =+．即sin()2sin cos B C C B +=，用两角和的正弦公式展开左边，得：sin cos cos sin 2sin cos B C B C C B +=，整理得sin cos sin cos 0B C C B -=，所以sin()0B C -=，又因为B ∠和C ∠是三角形的内角，所以0,B C B C -==，此三角形为等腰三角形．【例2】（多选）下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC ∆中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形 【答案】ABD【解析】对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,)2B π∈，2A B π+>，∴022A B ππ>>->，sin sin()cos 2A B B π∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确；对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=，A ，(0,)B π∈，22A B ∴=或222A B π=-，A B ∴=或2A B π+=，ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确.故选：ABD .【例3】（多选题）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列四个命题中正确．．的是（ ） A ．若2220a b c +->，则ABC 一定是锐角三角形 B ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 一定是等边三角形 C ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形D ．若cos cos a B b A a +=，则ABC 一定是等腰三角形【答案】BD 【解析】A 选项：当423a b c ===，，时，2220a b c +->，ABC 为钝角.错误.B 选项：因为cos cos cos a b cA B C==， 所以tan tan tan A B C ==，且(0,)A B C π∈，，所以A B C ==，ABC 为等边三角形.正确.C 选项：cos cos sin 2sin 2a A b B A B A B =⇒=⇒=或2A B π+=.ABC 不一定是等腰三角形.错误.D 选项：cos cos sin cos sin cos sin a B b A a A B B A A +=⇒+=sin()sin A B A ⇒+=sin sin C A ⇒=又因为(0,)A C π∈，，所以A C =.即ABC 为等腰三角形.正确.【例4】已知在ABC 中，3332sin sin sin sin sin sin sin A B CC A B C+-=+-，且sin 2cos sin C A B =，则该ABC 的形状为（ ）[附：()()3322a b a b a b ab +=++-]A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形∵sin cos cos sin 0A B A B -=，即()sin 0A B -=， ∵A B =．∵ABC 为等边三角形， 故选：D ．【例5】在∵ABC 中，如果 lg lg lg sin a c B -==-，且B 为锐角，试判断此三角形的形状（ ）． A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【例6】ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin :sin :sin 3:4:5A B C =，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据正弦定理的三边比值，然后能得到222+=a b c ，即可得到答案 【详解】由正弦定理可知::sin :sin :sin 3:4:5a b c A B C ==， 设3,4,5,(0)a t b t c t t ===>，所以222225a b t c +==，所以AC BC ⊥，所以ABC 的形状是直角三角形， 故选：B【例7】已知ABC 的三个内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，且sin sin sin 2A C π+=，且ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为56π的等腰三角形 D ．顶角为23π的等腰三角形 又(0,B π∈sin sin A +整理得sin(A ABC ∆ 为顶角为【例8】在ABC 中，角A ，B ，C 对应边分别为a ，b ，c ，已知三个向量,cos 2A m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,cos 2B n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,cos 2p c C ⎛⎫= ⎪⎝⎭共线，则ABC 形状为（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【详解】解：向量(,cos m a =，(,cos 2B n b =cossin 22B A=． B 02A π<<所以cos 则sin2A =∴22A B=同理由,cos n b ⎛= ⎝，,cos p c ⎛= ⎝ABC ∴形状为等边三角形．故选：A ．【例9】已知三角形的三边长分别为3，4，x ，若该三角形是钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．