《半导体物理学》---固体物理第一章

r a1cos a1 ,n d s a2cos a2 ,n d t a3cos a3 ,n d
取a1 ,a2 ,a3为天然长度单位，则得：
A3
Nn
a 3 d
a2
O a1
A2 A1
111
cos a1 , n : cos a2 , n : cos a3 , n : : r st
本节主要内容: 1.5.1 倒格矢定义 1.5.2 倒格与正格的关系 1.5.3 倒格与傅里叶变换
1.5.1 倒格矢定义
晶体结构=晶格+基元
一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格。
正格 正格基矢 a1 , a 2 , a 3 正格（点位）矢：
倒格 倒格基矢 b1,b2 ,b3 倒格（点位）矢：
1.4 晶向、晶面和它们的标志
2.晶面指数
晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角) 晶面方位
晶面在三个坐标轴上的截距
(1)以固体物理学原胞基矢表示
如图取一格点为顶点，原胞的三个基
矢 a1,a2 ,a3 为坐标系的三个轴，设某一
晶面与三个坐标轴分别交于A1,A2,A3,设晶 面的法线ON交晶面A1A2A3于N，ON长度
是固体物理学原胞体积
与 K n h1b1 h2b2 h3b3 (h1, h2, h3为整数) 所联系的各点
的列阵即倒格。
1.5.1 倒格矢定义
倒格基矢的方向和长度如何呢？
2π
b1 a2 a3 Ω
b3 ab3 2
a2
2π
b2 a3 a1 Ω
b3 2π a1 a2 Ω
a1 b1
a1 n h1d a2 n h2d
a1 cos a1,n h1d a2 cos a2,n h2d
X n d
A3
Nn
a3 n h3d
a3 cos a3 , n h3d a 3 d
取 a1 ,a2 ,a3为天然长度单位得：
a2
A2
cosa1, n : cosa2 , n : cosa3 , n h1 : h2 : h3 O
其中 m,n, p 为有理数,将 m,n, p 化为互质的整数m,n,p,
记为[mnp]，[mnp]即为该晶列的晶列指数.
1.4 晶向、晶面和它们的标志
例1：如图在立方体中，a i,b j,c k
D是BC的中点，求BE,AD的晶列指数。 A
解： OB i , OE i j k,
c
b
BE OE OB j k
(2)晶列指数用方括号表示[ ]； 晶列[11-1]
(3)遇到负数在该数上方加一横线。 晶列(111)
(4)等效晶向。
晶列[111]
1.4 晶向、晶面和它们的标志
在立方体中有，沿立方边的
晶列一共有6个不同的晶向，由于 晶格的对称性，这6个晶向并没有[100] 什么区别，晶体在这些方向上的
[001] [010]
晶列BE的晶列指数为：[011]
Oa
E
C D B
1.4 晶向、晶面和它们的标志
求AD的晶列指数。
E
OA k , OD i 1 j , 2
AD OD OA i 1 j k 2
AD的晶列指数为: [212] 注意:
A
c
b
Oa
C
D B
(1)晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列(11-1)
复习：课堂问题
1、找出下面结构的晶格和基元，画出初基平移矢 量？
2、解释布喇菲晶格、简单晶格和复式晶格，以及 上图属于哪一种？ 3、固体物理学原胞（原胞）和惯用晶胞（晶胞） 定义？
复习：课堂小测
1、画出下图的固体物理学原胞、惯用晶胞和W-S原胞？
2、画出面心立方的晶体结构、以及算出它的配位数？ 3、写出体心立方惯用晶胞和固体物理学原胞的基矢转换 关系？ 4、计算金刚石结构的致密度？
Rn n1a1 n2 a2 n3 a3
K n h1b1 h2b2 h3b3
1.5.1 倒格矢定义
倒格基矢定义为：
b1 2π a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1
Ω
2π
b3 a1 a2 Ω
其中 a1 , a2 , a3 是正格基矢，
Ω a1 a2 a3
晶面的法线方向与三个坐标轴(基矢)的夹角的余弦之比，
等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。
1.4 晶向、晶面和它们的标志
111
cos a1 , n : cos a2 , n : cos a3 , n : : r st
可以证明：r,s,t必是一组有理数---阿羽依的有理数定理。
设a1,a2 ,a3的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、
1.3 晶向、晶面和它们的标志
例2：如图所示abc ，I和H
分别为BC，EF之中点，试求晶面