()7,7B ．()7,5C ．()()+∞⋃,57,0D ．()()7,57,1⋃【答案】D【详解】由题意，ABC 为钝角三角形，三边长分别为3，4，x ， 可得当4是最大边时，4所对的角是钝角，即此角的余弦值小于零，则2224334x x <+⎧⎨+<⎩，解得1x <<x 是最大边时，x 所对的角是钝角，即此角的余弦值小于零， 则2224334x x<+⎧⎨+<⎩，解得57x <<，综上可得，x 的取值范围是()()7,57,1⋃ 故选：D . 【题型专练】1．在ABC 中，已知tan tan a ba b A B+=+，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形综上所述：ABC 的形状一定是直角三角形，2．在ABC 中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222a b c +<，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或直角三角形【答案】C【分析】由余弦定理确定C 角是钝角．3．ABC 的三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且满足cos cos 2cos a B b A c C +=，且sin sin A B =，则ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形在ABC 中，由于A B C ==所以ABC 为等边三角形故选：B.4．已知ABC 内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c 面积为S ，若sin sin 2A Ca b A +=，23S BA CA =⋅，则ABC 的形状是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角形6333322BA CA AB AC bc ⋅=⋅=cos sin A A =，故tan 3A =综上，ABC 为正三角形. 故选：C5．已知在ABC 中，()33323a b c c a b c +-=+-，且sin 2cos sin CA B=，则该ABC 的形状为（ ）[附：()()3322a b a b a b ab +=++-]A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形；由此可得ABC 形状，20A <<ABC ∴为等边三角形故选：D.6．ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，若222ABC a b c =+-，且()0||||AB ACBC AB AC +⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．等腰非直角三角形 B ．三边均不相等的直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形)0||||AB ACBC AB AC +⋅=，可判断ABCS 可得2cos 2ab C =，由()0||||AB AC BC AB AC +⋅=可得7．在∵ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则∵ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形8．已知角,,A B C 是ABC 的内角，向量()()sin ,sin ,cos ,cos m A B n A B ==且m 与n 共线，则可以判断ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形【答案】A【分析】根据向量共线的坐标运算，可得sin cos sin cos A B B A =，根据角A 、B 的范围，即可得tan tan A B =，即可得答案.【详解】因为m 与n 共线， 所以sin cos sin cos A B B A =， 所以in 0()s A B -=因为,(0,)A B π∈，所以(,)A B ππ-∈-， 所以0A B -=，即A B =，所以 ABC 为等腰三角形， 故选：A9．在ABC ∆中，若222cos cos 2sin A B C +>-，则ABC ∆的形状是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．无法判断10．已知在ABC 中，22tan tan A a B b =，判断ABC 的形状为（ ）. A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．等腰直角三角形【详解】tan tan A a B b =sin sin A B=，∴sin 2B =B 或2+2A 或+=A B πABC 是等腰或直角三角形故选：C ．【点睛】判断三角形形状的常用技巧若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A B C +＝这个结论．11．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(cos cos )a b c A B +=⋅+，则ABC ∆的形状是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能判断12．在ABC 中，a ，b 分别是角A ，B 的对边，若cos cos a bB A=成立，那么ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．无法判断【详解】ABC 中，sin 2A B =2B =或2A +所以ABC 是等腰三角形或者直角三角形故选：C.。

解三角形 一．正弦定理：A a sin =B bsin =C c sin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到 1.(1) a=2RsinA (2) b=2RsinB (3) c=2RsinC 2.(1) sinA=a/2R (2) sinB=b/2R (3) sinC=c/2R3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC二．余弦定理：1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC 余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ） 三．余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断三角形的形状有两种途径：（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三．解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面，视线与水平线所成的角叫做仰角。

俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b =√6，A=45°，求边长C（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.例四：在△ABC中，若∠B=30°, AB=2, AC=2, 则△ABC的面积是例五.判断三角形的形状（1）正弦定理判断在△ABC中，若a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．（2）余弦定理判断在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc cos B cos C，试判断三角形的形状．例六判断解得个数不解三角形，判断下列三角形的解的个数：（1）a=5,b=4,A=120度（2）a=7,b=14,A=150度（3）a=9,b=10,A=60度（4）c=50,b=72,C=135度考试类型一、求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．1、ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB 2、 在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值． 3、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=2a ，则 A.a ＞b B.a ＜b C. a ＝b D.a 与b 的大小关系不能确定 4、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150 5、在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B = A －223 B 223 C －63 D 636、在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠=，则a = 。

正弦定理三角形解的个数问题1. 引言大家好，今天我们要聊的可是个既有趣又让人挠头的问题，那就是正弦定理在三角形解的个数上的奥秘。

听起来可能有点复杂，但别担心，我会把它说得通俗易懂。

正弦定理，简单说就是在一个三角形里，任意一边的长度与它对角的正弦值成比例。

想象一下，三角形就像我们生活中的各种关系，千变万化，却又有些固定的规则，今天就来看看这些规则背后的故事。

2. 正弦定理的基本概念2.1 正弦定理是什么？首先，正弦定理是个非常好用的工具。

当我们知道一个三角形的两边和一个角时，我们就能找到其他边和角。

是不是很酷？比如说，咱们有个三角形ABC，已知边a、b 和角C，这时候就可以用正弦定理来找出其他的边和角。

就像在拼图，先有几个关键的拼块，再把其他的慢慢拼上去，最后形成一个完整的图案。

2.2 为何解的个数很重要？那么，解的个数究竟有多重要呢？想象一下，你在计划一次旅行，手里有几种选择的路线。

每一条路线都能带你去不同的目的地，这就是三角形解的个数的重要性。

可能出现一个解、两个解，甚至没有解！每个解都代表了不同的可能性，仿佛生活中那些看似平常却充满变数的选择。

3. 解的个数分析3.1 一解、二解和无解的情况接下来，我们要深入探讨一下正弦定理带来的这些解的个数。

一开始，如果你有一个边和两个角，基本上可以确定出一个独特的解，没啥争议。

但是，假如你只有两个边和一个角，那就有点意思了。

有时候，你可能会得到两个解！就像是双胞胎，虽然看上去一样，却有着各自不同的命运。

再比如，如果你发现某个角的对边比其他边的长度大，那就可能没有解，简直像一场失落的约会，让人心碎。

3.2 三角形的不唯一性再往深了说，三角形的解并不总是那么简单。

想想你喜欢的电影，有时候结局不止一个！在正弦定理中，特别是在不规则的三角形中，解的个数可以变得复杂得多。

有时我们需要考虑三角形的内外角，甚至需要引入余弦定理来帮助我们。

这就像你在厨艺比赛中，突然发现你的秘方需要调配出两道菜，真是让人措手不及！所以，准备好应对各种情况，才能在这个数学的迷宫中游刃有余。

17三角形解的个数判断
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三角形解的个数判断
A 为锐角 A 为钝角或直角 图
形
关
系
A 〈bsinA A=bsinA
bsinA<a<b a ≥b a ≤b
解
的个
数
无解 一解 两解 一解 无解
1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角形是否有解,并指出有几解? (1） 78105a ,b ,A ==∠=
（2) 102080a ,b ,A ==∠=
(3） 105660b ,c C ==∠=
(4） 23630a ,A ==∠=
答案: （1) 90A ∠>而a b <，故无解
(2） 90A ,a b sin A b ∠<<<,故有无解
(3) c b >，故有一组解
（4) 90A ,b sin A a b ∠<<<，故有两组解
2在△ABC 中，A =45°,AB =3,则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60°"的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既为充分也不必要条件。

第 1 页 共 3 页解三角形专题2三角形解的个数问题1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？(1) 78105a ,b ,A ==∠=(2) 102080a ,b ,A ==∠=(3) 1060b ,c C ==∠=(4) 630a ,A ==∠=答案:(1) 90A ∠>而a b <，故无解(2) 90A ,a b sin Ab ∠<<<，故有无解(3) c b >，故有一组解(4) 90A ,b sin A a b ∠<<<，故有两组解2在△ABC 中，A =45°，AB =3，则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60°”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既为充分也不必要条件另解法法1：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中，已知a =b =45B =︒，求A 、C 及c ．第 2 页 共 3 页解：由正弦定理，得sin sin a B A b ===4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或120︒． 当60A =︒时，75C =︒，sin 75sin sin 452b Cc B ︒===︒； 当120A =︒时，15C =︒，sin sin b C c B ===． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘． 法2：二次方程的正根个数一般地，在ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解． 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =， 60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求BC 的长．解：在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒，整理得210960x x --=，解得16x =．由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒ 点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．法3：画圆法已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．A BCD第 3 页 共 3 页 【例3】在ABC ∆中，60A ∠=︒，a =3b =，则ABC ∆解的情况（ ） （A ）无解 （B ）有一解 （C ）有两解 （D）不能确定 解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD ∠=︒， 以顶点C 为圆心，以CB a ==AD 没有交点， 则说明该三角形的解的个数为0，故选A ．A b Ca D。