AEG，ABCD，OEFG，DIHG的
密勒指数。
在三个坐标轴上 h'
的截距
k'
AEG 1
1
ABCD
l'
1
1
D
C
A
I
B
c
G
b
F
O
a
H
E
DIHG
2
1
1.4 晶向、晶面和它们的标志
在三个坐标 h' 轴上的截距 k'
a1
A1
晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。
又
cosa1 , n : cosa2 , n : cosa3 , n
1 r
:
1 s
:
1 t
111 h1 : h2 : h3 r : s : t
1.4 晶向、晶面和它们的标志
111 h1 : h2 : h3 r : s : t
因为h1、h2、h3为整数，所以r、s、t必为有理数。 任一晶面在坐标轴上的截距r，s，t必是一组有理数。 可以证明h1，h2，h3一定是互质的，称它们为该晶面族 的面指数，记为(h1h2h3 ) 。
2π
a1 b2 a1 2π a3 a1 Ω
0
1.5.2 倒格与正格的关系
2. Rl K h 2π (为整数)
其中Rl和K h分别为正格点位矢和倒格点位矢。
Rl l1 a1 l2 a 2 l3 a 3 K h h1 b1 h2 b2 h3 b3 Rl K h (l1 a1 l2 a 2 l3 a 3 ) (h1 b1 h2 b2 h3 b3 )
1.4 晶向、晶面和它们的标志
(1)平行晶列组成晶列族，晶列 族包含所有的格点；
(2)晶列上格点分布是周期性的； (3)晶列族中的每一晶列上， 格点分布都是相同的； (4)在同一平面内，相邻晶列间的 距离相等。
1.4 晶向、晶面和它们的标志
晶列的特点
1.4 晶向、晶面和它们的标志
2.晶向指数 (1) 用固体物理学原胞基矢表示
第四节 晶向、晶面和它们的标志
本节主要内容: 1.4.1 晶向及晶向指数 1.4.2 晶面及密勒指数
1.4 晶向、晶面和它们的标志
1.4.1 晶向及晶向指数
1.晶向
通过晶格中任意两个格点连一条 直线称为晶列，晶列的取向称为晶向 ，描写晶向的一组数称为晶向指数( 或晶列指数)。
过一格点可以有无数晶列。
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
R l1a1 l2 a2 l3 a3
a1,a 2 ,a 3 为固体物理学原胞基矢
其中 l1, l2, l3 为整数，将 l1, l2, l3 化为互质的整数 l1 , l2 , l3 ，
记为[ l1l2l3]， [l1l2l3 ]即为该晶列的晶列指数。
为d，d为该晶面族相邻晶面间的距离，
为整数，该晶面法线方向的单位矢量用 n
A3
n
a 3 d
N
a2
A2
O a1
A1
表示，则晶面A1A2A3的方程为： X n d
1.4 晶向、晶面和它们的标志
设OA1 ra1 ,OA2 sa2 ,OA3 ta3
X n d
ra1 n d sa2 n d ta3 n d
2π( l1h1 l2h2 l3h3 )
2π
1.5.2 倒格与正格的关系
3.
Ω*
2π3
(其中和*分别为正、倒格原胞体积)
Ω
Ω* b1 b2 b3
2π
3
a2 a3
a3 a1 a1 a2
Ω
A B C A CB A BC
a3 a1 a1 a2
a3 a1 a2 a1 a3 a1 a1 a2
h3d的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数 。
(1)所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必
有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 a1,a2,a3 末端上的格点 也一定落在该晶面族的晶面上；
(2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故在原
点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。
1.4 晶向、晶面和它们的标志
O
a
H
E
1.4 晶向、晶面和它们的标志
例3: 在立方晶系中画出(210)、(121) 晶面。
晶面在三个坐标轴上的截距分别为：
a (210) 1
2
bc
1
(121) 1
1
1
2
C EB
cD
b aF GA
密勒指数是(210) 的晶面是ABCD面；
密勒指数是 (121) 的晶面是EFG面；
第五节 倒格空间
b1
a2 a3 2π
2π
Ω
d1
b2 2π d2
b3 2π d3
一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方
向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的