解三角形专题2三角形解的个数问题A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系bsinA<a<b a≥b a≤b A<bsinA A=bsinA解的无解一解两解一解无解个数1已知以下三角形中的两边及此中一边的对角，判断三角形能否有解，并指出有几解？(1) a 7,b 8, A 105o(2) a 10,b 20, A 80o(3) b 10 ,c 5 6 , C 60o(4) a 2 3,b 6, A30o答案 :(1) A 90o而 a b ，故无解(2) A 90o,a bsin A b ，故有无解(3) c b ，故有一组解(4) A 90o,b sin A a b ，故有两组解2 在△ABC中， A=45°， AB= 3，则“ BC= 2 ”是“ △ ABC只有一解且 C=60°”的A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既为充足也不用要条件另解法法 1：大角对大边在已知ABC 中的边长a，b 和角 A ，且已知a，b 的大小关系，常利用正弦定理联合“大边对大角”第 1页共3页来判断三角形解的个数，一般的做法以下，第一利用大边对大角，判断出角 B 与角 A 的大小关系，而后求出 B 的值，依据三角函数的有界性求解．【例 1】在 ABC 中，已知a 3 ， b 2 ，B 45 ，求 A 、 C 及c．解：由正弦定理，得 sin A a sin B 3sin 45 3，∵ B 45 90 ，b a ，∴ A 60 或 120 ．b 2 2当 A 60 时， C 75 ， c b sin C 2 sin 75 6 2 ；sin B sin 45 2当 A 120 时， C 15 ， c bsin C 2sin15 6 2 ．sin B sin 45 2评论：在三角形中， a b A B sin A sin B 这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．法 2：二次方程的正根个数一般地，在 ABC 中的边长a，b 和角 A ，经常可对角 A 应用余弦定理，并将其整理为关于 c 的一元二次方程 c2 2bc cos A b2 a 2 0 ，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．【例 2】如图，在四边形 ABCD 中，已知 AD CD ， AD 10 ， ABD C14 ，BDA 60 ，BCD 135 ，求 BC 的长．解：在ABD 中，设 BD x ，由余弦定理得14 2x2102 A B2 10 xcos60 ，整理得 x2 10x 96 0，解得x 16．由正弦定理，得 BC BD sin CDB 16sin308 2 ．sin BCD sin135评论：已知三角形两边和此中一边的对角，我们能够采纳正弦定理或余弦定理求解，从上述例子能够看出，利用余弦定理联合二次方程来判断显得更为简捷．法 3：画圆法已知ABC 中， A 为已知角（90 ），先画出 A ，确立极点 A ，再在 A 的一边上确立顶点C ，使 AC边长为已知长度，最后以极点 C 为圆心，以 CB 边长为半径画圆，看该圆与 A 的另一边能否有第 2页共3页交点，假如没有交点，则说明该三角形的解的个数为 0；如有一个交点，则说明该三角形的解的个数为 1；如有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．【例 3】在 ABC 中， A 60 ， a 6 ， b 3 ，则 ABC 解的状况（）C （ A）无解（ B）有一解（C）有两解（ D）不可以确立ab解：在 A 的一边上确立极点 C ，使 AC b 3 ，作 CAD 60 ， AD 以极点 C 为圆心，以CB a 6 为半径画圆，看该圆与AD 没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，应选 A．第 3页共3页。

关于三角形解的个数讨论的两个结论王志成江苏苏州市吴中区旅游职业学校们 215164题目：在△ABC 中，sinA=35，cosB=513，求cosC. 在教学中发现学生由于对判断三角形解的个数的方法掌握不透彻，往往导致这两题均是只有一解或都有两解．苏教版教材必修4教学参考书给出了下面的解法：在△ABC 中，若A 为锐角，∵sinA=35，cosB=513，∴cosA=45，sinB=1213．∴cosC=－cos （A+B ）=－cosAcosB+sinAsinB=－45×513+35×1213=1665．若A 为钝角，∵sinA=35，13252<<y=sinx 在(,)2ππ单调递减，∴3546A ππ<<．∵cosB=513<12，∴B>3π，则A+B>π，不可能！ 此解法主要采用分类讨论并结合正弦函数在区间(,)2ππ上的单调性给出的，我们不妨称为解法一．下面讨论三角形中蕴含的两个结论，并给出另外两种解法：结论1 在△ABC 中，有cosA+ cosB>0，cosB+ cosC>0，cosC+ cosA>0同时成立．∵A=180°- B -C <180°-B ，由于y=cosx 在[0，π] 单调递减， ∴cosA> cos （180°-B ），即cosA+ cosB>0，同样可得另外两个式子． 解法二：在△ABC 中，若cosA=－45，则cosC=5665，此时 cosA+ cosB =－45+513<0，故只有cosA=45，此时cosC=1665． 用此法求解，只要判断负的余弦值与其他两个余弦值的和的符号，从而对负值决定取舍即可．结论2 在△ABC 中，如果sinA<sinB ，则角A 只有一解；如果 sinB<sinA<1，则角A 有两解．在三角形中，角的大小关系等价于它们所对边的大小关系；根据正弦定理，三角形中，边的大小关系又等于它们所对角的正弦的大小关系．本结论在判定符合题意的解的个数时更加便捷．解法三：在△ABC 中，因为sinA=35，cosB=513，所以sinB=1213> sinA=35，所以A<B ，A 为锐角，所以cosA=45． 例1 在△ABC 中，sinA=513，cosB=35，求cosC ． sinB=45> sinA=513，此时若B 为锐角，则B>A ，若B 为钝角， 则180°—B>A ，即A+B<180°， 符合题意，所以cosB=35±． 例2 在△ABC 中，根据下列条件判别三角形解的个数．（1） a=2，A=45°，；（2） a=2，A=45°，（3） a=2，A=45°，b=3.解：在△ABC 中，根据正弦定理得sin B =sin b A a，对于（1）sin B =452︒=2>sinA ，故A 有两解；对于（2）sin B =452︒=4<sinA ，故A 有一解；对于（3）sin B =3sin 452︒=4>1，故无解． 此法对于应用正弦定理解决“已知两边及一边的对角求另一边的对角”问题，它是判别三角形解的个数的有效方法．可见，此法简便快捷，不易出错，与前两法相比更有优越性．。

正弦定理判断三角形解的个数
正弦定理是解三角形的重要定理之一，其可用于判断一个三角形是否能够得出唯一的解，以下是详细内容：
三角形是一个基本的几何形体，其由三条边和三个角组成。

在解决三角形问题时，经常需要确定三角形的形态和大小，即确定三角形的边长和角度大小。

在这个过程中，正弦定理是一个非常有用的定理。

正弦定理是指：在任意三角形ABC中，有以下公式成立：
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R （其中a、b、c为三角形任意两边之比，A、B、C为任意两角的正弦值之比，R为三角形的外接圆半径）
这个公式可以用来求解三角形的边长、角度和外接圆的半径等信息。

同时，正弦定理也可以用来判断一个三角形是否能够得出唯一的解。

具体来说，当已知三角形的两边和夹角时，可以通过正弦定理求出第三边的长度。

但是，如果已知的两边和夹角不能够满足正弦定理的条件，那么就不能够得出唯一的解。

具体而言，当正弦定理中的分母为0时，就不能够得出唯一的解。

例如，如果已知一个三角形的两边分别为3和4，夹角为90度，那么可以通过正弦定理求出第三边的长度为5。

但是，如果已知的两边分别为3和4，夹角为30度，那么通过正弦定理求得的第三边长度不唯一，因为在这种情况下正弦定理中的分母为0。

在这种情况下，必须要通过其他的定理或方法来判断三角形的解是否唯一。

总之，正弦定理是一个非常有用的定理，可以用来求解三角形的各种信息，同时也可以用来判断三角形是否能够得出唯一的解。

掌握正弦定理的应用方法和注意事项，对于解题是非常有帮助的。